BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Fungsi dan Grafik Fungsi 1
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
2.1 Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Barisan dan Deret
2.4 Irisan Kerucut
2.1 Fungsi
Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai
4
3 V r
contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat
3 2 2
( x , y ) x y
1
kedudukan titik-titik yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah . Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi 2 2
x
1 dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi y disebut relasi dari X ke Y.
Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R A B .
A B a
1 b
1 b
2 a
2 b
3 a
3 b
4 Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B B
A y x
Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:
( a , b ) R atau aRb atau b R ( a )
Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang
r
V
mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh
x
1 , 1 ]
x
1 , 1 ] [
[ yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.
A x Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan
B y tepat satu maka R disebut fungsi dari A ke B.
B A y x
Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga
R (a ) b .
X 1 , 2 dan Y 3 ,
6 ( 1 , 3 ), ( 2 , 3 )
Sebagai contoh, misalkan . Himpunan merupakan
fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan
( 1 , 6 ), ( 2 , 3 ) ( 1 , 3 ), ( 1 , 6 ), ( 2 , 3 )
merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan bukan
merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.
Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A B
Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi
D , dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di
fdalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:
D x : f ( x ) ada ( terdefinis ikan )
R
f
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
R f fungsi f, ditulis atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).
A B
● ●
Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y
● ●
merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x). ●
R
A B f
f Gambar 2.1.2 x y Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B.
Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya.
1 x
1
2 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ln( x x
6 )
b.
c.
2 x
a.
2
x
5
x
1 Penyelesaian:
a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,
1
D x : terdefinis ikan x : x
2 { 2 }
f R R R x
2
b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: x x
D x : ada x :
f R R
2
2 x
1 x
1
x :
1 x atau x 1 ( 1 , ] ( 1 , ). R c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:
2 x x x x x x f .
1
3
2
2
x x x x x f
c.
2
1 ( .
2 ( 3 ) 2 (
12 3 ) 2 ( 1 )
12
1
) 2 (
b.
2 f .
1 ) 1 .( 3 )
d.
1 ) 1 ( 1 .( 3 )
(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).
3 A B
2
● b
1
● b
4●
● b
3● a
a 1● a 2● a
Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan BB A f : .
) ( ( 1 ) .
Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi
.█
2 x x x x x x x x x x x x f
2
2
6 ( 3 ) .( 1 ) ( 3 )
1 (
2 )
1 :
2
2
2
5
) ada 6 ln(
1 :
5
5 : ) ada 6 ln( dan ada
2 ( dan 5 : ) 6 ( dan
5 : ) 3 atau
) 3 dan 5 : atau 2 dan
Penyelesaian: a.
, maka tentukan: a.
) ( x x f
d.
) 1 ( x f
2 ( x f c.
)
1 ( f b.
)
2 x x x f
) 1 ( ( 3 )
( 5 , .█ Contoh 2.1.3 Jika
) , ) 3 ( ) 5 ( 2 ,
=
R R R R R R
D x f
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).
5 a
A B (iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau
●
●
b
1
●
b
2
● b
3
● b
4
● b
1● a 2● a 3● a
3
4●
● b
1
●
b
2
●
b
3
●
b
4 Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.
A B
korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
1 ● a 2 ● a
2.1.2 Operasi Pada Fungsi
) ( asalkan , ) ( ) ( ) )( (
) ( ) )( ( x f x f ) ( ). ( ) )( . ( x g x f x g f
) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f ) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f
masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
g f
, dan hasil bagi
, hasil kali g f .
f
, hasil kali skalar
g f
, selisih
g f
Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan
x g x g x f x g f a Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk
g f
, g f .
x
x
x g f x x x g f x x x g f x x x g fKarena }
) 5 { dan , 1 [
R g f
D D
, maka
g
f ,
g f
, dan
5
g f
masing-masing mempunyai domain:
) ,
1 [ .█
Diberikan fungsi
Y X f :
. Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● f A B
Gambar 2.1.7
1 ( 1 )
1 ( 1 )
,
maka tentukan:
) ( :
D x g D x D g f g f .
Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing:
( 1 )
x x f
5
1 ) (
x
x gg f
5
,
g f
, g f .
, dan
g f beserta domainnya.
Penyelesaian:
5
1 ) (
5
1 . ( 1 ) .
2.1.3 Fungsi Invers
f :
X Y
Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga 1
f
merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.
f
X Y
● y
x ●
Jadi:
1 D R dan R D 1 1 f f 1 x f ( y ) y f ( x ) f f
dengan f
Gambar 2.1.8 x
1 1
f ( x )
1
f Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .
3 x
2 Penyelesaian:
x
1
y f ( x )
1 3 x
2
x
1
1 y 3 x
2
( 1 y )( 3 x
2 ) x
1 3 x 3 xy 2 y 2 x
1 2 x 3 xy 2 y
3 2 y
3
1 x f ( y )
2 3 y
2 x
3
1 f ( x )
Jadi, .█
2 3 x
Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:
) (
u u f y ) (
. Apabila didefinisikan
1 2 x y
Perhatikan fungsi
.█
1 x x x x x x x f
1 1 jika jika
( 1 )
1 jika
Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:
y y f y
y
y xdan
2 x x g u
1
)) ( ( ) ( x g f x h . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g, ditulis g f .
D x g D x D ) ( : .
dengan domain f g g f
,
)) ( ( ) ( x g f x g f
, didefinisikan sebagai:
Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis g f
dan diperoleh fungsi baru
maka dengan substitusi diperoleh
) (x g
) ( maka f dapat dikerjakan pada
f D x g
. Apabila
D x
, yaitu rumus fungsi yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang g
( 1 )) ( ) ( 2
x x g f u f y1
1
x
x
(ii). Untuk
1
y y f y x
) (
. Sehingga:
) ( x x f y
,
( 1 ) f
Penyelesaian: (i). Untuk
x x x x x x f
) (
1 jika 1 jika
1
jika
,
. Sehingga, diperoleh:
1
1 ) (
( 1 )
atau:
x x f y
1
) 1 (
1
1
1
,
x
(iii).Untuk
1 f .
2.1.4 Fungsi Komposisi
2 f g Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya. g g f g g f f f a.
b.
c.
d.
Penyelesaian: x ● ● ●
2 D f g f g ( x ) f ( g ( x )) f ( x 1 ) ( x
1 ) R
a. , dengan domain .
2
2 D
g f ( x ) g ( f ( x )) g ( x ) x 1 g f R b. , dengan domain . g f
2
4 D f f R f f ( x ) f ( f ( x )) f ( x ) x c. , dengan domain .
D g g g g ( x ) g ( g ( x )) g ( x 1 ) ( x 1 ) 1 x
2 R
d. , dengan domain .█
Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi2
2
f ( x ) 1 x g ( x ) 2 x
Contoh 2.1.8 Jika dan maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta
domainnya. f g g f a.b.
Penyelesaian: 2 2 2 4
a. f g ( x ) f ( g ( x )) f (
2 x ) 1 ( 2 x ) 1 4 x , dengan domain:
2 D x D : g ( x ) D x :
1 2 x
1
f g g f R .
2
1
1
x : x
1 2 x : 2 x
2 R R
2
2 2 2
g f ( x ) g ( f ( x )) g ( 1 x ) 2 ( 1 x )
b. , dengan domain:
D x D : f ( x ) D x R :
1 x
1
g f f g .█
f g Contoh 2.1.9 Tentukan jika diketahui: x
jika x 1 1 x jika x
x
1
f ( x ) g ( x )
1 x jika x
2 x 1 jika x
1
Penyelesaian: x x
1
1
1
x
1 g ( x )
1
1
(i). Untuk , . Sehingga:
x
1 x 1 x
1
x
( f g )( x ) f ( g ( x )) 1 g ( x )
1
x
1
x
1 g ( x )
2
1 2 .
