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Ÿ­¢ àì{¬ àâ, 2002, ’®¬ 4, ‚ë¯ã᪠1

“„Š 517.98

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¯®«ã祭® ­®¢®¥

K -¯à®áâà ­á⢠¨ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª ¢ ¢¨¤¥ ¢­¥è­¨å á¥ç¥­¨©.

ä㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥
‚ ç áâ­®áâ¨, ¯®áâ஥­ ¨§®¬®à-

䨧¬ ¬¥¦¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®© ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª®© ¨ ¢­¥è­¨¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ ¯®«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå
ç¨á¥« ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¡ã«¥¢®§­ ç­®£® ã­¨¢¥àá㬠.

‚ à ¬ª å ­®¢®£® ä㭪樮­ «ì­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ­ ©¤¥­ë  ­ «®£¨ ®á­®¢­ëå ¯®­ï⨩ ¨ 䠪⮢ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª. ‚ ⮬ ç¨á«¥, ãáâ ­®¢«¥­®, ª ª¨¥ ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ᢮©áâ¢

K -¯à®áâà ­á⢠¨¬¥îâ ý¯®â®ç¥ç­ë¥ ªà¨â¥à¨¨þ.

1. ‚¢¥¤¥­¨¥

‚ à ¡®â¥ [2] ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¡ã«¥¢®§­ ç­®£® ã­¨¢¥àá㬠 ¯à¥¤«®¦¥­ 㤮¡­ë©
ä㭪樮­ «ì­ë©  ­ «®£ | ­¥¯à¥àë¢­ë© ¯®«¨¢¥àáã¬, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ᮡ®© ­¥¯à¥à뢭®¥ à áá«®¥­¨¥ (­ ¤ ­¥ª®â®àë¬ íªáâ६ «ì­® ­¥á¢ï§­ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬

Q),

᫮ﬨ

ª®â®à®£® ïîâáï ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ ¬­®¦¥áâ¢. à¨ í⮬ ¡ã«¥¢®§­ ç­ë©
ã­¨¢¥àá㬠¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ª« áá  ­¥¯à¥à뢭ëå á¥ç¥­¨© ¯®«¨¢¥àá㬠 | ­¥¯à¥-

Q

à뢭ëå ä㭪権, ᮯ®áâ ¢«ïîé¨å ª ¦¤®© â®çª¥ ª®¬¯ ªâ 

í«¥¬¥­â ᮮ⢥âáâ¢ãî-

饣® á«®ï.
‚ ¤ ­­®© áâ âì¥ ¢¢¥¤¥­® ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥à뢭®£® ¢­¥è­¥£® á¥ç¥­¨ï, ¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®¬
á¬ëá«¥ ®¡®¡é î饥 ¯®­ï⨥ á¥ç¥­¨ï. ‡­ ç¥­¨¥¬ ¢­¥è­¥£® á¥ç¥­¨ï ¢ â®çª¥ ª®¬¯ ªâ 

Q

ï¥âáï ­¥ í«¥¬¥­â,   ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® á«®ï ¯®«¨¢¥àá㬠. ’ ª¨¬

®¡à §®¬, ¢­¥è­¥¥ á¥ç¥­¨¥ ¯®«¨¢¥àá㬠, ª ª ¨ á ¬ ¯®«¨¢¥àáã¬, ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬
à áá«®¥­¨¥¬, ¬­®¦¥á⢮ ­¥¯à¥à뢭ëå á¥ç¥­¨© ª®â®à®£® ­ §ë¢ ¥âáï ¥£® á¯ã᪮¬.
‘¯ã᪨ ¢­¥è­¨å á¥ç¥­¨©, ®¡« ¤ îé¨å ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨, ïîâáï ¢¥ªâ®à­ë¬¨ à¥è¥âª ¬¨. ®«¥¥ ⮣®, «î¡ ï ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª  ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®àä­®©
á¯ãáªã ¯®¤å®¤ï饣® ¢­¥è­¥£® á¥ç¥­¨ï.
‘ ¯®¬®éìî ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¡ã«¥¢®§­ ç­®£® ã­¨¢¥àá㬠 ¢ ¢¨¤¥ ¯®«¨¢¥àá㬠 ¢ à ¡®â¥ [3] ¢¢¥¤¥­® ¯®­ï⨥ ¡¥áª®­¥ç­®© ¡«¨§®áâ¨ í«¥¬¥­â®¢ ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠
(¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«) ¢­ãâà¨ á«®ï ¯®«¨¢¥àá㬠 ¨ ¯à¥¤«®¦¥­ë  ­ «®£¨
­¥ª®â®àëå ⥮६ ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­®£®  ­ «¨§ , ª á î騥áï ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«. ‚
⮬ ç¨á«¥, ãáâ ­®¢«¥­®, çâ® ª ¦¤®¥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ç¨á«®



¨¬¥¥â áâ ­¤ àâ­ãî ç áâì

 | ¥¤¨­á⢥­­®¥ áâ ­¤ àâ­®¥ ç¨á«®, ¡¥áª®­¥ç­® ¡«¨§ª®¥ ª

.

®­ï⨥ áâ ­¤ àâ­®© ç á⨠¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¨§®¬®à䨧¬ 
¬¥¦¤ã á¯ã᪠¬¨ ¢­¥è­¨å á¥ç¥­¨© ¯®«¨¢¥àá㬠 ¨ ¯®¤à¥è¥âª ¬¨ ¯à®áâà ­á⢠
¯à¥¤áâ ¢«ïî饣® ᮡ®© ®¡é¨© ¢¨¤ à áè¨à¥­­®£®



c 2002 ƒã⬠­ €. …., ï¡ª® „. .

K -¯à®áâà ­á⢠.

C1 (Q),

€ ¨¬¥­­®, ª ¦¤ ï

”㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç 

1{35

¯®¤à¥è¥âª  C1 (Q) ᮢ¯ ¤ ¥â á à¥è¥âª®© ä㭪権 q 7! u(q), £¤¥ u | í«¥¬¥­âë á¯ã᪠
­¥ª®â®à®£® ¢­¥è­¥£® á¥ç¥­¨ï ¯®«¨¢¥àá㬠.
®¢®¥ ä㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ã¯à®é âì ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¬­®£¨å
ã⢥ত¥­¨© ® K -¯à®áâà ­áâ¢ å ¨ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥âª å á ¯®¬®éìî ¯¥à¥å®¤  ª ¨å ý¯®â®ç¥ç­ë¬þ  ­ «®£ ¬. ‚ ¤ ­­®© à ¡®â¥ ä®à¬ «¨§®¢ ­® ¯®­ï⨥ ¯®â®ç¥ç­®£® ªà¨â¥à¨ï
¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ᢮©á⢠ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ ¨ ãáâ ­®¢«¥­®, ª ª¨¥ ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ᢮©á⢠¨¬¥îâ ¯®â®ç¥ç­ë¥ ªà¨â¥à¨¨.
¥®¡å®¤¨¬ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¨§ ­¥áâ ­¤ àâ­®£®  ­ «¨§  á¬. [4{6].
2. à¥¤¢ à¨â¥«ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

