3. Matriks
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
3. MATRIKS
A. Transpose Matriks
(ac bd )
Jika A =
, maka transpose matriks A adalah AT =
(ab cd )
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan
dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
(ac bd )
Jika A =
(ca+k+m
b+l
d +n
, dan B =
(mk nl )
, maka A + B =
(ac bd ) (mk nl )
+
=
)
C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
Jika A =
(ac bd )
, maka nA = n
(ac bd ) (ancn bndn )
=
D. Perkalian Dua Buah Matriks
Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
Jika A =
A×B=
(ac bd )
(kn ol mp )
a b
k l m
ak +bn
( c d ) (n o p ) ( ck +dn
, dan B =
×
, maka
=
al+bo am+bp
cl+do cm+dp
)
E. Matriks Identitas (I)
I=
(10 01 )
Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
F. Determinan Matriks berordo 2×2
Jika A =
(ac bd )
, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(AT) = det(A)
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
a b
| |
c d
= ad – bc
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
4. det (A–1) =
1
det( A )
G. Invers Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A =
A−1 =
(ac bd )
, maka invers A adalah:
1
1
d −b
Adj( A )=
Det ( A )
ad−bc −c a
(
)
, ad – bc ≠ 0
Sifat–sifat invers dan determinan matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1
H. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama
dengan nol
I.
Persamaan Matriks
Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A × X = B X = A–1 × B
2) X × A = B X = B × A–1
SOAL
1. UN 2007 PAKET B
Diketahui matriks A =
(
1
1
−2
x
PENYELESAIAN
( x +y y
x
x− y
)
,
)
3
B = −2 y
, dan AT = B dengan
T
A menyatakan transpose dari A.
Nilai x + 2y adalah …
A.
–2
D. 1
B.
–1
E. 2
C.
0
Jawab : C
2. UN 2007 PAKET A
Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT
adalah transpose matriks B), dengan
A
=
(2ab 34c )
dan
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
B
=
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
(2 c−3b
a
2a+1
b+7
)
PENYELESAIAN
. Nilai a + b + c = …
A. 6
B. 10
C. 13
D. 15
E. 16
Jawab : D
3. UN 2012/B25
(35 −1y )
(−3x 56 )
(−3y −19 )
(−x8 −45 x )
Diketahui matriks A =
B=
,
, dan C =
.
Jika A + B – C =
,
maka nilai x + 2xy + y adalah ...
A. 8
B. 12
C. 18
D. 20
E. 22
Jawab : E
4. UN 2010 PAKET A
Diketahui matriks A =
(
12 8
4
6 −1 −3a
5 b
9
(
)
4a 8
4
6 −1 −3 b
5 3c 9
)
dan B =
Jika A = B, maka a + b + c = …
A. –7
B. –5
C. –1
D. 5
E. 7
Jawab : E
5. UN 2005
Diketahui matriks A =
(−41 22 )
(−12 −30 )
(−11 −10 )
,
B=
, dan C =
Hasil dari A+(B×C) = …
A.
(80 −5−2 )
D.
.
(60 −20 )
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
(80 −9−1 )
2 0
(0 −2 )
B.
PENYELESAIAN
(12 −21 )
E.
C.
Jawab : A
6. UN 2010 PAKET B
Diketahui
matriks–matriks
(
−c 2
1 0
B =
dan
)
A
=
(−10 32 )
,
,
(b+54 −6a )
, C =
(−24 b3 )
D=
.
Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c =
…
A. –6 B. –2
C. 0
D. 1
E. 8
Jawab : C
7. UN 2004
Diketahui persamaan matriks
(12 35 )(−14 −32 )=(−12 b a3 )+(21 b1 )
Nilai a dan b adalah …
A. a = 1, b = 2
B. a = 2, b =1
C. a = 5, b = –2
D. a = –2 , b = 5
E. a = 4, b = –1
Jawab : B
8. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
(−3x 24y )
(120 −114 )
(9666 −20
−44 )
,
Q=
, dan R =
.
