Analisis Model Metapopulasi pada Transmi

SKRIPSI

Disusun untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika

Oleh

Riad Taufik Lazwardi 207700255

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG 2013

HALAMAN PENGESAHAN ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (HAV)

(Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Oleh

Riad Taufik Lazwardi 207700255

Menyetujui,

Pembimbing I, Pembimbing II,

Diny Zulkarnaen, M.Si. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T. NIP.198212132011011008

NIP.197301122000032001

Lulus diuji tanggal 1 Maret 2013

Penguji I Penguji II

Asep Solih Awalluddin, M.Si. Siti Julaeha, M.Si. NIP.197611212009121004

NIP.198301202006042002

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Ketua Jurusan Matematika,

Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., M.P. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T. NIP.195404241985031004

NIP.197301122000032001

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Riad Taufik Lazwardi NIM

: 207700255 Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika Judul Penelitian : ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI

VIRUS HEPATITIS A (HAV) (Studi Kasus di Jawa Barat, : Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terda- pat unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur penjiplak- an, saya bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang berlaku.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Bandung, 1 Maret 2013

Riad Taufik Lazwardi NIM.207700255

Analisis Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Riad Taufik Lazwardi

Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung A.H.Nasution 105, Cibiru, Bandung 40164 Indonesia

Abstrak

Indonesia merupakan negara endemik hepatitis peringkat ketiga sedunia. Hepatitis merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus, diantaranya virus hepatitis A (HAV). Salah satu model matematika yang menganalisa pe- nyakit ini adalah model yang dibuat oleh Marco Ajelli. Dia membuat model metapopulasi pada transmisi virus hepatitis A (HAV) yang diterapkan di negara Italia. Hasil yang diperoleh adalah proses vaksinasi yang dilakukan di salah satu negara bagian yaitu Puglia dapat mengurangi secara signifikan jumlah penderita di negara tersebut. Skripsi ini mengajukan sebuah model yang dapat diterapkan di Indonesia khususnya di Jawa Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur dan menga- nalisanya. Simulasi dilakukan untuk mengetahui pengaruh mobilitas spatial dan pengaruh program vaksinasi yang dilakukan pada satu wilayah terhadap wilayah yang lain sehingga dapat diperoleh wilayah yang paling optimal untuk diberikan program vaksinasi secara massal. Dari hasil simulasi yang dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur diperoleh kesimpulan bahwa program vaksinasi yang dilakukan di Jawa Timur akan secara optimal mengurangi jumlah penderita hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

Kata Kunci: Model metapopulasi, HAV, Matriks kontak spasial, Titik equ- ilibrium, Kestabilan, Vaksinasi.

A nalysis of a Metapopulation Model of Viral Hepatitis A ¯

in Jawa Barat, Jawa Tengah and Jawa Timur

Riad Taufik Lazwardi

Department of Mathematics, Sunan Gunung Djati State Islamic University 105 Jl. A.H.Nasution, Cibiru, Bandung 40164 Indonesia

Abstract

Indonesia is a 3 rd endemic hepatitis country. Hepatitis is infectious disease caused by virus, such as hepatitis A virus (HAV). One of the mathematic model

analyze this disease is model proposed by Marco Ajelli. He proposed metapopu- lation model of viral hepatitis A (HAV) transmission in Italy. The result suggest that the mass vaccination program introduced in Puglia could have played a role in the decline of HAV incidence in a whole Italy. In this study, a metapopulation model for hepatitis A virus (HAV) transmission in Indonesia especially in Jawa Barat, Jawa Tengah and Jawa Timur is proposed and analyzed. Simulation is done to know effects a vaccination program adopted in a single region on the others. The most effective vaccination program on one region to decline whole region in Indonesia is the aim of this study. The result applied in Jawa Barat, Jawa Tengah, and Jawa Timur suggest that vaccination program introduced in Jawa Timur is the most effective to decline HAV incidence in Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

Keyword: Metapopulation model, HAV, Spatial contact matrix, Equilibria, Stability, Vaccination.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbila’lamin wabihinastai’n wa a’la umuriddunnya waddin washolatu wasalamu a’la asrofilanbiyai walmursalin waa’la alihi washohbihi ajmai’n amma ba’du. Segala puji hanya milik Allah SWT, tiada daya upaya dan kekuat- an kecuali dari Allah SWT begitu juga dengan terselesaikannya skripsi ini tidak lain adalah karena karunia-Nya.

Tentunya banyak berbagai pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Orang tua adalah pihak yang paling mendukung, memberikan sema- ngat, materi dan do’a. Selain itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., M.P., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si. dan Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T., selaku pembimbing I dan II.

4. Staf pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di Matematika Sains, terimakasih atas ilmu yang bapak ibu sampaikan.

Penulis juga mengucapkan banyak terima kasih kepada semua civitas akade- mika UIN SGD BDG yang telah memberikan ilmunya. Mudah-mudahan ilmunya dapat bermanfaat. Tidak lupa kepada teman-teman yang tidak saya sebutkan satu persatu, kalian adalah sahabat terbaik saya.

Jazakumullohu khoiron katsiro. Bandung, 1 Maret 2013

Penulis

Daftar Isi

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 BAB II LANDASAN TEORI

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Persamaan Diferensial Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Sistem Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Titik Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Pelinieran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Model Metapopulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Spatial Contact Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Basic Reproduction Ratio ......................

2.9 Metode Numerik Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.10 Metode Numerik Adams-Bashforth-Moulton . . . . . . . . . . . . 11

2.11 Model SIR Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 BAB III ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANS-

MISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

3.1 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV . . . . . . . . . . 13

3.2 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV dengan Studi Ka- sus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur . . . . . . . . . 14

3.3 Spatial Contact Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1 Titik Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 BAB IV SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA TRANS-

MISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

4.1 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur . . . . . . . . 21

4.1.1 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Barat . . . . . . . . 23

4.1.2 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Tengah . . . . . . . 23

4.1.3 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Timur . . . . . . . . 25

4.2 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur setelah dilakukan Vaksinasi ............................... 25

4.2.1 Vaksinasi dilakukan di Jawa Barat . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3 Vaksinasi dilakukan di Jawa Timur . . . . . . . . . . . . . 30 BAB V PENUTUP

