BAB I PENGENALAN KONSEP SISTEM KONTROL

BAB I
PENGENALAN KONSEP SISTEM KONTROL
1.1 Konsep Dasar Sistem Kontrol
Dewasa ini kontrol automatik telah memegang peranan penting
dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Kemajuan pada teori kontrol dan
praktis yang sangat pesat memberikan kemudahan dalam mendapatkan
unjuk kerja sistem dinamik, mempertinggi kualitas, menurunkan biaya
produksi, mempertinggi laju produksi, dan meniadakan pekerjaan-pekerjaan
rutin dan membosankan yang biasa dilakukan manusia maka diperlukan
pemahaman yang baik pada bidang ini.
Pada umumnya suatu sistem apapun yang berada di alam ini
mempunyai ciri-ciri, diantaranya terdapat tujuan tertentu pada sistem itu.
Selain itu, adanya berbagai komponen pada sistem tersebut, pada komponenkomponen tersebut mempunyai fungsi masing-masing yang merupakan
suatu kesatuan. Dengan kata lain, sistem terdiri atas komponen-komponen
yang mempunyai fungsi masing-masing dan saling bekerja sama untuk
mencapai suatu tujuan tertentu yang telah ditetapkan.
Sistem kontrol merupakan proses pengaturan atau pengendalian
terhadap satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga
didapatkan suatu harga atau didapatkan harga-harga dalam suatu range
(jangkauan ) tertentu.
Sistem kontrol juga merupakan sebuah sistem dimana komponenkomponennya dihubungkan sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah

konfigurasi sistem. Sistem kontrol tersebut mengatur sistemnya sendiri atau
sistem yang lain sehingga didapatkan tanggapan sistem yang diinginkan.
Pemakaian sistem kontrol banyak dijumpai dalam kehidupan seharihari baik dalam pemakaian langsung maupun tidak langsung. Sistem kontrol
tersebut umumnya merupakan sistem yang pengontrolannya menggunakan
cara manual otomatis.
Sistem kontrol otomatis merupakan sistem kontrol loop tertutup
dengan acuan masukan atau keluaran yang dikehendaki dapat konstan atau
berubah secara perlahan dengan berjalannya waktu. Tugas utama sistem
kontrol adalah menjaga keluaran yang sebenarnya pada harga yang
diinginkan dengan adanya gangguan dalam sistem. Sebagai contoh sistem
kontrol otomatis adalah sebagai berikut:
a. Pengontrolan proses, misalnya pengontrolan temperatur, aliran,
tekanan, tinggi permukaan cairan, pH, dan sebagainya.
b.
Pembangkit tenaga listrik, misalnya pengaturan tegangan,
frekuensi, dan sebagainya.

1

P e n g e n a la n K o n s e p S is te m P e n g a tu r a n

S i s t e mc. :

Pengontrolan numerik yaitu pengontrolan operasi yang
membutuhkan
- m e m p u n y a i t u j u a n ketelitian tinggi dalam proses yang berulang-ulang.
- t e r Misalnya
d i r i d a r i k o mpembuatan
p o n e n - k o mlobang,
p o n e n tekstil, pengelasan, dan sebagainya.
- kd.o m p o n e n - k Transportasi,
o m p o n e n t e r s e bmisalnya
u t m e m p u elevator,
n y a i f u n g s ieskalator, ban berjalan,
m akereta
s i n g - m api,
a s i n gpesawat
y a n g m e terbang,
r u p a k a n sdan
u a t usebagainya.
k e s a tu a n

e.
Servomekanis
f.
Bidang non teknik, misalnya bidang ekonomi, sosiologi,
1 .1 .K o n s e p D a s a r S is te m K o n tr o l
dan biologi.
S is te m k o n t r o l a d a la h h u b u n g a n a n ta r a k o m p o n e n - k o m p o n e n
Sebagai dasar dalam menganalisis dan mendesain sistem kontrol
y a n g m e m b e n t u k s e b u a h k o n fig u r a s i s is te m u n tu k
adalah mdengan
atau proses yang akan
e n d a p a menggunakan
t k a n t a n g g a p a n teori
s i s t e m sistem
y a n g d linier.
i i n g i n k aPlant
n
dikontrol dapat direpresentasikan oleh hubungan sebab akibat, hal tersebut
D a s a r u dalam
n t u k m eGambar

n g a n a l i s i s1.1.
d a n Input
m e n d emerupakan
s a i n s i s t e m ksesuatu
o n t r o l yang diinginkan
dapat dilihat
a d a la h te o r i s is te m lin ie r
dalam sistem kontrol, sedangkan output merupakan sesuatu yang terjadi atau
merupakan
P l a n t tanggapan
a t a u p r o s e s sistem.
y a n g a k a n d ik o n tr o l
d a p a t d ir e p r e s e n ta s ik a n o le h h u b u n g a n s e b a b a k ib a t

in p u t

p la n t a ta u p r o s e s

o u tp u t

Gambar 1.1 Hubungan Sebab Akibat dalam Sistem Kontrol.
1.2 Klasifikasi Sistem Kontrol
Sistem kontrol dapat diklasifikasikan dengan berbagai cara,
diantaranya adalah sebagai berikut.
1.2.1 Sistem Loop Terbuka dan Loop Tertutup
Sistem loop terbuka menggunakan peralatan penggerak untuk
mengontrol proses secara langsung tanpa umpan balik. Pada sistem ini harga
keluaran sistem tidak dapat dibandingkan terhadap harga masukannya.
Dengan kata lain keluaran tidak memberikan efek terhadap besaran masukan
atau variabel yang dikontrol tidak dapat dibandingkan terhadap harga yang
diinginkan. Umumnya masukan sistem dipilih berdasarkan pengalaman.
Sistem loop terbuka mempunyai ciri-ciri, diantaranya sederhana, harganya
murah, dapat dipercaya, dapat kurang akurat karena tidak terdapat koreksi
terhadap kesalahan, dan berbasis waktu.
Salah satu contoh sistem loop terbuka adalah sistem pengaturan
temperatur ruangan. Untuk mendapatkan temperatur yang diinginkan,
operator menggunakan pengalamannya untuk mengeset daya yang
dibutuhkan sistem agar keluaran sistem yang berupa temperatur ruangan
sesuai dengan temperatur ruangan yang diinginkan. Hal tersebut dapat

2

1

C o n t o h L odalam
o p T e r b ubentuk
ka
digambarkan
diagram balok seperti yang terlihat dalam
Gambar 1.2.
in p u t

o u tp u t

P la n t

(te m p e ra tu r ru a n g a n )

(p e n g e s e ta n d a y a 1 K W a ta u 2 K W )

Gambar 1.2 Diagram Balok Sistem Loop Terbuka Sistem
Pengaturan Temperatur Ruangan.
Contoh sistem loop terbuka yang lain adalah sistem pengaturan
permukaan cairan dalam tangki (lihat Gambar 1.3). Pada sistem tersebut
diinginkan tinggi permukaan cairan, h, tetap walaupun fluida pada katub K 1
berubah-ubah. Hal tersebut dapat dicapai dengan pengaturan secara manual
pada katub K2 pada waktu tertentu sesuai pengalaman operator.

P e n g e n a la n K o n s e p S is te m P e n g a tu r a n
S is te m P e n g a tu r a n L o o p T e r b u k a
c o n to h :
* s is te m p e n g a tu r a n p e r m u k a a n ta n g k i
- h te ta p w a la u a lir a n flu id a
p a d a k a tu b K 1 b e ru b a h -u b a h

Gambar 1.3 Sistem Pengaturan Permukaan Cairan dalam Tangki.
Sistem tersebut dapat digambarkan dengan
terlihat dalamD Gambar
1.4.
ia g r a m B a lo k :

in p u t
( h y a n g d iin g in k a n )

- d ic a p a i d e n g a n p e n g a tu r a n s e c a r a
m a n u a l p a d a k a tu b K 2 p a d a
diagram
seperti
w a k balok
t u t e r t e nsebagai
tu

S is te m P e n g a tu r a n
(k a tu b K 2 d a n o p e ra to r)

o u tp u t
(h s e s u n g g u h n y a )

Gambar 1.4 Diagram Balok Sistem Loop Terbuka Sistem
Pengaturan Permukaan Cairan dalam Tangki.
Sistem pengaturan peluncur rudal juga merupakan contoh sistem loop

terbuka (lihat Gambar 1.5). Pada sistem ini yang diinginkan adalah
pengaturan sudut peluncur rudal sesuai dengan jarak atau tujuan yang
diinginkan. Dalam hal ini komando berupa sinyal dari potensiometer yang
merupakan sinyal untuk menggerakkan peluncur rudal. Sinyal kontrol
diperkuat sehingga dapat menggerakkan motor yang terhubung dengan
peluncur rudal.

3

7

P e n g e n a la n K o n s e p S is te m P e n g a tu r a n
S is te m P e n g a tu r a n L o o p T e r b u k a
* s is te m p e n g a tu r a n p e lu n c u r r u d a l
+ v

s in y a l
k o n tro l
-v

Penguat
D aya

M o to r

lo k a s i
re m o te

Gambar
- p o s i s i1.5
s u d Sistem
u t p e l u n Pengaturan
c u r r u d a l d i a tPosisi
ur
Sudut Peluncur Rudal.
- k o m a n d o ( p o te n s io m e te r ) u n tu k m e n g g e r a k k a n p e lu n c u r r u d a l
i n y a l k o n t rbalok
o l d i p e rsistem
kuat
m e n g g e r a k k a posisi

n m o t o r sudut peluncur rudal
Sedangkan- sdiagram
pengaturan
y a n dilihat
g t e r h u bdalam
u n g d e Gambar
n g a n p e l u1.6.
ncur
tersebut dapat
in p u t
( p o s is i s u d u t y a n g d ik e h e n d a k i)

S is te m P e n g a tu r a n
(P e n g u a t d a y a & M o to r)

o u tp u t
( p o s is i s u d u t y a n g te r ja d i)

Gambar 1.6 Diagram Balok Sistem Pengaturan Posisi Sudut
Peluncur Rudal.
Agar posisi sudut tersebut akurat, maka pada sistem loop terbuka tersebut
harus memenuhi syarat-syarat diantaranya adalah sebagai berikut:
a. Peluncur rudal harus dikalibrasi secara tepat dengan referensi
posisi sudut potensiometer.
b. Karakteristik potensimeter, penguat, motor harus konstan.
Sistem loop tertutup menggunakan pengukuran keluaran dan
mengumpanbalikkan sinyal tersebut untuk dibandingkan dengan keluaran
yang diinginkan (input atau referensi). Atau dengan kata lain keluaran dapat
memberikan efek terhadap besaran masukan atau besaran yang dikontrol
dapat dibandingkan terhadap harga yang diinginkan. Sinyal
diumpanbalikkan terhadap kontroler yang akan membuat pengubahan
terhadap sistem agar keluaran sistem seperti yang diinginkan
Perbandingan sistem loop tertutup terhadap loop terbuka adalah sebagai
berikut:
 Lebih kompleks
 Harga yang lebih mahal
 Lebih dapat dipercaya
 Biasanya lebih akurat

4

8

P e n Suatu
g e n a proses
l a n K o dalam
n s e p sistem
S i s t e mloop
K o tertutup
n t r o l secara fungsional
dapat dinyatakan dalam diagram balok, seperti terlihat dalam Gambar
1.7.B l o c k D i a g r a m o f a f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m
D is t u r b a n c e

u
R e fe re n c e
In p u t

r

A c t u a t in g
S ig n a l

+

e=r
b

b

C o n tro l
E le m e n t :g 1

M a n ip u la t e d
V a r ia b le
m
fo rw a rd p a th

P la n t
g2

C o n t r o lle d
O u tp u t

c

Feedback
E le m e n ts
h
fe e d b a c k p a th

Gambar 1.7 Diagram Balok Sistem Loop Tertutup.
Secara umum, komponen sebuah sistem kontrol loop tertutup terdiri dari :
a. Reference Input (masukan acuan, r), merupakan sinyal acuan bagi
14
sistem kontrol.
b. Actuating Signal (e), merupakan sinyal kesalahan/error. yang
merupakan selisih antara sinyal acuan (r) dan sinyal b.
c. Control Element, (g1) merupakan elemen yang berfungsi untuk
memproses kesalahan/error yang terjadi dan setelah kesalahan
tersebut dimasukkan melalui elemen pengontrol.
d. Manipulated Variable (variabel yang dimanipulasi), merupakan
sinyal yang dihasilkan oleh control element yang berfungsi sebagai
sinyal pengontrol tanpa adanya gangguan.
e. Plant/proses, merupakan obyek fisik yang dikontrol, dapat berupa
proses mekanis, elektris, hidraulis maupun gabungannya.
f. Disturbance, merupakan sinyal gangguan yang tidak diinginkan.
g. Feedback Element (jalur umpan balik), merupakan bagian sistem
yang mengukur keluaran yang dikontrol dan kemudian
mengubahnya menjadi sinyal umpan balik.
h. Forward Path, merupakan bagian sistem tanpa umpan balik.
Dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai berbagai jenis sistem
kontrol, diantaranya sistem mekanis, elektris, thermis ataupun gabungannya.
Pada dasarnya sistem tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram
balok. Diagram balok sistem kontrol loop tertutupnya dapat dilihat dalam
Gambar 1.8 berikut:

5

1 .1 S is te m K o n tr o l L o o p T e r tu tu p
B lo k d ia g r a m s is te m k o n tr o l m e n g g u n a k a n fe e d b a c k

sum ber daya

in p u t
(m a s u k a n )

d e te k s i
k e s a la h a n

gangguan
R espons
( k e lu a r a n )

