10-11.APLIKASI INTEGRAL (LUAS&VOLUME)
APLIKASI INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL
PENERAPAN INTEGRAL Luas daerah kelengkungan
Integral digunakan pada design Menara Petronas di
Sydney Opera House di design berdasarkan
irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial
RASH TESTS C
Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang
beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian
adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.PENERAPAN INTEGRAL
Indikator 1 2 Indikator 2 y x
9
2 Luas daerah di bawah y x 4 x
Volume benda putar, jika kurva
2 kurva y x berdsar
Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka b berlaku : f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
a b
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai F ( x)
a
Contoh 1 :
2
2 Hitunglah nilai dari
6 x
4 x dx
1 Jawab
2
2
2
3
2 x x
6 4 dx =
2 x x
2
1
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].Berubah Menjadi Jumlah Luas Partisi Integral
y y
f (x ) f (x )
Tentukan limitnya
n b n f ( x ) dx f ( x ) x
i i a
i
1
x x
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah y f (x )
x
Kegiatan pokok dalam menghitung luas i
y
daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya f ( x ) i
L i
3. Aproksimasi luas sebuah partisi L f(x ) x
i i i
4. Jumlahkan luas partisi
x x a
i L f(x ) x
i i
5. Ambil limitnya L = lim f(x ) x
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Contoh 1.
2 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x , sumbu x, dan garis x = 3 Jawab 2 f ( x ) x
Langkah penyelesaian :
y
1. Gambarlah daerahnya x i
2. Partisi daerahnya
2
3. Aproksimasi luasnya L x x
i i i
2
4. Jumlahkan luasnya L x x
i i
2
5. Ambil limit jumlah luasnya x i
2 L = lim x x
L i i
i
6. Nyatakan dalam integral dan
3
2
x
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Contoh 2.
2 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x , sumbu Y, dan garis y = 4 Jawab
2 f ( x ) x
y
Langkah penyelesaian :
4
1. Gambarlah daerahnya
x
i
2. Partisi daerahnya y
3. Aproksimasi luasnya L x .y
i y
4. Jumlahkan luasnya L y. y
5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim y. y
6. Nyatakan dalam integral dan
4
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Contoh 3.
2 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x , sumbu x, dan garis x = 6 Jawab x i
y
Langkah penyelesaian: 2
1. Gambar dan Partisi daerahnya 4 x x i i
2 L
i
2. Aproksimasi : L (4x - x )x dan
x
i i i i
j
2 A -(4x - x )x
4
6 j j j j x x
j
x
i
2 3.
Jumlahkan : L (4x - x )x dan A
i i i
2 A 2 j
-(4x - x )x
j j j
( 4 x x )
2 4.
Ambil limitnya L = lim (4x - x )x
i i i
2
dan A = lim -(4x - x )x
j j j
dx x x
1
2 ) 4 ( 32 )
4 (
6
4
3
3
1
2
x x
3
3
2
3
3
3
1
2 )
) 4 (
4 ( 2 ) ) 6 ( 6 (
3
64
3 216
32
72 A
3 152
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
4
1
3
64
2 ) L 4 ( dx x x
2 L
6
4
2 ) A 4 (
y x
6
4
2 ( 4 ) x x x f
x i
L
i
x
i
x
3
2 2 L x x
1
3
3
4
) 4 ( 2 x x
4 i i x x
j x j 2
A
j
2 A
2 A
40 A
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Kesimpulan : b
L dy x .
b L dx y .
y x y y x
) (x f y x i
x
i ) ( i x f
y
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : L
i
[ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) – g(x) ] x
y b a
) (x f y
x
L i x
x
) ( ) ( x g x f Menghitung Luas dengan Integral
Luas Daerah Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Contoh 4.
2 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x dan garis y = 2 - x Jawab Langkah penyelesaian:
y
y 2 x
1. Gambar daerahnya
5
2. Tentukan titik potong kedua kurva x
2
2 x = 2 + x
4
- – x x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1
3
2
3. Partisi daerahnya y x
2 ( 2 x ) x
4. Aproksimasi luasnya L
2
i
2 L (2 - x - x )x i
5. Nyatakan dalam integral tertentu
1 x
1
2 L ( 2 x x ) dx
- -3 -2 -1
1
2
dx x x
2 L
4 2 L
1
2
2
1 ) 2 (
2 ) 1 (
3
8
3
1
2
1
2
3
3
8
3
1
2
1
2
4 2 L
2
1
2
1
4 5 L Menghitung Luas dengan Integral
Luas Daerah Luas Daerah
3
2 ) 2 (
2
y
1
2
3
2
3
x x x
5 L
x y 2
2 ) L 2 (
2
1
3 )
2 (
4
2 L
i x
x
2
3
2
1
2 x y
1 -2 2 -1 -3
x
3
2 ) 2 ( x x
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah y g (x )
Untuk kasus tertentu pemartisian
y
y f (x ) secara vertikal menyebabkan ada
x dua bentuk integral. Akibatnya
L
i x f ( x ) g ( x ) diperlukan waktu lebih lama untuk
A
i x
a menghitungnya. b
2 x f ( ) b a
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
y g ( x ) x g ( y )
y
y f ( x ) x f ( y ) d
g ( y ) f ( y )
L i y
x
c
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Contoh 5.