Š®¬¯ ªâ ­ §ë¢ ¥âáï íªáâ६ «ì­® ­¥á¢ï§­ë¬, ¥á«¨ § ¬ëª ­¨¥ «î¡®£® ¥£® ®âªàë⮣® ¯®¤¬­®¦¥á⢠ ®âªàëâ®.   ¯à®â殮­¨¨ ¢á¥£® ⥪áâ  Q | íªáâ६ «ì­® ­¥á¢ï§­ë© ª®¬¯ ªâ. ‘¨¬¢®«®¬ Clop(Q) ®¡®§­ ç îâ ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ®âªàëâ®-§ ¬ª­ãâëå
¯®¤¬­®¦¥á⢠Q,   ᨬ¢®«®¬ Clop(q) | ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ®âªàëâ®-§ ¬ª­ãâëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠Q, ᮤ¥à¦ é¨å â®çªã q 2 Q.
’®çª  ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠ ­ §ë¢ ¥âáï -¨§®«¨à®¢ ­­®© (¨«¨
P -â®çª®©), ¥á«¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ «î¡®£® áç¥â­®£® ¬­®¦¥á⢠ ¥¥ ®ªà¥áâ­®á⥩ ï¥âáï
®ªà¥áâ­®áâìî í⮩ â®çª¨.
ãáâì D | ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ Q ¨ f : D ! R | ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï.
ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® äã­ªæ¨ï f ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«  2 R ¢ â®çª¥ q 2 Q, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®©

®âªàë⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠V â®çª¨  ­ ©¤¥âáï ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ­®áâì U â®çª¨ q â ª ï,
çâ® f [U ]  V . « £®¤ àï ­¥¯à¥à뢭®á⨠f ­ è¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à¥¤¥«  ®â«¨ç ¥âáï ®â
ª« áá¨ç¥áª®£® «¨èì ⥬, çâ® §­ ç¥­¨ï ä㭪樨 ¢ ¨§®«¨à®¢ ­­ëå â®çª å ®¡êïîâáï
¥¥ ¯à¥¤¥« ¬¨ ¢ íâ¨å â®çª å.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ D ¢á¥å â®ç¥ª q 2 Q, ¢ ª®â®àëå
äã­ªæ¨ï f ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, ¨ ®¡®§­ ç¨¬ íâ®â ¯à¥¤¥« ç¥à¥§ f(q). ”ã­ªæ¨ï f: D ! R, ®ç¥¢¨¤­®, ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ f . ˆ§¢¥áâ­®, çâ® äã­ªæ¨ï f ­¥¯à¥à뢭  ¨ ®¯à¥¤¥«¥­ 
­  ª®â®é¥¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢥ Q, (á¬. [1, ’¥®à¥¬  1.1.1]). ”ã­ªæ¨î f ­ §ë¢ îâ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ à áè¨à¥­¨¥¬ f . Ž¯à¥¤¥«¥­­ ï ­  ¢áî¤ã ¯«®â­®¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢥ Q äã­ªæ¨ï
­ §ë¢ ¥âáï à áè¨à¥­­®©, ¥á«¨ ®­  ᮢ¯ ¤ ¥â ᮠ᢮¨¬ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ à áè¨à¥­¨¥¬.
Œ­®¦¥á⢮ à áè¨à¥­­ëå ä㭪権 ®¡®§­ ç îâ ᨬ¢®«®¬ C1 (Q). ‡ ¬¥â¨¬, çâ®
«î¡ ï äã­ªæ¨ï f 2 C1 (Q) ¨¬¥¥â ¯à®¤®«¦¥­¨¥ f 2 C (Q; R ). „¢¥ ä㭪樨 f; g 2
C1 (Q) à ¢­ë ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ®­¨ à ¢­ë ­  ¢áî¤ã ¯«®â­®¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢥ Q.
®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® à áè¨à¥­­ëå äã­ªæ¨ïå ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1, x1.1].
‚ ¯à®¨§¢®«ì­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à¥ ᨬ¢®« ? ®¡®§­ ç ¥â ®â­®è¥­¨¥ ¤¨§ê⭮áâ¨:
a?b , a ^ b = 0. ‘¥¬¥©á⢮ í«¥¬¥­â®¢ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨§êî­ªâ­ë¬,
¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢  ¥£® í«¥¬¥­â  ¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ë.
’¥®à¥¬  (¯à¨­æ¨¯ ¨áç¥à¯ë¢ ­¨ï). ãáâì B | ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à . ’®£¤ 
¤«ï ¢á类£® ᥬ¥©á⢠ (a ) 2 í«¥¬¥­â®¢ B áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¤¨§ê⭮¥ ᥬ¥©á⢮
(b )2 , çâ® b 6 a ¤«ï ¢á¥å  2  ¨ sup2 a = sup2 b .
„®ª § â¥«ìá⢮ ¯®á«¥¤­¥© â¥®à¥¬ë ¬®¦­® ­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [7, ⥮६  20.2].
’¥®à¥¬  ‘â®ã­  | Ž£ á ¢ àë [8, 9]. ãáâì B | ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  ¨

Q | ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ã«ìâà ä¨«ìâ஢ ¢ B . „«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥­â  b 2 B ®¡®§­ ç¨¬
fq 2 Q : b 2 qg ç¥à¥§ ^b. Œ­®¦¥á⢮ f^b : b 2 B g ï¥âáï ¡ §®© ­¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ­  Q, ®â­®á¨â¥«ì­® ª®â®à®© Q ï¥âáï íªáâ६ «ì­® ­¥á¢ï§­ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬.
¬­®¦¥á⢮

1{36
Šà®¬¥ ⮣®, ®â®¡à ¦¥­¨¥

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b 7! ^b ®áãé¥á⢫ï¥â ¡ã«¥¢ ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã  «£¥¡à ¬¨ B

Clop(Q)
Š®¬¯ ªâ Q, ¯®áâ஥­­ë© ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¯®á«¥¤­¥© ⥮६ë, ­ §ë¢ ¥âáï áâ®ã­®¢áª¨¬ ª®¬¯ ªâ®¬ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë B .
‚áî¤ã ­¨¦¥ ¯®¤ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª®© ¬ë ¯®­¨¬ ¥¬ à¥è¥â®ç­® 㯮à冷祭­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. à¨ í⮬, ¥á«¨ ® ­¥ ®£®¢®à¥­® ¯à®â¨¢­®¥, ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¢¥ªâ®à­ë¥ à¥è¥âª¨ ¯à¥¤¯®« £ îâáï  à娬¥¤®¢ë¬¨.
‚ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¥ E í«¥¬¥­âë e ¨ f ­ §ë¢ îâáï ¤¨§êî­ªâ­ë¬¨, ¥á«¨ jej^jf j =
0. „¨§ê⭮¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ fe 2 E : e?f ¤«ï ¢á¥å f 2 F g ¬­®¦¥á⢠ F  E ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§ F ? . ®¤¬­®¦¥á⢮ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨, ¨¬¥î饥 ¢¨¤ F ?? ¤«ï ­¥ª®â®à®£®
F  E , ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«®á®©. ®¤¬­®¦¥á⢮ F  E ï¥âáï ¯®«®á®© ⮣¤  ¨ ⮫쪮
⮣¤ , ª®£¤  F ?? = F . ®«®áë ¢¨¤  feg?? , £¤¥ e 2 E , ­ §ë¢ îâáï £« ¢­ë¬¨. ®«®áë ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ ®¡à §ãîâ ¯®«­ãî ¡ã«¥¢ã  «£¥¡àã. «¥¬¥­â 1 2 E ­ §ë¢ ¥âáï
á« ¡®© ¯®à浪®¢®© ¥¤¨­¨æ¥©, ¥á«¨ 1 > 0 ¨ f1g?? = E , ¨ ᨫ쭮© ¯®à浪®¢®© ¥¤¨­¨æ¥©,
¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥­â  e 2 E áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®  2 R â ª®¥, çâ® jej 6 1 â® í«¥¬¥­â