A la t K o n tr o l

Beban

fo r w a r d p a th

u m p a n b a lik
fe e d b a c k p a th

Gambar 1.8 Diagram Balok Sistem Kontrol menggunakan Feedback /
Umpan Balik.
Komponen sistem kontrol loop tertutup tersebut terdiri dari
komponen-komponen sebagai berikut:
12
a. Input (masukan) merupakan rangsangan yang diberikan pada sistem
kontrol, merupakan harga yang diinginkan bagi variabel yang
dikontrol selama pengontrolan. Harga ini tidak tergantung pada
keluaran sistem.
b. Output (keluaran, respons) merupakan tanggapan pada sistem
kontrol, merupakan harga yang akan dipertahankan bagi variabel
yang dikontrol, dan merupakan harga yang ditunjukkan oleh alat
pencatat.
c. Beban/plant merupakan sistem fisis yang akan dikontrol (misalnya
mekanis, elektris, hidraulik ataupun pneumatik).
d. Alat kontrol/kontroller merupakan peralatan/rangkaian untuk
mengontrol beban (sistem). Alat ini bisa digabung dengan penguat.
e. Elemen umpan balik menunjukkan atau mengembalikan hasil
pencatatan ke detektor sehingga bisa dibandingkan terhadap harga
yang diinginkan (di stel)
f. Error detector (alat deteksi kesalahan) merupakan alat pendeteksi
kesalahan yang menunjukkan selisih antara input (masukan) dan
respons melalui umpan balik (feedback path).
g. Gangguan merupakan sinyal-sinyal tambahan yang tidak diinginkan.
Gangguan ini cenderung mengakibatkan harga keluaran berbeda
dengan harga masukannya. Gangguan ini biasanya disebabkan oleh
perubahan beban sistem, misalnya adanya perubahan kondisi
lingkungan, getaran ataupun yang lain.
Sebagai contoh sistem loop tertutup adalah sistem pengaturan
temperatur ruangan otomatis. Diagram balok sistem tersebut dapat dilihat
dalam Gambar 1.9.

6

C o n to h L o o p T e rtu tu p
P e n g e s e ta n d a y a y a n g d ih a r a p k a n
in p u t

+

( te m p e r a tu r ru a n g a n y a n g d ih a r a p k a n )

o u tp u t
K o n t r o le r

P la n t

(te m p e ra tu r ru a n g a n )

P e n g u k u ra n
T e m p e ra tu r

Gambar 1.9 Diagram Balok Sistem Pengaturan Temperatur Ruangan
Otomatis.
Sistem pengaturan permukaan cairan dalam tangki secara otomatis
juga merupakan sistem loop tertutup seperti terlihat dalam Gambar 1.10.
Dalam sistem tersebut diinginkan tinggi permukaan cairan dalam tangki, h,
tetap walaupun aliran fluida pada katub K 1 berubah-ubah. Jika permukaan
tangki tidak sesuai dengan yang diinginkan, akan terbentuk tegangan error e.
Tegangan e diperkuat sehingga dapat memberikan input pada penggerak/
motor untuk membuka/ menutup katub K2.

Gambar 1.10 Sistem Pengaturan Tinggi Permukaan Cairan dalam
Tangki Secara Otomatis.
Sedangkan diagram balok sistem pengaturan tinggi permukaan
cairan dalam tangki secara otomatis dapat dilihat dalam Gambar 1.11.

Gambar 1.11 Diagram Balok Sistem Pengaturan Tinggi Permukaan
Cairan dalam Tangki Secara Otomatis.

7

Contoh sistem loop tertutup yang lain adalah sistem pengaturan
posisi sudut peluncur rudal secara otomatis seperti terlihat dalam Gambar
1.12.

Gambar 1.12 Sistem Pengaturan Posisi Sudut Peluncur Rudal
Secara Otomatis.
1.2.2

Sistem linier dan tak linier
Kebanyakan sistem fisika merupakan sistem non linier dengan
berbagai variasi. Jika range variasi variabel sistem tidak besar, maka sistem
tersebut dapat dijadikan linier dalam range variasi variabel yang relatif kecil.
Pada sistem linier, berlaku prinsip-prinsip super posisi. Prinsip tersebut tidak
berlaku pada sistem non linier. (Bahasan selanjutnya mengenai sistem linier
dan tak linier akan dibahas dalam Bab III)

1.2.3

Sistem kontrol berubah terhadap waktu (time-variant) dan
sistem kontrol tak berubah terhadap waktu (time-invariant)
Sistem kontrol tak berubah terhadap waktu (sistem kontrol koefisien
konstan) merupakan sistem yang parameternya tidak berubah terhadap
waktu. Tanggapan sistem tergantung pada waktu saat masukan diterapkan.
Sistem kontrol berubah terhadap waktu adalah sistem yang satu atau lebih
parameternya berubah terhadap waktu. Contoh sistem waktu kontrol berubah
terhadap waktu adalah sistem kontrol kendaraan ruang angkasa, di mana
massa menurun dengan berjalannya waktu karena bahan bakar digunakan
selama penerbangan.

1.2.4

Sistem kontrol waktu kontinyu dan sistem kontrol waktu diskrit
Sistem kontrol waktu kontinyu jika semua variabel sistem adalah
fungsi dari waktu. Sistem kontrol waktu diskrit jika hanya melibatkan satu
atau lebih variabel yang hanya diketahui pada saat waktu diskrit.
1.2.5

Sistem kontrol masukan tunggal keluaran tunggal (SISO) dan
banyak masukan banyak keluaran (MIMO)
Sistem kontrol masukan tunggal keluaran tunggal (SISO) jika sistem
hanya mempunyai satu masukan dan satu keluaran. Sebagai contoh adalah

8

sistem kontrol kecepatan, di mana sistem hanya mempunyai satu perintah
masukan (kecepatan yang diinginkan) dan satu keluaran yang dikontrol
(kecepatan keluaran). Contoh sistem kontrol banyak masukan banyak
keluaran adalah misalnya pada sistem kontrol proses Yang mempunyai dua
masukan (masukan suhu dan masukan pH) dan dua keluaran (keluaran suhu
dan keluaran pH)
1.3 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Dalam sistem kontrol, seringkali dibutuhkan operasi penjumlahan
dan pengurangan dan biasanya dinyatakan oleh simbol lingkaran kecil
dengan tanda panah yang menunjukkan arah proses seperti yang terlihat
dalam Gambar 1.13. Dalam gambar tersebut diperlihatkan operasi
penjumlahan
disebut
P e ndan
g e pengurangan.
n a l a n K o nLambang
s e p S ioperasi
s t e m tersebut
K o n t r oseringkali
l
sebagai titik penjumlahan (summing point). Harga variabel yang masuk ke
dalam summing
point sama dengan harga variabel yang keluar dari summing
P e n ju m la h a n d a n P e n g u r a n g a n
point. Sebagai contoh harga c = a – b (Gambar 1.13a) dan harga c = a – b + d
(Gambar D1.13b)
a la m s is te m k o n tr o l, o p e r a s i p e n ju m la h a n d a n p e n g u r a n g a n
s im b o l lin g k a r a n k e c il d e n g a n ta n d a p a n a h y a n g m e n u n ju k k a n a r a h p r o s e s
+ d
a +

c
b

a +

c
b

c = a -b

d i m a n a a , b (a)
d a n c a d a la h v a r ia b e l

c = a -b + d

(b)

T i t i k 1.13
C a b a n Operasi
g
Gambar
Penjumlahan dan Pengurangan. a, b, c dan d
merupakan Variabel.
a
D ip e rlu k a n u n tu k m e n g e m b a lik a n k e lu a ra n k e
z
z
m a s u k a n /b a g ia n la in d a la m s is te m
H a rg a y a n g d ik e m b a lik a n te ta p s a m a d e n g a n
h a rg a p e n g e m b a lia n n y a

1.4 Titik Cabang z
Dalam sistem kontrol, seperti terlihat dalam Gambar 1.14 suatu titik
cabang (a) diperlukan untuk mengembalikan keluaran ke masukan/bagian
lain dalam sistem. Dalam simbol ini harga yang dikembalikan tetap sama
dengan harga pengambilannya atau nilai z pada ketiga cabang tersebut
harganya sama.

