Analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi mutualisme dua spesies menggunakan metode iterasi variasional

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL
INTERAKSI MUTUALISME DUA SPESIES MENGGUNAKAN
METODE ITERASI VARIASIONAL

TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :
Benedictus Dwi Yuliyanto
NIM: 15 1442 005
HALAMAN JUDUL

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN MOTTO

Ibarat makan,
belajar bukan lagi suatu keinginan, melainkan kebutuhan.
Rasa lapar akan pengetahuan, datang disetiap hari.
(B.Dwi Yuliyanto)

Jika kau punya mimpi, tetap fokus dan nikmatilah.
Lalu bangun dan wujudkanlah!
(B.Dwi Yuliyanto)

Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan.
(Robert F. Kennedy)

Percayalah pada keajaiban, tapi jangan tergantung padanya.
(H. Jackson Brown, Jr)

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model
Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional.
Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Tesis ini mengkaji tentang analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi
dua spesies. Pada bidang biologi, seringkali dilakukan penelitian atau percobaan

mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies. Penelitian-penelitian tersebut
dilakukan untuk mengetahui berbagai macam perkembangan makhluk hidup di
lingkungannya. Pemodelan matematika sangat berperan dalam membantu
penelitian tersebut. Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model
interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik.
Pada penelitian ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut
dengan tujuan menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Modifikasi
model yang akan diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies
yang bertumbuh secara logistik yaitu: pertama, terdapat unsur pemanenan pada
salah satu jenis spesies, dan yang kedua, terdapat unsur pemanenan pada kedua
jenis spesies.
Setelah melakukan modifikasi pada model, peneliti melakukan analisis
kestabilan dari titik ekuilibrium yang didapat. Selanjutnya akan dicari solusi dari
perumuman model interaksi dua spesies menggunakan metode iterasi variasional.

Kata kunci : dinamika populasi, analisis kestabilan, metode iterasi variasional.

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solutions
of Models of Two Species Mutualism Interaction Using Variational Iteration
Method. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education,
Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher
Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This tesis discusses about analysis of equilibrium points and solutions of
models of two species interaction. In biology, research or experiment about
population growth rate is done frequently. The research has been succeesful for
knowing many kinds of organism in their environment. Mathematical modelling is
important for helping that research. One of the mathematical models that has been
studied before is the mutualism interaction model of two species in logistic growth.
In this research, the researcher will modify the mathematical model to add the
variations of the basic model before. The modifications studied in this thesis are:
first, there is a harvesting parameter on one of species, and second, on both of them.
After doing the modifications on the model, the researcher analyses the
stability of equilibrium points. Furthermore, the modified model is solved using the
variational iteration method.

Keywords : population dynamics, stability analysis, variational iteration method.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasioanl dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
[1]. B.D. Yuliyanto dan S. Mungkasi, “Variational iteration method for solving
the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:
Conference Series, Vol. 795, No.1, Artikel 012044, Tahun 2017 (terindeks

Scopus), Link Artikel: https://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012044
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan
menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis

(Benedictus Dwi Yuliyanto).

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
hanya dengan berkat dan karunia-Nya, serta campur tangan-Nya, penulis dapat
menyelesaikan tesis yang berjudul “Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model
Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional”
dengan baik dan tepat waktu.
Pada kesempatan ini penulis juga ingin mengucapkan rasa terima kasih
kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,
sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi
Magister Pendidikan Matematika.

3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing
pada awal penulisan tesis ini.
4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan studi dengan tepat waktu.
5. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

6. Kedua orang tua yaitu Bapak Mario Subiyanto dan Ibu Christina Sarasni,
yang selalu memberikan dukungan serta doa yang melimpah kepada penulis
sehingga tesis ini dapat diselesaikan tepat waktu.
7. Segenap keluarga, terutama Simbah Yohanes Sadji Ciptotanyono dan Mas
Albertus Magnus Bayu Pratomo yang selalu memberi semangat, motivasi,
serta inspirasi kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi
dengan baik.
8. Elisabeth Evi Alviah, yang selalu memberikan semangat, dukungan, serta

motivasi yang sangat berguna bagi penulis selama menjalankan studi.
9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada
penulis selama studi.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini dapat berguna bagi para pembaca.

Penulis,
Benedictus Dwi Yuliyanto

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN MOTTO ............................................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................................v
ABSTRAK ............................................................................................................. vi
ABSTRACT ............................................................................................................ vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. viii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ......................................... ix
KATA PENGANTAR .............................................................................................x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B.

Tinjauan Pustaka .......................................................................................... 2

C.

Perumusan Masalah ...................................................................................... 5

D. Batasan Masalah ........................................................................................... 5

E.

Metode Penelitian ......................................................................................... 6

F.

Tujuan Penelitian.......................................................................................... 7

G. Manfaat Penelitian........................................................................................ 8
H. Sistematika Penulisan ................................................................................... 8
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................10
A. Pemodelan Matematika .............................................................................. 10
B.

Persamaan Diferensial ................................................................................ 12

C.

Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................... 15

D. Model Pertumbuhan Logistik ..................................................................... 33
E.

Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik....................................................................................................... 40

F.

Metode Iterasi Variasional ......................................................................... 50

G. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 51
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL ...52
A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies ........... 54
xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

B.

Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies .................. 61

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE
ITERASI VARIASIONAL ....................................................................................71
BAB V ASPEK PENDIDIKAN ............................................................................83
A. Pembelajaran di SMA ................................................................................ 84
B.

Pembelajaran di S1 ..................................................................................... 85

C.

Refleksi Penelitian di Bidang Matematika ................................................. 86

BAB VI PENUTUP ...............................................................................................90
A. Kesimpulan................................................................................................. 90
B.

Saran ........................................................................................................... 91

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................93

xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN
A.

Latar Belakang
Pada bidang biologi, salah satu masalah yang sering dihadapi adalah masalah

mengenai pertumbuhan populasi. Seringkali dilakukan penelitian atau percobaan
mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies untuk mengetahui berbagai
macam perkembangan makhluk hidup di lingkungannya.
Pertumbuhan populasi suatu spesies ditandai dengan adanya perubahan
populasi setiap satuan waktu yang dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran,
serta perpindahan (migrasi). Jumlah populasi suatu spesies dapat diamati secara
langsung dalam jangka waktu tertentu. Selain itu, dapat juga dilakukan perhitungan
untuk mengetahui laju pertumbuhan dari suatu spesies tersebut dengan data yang
sudah ada. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat membantu
menyelesaikan permasalahan tersebut adalah pemodelan matematika.
Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model interaksi
simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Pada penelitian
ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut dengan tujuan
menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Selanjutnya peneliti akan
melakukan analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh, serta akan
dicari solusi dari model yang diteliti.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2

B.

Tinjauan Pustaka
Berbagai penelitian mengenai dinamika populasi suatu spesies dan

penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial
sudah banyak dilakukan. Diagram 1.1 memberikan gambaran letak dari penelitian
yang dilakukan dengan penelitian-penelitian yang sudah ada.

Stability analysis of
mutualism population
model with time delay
(Ahmad dan Budin,
2012)

Variational iteration
method-Some recent
results and new
intrepretations
(He, 2007)

Stability analysis of two
mutually interacting
species with unlimited
resources for both the
species
(Reddy, 2012)

Variational iteration
method for solving
multispecies Lotka –
Volterra equations
(Batiha, Noorani, dan
Hashim, 2007)

Analisis titik ekuilibrium model interaksi
mutualisme dua spesies

Variational iteration method for solving the
population dynamics model of two species
(Yuliyanto dan Mungkasi, 2017)
Diagram 1.1 Bagan dari letak penelitian yang dilakukan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3

Beberapa penelitian sejenis yang membahas tentang dinamika populasi suatu
spesies dan metode iterasi variasional antara lain:
Pertama, penelitian B. Ravindra Reddy (2012) dengan judul “Stability
analysis of two mutually interacting species with unlimited resources for both the
species”. Makalah ini membahas mengenai analisis dari model dua spesies yang

saling berinteraksi dengan sumber daya atau daya dukung untuk kedua spesies yang
tak terbatas. Karakteristik dari model merupakan dua sistem persamaan diferensial
biasa nonlinear order satu. Sebelum mendiskripsikan model, dibuat asumsi sebagai
berikut: � merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies pertama,

� merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies kedua,

dan

berturut-turut adalah laju pertumbuhan alami dari spesies pertama dan kedua,

merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari spesies pertama akibat interaksi
dengan spesies kedua, dan

merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari

spesies kedua akibat interaksi dengan spesies pertama. Catatan lebih lanjut bahwa
variabel � , � dan parameter

,

,

,

bernilai tak negatif. Jika laju

kematian lebih besar dari laju kelahiran, maka digunakan notasi yang sama dengan
tanda negatif pada tingkat pertumbuhan alami untuk membedakannya. Persamaan
dasar untuk laju pertumbuhan spesies pertama �
�

=

� +

��.

=

� +

��.

adalah sebagai berikut:

Persamaan dasar untuk laju pertumbuhan spesies kedua �

(1.1)

adalah sebagai

berikut:

�

(1.2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4

Syarat ekuilibrium
�

̅ ,�
̅
Solusi �

�

+

=

dan
�

=

�

= , sehingga diperoleh

dan �

+

�

= .

(1.3)

dari (1.3) merupakan ekuilibrium dari sistem (1.1)-(1.2). Sistem

̅ = ,�
̅ = , dalam keadaan ini,
tersebut memiliki satu keadaan setimbang yaitu �

kedua spesies bertumbuh tanpa batas.

Kedua, penelitian Batiha, Noorani, dan Hashim (2007) dengan judul
“Variational iteration method for solving multispecies Lotka-Volterra equations”.
Makalah tersebut membahas mengenai penggunaan metode iterasi variasional
untuk menyelesaikan atau mencari solusi dari model pertumbuhan populasi suatu
spesies yang bertumbuh secara logistik, atau model pertumbuhan dengan
menggunakan persamaan Lotka-Volterra. Pada makalah tersebut dibahas juga
mengenai beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang
sama. Hasil dari penggunaan metode iterasi variasional untuk mencari pendekatan
solusi model, dibandingkan dengan metode dekomposisi Adomian dan RungeKutta order empat.
Dari tinjauan pustaka mengenai dinamika populasi suatu spesies tersebut,
didapat bahwa pemodelan dari dinamika populasi merupakan suatu hal yang
penting dalam proses mengontrol laju dari pertumbuhan populasi suatu spesies.
Pertumbuhan populasi suatu spesies dapat diprediksi dengan menggunakan model
yang diteliti.
Berdasarkan beberapa penelitian yang sudah ada tersebut, perbedaan
penelitian ini terletak pada model yang digunakan. Model yang akan diteliti pada
penelitian ini adalah modifikasi dari model interaksi simbiosis mutualisme dua

