16342083 Aturan Sinus Cosinus Dan Luas S

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
REPUBLIK INDONESIA

Mempersembahka

APLIKASI SINUS,
SINUS,
APLIKASI
COSINUS DAN
DAN LUAS
LUAS
COSINUS
SEGITIGA
Untuk
Kelas X SMA
SEGITIGA

Disusun Oleh :

Padiya,S.Pd.

Semester 2

Pengajar Matematika SMAN 1 Rantau
Kabupaten Tapin Propinsi Kalimantan
Selatan

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan perbandingan , fungsi, persamaan, dan
identitas trigonomteri dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR
1. Menngunakan sifat dan aturan
tentang fungsi trigonometri,
rumus sinus dan rumus kosinus
dalam pemecahan masalah.
2. Melakukan manipulasi aljabar
dalam perhitungan teknis yang
berkaitan dengan fungsi
trigonometri

INDIKATOR
Membuktikan rumus sinus dan rumus
kosinus
Menggunakan rumus sinus dan rumus
kosinus dalam penyelesaian soal.
Menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui
Menghitung luas segibanyak tertentu
dengan menggunakan rumus luas segitiga

TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini diharapkan
siswa dapat :
• Membuktikan aturan sinus
• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan
menggunakan aturan sinus.
• Membuktikan aturan kosinus.
• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan
menggunakan aturan kosinus
• Membuktikan rumus luas segitiga.

• Menghitung luas suatu segitiga
• Menghitung luas segibanyak tertentu
dengan menggunakan rumus luas segitiga

MENU UTAMA
ATURAN SINUS
ATURAN
KOSINUS

LUAS
SEGITIGA

SELESAI

PILIH SALAH SATU (TEKAN

ATURAN SINUS
Pada segitiga ABC berlaku

BUKTI :

B

Perhatikan segitiga
ABC di samping.

A

Pada segitiga ABC
tersebut sisi AB = c, sisi
AC = b dan sisi BC = a.

b

c

a D

a
b

c


SinA SinB SinC

C

Pada segitiga ABC
tersebut buatlah garis
tinggi AD.

Perhatikan segitiga ADB
dan segitiga ADC siku-siku
di D di samping.
Pada segitiga ADB tersebut
berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :
AD
SinB 
AB
AD = AB.sin B

A

b

c

 AD= c.sin B (1)
B

aD

C

Pada segitiga ADC siku-siku
berlaku
di D
AD AD = AC.sin C

SinC 

AC

AD = b.sin C (2)

Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC
diperoleh hubungan sebagai berikut:
c.sin B = b.sin C

b
c

SinB SinC

(3)

Perhatikan segitiga AEC dan
segitiga BEC siku-siku di E di
samping.
Pada segitiga AEC berlaku

perbandingan trigonometri
sebagai berikut :
EC
SinA 
AC
 EC = AC.sin A

C

a
b

A

E c

Pada segitiga ABC di atas
buatlah garis tinggi CE.

B

 EC= b.sin A (4)
Pada segitiga BEC siku-siku
di E berlaku :

EC  EC = BC.sin B
SinB 
BC  EC = a.sin B (5)

Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB
diperoleh hubungan sebagai berikut:
b.sin A = a.sin B

a
b

SinA SinB

(6)

b
c

SinB SinC

(3)

b
a

SinB SinA

(6)

Dari rumus (3) dan (6) di atas
diperoleh hubungan sebagai berikut :

a
b
c



SinA SinB SinC
Rumus terakhir dikenal
dengan

ATURAN SINUS

CONTOH SOAL
1. Pada segitiga ABC diketahui  A = 30o,  B = 45o dan sisi a =
6 cm.
Tentukanlah :
a. besar  C.

b. panjang b.

Jawab :
a. Dalam  ABC berlaku  A +  B +  C = 180o, maka  C
= 180o -  A -  B = 180o – 30o – 45o = 105o
Jadi besar  C = 105o
b.

a
b
6
b



SinA
SinB
Sin30o
Sin 45o
6.Sin 45o
6.0,7071
b

8,49
o
Sin30
0,5

Jadi panjang b = 8,49 cm

ATURAN SINUS
Pada segitiga ABC berlaku
a
b
c


SinA SinB SinC

APLIKASI ATURAN SINUS
Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan
(digunakan) untuk menentukan unsur-unsur
pada sebuah segitiga yang belum diketahui,
apabila unsur-unsur yang lainnya telah
diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam
sebuah segitiga dapat terdiri dari
1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd
2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd
3) sisi, sisi, sudut disingkat ss, ss, sd

CONTOH :
1. Pak Udin ingin mengukur panjang
batas-batas kebunnya yang berbentuk
segitiga. Pada titik-titik pojok kebun
ditempatkan tonggak A, B dan C.
Jika jarak tonggak A dan B = 70 m
dan  ABC = 40o ;  BCA = 60o,
tentukan panjang batas kebun Pak
Udin lainnya yang belum diketahui !

Penyelesaian:
Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan
sebagai berikut :
70 m

A

40o
60o
C

B

Pada gambar di samping
Diketahui :
Panjang AB = c = 70 m
 ABC =  B = 40o
 BCA =  C = 60o
(sisi, sudut, sudut)
Yang belum diketahui :
 BAC =  A = …..?
Panjang AC = b = ….?
Panjang BC = a = ….?

Pada segitiga ABC berlaku :  A +  B +  C = 180o
 A = 180o -  B -  C
= 180o – 40o – 60o
= 80o
*) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :

a
c
c.SinA

 a
SinA SinC
SinC
o
70.Sin80
70.0,9848
a

79,60
o
Sin60
0,8660
Jadi panjang BC = a = 79,60 m

*) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :

b
c
c.SinB

 b
SinB SinC
SinC
70.Sin 40 o 70.0,6428
b

51,96
o
Sin60
0,8660
Jadi panjang AC = b = 51,96 m
Dengan demikian panjang batas-batas kebun pak Udin
yang lain adalah panjang BC = 79,60 m dan panjang
AC = 51,96 m

2. Pada pukul 09.00 WIB kapal
KAMBUNA berlayar dari Tanjung
Priok dengan arah 060o dan kecepatan
rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00
WIB kapal itu mengubah haluan
menjadi 085o dengan kecepatan tetap.
Berapakah jarak kapal KAMBUNA
dari Tanjung Priok pada pukul 13.00
WIB dan bagaimana arahnya ?

Penyelesaian :
Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :
U
O
Kec = 8 mil/jam
85
U
R
B
pukul 13.00 WIB
T
Kec = 8 mil/jamQ
pukul 11.00 WIB

60O

B

S
T

P Tanjung Priok pukul 09.00 WIB
S

Panjang PR = ….?
 UPR = ….?

Pada gambar di atas PQS =  UPQ = 60o (sudut berseberangan)
 TQR =  UQT -  UQR = 90o - 85o = 5o
 PQR =  PQS +  SQT +  TQR = 60o + 90o + 5o = 155o

Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama
perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu
2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 mil
Dengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama
kaki, sehingga QPR =  QRP = ½ (180o -  PQR)
= ½ (180o - 155o) = ½ (25o) = 12,5o
Pada segitiga PQR berlaku :
PR
QR
QR.SinQ

 PR 
SinQ SinP
SinP
16.Sin155o 16.0,4226
PR 

32,25
o
Sin12,5
0,2164

Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priok
pada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o
(yaitu  UPR =  UPQ +  QPR = 60o + 12,5o = 72,5o)

APAKAH ANDA
SUDAH MENGERTI
????
SUDAH =
BELUM =
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

ATURAN KOSINUS
2
2
2
Pada setiap segitiga
b c  a
CosA 
ABC berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.Cos A
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.Cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.Cos C

2bc
2
2
2
a c  b
CosB 
2ac
2
2
2
a b  c
CosC 
2ac

Perhatikan segitiga ABC di
samping.
C(b.cos A, b.sinA) Jika segitiga tersebut kita
C
letakkan pada bidang koordinat kartesius dengan titik
A berimpit pada titik asal
O(0,0) dan sisi AB berimpit
a
dengan sumbu X.
Maka diperoleh koordinatkoordinat titik sudut segitiga itu sebagai berikut.