9

15

d im a n a a ,b d a n c a d a la h v a ria b e l
T itik C a b a n g
z a
z

z

D ip e rlu k a n u n tu k m e n g e m b a lik a n k e
m a s u k a n /b a g ia n la in d a la m s is te m
H a rg a y a n g d ik e m b a lik a n te ta p s a m a
h a rg a p e n g e m b a lia n n y a

Gambar 1.14 Titik Cabang. Pada titik a terdapat tiga cabang,
ketiga cabang tersebut mempunyai nilai yang sama yaitu z
1.5 Komponen Sistem Kontrol
Sesuai dengan fungsi pengontrolan secara menyeluruh, seperti
terlihat dalam Gambar 1.15., maka komponen sistem kontrol dapat dibagi
menjadi empat kelompok, yaitu:

Gambar 1.15 Komponen Sistem Kontrol dalam Sistem Loop Tertutup.

a. Sensor/transduser.
Sensor digunakan sebagai elemen yang langsung mengadakan
kontak dengan obyek yang diukur. Transduser berfungsi untuk
mengubah besaran fisis yang diukur menjadi besaran fisis lainnya.
Pada umumnya mengubah besaran-besaran tekanan, temperatur,
aliran, posisi dan sebagainya menjadi besaran listik.
b. Error Detector
Mengukur kesalahan (error) yang terjadi antara keluaran
sesungguhnya dan keluaran yang diinginkan. Beberapa transduser
ada yang dilengkapi dengan error detector.

10

c. Penggerak / Power Actuator
Alat ini berfungsi untuk mengontrol aliran energi ke sistem yang
dikontrol. Alat ini juga disebut dengan elemen pengontrol akhir
(final control element). Sebagai contoh adalah motor listrik, katub
pengontrol, pompa dan sebagainya. Elemen keluaran ini harus
mempunyai kemampuan untuk menggerakkan beban ke suatu harga
yang diinginkan.
d. Penguat / Amplifier
Power Amplifier merupakan unit yang dibutuhkan karena daya dari
error detector tidak cukup kuat untuk menggerakkan elemen
keluaran. Karena fungsi pengontrolan adalah untuk mengendalikan
keluaran agar kesalahan mendekati nol, maka diperlukan penguat
daya (power amplifier).
Penguat Tegangan (Voltage Amplifier), dalam bentuk fisiknya
penguatan ini banyak dilakukan oleh operational amplifier (op amp).

11

BAB II
MATEMATIKA SISTEM KONTROL
2.1 Transformasi Laplace
Transformasi Laplace merupakan metode operasional yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.
Transformasi tersebut dapat mengubah beberapa fungsi umum seperti
sinusoida, sinusoida teredam dan fungsi eksponensial menjadi fungsi aljabar
kompleks.
Penggunaan Transformasi Laplace ini memungkinkan penggunaan
teknik grafis untuk meramal kinerja sistem. Keuntungan lain penggunaan
Transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen
peralihan maupun komponen keadaan mantap (steady state) jawaban
persamaan pada waktu menyelesaikan persamaan deferensial
F(s) L

 f(t)



 f(t) e  st dt


0

dengan:
F(s) = Transformasi Laplace dari f(t).
f(t) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga f(t) 0
untuk
tt0
f(t)

f(t) = h ; 0 < t
= 0 ; t > t0

h

t0
h

F (s) =

x

f( t) e -st d t
0

t

t0

0

=

Gambar 2.3 Fungsi Pulsa.

h
t

x

0

h e -st d t +

0

x

0 e -st d t
0

h ( 1 menggunakan
Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari = dengan
- e -st )
s
persamaan Transformasi Laplace sebagai berikut:


F(s)  f(t)e  st dt


0

t0


 h e  st dt   0e  st dt
t0

0

h
1  e  st 0
s
d) Fungsi eksponensial menurun
Dalam Gambar 2.4 dapat dilihat suatu fungsi eksponensial
menurun, dimana f(t) = e-at.






14

f( t)

f( t) = e -at , t > 0

e -at
t

0

Gambar 2.4 Fungsi Eksponensial Menurun.
Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan
persamaan Transformasi Laplace sebagai berikut:


F(s)  f(t)e  st dt


0



  e  at e  st  dt


0







 e

 (a  s)t

dt

0



1
sa

e) Fungsi tanjak (ramp)
Misalkan dalam Gambar 2.5 dapat dilihat suatu fungsi tanjak (ramp),
dimana f(t) = kt , t > 0. Nilai k merupakan konstanta.

f(t)
f(t) = k t , t > 0

15
t

Gambar 2.5 Fungsi Tanjak/ramp.
Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan
persamaan Transformasi Laplace sebagai berikut:


F(s)  f(t)e  st dt


0



 te  st dt


0



1
s2

Jika nilai k = 1, maka fungsi fungsi tersebut umumnya disebut dengan fungsi
unit ramp.
2.2 Teorema Transformasi Laplace
a) Linearitas
L  k f(t) kL  f(t) k F(s)
b) Superposisi

L  f1 (t)  f 2 (t) F1 (s)  F2 (s)
L  f1 (t)  L  f 2 (t)

c) Translasi waktu
Jika F(s) merupakan Transformasi Laplace dari f(t), a merupakan
bilangan positif nyata dimana berlaku f(t  a) 0 untuk 0  t  a ,
maka:
L  f(t - a) e  as F(s)
Bukti:
Misal t  a τ

16



F(s)  f( ) esτ dt


0



f(t  a) e

 s(t - a)

dt

0



f(t  a) e  st e asdt
0



e as f(t  a) e  st dt
0

e  as F(s)

Contoh:
Pada fungsi tangga/step seperti terlihat dalam Gambar 2.6, dimana
f(t) 0 ; t  0
A ; t 0

f(t)
A

t

0

Gambar 2.6 Fungsi Tangga/Step.
Transformasi Laplace fungsi tangga tersebut adalah
A
F(s) 
s

sedangkan bila fungsi tersebut bertranslasi waktu sebesar a, seperti
terlihat dalam Gambar 2.7 maka persamaan fungsinya adalah sebagai
berikut f(t  a) A , dimana
f(t) = 0; 0 A

1

f(t) = t, 0 < t 1
= - t + 2, 1 < t < 2

A

(2 )
F(s)  e  st dt  0 e  st dt

(1 )





0

F (s ) =

h

A
A

1
 e  st x
[ f ( st ) ] = 0

2

f( t) e -st d t

1  sA 0
(e
 1)
s
1
 (1  e  sA )
s


Penyelesaian nomor (3)