1
1 1 g ( x )
1
(ii).Untuk , x . Karena , maka dapat dibedakan menjadi
g ( x ) 1 g ( x ) dan . Selanjutnya,
2 x
1
1
1
2 x
1
1 2 x
1 g ( x ) 1
(a). apabila atau . Hal ini berakibat, untuk ,
( f g )( x ) f ( g ( x )) 1 g ( x ) 1 (
2 x
1 ) 2 x x1 2 x
1
2 g ( x )
2 x 1
(b). apabila atau . Jadi, untuk diperoleh:
( f g )( x ) f ( g ( x )) 1 g ( x ) 1 (
2 x
1 )Dari (i) dan (ii), diperoleh:
x 1 jika x
1 x
1
2 x jika
1 2 x
1 ( f g )( x )
1 jika x
1
2 2 x
1
2.2 Grafik Fungsi
( x , y ) : y f ( x ), x D
f Diberikan fungsi f. Himpunan disebut grafik fungsi f.
2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi: (a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:
2
2
3
3 x x ( x 1 )
f ( x )
2 x
1 merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.
Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar meliputi : (1). Fungsi rasional :
a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak) b. Fungsi pecah. (2). Fungsi irasional.
Fungsi Suku Banyak
Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan
n
f(x) = P (x) = a + a x + . . . + a x
n 1 ndengan n bilangan bulat tak negatif , a , . . . , a bilangan-bilangan real dan a 1 n n 0.
f ( x ) c (a). Fungsi konstan: .
Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X.
Y
3
f(x) = 3 f(x) = a a
X f(x) = 1
1
Gambar 2.2.1
(b). Fungsi linear: f(x)= mx + n
( , n ) Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
y = x + 2 y = x 2 y = x 3
3 2
3 y = x
Gambar 2.2.2
2 f ( x ) ax bx c , a (c). Fungsi kuadrat: .
2 D b 4 ac
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: . Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut: Perhatikan pula gambar berikut ini.
D>0 a<0 D>0 a>0
(a) (b)
D=0 a<0 (c)
(d) D=0 a>0
D<0 a<0 D<0 a>0
(d). Fungsi kubik:
y = x
4 Gambar 2.2.4
1
1
3 X
3 y = (x1)
2 Y y = x
2 y = ¼ x
2 y = 4x – x
2
, ) (
X
Fungsi Pecah Y
3
a a x a x a x a x f
.3
2
2
1
3
Gambar 2.2.5 Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
n a a x ... a x
1 n f ( x )
m b b x ... b x
1 m
disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti: 1 x dan f ( x )
f(x) = x x
1 diperlihatkan dalam gambar berikut.
x y = x
1
y = 1 y = 1/x
x = 1
Gambar 2.2.6 Fungsi Irasional Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.
x y Fungsi Transenden
Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi (a) Logaritma. (a). Fungsi trigonometri Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.
a
2 y a x
a a a a
2 Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut: sin = y/r cos = x/r tan = y/x cot = x/y sec = r/x csc = r/y
Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut: tan =
= sec
Q
x
r y
P(x,y)
Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).
2
= csc
2
1 + cos
2
2
= 1 1 + tan
2
+ cos
2
1 dan: sin
1 , csc cos
sin
sec =
, cos cos sin
sin cos
Gambar 2.2.8 Oleh karena itu, 2 radian = 360
o
atau 1 radian =
180 derajat.
Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11): Untuk – x 2, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = /4 dan x = 5/4.
r
r P O QGambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radianGambar 2.2.10 (b) Grafikx y cos Gambar 2.2.10 (a) Grafik
x y sin
y tan x
Gambar 2.2.11 (a) Grafiky cot x
Gambar 2.2.11 (b) Grafiky sec x y csc x
Gambar 2.2.11 (c) Grafik
Gambar 2.2.11 (d) Grafik(b). Fungsi Siklometri Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi 1 trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin atau arcsin dan didefinisikan sebagai berikut: