JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA.

JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Matematika

Program Studi Matematika

Oleh

RIZDKI YUNITA ANGGRAINI 0807617

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG 2013

JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA

Oleh

Rizdki Yunita Anggraini

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Rizdki Yunita Anggraini 2013 Universitas Pendidikan Indonesia

Juni 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

LEMBAR PENGESAHAN

JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA

Oleh:

Rizdki Yunita Anggraini NIM. 0807617

Disetujui dan Disahkan Oleh, Pembimbing I

Dr. Elah Nurlaelah, M.Si. NIP. 196411231991032002

Pembimbing II

Ririn Sispiyati, S.Si., M.Si. NIP. 198106282005012001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA Oleh

Rizdki Yunita Anggraini 0807617

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK

Pada artikel ini akan diperkenalkan Jacobson radikal pada ring serta perluasannya. Jacobson radikal dari ring adalah irisan dari semua ideal maksimal di ring tersebut. Jika setiap elemen pada suatu ideal pada ring merupakan elemen nilpoten, maka ideal tersebut adalah nilradikal. Nilradikal pada suatu ring termuat pada Jacobson radikal dari ring tersebut. Pada artikel ini diasumsikan merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan. Beberapa karakteristik dari adalah jika dan hanya jika merupakan suatu unit di untuk setiap , elemen idempoten pada hanyalah nol, , serta jika maka . Jacobson radikal pada ring diperluas menjadi ring Jacobson semisimple yang selanjutnya diperluas menjadi ring Jacobson. Selain pada ring, Jacobson radikal juga diperluas pada himpunan modul, yaitu konstruksi dari Jacobson radikal pada modul dan pendefinisian modul Jacobson.

Kata kunci: Jacobson radikal, nilradikal, ring Jacobson semisimple, ring Jacobson, modul Jacobson.

JACOBSON RADIKAL PADA RING DAN PERLUASANNYA Oleh

Rizdki Yunita Anggraini 0807617

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRACT

This article will introduce the Jacobson radical on ring with the generalization. Jacobson radical equals intersection of all maximal ideal of the ring. If all elements of an ideal is nilpotent, then it is called nil radical. The Jacobson radical contains all nil radical. Assume the ring is commutative with unity. Some characteristic of Jacobson radical are if and only if is a unit in for all , is the only idempotent elements in , , also if then . Jacobson radical on the ring was generalized become Jacobson semisimple ring then also was generalized become ring Jacobson. Jacobson radical on ring was generalized on module too, it was construction of Jacobson radical on modules and definition of Jacobson module.

Key word: Jacobson radical, nil radical, Jacobson semisimple ring, Jacobson ring, Jacobson module.

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PERNYATAAN

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... ii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iii

DAFTAR ISI ... iv

DAFTAR SIMBOL ... v

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Pembatasan Masalah ... 2

1.4 Tujuan Penulisan ... 2

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ring, Daerah Integral dan Field ... 3

2.2 Ideal, Nilpoten dan Idempoten ... 5

2.3 Modul ... 15

BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Jacobson Radikal pada Ring ... 21

3.2 Modul Jacobson ... 29

BAB 4 KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 4.1 Kesimpulan ... 47

4.2 Saran ... 48 DAFTAR PUSTAKA

1

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar merupakan cabang matematika yang menggunakan simbol-simbol dan huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili bilangan-bilangan yang tidak diketahui, misalnya . Sedangkan struktur aljabar adalah “suatu himpunan yang tak kosong bersama-sama dengan satu atau lebih operasi yang berlaku pada himpunan tersebut” (Wahyudin, 2000:32). Teori-teori penting dalam struktur ajabar diantaranya meliputi grup, ring dan modul. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong dengan suatu operasi di dalamnya yang memenuhi sifat assosiatif serta memiliki elemen identitas dan invers yang bergantung pada operasi tersebut. Jika pada grup hanya berlaku satu operasi, pada ring berlaku dua operasi biner yang biasanya dinotasikan sebagai operasi penjumlahan dan perkalian. Suatu himpunan tak kosong disebut ring jika dengan operasi penjumlahan himpunan tersebut merupakan grup komutatif, memenuhi sifat ketertutupan dan assosiatif pada operasi perkalian, serta memenuhi sifat distributif. Teori modul merupakan perluasan dari ruang vektor yaitu grup komutatif dengan skalar yang merupakan anggota dari suatu ring.