2 Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x , garis x + y = 6 , dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
y
2. Tentukan titik potong kedua kurva
2
2 y = 6 + y – y y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0
6
diperoleh y = - 3 dan y = 2
2 ( 6 y ) y
3. Partisi daerahnya
2 x y
4. Aproksimasi luasnya
2 (6 - y - y
L )y
2
i
5. Nyatakan dalam integral tertentu L y i
y
2
x
6
2 Luas daerah = 6 y y dy
Luas daerah =
3
3
2
2
4 ) 2 (
6
Luas daerah =
3
8
2
3
Luas Daerah Luas Daerah
Luas daerah =
y y y
6 x
2
2 6 dy y y
2 y x
y x 6
2 y
12 Luas daerah =
6 L i y y
6
2 ) 6 ( y y
Luas daerah =
2
3
3
2
2
22 Menghitung Luas dengan Integral
PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar
Pendahuluan Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi , aproksimasi , penjumlahan , pengambilan limit, dan menyatakan
Gb. 4 dalam integral tentu.
Pendahuluan Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y y y
4
3
2 x x
PERLU DI INGAT !!!!!
RUMUS DASAR TABUNG :
>> LUAS PERMUKAAN TABUNG L = 2 x x jari-jari x tinggi π
L = 2
π r t
>> VOLUME TABUNG V = luas alas x tinggi
Metode Cakram Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong- motongnya sehingga tiap
Metode Cakram Volume Benda Putar
Volume Benda Putar
y
Bentuk cakram di samping dapat x dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga f (x ) volumenya dapat diaproksimasi sebagai
x
a
x
2
2 V r h atau V f(x) x. y
Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral h=x diperoleh:
2
r f (x ) V f(x) x
x
2 V = lim f(x) x
Metode Cakram Volume Benda Putar
Volume Benda Putar x
h=x x x y x y x
a ) (x f
) (x f r
x h=y
) ( y f x r
y y
y
x
) ( ) ( y f x x f y x
y
) (x f y
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Contoh 6.
2 Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x + 1 , sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
y y
Langkah penyelesaian:
2 x y
1
1. Gambarlah daerahnya x
h=x
2. Buat sebuah partisi 2
1
2 r x
1
3. Tentukan ukuran dan x
1
x x
bentuk partisi
2
x
4. Nyatakan dalam bentuk
x integral.
2
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
3
5
1 x x x
V
15
11
16
2
5
32 2 ( 13 )
V d x y
V
2 .
5
3
y h=x x x
dx x x
1 2 x r dx x
V
2
2
2 ) 1 (
V
3
2
2
4 )
1 2 (
2
2
Metode Cakram Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Contoh 7.
2 Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x , sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
y
Jawab
2 y x
Langkah penyelesaian:
2
1. Gambarlah daerahnya y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x y
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang r y diputar, jumlahkan, ambil
Metode Cakram Volume Benda Putar
V
2 . y = x
2
V
2 dy x
V
2 dy y
y r
x y h=y y
1
Volume Benda Putar dy y
2
) 4 (
V
1 y
2
2
2
2
V
2
Metode Cincin Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong- motongnya yang potongannya
Metode Cincin Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode
R cincin dilakukan dengan r h memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping,
2
2 yaitu V= (R )h – r b
Metode Cincin Volume Benda Putar
2
2x y x
2
x x
x
x
2 x y
y = 2x
Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x
4 y
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
2. Buat sebuah partisi
1. Gambarlah daerahnya
2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 8. Langkah penyelesaian:
Jawab
- – r
- – (x
32
1
3
3
4 V x x
) (
5
32
3
V ) (
5
15 96 160
V dx y y
V
2
2
2
2
5
2
Metode Cincin Volume Benda Putar
x r=x
Volume Benda Putar
y x
4 y
y = 2x
2
2 x y
x
x
2 R=2x V (R
2
2 ) h V [ (2x)
2
2 )
2 ] x dx x x
V
2
4
2 ) 4 (
1 ) (
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
2 y = x , garis x = 2 , dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab Langkah penyelesaian:
y
2 y x
1. Gambarlah daerahnya
4
2. Buatlah sebuah partisi
3
x 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
2
4. Aproksimasi volume partisi yang
2 x
1
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
x
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar
Volume Benda Putar r
r
h h V = 2rh
Δ r a b
b dx y x
V . .
2
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar
Volume Benda Putar
y y
2 y x
4
4
3
x
3
x
r = x
2
2
2 x
1
2
1
h = x
x x
1
2
1
2
1
2 x
2 2 . .
V 2rhx V x y dx
2
2 )x
V 2(x)(x
3 V 2 x dx
3