A. Wardayani, Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul Z2 pada Modul R2 atas Gaussian Integers, hal. 279-288.

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 279 - 288

MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL ℤ𝟐
PADA MODUL ℝ𝟐 ATAS GAUSSIAN INTEGERS
Ari Wardayani

Universitas Jenderal Soedirman
ariwardayani@yahoo.co.id
ABSTRACT. We prove that ℝ2 is module over Gaussian Intergers and the set of

all coset of submodule ℤ2 in module ℝ2 over Gaussian Integers is a quotient

module. We find the proof by showing that ℝ2 is both a right module and a left
module over Gaussian Integers and showing that the set of all coset of submodule
ℤ2 in module ℝ2 is both a right module and a left module over Gaussian Integers.
Key word: module, submodule, coset, quotient module

ABSTRAK. Pada makalah ini dibuktikan bahwa ℝ2 adalah modul atas Gaussian

Integers dan himpunan semua koset dari submodul ℤ2 pada modul ℝ2 atas
Gaussian Integers merupakan modul faktor. Bukti diperoleh dengan menunjukkan

bahwa ℝ2 adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers dan

menunjukkan bahwa himpunan semua koset dari submodul ℤ2 pada ℝ2
merupakan modul kanan sekaligus modul kiri atas Gaussian Integers.
Kata kunci: modul, submodul, koset, modul faktor

1. PENDAHULUAN
Modul merupakan suatu struktur yang dibentuk dari suatu grup abel dan
suatu ring dengan elemen satuan. Misalkan M adalah grup abel terhadap operasi
penjumlahan dan R adalah ring dengan elemen satuan, modul kiri M atas ring R
adalah struktur yang dibentuk oleh M dan R yang dilengkapi dengan operasi pergandaan
skalar

r  R m  M , r m  M
dan memenuhi aksioma:
1.
2.

r  R m1, m2  M , r  m1  m2   rm1  rm2
r1, r2  R m  M ,  r1  r2  m  r1m  r2m

280

3.
4.

Ari Wardayani

r1, r2  R m  M ,  r1r2  m  r1  r2m
m  M  , 1m  m dengan 1 adalah elemen satuan R.

Definisi modul kanan M atas ring R analog dengan modul kiri, tetapi pada operasi
pergandaan skalarnya, elemen-elemen r di R dituliskan disebelah kanan (Hartley, dkk.,
1970). Himpunan bagian tak kosong dari suatu modul disebut submodul jika

himpunan bagian tersebut dilengkapi dengan operasi yang sama dengan operasi
di modulnya, juga membentuk modul (Adkins, 1972). Sementara itu modul faktor
adalah suatu modul yang dihasilkan oleh suatu submodul dari modul yang
diberikan (Lang, 1995).
Gaussian Integers merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan

kompleks (Muchlisah, 2008) dan dinotasikan dengan
ℤ(𝑖) = {𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑖 = √−1 }

Menurut Fraleigh (2000), Gaussian Integers ℤ(i) merupakan daerah integral, yaitu
ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol.
Himpunan ℝ2 adalah himpunan dari semua elemen yang berbentuk 2-tupel
dengan setiap tupelnya merupakan bilangan riil (Anton, 1993). Himpunan ℝ2
dinotasikan dengan
𝑥
ℝ2 = {[𝑦] |𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}.

Menurut Jacob (1990), ℝ2 merupakan ruang vektor atas lapangan himpunan
bilangan riil ℝ. Hal ini mengakibatkan bahwa ℝ2 adalah grup abel terhadap
operasi penjumlahannya.

2. PEMBENTUKAN MODUL ℝ2 ATAS GAUSSIAN INTEGERS ℤ(i)
Sebelum membuktikan ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integers ℤ(i),
terlebih dahulu didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ℤ(i) dan ℝ2 yakni:

Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul

281

𝑥1
𝑥1
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] ≔ [ 1
] dan [𝑥 ] (𝑎 + 𝑏𝑖) ≔ [ 1
],
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
2
2

𝑥1
untuk setiap (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ ℤ(𝑖), [𝑥 ] ∈ ℝ2 . Selanjutnya ditunjukkan bahwa dengan
2

operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut, ℝ2 memenuhi aksiomaaksioma modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i).

Proposisi 1. Himpunan ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integers ℤ(i) dengan
operasi pergandaan skalar
𝑥1
𝑥1
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] ≔ [ 1
],
] dan [𝑥 ] (𝑎 + 𝑏𝑖) ≔ [ 1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
2
2

𝑥1
untuk setiap (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ ℤ(𝑖), [𝑥 ] ∈ ℝ2 .
2

Bukti. Pembuktian diawali dengan menunjukkan

bahwa operasi yang

didefinisikan tersebut adalah well-defined. Ambil sembarang (𝑎 + 𝑏𝑖), (𝑐 + 𝑑𝑖) ∈
𝑥1
𝑥1 𝑦1
𝑦1
ℤ(𝑖) dengan (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) , dan [𝑥 ] , [𝑦 ] ∈ ℝ2 dengan [𝑥 ] = [𝑦 ]. Jika
2
2
2
2
𝑥1
𝑦1
(𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) dan [𝑥 ] = [𝑦 ] maka
2
2
𝑥1
𝑦1
𝑐𝑦 − 𝑑𝑦2
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] = [ 1
]=[ 1
] = (𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑦 ] dan
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑐𝑦2 + 𝑑𝑦1
2
2

𝑥1
𝑦1
𝑐𝑦 − 𝑑𝑦2
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
[𝑥 ] (𝑎 + 𝑏𝑖) = [ 1
]=[ 1
] = [𝑦 ] (𝑐 + 𝑑𝑖).
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑐𝑦2 + 𝑑𝑦1
2
2

Jadi operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut well-defined.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa aksioma-aksioma modul kiri dipenuhi:
𝑥1
𝑥1
(i). ((𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥 ] = ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖) [𝑥 ]
2

2

=[

(𝑎 + 𝑐)𝑥1 − (𝑏 + 𝑑)𝑥2
]
(𝑎 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 + 𝑑)𝑥1

=[

𝑐𝑥 − 𝑑𝑥2
𝑎𝑥1 − 𝑏𝑥2
]

]+[ 1
𝑐𝑥2 + 𝑏𝑑𝑥1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1

282

Ari Wardayani

𝑥1
𝑥1
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + (𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑥 ].
2

2

𝑥1
𝑦1
𝑥 +𝑦
𝑎(𝑥1 + 𝑦1 ) − 𝑏(𝑥2 + 𝑦2 )
]

(ii). (𝑎 + 𝑏𝑖) ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥1 + 𝑦1 ] = [
𝑎(𝑥
2
2
2
2
2 + 𝑦2 ) + 𝑏(𝑥1 + 𝑦1 )
=[

𝑎𝑦 − 𝑏𝑦2
𝑎𝑥1 − 𝑏𝑥2
]+ [ 1
]
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦1

𝑥1
𝑦1
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦 ]
2

2

𝑥1
𝑥1
(iii). ((𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥 ] = ((𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖) [𝑥 ]
2

2

=[

=[
=[

(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)𝑥1 − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2
]
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)𝑥2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥1

(𝑎𝑐𝑥1 − 𝑎𝑑𝑥2 ) − (𝑏𝑐𝑥2 + 𝑏𝑑𝑥1 )
]
(𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑑𝑥1 ) + (𝑏𝑐𝑥1 − 𝑏𝑑𝑥2 )

𝑎(𝑐𝑥1 − 𝑑𝑥2 ) − 𝑏(𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1 )
]
𝑎(𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1 ) + 𝑏(𝑐𝑥1 − 𝑑𝑥2 )

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [

𝑐𝑥1 − 𝑑𝑥2
]
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1

𝑥1
= (𝑎 + 𝑏𝑖) ((𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑥 ])

𝑥1
𝑥1
𝑥1
(iv). 1[𝑥 ] = (1 + 0𝑖) [𝑥 ] = [𝑥 ]
2

2

2

2

Karena ℝ2 memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas Gaussian Integers ℤ(i),
maka ℝ2 adalah modul kiri atas Gaussian Integers ℤ(i). Secara analog diperoleh
bahwa ℝ2 adalah modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i). Kemudian karena ℝ2
adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i) maka ℝ2
adalah modul atas Gaussian Integersℤ(i).■

Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul

283

Selanjutnya, struktur modul ℝ2 atas Gaussian Integer ℤ(i) ini akan digunakan
untuk membentuk submodul, koset, dan pada akhirnya digunakan untuk
membentuk modul faktor yang diinginkan.
3. PEMBENTUKAN MODUL FAKTOR DARI SUBMODUL ℤ2
Pada makalah ini, pembentukan modul faktor menggunakan ℤ2 yaitu

himpunan bagian dari ℝ2. Pembentukan modul faktor

diawali dengan

menunjukkan bahwa ℤ2 adalah submodul dari ℝ2. Hal ini dapat dibuktikan
sebagai berikut. Dengan pendefinisian
𝑧1
ℤ2 ≔ {[𝑧 ] |𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℤ}
2

jelas bahwa ℤ2 adalah himpunan bagian dari ℝ2 yang tak kosong, sebab dengan
𝑧1
mengambil z1, z2 sembarang elemen di ℤ selalu dapat ditentukan [𝑧 ] ∈ ℤ2 .
2

