A görbe ívhossza polárkoordinátákkal

A Riemann-integrál alkalmazásai
Az alábbiakban az integrálszámítás néhány fontos alkalmazását tekintjük át.

Görbe ívhosszának meghatározása
Az x = f (x) (a ≤ x ≤ b) görbe ívhossza :
Zb q

s=

2

1 + [f ′ (x)] dx

a

Az x = x(t), y = y(t) (α ≤ x ≤ β) paraméteresen adott görbe ívhossza :
s=

Zβ p

x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt

α

1. Mekkora az y = ch x görbe 0 ≤ x ≤ a intervallumhoz tartozó ívhossza ?
Megoldás :
Za p
Za
ea − e−a
a
2
s=
1 + sh x dx = ch x dx = [sh x]0 = sh a − sh 0 =
2
0

0

2. Számítsuk ki a közönséges ciklois egy ívének hosszát ! A ciklois paraméteres
egyenlete : x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π).
Megoldás :

x(t)
˙
= a(1 − cos t),

y(t)
˙ = a sin t

x˙ 2 (t) = a2 (1 − 2 cos t + cos2 t),

y˙ 2 (t) = a2 sin2 t

x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) = 2a2 (1 − cos t)
2π

Z2π √
Z2π
√
t
t
s = a 2 1 − cos t dt = 2a sin dt = −4a cos

= 4a + 4a = 8a
2
2 0
0

Felhasználtuk a sin2

0

1 − cos t
t
=
összefüggést az integrál kiszámításánál.
2
2

1

A görbe ívhossza polárkoordinátákkal
Az r = r(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β) megadású görbére :

s=

Zβ p

r2 (ϕ) + r˙ 2 (ϕ) dϕ

α

3. Számítsuk ki az r(ϕ) = a(1 + cos ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π) egyenletű vonaldarab
(cardioid) ívhosszát !
Megoldás : Könnyen látható, hogy korlátos és folytonos görbéről van
szó, ezért rektifikálható.
r2 (ϕ) = a2 (1 + cos ϕ)2 = a2 (1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)
r˙ 2 (ϕ) = a2 sin2 ϕ

r(ϕ)
˙
= −a sin ϕ,

r2 (ϕ) + r˙ 2 (ϕ) = a2 (2 + 2 cos ϕ) = 2a2 (1 + cos ϕ)

s=

√

2a

Z2πp

1 + cos ϕ dϕ = 2a

0

A cos

Z2πr

cos2

ϕ
dϕ

2

0

ϕ
a [0, π)-n pozitív, míg a (π,2π]-n negatív.
2
Z2π
Zπ
h
ϕ 
ϕ
ϕ iπ

s = 2a cos  dϕ = 4a cos dϕ = 4a 2 sin
= 8a
2
2
2 0
0

0

4. Számítsuk ki az r(ϕ) = aekϕ (a > 0, 0 ≤ ϕ ≤

π
k)

vonaldarab ívhosszát !

Megoldás : A görbe rektifikálható.
r2 (ϕ) = a2 e2kϕ ,

r(ϕ)
˙
= akekϕ ,

r˙ 2 (ϕ) = a2 k 2 e2kϕ

r2 (ϕ) + r˙ 2 (ϕ) = a2 (1 + k 2 )e2kϕ

π

π

s=

Zk q

a2 (1

+

k 2 )e2kϕ

0

=a

√

dϕ = a

p

1+

k2

Zk
0

1 + k2 π
(e − 1)
k
2

e

kϕ

dϕ = a

p

1+

k2



ekϕ
k

 πk
0

=

Területszámítások
5. Számítsuk ki az y = x2 + 1 parabola 1 ≤ x ≤ 3 szakasza alatti területet !

Megoldás :
 3
3
Z3
x
32
2
T = (x + 1) dx =
+x =
.
3
3
1
1

8a3
x2
6. Számítsuk ki az ábrán látható y = 2
és
y
=
görbék által határolt
x + 4a2
4a
síkidom területét !

Megoldás : A két görbe metszéspontja :
8a3
x2
=
x2 + 4a2
4a
32a4 = x4 + 4a2 x2
x2 =
x2 = 4a2 ;
T =

Z2a 

−2a

=2

Z2a

x1 = 2a,

8a3
x2
−
2
2
x + 4a
4a



8a3
dx − 2
x2 + 4a2

0

−4a2 ± 12a2
2

dx = 2

x2 = −2a
Z2a
0

Z2a 2
x
dx
4a
0

3

8a3
x2
−
2
2
x + 4a
4a



dx =

⋄

Z2a

8a3
8a3
dx
=
x2 + 4a2
4a2

0

0

⋄

Z2

x
2a

dx

2

h
x i2a
= a2 π
= 4a2 arctg
2a 0
+1

 2a
Z2a 2
x
1 x3
2
dx =
= a2
4a
4a 3 0
3
0

Tehát T = 4a

2




π 1
.
−
2
3

Paraméteresen adott görbék alatti területek kiszámítása
Az x = x(t), y = y(t) (t1 ≤ t ≤ t2 ) paraméteresen adott görbe alatti terület :
T =

Zt2
y(t)x(t)
˙
dt

t1

7. Számítsuk ki az r sugarú kör területét !
Megoldás :
x = r cos t,
T =2

Z0
π

y = r sin t,

x(t)
˙
= −r sin t


π
Zπ
r2
sin 2t
2
= r2 π
r sin t(−r sin t) dt = 2 (1 − cos 2t) dt = r t −
2
2
0
0

Azt használtuk ki, hogy az alsó félkör és a felső félkör területe megegyezik. A
görbén (a függvények grafikonjához hasonlóan) balról jobbra kell haladnunk,
ezért integrálunk π-től 0-ig.
8. Számítsuk ki az a és b féltengelyű ellipszis területét ! Az ellipszis paraméteres
megadása : x = a cos t, y = b sin t, (0 ≤ t ≤ 2π).
Megoldás : T = 2

Z0

ab(− sin2 t) dt = abπ.

π

Szektorterületek számítása paraméteres megadás esetén
Az x = x(t), y = y(t) (t1 ≤ t ≤ t2 ) szektorterületének kiszámítása :
1
T =
2

Zt2
[y(t)x(t)
˙ − x(t)y(t)]
˙
dt

t1

4

9. Mekkora az x = ch t, y = sh t paraméteres egyenletrendszerrel megadott
egyenlő szárú hiperbola t1 ≤ t ≤ t2 szektorának területe ? Ezen hiperbola
implicit egyenlete : x2 − y 2 = ch 2 t + sh 2 t = 1.
Zt1

1
Megoldás : xy˙ − xy
˙ = ch t − sh t = 1, tehát T =
2
2

2

1 dt = t1 .

−t1

Az r = r(ϕ) alakban adott görbék szektorterületének számítása
1
T =
2

Zβ

r2 (ϕ) dϕ

α

10. Számítsuk ki az r2 = a2 cos 2ϕ poláregyenletű lemmiszkáta egyik levelének
területét !
Megoldás :
π

1
T =2·
2

Z4

a2 cos 2ϕ dϕ = a2

0



sin 2ϕ
2

 π4
0

=

a2
.
2

11. Mekkora az r = 2a(1 + cos ϕ) poláregyenletű kardoid területe ?
Megoldás :
1
T =
2

Zπ
Z2π
2
2
[2a(1 + cos ϕ)] dϕ = 4a (1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ) dϕ =
0

0



= 4a2 ϕ + 2 sin ϕ +

ϕ sin 2ϕ
+
2
4

π

= 6a2 π.

0

Forgástestek felszínének számítása
A rektifikálható és pozitív y = f (x) függvény a ≤ x ≤ b görbedarabjának az x
tengely körüli forgatásával keletkező forgástest palástjának felszíne :

F = 2π

Zb
a

f (x)

q

5

2

1 + [f ′ (x)] dx

√
12. Forgassuk meg az y = x görbe 0 ≤ x ≤ 1 darabját az x tengely körül és
számítsuk ki az ily módon keletkezett forgástest palástjának felszínét !
Megoldás :
F = 2π

Z1
0

√
x

r

1
1+
dx = 2π
4x

Z1 r

x+

1
dx.
4

0

1
1
5
helyettesítés esetén du = dx és az új határok , illetve .
4
4
4

s
5
 3 s 3
Z4
√
2 h 3 i 45
5
1 
4π 
u du = 2π u 2 1 =
≃ 5,3302
−
F = 2π
3
3
4
4
4

Az u = x +

1
4

13. Határozzuk meg azon felület felszínét, amelyet az f (x) = sin x görbe 0 ≤
≤ x ≤ π darabjának az x tengely körüli megforgatásával kapunk.
Megoldás :
F = 2π

Zπ

sin x

0

p

1 + cos2 x dx.

A sh t = cos x helyettesítéssel ch t dt = − sin x dx. Ideiglenesen az új határokat t1 , illetve t2 jelöli, de nem lesz szükségünk a konkrét értékeikre.

 t2
Zt2
Zt2
1 + ch 2t
sh 2t
2
F = −2π ch t dt = −2π
dt = −π
+t
2
2
t1
t1

t1

6

Visszatérve az eredeti változóra, az eredeti határokat írjuk vissza :
h
iπ
p
F = −π cos x 1 + cos2 x + arsh cos x ≃ 14,4236.
0

Paraméteres előállítású görbe forgatásával keletkező forgástest felszíne
F = 2π

Zβ

y(t)

α

q
2
2
[x(t)]
˙
+ [y(t)]
˙
dt

14. Számítsuk ki az

y2
x2
+
=1
a2
b2
ellipszis x tengely körüli megforgatásával keletkező forgási ellipszoid felszínét !
Az ellipszis paraméteres előállítása :
x(t) = a cos t, y(t) = b sin t.

Megoldás : A felső félellipszis fogjuk megforgatni az x tengely körül, ezért
0 ≤ t ≤ π.
F = 2π

Zπ
0

= 2π

Zπ
0

b sin t

p

ab sin t

a2

r

2

sin t +

b2

cos2

t dt = 2π

Zπ
0

1−

a 2 − b2
cos2 t dt
a2

7

p
b sin t a2 − (a2 − b2 ) cos2 t dt =

a 2 − b2
Bevezetve az ε =
úgynevezett numerikus excentritást és u = cos t
a2
helyettesítéssel du = − sin t dt, az új határok : u1 = 1 és u2 = −1.
F = −2πab

Z−1p

1−

ε2 u 2

du = 2πab

1

Z1 p

1 − ε2 u2 du

−1

Újabb helyettesítés : εu = sin ϕ (0 < ε < 1 miatt ez alkalmazható helyettesítés), ε du = cos ϕ dϕ. Az új határok : −arcsin ε és +arcsin ε.
2πab
F =
ε

+arcsin
Z ε

2πab
cos ϕ dϕ =
ε

−arcsin ε

=



+arcsin
Z ε

1 + cos 2ϕ
dϕ =
2

2

−arcsin ε

2πab ϕ sin 2ϕ
+
ε
2
4

+arcsin ε

−arcsin ε

=

i
p
2πab h
arcsin ε + ε 1 − ε2
ε

Az r = r(ϕ) alakban adott görbének a forgatásával keletkező
forgástest palástjának felszíne
F = 2π

Zβ

r(ϕ) sin ϕ

α

q

2

2

[r(ϕ)]
˙
+ [r(ϕ)] dϕ

15. Forgassuk meg az r = b(1 + cos ϕ) 0 ≤ ϕ ≤ π kardioidot az x tengely körül
és határozzuk meg az így keletkező forgástest felszínét !
Megoldás :
2
[r(ϕ)]
˙
+ [r(ϕ)]2 = b2 (2 + 2 cos ϕ)

F = 2π

Zπ
0

b(1 + cos ϕ) sin ϕ

p

b2 (2 + 2 cos ϕ) dϕ =

π

Zπ √
√
3
5
32πb2
2 2
2
2
2
=
= 2π b 2(1 + cos ϕ) sin ϕ dϕ = −2 2πb
(1 + cos ϕ)
.
5
5
0
0

Forgástest térfogatának számítása
Az [a, b] intervallumon folytonos, nemnegatív függvény f (x) görbéjét az x tengely körül megforgatva kapunk egy forgástestet. Ennek térfogata :

8

V =π

Zb

2

[f (x)] dx

a

16. Számítsuk ki a csonkakúp térfogatát !
Megoldás :
V =π

h+m
Z 
0

R
x
h+m

2

dx − π

Zh h
0

r i2
x dx = π
h



R
h+m

2 

x3
3

h+m
0

−


 2
 r 2  x 3  h
R (h + m) r2 h
−π
.
=π
−
h
3 0
3
3
Háromszögek hasonlóságából tudjuk :
r
R−r
mr
=
, h=
, tehát
h
m
R−r


πm 2
π
2 mr + m(R − r)
2 mr
R
=
−r
(R + rR + r2 ).
V =
3
R−r
R−r
3

R−r

R

r
m

h

1
görbét az x tengely körül és határozzuk meg
1 + x2
a keletkező forgástest térfogatát a [−1,1] intervallumban !