21

(3 )

t

p la c e fu n g s i- fu n g s i :

=

f(t)

f( t)

1

1

0

t

A

0

f(t) = 1 , 0 < t < A
= 0, t > A

1

f(t) = t, 0 < t 1
= - t + 2, 1 < t < 2

(2 )

(3 )
1

2

F(s)  t e  st dt  (-t  2) e  st dt

h

[ f(t) ] =

t

2





0

x

f(t) e
0

1

- s F(s)
t d t F1 (s)  F2 (s)

u dv uv - v du
u t
du dt
e  st dt dv
1
v  e  st
s
1



F1 (s)  t e  st dt


0

1  st
e
s

1

1
 t e  st
s

1

F1 (s)  t

1


0

0

1
e  st dt
s
0

1
 2 e  st
s

1

0

1 -s
1
e  2 (e -s  1)
s
s
1
 2 (1  e -s  s e -s )
s


2



F2 (s)  (-t  2) e  st dt


1

2

1
1
F2 (s)  ( t  2) e  st  e  st
s
s1
22

Dalam menentukan nilai F(s) dari nilai f(t) kita dapat
menentukannya dengan menggunakan tabel Transformasi Laplace seperti
terlihat dalam tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1 Tabel Transformasi Laplace
No.
1.

f(t)
Unit impuls δ (t)

2.

Unit step 1(t)

3.

t

4.

e  at

5.

t e  at

6.

sin ωt

7.

cos ωt

8.

t n e  at (n 1,2,3,...)

9.
10.

F(s)
1
1
s
1
s2
1
sa
1
(s  a) 2
ω
2
s  ω2
s
2
s  ω2
n!
(s  a ) n 1

1
(b e  bt  a e  at )
b a
1 
1

(b e  at  a e  bt ) 
1 
ab 
a b


s
(s  a)(s  b)
1
s(s  a)(s  b)

11.

e  at sin ωt

ω
(s  a)2  ω2

12.

e  at cos ωt

sa
(s  a)2  ω2

13.

A
(1  e  at )
a

A
s(s  a)

23

1

14.

1
1 ξ

2

 arctan

e  ξωn t sin (ω n 1  ξ 2 t  )

ωn2
(s 2  2ξωn s  ωn2 )s

1 ξ2



2.3 Invers Transformasi Laplace/Transformasi Laplace Balik
Transformasi Laplace balik merupakan proses matematik untuk
mengubah dari variabel kompleks ke bentuk fungsi waktu. Notasi
Transformasi Laplace balik dinyatakan dengan f(t) L -1 F(s) -1,
sehingga

 F(s)

-1

f(t) L

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan metode transformasi
Laplace, yang berarti mendapatkan f(t) dari F(s). Secara matematik, f(t)
diperoleh dari F(s) dengan integrasi berikut:
f(t) 

1
2

c  jω

j

c  jω

F(s)est ds

(t  0)

dengan c, suatu absis konvergensi konstanta real dan dipilih lebih besar dari
bagian real dari semua titik singular F(s). Artinya lintasan paralel sumbu
jω dan berjarak sejauh c. Lintasan integral ini berada di sebelah kanan
semua titik singular.
Metode yang lebih sederhana untuk menentukan invers Transformasi
Laplace dari F(s) ke dalam bentuk fungsi waktu f(t) adalah dengan
menggunakan tabel Transformasi Laplace. Dalam hal ini, Transformasi
Laplace harus dibawa ke dalam bentuk yang ada dalam Tabel Transformasi
Laplace. Seringkali suatu fungsi yang harus diselesaikan tidak terdapat
dalam tabel, jika hal ini terjadi maka kita harus mengekspansinya dan
menulis F(s) dalam bentuk yang sederhana sehingga dapat dilakukan
Transformasi Laplace.
Contoh:
Tentukan Transformasi Laplace balik dari
F ( s) 

s4
( s  1)( s  3)

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

24

F ( s) 

s4
a
a
= 1  2
( s  1)( s  3)
s 1 s  3

dengan a1 dan a2 adalah sebagai berikut


s4
 s  4
a1 ( s  1)
3 / 2
= 


(
s

1
)(
s

3
)

 s  1  s  3  s  1


s4
 s  4
a 2 ( s  3)
 1 / 2
=

( s  1)( s  3)  s  3  s  1  s  3


Sehingga
f(t) L

L

 F(s)

-1

-1

 3/ 2 
 s  1  L



1/ 2 
 s 3 



-1  

3 / 2e  t  1 / 2e  3t (t 0)

2.4 Pemakaian Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dapat digunakan dengan mudah untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Adapun langkah-langkah dalam
menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan Transformasi
Laplace adalah sebagai berikut:
a) Menuliskan persamaan diferensial sistem yang akan dianalisis.
b) Menuliskan Transformasi Laplace dari persamaan diferensial
tersebut.
c) Menentukan Transformasi Laplace dari tiap suku dalam persamaan
diferensial tersebut.
Syarat-syarat permulaan (kondisi awal) harus diberikan.
d) Menyatakan bentuk transformasi dalam daerah (fungsi) s.
e) Jika diinginkan dalam daerah (fungsi) t dapat digunakan tabel
Transformasi Laplace.
Contoh 1:
1) Suatu bentuk rangkaian sistem elektris yang terdiri dari sumber listrik
searah E, sakelar s, hambatan elektrik R dan komponen L yang terhubung
seri (lihat Gambar 2.6). Tentukan arus i(t) segera setelah saklar ditutup.

25

c o n to h :
s u a tu b e n tu k s is te m e le k tr is y a n g te r d ir i d a r i s u m b e r lis tr ik s e a r a h E ,
s a k e la r s , h a m b a t a n e le k tr ik R d a n k o m p o n e n L
s
R

L
E
i
S e t e la h s a k e la r d itu tu p ( t 0 ) , m a k a p e r s a m a a n u n tu k a r u s :
Gambar 2.6 Rangkaian RL Seri.
Penyelesaian:
Setelah sakelar s ditutup ( t d0i ), maka persamaan untuk arus adalah
Ri+ L
= E
di(t)
dt
Ri(t)  L
e(t)
dt
dan dengan mentransformasikan tiap suku dalam persamaan ini ke daerah s
akan diperoleh :
E
s
kemudian masukkan syarat awal i(0) = 0, maka
E
R I(s)  L  s I(s) 
s
E
(R  Ls)I(s) 
s
R I(s)  L s I(s) - i(0) 

atau;

I(s) 

E
s(R  Ls)




E
1
I(s)  

R 
L
s(s 
)
L 


Jika diinginkan nilai arus sebagai fungsi waktu, kita dapat menggunakan
tabel Transformasi Laplace, dimana bentuk I(s) merupakan bentuk yang
sama dengan
A
E
R
dengan nilai A =
dan a =
s(s  a)
L
L
A
A
(1  e  at )
Invers Transformasi Laplace bentuk
adalah
s(s  a)
a
sehingga didapatkan persamaan arus dalam fungsi t yaitu

26

R

i(t) 