1 2 E.
‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à  : E ! E ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¢ë¬ ¯à®¥ªâ®à®¬, ¥á«¨ 2 = 
¨ 0 6 e 6 e ¤«ï ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå í«¥¬¥­â®¢ e 2 E . Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®à浪®¢ëå ¯à®¥ªâ®à®¢ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ E ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ Pr(E ). Ž¡à § «î¡®£®
¯®à浪®¢®£® ¯à®¥ªâ®à  ï¥âáï ¯®«®á®©. Š ¦¤ë© ¯®à浪®¢ë© ¯à®¥ªâ®à ®¤­®§­ ç­®
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ ®¡à §®¬. ®à浪®¢ë¥ ¯à®¥ªâ®àë ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ E ®¡à §ãîâ
¡ã«¥¢ã  «£¥¡àã. ‚ ¯à®áâà ­á⢥ C1 (Q) ¤«ï «î¡®£® ¯®à浪®¢®£® ¯à®¥ªâ®à   ­ ©¤¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ P 2 Clop(Q) â ª®¥, çâ® f = P f ¤«ï ¢á¥å f 2 C1 (Q),
£¤¥ P | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï ¬­®¦¥á⢠
P .
‘®®â¢¥âá⢨¥  7! P ï¥âáï
,
¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã ¡ã«¥¢ë¬¨  «£¥¡à ¬¨ Pr C1 (Q) ¨ Clop(Q).
Œ­®¦¥á⢮ F  E ­ §®¢¥¬ ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢
f1 ; : : : ; fn 2 F ¨ ¤«ï «î¡ëå ¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ëå ¯®à浪®¢ëå ¯à®¥ªâ®à®¢ 1 ; : : : ; n 2
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’®â ä ªâ, çâ® á¥âì (e )2A ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¨ inf 2A = e, ª®à®âª® ®¡®§­ ç îâ
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f > 0, â® £®¢®àïâ, çâ® á¥âì (e )2A r-á室¨âáï ª í«¥¬¥­âã e 2 E (á ॣã«ïâ®à®¬ f ) ¨
¯¨èãâ e = r-lim2A e .
‚¥ªâ®à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ F  E ­ §ë¢ îâ (¯®à浪®¢ë¬) ¨¤¥ «®¬ ¢¥ªâ®à­®©
à¥è¥âª¨ E , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå f 2 F ¨ e 2 E ¨§ jej 6 jf j á«¥¤ã¥â e 2 F . ˆ¤¥ « F

­ §ë¢ îâ £« ¢­ë¬ (¯®à®¦¤¥­­ë¬ í«¥¬¥­â®¬ e 2 F ) ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  f 2 F
¢¥à­® jf j 6 njej ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ç¨á«  n 2 N . ˆ¤¥ « F ­ §ë¢ îâ äã­¤ ¬¥­â®¬, ¥á«¨
F ?? = E .
à®áâà ­á⢮¬ Š ­â®à®¢¨ç  ¨«¨ K -¯à®áâà ­á⢮¬ ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª , ¢ ª®â®à®© «î¡®¥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ᢥàåã (á­¨§ã) ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â â®ç­ãî ¢¥àå­îî (­¨¦­îî) £à ­¨æã.  áè¨à¥­­ë¬ K -¯à®áâà ­á⢮¬ ­ §ë¢ ¥âáï
K -¯à®áâà ­á⢮, ¢ ª®â®à®¬ «î¡®¥ ¤¨§ê⭮¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ®£à ­¨ç¥­®. ‹î¡®¥
K -¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â®¬ ­¥ª®â®à®£® (¥¤¨­á⢥­­®£® á â®ç­®áâìî ¤®
¨§®¬®à䨧¬ ) à áè¨à¥­­®£® K -¯à®áâà ­á⢠. ‹î¡®¥ à áè¨à¥­­®¥ K -¯à®áâà ­á⢮
¨§®¬®àä­® ¯à®áâà ­áâ¢ã C1 (Q), £¤¥ Q | áâ®ã­®¢áª¨© ª®¬¯ ªâ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë ¯®«®á ¤ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠.
¨

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1{37

‘¨¬¢®«®¬ V ¬ë ®¡®§­ ç ¥¬ ª« áá ¢á¥å ¬­®¦¥á⢠¨ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® V ï¥âáï
¬®¤¥«ìî ZFC (  â®ç­¥¥, NBG; á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [4, 1.3]).
ãáâì Q V Q V | ª« áá-ᮮ⢥âá⢨¥, ­  ª®â®à®¬ § ¤ ­  ­¥ª®â®à ï ⮯®«®£¨ï
(á¬. [2, 1.2]). Š« áá ¢á¥å ®âªàëâ®-§ ¬ª­ãâëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠Q V ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§
Clop(Q V ). „«ï ª ¦¤®© â®çª¨ q Q ª« áá
Q V , q V
= (q; x) : (q; x) Q V

®¡®§­ ç îâ ᨬ¢®«®¬ q V . ‘®®â¢¥âá⢨¥ Q V ­ §ë¢ îâ ­¥¯à¥àë¢­ë¬ à áá«®¥­¨¥¬
­ ¤ Q,   ª« áá q V | á«®¥¬ à áá«®¥­¨ï Q V ¢ â®çª¥ q. ”ã­ªæ¨î u : D Q V ­ §ë¢ îâ
á¥ç¥­¨¥¬ à áá«®¥­¨ï Q V ­ ¤ ¬­®¦¥á⢮¬ D
Q, ¥á«¨ u(q) q V ¤«ï ¢á¥å q D. ®¤
Q
­¥¯à¥àë¢­ë¬ á¥ç¥­¨¥¬ à áá«®¥­¨ï V ¯®­¨¬ ¥âáï á¥ç¥­¨¥, ïî饥áï ­¥¯à¥à뢭®©
ä㭪樥©. „«ï «î¡®£® ¯®¤¬­®¦¥á⢠ D Q ᨬ¢®«®¬ C (D; Q V ) ®¡®§­ ç ¥âáï ª« áá
¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå á¥ç¥­¨© Q V ­ ¤ D.
Š ª ãáâ ­®¢«¥­® ¢ [2, ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 2.3 ¨ 2.5], ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï
(1) q Q x q V u C (Q; Q V ) u(q) = x;
(2) u C (Q; Q V ) A Clop(Q) u(A) Clop(Q V ),
â® ­¥¯à¥à뢭®¥ à áá«®¥­¨¥ Q V ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨:
(i) ⮯®«®£¨ï Q V å ã᤮à䮢 ;


(ii) ¤«ï «î¡ëå u C (Q; Q V ) ¨ q Q ¬­®¦¥á⢮ u(A) : A Clop(q) ï¥âáï
¡ §®© ®ªà¥áâ­®á⥩ â®çª¨ u(q);
(iii) ¢á¥ í«¥¬¥­âë C (Q; Q V ) ïîâáï ®âªàëâ묨 ¨ § ¬ª­ãâ묨 ®â®¡à ¦¥­¨ï¬¨;
(iv) ⮯®«®£¨ï Q V íªáâ६ «ì­® ­¥á¢ï§­ .
‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ q Q ª« áá q V ï¥âáï  «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨á⥬®© ᨣ­ âãàë . „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ã«ë '(t1 ; : : : ; tn )

ᨣ­ âãàë
¨ á¥ç¥­¨© u1 ; : : : ; un à áá«®¥­¨ï Q V ᨬ¢®«®¬ '(u1 ; : : : ; un ) ®¡®§­ ç îâ ¬­®¦¥á⢮

,


q dom u1
dom un : q V = ' u1 (q); : : : ; un (q) :
„«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  x U, £¤¥ U | ª« áá¨ç¥áª ï ¨«¨ ¡ã«¥¢®§­ ç­ ï (á¬. [4])
 «£¥¡à ¨ç¥áª ï á¨á⥬  ᨣ­ âãàë , á¯ã᪮¬ x ­ §ë¢ ¥âáï ª« áá x = y U : U =
y x . …᫨ ¢ á¨á⥬¥ U ¨á⨭­   ªá¨®¬  íªá⥭ᨮ­ «ì­®áâ¨, â® ¤«ï ¢á¥å x; y U à ¢¥­á⢠ x = y ¨ x = y à ¢­®á¨«ì­ë. „ «¥¥ ­ á ¢ ®á­®¢­®¬ ¡ã¤ãâ ¨­â¥à¥á®¢ âì
S á«ãç ¨
U = q V ¨ U = C (Q; Q V ). „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® á¥ç¥­¨ï u C (Q; Q V ) ª« áá q2Q u(q)
­ §ë¢ ¥âáï à á¯ ª®¢ª®© á¥ç¥­¨ï u ¨ ®¡®§­ ç âáï ᨬ¢®«®¬ xuy. ¥¯à¥à뢭®¥ à áá«®¥­¨¥ Q V ­ §ë¢ ¥âáï (­¥¯à¥à뢭ë¬) ¯®«¨¢¥àá㬮¬ ­ ¤ Q, ¥á«¨ ¢ ª ¦¤®¬ á«®¥ q V
(q Q) ¨á⨭­ë  ªá¨®¬ë íªá⥭ᨮ­ «ì­®á⨠¨ ॣã«ïà­®á⨠¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¢ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª (1) ¨ (2) ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
(3) u C (Q; Q V ) xuy Clop(Q V );
(4) X Clop(Q V ) u C (Q; Q V ) xuy = X .
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­ëå á¥ç¥­¨© u; v C (Q; Q V ) ¬­®¦¥á⢠ u = v ¨ u v ®âªàë⮧ ¬ª­ãâë (á¬. [2, 3.3]), çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¢¢¥á⨠¢ à áᬮâ७¨¥ ¤¢¥ ª« áá-ä㭪樨
Q

=
;

: C (Q; V )
C (Q; Q V ) Clop(Q);
u = v = u = v
¨ u v = u v . ¥á«®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® âனª 
,¯®« £ ï
C (Q; Q V );
=
;

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®â¤¥«¨¬ãî Clop(Q)-§­ ç­ãî  «£¥¡à ¨ç¥áªãî á¨á⥬ã. Š ª ¯®ª § ­® ¢ [2, ⥮६  4.10], ª« áá ­¥¯à¥à뢭ëå á¥ç¥­¨© ¯®«¨¢¥àá㬠 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡é¨© ¢¨¤ ¡ã«¥¢®§­ ç­®£® ã­¨¢¥àá㬠. ’®ç­¥¥, ¥á«¨ Q |
x





2

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f g 

2

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j

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#

#

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k

k

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k k

g

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k

k

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f

k

2



k

f

2

g

!

g

f

2

g

1{38

€. …. ƒã⬠­, „. . ï¡ª®

B , â® ª« áá C (Q; Q V ) ­¥¯à¥à뢭ëå á¥Q ï¥âáï ¡ã«¥¢®§­ ç­ë¬ ã­¨¢¥àá㬮¬ ­ ¤ Clop(Q), ¨
ã­¨¢¥àá㬠 U ­ ¤ B áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¨¢¥àá㬠Q V ­ ¤ Q,

áâ®ã­®¢áª¨© ª®¬¯ ªâ ¯®«­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë
祭¨© ¯®«¨¢¥àá㬠

QV

­ ¤

¤«ï «î¡®£® ¡ã«¥¢®§­ ç­®£®
ª« áá

C (Q; Q V ) ­¥¯à¥à뢭ëå á¥ç¥­¨© ª®â®à®£® ¨§®¬®à䥭 U.

®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ­¥¯à¥à뢭ëå à áá«®¥­¨ïå ¨ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¯®«¨¢¥àá㬥 ¨¬¥îâáï ¢ [2].

Q V | ­¥¯à¥àë¢­ë© ¯®«¨¢¥àáã¬. ‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë 䨪á¨à㥬
á«®© q V ¢ â®çª¥ q 2 Q. (‡ ¬¥â¨¬, çâ® q V ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®¤¥«ì ZFC.)
‚áî¤ã ¤ «¥¥

“á«®¢¨¬áï ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®« ¬¨

R

N

¨

¬­®¦¥á⢠ ¢¥é¥á⢥­­ëå ¨ ­ âãà «ì­ëå

2= N ),   ᨬ¢®« ¬¨ R ¨ N | í«¥¬¥­âë C (Q; Q V ), ïî騥áï ¢ C (Q; Q V ) 㪠§ ­­ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨. ‚¢¥¤¥¬ â ª¦¥ ®¡®§­ ç¥­¨ï q R = R(q ), q N = N (q ), ¨ ¤«ï ç¨á« 
 2 R ᨬ¢®«®¬ q  ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì í«¥¬¥­â ^ (q) 2 q V , £¤¥ (
)^ | ª ­®­¨ç¥áª®¥
ç¨á¥« (0

¢«®¦¥­¨¥

V ¢ C (Q; Q V ) (á¬. [4, 2.2.7]).

…᫨ í«¥¬¥­â

X

ï¥âáï ¢­ãâà¨

q V ¯®«¥¬ ¨«¨

X # ¬®¦­® ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¢¢¥á⨠®¯¥à æ¨¨
¯®«ï ¨«¨, ᮮ⢥âá⢥­­®, ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪 .  ¯à¨¬¥à, ¤«ï ;  2 q R # á㬬   + 
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª â ª®© í«¥¬¥­â
2 q R # , çâ® q V j= (
=  +  ).
‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® á¯ã᪠¯®«ï ï¥âáï ¯®«¥¬. Œ­®¦¥á⢮ q R # ï¥âáï â ª¦¥

㯮à冷祭­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬, â® ­ 

¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª®© (¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥  à娬¥¤®¢®©).

à¨ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯®¤å®¤¥ ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥« (¢ ¢¨¤¥ ¤¥¤¥ª¨­-

 2 R í«¥¬¥­â q  2 q V ï¥âáï ç¨á«®¬ ¢­ãâਠq V ,
â. ¥. q  2 q R # . ”ã­ªæ¨ï q (
) : R ! q R # ¨­ê¥ªâ¨¢­  ¨ á®åà ­ï¥â ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪  ¨
®¯¥à æ¨¨ á«®¦¥­¨ï ¨ 㬭®¦¥­¨ï. Šà®¬¥ ⮣®, N ^ (q ) = q N ¨ R ^ (q )  q R ¢­ãâਠq V .
“á«®¢¨¬áï ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì í«¥¬¥­âë  2 R ¨ q  2 q R # ¨ ⥬ á ¬ë¬
áç¨â âì, çâ® R  q R #.
«¥¬¥­âë q R # ­ §ë¢ îâ ¢­ãâ७­¨¬¨ ç¨á« ¬¨. ‚­ãâ७­¥¥ ç¨á«®  ­ §ë¢ ¥âáï
áâ ­¤ àâ­ë¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«®  2 R çâ® q  = . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á
¤®¢ëå á¥ç¥­¨©) ¤«ï «î¡®£® ç¨á« 

ãç¥â®¬ ¯à¨­ï⮣® ᮣ« è¥­¨ï ¬ë ®â®¦¤¥á⢫塞 áâ ­¤ àâ­ë¥ ç¨á«  ¨ í«¥¬¥­âë

R.

