Kapita Selekta Matematika Kapita Selekta Matematika
1
Sudaryatno Sudirham
Kapita Selekta Matematika
Bilangan Kompleks
Permutasi dan Kombinasi
Aritmatika Interval
2
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks
sebagai berikut
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y)
dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
z = ( x, y )
bagian nyata (real part)
dari z
kita tuliskan Re z = x
bagian khayal (imaginary part)
dari z
Im z = y
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis,
mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.
3
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya;
bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapat
diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan
angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu
sumbu yang disebut sumbu nyata,
|
|
|
|
|
|
|
|
-2
-1
0
1
2
3
4
5
m
4
Tinjaulah suatu fungsi
y= x
3.5
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif
namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu
bilangan imajiner (khayal)
−1 = j
5
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata,
misalnya
5 = 5×1
10 = 10 × 1 dan seterusnya
maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan dari
bilangan imajiner, misalnya
imajiner 2 = j2
imajiner 3 = j3
imajiner 9 = j9 dan seterusnya
6
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata
dan komponen imajiner dan dituliskan
z = a + jb
bilangan kompleks
bagian imajiner
bagian nyata
7
Bilangan kompleks dapat digambarkan di
bidang kompleks
yang dibatasi oleh
sumbu nyata (diberi tanda Re) dan
sumbu imajiner (diberi tanda Im)
yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks
(x,,y)
dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya
8
Diagram Argand
Im
disebut modulus
2
modulus z = ρ = a + b
jb
2
z = a + jb
ρ
•
z = ρ(cos θ + j sin θ)
b = ρ sin θ
θ
disebut argumen
a
b
arg z = θ = tan −1
a
a = ρ cos θ
Re
z = a 2 + b 2 (cos θ + j sin θ)
9
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
z1 = 3 + j 4
Sudut dengan sumbu nyata adalah
θ1 = tan −1 (4 / 3) ≈ 53,1o
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
(
z1 = 3 2 + 4 2 cos 53,1o + j sin 53,1o
(
= 5 cos 53,1o + j sin 53,1o
)
)
10
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
(
z 2 = 10 cos 20 o + j sin 20 o
)
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
(
z2 = 10 cos 20o + j sin 20o
)
≈ 10(0,94 + j0,34) = 9,4 + j3,4
11
Kesamaan Bilangan Kompleks
Modulus ρ =
a2 + b2
merupakan nilai mutlak
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang
sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya
mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.
Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka
mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian
imajiner yang sama besar..
12
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah
nilai negative dari kedua komponennya
Jika
z = a + jb maka − z = −a − jb
Im
• z = a + jb
jb
ρ
θ + 180 o
θ
a
Re
ρ
− z = −a• − jb
13
CONTOH
Jika z1 = 4 + j 6 maka z 2 = − z1 = −4 − j 6
Sudut dengan sumbu nyata
θ1 = tan −1 (6 / 4) = 56,3 o
θ 2 = 56,3 o + 180 o = 236,3 o
z1 dapat dinyatakan sebagai
(
z1 = 4 2 + 6 2 cos 56,3 o + j sin 56,3 o
(
= 7,2(cos(56,3
= 7,2 cos 56,3 o + j sin 56,3 o
− z1
o
)
)
+ 180 o ) + j sin(56,3 o + 180 o )
= 7,2(− 0,55 − j 0,83) = −3,96 − j 6
)
14
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen
imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
Jika z = a + jb maka
z ∗ = a − jb
Im
jb
ρ
• z = a + jb
θ
−θ a
− jb
Re
• z ∗ = a − jb
15
CONTOH:
Jika z = 5 + j 6 maka z ∗ = 5 − j 6
Im
• z = 5 + j6
Sudut dengan sumbu nyata
θ = tan −1 (6 / 5) = 50,2 o
∗
θ = −50,2
Re
o
• z* = 5 − j 6
z dapat dinyatakan sebagai
(
z = 52 + 6 2 cos 50,2o + j sin 50,2o
(
= 7,8 cos 50,2o + j sin 50,2o
(
)
z ∗ = 7,8 cos 50,2 o − j sin 50,2 o
)
)
16
CONTOH:
z ∗ = −5 + j 6 •
Jika z = −5 − j 6
maka z ∗ = −5 + j 6
Im
Re
z = −5 − j 6 •
Im
• z ∗ = 5 + j6
Jika z = 5 − j 6
maka z ∗
= 5 + j6
Re
• z = 5 − j6
17
Operasi-Operasi Aljabar
18
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan
kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata
dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
z1 + z 2 = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2 )
= (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 )
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang
komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan
komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
z1 − z 2 = (a1 + jb1 ) − (a2 + jb2 )
= (a1 − a2 ) + j (b1 − b2 )
19
CONTOH:
Diketahui s1 = 2 + j 3 dan
s2 = 3 + j 4
s1 + s2 = (2 + j 3) + (3 + j 4)
= 5 + j7
s1 − s2 = (2 + j3) − (3 + j 4)
= −1 − j1
20
Perkalian Bilangan Kompleks
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita
melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan
perkalian komponen per komponen
( z1 )( z 2 ) = (a1 + jb1 )(a 2 + jb2 )
= a1 a 2 + jb1 a 2 + jb1 a 2 − b1b2
= a1 a 2 + 2 jb1 a 2 − b1b2
∗
Jika z 2 = z1
z1 × z1∗ = (a + jb)(a − jb)
= a 2 − jba + jba + b 2
= a2 + b2
Perhatikan: z1 × z1∗ = z1 = a + jb
2
=
(a
2
2
+b
2
) =a
2
2
+ b2
21
CONTOH:
z1 = 2 + j 3 dan
z 2 = 3 + j4
( z1 )( z 2 ) = (2 + j 3)(3 + j 4)
= 6 + j8 + j 9 − 12
= −6 + j17
CONTOH:
z1 = 2 + j 3 dan
z 2 = z1∗ = 2 − j 3
( z1 )( z1∗ ) = ( 2 + j 3)(2 − j 3)
= 4 − j6 + j6 + 9
= 4 + 9 = 13
z1 z1∗
2
= z1 =
( 2 + 3 ) = 4 + 9 = 13
2
2
2
22
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika
pembagian itu dikalikan dengan 1
z1
a + jb1 a2 − jb2
= 1
×
z2 a2 + jb2 a2 − jb2
=
CONTOH:
(a1a2 + b1b2 ) + j (b1a2 − b2 a1 )
z1 = 2 + j 3 dan
a22 + b22
a2 − jb2
=1
a2 − jb2
z 2 = 3 + j4
z1 2 + j 3 3 − j 4 (6 + 12) + j (−8 + 9) 18
1
=
=
+j
×
=
25
25
z 2 3 + j4 3 − j4
32 + 4 2
23
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
24
Fungsi Eksponensial Kompleks
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial
y = ex
merupakan fungsi ekponensial nyata;
y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks z = σ + jθ
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
e z = e (σ+ jθ) = e σ (cos θ + j sin θ) ;
dengan e σ adalah fungsi eksponensial riil`
Melalui identitas Euler e
jθ
= cos θ + j sin θ
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
e z = e σ e jθ
25
Bentuk Polar
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
z = ρe jθ
Im
• z = ρe jθ arg z = ∠z = θ
ρ
θ
Re
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan
argumennya ∠z = 0,5 rad
Im
Bentuk sudut sikunya adalah:
z = 10 (cos 0,5 + j sin 0,5)
= 10 (0,88 + j 0,48) = 8,8 + j 4,8
10
0,5 rad
• z = 5e j 0,5
Re
26
CONTOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
Modulus
Argumen
| z | = ρ = 32 + 4 2 = 5
∠z = θ = tan −1
Representasi polar
4
= 0,93 rad
3
z = 5e j0,93
Im
• z = 5e j 0,93
5
0,93 rad
Re
27
CONTOH:
Misalkan z = −2 + j 0
Modulus | z | = ρ = 4 + 0 = 2
Argumen θ = tan −1 (0 / − 2 ) = ± π tidak bernilai tunggal
Di sini kita harus memilih θ = π rad
karena komponen imajiner 0
sedangkan komponen nyata −2
Im
z = 2e jπ
•
−2
Re
28
.
CONTOH
Misalkan z = 0 − j 2
Modulus | z | = ρ =
0+4 = 2
Argumen θ = tan −1 (− 2 / 0) = −π / 2
komponen nyata: 0
komponen imajiner: −2
Representasi polar adalah
Im
z = 2 e − jπ / 2
Re
− jπ / 2
− j 2 • z = 2e
29
Manfaat Bentuk Polar
30
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah
operasi perkalian dan pembagian.
( z1 )( z2 ) = ρ1e jθ1 ρ 2 e jθ2
= ρ1ρ 2e j ( θ1 + θ2 )
z1 ρ1e jθ1 ρ1 j ( θ1 −θ2 )
e
=
=
jθ 2
z2 ρ2e
ρ2
CONTOH:
Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4
z1 z 2 = 10e j 0,5 × 5e j 0,4 = 50e j 0,9
z1 10e j 0,5
=
= 2e j 0,1
z2
5e j 0,4
31
Konjugat Kompleks
argumen konjugat berlawanan dengan
argumen bilangan kompleks asalnya
Im
• z = ρe j θ
θ
−θ
Re
• z ∗ = ρ e − jθ
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan
konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut
( z )( z*) =| z |2 atau |z| = s s *
[z1 z 2 ]* = (z1* )(z*2 )
*
z1
z1*
= *
z2
z2
32
CONTOH:
j 0, 5
Misalkan z1 = 10e
z 2 = 5e j 0,4
dan
z1 z1∗ = 10e j 0,5 × 10e − j 0,5 = 100
z 2 z 2∗ = 25
[z1 z 2 ]∗ = [10e j 0,5 × 5e j 0,4 ]
∗
[
= 5 0 e j 0 ,9
] = 50e
∗
− j 0, 9
= 10e − j 0,5 × 5e − j 0,4 = 50e − j 0,9
∗
10e j 0,5
z1
= j 0, 4
5e
z2
=
10e − j 0,5
5e − j 0, 4
∗
[
]
j 0,1 ∗
=
= 50e − j 0,1
e
2
= 2e − j 0,1
33
Kuliah Terbuka
Bilangan Kompleks
Sudaryatno Sudirham
34
Sudaryatno Sudirham
Permutasi dan Kombinasi
35
Permutasi
36
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen
yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap
kelompok urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B
dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
dan
BA
AB
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati
posisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu
kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu
kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
37
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C
Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
CA
CB
B A
BA
BC
C A
AB
AC
C B
diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama
tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama
dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati
posisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi pertama
3 × 2 ×1 = 6
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi ketiga
38
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang
setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4
Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3
Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2
Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4×3×2×1=24 kelompok
yaitu:
ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADCB
ADBC
BACD
BADC
BCAD
BCDA
BDAC
BDCA
CDAB
CDBA
CABD
CADB
CBAD
CBDA
DABC
DACB
DBCA
DBAC
DCAB
DCBA
ada
24 kelompok
39
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun
dari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
n
n
n
n
× ( − 1) × ( − 2) × ......... × 1 = !
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!
dan kita tuliskan
n Pn
= n!
Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan
dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masingmasing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
Kita sebut permutasi k dari n
komponen dan kita tuliskan
n Pk
40
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
4 P2
= 4 × 3 = 12
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan
pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
4 P2 =
4 × 3 × 2 ×1
= 12
2 ×1
41
Secara Umum:
n Pk =
n!
(n − k )!
Contoh:
6 P2 =
6!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
=
= 6 × 5 = 30
(6 − 2)!
4 × 3 × 2 ×1
Contoh:
6!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
=
= 6 × 5 × 4 × 3 = 360
6 P4 =
(6 − 4)!
2 ×1
42
Kombinasi
43
Kombinasi merupakan pengelompokan
sejumlah komponen yang mungkin dilakukan
tanpa mempedulikan urutannya
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
44
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n
komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi nPk
dibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponen
dituliskan sebagai nCk
Jadi
n!
=
n Ck =
k! (n − k )!× k!
n Pk
45
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf
A, B, C, dan D
Jawab:
4!
4 × 3 × 2 ×1
=
=
=6
4 C2 =
2! (4 − 2)!×2! 2 ×1× 2 ×1
4 P2
yaitu: AB
AC
AD
BC
BD
CD
46
Contoh Aplikasi
Distribusi Maxwell-Boltzman
Distribusi Fermi-Dirac
47
Distribusi Maxwell-Boltzman
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat
energi yang diskrit; kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh
elektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang
sama untuk menempati suatu tingkat energi
48
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus
terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
di E1 terdapat n1 elektron
di E2 terdapat n2 elektron
di E3 terdapat n3 elektron
dst.
maka jumlah cara penempatan elektron di E1
merupakan permutasi n1 dari N yaitu
P1 = n1 PN =
N!
( N − n1 )!
49
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari
(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
P2 = n2 P( N −n1 )
( N − n1 )!