BUKTI :
Y

b

X
O A(0,0)
A
c

B(c,0)
B

Titik A(0,0) ,
Titik B(c,0)
Titik C(b.cos A, b.sinA)

Y

Kita cari panjang BC dengan
menggunakan rumus jarak :
C
C(b.cos
A, b.sinA) BC2 = (b.cosA – c)2 + (b.sinA-0)2
a2 = b2.cos2A – 2.b.c.cos A + c2 +

b

b2.sin2A
a2 = b2 ( cos2A + sin2A ) + c2 -

a

2.b.c.cosA
karena cos2A + sin2A = 1, maka

X
O A
A(0,0) c

B(c,0)
B

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

atau

b2  c2  a2
CosA 
2bc

Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal
O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita
peroleh :
2
2
2

b a  c  2ac.CosB
2

2

a c  b
atau cos B 
2ac

2

Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0)
dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

c 2 a 2  b 2  2ab.CosC
a2  b2  c2
atau cos C 
2ab
Rumus-rumus di atas dinamakan

ATURAN KOSINUS

CONTOH SOAL
Pada segitiga ABC diketahui A = 60o , b = 5 cm dan c
= 6 cm. Tentukan panjang a !.
Jawab :
a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
a2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos 60o
= 25 + 36 – 60. ½
= 61 – 30
= 31
a =  31. Jadi panjang a = 31 cm.

ATURAN COSINUS

Pada segitiga ABC berlaku
2

2

2

2

2

2

2

2

2

a b  c  2bc.CosA
b a  c  2ac.CosB
c a  b  2ab.CosC

APLIKASI
ATURAN COSINUS

Aturan cosinus secara umum dapat
diaplikasikan (digunakan) untuk
menentukan
1. Panjang sisi pada sebuah segitiga yang
belum diketahui, apabila dua sisi lainnya
dan besar sudut yang diapit oleh kedua
sisi itu diketahui (ss,sd,ss)
2. Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika
panjang ketiga buah sisinya telah
diketahui (ss,ss,ss)

CONTOH :
1. Sebuah bola bilyard bergerak
dengan arah 060o sejauh 40 cm,
kemudian memantul dan bergerak
dengan arah 280o sejauh 35 cm.
Tentukan jarak dan arah posisi akhir
bola bilyard dari posisi awal. !

Penyelesaian :
Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :
Pada gambar disamping
 KLS =  UKL = 60o
 KLB =  BLS -  KLS
Posisi akhir bola bilyard
U
= 90o – 60o = 30o
M
35 cm 280O  BLM = 10o
 KLM =  KLB +  BLM
L
B
T
U
= 30o + 10o = 40o
Dengan demikian pada segi40
cm
60O
S
tiga KLM diketahui :
B
T
K Posisi awal bola bilyard Panjang KL = m = 40 cm
 KLM =  L = 40o
S
Panjang LM = k = 35 cm
Panjang KM = l =….?
(ss, sd, ss)
 UKM = ….?

Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut :
2

2

2

l k  m  2km.CosL
2

2

2

l 35  40  2.35.40.Cos 40

o

2

l 1225  1600  2800.0,7660
2

l 2825  2144,8
l 2 680,2
l  680,2 26,08
Jadi jarak posisi akhir bola bilyard dari posisi awal
adalah = panjang KM = l = 26,08 cm

Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dari
Posisi awal, sebagai berikut :
 UKM =  UKT -  MKL -  LKT
KL2  KM 2  LM 2
Cos MKL 
2.KL.KM
40 2  26,082  352
 Cos MKL 
2.40.26,08
1600  680,17  1225
 Cos MKL 
2086,4
1055,17
 CosMKL 
0,5057
2086,4
 MKL 59,62o

Dengan demikian  UKM = UKT -  LKT -  MKL
= 90o -30o-59,62o=0,38o
Jadi dengan demikian jarak bola bilyard pada posisi
akhir dari posisi awal adalah = panjang KM = 26,08 cm
dengan arah 0,38o

APAKAH ANDA
SUDAH
MENGERTI ????
SUDAH =
BELUM =
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

LUAS SEGITIGA
C

a

b

A

Luas segitiga ABC disamping adalah :

c

L = ½ a.b.sin C

B

atau

L = ½ a.c.sin B

atau

L = ½ b.c.sin A

BUKTI :

C

CD
SinA 
AC

a

b

A

Luas segitiga ABC di samping
adalah :
L = ½ x AB x CD (1)
Pada segitiga ADC, sikusiku di D berlaku :

D c

Pada segitiga ABC di
atas kita buat garis
tinggi CD.

