Wavelet : Tools dalam Matematika Terapan dan Ranah Aplikasinya Syamsul Bahri Dosen PS. Matematika FMIPA Universitas Mataram Abstrak - Wavelet : Tools dalam Matematika Terapan dan Ranah Aplikasinya - Repository UNRAM

  

Wavelet : Tools dalam Matematika Terapan dan Ranah Aplikasinya

  Syamsul Bahri Dosen PS. Matematika FMIPA Universitas Mataram

  

Abstrak

  Sejak awal perkembangannya pada tahun 1980-an, wavelet merupakan cabang dari kajian matematika yang telah banyak diaplikasikan pada berbagai bidang ilmu. Walaupun pada awalnya wavelet dikembangkan sebagai alat analisis untuk data seismic, namun dalam masa 20 tahunan, wavelet telah berkembang cukup pesat baik sebagai alat analisis (tools) maupun pada ranah aplikasinya. Pada tulisan ini akan diuraikan tentang definisi dan transformasi wavelet, bagaimana wavelet digunakan sebagai alat analisis (tools) dalam terapan matematika, serta ranah aplikasi wavelet dan transformasinya yang berkembang sampai saat ini. Kata kunci : wavelet, transformasi wavelet, signal, aplikasi wavelet 1.

   Pendahuluan

  Wavelet merupakan cabang dari kajian matematika yang telah banyak diaplikasikan pada berbagai bidang ilmu dewasa ini. Pada awal perkembangannya, wavelet diinisiasi oleh kombinasi ide dari matematika murni (analisis harmonis, analisis fungsional, teori aproksimasi, himpunan fractal, dan lain-lainnya) dan bidang aplikasi matematika (signal

  processing

  , dan fisika matematis). Berbagai penelitian dan buku telah banyak bermunculan sebagai bagian dari publikasi terhadap topik ini, baik dalam tataran wavelet sebagai tools maupun aplikasinya. Pada tataran aplikasi, konsep atau pendekatan wavelet sudah banyak diaplikasikan pada berbagai bidang diantaranya ekonomi dan keuangan, signal dan image

  processing

  , sistem komunikasi, biomedical imaging, radar, teori matematika dan statistika, sistem kontrol, dan sebagainya (Walker, 1999).

  Tulisan ini merupakan pengantar yang bertujuan untuk (i) mengenalkan wavelet sebagai alat analisis atau tools dalam matematika terapan, (ii) menguraikan langkah-langkah

2. Wavelet dan Tranformasi Wavelet

  Wavelet adalah suatu kelas fungsi yang digunakan untuk melokalisasi suatu fungsi yang diberikan dalam dua hal yaitu posisi (waktu) dan skala (frekuensi). Kemampuan inilah yang menyebabkan wavelet memiliki kelebihan dibandingkan dengan transformasi Fourier sehingga banyak diaplikasikan di dalam processing data seperti proses sinyal dan analisis

  time series .

  Wavelet secara bahasa diartikan sebagai gelombang pendek yang mengkonsentrasikan energinya dalam ruang dan waktu atau gelombang yang dibatasi atau terlokalisasi. Berbeda dengan gelombang yang merupakan fungsi dari ruang dan waktu yang bersifat periodik.

  Gambar 1. Perbedaan antara (i) gelombang (wave) dan (ii) wavelet Secara matematis, wavelet adalah keluarga fungsi yang dikonstruksi dari proses translasi dan dilatasi terhadap suatu fungsi, yang didefinisikan sebagai berikut (Debnath,

  2002; Daubechies, 1992) :

  1  t b 

   

  2  ( ) t  a  , , a b  dan a  0,

  (2.1)

   a b ,   a

   

  dengan  suatu mother wavelet, a menyatakan parameter skala (dilatasi) yang menentukan derajat kompresi atau skala, dan b menyatakan parameter translasi yang menentukan lokasi waktu pada wavelet. Jika

  | | 1 maka wavelet pada Persamaan (2.1) lebih kompresi (kecil) dari mother wavelet-nya atau berkorespondensi dengan frekuensi tinggi dan Fungsi

  

  . (2.3) (3)

  Gambar 2. Fungsi wavelet dengan sumbu-x menyatakan waktu dan sumbu-y adalah nilai 

  . (2.4) Beberapa fungsi yang termasuk dalam keluarga wavelet (mother wavelet) adalah wavelet Haar, Daubechies, Coiflet, Symlet, Meyer, Morlet dan Mexican Hat seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.