=
( N − n1 − n2 )!
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari
(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
P3 = n3 P( N −n1 −n2 ) =
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!
dst.
50
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini
sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N
yaitu
C1 =
n1 PN
n1!
=
N!
( N − n1 )!n1!
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
C2 =
C3 =
n3
n2
P( N −n1 )
( N-n1 )!n2 !
=
( N − n1 )!
( N − n1 − n2 )!n2!
P( N − n1 −n2 )
( N − n1 − n3 − n3 )!n3!
=
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
dst.
51
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati,
yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.
maka probabilitas tingkat-tingkat energi
F1 = g1n1 C1
E1 ditempati n1 elektron
E2 ditempati n2 elektron
adalah
F2 = g 2 n2 C2
E3 ditempati n3 elektron
F3 = g 3n3 C3
dst.
dst.
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron
seperti di atas adalah:
F = F1 F2 F3 .... = g1 g 2 g 3
n1
n2
n3
g1n1 g 2n2 g 3n3 .....
....C1C2C3 ...... =
n1!n2 ! n3!.....
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann
52
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang
paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh
ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini
di buku-e
“Mengenal Sifat Material”
53
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita
pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
ni =
Jumlah elektron pada
tingkat energi Ei
N
g i e − Ei / k BT
Z
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksik
tingkat energi ke-i
fungsi partisi
Z=
∑
g i e −βEi
i
54
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi
yang diskrit, misalnya kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi mengandung
sejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron berada
pada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat
energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlah
elektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
55
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus
terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
di E1 terdapat n1 elektron
di E2 terdapat n2 elektron
di E3 terdapat n3 elektron
dst.
56
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat
E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
C1 =
N!
( N − n1 )!n1!
C2 =
( N − n1 )!
( N − n1 − n2 )!n2!
C3 =
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk
menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
F1 =
g1!
n1!( g1 − n1 )!
F2 =
g 2!
( g 2 − n2 )!n2 !
F3 =
g 3!
dst.
( g 3 − n3 )!n3!
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
F = F1F2 F3 ...Fi = ∏
i
gi !
ni !( g i − ni )!
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak
membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut
57
permutasi dan kombinasi
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang
paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh
ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan
ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9
yang dapat diunduh di situs ini juga
58
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita
pada formulasi distribusi Fermi Dirac
ni =
gi
e ( Ei − EF ) / k BT + 1
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T → 0
lim e ( Ei − EF ) / k BT = 0 untuk ( Ei − E F ) < 0
T →0
= ∞ untuk ( Ei − E F ) > 0
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat
energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
59
Kuliah Terbuka
Permutasi dan Kombinasi
Sudaryatno Sudirham
60
Sudaryatno Sudirham
Aritmatika Interval
61
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang
melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi
interval.
62
Cakupan Bahasan
Pengertian-Pengertian Interval
Operasi-Operasi Aritmatika Interval
Sifat-Sifat Aritmatika Interval
63
Pengertian-Pengertian Interval
64
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal,
baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai
yang berada dalam suatu interval tertutup *)
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya
merupakan kumpulan bilangan
Contoh:
Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan
yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri
(interval tertutup).
*)
Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
65
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum,
suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
S = {x : p( x)}
menunjukkan kumpulan
yang kita tinjau
menunjukkan
sembarang elemen
dari S
menunjukkan syarat-syarat
yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar
merupakan elemen dari S
atau tidak
66
Contoh
S = {x : x ∈ R, 90 ≤ x ≤ 110}
p( x) = x ∈ R, 90 ≥ x ≤ 110
R adalah kumpulan dari
semua bilangan nyata
67
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara
a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞
kita tuliskan
X = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b, a, b ∈ R, − ∞ < a < b < +∞}
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasioperasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar
mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan
hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan
interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batasbatas intervalnya.
68
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan
batas atas (nilai maksimum) x kita tuliskan
X = [ x, x ]
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk
mengakomodasi batas-batas interval.
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval
pada garis sumbu nyata sebagai berikut
(
0
x
x
)
interval X
batas bawah
batas atas
69
Degenerasi
Suatu interval mengalami degenerasi jika
x=x
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami
degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal
dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau
sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
70
Lebar Interval
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
w( X ) = x − x
Contoh:
X = [6, 15]
w( X ) = 15 − 6 = 9
(
0
)
x
x
w(X)
71
Titik Tengah
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
m( X ) = ( x + x ) / 2
Contoh:
X = {4, 10} → titik tengah m( X ) = (4 + 10) / 2 = 7
Radius
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
w( X ) / 2
Contoh:
X = {4, 10}
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.
72
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batasbatas yang sama.
Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ]
maka X = Y
jika dan hanya jika x = y dan x = y
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas
maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, x < y
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y.
0
(
x X
)
x
(
y
Y
)
y
Dalam contoh ini
w(X) < w(Y)
73
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari
absolut batas-batasnya
X = max{ x , x }
Contoh
X = {−8, 4}
X = max{ − 8 , 4 } = 8
74
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari
selisih batas-batas keduanya
ρ( X , Y ) = max{| x − y | , | x − y |}
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
ρ( X , Y ) = max{| 2 − 8 |, | 6 − 18 |} = 12
Di sini
y−x
0
)
x
(
x
X
| x − y |>| x − y |
y−x
(
y
)
y
Y
75
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika − x = x
Contoh: X = {−5, 5}
(
x
0
X
)
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
76
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita
mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
X ∩ Y = [max{x, y}, min{x , y}]
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18}
X
(
0
x
X ∩ Y = [6, 9]
Y
(
y
)
x
)
y
X ∩Y
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
77
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
X ∪ Y = [min{x, y}, maks{x ,y}]
X ∪ Y = [2, 18]
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18]
X
(
0
x
(
y
Y
)
x
)
y
X ∪Y
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga
merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua
interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
78
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
X ≤ Y dan w( X ) ≤ w(Y )
atau
X ⊆ Y jika dan hanya jika y ≤ x dan x ≤ y
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → X ⊆ Y
Y
( (
y x
0
)
x
)
y
X
b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}
(
y
(
x
0
)
x
)
y
X
Y
79
Operasi-Operasi Aritmatika
80
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut
interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut
interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif
termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif,
degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,
sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol
bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
81
Penjumlahan
dan
Pengurangan
82
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y
didefinisikan sebagai
X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y }
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen
masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah
jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan
batas-batas interval saja.
X + Y = [ x + y, x + y ]
83
Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ] , maka
X + Y = [ x + y, x + y ]
Jumlah interval juga merupakan interval.