Pada konsep ring dipelajari konsep ideal, yang popular diantaranya yaitu ideal maksimal dan ideal prima. Adapun ideal lainnya adalah nilradikal dan Jacobson radikal. Berangkat dari konsep Jacobson radikal pada ring, diperluaslah konsep tersebut pada modul. Jacobson radikal memiliki peranan yang cukup penting pada teori ring dan modul, seperti kaitannya dengan Nakayama Lemma, ring Noetherian dan ring Artinian serta teorema Hilbert Nullstellensatz. Oleh karena itu penulis mengangkat tema skripsi yang

berjudul “Jacobson Radikal pada Ring dan Perluasannya”.

Pada skripsi ini penulis akan mengkaji karakteristik dari Jacobson radikal pada ring serta perluasannya yaitu ring dan modul Jacobson. Pada

2

ring, penulis mengkaji sifat-sifat Jacobson radikal pada ring, seperti kaitannya dengan elemen unit dan elemen idempoten, serta berbagai karakteristik lainnya. Selanjutnya akan dipelajari kaitan Jacobson radikal dengan nilradikal. Lebih jauh, penulis juga mendefinisikan ring Jacobson semisimple dan ring Jacobson itu sendiri. Sebelum mengkaji teori modul Jacobson, perlu pemahaman mengenai konsep lokalisasi ring. Hal ini dikarenakan sifat-sifat yang akan dipelajari pada modul Jacobson berkaitan dengan teori support dari modul yang merupakan hasil pengembangan dari lokalisasi ring. Selain mendefinisikan modul Jacobson, penulis mengkaji kaitan antara ring Jacobson dengan modul Jacobson, serta salah satu kriteria dari modul Jacobson sendiri.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang yang telah dipaparkan, penulis merumuskan beberapa masalah, yaitu:

1. Bagaimanakah kaitan antara nilradikal dan Jacobson radikal? 2. Bagaimanakah sifat-sifat Jacobson radikal pada ring?

3. Bagaimanakah kaitan antara ring Jacobson dan modul Jacobson?

1.3 Pembatasan Masalah

Konsep Jacobson radikal sangatlah luas dan dapat dipelajari pada sembarang ring. Oleh karena itu penulis membatasi pembahasan skripsi ini pada ring yang komutatif dan memiliki elemen kesatuan.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Untuk mengetahui kaitan antara nilradikal dengan Jacobson radikal. 2. Untuk mengetahui sifat-sifat Jacobson radikal.

47

BAB 4

KESIMPULAN DAN IMPLIKASI

4.1 Kesimpulan

Perluasan dari Jacobson radikal adalah Jacobson semisimple ring, yaitu ring yang Jacobson radikalnya hanyalah nol. Selanjutnya dari ring Jacobson semisimple, diperluas menjadi ring Jacobson yaitu ring yang setiap ideal primanya merupakan irisan dari suatu keluarga ideal-ideal maksimal. Adapun perluasan dari ring Jacobson adalah modul Jacobson, yaitu modul yang setiap ideal prima pada support modulnya merupakan irisan dari keluarga anggota-anggota pada himpunan support modul tersebut yang juga merupakan ideal maksimal ringnya. Berdasarkan pemaparan pada pembahasan, dapat ditarik kesimpulan bahwa

1. Jacobson radikal pada suatu ring memuat semua nilradikal pada ring tersebut.

2. Misalkan ring komutatif dengan elemen kesatuan, berikut ini beberapa sifat dari Jacobson radikal dari :

a. Misalkan , merupakan anggota jika dan hanya jika

merupakan suatu unit di , untuk setiap di .

b. Elemen idempoten pada hanyalah nol.

c.

d. Misalkan terdapat suatu ideal dari sedemikian sehingga , maka .

3. Kaitan dari ring Jacobson dan modul Jacobson adalah jika suatu ring merupakan ring Jacobson maka setiap modul atas ring tersebut merupakan modul, dan jika setiap modul atas suatu ring merupakan modul Jacobson maka ring tersebut merupakan ring Jacobson.

