Penyelesaian masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan metode fungsi penalti interior.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK

Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah
masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam
metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak
Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah
m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x)
j =1

dengan B(x) = −

1
, g j (x) merupakan kendala dan parameter penalti μ k > 0 .
g j (x)

Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan φ (x, μ k )

adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ (x, μ k )
konvergen ke f(x) dengan μ k ≥ μ k +1 dan μ k → 0 , k → ∞ .

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Interior penalty function methods is a method which is used to solve the
constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the
unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution
searching is begun from the feasible region.
The general expression of the interior penalty function is
m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x)
j =1

where B(x) = −

1
, g j (x) is the constraints and penalty parameters μ k > 0 .
g j (x)

In this thesis, the method that is used for minimizing φ (x, μ k ) is a Newton
methods. The optimal solution is obtained if φ (x, μ k ) converge to f(x) as
μ k ≥ μ k +1 and μ k → 0 , k → ∞ .

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENYELESAIAN MASALAH
OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA
DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah
Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :
Daniel Teguh Kurniawan
NIM : 013114027

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

THE SOLUTION
OF NONLINEAR CONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS
WITH INTERIOR PENALTY FUNCTION METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics

By :
Daniel Teguh Kurniawan
Student Number : 013114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008

ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

” PERIHAL WAKTU ”

Selama-lamanya bukan berarti kekal, namun kekal
adalah selama-lamanya.
Jangan biarkan waktu terbuang dengan sia-sia,
karena waktu terus berlalu.
Waktu sangatlah mahal dan singkat, sekali berlalu
tidak akan kembali.

MOTTO
” Tetapi carilah dahulu Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.” ( Matius 6:33 )

Skripsi punika kawula aturaken :
Konjuk dhumateng Gusti Yesus ingkang tansah paring sih rahmat lan
tentrem rahayu. Mekaten ugi Bapak lan Ibu ingkang tansah paring
panggulowenthah dhumateng kula saha Mas Danang lan Mas Aris ingkang
tansah paring daya panyengkuyung kagem mungkasi skripsi kula punika.
Kula tansah tresna dhumateng sadaya ingkang sampun mbiyantu murih
cekaping skripsi kula. Maturnuwun, Gusti berkahi.

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK

Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah
masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam
metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak
Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah
m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x)
j =1

dengan B(x) = −

1
, g j (x) merupakan kendala dan parameter penalti μ k > 0 .
g j (x)

Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan φ (x, μ k )
adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ (x, μ k )
konvergen ke f(x) dengan μ k ≥ μ k +1 dan μ k → 0 , k → ∞ .

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Interior penalty function methods is a method which is used to solve the

constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the
unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution
searching is begun from the feasible region.
The general expression of the interior penalty function is
m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x)
j =1

where B(x) = −

1
, g j (x) is the constraints and penalty parameters μ k > 0 .
g j (x)

In this thesis, the method that is used for minimizing φ (x, μ k ) is a Newton
methods. The optimal solution is obtained if φ (x, μ k ) converge to f(x) as
μ k ≥ μ k +1 and μ k → 0 , k → ∞ .

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 12 Juni 2008
Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama

: Daniel Teguh Kurniawan

Nomor

: 013114027

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yamg berjudul:
“ Penyelesaian Masalah Optimasi Nonlinear Berkendala
Dengan Metode Fungsi Penalti Interior ”
Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas
dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 12 Juni 2008
Yang menyatakan,

( Daniel Teguh Kurniawan )

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,
sang Juru Selamat. Karena kasih dan karunia-Nya maka skripsi ini dapat
terselesaikan dengan baik.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis meminta bantuan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan
Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan
banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama
penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari
jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama.
2. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.
3. Kakak-kakakku, Danang dan Aris, yang selalu mendorong untuk dapat
menyelesaikan skripsi tepat waktu tapi tidak bisa sesuai dengan yang
diharapkan. .
4. Teman-teman “ Penghuni Terakhir “ : Tedy “ Bear “, Rita “ poco-poco “,
Zefanya, Yuli, yang bersama-sama berjuang keluar dari “selingan hidup” ini
dan yang saling memberikan semangat, motivasi supaya lulus sama-sama.
5. Keluarga Besar Rakiman di Klaten atas dukungan doanya..
6. Teman-teman pemuda remaja GKJ Gondangwinangun Klaten dan Temanteman pemuda remaja GKJ Ketandan, terima kasih atas dukungan doanya.

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7. Sahabat-sahabatku di Matematika Angkatan’01, Ariel, Ray, Andre, Indah,
Deta, Maria, Erika, Ajeng, Very, Yuli, Wiwit, Vrysca, April, Alam, Dani,
Tabitha, Upik. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita
lewati.
8. Mas Nadi “ sebagai pembimbing skripsi di kos”, Ridwan ” Sahabat dan
saudaraku ” terima kasih atas tumpangan kostnya.
9. Teman-teman PMK “ OIKUMENE “ yang selalu berbagi suka duka dalam
hidup. Maxi dan Tata “ Maranatha Family “ atas dukungan doanya.
10. Teman-teman pemuda Karang Taruna “ Mekar Sari “ di desa tempat saya
tinggal, terima kasih atas dukungan doanya.
11. Teman-teman SMU 2 Klaten, Seka dan Okie terima kasih atas petuah bijaknya.
12. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam
skripsi ini, untuk itu saran dan kritik sangat diharapkan dalam peningkatan
kualitas skripsi ini.Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat
bagi semua pihak.

Yogyakarta, 12 Juni 2008
Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL INDONESIA ...............................................................

i

HALAMAN JUDUL INGGRIS..... ...............................................................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...........................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................

v

ABSTRAK ....................................................................................................

vi

ABSTRACT ..................................................................................................

vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................

viii

LEMBAR PERNYATAAN..........................................................................

ix

KATA PENGANTAR ...................................................................................

x

DAFTAR ISI ..................................................................................................

xii

DAFTAR GAMBAR .....................................................................................

xiv

DAFTAR TABEL ..........................................................................................

xv

BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah ....................................................................

1

B. Perumusan Masalah ...........................................................................

3

C. Batasan Masalah ................................................................................

3

D. Tujuan Penulisan ...............................................................................

3

E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

4

F. Metode Penelitian ................................................................................

4

G. Sistematika Penulisan ...........................................................................

4

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR TEORI .............................................................................

6

A. Ruang Vektor dan Ruang Euclid .....................................................

6

B. Barisan Konvergen dan Barisan Monoton .......................................

7

C. Fungsi Kontinu ................................................................................

9

D. Turunan parsial ................................................................................

10

E. Metode newton ................................................................................

10

F. Optimisasi .......................................................................................

12

1. Masalah Optimasi........................................................................

12

2. Penyelesaian Masalah Optimasi..................................................

14

BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR.................................

15

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti ...........................................................

15

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior .............................................

19

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior .......................................

20

D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior ...................................

54

BAB IV PENUTUP .....................................................................................

57

A. Kesimpulan ......................................................................................

57

B. Saran ................................................................................................

58

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

59

LAMPIRAN ................................................................................................

60

xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1

Flowchart Algoritma Metode Newton...................................

11

Gambar 2.2

Peminimum f(x) sama dengan Pemaksimum -f(x)...............

12

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungi Penalti Eksterior................................

18

Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior.................................

18

Gambar 3.2

21

Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior.............

xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR TABEL

Halaman
Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.1...................................................

40

Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.2...................................................

48

Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.3...................................................

53

xv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
Optimisasi adalah tindakan yang dilakukan untuk mendapatkan hasil
terbaik dari kondisi-kondisi yang diberikan ( sebagai suatu masalah ). Optimisasi
sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang ekonomi
maupun manajemen. Sebagai contoh perusahaan pakaian yang ingin memberikan
harga yang terbaik supaya perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang
terbanyak. Dalam berbagai macam situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa
ke dalam perumusan matematika sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel
keputusan tertentu, dengan demikian optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses
untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.
Bidang ilmu matematika yang secara umum mempelajari tentang
optimisasi adalah Riset Operasi. Riset Operasi sendiri terbagi menjadi 3 jenis
metode, yang secara khusus mempelajari tentang masalah optimisasi tersebut
yaitu : Pemrograman Matematika, Proses Stokhastik dan Metode Statistika.
Pemrograman Matematika digunakan untuk menemukan nilai fungsi dengan
beberapa variabel dari suatu himpunan yang sudah ditentukan dengan kendalakendalanya. Pemrograman Matematika terbagi lagi dalam beberapa bagian,
diantaranya adalah Program Linear dan Program Nonlinear.
Dalam Program Nonlinear masalah optimisasi dibedakan menjadi dua,
yaitu masalah optimisasi tanpa kendala dan masalah optimisasi dengan kendala.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

Masalah optimisasi dengan kendala merupakan masalah mengoptimalkan fungsi
sasaran dengan kendala-kendalanya, dimana fungsi sasaran dan kendalakendalanya tersebut adalah fungsi nonlinear. Ada beberapa metode yang
digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi program nonlinear dengan
kendala yaitu ; Metode Primal, Metode Penalti, Metode Dual dan Metode
Pemotongan Kurva serta Metode Lagrange.
Pada skripsi ini akan dibahas pendekatan numeris untuk menyelesaikan
masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala berupa persamaan dan
pertidaksamaan. Pendekatan yang digunakan adalah Metode Fungsi Penalti.
Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu Metode Numerik yang digunakan
untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah tanpa
kendala dengan menambahkan fungsi penalti pada fungsi sasaran. Istilah penalti
dipilih sedemikian hingga nilainya akan kecil untuk titik yang jauh dari batas
kendala, dimulai dari titik layak x , yaitu sembarang titik yang memenuhi semua
kendala, titik subbarisan yang dibangun akan selalu terletak di daerah layak
karena batas kendala bertindak sebagai penghalang sepanjang proses minimasasi.
Inilah alasan mengapa Metode Fungsi Penalti juga dikenal sebagai metode
penghalang.
Pada dasarnya Metode Penalti terbagi menjadi 2 yaitu Metode Fungsi
Penalti Eksterior dan Metode Fungsi Penalti Interior. Akan tetapi, skripsi ini
hanya membahas Metode Fungsi Penalti Interior, dimana penalti ditambahkan
pada fungsi sasaran. Metode ini menghasilkan barisan titik-titik layak yang
limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

B. Perumusan Masalah
Pokok masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini sebagai berikut :
1. Apa itu Metode Fungsi Penalti Interior ?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala berupa
pertidaksamaan dengan Metode Fungsi Penalti Interior ?

C. Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini hanya akan dibahas tentang Metode Fungsi
Penalti Interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear
dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan dan teknik yang digunakan dalam
menyelesaikan masalah optimisasi tak berkendala menggunakan metode newton.

D. Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk memberi wawasan dan pengetahuan kepada
pembaca dengan pengertian dasar tentang bagaimana cara menyelesaikan masalah
optimisasi Program Nonlinear dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti
Interior.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis
dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentuk Metode Fungsi Penalti
Interior dan bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala
dengan Metode Fungsi Penalti Interior dengan kendala-kendala berupa
pertidaksamaan.

F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
metode studi literatur atau studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari
materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi, dalam
skripsi ini tidak ada penemuan-penemuan yang baru.

G. Sistematika Penulisan
BAB I

:

PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,
metode penulisan dan sistematika penulisan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5

BAB II

:

DASAR TEORI
Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan ruang Euclid,
fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, Barisan Konvergen dan
Barisan Monoton, turunan parsial, syarat optimalitas untuk masalah
berkendala, Metode Newton serta teori optimisasi yang nantinya
akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Interior.

BAB III

:

METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR
Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,
interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi
Penalti Interior, bentuk umum Fungsi Penalti Interior dan algoritma
metode Fungsi Penalti Interior disertai beberapa contoh masalah
optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode
Fungsi Penalti Interior, implementasi dengan program matlab serta
konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior.

BAB IV

:

PENUTUP
Bab IV berisi kesimpulan dan saran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

BAB III
METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR
Pada bab ini akan dipaparkan tentang metode fungsi penalti interior
sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program nonlinear, yakni
masalah optimisasi berkendala. Proses pencarian dalam menemukan penyelesaian
optimal dengan menggunakan metode fungsi penalti interior akan dimulai dari
daerah layak. Tetapi sebelum membahas lebih jauh tentang metode tersebut, akan
dibahas terlebih dahulu tentang konsep dasar metode tersebut.

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti
Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi
masalah optimisasi tak berkendala adalah dengan metode fungsi penalti. Dalam
kehidupan sehari-hari penalti yang berarti hukuman terjadi karena adanya
pelanggaran. Dengan demikian, dalam masalah optimisasi berkendala fungsi
penalti terjadi karena adanya pelanggaran, yaitu dengan menghilangkan kendala
pada masalah optimisasi tersebut.
Masalah optimisasi dasar dapat dinyatakan dalam bentuk
meminimalkan f (x)
dengan kendala g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m
x∈X

( 3.1 )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

dengan fungsi f, g j merupakan fungsi kontinu pada ℜ n dan X himpunan tidak
kosong di ℜ n . Perhatikan bahwa jika ada sembarang kendala yang diberikan
maka persamaan tersebut dipenuhi oleh x ∈ X . Masalah optimisasi berkendala
tersebut diubah ke dalam sebuah masalah minimisasi tak berkendala dengan
membangun sebuah fungsi yang berbentuk
m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x)
j =1

( 3.2 )

dimana B(x) adalah suatu fungsi dari kendala g j dan μ k adalah konstanta positif
yang dinamakan parameter penalti. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan
( 3.2 ) disebut syarat penalti. Jika minimisasi tak berkendala dari fungsi φ diulang
untuk suatu barisan dari nilai-nilai parameter penalti μ k untuk k = 1, 2, Κ maka
penyelesaiannya akan konvergen ke masalah optimisasi dasar yang dinyatakan
dalam persamaan ( 3.1 ). Jadi, penalti dapat diartikan sebagai fungsi yang
ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti. Metode penambahan
fungsi penalti ini disebut sebagai Metode Fungsi Penalti.
Rumus Metode Fungsi Penalti untuk masalah berkendala dengan kendala
berbentuk pertidaksamaan dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu metode fungsi
penalti interior dan metode fungsi penalti eksterior. Rumus metode fungsi penalti
interior yang sering digunakan berbentuk
m

B(x) =

Σj =1

m

atau

1
g j ( x)

B(x) = Σ ln [- g j (x) ]
j =1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

Rumus metode fungsi penalti eksterior yang sering digunakan berbentuk
B(x) = max[0, g j (x)]
atau

[

]

B(x) = {max 0, g j (x) }

2

Di dalam metode fungsi penalti interior minimal tak berkendala dari φ

k

berada dalam daerah layak dan konvergen ke penyelesaian persamaan ( 3.1 )
dengan μ k berbeda dalam aturan tertentu. Dalam metode fungsi penalti eksterior
titik yang membuat nilai minimum dari masalah tak berkendala φ

k

berada dalam

daerah tak layak dan konvergen ke penyelesaian yang diinginkan dari luar dengan

μ k berbeda dalam aturan khusus. Untuk masalah penalti interior dan eksterior,
konvergensi dari masalah optimisasi tak berkendala φ

k

diilustrasikan pada

Gambar 2a dan Gambar 2b untuk masalah mencari nilai x yang
meminimalkan f(x) = α x 1
dengan kendala g 1 (x) = β − x1 ≤ 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Eksterior

Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

Untuk menggambarkan secara geometris metode fungsi penalti interior,
dibuat terlebih dahulu grafik fungsi f(x) = α x 1 dan kendala g 1 (x) = β − x1 ≤ 0.
selanjutnya masalah optimasi berkendala tersebut dibawa ke dalam masalah
optimisasi
φ = αx1

μk

tak

berkendala

1
β

x1

dengan

dengan B(x) = -

membentuk

sebuah

fungsi

1
dan μ k sebagai parameter penalti.
β − x1

Pencarian optimum dimulai dari daerah layak x1 yang berada di daerah layak dan
titik berikutnya yang dihasilkan selalu berada dalam daerah layak karena ada
batas-batasnya. Karena pemilihan μ k yang besar maka mengakibatkan φk masih
jauh dari optimum. Dengan cara yang sama, jika minimasi tak berkendala dari
fungsi φk diulang untuk suatu barisan nilai-nilai parameter penalti k = 1, 2, ....
dimana μ k > μ k +1 maka penyelesaian akan konvergen ke masalah optimisasi dasar
dan akan mendekati optimum.

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior

Dari Sub bab sebelumnya, dalam metode fungsi penalti interior sebuah
fungsi baru φ yang dibentuk dengan menambahkan syarat penalti ke fungsi
obyektif. Syarat penalti dipilih sedemikian hingga nilainya mengecil sehingga
nilai fungsi φ

akan menuju optimum. Kejadian ini bisa dilihat pada Gambar

3.1.2. Minimisasi tak berkendala dari fungsi φ (x, μ k ) dimulai dari sembarang
titik layak x 1 dan titik berikutnya yang dihasilkan selalu pada daerah layak. Hal
ini disebabkan karena batas-batas kendala menjadi palang atau rintangan (barrier)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

selama proses minimisasi. Inilah alasan mengapa metode fungsi penalti interior
juga disebut sebagai metode barrier.
Fungsi φ (x, μ k ) didefinisikan sebagai

φ (x, μ k ) = f(x) - μ k

m

Σg
j =1

1
j ( x)

( 3.3 )

Terlihat bahwa nilai fungsi φ (x, μ k ) akan selalu lebih besar dari f(x)
ketika g j (x) negatif untuk semua titik layak x.

Jika semua kendala g j (x)

dipenuhi dengan tanda persamaan maka nilai φ menuju tak hingga dan syarat
penalti di ( 3.3 ) tidak terdefinisi jika x tak layak. Karena persamaan ini tidak
diperbolehkannya adanya kendala yang dilanggar maka titik awal layak harus
dicari dalam proses pencarian menuju ke titik optimum. Sebagian besar masalah
optimisasi nonlinear berkendala tidaklah sulit untuk menemukan sebuah titik yang
memenuhi semua kendala g j (x) ≤ 0 karena pemilihan titik x yang bebas.

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior

Berikut akan diberikan algoritma dari metode fungsi penalti interior untuk
menyelesaikan masalah optimisasi dasar :
meminimalkan f (x)
kendala

g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m
x∈X

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

Algoritma metode fungsi penalti interior dapat diperlihatkan sebagai berikut :

Mulai

Masukkan titik awal x 1 , ε > 0, μ1 > 0 , dan
skalar β >1

Tentukan k = 1
Bentuklah fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)

dengan
m

B(x) = Σ

j =1

−1
g j ( x)

Menentukan penyelesaian optimum dari masalah
tidak berkendala x *k dari φ (x, μ )

μ k B(x *k ) < ε

YA

x *k penyelesaian layak, langkah
dihentikan

TIDAK

μ k +1 = βμ k dengan k = k +1

Selesai

Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan metode fungsi penalti interior
adalah :
Langkah 1

Menentukan nilai awal x 1 , parameter penalti μ1 > 0 dan skalar β ∈ (0,1)
dan diberikan ε > 0 dan k = 1.
Langkah 2

Membentuk fungsi φ (x, μ k ) = f(x) + μ k B(x)
m

dengan B(x) = Σ j =1

1
g j ( x)

Langkah 3

Mencari penyelesaian optimum

x *k

dari masalah optimisasi tidak

berkendala φ (x, μ k ) = f(x) + μ k B(x).
Langkah 4

Jika

μ k B(x k ) < ε

langkah dihentikan, maka x k +1

merupakan

penyelesaian layak. Sebaliknya jika μ k B(x k ) > ε , maka tetapkan μ k +1 = β μ k ,
ganti k dengan k + 1 dan ulangi Langkah 2.
Ada hal-hal yang perlu dipertimbangkan dalam menerapkan metode ini :
1

Proses iterasi dimulai dengan titik awal x 1 tetapi mungkin dalam
beberapa kasus titik awal x 1 ini tidak perlu dipersiapkan

Tidaklah sulit untuk menentukan titik awal x 1 dalam masalah optimisasi
nonlinear berkendala yang memenuhi semua kendala g j (x1 ) < 0 . Dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23

kasus khusus

titik awal tidak diperlukan dalam menyelesaikan masalah

optimisasi berkendala yang dapat dilihat dari fungsi kendalanya yang hanya
terdapat satu variabel. Jika fungsi kendalanya terdapat beberapa variabel
maka titik awal perlu dipersiapkan. Tetapi, ada beberapa keadaan sedemikian
hingga titik layak tidak bisa ditemukan dengan mudah. Dalam kasus seperti
ini, titik layak awal yang diminta dapat ditemukan dengan menggunakan
metode fungsi penalti interior itu sendiri. Dengan memperhatikan hal-hal
sebagai berikut :
Langkah i
Pilih sembarang titik x 1 dan evaluasi g j (x) di titik x 1 . Karena titik x 1
sembarang maka tidak semua titik memenuhi semua kendala pertidaksamaan.
Jika ada r dari m kendala yang dilanggar, maka kendala-kendala tersebut
dikelompokkan kembali sedemikian hingga r kendala yang dilanggar akan
menjadi satu kelompok yang terakhir yaitu
g j (x1 ) < 0 , j =1,2, Κ , m-r
dan

g j (x1 ) ≥ 0 , j = m-r+1, m-r +2, Κ , m

( 3.4 )

Langkah ii
Identifikasi kendala yang memiliki kesalahan terbesar di titik x 1 yaitu
dengan mencari bilangan bulat k sedemikian hingga

[

]

g k (x1 ) = maks g j (x1 ) untuk j = m-r+1, m-r +2, Κ , m

( 3.5 )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

Langkah iii
Selesaikan masalah optimasi yang dibuat dalam langkah 3 dengan
mengambil titik x 1 sebagai titik awal. Rumuskan masalah optimisasi yang
baru seperti mencari x yang meminimalkan g k (x) dengan kendala
g j (x1 ) ≤ 0 j =1,2, Κ , m-r
dan

( 3.6 )

g j (x1 ) − g k (x1 ) ≤ 0 , j = m-r+1, m-r +2, Κ , k-1, k+1, Κ , m

Langkah iv
Selesaikan masalah optimisasi pada langkah (iii) dengan mengambil titik
x 1 sebagai titik awal menggunakan metode fungsi penalti interior. Metode
ini dapat diakhiri ketika nilai fungsi g k (x) ≤ 0 . Jadi penyelesaian akan
menghasilkan x k yang memenuhi sedikitnya satu kendala dari himpunan
kendala yang dilanggar oleh x 1 .
Langkah v
Jika semua kendala tidak dipenuhi oleh titik x k , ambil titik baru x 1 = x k
dan kendala dikelompokkan kembali sedemikian hingga r pada kendala yang
terakhir tidak akan dipenuhi dan ulangi langkah ii.
Langkah ini dapat diulangi sampai semua kendala terpenuhi dan didapat
g j (x1 ) < 0 , j =1,2, ... , m-r

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

2

Dengan mencari parameter penalti awal ( μ1 ) yang sesuai
Jika minimisasi tak berkendala φ (x, μ k ) dikerjakan untuk suatu barisan
turun μ k , dengan memilih sebuah nilai μ1 yang sangat kecil maka nilai
optimum dari fungsi φ akan konvergen ke penyelesaian masalah optimisasi
dasar. Namun dari segi penghitungan, untuk minimisasi fungsi φ akan lebih
mudah jika μ k besar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.2. Terlihat
bahwa jika nilai μ k menjadi semakin kecil, nilai fungsi φ berubah dengan
lebih cepat di sekitar minimum φ k∗ . Pencarian minimum dari suatu fungsi
lebih mudah bila grafiknya lebih mulus karena fungsinya kontinu dan dapat
diturunkan. Jika μ k besar maka minimisasi tak berkendala φ akan menjadi
lebih mudah dan minimum dari φ k , x *k , akan menjadi lebih jauh dari
minimum x ∗ .

3

Nilai perkalian faktor β yang dipilih haruslah tepat
Jika nilai awal μ k sudah dipilih maka nilai-nilai μ k berikutnya harus
dipilih sedemikian hingga μ k +1 < μ k . Nilai μ k dipilih dengan μ k +1 = β μ k
dimana β < 1. Nilai β dapat diambil sebagai 0,1 atau 0,2 atau 0,5 dan
seterusnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

4

Kriteria kekonvergenan yang sesuai harus dipilih untuk menentukan
nilai optimum
Karena minimisasi tak berkendala dari φ (x, μ k )

harus dikerjakan

menurut suatu barisan turun nilai μ k maka perlu menggunakan kriteria
konvergensi yang sesuai untuk mengidentifikasikan titik optimum. Proses
dapat dihentikan pada saat syarat berikut dipenuhi.
a. Selisih relatif antara nilai fungsi obyektif yang dihasilkan pada akhir dari
sembarang dua minimisasi tak berkendala yang berurutan berada dibawah
sebuah bilangan yang kecil ε1 , yaitu
f (x *k ) − f (x *k -1 )
≤ ε1 .
f (x *k )

b. Selisih antara titik optimum x *k - x *k −1 menjadi sangat kecil. Ini dapat
dinyatakan dalam beberapa cara. Yang biasa digunakan adalah
( Δx ) i ≤ ε 2 .

Dengan Δx = x *k - x *k −1
( Δx ) i adalah anggota ke - i dari vektor Δx

Max |( Δx ) i | ≤ ε 3

[

| Δx | = (Δx)12 + (Δx) 22 + Κ + (Δx) 2n

]

1

2

≤ ε4

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

Nilai dari ε1 sampai ε 4 harus dipilih bergantung pada karakteristik dari
masalah yang ditangani.

Berikut ini akan diberikan contoh masalah minimisasi yang tidak
menggunakan titik awal.
Contoh 3.1.1

Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :
(x 1 + 3 ) 3 + x 2

Minimalkan

f ( x1 , x 2 ) =

Kendala

g1 ( x1 , x 2 ) = - x1 + 1 ≤ 0

1

3

g 2 ( x1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0
Penyelesaiannya :

Dalam kasus di atas titik awal tidak diperlukan karena fungsi kendalanya
hanya terdapat satu variabel. Untuk mencari penyelesaian optimumnya maka
dibutuhkan parameter penalti awal ( μ1 ) yang sesuai.
Langkah 1

Misalkan

ε = 0,00001

β = 0,1
Ditentukan k = 1

μ1 = 1000

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

Langkah 2

Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)
−1
g j ( x)

2

B(x) dipilih dengan

B(x) =

Σ

j =1

⎡ 1
1⎤
= ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

Sehingga diperoleh

φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)

=

1

3

⎡ 1
1⎤
(x 1 + 3 ) 3 + x 2 - μ k ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

Langkah 3

Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,
dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x1 dan x 2 :
Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh :
∂φ
∂x1

= (x 1 + 1 ) 2 -

atau

μk
(1 − x1 ) 2

=0

(x 1 + 1 ) 2 =

μk
(1 − x1 ) 2

(x 1 + 1 ) 2 (1 - x 1 ) 2 = μ k
( x 1 2 + 2x 1 +1 ) ( 1 - 2x 1 + x 1 2 ) = μ k
x1 4 - 2 x1 2 + 1 = μk

atau

(x 12 - 1 ) 2 = μ k

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

x 12 - 1 = μ k

1

2

1

x 1 = ( μk

2

1

+1 )

2

(3.1.1)

Turunan parsial φ terhadap x 2 diperoleh :

μ
∂φ
= 1 - 2k = 0
∂x 2
x2
x 22 = μ k

atau

1

x 2 = μk

2

(3.1.2)

Dari persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh penyelesaian optimum tak
berkendala dan
1

x 1* ( μ k ) = ( μ k
x *2 ( μ k ) = μ k

1

2

1

+1 )

2

2

Dalam masalah ini tidak diperlukan titik awal karena setelah melakukan
penghitungan secara kalkulus, titik x *k bergantung pada parameter penalti ( μ1 ).
Apabila penyelesaian optimum tersebut disubstitusikan ke fungsi φ maka
didapatkan :

φ min ( μ k ) =

=

1

1

3

3

⎡ 1
1⎤
(x 1 + 3 ) 3 + x 2 - μ k ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + μ k
1

1

2

- μk { [

1
− ( μ k 2 + 1) 2 + 1
1

1

]–[

1

μk

1

]}
2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

=

1

[( μ k

3

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + μ k
1

1

+ [

2

− μk
− (μ k

1

+ 1)

2

μk (
=

1

=

1

3

3

[( μ k

[( μ k

1

1

2

2

+1 ) + 1] + μ k
1

3

2

1

+

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k
1

(1 − ( μ k

1

1

μk
=

1

3

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k
1

1

1

μk
φ min ( μ k ) =

1

3

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k
1

1

2

μk

1

2

)

+ μk

1

1

+ 1) 2 )(

2

μk

μk

1

2

)

−

1

μk

(μ k

1

2

+ 1)

1

2

1

-

2

1

+1

2

μk

]+

1

-

2

1

1

-

−(

1

μk

2

(μ k

1

2

+ 1))

1

2

1
⎛ 1
1
−⎜ 3 + 2
μ k ⎜⎝ μ k 2 μ k
1

⎞
⎟
⎟
⎠

1

2

Untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah optimasi dasar dicari melalui :
f

min

= lim φ min ( μ k )
μ k →0

= lim { 1 3 [( μ k
μ k →0

=

8
= 2,66667
3

Iterasi 1

Untuk k = 1
x 1* ( μ1 ) = ( μ1

1

2

1

+1 )

2

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k
1

1

2

-

1
1 ⎛⎜ 1
1
−
+ 2
3
⎜
2
μk ⎝ μk
μk

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31

1

= ( 1000

2

+1)

1

2

= 5,71164
dan
x *2 ( μ1 ) = μ k

1

2

= 1000

1

2

= 31,62278
Sehingga diperoleh :

φ min ( μ1 ) =

1

[( μ1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ1
1

3

1

1

2

-

1
⎛ 1
1 ⎞
−⎜ 3 + 2 ⎟
μ1 ⎜⎝ μ1 2 μ1 ⎟⎠
1

=

1

1

3

1

[( 1000 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 1000 )

1

2

-

1
1 ⎤
⎡ 1
−⎢
+
3
2
1000 ⎣1000
1000 2 ⎥⎦

= 374,77147

f( μ 1 ) =

1

=

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

3

( 5,71164 + 1 )

3

+ 31,62278

= 100,777761 + 31,62278
= 132,400541
⎡

1

1⎤

μ1 B(x 1* ) = μ k ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

2

1

= 100,777761 + 63,245554 + 210,748156

dan

1

1

2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32

= μ1

1

-

2

1
⎛ 1
1 ⎞
−⎜ 3 + 2 ⎟
μ1 ⎜⎝ μ1 2 μ1 ⎟⎠
1

1

2

= 31,62278 + 210,74816
= 242,37094 > ε
Penyelesaian belum optimal karena μ1 B(x 1* ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4
Tetapkan μ 2 = β μ1
= (0,1)1000 = 100

Iterasi 2
Untuk k = 2

Langkah 3
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika

x 1* ( μ 2 ) = ( μ 2 2 + 1 )
1

= ( 100

1

2

1

2

1

+1)

2

= 3,31662
dan

x *2 ( μ 2 ) = μ 2
= 100

1

2

1

2

= 10

Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 2 ) = { 1 3 [( μ 2 +1 ) + 1] 3 + 2
1

2

1

2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33

μ2

1

2

-

1
⎛ 1
1
−⎜ 3 + 2
μ 2 ⎜⎝ μ 2 2 μ 2
1

=

1

1

3

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

1

[( 100 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 100 )

1

2

-

1
1 ⎡ 1
1 ⎤
−⎢
+
3
100 ⎣100 2 100 2 ⎥⎦

1

2

= 89,9776
dan

f( μ 2 ) =

1

=

1

(x 1+ 1)3 + x 2

3

1

3

1

[( 100 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 100

1

2

= 36, 8109

μ 2 B(x *2 )

= 10 + 43,16671
= 53,16671 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 2 B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4
Tetapkan μ 3 = β .μ 2
= (0,1).100
= 10
Iterasi 3
Untuk k = 3
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34

x 1* ( μ 3 ) = ( μ 3 2 + 1 )
1

1

1

= ( 10 2 +1 )

1

2

2

= 2,04017
dan

x *2 ( μ 3 ) = μ 3
= 10

1

1

2

2

= 3,16228
Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 3 ) = { 13 [( μ 3 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 3
1

2

1

2

1

2

-

1
⎛ 1
1
−⎜ 3 + 2
μ 3 ⎜⎝ μ 3 2 μ 3

1

=

1

3

[ 2,04017 + 1 ] 3 + 2 ( 3,16228 ) -

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

1
1 ⎡ 1
1 ⎤
−⎢ 3 + 2⎥
2
10 ⎣10
10 ⎦

1

2

= 25,3048
dan

f( μ 3 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 9, 36636 + 3,16228
= 12,5286

μ 3 B(x *3 )

= 3,16228 + 9, 61381
= 12,77609 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 3 B(x *3 ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35

Langkah 4
Tetapkan μ 4 = β .μ 3
= (0,1).10 = 1
Iterasi 4
Untuk k = 4
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x 1* ( μ 4 ) = ( μ 4 2 + 1 )
1

=(2)

1

1

2

2

= 1,41421
dan

x *2 ( μ 4 ) = μ 4

1

2

=1

Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 4 ) = { 1 3 [( μ 4 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 4
1

1

1

2

2

1

= { 1 3 [( 1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 1 )

=

1

3

1

2

-

1

2

-

1 ⎛ 1
1⎞
−⎜ 3 + 2 ⎟
2
1 ⎝1
1 ⎠

(1,41421 + 1) 3 + 2 + 2,41421

f( μ 4 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 4,69036+ 1 = 5,69036

1 ⎛⎜ 1
1
−
+ 2
3
⎜
2
μ4 ⎝ μ4
μ4
1

= 4,69036+ 2 + 2,41421 = 9,10457
dan

1

1

}
2

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36

μ 4 B(x *4 )

= 1 + 2,41421
= 3,41421 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 4 B(x *4 ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4
Tetapkan μ 5 = β .μ 4
= (0,1).1 = 0,1
Iterasi 5
Untuk k = 5
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x 1* ( μ 5 ) = ( μ 5 2 + 1 )
1

1

= (0,1 2 + 1 )

1

1

2

2

= 1,14727
dan

x *2 ( μ 5 ) = μ
= 0,1

1

1

2

2

= 0,31623
Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 5 ) = { 13 [( μ 5 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 5
1

2

1

2

1

2

-

1
⎛ 1
1
−⎜ 3 + 2
μ 5 ⎜⎝ μ 5 2 μ 5
1

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37

1

1

= { 1 3 [( 0,1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 0,1 )

1

2

-

1
1 ⎛ 1
1
− ⎜⎜ 3 + 2
2
0,1 ⎝ 0,1
0,1

⎞
⎟⎟
⎠

1

}
2

= 3,300188 + 0,632456 + 0,06899
= 4,00163
dan

f( μ 5 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 3,300188 + 0,31623
= 3,61642

μ 5 B(x *5 )

= 0,31623 + 0,06899
= 0,38522 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 5 B(x *5 ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4
Tetapkan μ 6 = β .μ 5
= (0,1).(0,1) = 0,01
Iterasi 6
Untuk k = 6
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x 1* ( μ 6 ) = ( μ 6 2 + 1 )
1

= 1,04881

1

2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38

dan

1

x *2 ( μ 6 ) = μ 6

2

= 0,1

Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 6 ) = { 1 3 [( μ 6 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 6
1

2

1

1

2

1

1

2

1

-

= { 1 3 [( 0,01 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 0,01 )

1 ⎛⎜ 1
1
−
+ 2
3
⎜
2
μ6 ⎝ μ6
μ6
1

2

-

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

1
⎛ 1
1
1
− ⎜⎜
+
3
2
0,01 ⎝ 0,01
0,012

⎞
⎟⎟
⎠

1

}
2

= 2,86671 + 0,2 + 0,20488
= 3,27159
dan

f( μ 6 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 2,86671 + 0,1
= 2,96671

μ 6 B(x *6 )

= 0,1 + 0,20488
= 0,30488 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 6 B(x *6 ) > ε maka langkah diteruskan.
Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan
penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni
Langkah 4

μ15 = β .μ14
= (0,1).(10 −10 ) = 10 −11

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39

Iterasi 15
Untuk k = 15
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x 1* ( μ15 ) = ( μ15 2 + 1 )
1

1

2

= 1,00000
dan

x *2 ( μ15 ) = μ15

1

2

= 0,00000
Sehingga diperoleh :

φ min ( μ15 ) = { 13 [( μ15 +1 ) + 1] 3 + 2 μ15
1

2

1

2

1

2

1

1

μ15

⎛ 1
1
−⎜ 3 +
⎜μ 2 μ 2
15
⎝ 15

⎞
⎟
⎟
⎠

1

}
2

= 2,66669
dan
f( μ15 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 2,66668
*
μ15 B(x 15
) = 0,000009

*
Karena μ15 B(x 15
) = 0,000009 < ε maka langkah dihentikan.

Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x 1* = 1, x *2 = 0.
Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi
*
) = 0,000009 < ε .
syarat μ15 B(x 15

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
MATLAB. ( lampiran 1 )

Tabel 3.1.1 Output penyelesaian Contoh 3.1.1 dengan Matlab

Taksiran awal miu : 1000.00000
==============================================================
Iterasi

miu

x1

x2

min(miu)

f(miu)

miu_Bx

==============================================================
1

1000.00000

5.71164

31.62278

376.26364

132.40032

243.86332

2

100.00000

3.31662

10.00000

89.97716

36.81092

53.16625

3

10.00000

2.04017

3.16228

25.30476

12.52863

12.77613

4

1.00000

1.41421

1.00000

9.10457

5.69036

3.41421

5

0.10000

1.14727

0.31623

4.61167

3.61641

0.99525

6

0.01000

1.04881

0.10000

3.27159

2.96671

0.30488

7

0.00100

1.01569

0.03162

2.85690

2.76154

0.09536

8

0.00010

1.00499

0.01000

2.72672

2.69667

0.03005

9

0.00001

1.00158

0.00316

2.68565

2.67615

0.00949

10

0.00000

1.00050

0.00100

2.67267

2.66967

0.00300

11

0.00000

1.00016

0.00032

2.66856

2.66762

0.00095

12

0.00000

1.00005

0.00010

2.66727

2.66697

0.00030

13

0.00000

1.00002

0.00003

2.66686

2.66676

0.00009

14

0.00000

1.00000

0.00001

2.66673

2.66670

0.00003

15

0.00000

1.00000

0.00000

2.66669

2.66668

0.00001

==============================================================
Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx ε
Penyelesaian belum optimal karena μ1 B(x 1* ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43

Langkah 4
Tetapkan μ 2 = β μ1
= (0,1).1 = 0,1
Iterasi 2
Untuk k = 2
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
x1(2 ) = 5,180705
x (22 ) = 2,942802

φ min ( μ 2 ) = f(x) + μ 2 B(x)
⎡
⎤
1
1
2
2
= (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,1) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,085366
f( μ 2 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3)
2

2

= 0,035926
⎡

1

1

⎤

+
μ 2 B(x *2 ) = - (0,1) ⎢
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,049440 > ε
Penyelesaian belum optimal karena μ 2 B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44

Langkah 4
Tetapkan μ 3 = β μ 2
= (0,1) (0,1) = 0,01
Iterasi 3
Untuk k = 3
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
x1(3) = 5,007010
x (23 ) = 2,987347

φ min ( μ 3 ) = f(x) + μ 3 B(x)
⎡
⎤
1
1
2
2
= (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,01) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,005499
f( μ 3 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3)
2

2

= 0,000209
⎡

1

1

⎤

μ 3 B(x *3 ) = - (0,01) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦
= 0,005290 > ε
Penyelesaian belum optimal karena μ 3 B(x *3 ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45

Langkah 4
Tetapkan μ 4 = β μ 3
= 0,1 (0,01) = 0,001
Iterasi 4
Untuk k = 4
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
x 1(4 ) = 5,000751
x (24 ) = 2,998692

φ min ( μ 4 ) = f(x) + μ 4 B(x)
⎡
⎤
1
1
2
2
= (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,001) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,000535
f( μ 4 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3)
2

2

= 0,000002
⎡

1

1

⎤

μ 4 B(x *4 ) = - (0,001) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦
= 0,000533
Penyelesaian belum optimal karena μ 4 B(x *4 ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46

Langkah 4
Tetapkan μ 5 = β μ 4
= 0,1 (0,001) = 0,0001
Iterasi 5
Untuk k = 5

Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
x 1(5 ) = 5,000076
x (25 ) = 2,999869

φ min ( μ 5 ) = f(x) + μ 5 B(x)
⎡
⎤
1
1
2
2
= (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,0001) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,000053
f( μ 5 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3)
2

2

= 0,000000
⎡

1

1

⎤

μ 5 B(x *5 ) = - (0,0001) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦
= - (0,0001) (-0,53333)
= 0,000053
Penyelesaian belum optimal karena μ 5 B(x *5 ) > ε maka langkah diteruskan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47

Langkah 4
Tetapkan μ 6 = β μ 5
= 0,1 (0,0001) = 0,00001
Iterasi 6
Untuk k = 6
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
x 1(6 ) = 5,000008
x (26 ) = 2,999987

φ min ( μ 6 ) = f(x) + μ 6 B(x)
⎡
⎤
1
1
2
2
= (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,00001) ⎢
+
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,000005
f( μ 6 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3)
2

2

= 0,000000
⎡

1

1

⎤

+
μ 6 B(x *6 ) = - (0,00001) ⎢
⎥
⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,000005 < ε
Penyelesaian sudah optimal karena μ 6 B(x *6 ) < ε maka langkah dihentikan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48

Dari permasalahan di atas maka diperoleh penyelesaian dengan x1* = 5,00000 dan
x *2 = 2,99999. Pada iterasi ke-6 penyelesaian sudah optimum karena sudah
memenuhi syarat bahwa μ k B(x *k ) < ε .

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
Matlab pada contoh 3.1.2 di atas.

Tabel 3.1.2 Output penyelesaian contoh 3.1.2 dengan Matlab

Masukkan data yang dibutuhkan
x1 = [0 0]
Taksiran awal mu : 1
Toleransi error = 0.00001
Max.iterasi newton = 10
===============================================================
Iterasi Nilai mu

x1

x2

f

z

mu_Bx

===============================================================
0

1.000000

0.000000

0.000000

34.000000

34.583333

0.583333

1

0.100000

5.180705

2.942802

0.035926

0.085366

0.049440

2

0.010000

5.007010

2.987347

0.000209

0.005499

0.005290

3

0.001000

5.000751

2.998692

0.000002

0.000535

0.000533

4

0.000100

5.000076

2.999869

0.000000

0.000053

0.000053

5

0.000010

5.000008

2.999987

0.000000

0.000005

0.000005

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49

Metode fungsi penalti interior dapat juga diterapkan ke dalam masalah
optimasi berkendala linear. Berikut contohnya :
Contoh 3.1.3
Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :
Minimalkan

f ( x 1 , x 2 ) = x 1 + 2x 2 +1

Kendala

g1 ( x1 , x 2 ) = - x1 + 1 ≤ 0
g 2 ( x1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0

Penyelesaiannya :
Langkah 1
Misalkan

ε = 0,00001

β = 0,1

μ1 = 1000

Ditentukan k = 1
Langkah 2
Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)
2

B(x) dipilih dengan

B(x) =

Σ

j =1

−1
g j ( x)

⎡ 1
1⎤
= ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50

Sehingga diperoleh

φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)
⎡ 1
1⎤
= x 1 +2 x 2 +1 - μ k ⎢
− ⎥
⎣ − x + 1 x2 ⎦

Langkah 3
Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,
dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x1 dan x 2 :
Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh :
∂φ
∂x1

= 1-

μk
(1 − x1 ) 2

=0

(x 1 + 1 ) 2 = μ k

atau

x 1 = μk

1

2

-1

(3.3.1)

Turunan parsial φ terhadap x 2 diperoleh :

μ
∂φ
= 2 - 2k = 0
∂x 2
x2
x 22 =

atau

μk
2

x2= (

μ k 12
)
2

(3.3.2)

Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh penyelesaian optimum tak
berkendala dan
x 1* ( μ k ) = μ k

1

2

-1

dan

x *2 ( μ k ) = (

μ k 12
)
2