17. Forgassuk meg az y =

Megoldás :
Z
Z
Z
1
1 + x2
x2
dx
=
dx
−
dx =
2
2
2
2
(1 + x )
(1 + x )
(1 + x2 )2


Z
Z
x
1
x
1
1
arctg x +
dx +
−
dx =
=
1 + x2
2(1 + x2 )
2(1 + x2 )
2
1 + x2
9

V =π

Z1

−1


1
x
π 1
1
1
arctg x +
= +
dx =
2
2
2
(1 + x )
2
1 + x −1
4
2

Paraméteresen adott meridiángörbéjű forgástest térfogata
Ha az x = x(t), y = y(t) egy t1 ≤ t ≤ t2 szakaszát megforgatjuk az x tengely
körül, kapunk egy forgástestet, amelynek térfogata :
Zt2
2
˙ dt
V = π [x(t)] y(t)
t1

18. Számítsuk ki a gömb térfogatát !
Megoldás : Az x = a cos ϕ, y = a sin ϕ paraméteresen adott kört forgatjuk meg az x tengely körül. x˙ = −a sin ϕ.
V =π

Z0

π

a2 sin2 ϕ(−a sin ϕ) dϕ = πa3

π
2

Z2

sin3 ϕ dϕ =

0

π


π
Z2
cos3 ϕ 2
2
= πa3 (1 − cos2 ϕ) sin ϕ dϕ = πa3 − cos ϕ +
= πa3
3
3
0
0

Görbe súlypontja
Az y = f (x) megadás esetén [a, b] intervallumra :
Rb q
2
x 1 + [f ′ (x)] dx
a
sx = R q
,
b
′ (x)]2 dx
1
+
[f
a

q
2
f
(x)
1 + [f ′ (x)] dx
a
sy = R q
.
b
′ (x)]2 dx
1
+
[f
a
Rb

Paraméteres megadás esetén a = x(α) b = y(β) mellett :

q
2
2
y(x)
+ [y(t)]
˙
dt
[x(t)]
˙
α
sy = R q
.
β
2
2
+
[
y(t)]
˙
dt
[
x(t)]
˙
α

q
2
2
x(t)
[x(t)]
˙
+ [y(t)]
˙
dt
α
,
sx = R q
β
2
2
+
[
y(t)]
˙
dt
[
x(t)]
˙
α

Rβ

Rβ

19. Határozzuk meg az y = ch x 0 ≤ x ≤ 1 ívének súlypontját !

10

Megoldás :
I1 =

Z1 p

1 + sh 2 x dx =

0

Z1

ch x dx = [sh x]10 = sh 1 − sh 0 =

e2 − 1
;
2e

0

Z1
Z1
Z1 p
1
2
I2 = x 1 + sh x dx = xch x dx = [xsh x]0 − sh x dx =
= [xsh x − ch x]10 =
I3 =

Z1
0

=

0

0

0



e−1
;
e
1

1

Z
Z
p
ch 2x + 1
2
2
ch x 1 + sh x dx = ch x dx =
dx =
2
0

0

sh 2x x
+
4
2

1

=

0

e4 + 4e2 − 1
.
8e2

A kapott értékekből sx és sy már könnyen meghatározható.

Síktartomány súlypontja
Az y = f (x) grafikon és [a, b] közötti területre :
Rb
a

xf (x) dx

sx = R b
a

f (x) dx

,

sy =

1
2

Rb

2

[f (x)] dx
a
.
Rb
f (x) dx
a

Paraméteres megadás esetén a = x(α) b = y(β) mellett :
sx =

Rβ

x(t)y(t)x(t)
˙
dt
,
Rβ
y(t)
x(t)
˙
dt
α

α

sy =

1
2

Rβ

2
[y(t)] x(t)
˙
dt
α
.
Rβ
y(t)
x(t)
˙
dt
α

20. Számítsuk ki az y = −x2 + x + 6 parabola és az x tengely által határolt
síkrész súlypontját !
Megoldás : A parabola az x = −2 és az x = 3 pontban metszi az x
tengelyt. Három integrált kell kiszámolnunk :
I1 =

Z3

−2

Z3
x(−x + x + 6) dx = (−x3 + x2 + 6x) dx =
2

−2

3
 4
x
x3
x2
= − +
+6
≃ 10,41.
4
3
2 −2
11

1
I2 =
2

Z3
Z3
2
2
(−x + x + 6) dx = (x4 − 2x3 − 11x2 + 12x + 36) dx =
−2

−2

x4
x3
x2
1 x5
− 2 − 11 + 12 + 36x
=
2 5
4
3
2


3

−2

≃ 52,085.

 3
3
Z3
x
x2
2
I3 = (−x + x + 6) dx = − +
+ 6x
≃ 20,84;
3
2
−2
−2

sx =

I1
≃ 0,499,
I3

12

sx =

I2
≃ 2,499.
I3