Ž£à ­¨ç¥­­ë¬ ç¨á«®¬ ­ §ë¢ îâ ¢­ãâ७­¥¥ ç¨á«®, ¬®¤ã«ì ª®â®à®£® ¬¥­ìè¥ ­¥ª®â®à®£® áâ ­¤ àâ­®£® ç¨á« , ¨ ᨬ¢®«®¬ O (q R ) ®¡®§­ ç îâ ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ç¨á¥«. —¨á« , ­¥ ïî騥áï ®£à ­¨ç¥­­ë¬¨, ­ §ë¢ îâáï ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì訬¨.
‚­ãâ७­¥¥ ç¨á«®  ­ §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¬, ¥á«¨ jj <  ¤«ï «î¡®£® áâ ­¤ àâ­®£® ç¨á« 

 >

¢­ãâ७­¨å ç¨á¥«.

0.

‘¨¬¢®«®¬

o(q R )

®¡®§­ ç îâ ¬­®¦¥á⢮ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå

ƒ®¢®àïâ, çâ® ¤¢  ¢­ãâ७­¨å ç¨á« 

à §­®áâì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « .

¡¥áª®­¥ç­® ¡«¨§ª¨,

¥á«¨ ¨å

Žâ­®è¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®© ¡«¨§®á⨠ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬



íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠­  ¬­®¦¥á⢥ ¢­ãâ७­¨å ç¨á¥«. “á«®¢¨¬áï ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬ [ ]
ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨, ᮤ¥à¦ é¨© ¢­ãâ७­¥¥ ç¨á«®

.

„«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ç¨á«   áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ áâ ­¤ àâ­®¥ ç¨á«®
, ¡¥áª®­¥ç­® ¡«¨§ª®¥ ª  (á¬. [3, ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 3]). —¨á«®  ­ §ë¢ îâ áâ ­¤ àâ­®©
ç áâìî  ¨ ®¡®§­ ç îâ ç¥à¥§ .
q
‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. ‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¤«ï «î¡ëå ;  2 R ¨ ;  2 R # á¯à ¢¥¤«¨¢®



à ¢¥­á⢮ ( + ) =   +  .
‚ [3] ¯®ª § ­®, çâ® ­¥áâ ­¤ àâ­ë¥ ç¨á«  ¥áâì ⮫쪮 ¢ á«®ïå ¯®«¨¢¥àá㬠, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ­¥

-¨§®«¨à®¢ ­­ë¬

â®çª ¬. ‚ ⮩ ¦¥ à ¡®â¥ ᮤ¥à¦ âáï ¯®¤à®¡­ë¥

ᢥ¤¥­¨ï ® ¢­ãâ७­¨å ç¨á« å.
€­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª ­  ¬­®¦¥á⢥
­  ¬­®¦¥á⢥

qR#

¡ë«¨ ¢¢¥¤¥­ë ®¯¥à æ¨¨ ¯®«ï, § ¤ ¤¨¬

R# ®¯¥à æ¨¨ ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠ ­ ¤ R

¨ ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪 . ‚

1{39

”㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç 

ç áâ­®áâ¨, ¤«ï u; v 2 R# ¨ ;  2 R á㬬®© u + v ï¥âáï â ª®© í«¥¬¥­â w 2 R#, çâ®
C (Q; Q V ) j= (w = ^ u +  ^ v). Žç¥¢¨¤­®, R# ï¥âáï ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª®©, ¢ ª®â®à®©,
­ ¯à¨¬¥à, áã¯à¥¬ã¬®¬ u _ v í«¥¬¥­â®¢ u; v 2 R# ï¥âáï â ª®© í«¥¬¥­â w 2 R#,
çâ® C (Q; Q V ) j= u _ v. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢¢¥¤¥­­ë¥ ­  R# ®¯¥à æ¨¨ ¨ ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪 
ïîâáï ¯®â®ç¥ç­ë¬¨, â. ¥. ­ ¯à¨¬¥à, (u + v)(q) = u(q) + v(q) ¤«ï ¢á¥å q 2 Q,
£¤¥ u; v 2 R#, ;  2 R,   ­¥à ¢¥­á⢮ u 6 v à ¢­®á¨«ì­® u(q) 6 v(q) ¤«ï ¢á¥å q 2 Q.
Šà®¬¥ ⮣®, ­  R# ¬®¦­® ¢¢¥á⨠®¯¥à æ¨î 㬭®¦¥­¨ï ¯®  ­ «®£¨¨ á ⥬ ª ª íâ®
¡ë«® ᤥ« ­® ¤«ï q R #. ‚ १ã«ìâ â¥ § ¯¨á¨ ^ u ¨ u, £¤¥  2 R ¨ u 2 R#, ®¡®§­ ç îâ
®¤­® ¨ â® ¦¥ á¥ç¥­¨¥.
3. ˆ§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã

R#

¨

C1 (Q)

2 R# ­ §®¢¥¬ R-§­ ç­ãî äã­ªæ¨î u, ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ­  ¬­®¦¥á⢥ dom â¥å â®ç¥ª q 2 Q, ¢ ª®â®àëå ¢­ãâ७­¥¥ ç¨á«® u(q)
®£à ­¨ç¥­®, ¯®« £ ï ( )( ) = ( ) ¤«ï ¢á¥å q 2 dom u.
‘¥ç¥­¨¥ u 2 R# ­ §®¢¥¬ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ (­  ¬­®¦¥á⢥ D  Q), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®©
â®çª¨ q 2 Q (q 2 D) ¢­ãâ७­¥¥ ç¨á«® u(q) ®£à ­¨ç¥­®. Œ­®¦¥á⢮ ®£à ­¨ç¥­­ëå
á¥ç¥­¨© ¨§ R# ®¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ O(R#). ¥âà㤭® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ O(R#)
ï¥âáï ¢¥ªâ®à­®© ¯®¤à¥è¥âª®© R#.
‹¥¬¬  1.
u 2 R#
2R
juj 6 ^
C ãáâì á¥ç¥­¨¥ u 2 R# ®£à ­¨ç¥­®. „«ï «î¡®© â®çª¨ q 2 Q ­ ©¤¥âáï ç¨á«®
q 2 R, â ª®¥ çâ® ju(q)j 6 q (q ). Œ­®¦¥á⢮ fkjuj 6 ^q k : q 2 Qg ï¥âáï ®âªàëâë¬
¯®ªàë⨥¬ ª®¬¯ ªâ  Q. ‚롥६ ¨§ í⮣® ¯®ªàëâ¨ï ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥ kjuj 6
^q1 k; : : : ; kjuj 6 ^qn k, ¨ ¯®«®¦¨¬  = max16i6n i . Ÿá­®, çâ® juj 6 ^ . Ž¡à â­ ï
¨¬¯«¨ª æ¨ï ®ç¥¢¨¤­ . B
u
à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.
u 2 R#
C1 (Q)

C ®ª ¦¥¬, çâ® dom u | ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ Q. ãáâì á¥ç¥­¨¥ N 2 R#
‘â ­¤ àâ­®© ç áâìî á¥ç¥­¨ï u
u
,


u q
 u q

‘¥ç¥­¨¥

¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«®

®£à ­¨ç¥­® ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  áãé¥áâ-

, çâ®

.

„«ï «î¡®£® á¥ç¥­¨ï

äã­ªæ¨ï

¯à¨­ ¤«¥¦¨â

.