48

4.2 Implikasi

Penulisan skripsi ini hanya sebagian kecil dari konsep Jacobson radikal. Namun dari penulisan skripsi ini diharapkan pembaca dapat mudah memahami konsep Jacobson radikal dan dapat berguna untuk bahan pembelajaran ataupun sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut. Penulis menyadari bahwa konsep Jacobson radikal sangatlah luas, sehingga diharapkan dapat memotivasi pembaca untuk mengkaji lebih lanjut mengenai sifat-sifat pada ring Jacobson dan modul Jacobson serta kaitannya dengan ring atau modul lainnya seperti pada ring dan modul Artinian-Noetherian

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W. A. and Weintraub, S. H. (1992). Algebra: an Approach via Module Theory. New York: Springer-Verlag.

Bhattacarya, P.B, et al. (1994). Basic Abstract Algebra. New York: Cambridge University Press.

Bourbaki, N. (1972). Commutative Algebra. Paris: Hermann.

Chung, S. C. dan Ko, H. J. (2001). On Jacobson Modules. 38, (1), 121-128.

Gilmer, R. (2006). Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra. New York: Springer.

Herstein, I. N. (1975). Topic in Algebra. New York: John Wiley and Sons. Hungerford, T. W. (1996). Algebra. New York: Springer.

Kaplansky, I. (1974). Commutative Rings. Chicago: The University of Chicago Press.

Malik, D.S., et al. (1997). Fundamental of Abstract Algebra. Singapore: The-McGraww-Hill Companies, Inc.

Matsumura, H. (1980). Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University Press.

Rotman, J. J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. (second ed). New York: Springer.

LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PERNYATAAN

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... ii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iii

DAFTAR ISI ... iv

DAFTAR SIMBOL ... v

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Pembatasan Masalah ... 2

1.4 Tujuan Penulisan ... 2

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ring, Daerah Integral dan Field ... 3

2.2 Ideal, Nilpoten dan Idempoten ... 5

2.3 Modul ... 15

BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Jacobson Radikal pada Ring ... 21

3.2 Modul Jacobson ... 29

BAB 4 KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 4.1 Kesimpulan ... 47

4.2 Saran ... 48 DAFTAR PUSTAKA

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar merupakan cabang matematika yang menggunakan simbol-simbol dan huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili bilangan-bilangan yang tidak diketahui, misalnya . Sedangkan struktur aljabar adalah “suatu himpunan yang tak kosong bersama-sama dengan satu atau lebih operasi yang berlaku pada himpunan tersebut” (Wahyudin, 2000:32). Teori-teori penting dalam struktur ajabar diantaranya meliputi grup, ring dan modul. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong dengan suatu operasi di dalamnya yang memenuhi sifat assosiatif serta memiliki elemen identitas dan invers yang bergantung pada operasi tersebut. Jika pada grup hanya berlaku satu operasi, pada ring berlaku dua operasi biner yang biasanya dinotasikan sebagai operasi penjumlahan dan perkalian. Suatu himpunan tak kosong disebut ring jika dengan operasi penjumlahan himpunan tersebut merupakan grup komutatif, memenuhi sifat ketertutupan dan assosiatif pada operasi perkalian, serta memenuhi sifat distributif. Teori modul merupakan perluasan dari ruang vektor yaitu grup komutatif dengan skalar yang merupakan anggota dari suatu ring.

Pada konsep ring dipelajari konsep ideal, yang popular diantaranya yaitu ideal maksimal dan ideal prima. Adapun ideal lainnya adalah nilradikal dan Jacobson radikal. Berangkat dari konsep Jacobson radikal pada ring, diperluaslah konsep tersebut pada modul. Jacobson radikal memiliki peranan yang cukup penting pada teori ring dan modul, seperti kaitannya dengan Nakayama Lemma, ring Noetherian dan ring Artinian serta teorema Hilbert Nullstellensatz. Oleh karena itu penulis mengangkat tema skripsi yang berjudul “Jacobson Radikal pada Ring dan Perluasannya”.