R

 t
 t
E/L
E
.(1  e L )  (1  e L )
R/L
R

Selanjutnya sistem ini dapat dianalisis sebagai berikut :
1) i(t) merupakan tanggapan arus fungsi waktu yang terdiri dari
E
tanggapan/keluaran mantap yaitu
yang konstan dan tanggapan
R
R

E  Lt
(e
) yang menurun menuju nol sesuai dengan
R
pertambahan waktu.
peralihan yaitu 

2) Untuk menentukan nilai akhir arus menggunakan teorema nilai/harga
akhir

lim i(t) lim sI(s)
t 

s 0


 E
E
lim i(t) lim s 

t 
s 0
 s(R  Ls)  R

3) Nilai awal ditentukan dengan menggunakan teorema nilai/harga awal

lim i(t) lim sI(s)
t 0

s 



E
lim i(t) lim s 
 0
t 0
s 
 s(R  Ls) 

Contoh 2.
Misal sebuah rangkaian seri RLC terdiri batere E, sakelar s, hambatan
elektrik R, kumparan L dan kapasitor C yang terhubung seri seperti terlihat
dalam Gambar 2.7. Nilai masing-masing komponen seperti tertera dalam
gambar tersebut.

27

s
R = 200
i

L = 1H

E = 0v
C = 5 0 F
-

+

Gambar 2.7 Rangkaian RLC Seri.
Mula-mula kapasitor C mempunyai potensial sebesar 1 Volt.
Tentukan bentuk arus sebagai fungsi dari t (dimana v 0 1V ).
Penyelesaian:
di
1
L  Ri 
i dt 0
dt
C



L s I(s)  i(0)   R I(s) 
i

dq
 i dt dq 
dt

i(0)dt 0 



1
I(s) 
Cs

i(0) dt  0

i dt q

muatan awal q(0) kondensator

q
1
q(0) V0
Vc  
i(0) dt 

c
Cs
Cs
s
I(s)
1
sI(s)  200I(s) 
 0
6
50 10 s s



1
s  200s  2 104
1

( s  100) 2  1002

I(s) 

2


1 
100


2
2
100  ( s  100)  100 

Jika diinginkan nilai arus sebagai fungsi waktu, kita dapat memperolehnya
dengan cara menggunakan tabel Transformasi Laplace, sehingga didapatkan:
1
i(t) 
(e  100t sin 100t) A
100

28

BAB III
PEMODELAN
3.1 Fungsi Alih
Dalam teori sistem kontrol, fungsi alih digunakan untuk mencirikan
hubungan masukan dan keluaran dari komponen/sistem yang dapat
digambarkan dengan persamaan diferensial linier, invarian waktu. Fungsi
alih persamaan diferensial, invarian waktu suatu sistem didefinisikan sebagai
perbandingan antara Transformasi Laplace keluaran terhadap Transformasi
Laplace masukan dengan anggapan semua syarat awal nol.

Fungsi alih G(s) 


L
L

 keluaran 
 masukan  keadaan awal nol

Y(s) b0 s m  b1s m  1  ...  bm  1s  bm

X s 
a0 s n  a1s n  1  ...  an  1s  an

Dengan menggunakan konsep fungsi alih, sistem dinamik dapat
dinyatakan dengan persamaan aljabar dalam s. Jika pangkat tertinggi s dalam
penyebut fungsi alih sama dengan n, maka sistem disebut sistem orde ke-n.
Beberapa Hal mengenai Fungsi Alih
Kegunaan konsep fungsi alih terbatas pada sistem linear persamaan
diferensial, waktu tidak berubah. Namun pendekatan fungsi alih digunakan
secara meluas dalam analisis dan desain sistem. Beberapa hal yang penting
dalam fungsi alih adalah sebagai berikut:
 Fungsi alih sistem adalah model matematika yang merupakan metode
operasional dari pernyataan persamaan diferensial yang menghubungkan
variabel keluaran dengan masukan.
 Fungsi alih sistem adalah sifat sistem tersebut sendiri, tidak tergantung
dari besaran dan sifat masukan.
 Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik sistem
tersebut, atau atau dapat dikatakan fungsi alih sistem yang secara fisik
berbeda dapat identik.
 Jika fungsi alih sistem diketahui, keluaran dapat ditelaah untuk berbagai
macam bentuk masukan dengan pandangan terhadap pengertian akan sifat
sistem tersebut.

29

M o
S

 Jika fungsi alih sistem tidak diketahui, dapat diadakan secara percobaan
dengan menggunakan masukan yang diketahui dan menelaah keluaran
sistem
3.2 Model Matematika Sistem Dinamik
Pemodelan merupakan pembuatan model matematika sistem
dinamik. Model matematika sistem dinamik didefinisikan sebagai sejumlah
persamaan yang menggambarkan dinamika sistem secara tepat, paling tidak
cukup baik. Sebuah sistem dapat digambarkan dalam banyak cara yang
berbeda sehingga mungkin mempunyai banyak model matematika.
Satu model matematika mungkin lebih cocok daripada model
matematika yang lain, misalnya :
 Gambaran tempat kedudukan (state space) mungkin cocok untuk
mengerjakan sistem dengan banyak masukan dan banyak keluaran
(MIMO).
 Analisis tanggapan transien atau tanggapan frekuensi SISO linear, waktu
tidak berubah sehingga gambaran fungsi alih lebih baik dan mudah.
Dinamika sistem mekanik, listrik, panas, ekonomi dan sebagainya
mungkin dijelaskan dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan
d diferensial
e l m a t etersebut
m a t i s dapat diperoleh dengan menggunakan hukum fisika yang
mengendalikan sistem tertentu, misalnya Hukum Newton untuk sistem
i smekanika
t e m m edan
k a Hukum
n i k a Kirchoff untuk sistem listrik.
Berikut diberikan contoh pemodelan pada sistem mekanika. Hukum
Hdasar
u k u myang
d a s mengatur
a r : H u k sistem
u m I I Nmekanika
e w t o n adalah hukum kedua Newton yang
dapat diterapkan pada sistem mekanika apapun.

- S is te m tr a n s la s i m e k a n ik a
Sistem translasi mekanika.
s i s t e m dMisalnya
a s h p o t pada
m a ssistem
s a p edashpot-massa-pegas
g a s y a n g d ip a s a n g p a d a k e r e t a
u

y

k
m
b

Gambar 3.1 Sistem Dashpot-Massa-Pegas yang Dipasang pada Kereta.

30

Dianggap pada t < 0 kereta dalam keadaan diam, u(t) merupakan
perpindahan kereta (masukan sistem).