Kemudian, ℤ2 juga merupakan submodul dari modul ℝ2 atas ℤ(i) karena untuk
𝑦1
𝑧1
setiap [𝑧 ] , [𝑦 ] ∈ ℤ2 dan 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℤ(𝑖) berlaku:
2
2
𝑧1
𝑦1
𝑧1 − 𝑦1
𝑧1
𝑎𝑧 − 𝑏𝑧2
[𝑧 ] − [𝑦 ] = [𝑧 − 𝑦 ] ∈ ℤ2 dan (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑧 ] = [ 1
] ∈ ℤ2 .
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧1
2
2
2
2
2

𝑥1
𝑥1
2
Selanjutnya didefinisikan himpunan ℝ ⁄ℤ2 ≔ {[𝑥 ] + ℤ2 | [𝑥 ] ∈ ℝ2 }
2
2

yaitu himpunan semua koset submodul ℤ2 pada modul ℝ2 atas ℤ(i). Untuk

̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑥1
2
penyederhanaan penulisan, selanjutnya [𝑥 ] + ℤ2 ∈ ℝ ⁄ℤ2 ditulis dengan [𝑥 ].
2

2

2
Proposisi 2. Himpunan ℝ ⁄ℤ2 merupakan modul faktor yang dihasilkan oleh ℤ2

pada modul ℝ2 atas Gaussian Integer ℤ(𝑖) dengan operasi penjumlahan dan
pergandaan skalar yang didefinisikan sebagai berikut:

̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1 ̅̅̅̅̅
𝑦1
𝑦1
𝑥1
2
untuk setiap [𝑥 ] , [𝑦 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 dan 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℤ(𝑖) berlaku [𝑥 ] + [𝑦 ] =

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑦1
[𝑥 ] + [𝑦 ],
2
2

2

2

2

2

284

Ari Wardayani

𝑥1
𝑥
𝑥
𝑥
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥1 ] dan [𝑥1 ] (𝑎 + 𝑏𝑖) = [𝑥1 ] (𝑎 + 𝑏𝑖).
2

2

2

2

Bukti. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan koset yang
didefinisikan

tersebut

adalah

Ambil

well-defined.

sembarang

̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑥1 ̅̅̅̅̅
𝑦1 ̅̅̅̅̅̅
𝑦1
𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
2
𝑦 ′
𝑦 ′
𝑥 ′ ̅̅̅̅̅̅
𝑥 ′
[𝑥 ] , [𝑦 ] , [ 1 ] , [ 1 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 dengan [𝑥 ] = [𝑦 ] dan [ 1 ] = [ 1 ]. Jika
𝑦
′
𝑦
𝑥
′
𝑥
′
2
2
2
2
2
2′
2
2
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑦1
𝑥1
𝑦1
[𝑥 ] = [𝑦 ] maka [𝑥 ] + ℤ2 = [𝑦 ] + ℤ2 . Menurut sifat koset, jika
2
2
2
2

̅̅̅̅̅
𝑥1
[𝑥 ] =
2

̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑦1
𝑥1
̅̅̅̅̅
𝑦1
𝑦′
𝑥 ′
𝑥 ′
[𝑦 ] mengakibatkan [𝑥 ] − [𝑦 ] ∈ ℤ2 . Kemudian, jika [ 1 ] = [ 1 ] maka [ 1 ] +
𝑥2 ′
𝑦2 ′
𝑥2 ′
2
2
2
ℤ2 = [

𝑦′
𝑦1 ′
𝑥 ′
] + ℤ2 . Dengan demikian juga diperoleh [ 1 ] − [ 1 ] ∈ ℤ2 .
𝑦2 ′
𝑦2 ′
𝑥2 ′

𝑥1
𝑦1
𝑥1
𝑦1
𝑦′
𝑦′
𝑥 ′
𝑥 ′
Kemudian, ([𝑥 ] + [ 1 ]) − ([𝑦 ] + [ 1 ]) = ([𝑥 ] − [𝑦 ]) + ([ 1 ] − [ 1 ]) ∈
𝑦2 ′
𝑥2 ′
𝑦2 ′
𝑥2 ′
2
2
2
2
𝑥1
𝑦1
𝑦′
𝑥 ′
ℤ2 . Sebagai akibatnya ([𝑥 ] + [ 1 ]) + ℤ2 = ([𝑦 ] + [ 1 ]) + ℤ2 , yang
𝑦2 ′
𝑥2 ′
2
2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑦1
𝑥1
̅̅̅̅̅
𝑦′
𝑥 ′
mengimplikasikan bahwa [𝑥 ] + [ 1 ] = [𝑦 ] + [ 1 ]. Dengan kata lain, [𝑥 ] +
𝑥2 ′
𝑦2 ′
2
2
2

̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑦1
̅̅̅̅̅
𝑦 ′
𝑥 ′
[ 1 ] = [𝑦 ] + [ 1 ].
𝑦2 ′
𝑥2 ′
2

Berikut ini ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar yang didefinisikan
tersebut juga well-defined.
𝑥1 − 𝑦1
𝑥1
𝑦
𝑎(𝑥1 − 𝑦1 ) − 𝑏(𝑥2 − 𝑦2 )
(𝑎 + 𝑏𝑖) ([𝑥 ] − [𝑦1 ]) = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 − 𝑦 ] = [
]
𝑎(𝑥2 − 𝑦2 ) + 𝑏(𝑥1 − 𝑦1 )
2
2
2
2
=[

𝑎𝑦 − 𝑏𝑦2
𝑎𝑥1 − 𝑏𝑥2
]−[ 1
]
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦1

𝑥1
𝑦1
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] − (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦 ] ∈ ℤ2 .
2

2

𝑥1
𝑦1
Hal ini mengakibatkan (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + ℤ2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦 ] + ℤ2 , yakni
2

2

Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul

285

𝑥1
𝑦
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦1 ].
2
2

𝑦1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
Dengan kata lain, (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦 ]. Secara analog diperoleh bahwa
2

2

𝑦1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
[𝑥 ] (𝑎 + 𝑏𝑖) = [𝑦 ] (𝑎 + 𝑏𝑖).
2
2

Jadi operasi penjumlahan dan pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut
adalah well defined.
2
Berikutnya ditunjukkan bahwa ℝ ⁄ℤ2 dengan operasi penjumlahan dan

pergandaan skalar yang didefinisikan di atas merupakan modul atas ℤ(i). Langkah
2
pertama adalah menunjukkan bahwa ℝ ⁄ℤ2 terhadap operasi penjumlahannya
𝑥1 ̅̅̅̅̅
𝑦1
𝑦1
𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
2
merupakan grup abel. Untuk setiap [𝑥 ] , [𝑦 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 , berlaku [𝑥 ] + [𝑦 ] ∈
2
2
2
2

ℝ2⁄ . Hal ini berarti operasi penjumlahannya tertutup pada ℝ2⁄ . Selain itu,
ℤ2
ℤ2
𝑦1 ̅̅̅̅̅
𝑠1
𝑦1
𝑠1
𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1 ̅̅̅̅̅
2
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑠 ] =
untuk setiap [𝑥 ] , [𝑦 ] , [𝑠 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 berlaku
2
2
2
2
2
2
𝑥1
𝑦1
𝑠1
𝑥1
𝑠1
𝑦1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑠 ] = ([𝑥 ] + [𝑦 ]) + [𝑠 ]
2
2
2
2
2
2

𝑠1
𝑥1
𝑦1
𝑥1
𝑦1
𝑠1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑠1
𝑥1
𝑦1
= [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑠 ]) = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑠 ]) = [𝑥 ] + ([𝑦 ] + [𝑠 ]) .
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Selanjutnya,

𝑥1
𝑦1
𝑥1
𝑦1
𝑦1
𝑥1
𝑥1
𝑦1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
[𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑥 ] + [𝑦 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ] = [𝑦 ] + [𝑥 ].
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Jadi operasi penjumlahan pada ℝ ⁄ℤ2 bersifat assosiatif dan komutatif. Eksistensi
̅̅̅̅
2
0
elemen netral pada ℝ ⁄ℤ2 juga dipenuhi, karena terdapat [ ] sedemikian sehingga
0
𝑥1
𝑥1
𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
2
0
0
untuk setiap [𝑥 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 berlaku [𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ] + [ ] = [𝑥 ]. Selanjutnya,
0
0
2
2
2
2
𝑥1
̅̅̅̅̅
2
eksistensi invers dari setiap elemen di ℝ ⁄ℤ2 dipenuhi, karena untuk setiap [𝑥 ] ∈
2

ℝ2⁄
ℤ2

mempunyai

invers

yaitu

𝑥1
−𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
− [𝑥 ] = [−𝑥 ]
2

2

sedemikian

sehingga

−𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑥1 ̅̅̅̅̅̅̅̅
2
0
[𝑥 ]+[−𝑥 ] = [ ]. Karena ℝ ⁄ℤ2 terhadap operasi penjumlahannya memenuhi
0
2
2
2

aksioma-aksioma grup dan bersifat komutatif, maka ℝ ⁄ℤ2 adalah grup abel.

2
Untuk membuktikan bahwa ℝ ⁄ℤ2 adalah modul kiri atas ℤ(i), haruslah

2
dibuktikan bahwa dengan operasi pergandaan skalar yang didefinisikan, ℝ ⁄ℤ2

memenuhi aksioma-aksioma modul. Ambil sembarang 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ ℤ(𝑖) dan
𝑦1
̅̅̅̅̅
𝑥1 ̅̅̅̅̅
2
[𝑥 ] , [𝑦 ] ∈ ℝ ⁄ℤ2 . Kemudian
2
2
(i)

̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑥1
((𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥 ] = ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖) [𝑥 ]
2

2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1
= ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖) [𝑥 ]
2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎 + 𝑐)𝑥1 − (𝑏 + 𝑑)𝑥2
𝑐𝑥 − 𝑑𝑥2
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
=[
]=[ 1
]
]+[ 1
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
(𝑎 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 + 𝑑)𝑥1

𝑥1
𝑥1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑥1
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + (𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑥 ] = (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + (𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑥 ]
2
2
2
2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1
𝑦1
𝑥1
𝑦1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 +𝑦
(ii) (𝑎 + 𝑏𝑖) ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = (𝑎 + 𝑏𝑖) ([𝑥 ] + [𝑦 ]) = (𝑎 + 𝑏𝑖) ([𝑥1 + 𝑦1 ])
2
2
2
2
2
2
Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul

287

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑦 − 𝑏𝑦2
𝑎(𝑥1 + 𝑦1 ) − 𝑏(𝑥2 + 𝑦2 )
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥2
]=[ 1
]+[ 1
=[
]
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1
𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦1
𝑎(𝑥2 + 𝑦2 ) + 𝑏(𝑥1 + 𝑦1 )

𝑥1
𝑦1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥 ] + (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑦 ].
2

2

𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑥1
(iii) ((𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥 ] = ((𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖) [𝑥 ]
2

2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)𝑥1 − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2
=[
]
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)𝑥2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥1

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑐𝑥 − 𝑑𝑥2
]
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [ 1
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑐𝑥 − 𝑑𝑥2
] = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) [𝑥 ]
= (𝑎 + 𝑏𝑖) [ 1
𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥1
2

𝑥1
𝑥1
𝑥1
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
(iv) 1[𝑥 ] = (1 + 0𝑖) [𝑥 ] = [𝑥 ]
2
2
2

2
2
Karena ℝ ⁄ 2 memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas ℤ(i), maka ℝ ⁄ 2
ℤ
ℤ

adalah modul kiri atas Gaussian Integers ℤ(i). Secara analog diperoleh bahwa
ℝ2⁄ adalah modul kanan atas Gaussian Integesr ℤ(i). Karena ℝ2⁄ adalah
ℤ2
ℤ2

2
modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i), maka ℝ ⁄ 2 adalah
ℤ

2
modul atas Gaussian Integers ℤ(i). Untuk selanjutnya ℝ ⁄ 2 dinamakan modul
ℤ

faktor atas Gaussian Integers ℤ(i). ■

288

Ari Wardayani

4. KESIMPULAN
2
Himpunan ℝ ⁄ 2 dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar
ℤ

yang didefinisikan tersebut memenuhi aksioma-aksioma modul atas Gaussian
2

Integers ℤ(i). Modul ℝ ⁄ 2 atas Gaussian Integers ℤ(i) adalah modul faktor yang
ℤ
dihasilkan oleh ℤ2 pada modul ℝ2 atas Gaussian Integers ℤ(i).

5. DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. (1993). Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Adkins, W. (1972). Algebra: an Approach Via Module Theory. New York:
Springer-Velberg.
Fraleigh, J.B. (2000). A First Course in Abstract Algebra. New York: AddisonWesley Publising Company, Inc.
Hartley, B. dan Hawkes, T.O. (1970). Rings, Modules and Linear Algebra.
London: Chapman and Hall, Ltd.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company.
Lang, S. (1995). Algebra. New York: Addison-Wesley Publishing Company.
Muchlisah, N. (2008). Teori Gelanggang dan Lapangan. Surakarta: LPP UNS.