Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:

‚« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ¦ãà­ «
Ÿ­¢ àì{¬ àâ, 2001, ’®¬ 3, ‚ë¯ã᪠1

“„Š 517.55

Š€…‚›… ‡€„€—ˆ ’ˆ€ ˆŒ€€ „‹Ÿ
„‚ŽŸŠŽŠ“ƒŽ‚›• Ž‹€‘’…‰ C Š€…‚›Œ “‘‹Ž‚ˆ…Œ,
‘Ž„…†€™ˆŒ —€‘’›… Žˆ‡‚Ž„›…
•. . „§¥¡¨á®¢

‚ ⥮ਨ  ­ «¨â¨ç¥áª¨å ä㭪権 ª®¬¯«¥ªá­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® ªà ¥¢®© § ¤ ç¥© ⨯  ¨¬ ­  ­ §ë¢ îâ § ¤ çã ­ å®¦¤¥­¨ï ¤¢ãå ä㭪権

f + (z ) f , (z )
L

®â¢¥âá⢥­­® ¢­ãâਠ¨ ¢­¥ ­¥ª®â®à®£® § ¬ª­ã⮣® ª®­âãà 

¨

,  ­ «¨â¨ç¥áª¨å á®-

, ¯® ¨§¢¥áâ­®¬ã ­  ª®­âãà¥

«¨­¥©­®¬ã ᮮ⭮襭¨î £à ­¨ç­ëå §­ ç¥­¨© ­¥ ⮫쪮 íâ¨å ä㭪権, ­® ¨ §­ ç¥­¨©
¨å ¯à®¨§¢®¤­ëå.
‚ à ¡®â¥ íâ  § ¤ ç  à áᬠâਢ ¥âáï ¤«ï  ­ «¨â¨ç¥áª¨å ä㭪権 ¤¢ãå ª®¬¯«¥ªá­ëå
¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¯®«­ëå ¤¢®ïª®ªà㣮¢ëå ¢ë¯ãª«ëå ®¡« áâïå ¯à®áâà ­á⢠

C 2.

 §à ¡®-

â ­­ë© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨©  ¯¯ à â à¥è¥­¨ï à áᬠâਢ ¥¬ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¯®§¢®«ï¥â
­ ©â¨ ¨å à¥è¥­¨ï ¢ § ¬ª­ã⮬ ¢¨¤¥, ç⮠ï¥âáï ªà ©­¥ ।ª¨¬ 䠪⮬ ¤«ï ä㭪権
¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå.

 áᬮâਬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C 2 äã­ªæ¨î ¤¢ãå ª®¬¯«¥ªá­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå
f (z ) (z = (z1 ; z2 )), ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ¨­â¥£à «®¬


Z

1
f (z ) = 2
4 i 

d

Z2

Z

F (t;  ) d
dt
;
 , u1 (;  )
0 jj=1

(1)

£¤¥ 0 <  <  < 1, 1 > 0, 2 > 0, u1 (; ) =  1 z1 + 2 z2 eit , F (t;  ) 2 Lip
(), â.¥.
­  ¬­®¦¥á⢥
= f(t;  ) : 0  t  2; j j = 1g äã­ªæ¨ï F (t;  ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â

ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ  á ¯®ª § â¥«¥¬ 0 <   1 ¯®  à ¢­®¬¥à­® ®â­®á¨â¥«ì­® t.
”㭪樨, ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ¨­â¥£à «®¬ (1), ®â­¥á¥¬ ª ª« ááã M;
.
1 ;2
 §®¡ê¥¬ ¯à®áâà ­á⢮ C 2 ­  á«¥¤ãî騥 ­¥¯ãáâë¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®
c 2000 „§¥¡¨á®¢ •. .

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 

1{25

¦¥á⢠

K (; 1 ; 2 ) = f(z ) :  1 jz1 j +  2 jz2 j , 1 < 0g;
,1 = f(z ) : 2 () > 0; 2 ( ) > 0g;
,2 = f(z ) : 3 () < 0g;
E1 = f(z ) : 1 () < 0; 3 ( ) < 0g;
E2 = f(z ) : 1 ()  0; 1 ( )  0; 2 ( ) < 0; 3 ( )  0;
E3 = f(z ) : 1 ()  0; 2 ( ) < 0; jz2 j  pjz1 j g;
E5 = f(z ) : 1 ()  0; 2 () < 0; 3 ()  0; 3 ( )  0;

E6 = f(z ) : 2 () < 0; 3 ( )  0; jz2 j  pjz1 j g;
E7 = f(z ) : 1 () > 0; 3 ( )  0; jz2 j  pjz1 j g;
E8 = f(z ) : 1 () > 0; 2 ()  0; 2 ( )  0; 3 ( ) > 0;
E9 = f(z ) : 1 ()  0; 2 () > 0; 3 ( )  0g;
E10 = f(z ) : 2 () > 0; 2 ( )  0; 3 ( )  0g;
E11 = f(z ) : 2 () > 0; 2 ( )  0; 3 ( )  0g;

jz2 j > pjz1 j g;
jz2 j  pjz1 j g;
jz2j < pjz1 j g;

£¤¥

1 ( ) =  1 jz1 j +  2 jz2 j , 1;
2 ( ) =  1 jz1 j ,  2 jz2 j , 1;
3 ( ) =  1 jz1 j +  2 jz2 j + 1;
 1,


;  = 1:

p= 2
1
2
‚ ª ¦¤®¬ ¨§ 㪠§ ­­ëå ¬­®¦¥á⢠¤«ï ä㭪権 ª« áá  M;
¡ë«¨ ¯®1 ;2
«ãç¥­ë ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ë¥ ä®à¬ã«ë, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë¥ ¯®¢â®à­ë¬¨ ¨­â¥£à « ¬¨,
á¬. [5]. ’ ª, ­ ¯à¨¬¥à:
f (z ) =
f (z ) =
f (z ) =

Z


d

Z2
0

Z0


Z
1

h+ ( ) d +
h, ( ) d +

Z
0
Z1


g ( ) d (z 2 E2 );

(2)

g ( ) d (z 2 E9 );

(3)

f  (; u1(;  )) d (z 2 K (; 1 ; 2 ) [ ,1 [ ,2 );

(4)

1{26

•. . „§¥¡¨á®¢

£¤¥
1
f  (; u1(;  )) =
2i

Z

jzj=1

F (t;  ) d
;
 , u1 (;  )

1
h  ( ) =
2
1
g ( ) =
2

2 ,Z
'( )+

'( )+

Z2

ju1 (; )j < 1; (ju1(; )j > 1);

f  (t; u1 (;  )) dt;

(5)

0

1
f + (; u1(;  )) dt +
2

'(Z )+

f , (; u1(;  )) dt;

,'( )+

,




'( ) = arccos (1 ,  21 jz1 j2 ,  22 jz2 j2 )=2 1 +2
jz1 jjz2 j ;

(6)

(7)

= arg z1 , arg z2 ;

0 ; 1 | ­ã«¨ ä㭪権 1 ¨ 2 ᮮ⢥âá⢥­­®. Š ª ¯®ª § «¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï
[5], ä㭪樨 ª« áá  M;
ïîâáï ­¥¯à¥à뢭묨 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C 2 ,  ­ 1 ;2
«¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ®¡« áâïå K (; 1 ; 2 ), ,1 ¨ ,2 ¨ ­¥ ­ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ®¡« áâ¨
C 2 n(K (; 1 ; 2 ) [ ,1 [ ,2 ), ¯à¨ç¥¬ K (; 1 ; 2 ) ¥áâì ®£à ­¨ç¥­­ ï ¯®«­ ï ¢ë¯ãª« ï ¤¢®ïª®ªà㣮¢ ï ®¡« áâì á 業â஬ ¢ â®çª¥ (0; 0) [1].


2
P
@ z + @ z , L[f ] = f + Df:
ãáâì f 2 M;
,
D
=

k

k
k
@zk
@ zk
1 ;2
k=1
”㭪樨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ L[f ] ®â­¥á¥¬ ª
ª« ááã P;
. ”㭪樨 ¦¥
1 ;2
1
h () =
2

Z2
0

1
f  (t; u1 (;  )) dt ¨ h ( ) =
2

Z2

f  (t; u1(;  )) dt

(8)

0

®â­¥á¥¬ ª ª« ááã T , ®­¨ ïîâáï  ­ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ᮮ⢥âá⢥­­® ¢ ®¡« áâïå
,




,




K (; 1 ; 2 )
2 = f(z ) : 1 jz1 j , 2 jz2 j , 1 > 0g
¨

K (; 1 ; 2 )
1 = f(z ) :  1 jz1 j ,  2 jz2 j , 1 > 0g

¨ ­¥ ­ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ®¡« áâïå
(á¬. [1]).

C2

nK (; 1; 2) [
2 ¨

C2

nK (; 1; 2 ) [
1

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 
’¥®à¥¬  1.

M;
¨ T
1 ;2

ãáâì

1{27

F (t;  ) 2 Lip
(). ’®£¤  ¢ ®¡« á⨠E2 ä㭪樨 ª« áᮢ

á¢ï§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬

L[f ](z) = f (z) + D[f (z)] = g( ) , h+ ();

(9)

g( ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ä®à¬ã«ë (6 ).
C ãáâì (z) 2 E2. ’®£¤  ä㭪樨 ª« áá  M;
¢ í⮩ ®¡« á⨠¯à¥¤áâ ¢¨1 ;2
¬ë ¯®¢â®à­ë¬¨ ¨­â¥£à « ¬¨ (2), ¢ ª®â®àëå ¯à®¨§¢¥¤¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®© 

