Analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi pemangsa mangsa menggunakan metode dekomposisi adomian

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL
INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
TESIS
diajukan untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Magister Pendidikan

Disusun oleh:
Yulius Wahyu Putranto
NIM: 151442001

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN MOTTO

Tesis yang baik adalah tesis yang selesai.
(Yulius Wahyu Putranto, 2017)

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini kupersembahkan untuk:
Ibuku Emiliana Yuniasih,

Bapaku Ignatius Bowo Hariyanto,

dan segenap keluarga yang mendukung dengan perhatian
dan Doa.

Terima kasih.

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi
Pemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Tesis.
Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.

Tesis ini bertujuan untuk meneliti tentang sistem dinamika dua populasi dengan
satu populasi memangsa populasi yang lain. Populasi disebut populasi pemangsa dan
populasi disebut populasi mangsa. Setiap spesies dari diasumsikan hanya mendapat
makanan dari
sedangkan
bertumbuh secara alami. Dengan demikian terjadi suatu
sistem dinamika pemangsa- mangsa. Aspek pemanenan ditambahkan pada kedua populasi
tersebut untuk mengetahui dampak yang terjadi pada titik ekuilibrium ketika kedua
populasi atau salah satu dilakukan pemanenan. Model yang dimodifikasi ada tiga macam
yaitu model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa, model pemangsamangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan model pemangsa-mangsa dengan
aspek pemanenan pada keduanya. Masing-masing model telah dianalisis kestabilan titik
ekuilibriumnya. Peneliti mencari solusi sistem dinamika dua populasi secara umum dengan
metode dekomposisi Adomian. Pada analisis solusi sistem, dilakukan perhitungan dengan
tiga parameter yang berbeda, sehingga menghasilkan tiga macam interaksi yang berbeda.
Interaksi yang muncul dengan parameter yang telah ditentukan adalah mutualisme,
parasitisme dan kompetisi.
Kata Kunci: Sistem dinamis, model pemangsa-mangsa, titik ekuilibrium, Dekomposisi
Adomian.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Yulius Wahyu Putranto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solution of
Predator-Prey Interaction Model Using Adomian Decomposition Method.
Thesis.
Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematics
and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
This thesis aims to examine the dynamical system of two populations with one
population prey on other populations. Population
is called predator population and
population is called prey population. Each species of is assumed to only get food from
while grows naturally. Thus there is dynamical systems of predaror-prey. Harvesting
aspects are added to both populations to determine the impacts that occur at the equilibrium
point when the two populations or one is harvested. There were three kinds pf models that
were modified: predator-prey models with harvesting aspects of prey, predator-prey models
with harvesting aspects of predators and predatory models with harvesting aspects in both.
Each model has analyzed the stability of the equilibrium point. We seek a general solution

for dynamical systems in general with Adomian decomposition method. In the analysis of
system solutions have been calculated with three different parameters, so as to produce
three kinds of different interactions. Interactions that arise with predetermined parameters
are mutualism, parasitism and competition.
Keywords: Dynamical Systems, predator-prey models, equilibrium point, Adomian
Decomposition

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
Y.W. Putranto dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method for
solving the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:

Conference Series, Volume 795, Nomor 1, Artikel 012045, Tahun 2017

(terideks Scopus), Link Artikel:
http://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012045
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan
menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis
(Yulius Wahyu Putranto).

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR
Sungguh sebuah mimpi yang menjadi kenyataan bagi penulis ketika tesis
yang berjudul Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi PemangsaMangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian telah selesai dengan baik
dan tepat waktu. Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha
Kuasa, karena telah mengabulkan doa penulis selama menyusun tesis ini dan
senantiasa mendampingi dalam setiap tulisan yang dibuat oleh penulis.
Menjadi bagian dari keluarga Magister Pendidikan Matematika Sanata
dharma memang tidak terbayangkan oleh penulis mengingat sulitnya kerja keras
ketika menulis skripsi pada jenjang S1. Rencana Tuhan memang luar biasa karena
penulis diberi kesempatan untuk mengikuti kembali dunia kampus yang telah

ditinggalkan biarpun belum lama. Penulis berterima kasih kepada Suster Vianney,
S.SpS karena telah mendorong penulis untuk menempuh kembali kuliah S2
Pendidikan Matematika demi bekal di masa depan. Semangat itulah yang penulis
pegang selama mengikuti perkuliahan di S2 Pendidikan Matematika ini. Tentunya
keberhasilan menulis Tesis ini tidak luput dari para dosen dan teman-teman yang
penulis temui ketika menjadi bagian kembali di Kampus Sanata Dharma ini. Pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,
sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi
Magister Pendidikan Matematika. Terima kasih sudah menjadi motivator

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

dan memfasilitasi mahasiswa dalam berkonsultasi baik tentang perkuliahan
maupun tentang dunia luar perkuliahan sejak pertama kali masuk kuliah.
3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing

pada awal penulisan tesis ini. Terima kasih sudah membimbing kami untuk
memulai masuk ke dalam dunia sistem dinamika.
4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan tesis dengan baik dan tepat waktu dan segenap staf
Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus
selama penulis melaksanakan studi di sini.
5. Teman seperjuangan tesis yaitu Meta, Mas Beni dan Mas Tatak yang telah
mau saling memberi semangat dan meluangkan waktu untuk bersama-sama
untuk menyelesaikan tesis serta teman-teman dari Program Studi Magister
Pendidikan Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan
kepada penulis selama studi di S2 pendidikan matematika.
6. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis
meyakini bahwa penulisan tesis ini memiliki kontribusi yang cukup bagi kampus
dan para pembaca yang ingin mengembangkan tesis ini. Terima kasih.
Penulis,
Yulius Wahyu Putranto

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI
Halaman Judul ...................................................................................................

i

Halaman Persetujuan Pembimbing ....................................................................

ii

Halaman Pengesahan ......................................................................................... iii
Halaman Motto .................................................................................................. iv
Halaman Persembahan.......................................................................................

v

Pernyataan Keaslian Karya ................................................................................ vi

Abstrak ............................................................................................................... vii
Abstract .............................................................................................................. viii
Pernyataan Persetujuan Publikasi Karya Ilmiah ................................................ ix
Daftar Publikasi Karya Ilmiah ...........................................................................

x

Kata Pengantar ................................................................................................... xi
Daftar Isi ............................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN..................................................................................

1

A. Latar Belakang .......................................................................................

1

B. Tinjauan Pustaka ....................................................................................

2

C. Perumusan Masalah ...............................................................................

4

D. Batasan Masalah ....................................................................................

4

E. Tujuan Penelitian ...................................................................................

5

F. Kebaruan Penelitian ...............................................................................

5

G. Manfaat Penelitian .................................................................................

6

H. Sistematika Penulisan ............................................................................

6

I. Metode Penelitian ..................................................................................

9

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................ 10
A. Pemodelan Matematika.......................................................................... 10
B. Model Pertumbuhan Populasi ................................................................ 11
C. Aspek Pemanenan .................................................................................. 15
D. Aspek Kompetisi.................................................................................... 16
E. Sistem Persamaan Diferensial................................................................ 17
F. Metode Dekomposisi Adomian ............................................................. 34
xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

G. Kerangka Berpikir.................................................................................. 38
BAB III ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA ............. 39
A. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada mangsa ..... 40
B. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada pemangsa . 47
C. Model dengan Aspek Pemanenan pada mangsa dan pemangsa ............ 54
BAB IV SOLUSI SISTEM DINAMIKA DENGAN METODE DEKOMPOSISI
ADOMIAN ........................................................................................................ 62
A. Mutualisme ............................................................................................ 63
B. Parasitisme ............................................................................................. 67
C. Kompetisi ............................................................................................... 70
BAB V ASPEK KEPENDIDIKAN................................................................... 75
A. Pembelajaran di Sekolah Menengah ...................................................... 75
B. Pembelajaran di S1 ................................................................................ 79
C. Refleksi .................................................................................................. 80
BAB VI PENUTUP ........................................................................................... 86
A. Kesimpulan ............................................................................................ 86
B. Saran ...................................................................................................... 87
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 88

xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Model dinamika populasi sudah banyak dikembangkan dalam bidang
matematika biologi. Banyaknya individu akan selalu bertambah atau pun berkurang
setiap waktu tergantung pada laju pertumbuhan individu tersebut, sehingga dari
data jumlah individu pada suatu populasi tiap waktu dapat ditentukan pola atau
model matematika. Pada awal diperkenalkan, model pertumbuhan populasi berupa
model eksponensial. Model eksponensial memperlihatkan bahwa populasi suatu
individu bertumbuh menurut grafik fungsi eksponen. Seiring berjalannya waktu,
model pertumbuhan populasi diperbaiki dengan memperhatikan beberapa faktor
seperti tempat tinggal, ketersediaan makanan, ancaman bahaya, dan lain
sebagainya. Model baru yang diberikan dapat dikembangkan lebih realistis sesuai
kondisi suatu populasi berasal. Suatu populasi pastinya berinteraksi dengan
populasi yang lain sehingga menimbulkan suatu sistem dinamika.
Hubungan antara populasi memiliki berbagai macam sifat dan perilaku
antara lain pemangsa-mangsa, kompetisi, mutualisme, parasitisme, dan lain-lain.
Salah satu hubungan antara dua populasi yang akan dibahas adalah hubungan
pemangsa-mangsa. Hubungan tersebut dapat dibuat model dalam matematika yang
biasa disebut model pemangsa-mangsa. Model pemangsa-mangsa merupakan
sistem dinamika antara dua populasi dengan satu populasi memangsa populasi yang
lain. Dalam tesis ini, diteliti bahwa pada pihak yang dimangsa maupun pemangsa

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

terdapat aspek pemanenan. Solusi dari sistem secara umum akan dicari
menggunakan metode dekomposisi Adomian.

B. Tinjauan Pustaka
Sistem dinamika sudah banyak dibahas dalam berbagai buku dan jurnal
yang telah diterbitkan. Pada tesis ini beberapa artikel dan jurnal yang dijadikan
acuan adalah sebagai berikut:
1. Penelitian yang dilakukan oleh Rao (2011). A study on series solution of two
species lotka volterra equations by adomian decomposition and homotopy
pertubation methods. Pada penelitian tersebut Rao membandingkan dua metode
untuk menyelesaikan persamaan Lotka Voltera dua spesies.
2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhou (2003) dengan judul The stability of
predator-prey systems subject to the Allee effects. Pada penelitian tersebut
diberikan model interaksi pemangsa-mangsa dengan dikenai efek Allee pada
pemangsa maupun mangsa. Allee effects adalah suatu batas bawah dari populasi
dengan batas tersebut membuat populasi tidak akan punah. Analisis grafik serta
titik ekuilibrium dilakukan untuk mengetahui efek yang ditimbulkan jika
dibandingkan dengan model yang aslinya.
Dari beberapa tinjauan pustaka di atas menunjukan bahwa model yang
semakin mendekati realita di dunia nyata maka modelnya semakin rumit, tetapi
tetap ada beberapa asumsi-asumsi untuk membatasi sebuah model. Model yang
terlalu kompleks akan sulit untuk dicari penyelesaiannya. Perbedaan penelitian
pada tesis ini terletak pada model dasar yang digunakan. Peneliti menggunakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

model pertumbuhan logistik pada interaksi pemangsa-mangsa. Pada sistem ini
peneliti menambahkan aspek pemanenan baik pada mangsa maupun pemangsa.
Solusi secara umum model sistem dinamika akan dicari menggunakan pendekatan
Metode Dekomposisi Adomian.
Berdasarkan tinjauan pustaka, letak penelitian ini dapat digambarkan
dengan diagram berikut berikut:
Zhou (2003). The stability of
predator-prey systems
subject to the Alle effects

Rao (2011). A study on Series Solution of
two Species Lotka Volterra Equations by
Adomian Decomposition and Homotopy
Pertubation Methods.