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

5

spesies yang bertumbuh secara logistik, yaitu dengan adanya pemanenan pada salah
satu jenis spesies dan adanya pemanenan pada kedua jenis spesies. Selain itu,
penelitian ini juga membahas mengenai solusi dari hasil perumuman model yang
diselesaikan menggunakan metode iterasi variasional, serta diberikan beberapa
kasus khusus dari model yang terbentuk.

C.

Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan beberapa masalah yang

akan dibahas dalam penelitian ini, yaitu:
1.

Bagaimana modifikasi serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model
interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik
dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya
unsur pemanenan pada kedua jenis spesies?

2.

Bagaimana solusi model yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi
variasional?

D.

Batasan Masalah

Pada penelitian ini, dibatasi masalah-masalah sebagai berikut:
1.

Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model interaksi simbiosis
mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur
pemanenan.

2.

Populasi pada model yang dibahas berada pada suatu ekosistem tertutup atau
tidak ada faktor migrasi yang dilakukan oleh kedua spesies dan tidak ada

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

6

interaksi dengan spesies lain, sehingga laju pertumbuhan populasi hanya
dipengaruhi oleh interaksi kedua spesies tersebut.
3.

Model yang dibahas adalah model kontinu, yaitu menggunakan sistem
persamaan diferensial biasa nonlinear order satu.

4.

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen pada
matriks Jacobi hasil dari pelinearan model.

5.

Metode yang akan dibahas untuk menyelesaikan model adalah metode iterasi
variasional.

E.

Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian studi pustaka dengan pendekatan kuantitatif

dan kualitatif. Tercapainya tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan beberapa
langkah kerja. Langkah pertama adalah menentukan topik penelitian yaitu
permasalahan dalam kehidupan nyata yang terkait dengan bidang biologi,
khususnya mengenai pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara
mutualisme. Langkah kedua adalah mencari model matematika yang sudah ada
sesuai dengan permasalahan yang akan diteliti, pada penelitian ini model
matematika yang dimaksud adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua
spesies yang bertumbuh secara logistik. Langkah ketiga adalah melakukan
modifikasi model yang sudah ada, pada penelitian ini modifikasi yang dilakukan
adalah dengan menambahkan unsur pemanenan pada model dasar. Langkah
keempat adalah menganalisis model hasil modifikasi, analisis yang dilakukan
adalah analisis kestabilan dari setiap titik ekuilibrium yang diperoleh pada model
hasil modifikasi. Langkah kelima adalah membuat perumuman dari model hasil

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7

modifikasi kemudian hasil perumuman model diselesaikan atau dicari solusinya
menggunakan metode iterasi variasional. Langkah terakhir adalah menyimpulkan
hasil modifikasi model yang diperoleh beserta hasil analisis kestabilan titik
ekuilibriumnya dan solusi dari perumuman model menggunakan metode iterasi
variasional.
Diagram 1.2 merupakan bagan metode penelitian dari penelitian ini:
Masalah di dunia nyata yang terkait dengan bidang biologi
yaitu pertumbuhan populasi dua spesies

Memperoleh model dasar mengenai pertumbuhan populasi
dua spesies

Memodifikasi model dasar mengenai pertumbuhan
populasi dua spesies

Menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model yang
sudah dimodifikasi
Mencari solusi dari perumuman model menggunakan
metode iterasi variasional

Menyimpulkan hasil modifikasi model beserta analisisnya
dan solusi yang diperoleh menggunakan metode iterasi
variasional
Diagram 1.2 Bagan metode penelitian

F.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:
1.

Menghasilkan modifikasi model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies
yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

8

satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua jenis spesies, serta
mengetahui hasil analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh.
2.

Memperoleh solusi dari perumuman model dengan menggunakan metode
iterasi variasional.

G.

Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menambah pengetahuan mengenai

pemodelan matematika beserta penerapannya dalam kehidupan nyata dan
menambah referensi bahan ajar bagi guru/dosen dalam menjelaskan materi
mengenai sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. Selain itu,
penelitian ini juga dapat untuk menambah wawasan mengenai penggunaan metode
iterasi variasional untuk mencari pendekatan solusi sistem persamaan diferensial
biasa nonlinear order satu.

H.

Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan akan dibagi menjadi enam bagian, yaitu:
BAB I: PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka, perumusan
masalah, batasan masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian,
dan sistematika penulisan.
BAB II: LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian
antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan
diferensial nonlinear (titik ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

9

ekuilibrium), model pertumbuhan logistik, model interaksi simbiosis mutualisme
dua spesies yang bertumbuh secara logistik, serta metode Iterasi Variasional.
BAB III: HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL
Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai analisis dari
model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik
dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan pemanenan pada kedua
jenis spesies, mulai dari menentukan titik ekuilibrium hingga menganalisis
kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium yang diperoleh.
BAB IV: HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai proses memperoleh solusi dari model
yang sudah diperumum beserta hasilnya dengan menggunakan metode Iterasi
Variasional.
BAB V: ASPEK PENDIDIKAN
Pada bab ini dibahas mengenai keterkaitan penelitian yang dilakukan
dengan proses pembelajaran di sekolah ataupun di kampus. Ada tiga hal yang
dibahas pada bab ini, pertama mengenai keterkaitan hasil atau proses penelitian
dengan pembelajaran di SMA, kedua keterkaitan hasil atau proses penelitian
dengan pembelajaran di S1, dan yang ketiga adalah refleksi penelitian di bidang
matematika.
BAB VI: PENUTUP
Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah
diuraikan pada bab sebelumnya, serta beberapa saran yang terkait dengan penelitian
yang telah dilakukan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI
A.

Pemodelan Matematika
Pemodelan Matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan

menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam persamaan matematika.
Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model
dengan menggunakan teori matematika untuk menggambarkan dinamika suatu
sistem. Oleh karena itu, pemodelan matematika hampir selalu terkait dengan
bidang-bidang ilmu yang lain.
Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang
saling berhubungan. Tahapan-tahapan tersebut dapat digambarkan pada bagan
berikut:

Dunia Nyata

Perumusan

Analisis

Pengujian

Prediksi /
Penafsiran

Model
Matematika

Penafsiran

Kesimpulan
Matematika

Diagram 2.1 Bagan proses pemodelan matematika

10

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

11

Berikut penjelasan dari bagan proses pemodelan matematika seperti tampak pada
Diagram 2.1.
a.

Merumuskan permasalahan dari dunia nyata ke dalam bentuk
matematika
Pada langkah ini dibutukan pemahaman dari permasalahan yang akan

dimodelkan, karena akan dibentuk hubungan antar variabel yang dihasilkan
dari permasalahan tersebut. Pada langkah ini, juga disertakan beberapa
asumsi untuk membatasi model dari masalah yang akan diteliti. Adanya
perbedaan asumsi-asumsi yang diterapkan oleh setiap peneliti menyebabkan
perbedaan model meskipun penelitian dilakukan pada masalah yang sama.
Setelah asumsi-asumsi ditentukan, dilakukan formulasi model yang akan
dianalisis.
b.

Menganalisis model matematika
Analisis dari model matematika dilakukan untuk memperoleh solusi

dari model matemaika yang diteliti. Solusi dari model matematika yang
diperoleh dapat berupa persamaan matematika atau uraian mengenai masalah
matematika secara teoristis.
c.

Menafsirkan atau menginterpretasi solusi dari model matematika
Langkah ini sebagai penghubung antara solusi yang diperoleh dalam

bentuk persamaan matematika dengan permasalahan dalam dunia nyata.
Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik gambar berdasarkan
perilaku dari solusi yang diperoleh.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

12

d.

Menguji solusi dari model matematika ke dalam dunia nyata
Menguji solusi yang telah diperoleh dilakukan untuk melihat

kesesuaian solusi dari model dengan data di dunia nyata. Kesesuaian solusi
model dipengaruhi oleh asumsi-asumsi yang digunakan. Apabila solusi dari
model kurang realistis, maka akan dilakukan kembali proses pembentukan
model dari langkah pertama sehingga nantinya diperoleh model matematika
yang lebih baik.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model
matematika bersifat dinamis untuk menghasilkan model yang lebih baik.

B.

Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih

variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Berdasarkan banyaknya
variabel bebas

yang terdapat

dalam persamaan, persamaan diferensial

diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial.
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu variabel bebas,
sebagai contoh: jika
bebas dan

merupakan fungsi satu variabel dengan sebagai variabel

sebagai variabel terikat, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat

dinyatakan dalam bentuk:
( , ,

′

,

′′

,

′′′

,…,

�

=

,

(2.1)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

13

=

dan jika

maka persamaan diferensial (2.1) disebut persamaan diferensial

homogen, sedangkan jika

≠

maka persamaan diferensial (2.1) disebut

persamaan diferensial nonhomogen. Persamaan diferensial parsial adalah suatu
persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat
terhadap dua atau lebih variabel bebas.
Pada persamaan diferensial, order didefinisikan sebagai tingkat turunan
tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa
contoh persamaan diferensial beserta jenisnya berdasarkan banyak variabel dan
ordernya:
Contoh 2.1
a.
′′

b.
c.
d.

��
�

−

� �

�

��

�

+

merupakan persamaan diferensial biasa order satu.

=

merupakan persamaan diferensial parsial order satu.

′

+

+

=

� �

�

−

−

=

� �

� �

merupakan persamaan diferensial biasa order dua.

=

merupakan persamaan diferensial parsial order dua.

Pada persamaan diferensial order satu, terdapat bentuk persamaan diferensial

variabel terpisah. Bentuk umum persamaan diferensial variabel terpisah adalah
sebagai berikut:

dengan
pada

+

= ,

merupakan fungsi yang bergantung pada

(2.2)
dan

fungsi yang bergantung

. Berdasarkan bentuk umum tersebut, suku-suku dalam variabel

dikelompokkan dengan turunannya yaitu

dan suku-suku dalam variabel

dikelompokkan dengan turunannya yaitu

. Metode yang digunakan untuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

14

menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah adalah metode pemisahan
variabel. Persamaan (2.2) selanjutnya diintegralkan masing-masing sukunya untuk
memperoleh penyelesaiannya, sehingga didapat persamaan berikut:

dengan

∈ ℝ.

∫

+∫

= ,

Contoh 2.2

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
−

Jawab:

+

= .

(2.3)

Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah.
Bentuk (2.3) dapat diubah menjadi
−

+

=

dengan cara membagi masing-masing sukunya dengan
masing-masing suku diintegralkan
−

∫

+∫

=

≠ . Selanjutnya

kemudian dengan manipulasi aljabar, bentuk fungsi diubah menjadi

sehingga diperoleh

∫(

−

− )

− − ln +

+∫

+ ln +

ln | | =

+

=

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

15

dengan

dengan

C.

=

=

−

�

−

�+

=

=

.

,

Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear
Sistem persamaan diferensial tidak hanya berperan penting dalam bidang

matematika, namun berperan penting juga dalam bidang lain seperti ekonomi,
fisika, biologi, dan lain sebagainya. Sistem persamaan diferensial disebut sebagai
sistem persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi paling sedikit satu dari
kriteria berikut:
a.

Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.

b.

Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/ atau turunan-turunannya.

Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:
̇ =
̇ =

̇� =

dengan � : ⊆ ℝ� → ℝ� , ̇ � =

Diberikan pula kondisi awal

�

̇�

=

,

dengan syarat awal

,…,

�

=

∈

,…,
,…,

,

�

,…,

�

�

�

,
,

(2.4)

,

, � = , , … , � dan

Sistem (2.4) dapat ditulis menjadi

dengan

,
,

=

�

̇=

⊆ ℝ� ,

,

,…,

,

,…,

, � = , , … , �.
,

�

∈ .

(2.5)
=

�

,

=

,…,
.

�

�

,

̇=

̇ , ̇ , … , ̇�

�

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

16

Sistem (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena
variabel waktu

tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya, jika
,

masing-masing linear dalam

,…,

�,

,

,…,

�

maka sistem (2.4) disebut sistem

persamaan diferensial linear. Sistem (2.4) juga dapat ditulis dalam bentuk:
̇ =
̇ =

̇� =

�

+
+

+

�

Sistem (2.6) dinyatakan dalam bentuk

dengan

=

�

�

…
…
⋱
…

̇=

�

�

��

) dan

+
+

+
+

+

+

(2.6)

� �

� �

�� � .

,

(2.7)

=

,

,…,

�

�

∈ .

Jadi, sistem (2.7) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.4).
Namun, jika sistem (2.4) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem (2.7) maka
sistem (2.4) disebut sistem persamaan diferensial nonlinear.
Pada sistem persamaan diferensial juga dibahas mengenai beberapa hal berikut:
a.

Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan solusi dari sistem (2.5) yang tidak

mengalami perubahan terhadap waktu.
Definisi 2.1 (Perko, 2001)
Titik ̂ ∈ ℝ� disebut titik ekuilibrium dari (2.5) jika
Berikut diberikan contoh mengenai Definisi 2.1

̂ = .

Contoh 2.3
Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

17

−
−

=(

Jawab:
Titik ekuilibrium diperoleh jika

̂ = , sehingga sistem tersebut menjadi
−

atau dapat ditulis menjadi

−

=

= .

Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh ̂ =
Jika ̂ =

dan menurut persamaan

maka diperoleh
Jika ̂ =

b.

−

dan ̂ = .

= ,

sehingga didapat titik ekuilibrium

dan menurut persamaan

maka diperoleh
− ,

=

)

�

.

−

= ,

= ± sehingga didapat titik ekuilibrium

,

�

.

,

�

atau

Pelinearan
Pelinearan merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi

sistem linear. Pelinearan dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui
perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Pelinearan pada
sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi dengan bentuk
sederhana. Proses pelinearan dapat dilakukan dengan menggunakan deret
Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

18

Taylor untuk sistem
̂ , ̂ , … , ̂�

=

̇ =

�

�

dengan

�

+

=

̇ =

�

�

=

�

�

�

+

̇� =

̂

�

�

̂

�

�

̂

�

�

�

+

�

̂

�

̂

�

̂

�

=

,

̂ =

−̂
�

di sekitar titik ekuilibrium ̂ =

sebagai berikut

+

�

�

̂

−̂

+

+

�

�

̂

−̂

+

− ̂� + Ο ‖ − ̂‖ ,

−̂
�

�

�

− ̂� + Ο ‖ − ̂‖ ,

−̂
�

,…,

+

�

�

�

̂

−̂

+

− ̂� + Ο ‖ − ̂‖ .

Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh
̇ =

=

�

�

+

̇ =

=

�

̂
�

�

+

�

�

̂

�

̂

�

̂

�

−̂
�

�

− ̂� ,

−̂
�

+

+

�

�

− ̂� ,

�

̂

̂

−̂

+

−̂

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

19

̇� =

�

=

�

�

̂

�

�

�

+

̂

�

�

�

Selanjutnya didefinisikan

�

+

−̂

− ̂� .

̂

�

�

=

−̂ ,

=
�

Didapat turunannya yaitu

=

+

−̂

−̂ ,
− ̂� .

�

̇ = ̇ , ̇ = ̇ , … , ̇ � = ̇�,

sehingga ̇ = ̇ dan diperoleh
�

̇ =

�

̇ =

̇
�

�

=

�
�
�

�

̂

+

̂

+

̂

+

�
�

�

�
�
�

�

̂
̂

̂

+

+

+

+

+

+

�
�

̂

�

�

�,

�

�

�,

�

̂

�

�

̂

�

(2.8)

�.

Jika bentuk (2.8) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh

̇

̇

̇
�

�

)=

�
�

�

�

�

( �

atau dapat ditulis menjadi

̂

�

̂

�

̂

�

�

�

�

�

̂

̂
̂

…

…

…

�

�

⋱
�

�

̂

�

̂

�

�

�

�

�

̂

)

�

),

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

20

dengan (

̂

̇= (

̂

,

merupakan matriks Jacobi dan fungsi

di titik ekuilibrium

̂. Berikut definisi dari matriks Jacobi:

Definisi 2.2 (Perko, 2001)
Diberikan fungsi
dan

=

,

,…,

himpunan terbuka.

�

dengan

�

∈

, � = , , … , �,

⊆ ℝ�

Matriks
�

(

̂

�

=

�

�

�

�

( �

dinamakan matriks Jacobi dari

̂

�

̂

�

̂

�

�

�

�

�

̂

̂
̂

dari ̂.

…

…

…

�

�

⋱
�

�

̂

�

̂

�

�

�

�

�

̂

,
)

Selanjutnya diberikan definisi mengenai pelinearan pada sistem persamaan
nonlinear.
Definisi 2.3 (Perko, 2001)
Diberikan matriks Jacobi (

pada (2.8). Sistem linear
̇= (

disebut pelinearan dari sistem ̇ =

c.

̂

disekitar titik ̂.

Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Pada proses pelinearan diperoleh matriks Jacobi yang akan digunakan
dalam proses mencari nilai eigen. Nilai eigen diperoleh dengan cara
det

�

−

= , dimana

�

merupakan matriks Jacobi, merupakan matriks

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

21

identitas, dan

merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Nilai eigen yang

diperoleh dapat digunakan untuk memeriksa kestabilan dari titik ekuilibrium.
Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigen menurut
Boyce dan DiPrima (2012 : 504) adalah seperti pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium
Nilai Eigen
>

>

<
<

,

=

=

>
<

=� ,

Kestabilan

Simpul

Tak stabil

<

Simpul

Stabil asimtotik

Titik sadel

Tak stabil

>

Simpul sejati atau
simpul tak sejati
Simpul sejati atau
simpul tak sejati

±�

Titik spiral

<

=

Jenis Titik Kritis

<

Tak stabil
Stabil asimtotik

Tak stabil
Stabil asimtotik

= −�

Pusat

Stabil

Berdasarkan Tabel 2.1, dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium akan
mencapai keadaan stabil asimtotik apabila nilai
dengan

,

merupakan bagian dari bilangan realnya dan

= ± � dan

< ,

merupakan bagian

dari bilangan kompleksnya.
Berikut beberapa contoh sistem persamaan diferensial beserta
penyelesaiannya sebagai ilustrasi gambar mengenai kriteria kestabilan dari
titik ekuilibrium yang digambar menggunakan software Matlab.
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

22

=
Syarat titik ekuilibrium:

=

+
+

, .

.

=

= ,

=

Diperoleh titik ekuilibrium
Misalkan

+

,

+

.

}

= ,
}
= .

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−

−

−
−

−

Karena

>

>

=

−

=
=

−

−

+

∨

=

−

, titik ekuilibrium

−

=

=

=

,

= .

merupakan titik simpul yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.1 adalah diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.5 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

23

Gambar 2.1 Diagram fase Contoh 2.5
(titik simpul yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.6
Diberikan sistem persamaan diferensial
= ,
=−

Syarat titik ekuilibrium:

Misalkan

=

−

−

= ,

=
−

Diperoleh titik ekuilibrium
.

−

, .

.

}

= ,
}
= .

−

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−
−

−
−

−

−

=

− −

=
=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

24

−

− −
+

+

Karena

<

<

=−

+

∨

+

+

=

=

=− .

,

, titik ekuilibrium

=

merupakan titik simpul yang

bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.2 adalah diagram fase dari sistem
persamaan diferensial Contoh 2.6 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.2 Diagram fase Contoh 2.6
(titik simpul yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.7
Diberikan sistem persamaan diferensial
=
Syarat titik ekuilibrium:

=

=

= ,

+
−

+

−

,

.

}

= ,
}
= .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

25

, .

Diperoleh titik ekuilibrium
Misalkan

=

−

.

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−
−

−

−
+

−

=−

∨

<

<

−

, titik ekuilibrium

=
=

− −

− −

+

Karena

−

=

−

=

=
,

=

= .

merupakan titik sadel yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.3 memuat diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.7 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.3 Diagram fase Contoh 2.7
(titik sadel yang bersifat tak stabil)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

26

Contoh 2.8
Diberikan sistem persamaan diferensial
=
Syarat titik ekuilibrium:

Diperoleh titik ekuilibrium
Misalkan

=

.

,

=

.

= ,

=

}

= ,
}
= .

, .

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−

−
Karena

=

>

−
=

=

−

−

, titik ekuilibrium

−

=

= .
,

=
=

merupakan titik simpul sejati

atau titik simpul tak sejati yang bersifat tak stabil. Gambar 2.4 memuat
diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.8 untuk beberapa
nilai awal yang berbeda.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

27

Gambar 2.4 Diagram fase Contoh 2.8
(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.9
Diberikan sistem persamaan diferensial
=

=−

Syarat titik ekuilibrium:

Misalkan

=

−

−

= ,

=

Diperoleh titik ekuilibrium

−

, .

.

+

−

+
−

,

.

}

= ,
}
= .

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−
−

−

−

=

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

28

−

−
−

− −

+

+

Karena

=

<

=

− −
+

=

, titik ekuilibrium

+

=

=

=

=− .
,

merupakan titik simpul sejati

atau titik simpul tak sejati yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.5
menunjukkan diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.9
untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.5 Diagram fase Contoh 2.9
(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.10
Diberikan sistem persamaan diferensial
=

=−

+

−

,

.

}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

29

Syarat titik ekuilibrium:

−

Diperoleh titik ekuilibrium
Misalkan

=

−

= ,

=

.

−

+
−

= ,
}
= .

, .

−

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium

−

−
−

−

,

Karena

,

=

± � dan

−

−

− −

=

−

>

±√
,

=

− −

+

+

−

=

± �.

=

= .

=

=

, titik ekuilibrium

,

merupakan titik

spiral yang bersifat tak stabil. Gambar 2.6 adalah diagram fase dari sistem
persamaan diferensial Contoh 2.10 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

30

Gambar 2.6 Diagram fase Contoh 2.10
(titik spiral yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.11
Diberikan sistem persamaan diferensial
=−

=−

Syarat titik ekuilibrium:

=

−
−

Diperoleh titik ekuilibrium
Misalkan

=

−
−

+

.

,

+

= ,

+
+

.

}

= ,
}
= .

, .

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium

−
−

−

−

=

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

31

− −
−

− −

,

Karena

,

=

=

± � dan

−

−

+

− ±√

−

+

,

+

=

=

=

= − ± �.

< , titik ekuilibrium

,

merupakan titik

spiral yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.7 adalah diagram fase dari
sistem persamaan diferensial Contoh 2.11 untuk beberapa nilai awal yang
berbeda.

Gambar 2.7 Diagram fase Contoh 2.11
(titik spiral yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.12
Diberikan sistem persamaan diferensial
=

=−

,

.

}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

32

Syarat titik ekuilibrium:

=

−

= ,
}
= .

−

, .

Diperoleh titik ekuilibrium
Misakan

= ,

=

.

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
−
−

Karena

=� ,

= �

−
−

,

=

−

+

−

=

=

=

=−

= �√

∨

= − �.

= −� , titik ekuilibrium

,

merupakan titik pusat

yang bersifat stabil. Gambar 2.8 adalah diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.12 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

33

Gambar 2.8 Diagram fase Contoh 2.12
(titik pusat yang bersifat stabil)

D.

Model Pertumbuhan Logistik
Model pertumbuhan populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali

oleh Malthus. Model diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut:

{
dengan �

�

�

= �

=� ,

,

banyaknya individu di dalam populasi pada waktu , dengan adalah

variabel waktu, dan

konstanta laju pertumbuhan. Model tersebut dapat

diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel sebagai berikut:
�

∫

�
�

�
�

ln �

= �
=
=∫

=

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

34

�

dengan

=

+�

=

�

=

�

�

=

.

dan diperoleh penyelesaian umum

Substitusi nilai awal �

=�

�

=

� = ,

untuk memperoleh penyelesaian khusus dari model
�

=�

.

Penyelesaian tersebut menandakan pertumbuhan populasi bertumbuh secara
eksponensial dan bergantung pada nilai awal � , konstanta laju pertumbuhan , dan
waktu . Karena penyelesaian dari model Malthus berupa persamaan eksponensial,

maka model Malthus ini juga disebut model eksponensial. Model eksponensial ini
tidak realistis, sebab untuk nilai
diperoleh �

> , dan jika diambil menuju tak hingga, maka

menuju tak hingga, yakni lim �
→∞

populasi bertumbuh tanpa batas.

= ∞. Tidak mungkin suatu

Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang
dikemukakan oleh Malthus adalah sebagai berikut:
Syarat titik ekuilibrium

�

= , sehingga diperoleh
�

�

= .

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium �
� sehingga diperoleh ′

=

= . Karena ′

= , jika

� = �, maka ′ � =

= , titik ekuilibrium �

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

35

bersifat tak stabil. Sebagai ilustrasi, untuk nilai awal � >

menjauhi nol, hal ini berarti titik ekuilibrium �

=

populasi akan bergerak
merupakan solusi yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.9 menunjukkan grafik penyelesaian yang digambar
menggunakan software Matlab dari model Malthus atau model eksponensial untuk
beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.9 Grafik penyelesaian model Malthus dengan

= ,

Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus.
Adanya daya dukung yang berupa konstanta

ditambahkan pada model bermaksud

untuk membuat model lebih realistik. Daya dukung yang dimaksud meliputi
keterbatasan ruang / kapasitas tempat tinggal, keterbatasan makanan, dan
sebagainya. Model Verhulst atau model logistik diberikan oleh persamaan:

{
dengan �

waktu,

�

�

= �

=� ,

−

�

,

adalah jumlah individu dalam populasi pada waktu , adalah variabel

laju pertumbuhan, dan

adalah konstanta daya dukung lingkungan atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

36

kemampuan lingkungan untuk menghidupi populasi. Penyelesaian dari model
Verhulst adalah sebagai berikut:
�

= �

�

=
�

∫

�

�

−�

�
−�

�
� −�

=

�
� −�

�

Dengan menggunakan pecahan parsial

diperoleh nilai

sehingga

�

=

�

�
∫

�

dan

=

( �

�

∫

∫
∫

=

−�

�

�
�

�
�

�
�

�

=
=

∫

+

.

,

−�

. Selanjutnya pada ruas kiri dapat ditulis
=

−�
+

�

−

( −�

+∫
+

�

�

( −�
�

+

( −�

�

( −�

∫

+∫

�

( −�

=
=

∫

∫

=
= ∫

∫

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

37

ln �

�

�

dengan

=

�

|=

− ln| − �
�
−�

ln |

=

+

+

�
−�

�

|=

�

�

�

=

�

=

�

=

�

−

�

�

+

=

�

=

+

�

�

=

�

�

�

, diperoleh penyelesaian umum

Substitusi nilai awal �
model sebagai berikut

.

+

= � sehingga diperoleh penyelesaian khusus dari

� =

+
+

� + � =
−�

=

Subsitusi nilai

+

=

�
ke dalam �
−�

=�

�
.
−�
=

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

38

�

=

�

=

�
−�
−� +
−�

�

�

+

.

�

−

Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesaian model
Malthus, sebab jika diambil nilai menuju tak hingga maka diperoleh:
lim

→∞

�

+

−

�

= lim

→∞

=

+

=

.

� + −
−

Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara terbatas dan asimtotik ke nilai
saat menuju tak hingga.
Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang
dikemukakan oleh Verhulst adalah sebagai berikut:
�
�

�

( −

=

�

∨

=

∨

Jadi, terdapat dua titik ekuilibrium yaitu �
�

−

�

�

ekuilibrium �

′

, maka

titik ekuilibrium �

=

� = −

adalah ′
=

�

�

�

= , sehingga diperoleh

)=
−

�

�

=

=

=

.

atau �

=

. Jika

� =

, sehingga analisis kestabilan untuk titik

= . Karena >

maka ′

> , sehingga

bersifat tak stabil. Sedangkan analisis kestabilan untuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

39

titik ekuilibrium �

=

adalah

′

= − , karena

>

maka ′

< ,

sehingga titik ekuilibrium �

untuk setiap nilai awal � >

populasi akan bergerak menjauhi nol, jadi titik

ekuilibrium �
�

berlaku:

=

=

lim

→∞

=

bersifat stabil asimtotik. Dengan kata lain,

merupakan solusi yang bersifat tak stabil. Berbeda dengan

, untuk setiap � >

sehingga �

=

�

−

−

+

=

,

adalah solusi yang stabil asimtotik.

Berikut grafik penyelesaian dari model Verhulst atau model logistik yang digambar
menggunakan software Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.10 Grafik penyelesaian model Verhulst dengan

= , dan

=

Gambar 2.10 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang panjang atau menuju
tak hingga, jumlah populasi konvergen menuju ke koefisien daya dukung atau
.

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

40

E.

Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh
secara Logistik
Simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua

makhluk hidup yang berbeda jenis namun saling menguntungkan bagi kedua pihak.
Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme
adalah interaksi antara kerbau dan burung jalak, zebra dan burung oxpecker, buaya
dan burung plover, anemon laut dan ikan badut, bunga dan kupu-kupu, bunga dan
lebah, dan lain sebagainya.
Interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara
eksponensial dapat dimodelkan sebagai berikut:

{

dengan

dan

=

=

+

+

,

,

adalah jumlah populasi pada waktu . Parameter

dan

berturut-

dan , konstanta

turut merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari populasi

dan b menunjukkan koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat

meningkatkan jumlah masing-masing populasi

dan .

Analisis kestabilan titik ekuilibrium model interaksi simbiosis mutualisme
populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial adalah sebagai berikut:
Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium
diperoleh:
+
+

= ,
} atau
= ,

+
+

=

= ,
}
= .

= , sehingga

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

41

,

Terdapat dua titik ekuilibrium, yakni

dan

− ,−

. Setelah itu

dan

− ,−

pada matriks

dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi

�

�
�
=
�
(�

�
+
�
=(
�
� )

).

+

,

Dengan mensubstitusi titik ekuilibrium
Jacobi, maka diperoleh:
,

=
=

−

−

).

Analisis kestabilan titik ekuilibrium
=

diperoleh nilai eigen

,

dengan matriks Jacobi
,

−

−

−

−

=

=

=

−

−

∨

∨

−

=

−

=
=
=

= .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

42

Diketahui

< , <

>

sehingga
,

nol). Jadi titik ekuilibrium
stabil.

>

(dua bilangan real berbeda lebih dari

merupaka