dengan elemen unit dan elemen idempoten, serta berbagai karakteristik lainnya. Selanjutnya akan dipelajari kaitan Jacobson radikal dengan nilradikal. Lebih jauh, penulis juga mendefinisikan ring Jacobson semisimple dan ring Jacobson itu sendiri. Sebelum mengkaji teori modul Jacobson, perlu pemahaman mengenai konsep lokalisasi ring. Hal ini dikarenakan sifat-sifat yang akan dipelajari pada modul Jacobson berkaitan dengan teori support dari modul yang merupakan hasil pengembangan dari lokalisasi ring. Selain mendefinisikan modul Jacobson, penulis mengkaji kaitan antara ring Jacobson dengan modul Jacobson, serta salah satu kriteria dari modul Jacobson sendiri.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang yang telah dipaparkan, penulis merumuskan beberapa masalah, yaitu:

1. Bagaimanakah kaitan antara nilradikal dan Jacobson radikal? 2. Bagaimanakah sifat-sifat Jacobson radikal pada ring?

3. Bagaimanakah kaitan antara ring Jacobson dan modul Jacobson?

1.3 Pembatasan Masalah

Konsep Jacobson radikal sangatlah luas dan dapat dipelajari pada sembarang ring. Oleh karena itu penulis membatasi pembahasan skripsi ini pada ring yang komutatif dan memiliki elemen kesatuan.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Untuk mengetahui kaitan antara nilradikal dengan Jacobson radikal. 2. Untuk mengetahui sifat-sifat Jacobson radikal.

BAB 4

KESIMPULAN DAN IMPLIKASI

4.1 Kesimpulan

Perluasan dari Jacobson radikal adalah Jacobson semisimple ring, yaitu ring yang Jacobson radikalnya hanyalah nol. Selanjutnya dari ring Jacobson semisimple, diperluas menjadi ring Jacobson yaitu ring yang setiap ideal primanya merupakan irisan dari suatu keluarga ideal-ideal maksimal. Adapun perluasan dari ring Jacobson adalah modul Jacobson, yaitu modul yang setiap ideal prima pada support modulnya merupakan irisan dari keluarga anggota-anggota pada himpunan support modul tersebut yang juga merupakan ideal maksimal ringnya. Berdasarkan pemaparan pada pembahasan, dapat ditarik kesimpulan bahwa

1. Jacobson radikal pada suatu ring memuat semua nilradikal pada ring tersebut.

2. Misalkan ring komutatif dengan elemen kesatuan, berikut ini beberapa sifat dari Jacobson radikal dari :

a. Misalkan , merupakan anggota jika dan hanya jika merupakan suatu unit di , untuk setiap di .

b. Elemen idempoten pada hanyalah nol.

c.

d. Misalkan terdapat suatu ideal dari sedemikian sehingga , maka .

3. Kaitan dari ring Jacobson dan modul Jacobson adalah jika suatu ring merupakan ring Jacobson maka setiap modul atas ring tersebut merupakan modul, dan jika setiap modul atas suatu ring merupakan modul Jacobson maka ring tersebut merupakan ring Jacobson.

Penulisan skripsi ini hanya sebagian kecil dari konsep Jacobson radikal. Namun dari penulisan skripsi ini diharapkan pembaca dapat mudah memahami konsep Jacobson radikal dan dapat berguna untuk bahan pembelajaran ataupun sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut. Penulis menyadari bahwa konsep Jacobson radikal sangatlah luas, sehingga diharapkan dapat memotivasi pembaca untuk mengkaji lebih lanjut mengenai sifat-sifat pada ring Jacobson dan modul Jacobson serta kaitannya dengan ring atau modul lainnya seperti pada ring dan modul Artinian-Noetherian

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W. A. and Weintraub, S. H. (1992). Algebra: an Approach via Module

Theory. New York: Springer-Verlag.

Bhattacarya, P.B, et al. (1994). Basic Abstract Algebra. New York: Cambridge University Press.

Bourbaki, N. (1972). Commutative Algebra. Paris: Hermann.

Chung, S. C. dan Ko, H. J. (2001). On Jacobson Modules. 38, (1), 121-128.

Gilmer, R. (2006). Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra. New York: Springer.

Herstein, I. N. (1975). Topic in Algebra. New York: John Wiley and Sons. Hungerford, T. W. (1996). Algebra. New York: Springer.

Kaplansky, I. (1974). Commutative Rings. Chicago: The University of Chicago Press.

Malik, D.S., et al. (1997). Fundamental of Abstract Algebra. Singapore: The-McGraww-Hill Companies, Inc.

Matsumura, H. (1980). Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University Press.

Rotman, J. J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. (second ed). New York: Springer.