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI
MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA
MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI
ADOMIAN

Putranto dan Mungkasi (2017). Adomian
decomposition method for solving the population
dynamics model of two species.
Keterangan diagram:
: Hal yang dibahas pada penelitian ini.
: Hubungan antara penelitian yang sudah dilakukan.
: Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.
Diagram 1.1. Letak penulisan tesis ditinjau dari beberapa penelitian yang telah
dilakukan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan maka rumusan
masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi
pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa?
2. Bagaimana analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem
dinamika interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan
mangsa?
3. Bagaimana solusi secara umum sistem dinamika dengan metode dekomposisi
Adomian?

D. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, masalah yang dibahas adalah sistem dinamika populasi
dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa. Kedua populasi berinteraksi di
dalam ekosistem yang tertutup, artinya tidak ada laju pertumbuhan populasi yang
diakibatkan oleh faktor migrasi. Aspek lain seperti bencana alam, pemangsa lain
dan penyakit tidak diperhitungkan. Peneliti hanya memberi aspek pemanenan pada
interaksi dua populasi pemangsa-mangsa. Metode yang digunakan untuk mencari
solusi secara umum adalah metode dekomposisi Adomian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5

E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah:
1. Untuk modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi pemangsamangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
2. Untuk analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem dinamika
interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
3. Untuk mengetahui solusi secara umum sistem dinamika dengan metode
dekomposisi Adomian.

F. Kebaruan Penelitian
Dalam penelitian ini dilakukan modifikasi model dengan aspek pemanenan
yang terjadi pada dua populasi yang berinteraksi. Salah satu model diberi aspek
pemanenan terjadi pada pihak mangsa saja dan model yang lain hanya terjadi pada
pihak pemangsa saja. Kombinasi dari kedua model tersebut menghasilkan model
ketiga sehingga terdapat aspek pemanenan pada pemangsa maupun mangsa. Solusi
umum dari sistem dinamika juga dicari dengan pendekatan menggunakan metode
dekomposisi adomian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6

G. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Menambah pengetahuan dalam analisis kestabilan model sistem dinamika
populasi pemangsa-mangsa dengan pemanenan pada pemangsa dan mangsa.
2. Mengetahui yang terjadi pada kedua populasi jika berinteraksi dalam jangka
panjang.
3. mengetahui salah satu metode untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan
diferensial
4. Memberikan informasi bagi peneliti selanjutnya untuk menganalisis kasus yang
lebih kompleks.
5. Memberi pengetahuan kepada guru dan siswa Sekolah Menengah Atas tentang
kegunaan persamaan diferensial.

H. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan akan dibagi menjadi lima bagian, yaitu:
BAB I: Pendahuluan
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka,
perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan
sistematika penulisan. Permasalahan pada bab ini diawali dari sebuah masalah pada
bidang biologi tentang pertumbuhan populasi. Suatu populasi yang bertumbuh
dapat dibuat model matematika sehingga dapat dianalisis perilaku jangka populasi
tersebut dalam jangka panjang. Model populasi dapat dikembangkan ketika suatu
populasi saling berinteraksi satu sama lain sedemikian hingga membentuk sebuah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7

sistem yang mengakibatkan setiap populasi akan mempengaruhi populasi yang lain.
Solusi dari sebuah sistem tersebut sulit untuk didapatkan secara eksak tetapi dapat
dilakuan dengan metode pendekatan salah satunya Metode Dekomposisi Adomian.
BAB II: Landasan Teori
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian
antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan
diferensial nonlinear, model pertumbuhan logistik, model pertumbuhan logistik
populasi dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa, dan analisis titik
ekuilibrium.
BAB III: Analisis Kestabilan Sistem Dinamika
Bab ini membahas tentang analisis kestabilan tiap titik ekuilibrium dari
model sistem dinamika pemangsa-mangsa yang telah dimodifikasi. Model
dimodifikasi dengan menambahkan aspek pemanenan baik pada pemangsa
saja,atau mangsa saja maupun keduanya. Hal ini mengacu pada rumusan masalah
pada Bab I di mana peneliti membuat modifikasi model dengan aspek pemanenan
dan analisis kestabilan titik ekuilibriumnya.
BAB IV: Solusi Model dengan Metode Dekomposisi Adomian
Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai solusi dari
model pertumbuhan logistik populasi dua spesies secara umum. Nilai parameter
yang diberikan ada tiga jenis sehinga mengakibatkan tiga macam interaksi yaitu
interaksi mutualisme, parasitisme dan kompetisi. Masing-masing model dicari
solusinya dengan mengitung menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Software Maple dan Matlab digunakan untuk menghitung solusi dari sistem