Y
X
(
0
x
)
x
(
y
)
y
(
x+ y
X ∪Y
tidak merupakan sebuah
interval karena X < Y.
X dan Y adalah dua
)
X+Y
x+y
Penjumlahan berbeda dengan
penggabungan.
Penggabungan dua interval tidak
selalu menghasilkan suatu interval.
interval yang terpisah.
84
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita
mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6]
X
0
Y
X ∪Y = [2, 6]
X + Y = [5, 10]
)
z
( (
) ( )
x y x z y
X ∪Y
X +Y
85
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
− X = {− x, x ∈ X }
yang dapat kita tuliskan
− X = −[ x, x ] = [− x , − x]
(
−x
)
−x
−X
(
0
)
x
x
X
Batas atas −X adalah − x
Batas bawah −X adalah x
86
Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]
(
−x
)
−x
(
0
)
x
x
−X
X
b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]
(
−x
(
x
)
0 −x
−X
X
)
x
87
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka
pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X
dengan negatif interval Y
X − Y = [ x, x ] − [ y , y ] = [ x − y , x − y ]
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]
X
( (
−y
x− y
)
−y
(
)
0
X−Y
x
Y
)(
x y
)
y
x−y
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan
X − Y merupakan interval negatif.
88
Perkalian
dan
Pembagian
89
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y }
yang dapat dituliskan
X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas
masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita
memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
90
Pada interval X selalu dipenuhi relasi
x≤x
maka dengan memperhatikan posisi x kita akan mengetahui posisi x
jika x ≥ 0 maka x ≥ 0
jika x ≤ 0 maka
x ≥ 0 atau x ≤ 0
Demikian juga pada interval Y
jika y ≥ 0 maka y ≥ 0
jika y ≤ 0 maka
y ≥ 0 atau y ≤ 0
91
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan
perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
92
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
X
1).
(
0 x
)
x
(
y
X
2).
(
x 0
)
x
(
y
X
3).
4).
(
x
) (
x 0 y
X
(
x
)
x
(
y 0
Y
Y
Y
Y
)
y
)
y
)
y
)
y
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x < 0 < x dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x ≤ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
x ≤ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
93
X
(
x
5).
Y
)
x
(
y
Y
)
(
y 0 x
Y
7).
(
(
y
(
y
Z = X ⋅ Y = [ x y, xy ]
x < 0 < x dan y ≤ 0
)
x
) (
y x 0
(
x
x ≥ 0 dan y < 0 < y
)
x
X
Y
9).
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
X
) (
0 y x
y
x ≥ 0 dan y ≤ 0
)
x
Y
8).
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
X
(
y
6).
x ≤ 0 dan y ≤ 0
)
y 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x < 0 < x dan y < 0 < y
X
)
0 y
)
x
Z = X ⋅Y
= [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]
94
Contoh dan Penjelasan
X
1).
(
0 x
)
x
X = [1, 3]
(
y
Y
)
y
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [4, 6]
X ⋅Y = [ 4, 18]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif.
Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas
sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian
bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
95
Contoh dan Penjelasan
X
2).
(
x 0
)
x
(
y
X = [−1, + 2]
Y
)
y
x < 0 < x dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [4, 8]
X ⋅Y = [−8, + 16]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah
negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas
bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas
karena kedua batas atas tersebut positif.
96
Contoh dan Penjelasan
X
3).
(
x
) (
x 0 y
X = [−3, − 1]
Y
)
y
x ≤ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [1, 4]
X ⋅Y = [−12, − 1]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain
interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas
bawah interval positif
97
Contoh dan Penjelasan
4).
X
(
x
)
x
X = [−4, − 2]
(
y 0
Y
)
y
x ≤ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [ −1, 3]
X ⋅Y = [−12, + 4]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain
mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang
mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas
bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
98
Contoh dan Penjelasan
X
(
) (
5).
x
y
x
X = [ −7, − 5]
Y
x ≤ 0 dan y ≤ 0
)
y 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [−4, − 1]
X ⋅Y = [5, 28]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali
adalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
99
Contoh dan Penjelasan
Y
6).
(
y
X
)
(
y 0 x
X = [1, 4]
)
x
x ≥ 0 dan y ≤ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [−3, − 1]
X ⋅Y = [−12, − 1]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval
positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas
bawah interval positif
100
Contoh dan Penjelasan
Y
7).
(
y
X
) (
0 y x
X = [2, 5]
)
x
x ≥ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, xy]
Y = [−3, 1]
X ⋅Y = [−15, 5]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah
negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas
bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas
karena kedua batas atas tersebut positif.
101
Contoh dan Penjelasan
Y
8).
(
y
X
) (
y x 0
X = [−1, 3]
x < 0 < x dan y ≤ 0
)
x
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [−5, − 2]
X ⋅Y = [−15, 5]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain
mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang
mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas
bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
102
Contoh dan Penjelasan
Y
9).
(
y
x < 0 < x dan y < 0 < y
X
)
0 y
(
x
X = [ −2, 5]
)
x
Z = X ⋅Y
= [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]
Y = [−4, 1]
X ⋅Y = [min{−2,−20}, maks{5, 8}] = [−20, 8]
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
X ⋅ Y = [min{ x y, x y , x y , x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Akan bernilai negatif sehingga
tak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehingga
tak mungkin menjadi
batas minimum
103
Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan
dari X didefinisikan sebagai
1
= {1 / x : x ∈ X }
X
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
1
= [1 / x , 1 / x]
X
Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0,
kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
104
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X
dengan kebalikan Y.
X
1
= X ⋅ = [ x, x ] ⋅ [1 / x , 1 / x]
Y
Y
Contoh:
X = [4, 10], Y = [2, 10]
→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
105
Sifat-Sifat
Aritmatika Interval
106
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasioperasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan
biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang
sangat menyolok.
107
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan
sebagai
X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y }
X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y }
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
X + (Y + Z ) = ( X + Y ) + Z ;
X (YZ ) = ( XY ) Z ;
X +Y = Y + X
XY = YX
108
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X
dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam
aritmatika interval:
X−X≠0
dan
X/X≠1
jika w(X) > 0
X − X = [ x − x , x − x] = w( X )[−1, 1]
X / X = [ x / x , x / x] jika X > 0
X / X = [ x / x, x / x ] jika X < 0
109
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]
110
Kuliah Terbuka
Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham
111
Sudaryatno Sudirham
Kapita Selekta Matematika
Bilangan Kompleks
Permutasi dan Kombinasi
Aritmatika Interval
2
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks
sebagai berikut
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y)
dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
z = ( x, y )
bagian nyata (real part)
dari z
kita tuliskan Re z = x
bagian khayal (imaginary part)
dari z
Im z = y
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis,
mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.