Jika PQT = R (QT transpose matriks Q),
maka nilai 2x + y = …
A. 3
B. 4
C. 7
D. 13
E. 17
Jawab : E
9. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
(21 53 )
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
dan
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
PENYELESAIAN
(51 41 )
Q =
. Jika P–1 adalah invers
–1
matriks P dan Q adalah invers matriks Q,
maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah …
A. 209
B. 10
C. 1
D. –1
E. –209 Jawab : C
10. UN 2006
Diketahui matriks A =
(
6
x
− 10x
2
−1
)
dan
(5x 23 )
B=
. Jika AT = B–1 dengan
T
A = transpose matrik A, maka nilai 2x =
…
A.
–8
D. 4
B. –4
C.
1
4
E. 8
Jawab : E
11. UAN 2003
Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi
2
(1
6
−3
x
y
¿
ri
gh
¿
¿
¿
2
−5
¿
ri
gh
¿
¿
¿
(
¿ )
¿
¿ ¿
)
persamaan :
…
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
E. 9
Jawab : A
12. UN 2011 PAKET 12
Diketahui persamaan matriks
(59 −4−2 )( 2x
Nilai x – y = …
A.
5
2
22
2
B.
)( )
−1
1 0
=
x+ y 0 1
15
2
23
2
D.
E.
13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui persamaan
(21 34 )( x +x y
C.
adalah
.
19
2
Jawab : E
)(
1
21 8
=
z−2 23 9
)
.
Nilai x + y – z = …
A. –5
B. –3
C. 1
D. 5
E. 9
Jawab : C
14. UN 2011 PAKET 12
Diketahui matriks A =
(30 52 )
−3 −1
(−17
0)
dan
B =
. Jika AT = transpose
matriks A dan AX = B + AT, maka
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
determinan matriks X = …
A. –5
B. –1
C. 1
D. 5
E. 8
Jawab : B
15. UN 2011 PAKET 46
Diketahui matriks A =
(13 25 )
(31 −24 )
PENYELESAIAN
dan
B=
. Jika At adalah transpose
dari matriks A dan AX = B + A t, maka
determinan matriks X = …
A. 46
B. 33
C. 27
D. –33 E. –46 Jawab : B
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
3. MATRIKS
A. Transpose Matriks
(ac bd )
Jika A =
, maka transpose matriks A adalah AT =
(ab cd )
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan
dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
(ac bd )
Jika A =
(ca+k+m
b+l
d +n
, dan B =
(mk nl )
, maka A + B =
(ac bd ) (mk nl )
+
=
)
C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
Jika A =
(ac bd )
, maka nA = n
(ac bd ) (ancn bndn )
=
D. Perkalian Dua Buah Matriks
Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
Jika A =
A×B=
(ac bd )
(kn ol mp )
a b
k l m
ak +bn
( c d ) (n o p ) ( ck +dn
, dan B =
×
, maka
=
al+bo am+bp
cl+do cm+dp
)
E. Matriks Identitas (I)
I=
(10 01 )
Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
F. Determinan Matriks berordo 2×2
Jika A =
(ac bd )
, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(AT) = det(A)
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
a b
| |
c d
= ad – bc
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
4. det (A–1) =
1
det( A )
G. Invers Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A =
A−1 =
(ac bd )
, maka invers A adalah:
1
1
d −b
Adj( A )=
Det ( A )
ad−bc −c a
(
)
, ad – bc ≠ 0
Sifat–sifat invers dan determinan matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1
H. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama
dengan nol
I.
Persamaan Matriks
Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A × X = B X = A–1 × B
2) X × A = B X = B × A–1
SOAL
1. UN 2007 PAKET B
Diketahui matriks A =
(
1
1
−2
x
PENYELESAIAN
( x +y y
x
x− y
)
,
)
3
B = −2 y
, dan AT = B dengan
T
A menyatakan transpose dari A.
Nilai x + 2y adalah …
A.
–2
D. 1
B.
–1
E. 2
C.
0
Jawab : C
2. UN 2007 PAKET A
Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT
adalah transpose matriks B), dengan
A
=
(2ab 34c )
dan
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
B
=
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
(2 c−3b
a
2a+1
b+7
)
PENYELESAIAN
. Nilai a + b + c = …
A. 6
B. 10
C. 13
D. 15
E. 16
Jawab : D
3. UN 2012/B25
(35 −1y )
(−3x 56 )
(−3y −19 )
(−x8 −45 x )
Diketahui matriks A =
B=
,
, dan C =
.