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8

persamaan diferensial dan menggambar grafik dari perilaku model populasi yang
dapat dianalisis perilaku jangka panjang.
BAB V : Aspek Kependidikan
Pada bab ini akan dibahas tentang berbagai aspek kependidikan yang terkait
dengan materi tesis. Aspek kependidikan yang dibahas adalah kependidikan adalah
aplikasi tentang sistem dinamika pada pada jenjang Sekolah Menengah dan tingkat
S1. Pada jenang sekolah menengah dibuat dengan membuat soal cerita dengan
sistem dinamika, sedangkan untuk jenjang S1 sudah ada mata kuliah tentang
pemodelan matematika yang membahas masalah sistem dinamika populasi secara
lebih detail. Selain itu terdapat refleksi dari peneliti tentang penulisan tesis
matematika murni.
BAB VI: Penutup
Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah
diuraikan pada bab sebelumnya. Kesimpulan meliputi modifikasi model, analisis
kestabilan titik ekuilibrium dan solusi dengan Metode Dekomposisi Adomian serta
beberapa saran yang berkaitan dengan hal yang dibahas pada tesis ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9

I. Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian pustaka (Studi Literatur) dengan pendekatan
secara mendalam mengenai analisis titik ekuilibrium. Metode Dekomposisi
Adomian digunakan untuk mencari solusi dari hal yang dibahas dengan pendekatan
secara analitik. Selain perhitungan manual tersebut, simulasi komputer
menggunakan program Maple dan Matlab juga dilakukan untuk membantu
pertihungan dan menggambar grafik. Tercapainya tujuan dari penelitian ini
dilakukan dengan beberapa langkah kerja. Langkah pertama adalah melakukan
kajian terhadap buku-buku, jurnal, artikel, atau makalah yang terkait dengan topik
penelitian. Langkah kedua adalah menganalisa titik ekuilibrium model matematika
yang diperoleh yaitu model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa
dengan aspek pemanenan dan menggambarkan perilaku dari modifikasi model
yang telah didapat menggunakan program Matlab. Langkah ketiga adalah
mencari solusi model secara umum dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Langkah terakhir adalah memberi penjelasan mengenai arti dari grafik yang
diperoleh baik pada analisis titik ekuilibrium maupun pada solusi dengan Metode
Dekomposisi Adomian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan suatu proses matematisasi dari dunia
nyata menuju dunia matematika, artinya permasalahan yang ada pada dunia nyata
diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Pertumbuhan populasi merupakan
salah satu dari berbagai permasalahan di dunia nyata yang dapat dibawa ke dalam
dunia matematika menggunakan teori-teori yang sesuai. Pada perkembangannya,
model yang sudah dibentuk dapat dikembangkan lagi dengan menambah aspekaspek yang lain yang sekiranya mempengaruhi. Menurut Lovitt (1991) pemodelan
matematika ditandai oleh dua ciri utama, yaitu:
1.

Pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata

2.

Pemodelan membentuk suatu siklus

Pada prosesnya pemodelan memiliki beberapa tahap yang saling berhubungan satu
dengan yang lainnya. Proses pemodelan dapat digambarkan seperti sebuah siklus
yang terus mengalami perbaikan. Berikut ini merupakan gambar dari siklus
pemodelan matematika:
Perumusan
Perbaikan
Model
matematika

Dunia nyata

Interpretasi
Gambar 2.1. Pemodelan matematika menurut Lovitt

10

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11

B. Model Pertumbuhan Populasi
Model pertumbuhan populasi pertama kali diperkenalkan oleh Malthus
dengan model pertumbuhan eksponensial. Model ini memperlihatkan bahwa
pertumbuhan individu pada populasi mengikuti grafik eksponensial, sehingga
model awal dari pertumbuhan eksponensial yang diperlihatkan dalam Murray
(2001:2) adalah:
=
dengan konstanta

,

> 0 merupakan laju pertumbuhan populasi

dan

(0) =

.

Dengan demikian menurut Murray (2001:2), laju pertumbuhan eksponen dapat
dicari solusinya. Shonkwiler (2009:15) mengemukakan hal yang sama sehingga
nilai

setiap waktu dapat dicari dengan fungsi sebagai berikut:
=

,

=

,

=
ln

=

,
+ ,

( )=

,

( )=
substitusikan

(0) =

, sehingga

.
diperoleh persamaan:

(0) =

,

= ,
( )=

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12

dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,
: waktu.
Model Malthus masih memiliki banyak kekurangan. Pada tahun 1838
Verhulst mengemukakan sebuah model pertumbuhan populasi baru yang
merupakan perbaikan dari model Malthus. Model tersebut biasa disebut model
logistik. Model ini memperhatikan berbagai aspek-aspek yang tidak ada pada model
sebelumnya seperti daya dukung alam. Daya dukung alam merupakan kemampuan
alam sekitar dalam mendukung kelangsungan hidup suatu populasi baik dari segi
makanan, lahan untuk tinggal dan sebagainya. Model logistik dirumuskan sebagai
berikut seperti dalam Murray (2001:3):
=

1

.

Model pertumbuhan logistik tersebut bertumbuh dengan laju dan memiliki
daya dukung alam

. Konstanta

dan

merupakan konstanta positif dari model

tersebut. Model ini memiliki solusi yang berasal dari model yang diberikan. Model
logistik yang diberikan dilakukan pengintegralan untuk mendapatkan solusi.
Murray (2001:3) menuliskan solusi dari model logistik sebagai berikut:
=

1

1

,
=

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13

Kedua ruas diintegralkan sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut:
=

1

+ .

Dengan menggunakan teknik pengintegralan fungsi rasional, maka dapat dicari
hasil integral pada ruas kiri sebagai berikut:

=

1

+

1

=

1

+

(0 + 1 )

+

,

1
+

=

1

,

1

=

1

,

1

1
= 0,

= 1, atau

= .

Hasil integral tersebut membentuk persamaan menjadi:

+
1

1

=

1
1/

+

+

1

(

ln| | + ln|

1

)
|=

+ ,

=

+ ,

=

+ ,

+ ,

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14

ln

=

−
=

−

Misalkan

=

,

.

maka persamaan di atas akan menjadi:
=

Populasi awal untuk
variabel

+

−1

(0) =

.

, sehingga dengan mensubstitusi ke

maka didapat:
(0) =

=

=

−1

−1

,

,

.

−

Dengan demikian solusi dari model pertumbuhan logistik adalah sebagai
berikut:
( )=

−1
−

( )=

−
( )=

( )=

[

,

+

,
−1

,

−

+

(

− 1)]

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,
: daya dukung alam terhadap populasi,
: waktu.
Secara umum model pertumbuhan populasi tunggal dalam Murray (2001:5)
memiliki model sebagai berikut:
( ),

=

dengan ( ) merupakan fungsi nonlinear dari

kemudian solusi ekuilibrium

∗

merupakan solusi dari ( ) = 0 dan secara umum stabil untuk gangguan kecil
jika ’ (

∗

) < 0 dan tidak stabil jika ’ (

∗

) > 0.

C. Aspek Pemanenan
Model pertumbuhan dengan aspek pemanenan diperkenalkan pertama kali
oleh Rotenberg tahun 1987 dalam Murray (2001:31). Pada model ini, aspek
pemanenan ditambahkan pada model pertumbuhan logistik. Model yang baru
dalam Murray (2001:31) adalah:
=

dengan
: jumlah populasi,
: laju pertumbuhan populasi,

1−

−

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

: daya dukung alam terhadap populasi,
: laju pemanenan.
Konstanta ,

dan

adalah konstanta positif dan

pemanenan tiap satu waktu dengan

merupakan banyaknya

adalah besaran dari pemanenan.

D. Aspek Kompetisi
Kompetisi pada individu merupakan hal yang biasa terjadi. Setiap populasi
yang hidup bersama tentunya akan saling berkompetisi satu sama lain karena yang
diinginkan adalah hal yang sama. Murray (2001:94) menuliskan model dengan
aspek kompetisi dari masing-masing individu. Model berikut berdasarkan model
kompetisi dua spesies Lotka-Volterra dengan spesies

dan

yang bertumbuh

secara logistik dan berinteraksi satu sama lain. Model tersebut adalah:
=

1−

−

,

=

1−

−

,

dengan
: jumlah populasi pertama,
: jumlah populasi kedua,
: laju pertumbuhan populasi,
: daya dukung alam terhadap populasi,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

: laju pertumbuhan populasi pertama ketika berkompetisi dengan populasi
kedua,
: laju pertumbuhan populasi kedua ketika berkompetisi dengan populasi
pertama.

E. Sistem Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan nilai
fungsi tersebut dengan turunannya. Bentuk dari persamaan diferensial biasanya
berupa laju perubahan. Dalam penelitian ini laju perubahan atau pertumbuhan
sebuah populasi digambarkan dalam bentuk persamaan diferensial. Setiap populasi
yang ada akan berkumpul dan hidup membentuk ekosistem. Interaksi antar populasi
ini yang akan menjadi interpretasi dari sebuah sistem persamaan diferensial.
Salah satu interaksi antar populasi yang ada adalah hubungan predasi. Dua
populasi yang hidup akan hidup bersama tetapi salah satu populasi akan menjadi
makanan bagi populasi yang lain. Hubungan ini biasa disebut interaksi dua spesies
pemangsa-mangsa. Pada awalnya populasi pertama bertumbuh secara eksponen
dan populasi kedua pun demikian. Kedua populasi berinteraksi, hal ini
mengakibatkan populasi kedua bertambah banyak karena populasi pertama
diasumsikan merupakan satu-satunya makanan dari populasi kedua dan populasi
pertama akan semakin berkurang karena dimakan oleh populasi kedua. Beberapa
model interaksi berikut menunjukan dua populasi pemangsa-mangsa dengan cara
bertumbuh secara eksponensial dan secara logistik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

1.

Model dasar interaksi pemangsa-mangsa
Model dasar yang diperkenalkan adalah model yang pertumbuhan
populasi secara eksponensial. Kedua populasi bertumbuh secara eksponen
dan saling berinteraksi satu sama lain. Populasi
berkurang ketika berinteraksi dengan P dikarenakan
dari . Populasi

yang bertumbuh akan
merupakan makanan

akan semakin bertambah ketika berinteraksi dengan

dikarenakan tersedianya makanan. Dengan demikian, model interaksi dua
populasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

dengan , , ,

=

−

,

= −

+

,

> 0 dan

: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa.

a. Titik ekuilibrium
Menurut Waltman (1983:12) syarat untuk mencapai titik
ekuilibrium dapat terjadi ketika sistem persamaan disubtitusikan titik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

ekulibrium maka fungsi tersebut akan bernilai 0 (nol) sedemikian
hingga mengakibatkan

=

= 0. Selanjutnya akan diperoleh dua

persamaan nonlinear sebagai berikut:
−
−

= 0,

+

= 0.

Dari sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik
ekuilibrium yaitu

,

(0,0) dan

.

b. Linearisasi
Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear
menjadi sistem linear. Menurut Perko (2001:102) Linearisasi bertujuan
untuk memperoleh aproksimasi sederhana dengan menggunakan deret
Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium.

=

=

−

−
− +

Dengan mensubstitusikan titik

dan

.

pada matriks Jacobi

tersebut maka diperoleh:

=

0

0
−

0

dan

=

0

.