32

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 DAFTAR PUSTAKA

34 DAFTAR RIWAYAT HIDUP

35 LAMPIRAN

36

Daftar Gambar

2.6.1 Pola metapopulasi sederhana yang terdiri dari 3 populasi dengan jenis yang sama dan saling berinteraksi . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Peta Pulau Jawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.2 Ilustrasi Transmisi HAV di Pulau Jawa .............. 21

4.1.3 Dinamika model metapopulasi di Jawa Barat terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.4 Dinamika model metapopulasi di Jawa Tengah terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.5 Dinamika model metapopulasi di Jawa Timur terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.4 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.5 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.6 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur ...................... 29

4.2.7 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.8 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur ...................... 31

4.2.9 Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur ...................... 31

Daftar Tabel

2.1 Hasil Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Nilai i ∗ j ................................. 19

3.2 Nilai i ∗

k ,r ∗ k ,a k ............................. 19

4.1 Nilai parameter yang digunakan saat simulasi . . . . . . . . . . . 22

4.2 Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah 30

5.1 Persentase Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

DAFTAR SINGKATAN

HAV

: Hepatitis A Virus

Riskesdas

: Riset Kesehatan Dasar

BKKBN : Badan Koordinasi Keluarga Berencana Nasional PDB

: Produk Domestik Bruto

DFE

: Disease Free Equilibrium

DAFTAR ISTILAH

Prevalensi : Rata-rata penyebaran Metapopulasi

: Populasi yang terdiri dari kelompok populasi yang secara spasial terpisah dari jenis yang sama (Richard Levins)

Transient behavior : suatu tipikal kelakuan sistem yang tergantung pada kon-

disi awal

Spasial : Ruang, lokasi, posisi, wilayah Mobilitas

: Perpindahan posisi seseorang atau sekelompok orang dari wilayah yang satu ke wilayah yang lain

DAFTAR NOTASI

S : Susceptible, manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A

I : Infectious, manusia yang terkena penyakit hepatitis A R

: Removed, manusia yang sembuh (imun) dari penyakit hepatitis A

A : Virus λ

: Kecepatan penularan β

: Transmission probability per contact µ

: Laju kematian

b : Laju kelahiran γ

: Rata-rata waktu penularan δ

: Rata-rata waktu bertahan hidup virus HAV di lingkungan

Λ : Kecepatan penularan

V k c : Vaksinasi setelah kelahiran

: Vaksinasi pada umur 12 tahun

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN A : Data Endemik Hepatitis A di Indonesia Riskesdas 2007 LAMPIRAN B

: Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Barat

LAMPIRAN C : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Tengah

LAMPIRAN D : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Timur

LAMPIRAN E : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN F : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN G : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

LAMPIRAN H : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN I : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN J : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

LAMPIRAN K : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

LAMPIRAN L : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi

Virus HAV di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

LAMPIRAN M : Syntax dan Hasil Simulasi Model Metapopulasi Transmisi Virus HAV di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Hepatitis A adalah sebuah penyakit infeksi pada liver yang biasanya dise- babkan oleh virus hepatitis A (HAV). Virus ini bisa menyebar dari manusia ke manusia dengan oral-fecal route, memakan makanan yang terkontaminasi HAV, dan menggunakan drugs yang disuntikan ke dalam pembuluh darah dari pende- rita HAV. Hepatitis A adalah salah satu penyakit infeksi yang sering muncul di muka bumi, baik di negara berkembang atau pada negara maju.

Di negara maju, dua sumber utama pada infeksi HAV adalah dari kontak langsung antara individu-individu dan konsumsi langsung pada makanan atau minuman yang terkontaminasi. Di negara Italia, makanan laut adalah sumber utama pada infeksi HAV.

Di negara berkembang, khususnya di Indonesia hepatitis terdeteksi di selu- ruh provinsi dengan prevalensi sebesar 0,6 % rentang (0,2 % - 1,9 %). Tiga belas provinsi mempunyai tingkat prevalensi di atas normal, tertinggi Sulawesi Tengah dan Nusa Tenggara Timur. Kasus hepatitis ini umumnya terdeteksi berdasarkan gejala klinis kecuali Provinsi Jawa Timur, Sumatra Selatan, Kalimantan Tengah dan Sulawesi Utara berdasarkan diagnosis oleh tenaga kesehatan. Prevalensi he- patitis klinis paling tinggi terdeteksi pada umur ≥ 55 tahun, hampir lebih tinggi di pedesaan daripada perkotaan dan cenderung tinggi pada pendidikan rendah. Prevalensi hepatitis klinis merata di semua tingkat pengeluaran rumah tangga per kapita. Adapun proporsi penyebab kematian pada golongan semua umur dari ke- lompok penyakit menular, penyakit hati (termasuk Hepatitis kronik) menduduki urutan ke-2 [7].

Terdapat vaksin yang efektif untuk penyakit hepatitis A dan banyak negara merekomendasikan pemberian vaksin pada anak kecil (contoh Amerika). Namun, Indonesia belum melakukan imunisasi rutin untuk hepatitis A.

Oleh karena itu, banyak model matematika pada masalah HAV dibuat un- tuk mengevaluasi keefektifan berbagai strategi pengontrolan. Dalam paper Spati- otemporal Dynamics of Viral Hepatitis A in Italy, dari model metapopulasi yang dibuat dapat diperoleh bahwa program vaksinasi penyakit hepatitis A yang dila- kukan di daerah Puglia (Italia) dapat dengan baik mengurangi jumlah penderita di wilayah lain secara optimal dalam suatu periode.

Proposal skripsi ini terfokus pada model metapopulasi yang bisa diterapkan di Indonesia khususnya di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur kemudi- an menganalisa perilaku perpindahan virus HAV dari manusia ke manusia dan dari makanan yang terkontaminasi kepada manusia. Tujuan utamanya adalah menentukan wilayah yang harus dilakukan program vaksinasi di satu wilayah te- tapi dapat mengurangi penderita secara optimal. Model matematika yang dibu- at diharapkan dapat memberikan manfaat khususnya kepada pemerintah dalam memberikan kebijakan penentuan wilayah yang harus diberikan program vaksi- nasi penyakit hepatitis A.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam skripsi ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Bagaimana memodelkan penyakit menular hepatitis A dengan model me- tapopulasi ?

2. Bagaimana analisis model metapopulasinya ?

3. Bagaimana hasil simulasi modelnya ?

1.3 Batasan Masalah

Skripsi ini menelaah model metapopulasi pada transmisi virus hepatitis A (HAV) di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur. Batasan masalah dalam skripsi ini dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Model ini terdiri dari manusia yang rentan ( susceptible S(t)), manusia yang terinfeksi (infectious I(t)), manusia yang sembuh (removed R(t)), dan virus hepatitis A (A(t)).

2. Penyebaran virus (HAV) melalui makanan dan kontak manusia (feces rou- te).

3. Suatu wilayah dapat terkontaminasi oleh penderita (manusia yang terinfek- si) wilayah lain yang tinggal sementara pada wilayah tersebut.

4. Rata-rata bertahan hidup virus HAV di setiap wilayah mempunyai nilai yang sama begitu pun dengan laju kematian individu, rata-rata waktu pe- nularan virus HAV dan laju kelahiran individu.

5. Simulasi model metapopulasi dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur.

6. Program vaksinasi dilakukan di satu wilayah.

7. Analisis yang dilakukan pada model metapopulasi ini adalah analisis titik equilibrium, teorema dan pengaruh program vaksinasi pada suatu wilayah terhadap wilayah lainnya untuk mengurangi jumlah penderita hepatitis A.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan penelitian dari skripsi ini adalah:

1. Menjelaskan secara rinci tentang model metapopulasi pada transmisi virus HAV.

2. Menganalisis model metapopulasi pada transmisi virus HAV.

3. Melakukan simulasi untuk mengetahui dinamika S(t), I(t), R(t), A(t).

Manfaatnya adalah mengetahui perilaku sistem dari model metapopulasi yang dibuat dan memberikan kemudahan kepada pemerintah dalam menentukan daerah yang harus diberikan program vaksinasi.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini adalah tinjauan pustaka dan simulasi. Simulasi meng- gunakan metode multistep Adams-Basforth-Moulton dengan menggunakan sof- tware MATLAB. Data yang digunakan dalam simulasi adalah data sekunder yang diperoleh dari Riset Kesehatan Dasar 2007, BKKBN, Data Statistik Indonesia , Komisi Pemilihan Umum Jawa Barat, dan beberapa jurnal, diantaranya: (Ajelli, 2009), (CDC 2007, Stapleton dan Lemon, 1994),(Abad et al., 1994; Biziagos et al., 1998; Mbithi et al., 1991; Ajelli et al., 2008), (Lopalco et al., 2005., Ajelli et al., 2008).

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari 5 bab. Dengan rincian sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN Bab ini terdiri dari Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Tujuan dan Manfaat Penelitian, Metodologi Pe- nelitian dan Sistematika Penulisan.

BAB II : LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan materi Persamaan Diferensial Biasa, Sis- tem Persamaan Diferensial, Titik Equilibrium, Pelinearan, Kestabi- lan Model Metapopulasi, Spatial Contact Matrix, Basic Reproduc- tion Ratio, Metode Numerik Adam Basforth-Moulton, dan Metode SIR klasik.

BAB III : ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur) Dalam bab ini akan dipaparkan Model Metapopulasi pada Trans-

misi Virus HAV, Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur, Titik Equilibrium, Basic Reproduction Ratio, Kestabilan.

BAB IV : SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A (Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa

Timur) Dalam bab ini akan dipaparkan hasil simulasi dari model metapopu-

lasi pada transmisi virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Ja- wa Timur berdasarkan data Riskesdas 2007 dan perbandingan prog- ram vaksinasi yang dilakukan di setiap wilayah.

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN Dalam bab ini dipaparkan kesimpulan hasil analisis dan simulasi ser-

ta saran untuk pengembangan penelitian yang lebih baik.

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang memuat x, y(x) beserta turunan-turunan dari y(x). Bentuk umumnya adalah :

F n (x, y, y ′ ,...,y )=0

Persamaan diferensial biasa dikatakan linier jika fungsi F linier terhadap y, y ′ ,...,y (n) , tetapi tidak perlu linier terhadap variabel x. Secara umum persa- maan diferensial biasa linier berbentuk :

a 0 (n) (x)y +a 1 (x)y (n−1) +...+a n (x)y = g(x) [8].

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial tersebut. Contoh persamaan diferensial orde 1 linier :

y ′ − cosx = 0

Contoh persamaan diferensial orde 3 tak linier :

y x ′′′ ′ + yy −e =0

Jika y = f (x) memenuhi persamaan diferensial, maka f (x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi persamaan diferensial tersebut. Solusi umum bisa menjadi solusi khusus dengan adanya informasi/syarat tambahan, disebut syarat awal/syarat batas.

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

Bentuk umum sistem persamaan diferensial dengan variabel bebas x 1 ,...,x n orde satu adalah :

  dx  1

 dt =f 1 (t, x 1 ,x 2 ,...,x n )

    dx 2 dt =f 2 (t, x 1 ,x 2 ,...,x n )

   ...     dx n

dt =f n (t, x 1 ,x 2 ,...,x n )

jika ruas kanan tidak bergantung pada t maka disebut sistem persamaan diferen- sial autonomous.

Adapun sistem persamaan diferensial terbagi dua yaitu linier dan tak linier. Jika di dalam sistem terdapat perkalian antara variabel bebasnya maka disebut sistem persamaaan diferensial tak linier. Jika di dalam sistem tidak terdapat perkalian antara variabel bebasnya maka disebut sistem persamaaan diferensial linier.

Contoh sistem persamaan diferensial autonomous linier :

  dx dt = −x + y  dy

dt = −x − y

Contoh sistem persamaan diferensial autonomous tak linier :

2.3 Titik Equilibrium

Misal terdapat sistem persamaan diferensial autonomous :

dx = f (x, y) dt

dy = g(x, y) dt

Titik (x, y) adalah titik equilibrium dari sistem persamaan diferensial autonomous

di atas ketika dy dt = 0 dan dt = 0.

dx dx

2.4 Pelinieran

Pelinieran adalah cara untuk menganalisis kestabilan sistem persamaan tak linier. Jika diketahui :

  dx 1   dt =f 1 (t, x 1 ,x 2 ,...,x n  )

   dx 2 dt =f 2 (t, x 1 ,x 2 ,...,x n )   ...

     dx n

dt =f n (t, x 1 ,x 2 ,...,x n )

maka hasil pelinierannya :

matriks di atas disebut matriks Jacobi. Contoh :

  dx dt = xy  dy dt =x 2

maka matriks jacobinya adalah

2x 0

Persamaan karakteristik adalah persamaan yang diperoleh dari

det |J − ξI| = 0

Contoh persamaan karakteristik dari matriks jacobi di atas adalah :

ξ 2 − yξ − 2x 2 =0

2.5 Kestabilan

Jenis kestabilan pada suatu titik ada 2 yaitu :

1. Stabil Suatu titik equilibrium dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karak-

teristiknya riil dan negatif. Stabil terbagi dua, stabil asimptot lokal dan global. Dikatakan stabil asimptot lokal jika solusi menuju satu titik untuk interval waktu tertentu sedangkan stabil global pada keseluruhan interval.