  

       

   

  2 w C dw w

  

  pada (2.1) disebut mother wavelet, jika memenuhi kondisi (1) ( ) 0 t dt

  

   

  ( ) 1 t dt 

  . (2.2) (2) ²

  

  

    

  (t) berturut-turut : (a) Haar, (b) Daubecies, (c) Coiflet, (d) Symlet, (e) Meyer, (f) Morlet, dan (g) Mexican Hat. Transformasi wavelet dapat dibedakan atas dua tipe yaitu transformasi wave-let kontinu dan transformasi wavelet diskrit (Boggess dan Narcowich, 2001:184; Mohlenkamp, 2008:31; Daubechies, 1992:7-8 dan Burrus, 1998:7-9).

A. Transformasi wavelet kontinu

  Pada tipe ini, parameter dilatasi a dan parameter translasi b merupakan variabel kontinu atas lapangan , dengan a  . Transformasi wavelet kontinu diberikan oleh persamaan berikut : ₁   _{wav   2} t b 

    

  T f ( , ) a b  a f t ( ) dt . (2.5)

     

   a

    

  Suatu fungsi dapat dikonstruksi kembali dari persamaan transformasi wave-letnya dengan menggunakan persamaan “resolusi identitas” atau invers transformasi wavelet berikut :

   

  1

   ^{1 a b , a b ,}   f  C f , da db , (2.6)

   ²   a

   

  2 , /

  dengan dan ( ).

  | | ⟨. , . ⟩ menyatakan operasi hasil kali dalam pada L Sedangkan konstanta hanya bergantung pada variabel dan diberikan oleh persamaan berikut :

  2   

  1 C  2     d 

  , (2.7)

     

  

  dengan menyatakan transformasi Fourier dari wavelet dan agar Persamaan (2.7)

  1

  terdefinisi diasumsikan bahwa berada pada L ( ) maka fungsi ∞. Jika kontinu sehingga akan berhingga hanya jika

  0, yaitu 0.

B. Transformasi wavelet diskrit

  Pada tipe ini, parameter dilatasi a dan parameter translasi b merupakan variabel bernilai diskrit. Karena a dipilih bernilai diskrit (positif atau negatif) maka dapat dipilih a sebagai perpangkatan dari parameter dilatasi a > 1, yaitu . Perbedaan nilai m berkorespondensi dengan lebar daerah waktu wavelet. Hal ini menunjukkan bahwa diskritisasi nilai parameter translasi b bergantung pada bilangan m. Wavelet yang sempit (frekuensi tinggi) adalah translasi dengan langkah kecil untuk menutupi seluruh interval waktu, sedangkan wavelet yang lebar (frekuensi rendah) adalah translasi dengan langkah yang lebar. Karena lebar dari proporsional terhadap nilai maka dapat dipilih diskritisasi nilai b dengan dan suatu (tertentu) b > 0 dan n bilangan bulat. Sehingga transformasi wavelet diskrit diberikan oleh

   m /2  m m     _{m n , o o 0 0} ( ) t a ( a [ t nb a ]) (2.8) atau

   m / 2  m

   

   ( ) t a (  a t nb ) . (2.9) _{m n o o ,}

  Serupa dengan deret Fourier, untuk setiap , representasi deret wavelet ∈ didefinisikan sebagai berikut :

  f t ( )  c ( )  t , (2.10) _{m n , m n ,}   _{n m}

  dengan

  /

  dan (2.11)

  ⟨ ,

  ,

  2 2 , , ⟩.

3. Bagaimana menggunakan Wavelet Sebagai Alat Analisis (tools)?

  Pengunaan wavelet dalam analisis data (signal) bergantung paa permasalahan yang contoh skema penyelesaian masalah menggunakan wavelet diantaranya proses pencitraan wajah, proses filtering data, dan kompresi data.

  (a).

  Skema pencitraan wajah menggunakan wavelet (b).

  Proses filtering data menggunakan wavelet dengan x n menyatakan input signal, y n menyatakan output signal, d n menyatakan dekomposisi signal, h j , g j berturut-turut menyatakan filter dekomposisi dan rekonstruksi, ↓ sebagai operator faktor downsampling, dan ↑ sebagai operator faktor

  (c). Proses kompresi data citra menggunakan transformasi wavelet dengan TW menyatakan proses transformasi data citra menggunakan transformasi wavelet yang didekomposisi menjadi dua bagian yaitu data aproksimasi dan detail. Kemudian hasil dekomposisi tersebut direkonstruksi kembali menggunakan invers transformasi wavelet (Invers TW) yang pada akhirnya menghasilkan data citra hasil kompresi.

4. Ranah Aplikasi dari Wavelets

  Walker (1999) mengungkapkan bahwa ada sejumlah bidang kajian yang merupakan area aplikasi dari wavelet, diantaranya :

  (a).

   Teknik dan IT : audio denoising, signal compression, object detection, image denoising, image enhancement, image recognition, traffic analysis,

  dan filtering signal. (b).

  Matematika dan statistika : fungsional analisis, interpolasi, aproksimasi dan peramalan (forecasting), serta pengembangan konsep geometri fractal. (c). Biologi dan Kedokteran : image fusion, medical signal, medical image matching,

  diagnosing kerusakan hati (heart) dan otak (brain trouble).

  (d).

  Keamanan : kompresi data sidik jari (fingerprint compression), citra wajah (object

  detection ), dan traffic analysis.

  (e). : peramalan data iklim dan cuaca, data seismic, penginderaan jarak jauh, dan Fisika data hidrology,

  (f).

  Ekonomi dan keuangan : peramalan atau prediksi nilai tukar uang, stock market, inflasi, dan analisis trend dalam penjualan atau produksi.

  5. Kesimpulan

  Wavelet merupakan salah satu bidang kajian matematika dan sekaligus terapan matematika yang banyak diaplikasikan pada berbagai bidang ilmu dewasa ini. Walaupun pada awalnya wavelet dikembangkan sebagai alat analisis untuk data seismic sekitar tahun 1980-an, namun dalam masa 20 tahunan ini, wavelet telah berkembang cukup pesat baik sebagai bagian dari topik analisis fungsional dan operator maupun pada ranah aplikasinya. Ranah aplikasi dari wavelet sudah menyentuh hampir semua bidang seperti sains (termasuk matematika dan statistika), teknik, kesehatan, ekonomi, lingkungan dan teknologi informasi.

  6. Referensi

  Boggess, Albert and Francis J. Narcowich, 2001, A First Course in Wavelets with Fourier

  Analysis

  , Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Burus, CS. et al. 1998. Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms : A Primer. New Jersey : Prentice Hall. Daubechies, Ingrid. 1992. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Debnath, L. 2002. Wavelet Transforms and Their Applications (With 16 Figures). Boston : Biekhauser. Mohlenkamp, MJ. And M.C. Pereyra, 2008, Wavelet : Their Friends, and What They Can

  Do for You , Germany : European Mathematical Society.

  Walker, James S., 1999, A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications, London : Chapman & Hall/CRC.

  Addison, PS. 2002. Introductory Theory and Applications of Wavelet in Science,

  Engineering, Medicine and Finance

  . Brystol and Phidelaphia : Insitute of Physics Publishing. Dahmen, W., Kurdila, A., and Oswald, P. 1997. Multiscale Wavelet Methods for Partial

  Differential Equations . New York : Academic Press.

  Gencay, R., Selcuk, F and Whitcher, B. 2002. An Introduction to Wavelets and Other

  Filtering Methods in Finance and Economics . San Diego : Academic Press.

  Kaiser, Gerald. 1994. A friendly guide to wavelets.Boston : Birkhauser. Mallat, Stephane. 1998. A Wavelet Tour of Signal Processing, Second Edition. New York : Academic Press.

  

Meyer, Y, and Ryan, RD. 1993. Wavelet : Algorithms and Applications. Phidelapia :

Society for Industrial and Applied Mathematics, SIAM.

  Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G., and Poggi, JM. 2007. Wavelets and their

  Applications . USA : ISTE Ltd.

  Mix, DF., and Olejniczac, KJ. 2003. Element of Wavelets for Engineers and Scientists.

  New Jersey : John Wiley & Sons. Inc. Topiwala, PN. 2002. Wavelet Image and Video Compression. New York : Kluwer Academic Publishers.

  Torrence, C. and Compo, CP. 1998. A Practial Guide to Wavelet Analysis. Bulletin of The American Meteorological Society. Walker, James S. 2008. A Primer On Wavelets And Their Scientific Applications, Second Edition. USA : Chapman & Hall/CRC.