PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh : Daniel Teguh Kurniawan NIM : 013114027 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

  

THE SOLUTION

OF NONLINEAR CONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS

WITH INTERIOR PENALTY FUNCTION METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

  

By :

Daniel Teguh Kurniawan

Student Number : 013114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

  

MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

HALAMAN PERSEMBAHAN

  

” ”

PERIHAL WAKTU

Selama-lamanya bukan berarti kekal, namun kekal adalah selama-lamanya.

  Jangan biarkan waktu terbuang dengan sia-sia, karena waktu terus berlalu.

  Waktu sangatlah mahal dan singkat, sekali berlalu tidak akan kembali.

  

MOTTO

” Tetapi carilah dahulu Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka

Matius 6:33

  .” semuanya itu akan ditambahkan kepadamu ( ) Skripsi punika kawula aturaken :

Konjuk dhumateng Gusti Yesus ingkang tansah paring sih rahmat lan

tentrem rahayu. Mekaten ugi Bapak lan Ibu ingkang tansah paring

panggulowenthah dhumateng kula saha Mas Danang lan Mas Aris ingkang

tansah paring daya panyengkuyung kagem mungkasi skripsi kula punika.

  

Kula tansah tresna dhumateng sadaya ingkang sampun mbiyantu murih

cekaping skripsi kula. Maturnuwun, Gusti berkahi.

  

ABSTRAK

  Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak

  Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah _m φ = φ (x, μ ) = f(x) + μ _{k k k Σ B(x) j 1}

  =

  1 − , g (x) merupakan kendala dan parameter penalti μ > . dengan B(x) = _{j k}

  ( x )

  g _j

  Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan φ (x, μ ) _k adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ (x, μ ) _k konvergen ke f(x) dengan μ ≥ μ dan μ → , k → ∞ .

• k k ^{1 k}

  

ABSTRACT

  Interior penalty function methods is a method which is used to solve the constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution searching is begun from the feasible region.

  The general expression of the interior penalty function is _m φ = φ (x, μ ) = f(x) + μ _{k k k Σ B(x) j 1}

  =

  1 − , g (x) is the constraints and penalty parameters μ > . where B(x) = j ^k

  g ( x ) _j

  In this thesis, the method that is used for minimizing φ (x, μ ) is a Newton _k methods. The optimal solution is obtained if φ (x, μ ) converge to f(x) as _k μ ≥ μ and μ → , k → ∞ . ^{k k 1 k}

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 12 Juni 2008 Penulis,

  Daniel Teguh Kurniawan

  

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

  Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Daniel Teguh Kurniawan Nomor : 013114027

  Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yamg berjudul:

  “ Penyelesaian Masalah Optimasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Interior ”

  Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

  Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 12 Juni 2008 Yang menyatakan,

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, sang Juru Selamat. Karena kasih dan karunia-Nya maka skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

  Dalam penyusunan skripsi ini penulis meminta bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

  1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama.

  2. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.

  3. Kakak-kakakku, Danang dan Aris, yang selalu mendorong untuk dapat menyelesaikan skripsi tepat waktu tapi tidak bisa sesuai dengan yang diharapkan. .

  4. Teman-teman “ Penghuni Terakhir “ : Tedy “ Bear “, Rita “ poco-poco “, Zefanya, Yuli, yang bersama-sama berjuang keluar dari “selingan hidup” ini dan yang saling memberikan semangat, motivasi supaya lulus sama-sama.

  5. Keluarga Besar Rakiman di Klaten atas dukungan doanya..

  7. Sahabat-sahabatku di Matematika Angkatan’01, Ariel, Ray, Andre, Indah, Deta, Maria, Erika, Ajeng, Very, Yuli, Wiwit, Vrysca, April, Alam, Dani, Tabitha, Upik. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita lewati.

  8. Mas Nadi “ sebagai pembimbing skripsi di kos”, Ridwan ” Sahabat dan saudaraku ” terima kasih atas tumpangan kostnya.

  9. Teman-teman PMK “ OIKUMENE “ yang selalu berbagi suka duka dalam hidup. Maxi dan Tata “ Maranatha Family “ atas dukungan doanya.

  10. Teman-teman pemuda Karang Taruna “ Mekar Sari “ di desa tempat saya tinggal, terima kasih atas dukungan doanya.

  11. Teman-teman SMU 2 Klaten, Seka dan Okie terima kasih atas petuah bijaknya.

  12. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran dan kritik sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini.Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

  Yogyakarta, 12 Juni 2008 Penulis,

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL INDONESIA ............................................................... i HALAMAN JUDUL INGGRIS..... ............................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... v ABSTRAK .................................................................................................... vi ABSTRACT .................................................................................................. vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ viii LEMBAR PERNYATAAN.......................................................................... ix KATA PENGANTAR ................................................................................... x DAFTAR ISI .................................................................................................. xii DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiv DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................

  1 A. Latar Belakang Masalah ....................................................................

  1 B. Perumusan Masalah ...........................................................................

  3 C. Batasan Masalah ................................................................................

  3 D. Tujuan Penulisan ...............................................................................

  3 E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

  4

  BAB II DASAR TEORI .............................................................................

  6 A. Ruang Vektor dan Ruang Euclid .....................................................

  6 B. Barisan Konvergen dan Barisan Monoton .......................................

  7 C. Fungsi Kontinu ................................................................................

  9 D. Turunan parsial ................................................................................ 10

  E. Metode newton ................................................................................ 10 F. Optimisasi .......................................................................................

  12 1. Masalah Optimasi........................................................................

  12 2. Penyelesaian Masalah Optimasi..................................................

  14 BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR.................................

  15 A. Konsep Dasar Fungsi Penalti ........................................................... 15

  B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior ............................................. 19

  C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior ....................................... 20 D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior ...................................

  54 BAB IV PENUTUP .....................................................................................

  57 A. Kesimpulan ......................................................................................

  57 B. Saran ................................................................................................

  58 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

  59 LAMPIRAN ................................................................................................

  60

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Metode Newton...................................

  11 Gambar 2.2 Peminimum f(x) sama dengan Pemaksimum -f(x)............... 12 Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungi Penalti Eksterior................................

  18 Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior.................................

  18 Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior.............

  21

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.1................................................... 40Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.2................................................... 48Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.3................................................... 53

  1

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Optimisasi adalah tindakan yang dilakukan untuk mendapatkan hasil

  terbaik dari kondisi-kondisi yang diberikan ( sebagai suatu masalah ). Optimisasi sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang ekonomi maupun manajemen. Sebagai contoh perusahaan pakaian yang ingin memberikan harga yang terbaik supaya perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang terbanyak. Dalam berbagai macam situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa ke dalam perumusan matematika sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel keputusan tertentu, dengan demikian optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.

  Bidang ilmu matematika yang secara umum mempelajari tentang optimisasi adalah Riset Operasi. Riset Operasi sendiri terbagi menjadi 3 jenis metode, yang secara khusus mempelajari tentang masalah optimisasi tersebut yaitu : Pemrograman Matematika, Proses Stokhastik dan Metode Statistika.

  Pemrograman Matematika digunakan untuk menemukan nilai fungsi dengan beberapa variabel dari suatu himpunan yang sudah ditentukan dengan kendala- kendalanya. Pemrograman Matematika terbagi lagi dalam beberapa bagian, diantaranya adalah Program Linear dan Program Nonlinear.

  2 Masalah optimisasi dengan kendala merupakan masalah mengoptimalkan fungsi sasaran dengan kendala-kendalanya, dimana fungsi sasaran dan kendala- kendalanya tersebut adalah fungsi nonlinear. Ada beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi program nonlinear dengan kendala yaitu ; Metode Primal, Metode Penalti, Metode Dual dan Metode Pemotongan Kurva serta Metode Lagrange.

  Pada skripsi ini akan dibahas pendekatan numeris untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan. Pendekatan yang digunakan adalah Metode Fungsi Penalti. Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu Metode Numerik yang digunakan untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah tanpa kendala dengan menambahkan fungsi penalti pada fungsi sasaran. Istilah penalti dipilih sedemikian hingga nilainya akan kecil untuk titik yang jauh dari batas kendala, dimulai dari titik layak x , yaitu sembarang titik yang memenuhi semua kendala, titik subbarisan yang dibangun akan selalu terletak di daerah layak karena batas kendala bertindak sebagai penghalang sepanjang proses minimasasi. Inilah alasan mengapa Metode Fungsi Penalti juga dikenal sebagai metode penghalang.

  Pada dasarnya Metode Penalti terbagi menjadi 2 yaitu Metode Fungsi Penalti Eksterior dan Metode Fungsi Penalti Interior. Akan tetapi, skripsi ini hanya membahas Metode Fungsi Penalti Interior, dimana penalti ditambahkan

  3

  B. Perumusan Masalah

  Pokok masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini sebagai berikut :

  1. Apa itu Metode Fungsi Penalti Interior ?

  2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala berupa pertidaksamaan dengan Metode Fungsi Penalti Interior ?

  C. Batasan Masalah

  Pada penulisan skripsi ini hanya akan dibahas tentang Metode Fungsi Penalti Interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan dan teknik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi tak berkendala menggunakan metode newton.

  D. Tujuan Penulisan

  Penulisan ini bertujuan untuk memberi wawasan dan pengetahuan kepada pembaca dengan pengertian dasar tentang bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti Interior.

  4

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentuk Metode Fungsi Penalti Interior dan bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti Interior dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan.

  F. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi literatur atau studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi, dalam skripsi ini tidak ada penemuan-penemuan yang baru.

  G. Sistematika Penulisan

  BAB I : PENDAHULUAN Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan

  masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.

  5

  BAB II : DASAR TEORI Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan ruang Euclid,

  fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, Barisan Konvergen dan Barisan Monoton, turunan parsial, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, Metode Newton serta teori optimisasi yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Interior.

  BAB III : METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,

  interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi Penalti Interior, bentuk umum Fungsi Penalti Interior dan algoritma metode Fungsi Penalti Interior disertai beberapa contoh masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti Interior, implementasi dengan program matlab serta konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior.

  BAB IV : PENUTUP Bab IV berisi kesimpulan dan saran.

BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Pada bab ini akan dipaparkan tentang metode fungsi penalti interior

  sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program nonlinear, yakni masalah optimisasi berkendala. Proses pencarian dalam menemukan penyelesaian optimal dengan menggunakan metode fungsi penalti interior akan dimulai dari daerah layak. Tetapi sebelum membahas lebih jauh tentang metode tersebut, akan dibahas terlebih dahulu tentang konsep dasar metode tersebut.

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti

  Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi masalah optimisasi tak berkendala adalah dengan metode fungsi penalti. Dalam kehidupan sehari-hari penalti yang berarti hukuman terjadi karena adanya pelanggaran. Dengan demikian, dalam masalah optimisasi berkendala fungsi penalti terjadi karena adanya pelanggaran, yaitu dengan menghilangkan kendala pada masalah optimisasi tersebut.