B

CD = AC.sin A (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AB x CD
L = ½ x AB x AC.sin A
L = ½ .c.b.sinA
L = ½ .b.c.sin A

Luas segitiga ABC di samping
adalah :

C

L = ½ x AB x CD

(3)

Pada segitiga BDC, sikusiku di D berlaku :
b

A

CD
SinB 
BC

a

D c

Pada segitiga ABC di atas
kita buat garis tinggi CD.

B

CD = BC.sin B (4)
Dari (3) dan (4) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AB x CD
L = ½ x AB x BC.sin B
L = ½ .c.a.sinB
L = ½ .a.c.sin B

Luas segitiga ABC di samping
adalah :
L = ½ x AC x BE (5)

B

Pada segitiga BEC, sikusiku di E berlaku :
a

c

A

BE
SinC 
BC

E b

Pada segitiga ABC di atas
kita buat garis tinggi BE.

C

BE = BC.sin C (6)
Dari (5) dan (6) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AC x BE
L = ½ x AC x BC.sinC
L = ½ .b.a.sin C
L = ½ .a.b.sin C

CONTOH SOAL
1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b =
6 cm dan C = 30o
Jawab :
L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o = 12. ½ = 6
Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2
2. Luas segitiga ABC adalah 243 cm2. Panjang sisi a = 8
cm dan panjang sisi c = 12 cm. Tentukan besar  B (dua
kemungkinan)!.
Jawab :
1
L
ac.SinB  SinB 
1
2
a.c
2
24 3
24 3
1
SinB 


3
1
48
2
.8.12
2
1
SinB 
3
2
L 

maka

B 60 0 atau

B 120 o

RUMUS LUAS SEGITIGA
Pada

segitiga

ABC

berlaku

1
Luas  a.b.SinC atau
2
1
Luas  a.c.SinB atau
2
1
Luas  b.c.SinA
2

APLIKASI
RUMUS LUAS SEGITIGA
Rumus luas segitiga dapat digunakan
untuk menghitung luas segiempat,
segilima, segienam dan segi banyak
lainnya. Dengan kata lain rumus luas
segitiga dapat digunakan untuk
menghitung atau menentukan luas
segi-n dengan n  3

Contoh 1 :
C

D
6 cm

A

60o
8 cm

B

Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui :
AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan  BAD = 60o.
Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD
tersebut.

Penyelesaian
C

D
6 cm

A

60o
8 cm

B

Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah
segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDC
yang kongruen (sama dan sebangun)

Luas segitiga ABD adalah
L = ½ AB. BD. Sin BAD
L = ½ 8.6.Sin 60o
L = ½ 48. 0,8660
L = 20,784
Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2
Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD,
Maka luas  BDC = luas  ABD = 20, 874 cm2

Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalah
sama dengan luas segitiga ABD ditambah luas
segitiga BDC = 20,784 cm2 + 20.784 cm2 = 41,564
cm2

Contoh 2 :
S

T

O

U

8 cm
P

8 cm
Q

Pada gambar di samping
segienam PQRSTU berada
dalam sebuah lingkaran
R yang berjari-jari 8 cm dan
berpusat di O
Hitunglah :
a. Luas  OPQ
b. Luas segienam PQRSTU

Penyelesaian :
S

T

O

U

8 cm
P

8 cm
Q

Pada segienam PQRSTU kita
buat enam buah segitiga,yaitu :
 POQ,  QOR,  ROS ,
 SOT,  TOU, dan  UOP
yang kongruen
Karena PQRSTU merupakan
segienam beraturan, maka
o
o

POQ
=
360
/6
=
60
dan
R
OP = OQ = 8 cm.
a. Luas  POQ = ½xOPxOQx
sin POQ
= ½ x 8 x 8 x Sin 60o
= 32 x 0,8660
= 27,712 cm2

b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga
yang masing-masing kongruen dengan  POQ
Jadi luas segienam PQRSTU
= 6 x luas  POQ
= 6 x 27,712 cm2
= 166,272 cm2

APAKAH ANDA
SUDAH
MENGERTI ????
SUDAH
=
BELUM
=
PILIH SALAH SATU (TEKAN
TOMBOL)

SELAMAT
ANDA S UDAH SELESAI
MEMPELAJARI
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
DALAM TRIGONOMETRI

SEMOGA BERHASIL