ï¥âáï ¢ C (Q; Q V ) 楫®© ç áâìî ç¨á«  u. ’®£¤ 
Q = kN

2 Nk = kN 2 N ^ k
[
= cl fq 2 Q : N (q) = n^ (q)g
 cl
= cl

n2N

[

fq 2 Q : N (q) 6 n^(q)g

n2 N

[

fq 2 Q : u(q) 6 n^(q)g = cl dom u:

n2 N

„ «¥¥, ¯®ª ¦¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï u ®¯à¥¤¥«¥­  ­  ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥ ¨ ­¥¯à¥à뢭 . „«ï «î¡ëå q 2 dom u ¨ " 2 R ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢠
(u(q) , 2" )^ (q) < u(q) < (u(q) + 2" )^ (q):
‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¬­®¦¥á⢮
P (q; ") = k(u(q) , 2" )^ < u < (u(q) + 2" )^ k

1{40

€. …. ƒã⬠­, „. . ï¡ª®

ï¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ q, ®âªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï u ®âªàëâ .
Šà®¬¥ ⮣®,



,
 ,
u P (q; ")  u(q) , "; u(q) + " ;
  §­ ç¨â, äã­ªæ¨ï u ­¥¯à¥à뢭 .
„«ï «î¡ëå q 2 Qn dom u, ¨ n 2
N ®ªà¥áâ­®áâì P (q; n) = ku > n^ k â®çª¨ q
㤮¢«¥â¢®àï¥â ᮮ⭮襭¨î u P (q; n) > n. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, äã­ªæ¨ï u ­¥ ¨¬¥¥â
¯à¥¤¥«  ¢ «î¡®© â®çª¥ ¢­¥ ᢮¥© ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨, ⥬ á ¬ë¬, ᮢ¯ ¤ ¥â á®
᢮¨¬ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ à áè¨à¥­¨¥¬. B

‹¥¬¬  2. „«ï «î¡ëå u1 ; u2 2 R# ¨ 1 ; 2 2 R ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ (1 u1 +
2 u2 ) = 1 u1 + 2 u2 .
C ‘®£« á­® § ¬¥ç ­¨î 1 ¤«ï ¢á¥å q 2 dom u1 \ dom u1 ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥
( u +  u )(q ) =  u (q ) +  u (q ). Žáâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 ¢á¥
1 1
2 2
1 1
2 2
à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ä㭪樨 ïîâáï í«¥¬¥­â ¬¨ C1 (Q). B


‹¥¬¬  3. ãáâì u1 ; u2 2 R#. ’®£¤  u1 6 u2 , u1 6 u2 (¢ ç áâ­®áâ¨, u1 = u2 ,
u = u ).
1
2
C ®«®¦¨¬ u = u2 , u1 . ‘ ãç¥â®¬ «¥¬¬ë 2 ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® u > 0 ,
u > 0.
‘­ ç «  ¤®ª ¦¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­®áâì à ¢¥­á⢠u = 0 ¨ u = 0. ¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮,
®ç¥¢¨¤­®, ¢«¥ç¥â ¢â®à®¥. ®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥. ãáâì u = 0. Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ P
¬­®¦¥á⢮ ku 6= 0k ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¢®¯à¥ª¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¬ã, çâ® P 6= ?. Ž¯à¥¤¥«¨¬
á¥ç¥­¨¥ v á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: v(q) = q 1=u(q) ¯à¨ q 2 P ¨ v(q) = q 1 ¯à¨ q 2 QnP .
Žç¥¢¨¤­®, çâ® á¥ç¥­¨¥ v ­¥¯à¥à뢭®. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 á¥ç¥­¨¥ v ®£à ­¨ç¥­® ­ 
¢áî¤ã ¯«®â­®¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢥ Q ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ q 2 P . ®áª®«ìªã
¢­ãâ७­¥¥ ç¨á«® q 1=u(q) ®£à ­¨ç¥­®,  u(q) 6= 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â à ¢¥­áâ¢ã u = 0.
’¥¯¥àì ¯®ª ¦¥¬, çâ® u > 0 , u > 0. ˆ¬¯«¨ª æ¨ï ý)þ ®ç¥¢¨¤­ . ® ¤®ª § ­­®¬ã ¢ëè¥ u > 0 ¢«¥ç¥â u 6= 0. Žáâ «®áì § ¬¥â¨âì, çâ® ¨§ u > 0 ¢ë⥪ ¥â u > 0. B
à¥¤«®¦¥­¨¥ 2. „«ï «î¡®© ä㭪樨 f 2 C1 (Q) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ á¥ç¥­¨¥ u 2 R# â ª®¥, çâ® u = f .
C …¤¨­á⢥­­®áâì á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 3. „®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥.
”ã­ªæ¨î g 2 C1 (Q) ­ §®¢¥¬ áâ㯥­ç â®©, ¥á«¨ ­ ©¤ãâáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¯®¯ à­® à §«¨ç­ëå ç¨á¥« (n )n2N ¨ à §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë (Pn )n2N ¢  «£¥¡à¥ Clop(Q) â ª¨¥,
çâ® gjPn = n ¤«ï ¢á¥å n 2 N . „«ï â ª®© ä㭪樨 g ®¯à¥¤¥«¨¬ á¥ç¥­¨¥ g ª ª ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥ á¥ç¥­¨© ^n á ¢¥á ¬¨ Pn , n 2 N (á¬. [4, 2.3.1, 2.5.3]). Žç¥¢¨¤­®, g 2 R# ¨
(g ) = g . ‘¨¬¢®«®¬ St(Q) ®¡®§­ ç¨¬ ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å áâ㯥­ç âëå ä㭪権.
„ «¥¥, ¯ãáâì f 2 C1 (Q). ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® f > 0.
Š ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ­ ©¤¥âáï â ª ï äã­ªæ¨ï h 2 St(Q), ¤«ï ª®â®à®© f 6 h. Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ S (f ) ¬­®¦¥á⢮ fg : g 2 St(Q); 0 6 g 6 f g. â® ¬­®¦¥á⢮ á¥ç¥h,   á­¨§ã | ­ã«¥¢ë¬ á¥ç¥­¨¥¬. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,
­¨© ®£à ­¨ç¥­®
, ᢥàåã á¥ç¥­¨¥¬


,


Q

C (Q; V ) j= S (f )"  [0; h] . ãáâì u 2 R# | â ª®¥ á¥ç¥­¨¥, çâ® u = sup S (f )"
¢­ãâਠC (Q; Q V ). “áâ ­®¢¨¬ à ¢¥­á⢮ u = f .

à¥¤¯®«®¦¨¬
á­ ç « ,
q 2 dom(f ) \ dom(u).
,

çâ® u(q ) < f (q ) ¤«ï ­¥ª®â®à®© â®çª¨


Ž¡®§­ ç¨¬ f (q) + u(q) =2 ç¥à¥§ x. ’ ª ª ª ä㭪樨 f ¨ u ­¥¯à¥à뢭ë, ­ ©¤¥âáï
â ª®¥ ¬­®¦¥á⢮ P 2 Clop(q), çâ® u(p) < x < f (p) ¤«ï ¢á¥å p 2 P . Ž¯à¥¤¥«¨¬
á¥ç¥­¨¥ v á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: v(p) = x^ (p) ¯à¨ p 2 P ¨ v(p) = p 0 ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥.

1{41

”㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç 

Ÿá­®, çâ® 2 ( ) ¨ ⥬ á ¬ë¬ > . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, k
k 6= ?, ¯®áª®«ìªã
k
k.
ˆâ ª, 6  . à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ­ ©¤¥âáï â®çª  2 dom( ) \ dom( ) ¤«ï
ª®â®à®© ¢¥à­®  ( )
( ). ãáâì = ( ( ) + ( )) 2.  ©¤¥âáï â ª®¥ ¬­®¦¥á⢮

2 Clop( ), çâ® ( )
( ) ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª 2 . Ž¯à¥¤¥«¨¬ á¥ç¥­¨¥ 0
0
^
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ( ) = ( ) ¯à¨ 2 ¨ 0 ( ) = ( ) ¯à¨
2
. ’®£¤  0 >
,
Q
0
¤«ï ¢á¥å 2 ( ), ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ( V ) j= > sup ( )" = . ‘ ¤à㣮©
áâ®à®­ë, 0 .
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ä㭪樨  ¨ ᮢ¯ ¤ îâ ­  ¢áî¤ã ¯«®â­®¬ ¬­®¦¥á⢥,   §­ ç¨â,
 = . B
’¥®à¥¬  1. (1) ”ã­ªæ¨ï
7!  ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨
R# ­  à áè¨à¥­­®¥ -¯à®áâà ­á⢮ 1( ).
(2) ”ã­ªæ¨ï 7!  ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ O(R#) ­ 
-¯à®áâà ­á⢮
( ).
C ˆ§ ¯à¥¤«®¦¥­¨© 1 ¨ 2 á«¥¤ã¥â, çâ® äã­ªæ¨ï 7!  ®áãé¥á⢫ï¥â ¡¨¥ªæ¨î
¬¥¦¤ã R# ¨ 1 ( ); «¥¬¬ë 2 ¨ 3 £ à ­â¨àãîâ, çâ® äã­ªæ¨ï 7!  ¨ ®¡à â­ ï
ª ­¥© á®åà ­ïîâ ®¯¥à æ¨¨ ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠ ¨ ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪 . Šà®¬¥
⮣®, ¨§ «¥¬¬ 1 ¨ 3 á«¥¤ã¥â, çâ® ®£à ­¨ç¥­­ë¥ á¥ç¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®£à ­¨ç¥­­ë¬
äã­ªæ¨ï¬. B
‘«¥¤á⢨¥ 1. (1) ‚¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª  R# ï¥âáï à áè¨à¥­­ë¬
-¯à®áâà ­v

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u

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K

Q

u

C Q

u

C

u

Q

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u

K

á⢮¬.

(2) ‚¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª  O(R#) ï¥âáï

K -¯à®áâà ­á⢮¬ ®£à ­¨ç¥­­ëå í«¥¬¥­-

⮢.

¥à¢ ï ç áâì í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨§¢¥áâ­ãî ⥮६㠃®à¤®­ 
(á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [4, 5.2.2]).
”ã­ªæ¨î, ®¡à â­ãî ª 7!  , ¤¥©áâ¢ãîéãî ¨§ 1 ( ) ­  R#, ®¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§
7!  .
u

f

u

C

Q

f

4. Ž¯¨á ­¨¥ ᢮©áâ¢

K

-¯à®áâà ­áâ¢

¢ â¥à¬¨­ å ¢­¥è­¨å á¥ç¥­¨©

2 Clop( ). ”ã­ªæ¨î : ! V ­ §®¢¥¬ ¢­¥è­¨¬ á¥ç¥­¨¥¬, ¥á«¨
()
¤«ï «î¡®© â®çª¨ 2 . ‚­¥è­¥¥ á¥ç¥­¨¥ : ! V ­ §®¢¥¬ ¢­¥è­¨¬
¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ R, ¥á«¨ ( )  q R# ¤«ï ¢á¥å 2 .
ãáâì : ! V | ¢­¥è­¥¥ á¥ç¥­¨¥. ‘¨¬¢®«®¬ # ®¡®§­ ç¨¬ ¬­®¦¥á⢮ f 2
( VQ ) : ( ) 2 ( ) ¤«ï ¢á¥å 2 g. Ÿá­®, çâ® ¥á«¨ | ¢­¥è­¥¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ R,
â® #  R#.
‚­¥è­¥¥ á¥ç¥­¨¥ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ â®çª¥ 2 dom , ¥á«¨ ¤«ï
«î¡®£® í«¥¬¥­â  2 ( ) ­ ©¤ãâáï ¬­®¦¥á⢮ 2 Clop( ) ¨ á¥ç¥­¨¥ 2 jP # â ª¨¥,
çâ® ( ) = . ‚­¥è­¥¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ R ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ­¥¯à¥à뢭ë¬, ¥á«¨ ®­® ­¥¯à¥à뢭® ¢® ¢á¥å â®çª å ª®¬¯ ªâ  . Œ­®¦¥á⢮ ¢­¥è­¨å ¯®¤¬­®¦¥á⢠R ãá«®¢¨¬áï
®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬  (R),   ¬­®¦¥á⢮ ­¥¯à¥à뢭ëå ¢­¥è­¨å ¯®¤¬­®¦¥á⢠R |
ᨬ¢®«®¬  (R). Šà®¬¥ ⮣®, ®¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ (R) ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢­¥è­¨å ¯®¤¬­®¦¥á⢠R, ­¥¯ãáâëå ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ª®¬¯ ªâ  ,   ᨬ¢®«®¬ (R) | ¬­®¦¥á⢮
 (R) \ (R).
ãáâì
qV

s q

D

Q

s

q

D

s q

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C D;

D

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s

s

x

u q

q

s q

P

q

u

x

Q

S

C

S

Q

C

S

s

C

s

1{42

€. …. ƒã⬠­, „. . ï¡ª®

s 2 S (R)
2 s(q)
u 2 s#
u(q ) = x
C ãáâì s ­¥¯à¥à뢭®, q 2 Q ¨ x 2 s(q). ®«®¦¨¬ xq = x ¨ ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨
p 2 Qnfq g ¢ë¡¥à¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â xp 2 s(p). „«ï ª ¦¤®© â®çª¨ p 2 Q ­ ©¤ãâáï ¬­®¦¥á⢮ Pp 2 Clop(p) ¨ á¥ç¥­¨¥ up 2 sjP # â ª¨¥, çâ® up (p) = xp . Œ­®¦¥á⢮
fPp : p 2 Qg ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ ª®¬¯ ªâ  Q. ˆ§ í⮣® ¯®ªàëâ¨ï
¢ë¡¥à¥¬ ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥ fPp1 ; : : : ; Pp g, ª®â®à®¥, 㬥­ì訢 ¯à¨ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¥£® í«¥¬¥­âë, ¯à¥¢à â¨¬ ¢ à §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë fPp0 1 ; : : : ; Pp0 g ¢  «£¥¡à¥ Clop(Q).
Ž¯à¥¤¥«¨¬ á¥ç¥­¨¥ v 2 R# á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: u(p) = up (p) ¤«ï p 2 Pp0 , i = 1; : : : ; n.
Ÿá­®, çâ® v 2 s# ¨ v (q ) = x.
Ž¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. B
,
,
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® s 2 C (R) ¯®«®¦¨¬ s # = fu : u 2 s#g. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® s # 
‹¥¬¬  4. ‚­¥è­¥¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮

ª®£¤  ¤«ï «î¡ëå

q

2Q

¨

x

­¥¯à¥à뢭® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,

­ ©¤¥âáï á¥ç¥­¨¥

â ª®¥, çâ®

.

p

n

n

i

i

C1 (Q) ¯® ⥮६¥ 1.