3
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya;
bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapat
diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan
angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu
sumbu yang disebut sumbu nyata,
|
|
|
|
|
|
|
|
-2
-1
0
1
2
3
4
5
m
4
Tinjaulah suatu fungsi
y= x
3.5
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif
namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu
bilangan imajiner (khayal)
−1 = j
5
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata,
misalnya
5 = 5×1
10 = 10 × 1 dan seterusnya
maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan dari
bilangan imajiner, misalnya
imajiner 2 = j2
imajiner 3 = j3
imajiner 9 = j9 dan seterusnya
6
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata
dan komponen imajiner dan dituliskan
z = a + jb
bilangan kompleks
bagian imajiner
bagian nyata
7
Bilangan kompleks dapat digambarkan di
bidang kompleks
yang dibatasi oleh
sumbu nyata (diberi tanda Re) dan
sumbu imajiner (diberi tanda Im)
yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks
(x,,y)
dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya
8
Diagram Argand
Im
disebut modulus
2
modulus z = ρ = a + b
jb
2
z = a + jb
ρ
•
z = ρ(cos θ + j sin θ)
b = ρ sin θ
θ
disebut argumen
a
b
arg z = θ = tan −1
a
a = ρ cos θ
Re
z = a 2 + b 2 (cos θ + j sin θ)
9
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
z1 = 3 + j 4
Sudut dengan sumbu nyata adalah
θ1 = tan −1 (4 / 3) ≈ 53,1o
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
(
z1 = 3 2 + 4 2 cos 53,1o + j sin 53,1o
(
= 5 cos 53,1o + j sin 53,1o
)
)
10
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
(
z 2 = 10 cos 20 o + j sin 20 o
)
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
(
z2 = 10 cos 20o + j sin 20o
)
≈ 10(0,94 + j0,34) = 9,4 + j3,4
11
Kesamaan Bilangan Kompleks
Modulus ρ =
a2 + b2
merupakan nilai mutlak
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang
sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya
mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.
Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka
mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian
imajiner yang sama besar..
12
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah
nilai negative dari kedua komponennya
Jika
z = a + jb maka − z = −a − jb
Im
• z = a + jb
jb
ρ
θ + 180 o
θ
a
Re
ρ
− z = −a• − jb
13
CONTOH
Jika z1 = 4 + j 6 maka z 2 = − z1 = −4 − j 6
Sudut dengan sumbu nyata
θ1 = tan −1 (6 / 4) = 56,3 o
θ 2 = 56,3 o + 180 o = 236,3 o
z1 dapat dinyatakan sebagai
(
z1 = 4 2 + 6 2 cos 56,3 o + j sin 56,3 o
(
= 7,2(cos(56,3
= 7,2 cos 56,3 o + j sin 56,3 o
− z1
o
)
)
+ 180 o ) + j sin(56,3 o + 180 o )
= 7,2(− 0,55 − j 0,83) = −3,96 − j 6
)
14
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen
imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
Jika z = a + jb maka
z ∗ = a − jb
Im
jb
ρ
• z = a + jb
θ
−θ a
− jb
Re
• z ∗ = a − jb
15
CONTOH:
Jika z = 5 + j 6 maka z ∗ = 5 − j 6
Im
• z = 5 + j6
Sudut dengan sumbu nyata
θ = tan −1 (6 / 5) = 50,2 o
∗
θ = −50,2
Re
o
• z* = 5 − j 6
z dapat dinyatakan sebagai
(
z = 52 + 6 2 cos 50,2o + j sin 50,2o
(
= 7,8 cos 50,2o + j sin 50,2o
(
)
z ∗ = 7,8 cos 50,2 o − j sin 50,2 o
)
)
16
CONTOH:
z ∗ = −5 + j 6 •
Jika z = −5 − j 6
maka z ∗ = −5 + j 6
Im
Re
z = −5 − j 6 •
Im
• z ∗ = 5 + j6
Jika z = 5 − j 6
maka z ∗
= 5 + j6
Re
• z = 5 − j6
17
Operasi-Operasi Aljabar
18
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan
kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata
dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
z1 + z 2 = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2 )
= (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 )
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang
komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan
komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
z1 − z 2 = (a1 + jb1 ) − (a2 + jb2 )
= (a1 − a2 ) + j (b1 − b2 )
19
CONTOH:
Diketahui s1 = 2 + j 3 dan
s2 = 3 + j 4
s1 + s2 = (2 + j 3) + (3 + j 4)
= 5 + j7
s1 − s2 = (2 + j3) − (3 + j 4)
= −1 − j1
20
Perkalian Bilangan Kompleks
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita
melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan
perkalian komponen per komponen
( z1 )( z 2 ) = (a1 + jb1 )(a 2 + jb2 )
= a1 a 2 + jb1 a 2 + jb1 a 2 − b1b2
= a1 a 2 + 2 jb1 a 2 − b1b2
∗
Jika z 2 = z1
z1 × z1∗ = (a + jb)(a − jb)
= a 2 − jba + jba + b 2
= a2 + b2
Perhatikan: z1 × z1∗ = z1 = a + jb
2
=
(a
2
2
+b
2
) =a
2
2
+ b2
21
CONTOH:
z1 = 2 + j 3 dan
z 2 = 3 + j4
( z1 )( z 2 ) = (2 + j 3)(3 + j 4)
= 6 + j8 + j 9 − 12
= −6 + j17
CONTOH:
z1 = 2 + j 3 dan
z 2 = z1∗ = 2 − j 3
( z1 )( z1∗ ) = ( 2 + j 3)(2 − j 3)
= 4 − j6 + j6 + 9
= 4 + 9 = 13
z1 z1∗
2
= z1 =
( 2 + 3 ) = 4 + 9 = 13
2
2
2
22
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika
pembagian itu dikalikan dengan 1
z1
a + jb1 a2 − jb2
= 1
×
z2 a2 + jb2 a2 − jb2
=
CONTOH:
(a1a2 + b1b2 ) + j (b1a2 − b2 a1 )
z1 = 2 + j 3 dan
a22 + b22
a2 − jb2
=1
a2 − jb2
z 2 = 3 + j4
z1 2 + j 3 3 − j 4 (6 + 12) + j (−8 + 9) 18
1
=
=
+j
×
=
25
25
z 2 3 + j4 3 − j4
32 + 4 2
23
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
24
Fungsi Eksponensial Kompleks
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial
y = ex
merupakan fungsi ekponensial nyata;
y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks z = σ + jθ
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
e z = e (σ+ jθ) = e σ (cos θ + j sin θ) ;
dengan e σ adalah fungsi eksponensial riil`
Melalui identitas Euler e
jθ
= cos θ + j sin θ
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
e z = e σ e jθ
25
Bentuk Polar
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
z = ρe jθ
Im
• z = ρe jθ arg z = ∠z = θ
ρ
θ
Re
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan
argumennya ∠z = 0,5 rad
Im
Bentuk sudut sikunya adalah:
z = 10 (cos 0,5 + j sin 0,5)
= 10 (0,88 + j 0,48) = 8,8 + j 4,8
10
0,5 rad
• z = 5e j 0,5
Re
26
CONTOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
Modulus
Argumen
| z | = ρ = 32 + 4 2 = 5
∠z = θ = tan −1
Representasi polar
4
= 0,93 rad
3
z = 5e j0,93
Im
• z = 5e j 0,93
5
0,93 rad
Re
27
CONTOH:
Misalkan z = −2 + j 0
Modulus | z | = ρ = 4 + 0 = 2
Argumen θ = tan −1 (0 / − 2 ) = ± π tidak bernilai tunggal
Di sini kita harus memilih θ = π rad
karena komponen imajiner 0
sedangkan komponen nyata −2
Im
z = 2e jπ
•
−2
Re
28
.