£¤¥

¯® ä®à¬ã«¥

 = 
A,1; A = jz1 j1,1 + jz2 j2,1 :

‚ १ã«ìâ â¥ ¯®«ã稬

Af (z) =

0 A
Z
A


+
d +
h

A

ZA 

0



g A d:

Š ®¡¥¨¬ ç áâï¬ ¯®«ã祭­®£® à ¢¥­á⢠ ¯à¨¬¥­¨¬ ®¯¥à â®à

D, ¯®«ì§ãïáì

®¡®¡é¥­¨¥¬ ä®à¬ã«ë ‹¥©¡­¨æ  ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¨ ¨­â¥£à «  ®â ¯ à ¬¥âà 

0 A
Z

A

Z
i
h  i

+
D[f (z)] = D h A d + D g A d
0
A
, +


+
+ D [0 A] h (0 ) , g (0 ) + D [A]g ( ) , D [A]h ():
h



(10)

¥¯®á।á⢥­­ë¬ ¯®¤áç¥â®¬ ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ®

D[0 A] = 0; D[A] = A; D[A] = A;
á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¨§ (10) ¯®«ã稬 ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ᮮ⭮襭¨¥ (9).
¨

T

’¥®à¥¬  2.

¢ ®¡« áâ¨

B

à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨© ⥮६ë 1 ä㭪樨 ª« áᮢ

K (; 1; 2) á¢ï§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬

f (z) + D[f (z)] = h+ ( ) , h+ ():

M;
1 ;2
(11)

C „®ª § â¥«ìá⢮ à ¢¥­á⢠ (11)  ­ «®£¨ç­® ¤®ª § â¥«ìáâ¢ã ⥮६ë 1. B
2

 áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 ¤¢ã¬¥à­ë¥ ¬­®¦¥á⢠ ¯à®áâà ­á⢠ C :

C1 = f(z) : jz1j =  ,2 ; z2 = 0g;

1{28

•. . „§¥¡¨á®¢

C2 = f(z) : jz1 j = ,1 ; z2 = 0g;
C3 = f(z) : z1 = 0; jz2j =  ,2 g;
C4 = f(z) : z1 = 0; kz2j = ,2 g:
F (
;
) 2 
() f (
) 2 M;
1 ;2

P;
1 ;2
C2
C
;
k
= 1; 2; 3; 4:
k
C  ©¤¥¬ ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï ä㭪権 ª« áá  P;
¨§ ®¡« á⥩ E2 ¨
1 ;2
K (; 1 ; 2) ­  ¤¢ã¬¥à­®¬ ¬­®¦¥á⢥ C1.
1. ãáâì (z) 2 E2. —¥à¥§
8 22 jz j2 + 21 jz j2 , 21 +2 jz jjz jm = 0;
>
1 2
2
1
<
(12)
m;l ( ) = > arg z1 , arg z2 = l; arg 0 = arg z10 , l;
: jmj  1; l < 2; 1 > 0; 2 > 0; 0 <  < 1;
®¡®§­ ç¨¬ ᥬ¥©á⢮ ¤¢ã¬¥à­ëå ¯®¢¥àå­®á⥩, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ 䨪á¨à®¢ ­­ãî â®çªã (z10 ; 0) = (0 ,1 ; 0) = (z0 ) 2 C1 ; j0j = 1.
ˆ§ § ¤ ­¨ï m;l á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ à ¢¥­á⢥ (6) ¢¥«¨ç¨­ë '( ) ¨ ¡ã¤ãâ
¯®áâ®ï­­ë¬¨, ¥á«¨ (z0 ) 2 m;l ( ).
  í⮬ ®á­®¢ ­¨¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì '( ) ç¥à¥§ 'm ,   ç¥à¥§ l, ¥á«¨ â®çª 
(z) ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª ª®©-«¨¡® 䨪á¨à®¢ ­­®© ¤¢ã¬¥à­®© ¯®¢¥àå­®á⨠m;l ( ).
‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¯®­¨¬ âì ¯®¤
lim L[f ](z) = L[f2](z0 );
(13)
(z)!(z0 )
’¥®à¥¬  3. …᫨

Lip

­¥¯à¥àë¢­ë ¢ ¯à®áâà ­á⢥

,

, â® ä㭪樨 ª« áá 

§  ¨áª«î祭¨¥¬ ¬­®¦¥áâ¢

¥á«¨ (z) 2 m;l ( ); (z0 ) 2 C1 ; j0j = 1, £¤¥ L[f ] | ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë© ®¯¥à â®à,
®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© à ¢¥­á⢮¬ (9).
2. ãáâì ⥯¥àì (z) 2 m;l ( ) 2 E2 ; (z0 ) 2 C1 .
‚ à ¢¥­á⢥ (9) ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ (z) ! (z0 ). ’®£¤ 
L[f2](z0 ) =  (z)lim
g( ) ,  (z)lim
h+ ():
(14)
!(z0 )
!(z0 )
 ) ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ (z)lim
g( ) ¯® ¤¢ã¬¥à­®© ¯®¢¥àå­®á⨠m;l ¤®ª § ­® ¢
!(z0 )
[2] ¨ [3]. Žââ㤠 ¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ®