2. Tidak stabil Suatu titik equilibrium dikatakan tidak stabil jika akar-akar persamaan ka-

rakteristiknya riil dan terdapat akar positif.

2.6 Model Metapopulasi

Metapopulasi menurut Richard Levins adalah populasi dari populasi, ar- tinya populasi yang terdiri dari kelompok populasi yang secara spasial terpisah dari jenis yang sama. Istilah metapopulasi dipilih oleh Richard Levins pada ta- hun 1970 untuk menjelaskan sebuah model dinamika populasi dari serangga hama pada lahan pertanian, ide tersebut berkembang luas dan diterapkan pada habitat yang terfragmentasi secara alami maupun secara buatan.

Gambar 2.6.1: Pola metapopulasi sederhana yang terdiri dari 3 populasi dengan jenis yang sama dan saling berinteraksi

Dalam penelitian, metapopulasi biasanya memberikan gambaran yang lebih akurat mengenai keadaan suatu spesies bila dibandingkan model dengan satu atau beberapa spesies [10]. Model metapopulasi adalah model yang melibatkan banyak populasi. Model metapopulasi disebut juga compartment model atau model dengan populasi yang heterogen. Setiap populasi mempunyai individu- individu yang unik tetapi diasumsikan homogen. Misal terdapat model :

 S (t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + bN 

I ′ (t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t)     R ′ (t) = γI(t) − µR(t) I ′ (t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t)     R ′ (t) = γI(t) − µR(t)

 S ′ k (t) = −λ k (t)S(t) − µ k S k (t) + b k N k 

I k ′ (t) = λ k (t)S k (t) − (γ k +µ k )I k (t)     R ′ k (t) = γ k I k (t) − µ k R k (t)

2.7 Spatial Contact Matrix

Beberapa faktor penting dalam penyebaran penyakit menular adalah siapa bertemu siapa, dimana pertemuan itu berlangsung dan seberapa sering. Ketiga faktor ini terdapat pada model metapopulasi karena melibatkan mobilitas spatial dari individu di setiap populasinya sehingga memungkinkan manusia yang rentan di suatu wilayah terinfeksi oleh penderita di wlayah lain.

Kontak sangat dipengaruhi dari mobilitas individu. Pada perkembangannya mobilitas individu dibedakan antara mobilitas harian seperti pergi ke kantor, pasar, sekolah dan mobilitas bukan harian seperti pergi bertamasya.

Ada berbagai cara untuk memformulasikan kontak spatial ini. Salah satu- nya dengan melibatkan jumlah populasi, Produk Domestik Bruto (PDB) suatu wilayah dan jarak diantara kedu wilayah, yaitu:

c kj =θ ρ

d kj

dimana g k adalah PDB wilayah k, g j adalah PDB wilayah j, d kj adalah jarak an- tara wilayah k dan j, θ adalah jumlah semua commuter. τ d ,τ r ,ρ adalah parameter yag harus dioptimasi dengan data yang ada (pergerakan populasi keluar wilayah, pergerakan populasi masuk kedalam wilayah, jarak pergerakan antar wilayah).

2.8 Basic Reproduction Ratio

Di dalam pemodelan matematika terdapat parameter untuk mengetahui apakah suatu penyakit menular dapat menyebar atau tidak. Parameter tersebut adalah R 0 (Basic Reproduction Ratio) yaitu perkiraan jumlah kasus kedua yang dihasilkan oleh satu infectious yang masuk ke populasi. Jika R 0 < 1 maka penya- kit tidak akan menular atau menyebar, jika R 0 > 1 maka penyakit akan menular atau menyebar. Untuk mendefinisikan R 0 dari model metapopulasi (compartment model ) dapat diperoleh dari

0 −1 = ρ(F V )

[4].F, V adalah matriks. Entri (j,k) V −1 adalah rata-rata waktu individu berada di compartment j selama hidup. Entri (i,j) F adalah kecepatan penderita di compartment j menginfeksi individu yang rentan di compartment i.

Contoh terdapat model : 

   S ′ i = −λ i (t)S i − (d i +θ i )S i +σ i R i + (1 − p i )b i 

I i ′ = λ(t)S i − (d i +γ i +ǫ i )I i

deangan δ ij jika i = j maka

2.9 Metode Numerik Euler

Metode Euler adalah metode numerik untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa. Metode ini merupakan metode one step yang membutuhkan satu nilai awal. Solusi diaproksimasi dengan persamaan :

y i +1 =y i + h [f (t i ,y i )] t i = a + ih,

i = 1, . . . , n

dengan h = lebar langkah. Semakin kecil lebar langkah semakin bagus tingkat aproksimasi.

digunakan h = 0.25 dan a = 0 sehingga t i = ih dengan metode Euler diperoleh : digunakan h = 0.25 dan a = 0 sehingga t i = ih dengan metode Euler diperoleh :

y 2 =y 1 + h [f (t 1 ,y 1 )] = 1.125 + 0.25 [f (0.25, 1.125)]

y 3 =y 2 + h [f (t 2 ,y 2 )] = 1.2625 + 0.25 [f (0.5, 1.2656)] = 1.2625 + 0.25 [0.6328] = 1.4238

2.10 Metode Numerik Adams-Bashforth-Moulton

Metode Adams-Bashforth-Moulton merupakan metode numerik untuk men- cari solusi dari persamaan diferensial. Metode ini termasuk metode multistep yang terdiri dari predictor dan corrector, yaitu :

h y i +1 =y i +

[−9f (t i−3 ,y i−3 ) + 37f (t i−2 ,y i−2 ) − 59f (t i−1 ,y i−1 ) + 55f (t i ,y i )]

digunakan h = 0.25 dengan metode Euler diperoleh :

Tabel 2.1: Hasil Metode Euler

f (x i ,y i )

n-3 0

n-2 0,25 1,125

n-1 0,5

Selanjutnya iterasi dengan metode Adam Basforth Moulton

h y n +1 =y n + [55f n − 59f n−1 + 37f n−2 − 9f n−3 ]

0.25 =y n +

2.11 Model SIR Klasik

Model susceptible, infectious, reduced klasik yaitu :

 S (t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + bN 

I ′ (t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t)     R ′ (t) = γI(t) − µR(t)

dimana N (t) = S(t)+I(t)+R(t) adalah populasi total, terdiri dari susceptible (S), infectious (I) dan removed (R), µ adalah laju kematian dan b adalah laju kela-

hiran 1 γ adalah rata-rata waktu penularan dan λ adalah laju infeksi (transmisi virus). Dua sumber utama dalam infeksi HAV di Italia adalah dengan kontak lang- sung antara individu dan individu (feses) dan mengonsumsi makanan atau mi- numan yang terkontaminasi (kontak tidak langsung). Sehingga laju transmisi berasal dari dua sumber yaitu :

λ (t) = λ 1 (t) + λ 2 (t)

dimana λ 1 (t) dan λ 2 (t) adalah laju transmisi virus secara langsung dan tidak langsung.

BAB III ANALISIS MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A

(Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

3.1 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV

Pada jurnal Spatiotemporal Dynamic of Viral Hepatitis A in Italy, Marco Ajelli merubah b dari model SIR klasik menjadi µ) karena mengasumsikan tingkat kelahiran dan kematian di Italia hampir sama sehingga mengusulkan modelnya yaitu:

  (t) = −λ(t)S(t) − µS(t) + µN   

 I ′ (t) = λ(t)S(t) − (γ + µ)I(t)

   R ′ (t) = γI(t) − µR(t)

    A ′ (t) = δ[I(t) − A(t)]

dimana A adalah jumlah virus yang beredar di lingkungan. δ adalah rata- rata waktu bertahan hidup virus HAV di lingkungan, β adalah laju transmisi virus via kontak langsung dan ˜ β adalah laju transmisi virus via kontak tidak langsung.

Untuk membuat model metapopulasi, Marco Ajelli memperluas menjadi n kelas, dimana setiap kelas merepresentasikan wilayah. 

   S ′ k (t) = −Λ k (t)S k (t) − µ k S k (t) + µ k N k  

  I k ′ (t) = Λ k (t)S k (t) − (γ k +µ k )I k (t)  ′  R k (t) = γ k I k (t) − µ k R k (t)

  A ′ k (t) = δ k [I k (t) − A k (t)]

untuk k = 1, . . . , n dimana

S k adalah jumlah manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A di S k adalah jumlah manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A di

Pada model ini diasumsikan lingkungan dapat terkontaminasi oleh individu yang tinggal di wilayah yang sama. Ini tidak membatasi karena waktu rata-rata untuk berpergian ke wilayah lain lebih pendek dari masa inkubasi HAV yaitu sekitar 2-4 minggu.

3.2 Model Metapopulasi pada Transmisi Virus HAV de- ngan Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur

Agar model di atas dapat diaplikasikan di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur maka salah satu asumsi yang diterapkan adalah laju kematian yag berbeda dengan laju kelahiran sehingga diperoleh:

 S k (t) = −Λ k (t)S k (t) − µ k S k (t) + b k N k 

   I k ′ (t) = Λ k (t)S k (t) − (γ k +µ k )I k (t)

   R ′ k (t) = γ k I k (t) − µ k R k (t)

  A ′ k (t) = δ k [I k (t) − A k (t)]

untuk k = 1, . . . , n dimana

I k Diketahui S (t) k +I k +R k =N k .Didefinisikan s k (t) = N k ,i k (t) = N k ,r k (t) =

S k (t)

R k (t) A k (t) N k

.a k (t) = N k ,ˆ β kj =N k β ˜ kj . Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

 i k (t) = λ k (t)[1 − i k (t) − r k (t)] − (γ k +µ k )i k (t) 

r ′ k (t) = γ k i k (t) − µ k r k (t) (3.2.2)  

  a ′ k (t) = δ k [i k (t) − a k (t)]   a ′ k (t) = δ k [i k (t) − a k (t)]

3.3 Spatial Contact Matrix

Beberapa faktor penting dalam penyebaran penyakit menular adalah siapa bertemu siapa, dimana pertemuan itu berlangsung dan seberapa sering. Oleh karena itu, diperlukan pengembangan dari model metapopulasi di atas. Salah satunya dengan melibatkan mobilitas spatial dari individu di setiap populasinya sehingga transmisi virus HAV pada persamaan (3.2.2) dirubah menjadi:

p k adalah laju transmisi virus HAV via kontak langsung untuk individu yang tinggal di wilayah k. ˆ p k adalah laju transmisi virus HAV via kontak ti- dak langsung untuk individu yang tinggal di wiayah k. c kj adalah kontak yang menggambarkan adanya kontak antar wilayah k dan j (mobilitas spatial ).

Kontak sangat dipengaruhi dari mobilitas individu. Pada perkembangannya mobilitas individu dibedakan antara mobilitas harian seperti pergi ke kantor, pasar, sekolah dan mobilitas bukan harian seperti pergi bertamasya.

Ada berbagai cara untuk memformulasikan kontak ini. Salah satunya de- ngan melibatkan jumlah populasi, Produk Domestik Bruto (PDB) suatu wilayah dan jarak diantara kedu wilayah, yaitu:

c kj =θ ρ

d kj

dimana g k adalah PDB wilayah k, g j adalah PDB wilayah j, d kj adalah jarak an- tara wilayah k dan j, θ adalah jumlah semua commuter, τ d ,τ r ,ρ adalah parameter yag harus dioptimasi dengan data yang ada (pergerakan populasi keluar wilayah, pergerakan populasi masuk kedalam wilayah, jarak pergerakan antar wilayah).

Namun, karena ketersediaan data, nilai parameter p k ,ˆ p k dan c kj yang di- gunakan untuk simulasi pada skripsi ini ditentukan tanpa perhitungan.

3.4 Analisis

Dalam menganalisis model, akan dicari titik equilibrium dan jenis kestabi- lannya dari persamaan (3.2.2) dan (3.3.1).