CONTOH
Misalkan z = 0 − j 2
Modulus | z | = ρ =
0+4 = 2
Argumen θ = tan −1 (− 2 / 0) = −π / 2
komponen nyata: 0
komponen imajiner: −2
Representasi polar adalah
Im
z = 2 e − jπ / 2
Re
− jπ / 2
− j 2 • z = 2e
29
Manfaat Bentuk Polar
30
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah
operasi perkalian dan pembagian.
( z1 )( z2 ) = ρ1e jθ1 ρ 2 e jθ2
= ρ1ρ 2e j ( θ1 + θ2 )
z1 ρ1e jθ1 ρ1 j ( θ1 −θ2 )
e
=
=
jθ 2
z2 ρ2e
ρ2
CONTOH:
Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4
z1 z 2 = 10e j 0,5 × 5e j 0,4 = 50e j 0,9
z1 10e j 0,5
=
= 2e j 0,1
z2
5e j 0,4
31
Konjugat Kompleks
argumen konjugat berlawanan dengan
argumen bilangan kompleks asalnya
Im
• z = ρe j θ
θ
−θ
Re
• z ∗ = ρ e − jθ
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan
konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut
( z )( z*) =| z |2 atau |z| = s s *
[z1 z 2 ]* = (z1* )(z*2 )
*
z1
z1*
= *
z2
z2
32
CONTOH:
j 0, 5
Misalkan z1 = 10e
z 2 = 5e j 0,4
dan
z1 z1∗ = 10e j 0,5 × 10e − j 0,5 = 100
z 2 z 2∗ = 25
[z1 z 2 ]∗ = [10e j 0,5 × 5e j 0,4 ]
∗
[
= 5 0 e j 0 ,9
] = 50e
∗
− j 0, 9
= 10e − j 0,5 × 5e − j 0,4 = 50e − j 0,9
∗
10e j 0,5
z1
= j 0, 4
5e
z2
=
10e − j 0,5
5e − j 0, 4
∗
[
]
j 0,1 ∗
=
= 50e − j 0,1
e
2
= 2e − j 0,1
33
Kuliah Terbuka
Bilangan Kompleks
Sudaryatno Sudirham
34
Sudaryatno Sudirham
Permutasi dan Kombinasi
35
Permutasi
36
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen
yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap
kelompok urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B
dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
dan
BA
AB
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati
posisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu
kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu
kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
37
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C
Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
CA
CB
B A
BA
BC
C A
AB
AC
C B
diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama
tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama
dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati
posisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi pertama
3 × 2 ×1 = 6
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinan
komponen yang
menempati posisi ketiga
38
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang
setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4
Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3
Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2
Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4×3×2×1=24 kelompok
yaitu:
ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADCB
ADBC
BACD
BADC
BCAD
BCDA
BDAC
BDCA
CDAB
CDBA
CABD
CADB
CBAD
CBDA
DABC
DACB
DBCA
DBAC
DCAB
DCBA
ada
24 kelompok
39
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun
dari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
n
n
n
n
× ( − 1) × ( − 2) × ......... × 1 = !
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!
dan kita tuliskan
n Pn
= n!
Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan
dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masingmasing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
Kita sebut permutasi k dari n
komponen dan kita tuliskan
n Pk
40
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
4 P2
= 4 × 3 = 12
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan
pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
4 P2 =
4 × 3 × 2 ×1
= 12
2 ×1
41
Secara Umum:
n Pk =
n!
(n − k )!
Contoh:
6 P2 =
6!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
=
= 6 × 5 = 30
(6 − 2)!
4 × 3 × 2 ×1
Contoh:
6!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
=
= 6 × 5 × 4 × 3 = 360
6 P4 =
(6 − 4)!
2 ×1
42
Kombinasi
43
Kombinasi merupakan pengelompokan
sejumlah komponen yang mungkin dilakukan
tanpa mempedulikan urutannya
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
44
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n
komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi nPk
dibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponen
dituliskan sebagai nCk
Jadi
n!
=
n Ck =
k! (n − k )!× k!
n Pk
45
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf
A, B, C, dan D
Jawab:
4!
4 × 3 × 2 ×1
=
=
=6
4 C2 =
2! (4 − 2)!×2! 2 ×1× 2 ×1
4 P2
yaitu: AB
AC
AD
BC
BD
CD
46
Contoh Aplikasi
Distribusi Maxwell-Boltzman
Distribusi Fermi-Dirac
47
Distribusi Maxwell-Boltzman
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat
energi yang diskrit; kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh
elektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang
sama untuk menempati suatu tingkat energi
48
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus
terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
di E1 terdapat n1 elektron
di E2 terdapat n2 elektron
di E3 terdapat n3 elektron
dst.
maka jumlah cara penempatan elektron di E1
merupakan permutasi n1 dari N yaitu
P1 = n1 PN =
N!
( N − n1 )!
49
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari
(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
P2 = n2 P( N −n1 )
( N − n1 )!
=
( N − n1 − n2 )!
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari
(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
P3 = n3 P( N −n1 −n2 ) =
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!
dst.
50
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini
sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N
yaitu
C1 =
n1 PN
n1!
=
N!
( N − n1 )!n1!