Jika A + B – C =
,
maka nilai x + 2xy + y adalah ...
A. 8
B. 12
C. 18
D. 20
E. 22
Jawab : E
4. UN 2010 PAKET A
Diketahui matriks A =
(
12 8
4
6 −1 −3a
5 b
9
(
)
4a 8
4
6 −1 −3 b
5 3c 9
)
dan B =
Jika A = B, maka a + b + c = …
A. –7
B. –5
C. –1
D. 5
E. 7
Jawab : E
5. UN 2005
Diketahui matriks A =
(−41 22 )
(−12 −30 )
(−11 −10 )
,
B=
, dan C =
Hasil dari A+(B×C) = …
A.
(80 −5−2 )
D.
.
(60 −20 )
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
(80 −9−1 )
2 0
(0 −2 )
B.
PENYELESAIAN
(12 −21 )
E.
C.
Jawab : A
6. UN 2010 PAKET B
Diketahui
matriks–matriks
(
−c 2
1 0
B =
dan
)
A
=
(−10 32 )
,
,
(b+54 −6a )
, C =
(−24 b3 )
D=
.
Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c =
…
A. –6 B. –2
C. 0
D. 1
E. 8
Jawab : C
7. UN 2004
Diketahui persamaan matriks
(12 35 )(−14 −32 )=(−12 b a3 )+(21 b1 )
Nilai a dan b adalah …
A. a = 1, b = 2
B. a = 2, b =1
C. a = 5, b = –2
D. a = –2 , b = 5
E. a = 4, b = –1
Jawab : B
8. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
(−3x 24y )
(120 −114 )
(9666 −20
−44 )
,
Q=
, dan R =
.
Jika PQT = R (QT transpose matriks Q),
maka nilai 2x + y = …
A. 3
B. 4
C. 7
D. 13
E. 17
Jawab : E
9. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
(21 53 )
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
dan
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
PENYELESAIAN
(51 41 )
Q =
. Jika P–1 adalah invers
–1
matriks P dan Q adalah invers matriks Q,
maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah …
A. 209
B. 10
C. 1
D. –1
E. –209 Jawab : C
10. UN 2006
Diketahui matriks A =
(
6
x
− 10x
2
−1
)
dan
(5x 23 )
B=
. Jika AT = B–1 dengan
T
A = transpose matrik A, maka nilai 2x =
…
A.
–8
D. 4
B. –4
C.
1
4
E. 8
Jawab : E
11. UAN 2003
Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi
2
(1
6
−3
x
y
¿
ri
gh
¿
¿
¿
2
−5
¿
ri
gh
¿
¿
¿
(
¿ )
¿
¿ ¿
)
persamaan :
…
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
E. 9
Jawab : A
12. UN 2011 PAKET 12
Diketahui persamaan matriks
(59 −4−2 )( 2x
Nilai x – y = …
A.
5
2
22
2
B.
)( )
−1
1 0
=
x+ y 0 1
15
2
23
2
D.
E.
13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui persamaan
(21 34 )( x +x y
C.
adalah
.
19
2
Jawab : E
)(
1
21 8
=
z−2 23 9
)
.
Nilai x + y – z = …
A. –5
B. –3
C. 1
D. 5
E. 9
Jawab : C
14. UN 2011 PAKET 12
Diketahui matriks A =
(30 52 )
−3 −1
(−17
0)
dan
B =
. Jika AT = transpose
matriks A dan AX = B + AT, maka
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar
PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
SOAL
determinan matriks X = …
A. –5
B. –1
C. 1
D. 5
E. 8
Jawab : B
15. UN 2011 PAKET 46
Diketahui matriks A =
(13 25 )
(31 −24 )
PENYELESAIAN
dan
B=
. Jika At adalah transpose
dari matriks A dan AX = B + A t, maka
determinan matriks X = …
A. 46
B. 33
C. 27
D. –33 E. –46 Jawab : B
EXTRA-Makin Asiik Makin Pintar