„«ï s
C ( ) ®¡®§­ ç¨¬ ¬­®¦¥á⢮ q
Q : s(q ) = q 0
ᨬ¢®«®¬ s = 0 ,  
¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ | ᨬ¢®«®¬ s = 0 . €­ «®£¨ç­® ®¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ s
o ¬­®¦¥á⢮
q Q : s(q ) o(q R ) ,   ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ | ç¥à¥§ s o . ‡ ¬¥â¨¬, çâ®

2 R

f 2



2

f 6 g

g

f g

f 6 g

f  g

f

g

fs 6= 0g = fq 2 Q : u(q) 6= q 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® u 2 s#g;
fs 6 og = fq 2 Q : u(q) 6= 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® u 2 s#g:
fs 6= 0g
C ãáâì q 2 fs 6= 0g.  áᬮâਬ á¥ç¥­¨¥ u 2 s#, ¤«ï ª®â®à®£® u(q) 6= q 0. ’®£¤ 
®âªàëâ ï ®ªà¥áâ­®áâì ku 6= 0^ k â®çª¨ q ï¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ fs =
6 0g. B
‹¥¬¬  6.
s 2 C (R)
fs 6 og
fs 6= 0g
C ‘­ ç «  ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ fs 6 og ®âªàëâ®. ãáâì q 2 fs 6 og.  áᬮâਬ á¥ç¥­¨¥ u 2 s#, ¤«ï ª®â®à®£® u(q ) =
6 0 ¨ ç¨á«® " 2 R â ª®¥, çâ® ju(q)j > q ".
^
’®£¤  ¬­®¦¥á⢮ kjuj > " k ï¥âáï ®âªàë⮩ ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ q , ᮤ¥à¦ é¥©áï
¢ fs 6 og.
„ «¥¥, ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ fs 6 og ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ fs =
6 0g. ãáâì íâ® ­¥
¢¥à­®, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯ãá⮥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ P  fs =
6 0gnfs 6 og. ‹î¡®¥
á¥ç¥­¨¥ u 2 s# ¯à¨­¨¬ ¥â ­  ¬­®¦¥á⢥ P ⮫쪮 ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¥ §­ ç¥­¨ï. ˆá¯®«ì§ãï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 1 ¨ «¥¬¬ã 3, «¥£ª® ãáâ ­®¢¨âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® á¥ç¥­¨ï u 2 R#
¬­®¦¥á⢮ W = fq 2 Q : u(q ) =
6 0 ¨ u(q) = 0g § ¬ª­ãâ® ¨ ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­® ¢ Q. ‘
¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï ­¥ª®â®à®© (¨ ¤ ¦¥ ¤«ï «î¡®©) â®çª¨ q 2 P ­ ©¤¥âáï á¥ç¥­¨¥
u 2 s# â ª®¥, çâ® u(q ) =
6 0. ’®£¤  ­¥¯ãá⮥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ fp 2 P : u(p) =6 0g
ᮤ¥à¦¨âáï ¢ W , çâ® ­¥¢®§¬®¦­®. B
Œ­®¦¥á⢮ á¥ç¥­¨© U  C (Q; Q V ) ­ §®¢¥¬ ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ ®­® § ‹¥¬¬  5. „«ï «î¡®£®

s

2 C (R)

¬­®¦¥á⢮

„«ï «î¡®£®

®âªàëâ®.

¬­®¦¥á⢮

®âªàëâ® ¨ ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢

.

¬ª­ãâ® ®â­®á¨â¥«ì­® ª®­¥ç­ëå ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨©.
à¥¤«®¦¥­¨¥
¢®

á¥ç¥­¨©,

3.

u1 ; : : : ; uk

'(t; t1 ; : : : ; tk )

ãáâì

2

U



C (Q; Q V ), P

C (Q; Q V )
|

|

­¥¯ãá⮥

ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª®¥
§ ¬ª­ã⮥

¬­®¦¥áâ-

¯®¤¬­®¦¥á⢮

Q

| ¯à®¨§¢®«ì­ ï ä®à¬ã«  ⥮ਨ ¬­®¦¥áâ¢. …᫨ ¢¥à­® ã⢥ত¥­¨¥

,

8p 2 P 9u 2 U p V j= '



u(p); u1 (p); : : : ; uk (p) ;

¨

1{43

”㭪樮­ «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç 

â®

,


9u 2 U 8p 2 P p V j= ' u(p); u1 (p); : : : ; uk (p) :

C „«ï ª ¦¤®©
â®çª¨ p 2 P ®¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ up ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â U , ¤«ï
p V j= ',up (p); u1 (p); : : : ; uk (p)
. Œ­®¦¥á⢮

ª®â®à®£®



,

Qp = k' up ; u1 ; : : : ; uk )k : p 2 P



P . ‚롥६ ¨§ ­¥£® ª®­¥ç­®¥ ¯®¤Qp1 ; : : : ; Qpn , n 2 N , ¨ ¯®«®¦¨¬ vi = upi , i = 1; : : : ; n. ® ¯à¨­æ¨¯ã ¨áç¥à¯ë¢ ­¨ï ­ ©¤¥âáï â ª®¥ ¤¨§ê⭮¥ ®âªàëâ®-§ ¬ª­ã⮥ ¯®ªàë⨥ Q01 ; : : : ; Q0n ª®¬¯ ªâ 
S
P , çâ® Q0i  Qpi ¤«ï ¢á¥å i = 1; : : : ; n. ®«®¦¨¬ Q00 = Qn ni=1 Q0i ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ á¥ç¥­¨¥ v0 2 U . Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ u ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥ á¥ç¥­¨© vi á ¢¥á ¬¨ Q0i ,
i = 0; : : : ; n. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ U ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª®¥, á¥ç¥­¨¥ u ¯à¨­ ¤«¥¦¨â U ¨
ï¥âáï ®âªàëâ®-§ ¬ª­ãâë¬ ¯®ªàë⨥¬ ª®¬¯ ªâ 

¯®ªàë⨥

ï¥âáï ¨áª®¬ë¬.

B

‘«¥¤á⢨¥ 2. ãáâì

u1 ; : : : ; uk

2 C (Q; Q V ) P
,

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 C1(Q)

| ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª®¥ ¬­®¦¥á⢮ ä㭪権,

| ­¥¯ãá⮥ § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮

Q

¨

'(t; t1 ; : : : ; tk )

|

¯à®¨§¢®«ì­ ï ä®à¬ã«  ⥮ਨ ¬­®¦¥áâ¢. …᫨ ¢¥à­® ã⢥ত¥­¨¥

,




8p 2 P 9e 2 E p V j= ' e(p); u1 (p); : : : ; uk (p) ;
â®

,


9e 2 E 8p 2 P p V j= ' e(p); u1 (p); : : : ; uk (p) :

E  C1 (Q) ï¥âáï ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª¨¬ ⮣¤  ¨ ⮫ì,
E = s# ¤«ï ­¥ª®â®à®£® s 2 C (R).
C Žç¥¢¨¤­®, ¤«ï «î¡®£® s 2 C (R) ¬­®¦¥á⢮ s,# ï¥âáï ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª¨¬.
ãáâì ⥯¥àì ¬­®¦¥á⢮ E  C1 (Q) ï¥âáï ª®­¥ç­®-横«¨ç¥áª¨¬. „«ï ª ¦¤®©
â®çª¨ q 2 Q ¯®«®¦¨¬ s(q ) = fe(q ) : e 2 E g. Žç¥¢¨¤­®, çâ® s 2 C (R). Šà®¬¥ ⮣®,
’¥®à¥¬  2. Œ­®¦¥á⢮

ª® ⮣¤ , ª®£¤ 

s# = fu 2 R# : 8q 2 Q u(q) 2 s(q)g

= fu 2 R# : 8q 2 Q 9e 2 E u(q ) = e(q )g

= fu 2 R# : 9e 2 E 8q 2 Q u(q ) = e(q )g

= fu 2 R# : 9e 2 E u = eg

= f e : e 2 E g;
â. ¥.

(¯® á«¥¤á⢨î 2)

,

s# = E . B

E  C1 (Q) ­¥¯à¥à뢭®¥
s 2 C (R), 䨣ãà¨àãî饥 ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë 2, ¥¤¨­á⢥­­®. “á«®¢¨¬áï ®¡®§­ ç âì íâ® ¢­¥è­¥¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ᨬ¢®«®¬ E ". Žç¥¢¨¤­®, ¤«ï
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