Matriks jacobi yang diperoleh dari hasil subtitusi masing-masing
titik ekuilibrium akan digunakan untuk mencari nilai eigen. Nilai eigen

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan jenis titik
ekuilibrium tersebut dan jenis kestabilan.

c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis
kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai
eigen dari masing-masing matriks jacobi. Nilai eigen dapat dicari ketika
memenuhi persamaan det( −

) = 0, dimana

merupakan nilai

eigen dari matriks Jacobi. Adapun kriteria kestabilan menurut Boyce
dan DiPrima (2012 : 504) adalah sebagai berikut:
Tabel 2.1. Kriteria jenis titik kritis dan kestabilan
No
1
2
3

Nilai Eigen
>
> 0
<
< 0
< 0<

4

=

> 0

5

=

< 0

6
,

7
8

=

=
= −

±
,

Jenis titik kritis
Simpul
Simpul
Titik Sadel

Kestabilan
Tidak stabil
Stabil Asimtotik
Tidak stabil

Simpul sejati
atau tidak sejati
Simpul sejati
atau tidak sejati
Titik Spiral
> 0
< 0
Pusat

Tidak stabil
Stabil asimtotik

Tidak stabil
Stabil asimtotik
Stabil

Dengan demikian kestabilan dari interaksi dari populasi
tersebut dapat dicari dengan mensubstitusi titik ekuilibrium ke dalam
matriks Jacobi berdasarkan uraian di atas. Berikut merupakan nilai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

eigen yang telah dicari setelah mensubtitusi masing-masing titik
ekuilibrium pada matriks jacobi:
1) Titik ekuilibrium

(0,0) dengan matriks

=

0
.
−

0

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
=
= −
< 0<

Dikarenakan

maka titik tersebut merupakan

titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada

bersifat tidak stabil.
0

2) Titik ekuilibrium

Diperoleh

,

dengan matriks

nilai

eigen

( )

=

0

sebagai

.

berikut:

= − √
= √

Dikarenakan

=

,

= −

maka

titik

merupakan titik pusat sehingga titik ekuilibrium pada

tersebut
bersifat

stabil.
Jenis-jenis titik ekuilibrium dapat terjadi dalam berbagai
kasus yang melibatkan sistem persamaan diferensial. Berikut
merupakan penjelasan dari masing-masing titik ekuilibrium yang
dicari menggunakan contoh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

1)

Titik simpul.
Titik simpul akan terjadi ketika nilai eigen

dan

seluruhnya bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem
persamaan diferensial linear sebagai berikut:
⁄
⁄

=

−2
1

1
−2

Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det

−2
1

1
−
−2

1
0

0
1

= 0, sehingga dengan menggunakan

Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

Gambar 2.2. Grafik jenis titik simpul

Pada Gambar 2.2 tersebut digambarkan bentuk dari titik
simpul. Jika diambil nilai dari arah mana pun akan menuju titik
tersebut dengan sedikit membelok sehingga akan terlihat seperti
sebuah simpul.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23

2)

Titik simpul sejati.
Titik simpul sejati atau tidak sejati akan terjadi ketika nilai

eigen

dan

bernilai sama baik seluruhnya berupa bilangan

positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial
linear sebagai berikut:
⁄
⁄

=

4
0

0
4

Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det

4
0

0
−
4

1
0

0
1

= 0, sehingga dengan menggunakan

Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

Gambar 2.3. Grafik jenis titik simpul sejati

Titik simpul sejati tersebut akan membuat berapapun nilai
yang diambil maka akan menuju titik tersebut tanpa ada yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

membelok sehingga terlihat seperti garis lurus yang langsung
menuju ke suatu titik.
3)

Titik sadel.
Titik sadel akan terjadi ketika nilai eigen

dan

salah satu

bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut:
⁄
⁄

=

−2
6

4
−2

Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det

−2
6

4
−
−2

1
0

0
1

= 0, sehingga dengan menggunakan

Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

.
Gambar 2.4. Grafik jenis titik sadel

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

Pada titik sadel tersebut garis-garis yang berasal dari
berbagai titik akan dibelokan menjauhi titik tersebut. Pada awalnya
garis tersebut akan mendekati titik sadel tersebut, tetapi setelah
mendekati akan dibelokkan menjauhi titik tersebut.
4)

Spiral.
Titik spiral akan terjadi ketika nilai bagian real dari eigen
dan

yang merupakan bilangan kompleks seluruhnya bernilai

positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial
linear sebagai berikut:
⁄
⁄

=

−2
2

3
−2

Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det

−2
2

3
−
−2

1
0

0
1

= 0, sehingga dengan menggunakan

program Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai
berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

Gambar 2.5. Grafik jenis titik spiral

Nilai yang diambil dari berbagai arah akan menuju ke suatu
titik seolah-olah akan mengelilingi titik tersebut.
5)

Titik Pusat.
Titik pusat akan terjadi ketika nilai bagian imajiner dari

eigen

dan

yang merupakan bilangan kompleks salah satu

bernilai positif atau negatif.. Diberikan contoh sistem persamaan
diferensial linear sebagai berikut:
⁄
⁄

=

0
8

−8
0

Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan
det

0
8

−8
−
0

1
0

0
1

= 0, sehingga dengan menggunakan

Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

Gambar 2.6. Grafik jenis titik pusat

Grafik pada titik pusat membuat nilai yang diambil dari
berbagai arah hanya mengelilingi titik tersebut tanpa adanya upaya
untuk mendekati maupun menjauhi.

d. Grafik interaksi pemangsa-mangsa
Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa diberikan nilai untuk
tiap parameter yang ada yaitu

= 0.4,

= 0.3,

= 0.01, dan

=

0.005. Gambar yang dihasilkan dengan bantuan Matlab adalah

sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

Gambar 2.2. Grafik interaksi pemangsa-mangsa

Pada Gambar 2.2 tersebut jumlah pemangsa dan mangsa akan
saling bertambah dan berkurang secara terus menerus. Pemangsa akan
bertambah seiring dengan berkurangnya mangsa. Sedangkan dari sisi
mangsa, populasi akan bertambah ketika jumlah pemangsa mulai
berkurang.

