Dimensi metrik kuat pada beberapa kelas graf AWAL
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF
oleh
FITHRI ANNISATUN LATHIFAH
M0111038
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Fithri Annisatun Lathifah. 2015. DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah suatu graf terhubung dengan himpunan vertex V (G)
dan himpunan edge E(G). Interval I[u, v] antara u dan v merupakan kumpulan
semua vertex yang termuat dalam suatu path u − v terpendek. Suatu vertex s
∈ V (G) disebut sebagai pembeda kuat untuk vertex u, v ∈ V (G) jika v ∈ I[u, s]
atau u ∈ I[v, s]. Himpunan S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan pembeda
kuat dari G jika untuk setiap dua vertex u dan v dari G dibedakan kuat oleh suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut
basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G, dinotasikan sdim(G), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di G. Dalam penelitian
ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graf tadpole, graf helm, graf closed helm,
dan graf t-fold wheel.
Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf
helm, graf closed helm, dan graf t-fold wheel.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Fithri Annisatun Lathifah. 2015. THE STRONG METRIC DIMENSION
OF SOME CLASSES OF GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with the set of vertices V (G) and the set of
edges E(G). An interval I[u, v] between u and v is defined as the collection of
all vertices that belong to some shortest u − v path. A vertex s ∈ V (G) is said
to be strongly resolved for vertices u, v ∈ V (G) if v ∈ I[u, s] or u ∈ I[v, s]. A
set S ⊆ V (G) is strong resolving set of G if every pair of vertices u and v of
G is strongly resolved by some vertices of S. The smallest cardinality of strong
resolving set is called a strong metric basis. The strong metric dimension of G,
denoted by sdim(G), is defined as the number of the elements of strong metric
basis in G. In this research, we obtained strong metric dimensions of tadpole
graph, helm graph, closed helm graph, and t-fold wheel graph.
Keywords : strong metric dimension, strong resolving set, tadpole graph, helm
graph, closed helm graph, t-fold wheel graph.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak akan berhasil dengan baik tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih
kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan ini, terutama kepada
1. Bapak Prof. Drs. Tri Atmojo K., M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I yang
telah membimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, dan
2. Almh. Ibu Sri Kuntari, M.Si. yang telah memberi bimbingan dan arahan
dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Juli 2015
Penulis
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
kedua orang tuaku dan adikku.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3
Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
commit
Dimensi Metrik Kuat
. . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
16
4.1
Sifat Himpunan Pembeda Kuat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Tadpole . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Helm . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.4
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Closed Helm . . . . . . . . . . .
23
4.5
Dimensi Metrik Kuat pada Graf t-Fold Wheel . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
28
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA
29
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Graf tadpole T5,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Graf wheel W5 (kiri) dan graf helm H5 (kanan) . . . . . . . . . .
9
2.5
Graf closed helm CH5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Graf 3-fold wheel W5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7
Dua graf yang isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Notasi
G
:
graf G
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
|V (G)|
:
order atau banyaknya vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|E(G)|
:
size atau banyaknya edge dari graf G
u, v
:
vertex
e, uv
:
edge
Pn
:
graf lintasan dengan order n
Cn
:
graf cycle dengan order n
Kn
:
graf lengkap dengan order n
Tm,n
:
graf tadpole dengan order m + n
Wn
:
graf wheel dengan order n + 1
Hn
:
graf helm dengan order 2n + 1
CHn
:
graf closed helm dengan order 2n + 1
Wnt
:
graf t-fold wheel dengan order n + t
∀
:
untuk setiap
∃
:
terdapat
f :A→B
:
fungsi dari himpunan A ke himpunan B
G1 ∼
= G2
:
graf G1 isomorfik dengan graf G2
⌈x⌉
:
bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
⌊x⌋
:
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
✷
:
akhir bukti
commit to user
x
digilib.uns.ac.id
DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF
oleh
FITHRI ANNISATUN LATHIFAH
M0111038
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Fithri Annisatun Lathifah. 2015. DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah suatu graf terhubung dengan himpunan vertex V (G)
dan himpunan edge E(G). Interval I[u, v] antara u dan v merupakan kumpulan
semua vertex yang termuat dalam suatu path u − v terpendek. Suatu vertex s
∈ V (G) disebut sebagai pembeda kuat untuk vertex u, v ∈ V (G) jika v ∈ I[u, s]
atau u ∈ I[v, s]. Himpunan S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan pembeda
kuat dari G jika untuk setiap dua vertex u dan v dari G dibedakan kuat oleh suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut
basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G, dinotasikan sdim(G), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di G. Dalam penelitian
ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graf tadpole, graf helm, graf closed helm,
dan graf t-fold wheel.
Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf
helm, graf closed helm, dan graf t-fold wheel.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Fithri Annisatun Lathifah. 2015. THE STRONG METRIC DIMENSION
OF SOME CLASSES OF GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with the set of vertices V (G) and the set of
edges E(G). An interval I[u, v] between u and v is defined as the collection of
all vertices that belong to some shortest u − v path. A vertex s ∈ V (G) is said
to be strongly resolved for vertices u, v ∈ V (G) if v ∈ I[u, s] or u ∈ I[v, s]. A
set S ⊆ V (G) is strong resolving set of G if every pair of vertices u and v of
G is strongly resolved by some vertices of S. The smallest cardinality of strong
resolving set is called a strong metric basis. The strong metric dimension of G,
denoted by sdim(G), is defined as the number of the elements of strong metric
basis in G. In this research, we obtained strong metric dimensions of tadpole
graph, helm graph, closed helm graph, and t-fold wheel graph.
Keywords : strong metric dimension, strong resolving set, tadpole graph, helm
graph, closed helm graph, t-fold wheel graph.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak akan berhasil dengan baik tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih
kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan ini, terutama kepada
1. Bapak Prof. Drs. Tri Atmojo K., M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I yang
telah membimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, dan
2. Almh. Ibu Sri Kuntari, M.Si. yang telah memberi bimbingan dan arahan
dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Juli 2015
Penulis
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
kedua orang tuaku dan adikku.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3
Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
commit
Dimensi Metrik Kuat
. . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
16
4.1
Sifat Himpunan Pembeda Kuat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Tadpole . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Helm . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.4
Dimensi Metrik Kuat pada Graf Closed Helm . . . . . . . . . . .
23
4.5
Dimensi Metrik Kuat pada Graf t-Fold Wheel . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
28
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA
29
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Graf tadpole T5,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Graf wheel W5 (kiri) dan graf helm H5 (kanan) . . . . . . . . . .
9
2.5
Graf closed helm CH5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Graf 3-fold wheel W5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7
Dua graf yang isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Notasi
G
:
graf G
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
|V (G)|
:
order atau banyaknya vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|E(G)|
:
size atau banyaknya edge dari graf G
u, v
:
vertex
e, uv
:
edge
Pn
:
graf lintasan dengan order n
Cn
:
graf cycle dengan order n
Kn
:
graf lengkap dengan order n
Tm,n
:
graf tadpole dengan order m + n
Wn
:
graf wheel dengan order n + 1
Hn
:
graf helm dengan order 2n + 1
CHn
:
graf closed helm dengan order 2n + 1
Wnt
:
graf t-fold wheel dengan order n + t
∀
:
untuk setiap
∃
:
terdapat
f :A→B
:
fungsi dari himpunan A ke himpunan B
G1 ∼
= G2
:
graf G1 isomorfik dengan graf G2
⌈x⌉
:
bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
⌊x⌋
:
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
✷
:
akhir bukti
commit to user
x