3.4.1 Titik Equilibrium Salah satu titik equilibrium sistem persamaan (3.2.2) adalah (i ∗ ,r ∗ ,a ∗ )=

(0, 0, 0), ini diperoleh dengan mensubstitusikan langsung ke dalam sistem persa- maan. Selanjutnya:

a ′ k (t) = δ k [i k (t) − a k (t)] 0=δ k [i k (t) − a k (t)]

i k (t) = a k (t) selanjutnya

i ′ k (t) = λ k (t)[1 − i k (t) − r k (t)] − (γ k +µ k )i k (t)

0=λ k (t) − λ k (t)i k (t) − λ k (t)

λ k (t)µ k

i k (t) = λ k (t)µ k +λ k (t)γ k +γ k µ k +µ 2 k

λ k (t)µ k

(λ k (t) + µ k )(γ k +µ k )

dengan substitusi diperoleh :

λ k (t)γ k

(λ k (t) + µ k )(γ k +µ k )

λ k (t)µ k

(λ k (t) + µ k )(γ k +µ k )

Titik equilibrium (i ∗ k ,r ∗ ∗ k ,a k ) bergantung kepada persamaan (3.3.1) yaitu :

Sehingga titik equilibrium (i ∗ ,r ∗ k k ,a ∗ k ) bergantung kepada persamaan :

Maka harus terlebih dahulu dicari titik equilibrium i ∗ j yang transmisi virus HAVnya tidak bergantung kepada penderita di wilayah lain tetapi di wilayahnya sendiri dan begitu pun dengan kontaknya.

i ∗ j diperoleh dari model transmisi virus HAV yang transmisi virusnya ber- gantung pada penderita di wilayah sendiri. Artinya, model ini belum merupakan model metapopulasi sehingga modelnya:

 i (t) = λ(t)[1 − i(t) − r(t)] − (γ + µ)i(t) 

r ′ (t) = γi(t) − µr(t)

    a ′ (t) = δ[i(t) − a(t)] λ (t) = βi(t) + ˆ βa (t)

Selanjutnya dicari titik equilibrium

a ′ (t) = δ[i(t) − a(t)]

0 = δ[i(t) − a(t)]

i (t) = a(t) selanjutnya

r ′ (t) = γi(t) − µr(t)

0 = γi(t) − µr(t) µr (t) = γi(t)

γi (t) r (t) = µ

selanjutnya

i ′ (t) = λ(t)[1 − i(t) − r(t)] − (γ + µ)i(t)

0 = λ(t) − λ(t)i(t) − λ(t)r(t) − (γ + µ)i(t)

0 = βi(t) + ˆ βa

(t) − βi 2 (t) − ˆ βa (t)i(t) − ˆ βi (t)r(t) − ˆ βa (t)r(t) − (γ + µ)i(t)

0 = βi(t) − βi 2 (t) − ˆ βa (t)i(t) − ˆ βi (t)r(t) − (γ + µ)i(t) + ˆ βa (t) − ˆ βa (t)r(t)

0 = βi(t) − βi (t) − ˆ βi (t) − ˆ βi (t) i (t) − γi(t) − µi(t) + ˆ βi (t) − ˆ βi (t) i (t)

0= β − βi(t) − ˆ βi (t) − ˆ β i (t) − γ − µ + ˆ β −ˆ β i (t) i (t)

diperoleh i ∗

= 0 atau β − γ − µ + ˆ γ β − βi(t) − ˆ βi (t) − ˆ β µ i (t) − ˆ β µ i (t) = 0

γ 0=β−γ−µ+ˆ β − βi(t) − ˆ βi (t) − ˆ β i (t) − ˆ β i (t)

Sehingga diperoleh dua titik equilibrium (i ∗ ,r ∗ ,a ∗ ) yaitu :

dengan Basic Reproduction Ratio [1]

maka diperoleh titik equilibrium (i ∗ ,r ∗ ,a ∗ ) yaitu :

1. E 1 = (0, 0, 0) µ h i γ h i µ 1 h 1 2. E 1

2 = µ +γ 1− R 0 , µ +γ 1− R 0 ), µ +γ 1− R 0

Tabel 3.1: Nilai i ∗ j

Wilayah

R 0 β +ˆ β

Jawa Barat

6.9898e-004

Jawa Tengah

2.5246e-004

Jawa Timur

6.2782e-004

dengan nilai parameter γ = 1, µ = 0.00106, j = 1, 2, 3 (1= Jawa Barat, 2=Jawa Tengah, 3=Jawa Timur) diperoleh titik equilibrium pada tabel 3.1.

Dari hasil i ∗ j diatas diperoleh titik equilibrium model metapopulasi pada transmisi virus HAV di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur yaitu:

Hasil untuk 3 provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur dapat dilihat pada tabel 3.2.

Tabel 3.2: Nilai i ∗ k ,r ∗ k ,a ∗ k

Wilayah

Jawa Barat

1.0296e-003 Jawa Tengah

9.7231e-004 Jawa Timur

Teorema 3.4.1 Titik equilibrium (0, 0, 0) stabil asimptot secara lokal jika

R 0 < 1 dan tidak stabil untuk R 0 > 1

Teorema 3.4.2 Pada titik endemik equilibrium (i ∗ ,r ∗ ,a ∗ ) stabil asimptot secara lokal

BAB IV SIMULASI MODEL METAPOPULASI PADA TRANSMISI VIRUS HEPATITIS A

(Studi Kasus di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur)

Nilai dari parameter pada model metapopulasi ini diambil dari jurnal Spa- tiotemporal Dynamic of Viral Hepatitis A in Italy sedangkan nilai awal penderita hepatitis A diambil berdasarkan data dari Kementrian Kesehatan Indonesia yaitu Riset Kesehatan Dasar 2007 (Riskesdas 2007). Namun, karena ketersediaan data, tidak digunakan nilai awal penderita hepatitis A tetapi digunakan nilai awal pen- derita hepatitis secara umum. Pada Riskesdas 2007, diperoleh jumlah penderita hepatitis: Jawa Barat 0,3%, Jawa Tengah 0,1% dan Jawa Timur 0,2% (populasi yang diambil adalah populasi rumah tangga). Ini bertolak belakang dengan data program vaksinasi yang dilakukan pada individu. Oleh karena itu, digunakan rata-rata jumlah anggota rumah tangga yaitu jumlah seluruh penduduk dibagi jumlah rumah tangga.

Menurut Sensus 2010, jumlah rumah tangga di Indonesia menurut luas lantai tempat tinggal dan jumlah anggota rumah tangga adalah 61.156.679 se- dangkan jumlah penduduk Indonesia pada 6 Desember 2012 menurut data dari KPU adalah 251.857.940.Maka

jumlah penduduk

Rata-rata jumlah anggota rumah tangga di Indonesia

jumlah rumah tangga

61.156.679 = 4, 1182 jiwa

Jumlah Penderita Penyakit Hepatitis di Jawa Barat = 0, 3% × 61.156.679 = 183.470 rumah tangga = 183.470 × 4, 1182 = 755.570 jiwa

dengan perhitungan yang sama diperoleh jumlah penderita hepatitis di Jawa Tengah 251.860 jiwa dan Jawa Timur 503.700 jiwa.

Adapun populasi penduduk di Jawa Barat pada 6 Januari 2013 adalah 49.153.773. Jawa Tengah sekitar 32.684.247 ,Jawa Timur 37.476.757. Nilai awal Adapun populasi penduduk di Jawa Barat pada 6 Januari 2013 adalah 49.153.773. Jawa Tengah sekitar 32.684.247 ,Jawa Timur 37.476.757. Nilai awal

4.1 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur

Menurut data Riskesdas 2007 setiap provinsi di Indonesia mempunyai ting- kat endemik masing-masing. Artinya, HAV sudah tersebar di setiap provinsi. Selanjutnya dilakukan simulasi dimana jumlah penderita setiap wilayah bergan- tung kepada jumlah virus di wilayah lainnya, jumlah penderita di wilayah lainnya, dan jumlah kontak dengan wilayah lainnya.

Gambar 4.1.1: Peta Pulau Jawa

Gambar 4.1.2: Ilustrasi Transmisi HAV di Pulau Jawa Simulasi dilakukan dengan software MATLAB dengan Metode Adams -

Basforth-Moulton. Adapun empat nilai awalnya diperoleh dengan metode Euler. Model metapopulasi ini simulasinya dilakukan satu-satu secara terpisah tidak dilakukan di setiap wilayah secara serentak.

Simulasi model metapopulasi ini menggunakan sistem persamaan (3.2.1) dan persamaan (3.3.1) dengan paramater yaitu:

Tabel 4.1: Nilai parameter yang digunakan saat simulasi

Parameter Deskripsi

Referensi N 1 Jumlah penduduk di Jawa Barat

Satuan

Nilai

4,9153773 kpu Jawa Barat N 2 Jumlah penduduk di Jawa Tengah

per 10 juta jiwa

per 10 juta jiwa

3,2684247 Data Statistik Indone- sia

N 3 Jumlah penduduk di Jawa Timur

per 10 juta jiwa

3,6576080. Data Statistik Indone- sia

S 1 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa Barat

per 10 juta jiwa

4,8398203 (Jumlah penduduk- jumlah

penderita)

S 2 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa Te-

3,2432387 (Jumlah penduduk- ngah

per 10 juta jiwa

jumlah penderita) S 3 Jumlah penduduk yang rentan di Jawa Ti-

3,6072380 (Jumlah penduduk- mur

per 10 juta jiwa

jumlah penderita) I 1 (0)

0,0755570 Riskesdas 2007 di Jawa Barat

Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

per 10 juta jiwa

I 2 (0) Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

0,0251860 Riskesdas 2007 di Jawa Tengah

per 10 juta jiwa

I 3 (0) Jumlah awal penderita penyakit hepatitis A

0,0503700 Riskesdas 2007 di Jawa Timur

per 10 juta jiwa

r (0) Jumlah awal penderita yang berhasil sembuh

0 Riskesdas 2007 b Tingkat kelahiran

per 10 juta jiwa

0.0375 bkkbn µ

per 10 juta jiwa/bulan

0,001068 (Ajelli,2009) 1 γ

Laju kematian

Bulan

Rata-rata waktu penularan

Bulan

1 (CDC 2007,Stapleton dan lemon,1994)

1 δ Rata-rata waktu bertahan hidup virus HAV

3 (Abad et di lingkungan

Bulan

al.,1994;Biziagos et

al.,1998;Mbithi et

al.,1991;Ajelli et al.,2008)

v c k Vaksinasi setelah kelahiran

Persentase

20 (Lopalco et al.,2005;Ajelli

et al.,2008)

v y k Vaksinasi pada individu berunur 12 tahun

Bulan −1

0.0009 (Lopalco et al.,2005;Ajelli

et al.,2008)

R 01 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

(Ajelli,2009) Barat

Desimal

(Ajelli,2009) Tengah

R 02 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

Desimal

R 03 Basic Reproduction Ratio di wilayah Jawa

(Ajelli,2009) Timur

Desimal

p 1 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

2 (Ditentukan) wilayah Jawa Barat

Desimal

1 (Ditentukan) wilayah Jawa Tengah

p 2 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

Desimal

p 3 Laju transmisi HAV via kontak langsung di

(Ditentukan) wilayah Jawa Timur

Desimal

p ˆ 1 Laju transmisi HAV via kontak tidak lang-

0,9031 (Ditentukan) sung di wilayah Jawa Barat

Desimal

p ˆ 2 Laju transmisi HAV via kontak tidak lang-

0,3114 (Ditentukan) sung di wilayah Jawa Tengah

Desimal

1,9326 (Ditentukan) sung di wilayah Jawa Timur

p ˆ 3 Laju transmisi HAV via kontak tidak lang-

Desimal

c 21 Kontak wilayah Jawa Tengah dengan Jawa

3 (Ditentukan) Barat

Desimal

c 23 Kontak wilayah Jawa Tengah dengan Jawa

10 (Ditentukan) Timur

Desimal

c 13 Kontak wilayah Jawa Barat dengan Jawa Ti-

15 (Ditentukan) mur

Desimal

Persamaan yang digunakan adalah: 

  ′  S k (t) = −Λ k (t)S k (t) − µ k S k (t) + b k N k

    I k ′ (t) = Λ k (t)S k (t) − (γ k +µ k )I k (t)

(t) = γ k I k (t) − µ k R

k (t)

  A ′ k (t) = δ k [I k (t) − A k (t)]

untuk k = 1, . . . , 3 dimana

4.1.1 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Barat Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gam-

bar 4.1.3. Dinamika manusia yang rentan terhadap penyakit hepatitis A dengan nilai awal diberikan polanya terus turun menuju titik equilibrium. Ini disebabkan karena adanya endemik virus HAV di wilayah dan adanya kontak dengan pende- rita hepatitis A di wilayah lain, dalam hal ini adanya transmisi virus HAV baik langsung maupun tidak langsung.