2.

Model Logistik interaksi Pemangsa-Mangsa
Model yang bertumbuh secara eksponensial dinilai kurang realistis
dikarenakan tidak ada sesuatu yang membatasi model eksponensial
sehingga populasi akan bertumbuh menuju tak hingga. Populasi yang hidup
di suatu tempat pastinya memiliki daya dukung alam yang mampu
menghidupi makhluk hidup di daerah tersebut. Model interaksi populasi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

pertama ( ) dan populasi kedua ( ) dibentuk ulang menjadi bertumbuh
secara logistik dengan memperhatikan aspek daya dukung alam, sehingga
tidak akan mungkin populasi tumbuh terus menerus sampai tak hingga.
Dengan demikian model yang baru yang dibentuk menjadi:

=

= −

dengan , , , , ,

1−

1−

−

,

+

,

> 0 dan

: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa.

a. Titik Ekuilibrium
Syarat untuk mencapai titik ekuilibrium dapat terjadi ketika
kedua sistem persamaan bernilai 0 (nol) yaitu

=

= 0. Sehingga

akan diperoleh sistem persamaan nonlinear dua variabel sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

1−

−

−

1−

= 0,

+

= 0,

Berdasarkan sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik
( ,0),

(0,0) ,

ekuilibrium

(0, ) dan

(

,

)

.

b. Konstruksi Matriks Jacobi
Perko (2001:63) menuliskan cara untuk mengkonstruksi
matriks Jacobi. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut dalam
linearisasi dari sistem persamaan nonlinear:

=

=

−2

/

−

Dengan mensubstitusikan titik

)

−
− +2 /

,

,

,

=

dan

.

+

pada matriks

Jacobi tersebut maka diperoleh:
=

0

0
−

=

,

=

−2
0
( −
)
−
(
− )
−

−
− +
−

(
(

−

0

dan

− )
−
− )
−

.

c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium
Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis
kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31

eigen. Boyce dan DiPrima (2012:504) menuliskan syarat untuk menjaci
) = 0,

nilai eigen adalah dengan memenuhi persamaan det( −

dimana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel
2.1, maka kriteria kestabilan Model Logistik pemangsa-mangsa adalah:
1) Titik ekuilibrium

(0,0) dengan matriks

=

0

0
.
−

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
=
= −

Dikarenakan

< 0<

maka titik tersebut merupakan titik sadel

sehingga titik ekuilibrium pada
2) Titik ekuilibrium

bersifat tidak stabil.

( ,0) dengan matriks
=

−2
0

−
− +

.

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:
= − (negatif)
= − +

a) jika

=−

+

bernilai positif,

<

maka titik tersebut

berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium
b) jika

=− +

bernilai negatif,

>

bersifat tak stabil.
maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium
3) Titik ekuilibrium

(0, ) dengan matriks

Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

=

bersifat stabil.
−

0

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32

=

−

=
=

a) jika

−

(positif)
>

bernilai positif,

maka titik tersebut

berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium
=

b) jika

−

<

bernilai negatif,

maka titik tersebut

berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium

( −
)
−
(
− )
−

=

(

,

4) Titik ekuilibrium

)

(

−

bersifat tak stabil.

dengan matriks

− )
−
− )
−

(

bersifat stabil.

.

Andaikan nilai dari masing-masing elemen dimisalkan menjadi
, , dan , maka matriks Jacobi akan menjadi sebagai berikut:
( −
)
=
−
(
− )
=
−

=

=

(

−
(

− )
−
− )
=
−

=
,

.

Diperoleh nilai eigen ( ) dengan kemungkinan sebagai berikut:
,

=

( +

Di sini , , dan

) ±

( −
2

) +4

.

merupakan bilangan hasil pencarian nilai eigen

yang berasal dari elemen matriks

.

Nilai

, ,

dan

menentukan jenis dan kestabilan dari titik ekuilibrium
adalah kemungkinan secara umum dari nilai , , dan :

sangat
.

Berikut

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33

a) Jika

+

dan ( −

) +4

bernilai positif, maka titik

tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium

bersifat

tak stabil.
b) Jika
+

|

+

bernilai negatif, ( −

| ( −

) +4

bersifat tak stabil.
) +4

) +4

maka titik
e) Jika ( −
maka titik

bernilai positif, dan

maka titik tersebut berupa titik

simpul sehingga titik ekuilibrium
d) Jika ( −

bernilai positif, dan

maka titik tersebut berupa titik sadel

c) Jika A bernilai negatif, ( −
|

) +4

bersifat stabil asimtotik.

bernilai negatif dan

+

bernilai positif

tersebut berupa titik spiral dengan sifat tak stabil.
) +4

bernilai negatif dan

+

bernilai negatif

tersebut berupa titik spiral dengan sifat stabil

asimtotik.

d. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang bertumbuh secara
Logistik
Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa logistik diberikan
nilai untuk tiap parameter yang ada yaitu
0.01,

= 0.005,

= 1000 dan

= 0.4,

= 0.3,

=

= 200. Gambar yang dihasilkan

dengan bantuan Matlab adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34

Gambar 2.3. Grafik interaksi pemangsa-mangsa yang bertumbuh secara
logistik

Pada Gambar 2.3. terlihat bahwa ketika pemangsa dan mangsa
berinteraksi terus menerus dalam jangka waktu panjang maka perilaku
kedua populasi akan berada disekitar suatu titik kesetimbangan.