  Masalah optimisasi dasar dapat dinyatakan dalam bentuk meminimalkan f (x) dengan kendala g (x) ≤ 0 , j = 1, 2, , m ( 3.1 ) _j Κ

  n

  dengan fungsi f, g merupakan fungsi kontinu pada ℜ dan X himpunan tidak _{n j} kosong di ℜ . Perhatikan bahwa jika ada sembarang kendala yang diberikan maka persamaan tersebut dipenuhi oleh x ∈ X . Masalah optimisasi berkendala tersebut diubah ke dalam sebuah masalah minimisasi tak berkendala dengan membangun sebuah fungsi yang berbentuk _m

  = ( 3.2 ) φ φ (x, μ ) = f(x) + μ _{k k k Σ B(x) j 1}

  =

  dan μ adalah konstanta positif dimana B(x) adalah suatu fungsi dari kendala g j k yang dinamakan parameter penalti. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan ( 3.2 ) disebut syarat penalti. Jika minimisasi tak berkendala dari fungsi

  φ diulang untuk suatu barisan dari nilai-nilai parameter penalti μ untuk k = 1, 2, Κ maka _k penyelesaiannya akan konvergen ke masalah optimisasi dasar yang dinyatakan dalam persamaan ( 3.1 ). Jadi, penalti dapat diartikan sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti. Metode penambahan fungsi penalti ini disebut sebagai Metode Fungsi Penalti.

  Rumus Metode Fungsi Penalti untuk masalah berkendala dengan kendala berbentuk pertidaksamaan dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu metode fungsi penalti interior dan metode fungsi penalti eksterior. Rumus metode fungsi penalti interior yang sering digunakan berbentuk _m

  1 _{j 1 g ( x )} B(x) =

• = j

  Σ Rumus metode fungsi penalti eksterior yang sering digunakan berbentuk (x)]

  B(x) = max[0, g j

  atau ₂ max , g ( x )

  { } B(x) = [ j ]

  Di dalam metode fungsi penalti interior minimal tak berkendala dari φ _k berada dalam daerah layak dan konvergen ke penyelesaian persamaan ( 3.1 ) dengan

  μ berbeda dalam aturan tertentu. Dalam metode fungsi penalti eksterior k titik yang membuat nilai minimum dari masalah tak berkendala φ berada dalam _k daerah tak layak dan konvergen ke penyelesaian yang diinginkan dari luar dengan μ berbeda dalam aturan khusus. Untuk masalah penalti interior dan eksterior, _k konvergensi dari masalah optimisasi tak berkendala diilustrasikan pada

  φ k Gambar 2a dan Gambar 2b untuk masalah mencari nilai x yang meminimalkan f(x) = α x ₁ dengan kendala g (x) = β − x ≤ 0 _{1 1}

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Eksterior Untuk menggambarkan secara geometris metode fungsi penalti interior, α x dibuat terlebih dahulu grafik fungsi f(x) = dan kendala g (x) = β − x ≤ 0. _{1 1 1} selanjutnya masalah optimasi berkendala tersebut dibawa ke dalam masalah optimisasi tak berkendala dengan membentuk sebuah fungsi

  1

  1

= x dan μ sebagai parameter penalti.

  φ α ^{1 μ k k}

  dengan B(x) = -

  x β ^{1 β − x} ₁ Pencarian optimum dimulai dari daerah layak yang berada di daerah layak dan x ₁

  titik berikutnya yang dihasilkan selalu berada dalam daerah layak karena ada batas-batasnya. Karena pemilihan μ yang besar maka mengakibatkan _{k φ masih k} jauh dari optimum. Dengan cara yang sama, jika minimasi tak berkendala dari fungsi φ diulang untuk suatu barisan nilai-nilai parameter penalti k = 1, 2, .... _k dimana μ > μ maka penyelesaian akan konvergen ke masalah optimisasi dasar ^{k k} + ¹ dan akan mendekati optimum.

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior

  Dari Sub bab sebelumnya, dalam metode fungsi penalti interior sebuah fungsi baru φ yang dibentuk dengan menambahkan syarat penalti ke fungsi obyektif. Syarat penalti dipilih sedemikian hingga nilainya mengecil sehingga nilai fungsi

  φ akan menuju optimum. Kejadian ini bisa dilihat pada Gambar

  3.1.2. Minimisasi tak berkendala dari fungsi φ (x, μ ) dimulai dari sembarang k selama proses minimisasi. Inilah alasan mengapa metode fungsi penalti interior juga disebut sebagai metode barrier.

  Fungsi φ (x, μ ) didefinisikan sebagai _{k m}

  1

  ( 3.3 ) φ (x, μ ) = f(x) - k μ k

  Σ _{j 1 g ( x )} = _j

  Terlihat bahwa nilai fungsi φ (x, μ ) akan selalu lebih besar dari f(x) _k ketika g (x) negatif untuk semua titik layak x. Jika semua kendala g (x) _{j j} dipenuhi dengan tanda persamaan maka nilai φ menuju tak hingga dan syarat penalti di ( 3.3 ) tidak terdefinisi jika x tak layak. Karena persamaan ini tidak diperbolehkannya adanya kendala yang dilanggar maka titik awal layak harus dicari dalam proses pencarian menuju ke titik optimum. Sebagian besar masalah optimisasi nonlinear berkendala tidaklah sulit untuk menemukan sebuah titik yang memenuhi semua kendala g (x) ≤ 0 karena pemilihan titik x yang bebas. _j

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior

  Berikut akan diberikan algoritma dari metode fungsi penalti interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi dasar : meminimalkan f (x) kendala g (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m _j Algoritma metode fungsi penalti interior dapat diperlihatkan sebagai berikut :

  Mulai

  Masukkan titik awal x , ε > 0 , μ > 0 , dan _{1 1} skalar >

  β

  1 Tentukan k = 1 Bentuklah fungsi

  φ (x, μ ) = f(x) + μ B(x) k dengan _m

  −

  1

  Σ

  B(x) = _{j 1} = g ( x ) _{j *}

  Menentukan penyelesaian optimum dari masalah tidak berkendala x dari φ (x, μ ) _k

• x penyelesaian layak, langkah _k
• ^* YA

  ) < ε μ B(x k k dihentikan

  TIDAK μ = βμ dengan k = k +1 ^{k 1 k} Selesai

• Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior
Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan metode fungsi penalti interior adalah :

  Langkah 1

  Menentukan nilai awal x , parameter penalti μ > 0 dan skalar β ∈ ( , _{1 1} 1 ) dan diberikan ε > 0 dan k = 1.

  Langkah 2

  Membentuk fungsi _m φ (x, μ ) = f(x) + _{k μ B(x) k}

  1 _{j 1 g ( x )} dengan B(x) = Σ

• = _{j *}

  Langkah 3

  Mencari penyelesaian optimum x dari masalah optimisasi tidak _k berkendala φ (x, μ ) = f(x) + _{k μ B(x). k}

  Langkah 4

  Jika ) < ε langkah dihentikan, maka x merupakan μ B(x ^{k k k 1}

• penyelesaian layak. Sebaliknya jika ) >

  ε , maka tetapkan μ = β μ , μ B(x ^{k k k k 1}

• ganti k dengan k + 1 dan ulangi Langkah 2.

  Ada hal-hal yang perlu dipertimbangkan dalam menerapkan metode ini :

  1 tetapi mungkin dalam Proses iterasi dimulai dengan titik awal x ¹ beberapa kasus titik awal x ini tidak perlu dipersiapkan ₁ kasus khusus titik awal tidak diperlukan dalam menyelesaikan masalah optimisasi berkendala yang dapat dilihat dari fungsi kendalanya yang hanya terdapat satu variabel. Jika fungsi kendalanya terdapat beberapa variabel maka titik awal perlu dipersiapkan. Tetapi, ada beberapa keadaan sedemikian hingga titik layak tidak bisa ditemukan dengan mudah. Dalam kasus seperti ini, titik layak awal yang diminta dapat ditemukan dengan menggunakan metode fungsi penalti interior itu sendiri. Dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut :

  Langkah i

  Pilih sembarang titik x dan evaluasi g (x) di titik x . Karena titik x _{1 j 1 1} sembarang maka tidak semua titik memenuhi semua kendala pertidaksamaan.

  Jika ada r dari m kendala yang dilanggar, maka kendala-kendala tersebut dikelompokkan kembali sedemikian hingga r kendala yang dilanggar akan menjadi satu kelompok yang terakhir yaitu

  g ( x ) < , j =1,2, Κ , m-r _{j 1}

  dan g ( x ) , j = m-r+1, m-r +2, , m ( 3.4 ) _{j 1} ≥ Κ

  Langkah ii

  Identifikasi kendala yang memiliki kesalahan terbesar di titik x yaitu ₁ dengan mencari bilangan bulat k sedemikian hingga

  Langkah iii

  Selesaikan masalah optimasi yang dibuat dalam langkah 3 dengan mengambil titik x sebagai titik awal. Rumuskan masalah optimisasi yang ₁ baru seperti mencari x yang meminimalkan g (x) dengan kendala _k

  g ( x ) ≤ j =1,2, Κ , m-r ( _{j 1}

  3.6 ) dan g ( x ) − g ( x ) ≤ , j = m-r+1, m-r +2, Κ , k-1, k+1, Κ , m _{j 1 k 1} Langkah iv Selesaikan masalah optimisasi pada langkah (iii) dengan mengambil titik

  x sebagai titik awal menggunakan metode fungsi penalti interior. Metode ₁

  ini dapat diakhiri ketika nilai fungsi g (x) . Jadi penyelesaian akan

_k

≤ menghasilkan x yang memenuhi sedikitnya satu kendala dari himpunan _k kendala yang dilanggar oleh x . ₁ Langkah v

  Jika semua kendala tidak dipenuhi oleh titik x , ambil titik baru x = x _{k k}

  1

  dan kendala dikelompokkan kembali sedemikian hingga r pada kendala yang terakhir tidak akan dipenuhi dan ulangi langkah ii.

  Langkah ini dapat diulangi sampai semua kendala terpenuhi dan didapat

  g ( x ) < , j =1,2, ... , m-r

  2

  μ ) yang sesuai ¹ Dengan mencari parameter penalti awal ( Jika minimisasi tak berkendala φ (x, μ ) dikerjakan untuk suatu barisan _k turun μ , dengan memilih sebuah nilai μ yang sangat kecil maka nilai _{k 1} optimum dari fungsi φ akan konvergen ke penyelesaian masalah optimisasi dasar. Namun dari segi penghitungan, untuk minimisasi fungsi φ akan lebih mudah jika

  μ besar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.2. Terlihat _k bahwa jika nilai μ menjadi semakin kecil, nilai fungsi φ berubah dengan _k

  ∗

  lebih cepat di sekitar minimum φ . Pencarian minimum dari suatu fungsi k lebih mudah bila grafiknya lebih mulus karena fungsinya kontinu dan dapat diturunkan. Jika

  μ besar maka minimisasi tak berkendala φ akan menjadi _k ^* lebih mudah dan minimum dari x , akan menjadi lebih jauh dari φ , _{k k}

  ∗ minimum x .

3 Nilai perkalian faktor β yang dipilih haruslah tepat

  Jika nilai awal μ sudah dipilih maka nilai-nilai k μ berikutnya harus k dipilih sedemikian hingga μ < μ . Nilai μ dipilih dengan μ = β μ _{k 1 k k k 1 k}

  dimana β < 1. Nilai β dapat diambil sebagai 0,1 atau 0,2 atau 0,5 dan seterusnya.

4 Kriteria kekonvergenan yang sesuai harus dipilih untuk menentukan nilai optimum

  Karena minimisasi tak berkendala dari φ (x, μ ) harus dikerjakan _k menurut suatu barisan turun nilai

  μ maka perlu menggunakan kriteria k konvergensi yang sesuai untuk mengidentifikasikan titik optimum. Proses dapat dihentikan pada saat syarat berikut dipenuhi.

  a. Selisih relatif antara nilai fungsi obyektif yang dihasilkan pada akhir dari sembarang dua minimisasi tak berkendala yang berurutan berada dibawah sebuah bilangan yang kecil ε , yaitu _{* * 1}

  f ( x ) − f ( x ) _{k k 1}

• _* ^- ≤ .

  ε ¹

  f ( x ) _k

_{* *}

  b. Selisih antara titik optimum x - x menjadi sangat kecil. Ini dapat _{k k 1}

  −

  dinyatakan dalam beberapa cara. Yang biasa digunakan adalah ( Δ x ) ≤ ε . _{i 2 * *} Dengan x Δ =

  x - x _{k k 1} − x adalah anggota ke - i dari vektor x

  ( Δ ) Δ _i

  Max | ( x ) | Δ ≤ ε _{i 3 1} Nilai dari ε sampai ε harus dipilih bergantung pada karakteristik dari _{1 4} masalah yang ditangani.

  Berikut ini akan diberikan contoh masalah minimisasi yang tidak menggunakan titik awal.

  Contoh 3.1.1

  Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut : _{1 3} Minimalkan f ( x , x ) = (x + 3 ) + x _{1 2 3 1 2} Kendala g ( x , x ) = - x + 1 ≤ 0 _{1 1 2 1}

  g ( x , x ) = - x ≤ 0 _{2 1 2 2} Penyelesaiannya :

  Dalam kasus di atas titik awal tidak diperlukan karena fungsi kendalanya hanya terdapat satu variabel. Untuk mencari penyelesaian optimumnya maka μ ) yang sesuai. dibutuhkan parameter penalti awal ( ₁ Langkah 1

  Misalkan ε = 0,00001 μ = 1000

  β = 0,1 ₁

  Langkah 2

  Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + _{k 2} μ B(x)

  

1

− B(x) dipilih dengan B(x) =

  Σ _{j 1 g ( x )} = _j

  ⎡

  1 1 ⎤

  = −

  ⎢ ⎥ − + x

1 x

₂ ⎣ ⎦

  Sehingga diperoleh φ (x, μ ) = f(x) +

  μ B(x) k ₃

⎡ ⎤

  1

  1

• = (x + 3 ) + x
¹

  

⎢ ⎥

^{3 μ − 1 2 k} − x + 1 x ₂

⎣ ⎦

Langkah 3

  Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala, dan : dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x x _{1 2} Turunan parsial diperoleh :

  φ terhadap x ₁ ∂ φ ^{2 μ} _{k 1} - = (x + 1 ) = 0 ₂

  ∂ x ( ₁ 1 − x ) _{1 2 μ k} atau (x + 1 ) = _{1 2 2 2} ( 1 − x )

₁

  (x + 1 ) (1 - x ) = _{1 2 1 k} μ ₂ ( x + 2x +1 ) ( 1 - 2x + x ) = μ _{1 1 1 1 k}

  ₂

  1 ₂ x - 1 = μ _{1 k 1 2 1 2} x = ( μ +1 ) _{1 k}

  (3.1.1) Turunan parsial φ terhadap x diperoleh : ₂

  ∂ μ φ k

  = 1 - = 0 ₂ ∂ x x _{2 2 2}

  x = μ _{2 k 1 2}

  atau x = μ (3.1.2)

  2 _k

  Dari persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh penyelesaian optimum tak berkendala dan _{1 2 1 2 * *}

  x ( μ ) = ( μ _{1 k k 1 2} +1 ) x ( μ ) = μ _{2 k k}

• _* Dalam masalah ini tidak diperlukan titik awal karena setelah melakukan penghitungan secara kalkulus, titik x bergantung pada parameter penalti ( μ ). _k
₁ Apabila penyelesaian optimum tersebut disubstitusikan ke fungsi φ maka didapatkan : _{1 3} ⎡

  1 1 ⎤

  φ ( μ ) = (x + 3 ) + x μ − _{min k 3 1 2 k}

• x

  

⎢ ⎥

  1 x − + ₂

⎣ ⎦

• − − _{k k}
• _k
• −
• − _{k k k}
• − _{k k k}
• − _{k k k μ μ}
• − _{k k k μ}

  μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2 _k μ ^{2 1} - _{2 1 2 3 2}

  1

  1

  1

  1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛

  μ Untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah optimasi dasar dicari melalui :

  f _min = lim → _k

  μ ^min

  φ ( _k μ )

  = lim

  { ₃ ¹ [( _k μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2 _k

  → _k μ

  μ ^{2 1} - _{2 1 2 3 2}

  1

  1

  1

  1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎝ ⎛

  μ μ

  } =

  3

  8 = 2,66667

  Iterasi 1

  μ φ = ₃ ¹ [( _k

  μ ) ( _{min k}

  μ μ

  μ μ

  = ₃ ¹ [( _k μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + _k

  μ ^{2 1} + [ 1 ) 1 ( ^{2 1 2 1}

  μ μ

  ] + _{2 1 k} ^k μ

  μ = ₃ ¹ [( _k

  μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + _k μ ^{2 1} +

  )

  1 )( ) 1 ( 1 (

  )

  1 ( _{2 1 2 1 k k k k}

  μ μ

  1

  μ ^{2 1} = ₃ ¹ [( _k

  μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2 _k μ ^{2 1} - _{2 1 2 1}

  ) 1 (

  1

  1

  1

  μ μ μ

  = ^{3 1} [( _k μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2 _k

  μ ^{2 1} - _{2 1 2 1 2} )) 1 (

  1 (

  1

  Untuk k = 1

• −

  = ^{3 1} [( 1000 ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2( 1000 ) ^{2 1} - _{2 1 2 3 2} 1000

  1

  ⎤ ⎡

  = 100,777761 + 31,62278 = 132,400541 _*

  1 + x + x ₂ = ₃ ¹ ( 5,71164 + 1 ) ³ + 31,62278

  1

  3

  ( )

  = 374,77147 dan f( ₁ μ ) = ^{3 1}

  ⎢⎣ ⎡

  1 ⎥⎦ ⎤

  1

  1 1000

  1 1000

  μ μ μ

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  1

  1

  1

  μ ^{2 1} - _{2 1 2 3 2 1 1 1}

  μ φ = ₃ ¹ [( ₁ μ ^{2 1} +1 ) ^{2 1} + 1] ³ + 2 ₁

  ) ( _{1 min}

  = 31,62278 Sehingga diperoleh :

  μ ^{2 1} = 1000 ^{2 1}

  ( ₁ μ ) = _k

  x

• ^* ₂

  = ( 1000 ^{2 1} + 1 ) ^{2 1} = 5,71164 dan

• − = 100,777761 + 63,245554 + 210,748156

  1

  1 ₂

  1 = _{1 1 2}

  μ

• ⎛ ⎞

  1

  1

  1 ⎜ ⎟ _{3 2} + − ₂

  ⎜ ⎟ μ _{1 μ}

  μ ₁ ¹ ⎝ ⎠

  = 31,62278 + 210,74816 _* = 242,37094 > ε

  Penyelesaian belum optimal karena ) > ε maka langkah diteruskan.

  μ B(x ^{1 1} Langkah 4 Tetapkan

  μ = ^{2 β μ 1} = (0,1)1000 = 100

  Iterasi 2

  Untuk k = 2

  Langkah 3

  Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika _{1 1} ^*

  x ( + 1 ) ₁

  μ ) = ( μ _{2 2} ² _{1 2} ² _{1 2} = ( 100 + 1 )

  = 3,31662 _{1 2 *} dan x ( μ ) = μ _{2 2 2 1 2} = 100 = 10

  1 ₂

  1 μ - _{2 1 2} }

  ⎛ ⎞

  1

  1