Dinamika transmisi virus HAV yang awalnya naik menyebabkan jumlah penderita hepatitis A pun naik. Perilaku semakin banyaknya penderita akan me- nyebabkan penderita yang sembuh juga semakin banyak. Pola penderita yang sembuh terus naik seiring berkurangnya jumlah penderita. Pola kenaikan pen- derita yang sembuh dengan waktu yang terus bertambah akan mendekati titik equilibrium.

Adapun dinamika virus HAV sendiri polanya naik-turun dari nilai awal yang diberikan. Pola naik-turun ini disebabkan jumlah penderita yang naik- turun sedangkan kematian sel virus HAV tidak berpengaruh besar dalam pola ini dikarenakan nilainya yang lebih kecil.

4.1.2 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Tengah Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar

4.1.4. Perbedaan dinamika virus HAV di Jawa Tengah dengan Jawa Barat hanya capaian maksimum saja. Capaian maksimum jumlah virus HAV di Jawa Barat bisa lebih banyak daripada Jawa Tengah (Jawa Barat 30juta, Jawa Tengah < 20 juta).Transmisi HAV di Jawa Tengah pada awalnya terjadi goyangan naik-turun setelah itu dinamikanya sama dengan transmisi virus di Jawa Barat tetapi nilai paling tinggi transmisi virus HAV di Jawa Barat lebih tinggi.

Gambar 4.1.3: Dinamika model metapopulasi di Jawa Barat terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

Begitu pun dengan perilaku jumlah penderita dengan jumlah penderita yang berhasil sembuh, polanya sama dengan di Jawa Barat hanya saja di Ja- wa Barat lebih cepat naik dan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Barat dalam kurun waktu 1 bulan pernah mencapai 4 juta sedangkan Jawa Te- ngah di bawah 3 juta. Adapun dinamika penderita yang sembuh polanya sama dengan yang ada di Jawa Barat tetapi di Jawa Barat jumlah penderita yang sembuh terus naik menuju 6 juta sedangkan di Jawa Tengah menuju 4 juta.

Gambar 4.1.4: Dinamika model metapopulasi di Jawa Tengah terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

4.1.3 Simulasi Model Metapopulasi di Jawa Timur Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar

4.1.5. Dinamika virus HAV, manusia yang rentan, transmisi virus HAV, penderita penyakit hepatitis A, dan penderita yang berhasil sembuh di Jawa Timur hampir sama dengan Jawa Tengah hanya berbeda dalam kecepatan naik dan capaian maksimumnya saja.

Dari ketiga simulasi yang dilakukan di daerah Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur diperoleh pola perilaku manusia yang rentan, Transmisi virus HAV, Penderita penyakit hepatitis A, dan penderita yang berhasil sembuh, dan dinamika virus HAV hampir sama. Dari hasil simulasi ini diperoleh bahwa di titik equilibrium endemik (i ∗ ,r ∗ ,a ∗ ) stabil asimptot secara lokal.

Gambar 4.1.5: Dinamika model metapopulasi di Jawa Timur terhadap t (Bul- an).(a).Manusia yang rentan, (b).Transmisi virus HAV, (c).Penderita penyakit hepatitis A,(d).Penderita yang berhasil sembuh, (e).Virus HAV

4.2 Simulasi Model Metapopulasi pada Transmisi Virus Hepatitis A di Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur setelah dilakukan Vaksinasi

Model metapopulasi pada transmisi virus HAV dengan melibatkan variabel vaksinasi berbentuk:

    i ′ k (t) = λ k (t)[1 − i k (t) − r k (t)] − (γ k +µ k )i k (t) 

c r y ′ k (t) = γ k i k (t) − µ k r k (t) + V k µ k +V k s k (t) (4.2.1)  

  a ′ k (t) = δ k [i k (t) − a k (t)]   a ′ k (t) = δ k [i k (t) − a k (t)]

Selanjutnya vaksinasi dilakukan di setiap daerah yaitu Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur dan dilihat pengaruhnya terhadap penderita di wilayah lain.

4.2.1 Vaksinasi dilakukan di Jawa Barat Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dilakuk-

an di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3. Dari hasil simulas diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Barat maka dalam waktu 4,3 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Barat sudah berhasil sem- buh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah sebanyak 92 jiwa dan di Jawa Timur seba- nyak 73 jiwa.

Gambar 4.2.1: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

Gambar 4.2.2: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

Gambar 4.2.3: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Barat

4.2.2 Vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dila-

kukan di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.4, 4.2.5, 4.2.6. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Tengah maka dalam waktu 5,61 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah sudah berhasil sembuh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita penyakit hepatitis A di Jawa Barat sebanyak 113 jiwa dan di Jawa Timur sebanyak 82 jiwa.

Gambar 4.2.4: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

Gambar 4.2.5: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

Gambar 4.2.6: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Timur Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur

4.2.3 Vaksinasi dilakukan di Jawa Timur Hasil simulasi model metapopulasi di Jawa Barat setelah vaksinasi dilakuk-

an di Jawa Barat dapat dilihat pada gambar 4.2.7, 4.2.8, 4.2.9. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa jika vaksinasi dilakukan di Jawa Timur maka dalam waktu 4,77 bulan jumlah penderita penyakit hepatitis A di Jawa Tengah berhasil sembuh semua. Adapun dampak bagi daerah lain, dalam waktu 1 tahun penderita di Jawa Barat 71 jiwa dan di Jawa Tengah 81 jiwa.

Tabel 4.2: Perbandingan Hasil Simulasi Pemberian Vaksinasi ke Setiap Wilayah

Wlayah Vaksinasi

Penderita di Jawa Ba-

Penderita di Jawa Te-

di Jawa Timur

rat

ngah

Jawa Barat

Jawa Tengah

Jawa Timur

Gambar 4.2.7: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Tengah Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Tengah

Gambar 4.2.8: Dinamika Model Metapopulasi di Jawa Barat Setelah Dilakukan Vaksinasi di Jawa Timur