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
C2 =
C3 =
n3
n2
P( N −n1 )
( N-n1 )!n2 !
=
( N − n1 )!
( N − n1 − n2 )!n2!
P( N − n1 −n2 )
( N − n1 − n3 − n3 )!n3!
=
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
dst.
51
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati,
yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.
maka probabilitas tingkat-tingkat energi
F1 = g1n1 C1
E1 ditempati n1 elektron
E2 ditempati n2 elektron
adalah
F2 = g 2 n2 C2
E3 ditempati n3 elektron
F3 = g 3n3 C3
dst.
dst.
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron
seperti di atas adalah:
F = F1 F2 F3 .... = g1 g 2 g 3
n1
n2
n3
g1n1 g 2n2 g 3n3 .....
....C1C2C3 ...... =
n1!n2 ! n3!.....
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann
52
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang
paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh
ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini
di buku-e
“Mengenal Sifat Material”
53
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita
pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
ni =
Jumlah elektron pada
tingkat energi Ei
N
g i e − Ei / k BT
Z
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksik
tingkat energi ke-i
fungsi partisi
Z=
∑
g i e −βEi
i
54
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi
yang diskrit, misalnya kita sebut
E1
E2
E3
dst.
Setiap tingkat energi mengandung
sejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron berada
pada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat
energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlah
elektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
55
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus
terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
di E1 terdapat n1 elektron
di E2 terdapat n2 elektron
di E3 terdapat n3 elektron
dst.
56
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat
E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
C1 =
N!
( N − n1 )!n1!
C2 =
( N − n1 )!
( N − n1 − n2 )!n2!
C3 =
( N − n1 − n2 )!
( N − n1 − n2 − n3 )!n3!
dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk
menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
F1 =
g1!
n1!( g1 − n1 )!
F2 =
g 2!
( g 2 − n2 )!n2 !
F3 =
g 3!
dst.
( g 3 − n3 )!n3!
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
F = F1F2 F3 ...Fi = ∏
i
gi !
ni !( g i − ni )!
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak
membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut
57
permutasi dan kombinasi
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang
paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh
ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan
ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9
yang dapat diunduh di situs ini juga
58
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita
pada formulasi distribusi Fermi Dirac
ni =
gi
e ( Ei − EF ) / k BT + 1
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T → 0
lim e ( Ei − EF ) / k BT = 0 untuk ( Ei − E F ) < 0
T →0
= ∞ untuk ( Ei − E F ) > 0
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat
energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
59
Kuliah Terbuka
Permutasi dan Kombinasi
Sudaryatno Sudirham
60
Sudaryatno Sudirham
Aritmatika Interval
61
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang
melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi
interval.
62
Cakupan Bahasan
Pengertian-Pengertian Interval
Operasi-Operasi Aritmatika Interval
Sifat-Sifat Aritmatika Interval
63
Pengertian-Pengertian Interval
64
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal,
baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai
yang berada dalam suatu interval tertutup *)
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya
merupakan kumpulan bilangan
Contoh:
Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan
yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri
(interval tertutup).
*)
Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
65
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum,
suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
S = {x : p( x)}
menunjukkan kumpulan
yang kita tinjau
menunjukkan
sembarang elemen
dari S
menunjukkan syarat-syarat
yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar
merupakan elemen dari S
atau tidak
66
Contoh
S = {x : x ∈ R, 90 ≤ x ≤ 110}
p( x) = x ∈ R, 90 ≥ x ≤ 110
R adalah kumpulan dari
semua bilangan nyata
67
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara
a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞
kita tuliskan
X = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b, a, b ∈ R, − ∞ < a < b < +∞}
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasioperasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar
mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan
hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan
interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batasbatas intervalnya.
68
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan
batas atas (nilai maksimum) x kita tuliskan
X = [ x, x ]
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk
mengakomodasi batas-batas interval.
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval
pada garis sumbu nyata sebagai berikut
(
0
x
x
)
interval X
batas bawah
batas atas
69
Degenerasi
Suatu interval mengalami degenerasi jika
x=x
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami
degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal
dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau
sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
70
Lebar Interval
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
w( X ) = x − x
Contoh:
X = [6, 15]
w( X ) = 15 − 6 = 9
(
0
)
x
x
w(X)
71
Titik Tengah
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
m( X ) = ( x + x ) / 2
Contoh:
X = {4, 10} → titik tengah m( X ) = (4 + 10) / 2 = 7
Radius
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
w( X ) / 2
Contoh:
X = {4, 10}
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.
72
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batasbatas yang sama.
Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ]
maka X = Y
jika dan hanya jika x = y dan x = y
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas
maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, x < y
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y.
0
(
x X
)
x
(
y
Y
)
y
Dalam contoh ini
w(X) < w(Y)
73
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari
absolut batas-batasnya
X = max{ x , x }
Contoh
X = {−8, 4}
X = max{ − 8 , 4 } = 8
74
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari
selisih batas-batas keduanya
ρ( X , Y ) = max{| x − y | , | x − y |}
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
ρ( X , Y ) = max{| 2 − 8 |, | 6 − 18 |} = 12
Di sini
y−x
0
)
x
(
x
X
| x − y |>| x − y |
y−x
(
y
)
y
Y
75
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika − x = x
Contoh: X = {−5, 5}
(
x
0
X
)
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
76
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita
mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
X ∩ Y = [max{x, y}, min{x , y}]
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18}
X
(
0
x
X ∩ Y = [6, 9]
Y
(
y
)
x
)
y
X ∩Y
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
77
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
X ∪ Y = [min{x, y}, maks{x ,y}]
X ∪ Y = [2, 18]
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18]
X
(
0
x
(
y
Y
)
x
)
y
X ∪Y
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga
merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua
interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
78
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
X ≤ Y dan w( X ) ≤ w(Y )
atau
X ⊆ Y jika dan hanya jika y ≤ x dan x ≤ y
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → X ⊆ Y
Y
( (
y x
0
)
x
)
y
X
b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}
(
y
(
x
0
)
x
)
y
X
Y
79
Operasi-Operasi Aritmatika
80
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut
interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut
interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif
termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif,
degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,
sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol
bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
81
Penjumlahan
dan
Pengurangan
82
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y
didefinisikan sebagai
X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y }
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen
masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah
jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan
batas-batas interval saja.
X + Y = [ x + y, x + y ]
83
Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ] , maka
X + Y = [ x + y, x + y ]
Jumlah interval juga merupakan interval.
Y
X
(
0
x
)
x
(
y
)
y
(
x+ y
X ∪Y
tidak merupakan sebuah
interval karena X < Y.
X dan Y adalah dua
)
X+Y
x+y
Penjumlahan berbeda dengan
penggabungan.
Penggabungan dua interval tidak
selalu menghasilkan suatu interval.
interval yang terpisah.
84
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita
mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6]
X
0
Y
X ∪Y = [2, 6]
X + Y = [5, 10]
)
z
( (
) ( )
x y x z y
X ∪Y
X +Y
85
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
− X = {− x, x ∈ X }
yang dapat kita tuliskan
− X = −[ x, x ] = [− x , − x]
(
−x
)
−x
−X
(
0
)
x
x
X
Batas atas −X adalah − x
Batas bawah −X adalah x
86
Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]
(
−x
)
−x
(
0
)
x
x
−X
X
b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]
(
−x
(
x
)
0 −x
−X
X
)
x
87
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka
pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X
dengan negatif interval Y
X − Y = [ x, x ] − [ y , y ] = [ x − y , x − y ]
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]
X
( (
−y
x− y
)
−y
(
)
0
X−Y
x
Y
)(
x y
)
y
x−y
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan
X − Y merupakan interval negatif.
88
Perkalian
dan
Pembagian
89
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y }
yang dapat dituliskan
X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas
masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita
memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
90
Pada interval X selalu dipenuhi relasi
x≤x
maka dengan memperhatikan posisi x kita akan mengetahui posisi x
jika x ≥ 0 maka x ≥ 0
jika x ≤ 0 maka
x ≥ 0 atau x ≤ 0
Demikian juga pada interval Y
jika y ≥ 0 maka y ≥ 0
jika y ≤ 0 maka
y ≥ 0 atau y ≤ 0
91
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan
perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
92
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
X
1).
(
0 x
)
x
(
y
X
2).
(
x 0
)
x
(
y
X
3).
4).
(
x
) (
x 0 y
X
(
x
)
x
(
y 0
Y
Y
Y
Y
)
y
)
y
)
y
)
y
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x < 0 < x dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x ≤ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
x ≤ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
93
X
(
x
5).
Y
)
x
(
y
Y
)
(
y 0 x
Y
7).
(
(
y
(
y
Z = X ⋅ Y = [ x y, xy ]
x < 0 < x dan y ≤ 0
)
x
) (
y x 0
(
x
x ≥ 0 dan y < 0 < y
)
x
X
Y
9).
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
X
) (
0 y x
y
x ≥ 0 dan y ≤ 0
)
x
Y
8).
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
X
(
y
6).
x ≤ 0 dan y ≤ 0
)
y 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
x < 0 < x dan y < 0 < y
X
)
0 y
)
x
Z = X ⋅Y
= [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]
94
Contoh dan Penjelasan
X
1).
(
0 x
)
x
X = [1, 3]
(
y
Y
)
y
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [4, 6]
X ⋅Y = [ 4, 18]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif.
Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas
sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian
bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
95
Contoh dan Penjelasan
X
2).
(
x 0
)
x
(
y
X = [−1, + 2]
Y
)
y
x < 0 < x dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [4, 8]
X ⋅Y = [−8, + 16]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah
negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas
bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas
karena kedua batas atas tersebut positif.
96
Contoh dan Penjelasan
X
3).
(
x
) (
x 0 y
X = [−3, − 1]
Y
)
y
x ≤ 0 dan y ≥ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [1, 4]
X ⋅Y = [−12, − 1]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain
interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas
bawah interval positif
97
Contoh dan Penjelasan
4).
X
(
x
)
x
X = [−4, − 2]
(
y 0
Y
)
y
x ≤ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [ −1, 3]
X ⋅Y = [−12, + 4]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain
mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang
mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas
bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
98
Contoh dan Penjelasan
X
(
) (
5).
x
y
x
X = [ −7, − 5]
Y
x ≤ 0 dan y ≤ 0
)
y 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]
Y = [−4, − 1]
X ⋅Y = [5, 28]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali
adalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
99
Contoh dan Penjelasan
Y
6).
(
y
X
)
(
y 0 x
X = [1, 4]
)
x
x ≥ 0 dan y ≤ 0
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [−3, − 1]
X ⋅Y = [−12, − 1]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval
positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas
bawah interval positif
100
Contoh dan Penjelasan
Y
7).
(
y
X
) (
0 y x
X = [2, 5]
)
x
x ≥ 0 dan y < 0 < y
Z = X ⋅ Y = [ x y, xy]
Y = [−3, 1]
X ⋅Y = [−15, 5]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah
negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas
bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas
karena kedua batas atas tersebut positif.
101
Contoh dan Penjelasan
Y
8).
(
y
X
) (
y x 0
X = [−1, 3]
x < 0 < x dan y ≤ 0
)
x
Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]
Y = [−5, − 2]
X ⋅Y = [−15, 5]
Nilai terkecil
yang bisa dicapai
Nilai terbesar
yang bisa dicapai
Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain
mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang
mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas
bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
102
Contoh dan Penjelasan
Y
9).
(
y
x < 0 < x dan y < 0 < y
X
)
0 y
(
x
X = [ −2, 5]
)
x
Z = X ⋅Y
= [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]
Y = [−4, 1]
X ⋅Y = [min{−2,−20}, maks{5, 8}] = [−20, 8]
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
X ⋅ Y = [min{ x y, x y , x y , x y}, maks {x y, x y , x y, x y}
Akan bernilai negatif sehingga
tak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehingga
tak mungkin menjadi
batas minimum
103
Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan
dari X didefinisikan sebagai
1
= {1 / x : x ∈ X }
X
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
1
= [1 / x , 1 / x]
X
Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0,
kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
104
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X
dengan kebalikan Y.
X
1
= X ⋅ = [ x, x ] ⋅ [1 / x , 1 / x]
Y
Y
Contoh:
X = [4, 10], Y = [2, 10]
→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
105
Sifat-Sifat
Aritmatika Interval
106
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasioperasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan
biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang
sangat menyolok.
107
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan
sebagai
X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y }
X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y }
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
X + (Y + Z ) = ( X + Y ) + Z ;
X (YZ ) = ( XY ) Z ;
X +Y = Y + X
XY = YX
108
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X
dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam
aritmatika interval:
X−X≠0
dan
X/X≠1
jika w(X) > 0
X − X = [ x − x , x − x] = w( X )[−1, 1]
X / X = [ x / x , x / x] jika X > 0
X / X = [ x / x, x / x ] jika X < 0
109
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]
110
Kuliah Terbuka
Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham
111