Z
1
lim g( ) = 42i dt
(z)!(z0 )
2

+ 41

Z2
0

0

F (t; 0) dt + 21

Z F (t; ) d

jj=1
l+Z'm

l,'m

 , 0

F (t; 0) dt;

(15)

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 

1{29

R
) d
£¤¥ ®á®¡ë© ¨­â¥£à « F (t;
,0 ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢­®£® §­ ç¥­¨ï ¯® Š®è¨.
¡) ’ ª ª ª äã­ªæ¨ï h+ ()  ­ «¨â¨ç¥áª ï ¢ ®¡« á⨠K (; 1; 2), â® ¢ ᨫã
+
h () ¨¬¥¥¬
Z2 Z F (t;  ) d
1
lim h+ () = 42i dt
;
(16)
(z )!(z 0 )
 , u01 (;  )
jj=1

0

£¤¥
u (;  ) =
0
1

稬

  1


0 ; j 0 j = 1 :

(17)

®¤áâ ¢«ïï ¯à ¢ë¥ ç á⨠ࠢ¥­á⢠(15) ¨ (16) ¢ (14), ®ª®­ç â¥«ì­® ¯®«ã
L[f2 ](z0 ) = 2
4 i

, 2

Z2
0

Z F (t;  ) d  Z2
dt
+ 4 F (t; 0) dt,
 , 0

l+
Z'm
l,'m

jj=1

0

Z2 Z F (t;  ) d

F (t; 0) dt ,
:
2 dt
 , u01 (;  )

(18)

jj=1

0

3. ãáâì (z) 2 K (; 1; 2) ¨ (z) ! (z0 ) 2 C1 .
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (11) ¨ ¯à®¢¥¤ï  ­ «®£¨ç­ë¥ ¢ëª« ¤ª¨ ª ª ¢ ¯ã­ªâ¥
2, ¯®«ã稬

lim
L
[
f
](
z
)
=
L
[
f
](
z
)
=
42i
(z )!(z 0 )
+

0

Z2
0

Z F (t;  ) d
dt
,
0

jj=1

Z2
Z2 Z F (t;  ) d


+ 4 F (t; 0) dt , 42i dt
:
 , u01 (;  )
0

0

(19)

jj=1

‘à ¢­¨¢ ï ä®à¬ã«ë ¯à¥¤¥«ì­ëå §­ ç¥­¨© (18) ¨ (19) ¨§ ®¡« á⥩ E2 ¨
K (; 1 ; 2 ) ­  ¬­®¦¥á⢥ C1 , § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ â®çª¥ (z 0 ) 2 C1 ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥
¨§ ®¡« á⨠K (; 1 ; 2) ¢ ®¡« áâì E2, ä㭪樨 ª« áá  P;
ᮢ¥àè îâ ᪠箪
1 ;2
à ¢­ë©
l+
Z'm

F (t; 0) dt:
(20)
L[f + ](z 0 ) , L[f2 ](z0 ) =
2
l,'m

1{30

•. . „§¥¡¨á®¢

  í⮬ ®á­®¢ ­¨¨ ᮮ⭮襭¨ï (18) ¨ (19) ¬®¦­® áç¨â âì  ­ «®£ ¬¨ ä®à¬ã« ‘®å®æª®£® ¤«ï ä㭪権 ª« áá  P;
. Žââ㤠 ¦¥ á«¥¤ã¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì
1 ;2
⥮६ë 3 ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ C1 .
„«ï ®áâ «ì­ëå ¬­®¦¥á⢠Ck ; k = 2; 3; 4 ¤®ª § â¥«ìá⢮ â¥®à¥¬ë  ­ «®£¨ç­®.
„«ï ¯®áâ ­®¢ª¨ ¨ à¥è¥­¨ï ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¯®âॡã¥âáï ¥é¥ ¯à¥¤¥«ì­®¥
§­ ç¥­¨¥ ä㭪権 ª« áá  M;
¢ â®çª¥ (z0 ) = (0 ,1 ; 0) 2 C1 .
1 ;2
ãáâì (z) 2 C 2 . ‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 ª« áá  M;
¢ C 2 , íâ®
1 ;2
¯à¥¤¥«ì­®¥ §­ ç¥­¨¥ ¡ã¤¥â à ¢­®
Z Z2 Z F (t;  ) d
1
f + (z 0 )  f2 (z 0 ) = 2
;
(21)
4 i d dt
 , u01 (;  )
£¤¥



0

jj=1

 f +(z0 ); ¥á«¨ (z) 2 K (;  ;  );
1 2
lim
f (z ) =
0
0
(z)!(z )
f2 (z ); ¥á«¨ (z ) 2 E2 ;
  1

0
u1 (;  ) =
0 ; j0 j = 1:


Žâ¬¥â¨¬, çâ® ju01 (; )j = 1 ¯à¨  =  , ¯®í⮬ã ⮫쪮 ¢ í⮬ á«ãç ¥
¢­ãâ७­¨© ¨­â¥£à « ¢ ä®à¬ã«¥ (21) ¡ã¤¥¬ ¯®­¨¬ âì ª ª ®á®¡ë© ¢ á¬ëá«¥
£« ¢­®£® §­ ç¥­¨ï ¯® Š®è¨.
à¨¢¥¤¥¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á«¥¤ãîé¨å ä㭪権 [3]
Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï a(; l; 'm )
¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª« ááã + (¨«¨ , ) ¨ ¯¨á âì a(; l; 'm) 2 + (¨«¨ (; l; 'm) 2
, ), ¥á«¨ ®­  ¤®¯ã᪠¥â ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¤¥©á⢨⥫ì­ë¬
¯¥à¥¬¥­­ë¬ l, 'm (jlj < 2; j'mj < ) â ª¨¥, çâ®
@a @a
@a @a
= , 1 F (l + ' ;  );
= 1 F (l , ' ;  )
+
,

m
m
@l @'m

@l @'m 


@a @a
1
@a @a
1
¨«¨ @l + @' =  F (l + 'm;  );
,
= ,  F (l , 'm ;  ) ;
@l @'m
m
£¤¥ F (t;  ) 2 Lip
(),  | ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯¥à¥¬¥­­®¥ (j j = 1).
Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï G(; l; 'm )
¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª« ááã  (G 2 ), ¥á«¨ ®­  ¤®¯ã᪠¥â ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¤¥©á⢨⥫ì­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ l ¨ 'm (jlj < 2; j'm < j) â ª¨¥,

çâ®

1 G(l; ' ;  )
F (l + ' ;  );
@G @G
=
,
+
m
m
@l @'m


1{31

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 

@G @G
1
,
= G(l; 'm ;  )
F (l , 'm ;  );
@l @'m 

£¤¥ F (t;  ) 2 Lip
(),  | ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯¥à¥¬¥­­®¥ (j j = 1), G(; l;  ) = 1.

‚ [3] â ª¦¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­ë ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à¨­ ¤-

«¥¦­®á⨠ä㭪権
¨å.

a(; l; 'm)

¨

G(; l; 'm)

ª ª« áá ¬

+ ; , ; .

à¨¢¥¤¥¬

a(; l; 'm) ¡ë«  ¯à¥¤áâ -

‹¥¬¬  1. „«ï ⮣® çâ®¡ë ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï
¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ ¨­â¥£à « 

1



2

l,Z'm
l+'m

F (t;  ) dt;

2,Z'm +l
F (t;  ) dt;
2
l+'m
1

¨«¨

F (t;  ) 2 Lip
(), ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, ç⮡ë a(; l; 'm) 2 , (+ ).
‹¥¬¬  2. „«ï ⮣® çâ®¡ë ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï G(; l; 'm ) 2  ­¥®¡å®a(;l;'m ) , £¤¥ a(; l; 'm) 2 + (, ).
¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, ç⮡ë G(; l; 'm ) = e
£¤¥

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¯®áâ ­®¢ª¥ ªà ¥¢ëå § ¤ ç.

à¥¤¢ à¨â¥«ì­ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç . ãáâì ¢ ¯à®áâà ­á⢥
®¡« áâ¨

K (; 1 ; 2 ) ¨ E2 .

’ॡã¥âáï ­ ©â¨ äã­ªæ¨î

f (z ) ª« áá 

C2

§ ¤ ­ë

M;
, ¨áç¥1 ;2

§ îéãî ­  ¬­®£®®¡à §¨¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ëå â®ç¥ª, à §­®áâì ¯à¥¤¥«ì­ëå
§­ ç¥­¨©

L[f + ](z 0 ) ¨ L[f2 ](z 0 ) ª®â®à®© ¢ â®çª å ¬­®¦¥á⢠ C1 , 㤮¢«¥â¢®àïîâ

ᮮ⭮襭¨î

¥è¥­¨¥.

â ª ï äã­ªæ¨ï

L[f + ](z 0 ) , L[f2 ](z 0 ) = a(; l; 'm):
’ ª ª ª

a(; l; 'm)

F (t;  ), çâ®

(22)

2 , , â® ­  ®á­®¢ ­¨¨ «¥¬¬ë 1 ­ ©¤¥âáï

a(; l; 'm) =

l+Z'm

1



2

l,'m

F (t;  ) dt;

F (t;  ) 2 Lip
(), ¯®í⮬㠪ࠥ¢®¥ ãá«®¢¨¥ (22) íª¢¨¢ «¥­â­® ä®à¬ã«¥ (20).
;
‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, äã­ªæ¨ï ¨§ ª« áá  M ; ¤ ¥â à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨. Žç¥¢¨¤­®, çâ®
1 2
;
¢ ª« áᥠä㭪権 M ; íâ® à¥è¥­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®. „¥©á⢨⥫쭮, ¤®¯ãá⨬,
1 2
;
çâ® § ¤ ç  (22) ¨¬¥¥â ¥é¥ ®¤­® à¥è¥­¨¥ ¢ ª« áᥠM ; ¨ ¯ãáâì
1 2

£¤¥

fz

~( ) =

1

2i

4

Z



d

Z2

Z

F~ (t;  ) d
;
dt
 , u1 (;  )
0 jj=1

1{32

•. . „§¥¡¨á®¢

®§­ ç ¥â à §­®áâì íâ¨å ¤¢ãå à¥è¥­¨©. ’®£¤  ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï (22) ¤®«¦­® ¡ëâì

L[f~](z 0 ) , L[f ](z 0 ) = 0;
â. ¥. a(; l; 'm) = 0. Žâá ¨ ¨§ «¥¬¬ë 1 á«¥¤ã¥â, çâ® F~ (t;  ) = 0, ¯®í⮬ã
f~(z ) = 0.
2 § ¤ ­ë ®¡« á⨠K (; 1 ; 2 ) ¨ E2 . ’ॡãŠà ¥¢ ï § ¤ ç  1. ãáâì ¢ C
;
¥âáï ­ ©â¨ äã­ªæ¨î f (z ) ª« áá  M
1 ;2 , ®¡à é îéãîáï ¢ ¥¤¨­¨æã ­  ¬­®£®®¡+ 0
0
à §¨¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ëå â®ç¥ª, ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï L[f ](z ) ¨ L[f2 ](z )
0
,

0
1
ª®â®à®© ¢ â®çª å ¬­®¦¥á⢠ C1 = f(z ) : z1 = 
0 ; z2 = 0g 㤮¢«¥â¢®àïîâ
ᮮ⭮襭¨î
L[f + ](z 0 ) = G(; l; 'm)L[f2 ](z 0 );
(23)

G(; l; 'm) 2 .
¥è¥­¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ 1 «¥£ª® ­ å®¤¨âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ à¥è¥­¨ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨. „¥©á⢨⥫쭮, «®£ à¨ä¬¨àãï ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (23),
¯®«ã稬
ln L[f + ](z 0 ) , ln L[f2 ](z 0 ) = ln G(; l; 'm):
(24)
  ®á­®¢ ­¨¨ «¥¬¬ë 2 ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 G(; l; 'm)
£¤¥

ln G(; l; ') = a(; l; 'm) + 2ni 

1
2

l+Z'm
l,'m

F (t;  ) dt + 2ni;

£¤¥ F (t;  ) 2 Lip
().
’ ª¨¬ ®¡à §®¬,


ln L[f + ](z 0 ) , ln L[f2 ](z 0 ) =
2

l+Z'm
l,'m

F (t;  ) dt + 2ni:

(25)

®« £ ï

an (; l; 'm) = a(; l; 'm) + 2ni; ,(z ) = ln L[f ](z );
ãá«®¢¨¥ (25) ¯¥à¥¯¨è¥âáï â ª
,+ (z 0 ) , ,, (z 0 ) = an (; l; 'm):

(26)

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¬ë ¯à¨è«¨ ª § ¤ ç¥ ®âë᪠­¨ï ä㭪樨 ª« áá  M;
1 ;2
¯® à §­®á⨠¯à¥¤¥«ì­ëå §­ ç¥­¨© Ln L[f ](z ) ¨ ln L[f2](z ) ¢ â®çª å ¬­®¦¥á⢠

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 

1{33

C1 , ª®â®à ï ¡ë«  ¡ë à §à¥è¨¬ , ¥á«¨ ¢ ªà ¥¢®¬ ãá«®¢¨¨ (26) ¯à ¢ ï ç áâì
a(; l; 'm) 2 , ¨, ¯®í⮬ã a(; l; 'm) = 0.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ á ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (26) ¯à ¢ ï
ç áâì an (; l; 'm) ¤®«¦­  㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î
an (; l; 'm) = 0:

(27)

ˆ§ ãá«®¢¨ï (27) ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï an (; l; 'm), ¯®«ãç ¥¬, çâ® § ¤ ç  á ªà ¥¢ë¬
ãá«®¢¨¥¬ (26) ¡ã¤¥â à §à¥è¨¬  ¯à¨ n = 0.
¥è¥­¨¥ ¥¥ ¢ ª« áᥠä㭪権 M;
¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ ãá«®¢¨¨ ¨á祧1 ;2
­®¢¥­¨ï à¥è¥­¨ï ¢ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ëå â®çª å, ¨¬¥¥â ¢¨¤
,(z ) =

1

Z

4 2 i

¨«¨



dt

Z

jj=1

0

F (t;  ) d
;
 , u1 (;  )

ln L[f ](z ) = ,(z ):

Žâá
§®¬.

d

Z2

L[f ](z )e,(z) :

(28)
¥è¥­¨¥ ¦¥ ä㭪樮­ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï (28) ¯à®¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à -

ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠â®çª  (z ) 2 K (; 1 ; 2 ). ˆ§¢¥áâ­® (á¬. [4]), çâ®
¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï  ­ «¨â¨ç¥áª®© ¢ ®¡« á⨠D ä㭪樨 L[f ](z ) áãé¥áâ¢ã¥â
®¡à â­ë© ¨­â¥£à «ì­ë© ®¯¥à â®à
L,1 [f ] =

Z1

f ("1 z1 ; "2 z2 )d":

(29)

0

à¨¬¥­ïï ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ (28) ®¯¥à â®à (29), ¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ ªà ¥¢®©
§ ¤ ç¨ 1 ¢ ®¬ ¢¨¤¥
f (z ) = L(,1) [e,(z) ] =

Z1

e,(" 1 z1 ;" 2 z2 ) d";




0

£¤¥
,("1 z1 ; "2 z2 ) =

1

4 2 i

Z



d

Z2
0

dt

Z

jj=1

F (t;  ) d
;
 , u2 (; ";  )

(30)

1{34

•. . „§¥¡¨á®¢

u2 (; ";  ) = (" )1 z1 + (" )2 z2 eit :
C2

§ ¤ ­ë ®¡« á⨠K (; 1 ; 2 )
;
~
¨ E2 . ’ॡã¥âáï ­ ©â¨ ¤¢¥ ä㭪樨 f (z ) ¨ f (z ) ª« áá  M
1 ;2 ¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ ãá«®¢¨¨ ®¡à é¥­¨ï ¢ ¥¤¨­¨æã ä㭪樨 f ¨ ¢ ­®«ì ä㭪樨 f~ ­  «î¡®¬

Šà ¥¢ ï § ¤ ç  2. ãáâì ¢ ¯à®áâà ­á⢥

¬­®£®®¡à §¨¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ëå â®ç¥ª, ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï ª®â®àëå ­ 
¬­®¦¥á⢥

C1

㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î

L[f + ](z 0 )
L[f~+ ](z 0 ) = G(; l; 'm)L[f2 ](z 0 )
L[f~2 ](z 0 ) + a(; l; 'm);

£¤¥

(31)

a(; l; 'm) 2 ,1 ; G(; l; 'm) 2 .
¥è¥­¨¥. ”ã­ªæ¨î f (z) ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¨§ ᮮ⭮襭¨ï
L[f + ](z 0 ) = G(; l; 'm)L[f2 ](z 0 );

(32)

ª®â®à®¥ ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ 1. ®í⮬ã
f (z ) = L(,1) [e,(z) ];
£¤¥ ,(z ) | ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (30).
à¥¤¥«ì­®¥ §­ ç¥­¨¥ ä㭪樨 f (z ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᮮ⭮襭¨î (32), ¯®í⮬ã, § ¬¥­ïï ¢ (31) ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ä㭪権 G(; l; 'm)
L[f2 ](z 0 ) ¯® ä®à¬ã«¥
(32) ­  L[f + ](z 0 ), ¯®«ã稬
L[f~](z 0 ) , L[f~2 ](z 0 ) = a(; l; 'm);
(33)

¨«¨, â ª ª ª a(; l; 'm) 2 , , â® ¯® «¥¬¬¥ 1 ­ ©¤¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ F~ (t;  ) â ª®¥,
çâ®
l+Z'm

+
0
0
F~ (t;  ) d:
(34)
L[f~ ](z ) , L[f~2 ](z ) =
2
l,'m
Žâªã¤ , ­  ®á­®¢ ­¨¨ à¥è¥­¨ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬¥¥¬
Z Z2
Z
1
F~ (t;  ) d
~
L[f ](z ) = 2
d dt
:
(35)
4 i
 , u1 (;  )

0
jj=1
à¨¬¥­¨¬ ⥯¥àì ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ (35) ¨­â¥£à «ì­ë© ®¯¥à â®à (29) ¯à¨
ãá«®¢¨¨, çâ® (z ) 2 K (; 1 ; 2 ). ‚ १ã«ìâ â¥ ¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ 1
Z1
Z Z2
Z
1
F~ (t;  ) d
~
"d" d dt
f (z ) = 2
4 i
 , u2 (; ";  )

0
0
jj=1

1{35

Šà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⨯  ¨¬ ­ 

¢ ®¬ ¢¨¤¥. ‹¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ï f~(z) ­  ¡¥áª®­¥ç­®á⨠®¡à é ¥âáï
¢ ­®«ì,   f (z) ¢ ¥¤¨­¨æã.
‡ ¬¥ç ­¨¥. ’ ª ª ª C1 = K (; 1 ; 2 ) \ E2 \ E4 ;
C2 = E4 \ E9 \ ,1 ;
â® ¬®¦­® áâ ¢¨âì ¨ à¥è âì § ¤ ç¨  ­ «®£¨ç­ë¥ ªà ¥¢ë¬ § ¤ ç ¬ 1 ¨ 2 ¯ã⥬
ª®¬¡¨­ æ¨¨ ¯à¥¤¥«ì­ëå §­ ç¥­¨© L[f ](z) ¨§ ®¡« á⥩ K (; 1; 2 ), E2; E4; E9 ¨
,1 , ª®â®à묨 ¨áç¥à¯ë¢ îâáï ¢á¥¢®§¬®¦­ë¥ ¯ã⨠¯®¤å®¤  ª ¬­®¦¥á⢠¬ C1 ¨
C2 . ’ ª, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [6] ¨ [7] ¯®áâ ¢«¥­ë ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ⮫쪮 ¤«ï ®¡« á⥩
K (; 1 ; 2 ) ¨ E4 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

‹¨â¥à âãà 

Ž £à ­¨ç­ëå ᢮©á⢠å ä㭪権,  ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ¤¢®ïª®ªà㣮¢ëå ®¡« áâïå // „®ª«. € ‘‘‘.|1969.|’. 125, ü 5|‘. 959{962.
ˆ­â¥£à « ⨯  ’¥¬«ïª®¢  ¨ ¥£® ¯à¥¤¥«ì­ë¥
§­ ç¥­¨ï // „®ª«. € ‘‘‘.|1967.|’. 176, ü 1|‘. 45{48.
ˆ­â¥£à « ⨯  ’¥¬«ïª®¢  ¨ ­¥ª®â®àë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ //
“ç¥­ë¥ § ¯¨áª¨ Œ®áª. ®¡«. ¯¥¤. ¨­-â  ¨¬. . Š. Šàã¯áª®©.|1967. |
’. 188.|‘. 56{79.
Ž¡é¨¥ ¨­â¥£à «ì­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £®«®¬®àä­ëå ä㭪権 // „®ª«. € ‘‘‘.|’. 217, ü 1|C. 11{13.
ˆ­â¥£à «ì­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £®«®¬®àä­ëå ä㭪権 ¢ ᯥ樠«ì­ëå ®¡« áâïå ¯à®áâà ­á⢠ C 2 // Œ¥¦¢ã§. á¡. âà㤮¢ ý€­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨 ¨ ¨å ¯à¨«®¦¥­¨ïþ ‘¥¢.-Žá¥â. £®á. ã­-â .|1984.|‘. 28{48.
ˆ­â¥£à «ì­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï  ­ «¨â¨ç¥áª¨å ä㭪権 ¢
ᯥ樠«ì­ëå ®¡« áâïå ¯à®áâà ­á⢠ C 2 ¨ ¨å ¯à¨«®¦¥­¨ï // ’àã¤ë ‘ à â®¢áª®© §¨¬­¥© 誮«ë ý’¥®à¨ï ä㭪権 ¨ ¯à¨¡«¨¦¥­¨©þ|1988.|‘. 50{
52.
‘¢®©á⢠ ä㭪権 ¢ ¯à®áâà ­á⢠å C ¨ C 2 , ®¯à¥¤¥«¥­­ëå
­¥ª®â®à묨 ¨­â¥£à « ¬¨ // ¥á¯. á¡. âà㤮¢ ýŒ â¥¬ â¨ç¥áª¨©  ­ «¨§ ¨
⥮à¨ï ä㭪権þ Œ®áª. ®¡«. ¯¥¤. ¨­-â  ¨¬. . Š. Šàã¯áª®©.|1985.|
T. 5|C. 102{119.
‚­ãâ७­ïï ¨ ¢­¥è­ïï ®¤­®áâ®à®­­¨¥ ®¤­®à®¤­ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ᮯà殮­¨ï ¤«ï ¤¢®ïª®ªà㣮¢ëå ®¡« á⥩ ¯à®áâà ­á⢠ C 2 //
‚« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ â. ¦ãà­.|2000.|’.2, ‚ë¯. 4.|‘. 5{12. (®«­®â¥ªáâ.
¡ §  ¤ ­­ëå, ­®¬¥à £®á. ॣ¨áâà. 0229905212 (http://alanianet.ru/omj/journal.htm).)
€©§¥­¡¥à£ ‹. €.

®£ ­®¢ ‚. ˆ., ‹ãª ­¨­ ƒ. ‹.

®£ ­®¢ ‚. ˆ.

 ¢à¨­ ˆ. ˆ.

„§¥¡¨á®¢ •. .

„§¥¡¨á®¢ •. .

„§¥¡¨á®¢ •. .

„§¥¡¨á®¢ •. .

£. ‚« ¤¨ª ¢ª §

‘â âìï ¯®áâ㯨«  12 䥢ࠫï 2001 £.