Pada t = 0 kereta digerakkan dengan kecepatan tetap ( u tetap)
Perpindahan y(t) dari massa adalah keluaran (perpindahan adalah relatif
terhadap tanah), dimana:
m = massa
b = koefisien gesekan liat /redaman / damping
k = konstanta pegas


dianggap gaya gesekan dash pot sebanding dengan y  u dan pegas
adalah pegas linier, yaitu gaya pegas sebanding dengan y – u.
Untuk sistem translasi, hukum Newton II menyatakan bahwa:

F

ma 

m = massa, kg
a = percepatan, m/dt2
F = gaya, N
Didapatkan:
d2y
 dy du 
m 2  b

  k(y  u)
dt
dt 
 dt
d2y
du
 dy 
m 2  b
 ku
  ky b
dt
dt
dt


persamaan tersebut merupakan model matematika sistem.
Model Fungsi Alih
Model fungsi alih merupakan salah satu cara untuk memberikan
gambaran model matematika sistem linier, waktu tidak berubah (time
invariant). Untuk mendapatkan fungsi alih sistem dengan model matematika
berikut
d2y
du
 dy 
m 2  b   ky b
 ku
dt
dt
 dt 
adalah dengan menentukan Transformasi Laplace dari tiap bagian pada
model matematika tersebut, sehingga didapat:

 d2y 


L  m 2  m s 2 Y(s)  s y(0)  y(0) 
dt




 dy 
 b dt  b  s Y(s)  y(0)


L  ky k Y(s)
L

31

 du 
L b
b  s U(s)  u(0)
 dt 
L  ku  k U(s)


jika ditetapkan keadaan awal adalah 0, maka y(0) = 0, y (0) = 0, dan u(0) =
0, sehingga Transformasi Laplacenya adalah sebagai berikut:
(ms 2  bs  k)Y(s) (bs  k) U(s)

Sehingga didapatkan fungsi alihnya, yaitu:
Y(s)
bs  k
Fungsi alih G(s) 
 2
U(s) ms  bs  k
Sistem rotasi mekanika
Misalnya pada sistem yang terdiri dari inersia beban dan

peredaran gesekan liat dalam Gambar 3.2.
Hukum Newton II menyatakan bahwa:
J α J d  τ
J ω  b ω  τ
J ω  b ω τ
dimana:
J = momen inersia beban, kg-m2
α = percepatan sudut beban, rad/dt2
τ = torsi yang diterapkan ke sistem, N-m
b = koefisien gesekan liat, Nm/rad/dt
ω = kecepatan sudut, rad/dt

Gambar 3.2 Sistem Rotasi Mekanika.
Model fungsi alih sistem di atas dapat diperoleh dengan
mentransformasi Laplace persamaan deferensial tersebut, dianggap keadaan

32

awal nol dan menulis rasio keluaran (kecepatan sudut ω) dengan masukan
(torsi T) yang ditetapkan sebagai berikut:

Ω s 
1

, Ω s  L  ω t   , T s  L   t  
T  s  Js  b
Sistem listrik

Misalnya pada rangkaian RLC seri dalam Gambar 3.3 bisa
didapatkan model matematika dan model fungsi alihnya.
L
R
ei

C

e0

i

Gambar 3.3 Rangkaian RLC seri.
Model matematika rangkaian RLC seri dalam Gambar 3.3 adalah
sebagai berikut:
di
1
L  Ri 
i dt ei
dt
C
1
i dt e0
C
Model fungsi alihnya dapat kita dapatkan dengan mentransformasi
Laplace model matematika tersebut yang merupakan persamaan diferensial
dan dengan menganggap syarat awal nol, diperoleh :
1
L s I(s)  R I (s) 
I (s) E i (s)
Cs
1
I (s) E 0 (s)
Cs
Jika ei dianggap sebagai masukan dan e0 sebagai keluaran, maka fungsi
alih sistem adalah





E 0 (s)
1

2
E i (s) LCs  RCs  1
Penguat pembalik (inverting amplifier)

33

Gambar 3.4 Penguat pembalik (inverting amplifier).
Penguat pembalik dalam Gambar 3.4 mempunyai model
matematika dan model fungsi alih sebagai berikut:
i1 

e1  e'
,
R1

e' e 0
R2
i1=i2, e’=0
i2 

e1  e' e' e0

R1
R2

e 0 

R2
ei
R1

e0
R
 2
ei
R1

Rangkaian RC seri
v1: masukan
v3: keluaran

v2
R
v1

i1

i2
C

i3
v3

Gambar 3.5 Rangkaian RC seri.
34

Model matematisnya rangkaian RC seri dalam Gambar 3.5 adalah
sebagai berikut:

d). v3 Q

a). v1 v 2  v3

C

b). i1 i 2

e). i 2 v 2

c).

f). Q

v1
v1

v1
v1

i 2 i3

(a )
+ (a )
+
v 3v3
+
+

v2
v2

(e )
(e )
1 /R
1 /R

i2
i2

(c )
(c )
1
1

i3
i3

(f)
(f)

Q
Q

v3
v3

1 /R C
1 /R C

-

R


 i 3 dt

(d )
(d )
1 /C
1 /C

v3
v3

x
x

= 1 /s
= 1 /s

  1s
v3 

1
(v1  v 3 ) dt
RC



Model fungsi alihnya bisa didapat dari fungsi alih diagram baloknya yaitu:
1 1

v3
1
 RC s 
1
1
v1 1 
RCs  1

RC s
Model fungsi alih bila dicari dengan menggunakan hukum Kirchhof :
1
1
Ri  i dt v1
v3  
i dt
C
C
1
1
R I(s) 
I(s) V1 (s)
V3 (s) 
I(s)
Cs
Cs

1
V 3( s)
1
 Cs 
V 1( s) R  1
RCs  1
Cs

35

Rangkaian RC paralel
i1
i3

i2
v1

v2

R

i1 : masukan
v3 : keluaran

v3

C

Gambar 3.6 Rangkaian RC paralel.
Model matematis rangkaian RC paralel Gambar 3.6 adalah sebagai berikut:

d). v3 Q

a). v1  v 2
b). v 2 v 3

e). i 2 v 2

c). i1 i 2  i3

f). Q

i 11

(c )

+

i 33

i 22

i 11

(f)

R


 i 3 dt

(d )

Q

1 /C

1 /R
(e )

C

v 33

+

1 /C

-

s = d /d t
dt x
1 1 /s = d t

s d

1
(a )
v 33

s



 dt

1 /R

v3 

1
1
(i1 
v 3 ) dt
C
R



1 1

V3 (s)
R
 s C

Model fungsi alihnya :
I1 (s) 1  1 1 1 sRC  1
s C R
3.3 Sistem linier
Suatu sistem linier jika pada sistem tersebut mempunyai ciri-ciri
sebagai berikut:

36

1) Pada sistem tersebut mempunyai persamaan diferensial linier (jika
koefisiennya konstanta atau hanya merupakan fungsi variabel bebasnya).
2) Berlaku prinsip super posisi (tanggapan terhadap beberapa masukan
dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu persatu dan
menjumlahkan hasilnya).

r(t)

S L

c (t)

Gambar 3.7 Sistem Linier (SL) dengan r(t) sebagai Masukan dan c(t)
sebagai Keluaran.
Pada sistem linier dalam Gambar 3.7, jika sistem diberi masukan
r1(t), maka akan memberikan keluaran c 1(t). Apabila sistem diberi masukan
r2(t) maka akan memberikan keluaran c 2(t). Pada sistem linier, jika pada
sistem diberikan masukan r1(t) + r2(t) maka akan memberikan keluaran
sebesar c1(t) + c2(t).
Sebagai contoh persamaan pada sistem linier adalah sebagai berikut:
misalnya pada suatu sistem yang mempunyai persamaan y 2x , dengan x
sebagai variabel masukan dan y sebagai variabel keluaran. Apabila sistem
diberi masukan x1(t)=1, maka akan menghasilkan keluaran y 1(t)=2. Apabila
sistem diberi masukan x2(t)=4, maka akan menghasilkan keluaran y 2(t)=8.
Apabila sistem diberi masukan x1 (t)  x 2 (t) =1+4=5, maka akan
menghasilkan keluaran y1 (t)  y 2 (t) =2+8=10.
x1 (t) 1  y1 (t) 2
x 2 (t) 4  y 2 (t) 8

x1 (t)  x 2 (t)  y1 (t)  y 2 (t)
x1 (t)  x 2 (t) 5

(linier)
Sebagai contoh persamaan pada sistem tak linier adalah sebagai
berikut:
misalnya pada suatu sistem yang mempunyai persamaan y x 2 , dengan x
sebagai variabel masukan dan y sebagai variabel keluaran. Apabila sistem
diberi masukan x1(t)=1, maka akan menghasilkan keluaran y 1(t)=1. Apabila
sistem diberi masukan x2(t)=4, maka akan menghasilkan keluaran y 2(t)=16.

37

Apabila sistem diberi masukan x1 (t)  x 2 (t) =1+4=5, maka akan
menghasilkan keluaran y1 (t)  y 2 (t) =1+16=17, sehingga sistem yang
mempunyai persamaan y x 2 merupakan sistem tak linier.
x1 (t) 1  y1 (t) 1
x 2 (t) 4  y 2 (t) 16

x1 (t)  x 2 (t)  y1 (t)  y 2 (t)
x1 (t)  x 2 (t) 5

(tak linier)
Persamaan pada sistem yang juga merupakan sistem tak linier adalah:
y sin x, z x 2  y 2

3.4 Diagram balok
Seperti kita ketahui, suatu sistem kontrol dapat terdiri dari beberapa
komponen. Untuk menunjukkan fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen,
dalam sistem kontrol biasanya digunakan suatu diagram yang biasa disebut
diagram balok. Diagram balok suatu sistem adalah suatu penyajian
bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran
sinyalnya. Diagram balok mengandung informasi perilaku dinamik, tetapi
tidak mengandung informasi mengenai konstruksi fisik sistem.
Dalam suatu diagram balok, semua variabel sistem saling
dihubungkan dengan menggunakan balok fungsional, yang merupakan suatu
simbol operasi matematik pada sinyal masukan balok yang menghasilkan
keluaran. Fungsi alih komponen biasanya ditulis di dalam balok, yang
dihubungkan dengan anak panah untuk menunjukkan arah aliran sinyal.
Fungsi alih sistem kaskade seperti terlihat dalam Gambar 3.8 adalah
sebagai berikut
E 1(s)

G 1(s)

E 2(s)

G 2(s)

E 3(s)

Gambar 3.8 Sistem Kaskade.

38

G 3(s)

E 4(s)

G 4(s)

E 5(s)

E 2 (s) G1 (s) E1 (s)
E 3 (s) G 2 (s) E 2 (s)
E 4 (s) G 3 (s) E 3 (s)
E 5 (s) G 4 (s) E 4 (s)
E 5 (s) G1 (s) G 2 (s) G 3 (s) G 4 (s) E1 (s)

E 5 (s)
G1 (s) G 2 (s) G 3 (s) G 4 (s)
E1 (s)
dimana E1 merupakan masukan sistem dan E5 merupakan keluaran sistem.
Fungsi alih sistem yang berumpan balik negatif seperti terlihat
dalam Gambar 3.9 adalah sebagai berikut
R (s)

+

E (s)
-

C (s)

G (s)

B (s)
H (s)

Gambar 3.9 Sistem Berumpan Balik Negatif.
B(s) = H(s) C(s)
E(s) = R(s) - B(s)
C(s) = G(s) E(s)
C(s) = G(s) {R(s) - B(s)}
= G(s) {R(s) - H(s) C(s)}
= G(s)R(s) - G(s)H(s)C(s)
C(s){1 + G(s)H(s)} = G(s)R(s)
C(s)
G(s)

R(s)
1  G(s)H(s)
dimana R(s) merupakan input/masukan sistem, sedangkan C(s) merupakan
output/keluaran sistem. Penyederhanaan diagram balok sistem berumpan
balik negatif tersebut dapat digambarkan kembali seperti terlihat dalam
Gambar 3.10.
in p u t R ( s )

G (s)
1 + G (s)H (s)

39

o u tp u t

C (s)

Gambar 3.10 Penyederhanaan Diagram Balok Sistem Berumpan
Balik Negatif.
Jika sistem berumpan balik positif, maka diagram baloknya seperti terlihat
dalam Gambar 3.11.
G (s)
1 - G (s)H (s)

R (s)

C (s)

Gambar 3.11 Penyederhanaan Diagram Balok Sistem Berumpan
Balik Positif.
Penyederhanaan diagram balok
Suatu diagram balok yang terdiri dari beberapa loop umpan balik
dapat disederhanakan dengan cara menyusun kembali langkah demi langkah
menggunakan aturan aljabar diagram balok. Beberapa aturan aljabar diagram
balok dapat dilihat dalam Tabel 3.1 yang diperoleh dengan menulis
persamaan yang sama dengan cara yang berbeda.
Tabel 3.1 Aturan Aljabar Diagram Balok
Diagram Balok Asal
e1

Diagram Balok Ekivalen
e2

G

e1

e2

e2
+

-

e2

G

1 /G

e1

e2

G

e1

e2

G

e1

e1

e1

e1

e2

G
G
e2

G

e3

G

40

e3

e1

e2

G

e1

+

-

1 /G

e3
R

+

-

G

G

e2
e3

C

H

Penyederhanaan diagram balok dengan penyusunan kembali dan
substitusi memungkinkan untuk memudahkan analisis matematik. Dalam
menyederhanakan suatu diagram balok maka fungsi alih dalam diagram
balok yang baru menjadi lebih kompleks karena adanya penambahan polepole baru dan zero baru terbentuk.
Dalam menyederhanakan suatu diagram balok perlu diperhatikan
beberapa hal sebagai berikut:
(1) Hasil fungsi alih dalam arah jalur maju harus tetap sama.
(2) Hasil fungsi alih sekitar loop harus tetap sama.

3.5 Signal Flow Graph (Grafik Aliran Sinyal)
Manipulasi diagram balok umumnya digunakan untuk menentukan
fungsi alih suatu sistem yang sederhana, sedangkan untuk sistem yang lebih
rumit digunakan grafik aliran sinyal.
Grafik aliran sinyal merupakan suatu diagram yang mewakili seperangkat
persamaan aljabar linear. Grafik aliran sinyal berisi kerangka kerja dengan
suatu simpul yang dihubungkan secara langsung dengan cabang. Tiap simpul
menyatakan variabel sistem dan tiap cabang yang dihubungkan antara dua
simpul berfungsi sebagai penguat sinyal. Arah aliran sinyal hanya dalam satu
arah yang ditunjukkan dengan tanda panah yang berada pada cabang dan
faktor pengali ditunjukkan sepanjang cabang.
Grafik aliran sinyal menggambarkan a