F. Metode Dekomposisi Adomian
Salah satu cara untuk mencari solusi dari sebuah sistem persamaan
nonlinear adalah menggunakan metode dekomposisi Adomian. Metode ini banyak
menarik perhatian di dunia matematika terapan beberapa tahun ini. Banyak peneliti
yang menggunakan metode dekomposisi Adomian baik untuk menyelesaikan suatu
sistem ataupun membandingkan dengan metode lain. Metode dekomposisi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35

Adomian memang bukan yang paling sempurna tetapi metode ini cukup mudah dan
efektif ketika digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial.
Metode dekomposisi Adomian dapat digunakan untuk menyelesaikan
sebuah persamaan diferensial maupun suatu sistem persamaan diferensial. Berikut
ini merupakan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada sebuah
sistem persamaan nonlinear. Persamaan diambil dari Batiha dkk (2016:903):
=
=

Dengan mengubah

=

+
+

+

,

+

(2.1)

.

sesuai dengan Wazwaz (2009:22), maka bentuk dari

sistem (2.1) menjadi:

=
=

+
+

= ∫ (. )

dan mengoperasikan

+
+

,
,

(2.2)

pada kedua ruas dari sistem nonlinear tersebut

sedemikian hingga sistem dari persamaan nonlinear menjadi:
=
=

+
+

+
+

,
.

Metode dekomposisi Adomian mengubah dekomposisi dan
jumlahan yang tak terbatas sehingga komponen

dan

(3.2)

menjadi komponen

dapat diubah menjadi:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36

( )=

( )=

,

,

(4.2)

,

dan untuk komponen yang nonlinear seperti
=

,

=

dan y akan diubah menjadi

,

=

.

(5.2)

Jumlahan dari komponen nonlinear dapat dilihat sebagai berikut:
=

,

=

,

=

,

(6.2)

sehingga dapat ditentukan polinomial Adomian untuk

,

dan

:

=
=

+

=

+

+

=

+

+

(7.2)
+

...
=
=

+

=

+

+

=

+

+

(8.2)

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37

...
=
=

+

=

+

+

=

+

+

(9.2)
+

...
Sistem persamaan diferensial nonlinear dari (3.2) dapat ditulis dengan
mensubstitusikan (4.2), (5.2) dan (6.2) seperti pada Rao (2011), sehingga
persamaan tersebut akan menjadi:
( ) − (0) =

−

+

( ) − (0) =

−

+

(10.2)

=

(0) +

−

+

=

(0) +

−

+

Nilai awal (0) =

, (0) =

(11.2)

, sehingga solusi dari sistem dapat dicari.

Iterasi yang dilakukan yaitu mensubstitusikan (7.2), (7.3) dan (7.4) pada (11.2)
sedemikian hingga iterasi dapat ditentukan sebagai berikut:
(0) =

=

(12.2)
=

+

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38

(0) =

=

(13.2)
=

+

+

Secara umum solusi dari sistem adalah jumlahan dari seluruh iterasi yang
didapat sampai tak hingga, tetapi peneliti dapat menentukan banyaknya iterasi
sesuai kebutuhan. Contoh ketika solusi dicari dengan jumlahan sampai iterasi
ketujuh adalah sebagai berikut:

=

+

+

+

+

+

+

+

,

(14.2)

=

+

+

+

+

+

+

+

.

(15.2)

G. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan
matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear, model
pertumbuhan populasi, model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsamangsa, titik ekuilibrium, linearisasi dan analisis kestabilan titik ekuilibrium.
Berdasarkan apa yang telah dipelajari, akan dilakukan analisa kestabilan dari model
pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa dan disusun program untuk
menunjukkan grafik dari pemodelan yang diperoleh serta menganalisis perilaku
kedua populasi dalam jangka panjang. Solusi secara umum dari persamaan
diferensial tersebut akan dicari menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III
ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA
Model pertumbuhan logistik dinilai lebih realistis dari pada model
eksponensial yang merupakan model terdahulu dikarenakan model pertumbuhan
logistik mempertimbangkan aspek daya dukung alam. Pada interaksi spesies
pertama ( ) dan spesies kedua ( ) di suatu ekosistem akan diterapkan beberapa
kondisi tambahan seperti pemanenan pada salah satu spesies maupun keduanya.
Sebelum membuat model-model matematika, ada beberapa asumsi yang perlu
diperhatikan dalam pengembangan model ini.
Beberapa asumsi yang diberikan oleh peneliti adalah sebagai berikut:
1.

Interaksi dua spesies berada pada sistem yang tertutup.

2.

Spesies pertama merupakan satu-satunya makanan dari spesies kedua.

3.

Spesies pertama akan bertumbuh meski tidak ada spesies kedua.

4.

Spesies kedua akan mengalami penurunan jumlah populasi jika tidak ada
spesies pertama.

5.

Tidak ada migrasi.

6.

Hanya ada aspek pemanenan pada populasi mangsa dan pemangsa.

39

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40

A. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek

Pemanenan pada

Mangsa
Pada model ini, aspek pemanenan diterapkan pada populasi spesies
pertama, sehingga dapat dianalisis perilaku spesies kedua ketika spesies pertama
mengalami pemanenan. Dengan demikian model akan menjadi:
=

1
=

dengan , , , , , ,

,
1

+

,

merupakan konstanta positif dan

: jumlah populasi mangsa,
: laju pertumbuhan populasi mangsa,
: laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa,
: daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa,
: jumlah populasi pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa,
: laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa,
: