Fraktal merupkan salah satu cabang matematika
MAKALAH
ANALISIS KARAKTERISTIK DAN DIMENSI
FRAKTAL LISTRIK PADA PERMUKAAN KAYU
Disusun untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester
Mata Kuliah Geometri Fraktal Kelas A
Oleh:
Zahirotul ‘Ula (NIM:140210101037)
Dosen Pengampu:
Dr. Erfan Yudianto, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2017
i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI .......................................................................................................... ii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ iii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ iv
BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ....................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 2
1.3 Tujuan ..................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ................................................................................................... 2
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 3
2.1 Pengertian Fraktal ................................................................................. 3
2.2 Karakteristik Fraktal ............................................................................. 4
2.3 Jenis Fraktal ........................................................................................... 5
2.4 Dimensi Fraktal ...................................................................................... 5
2.5 Box Counting .......................................................................................... 6
BAB 3. PEMBAHASAN ....................................................................................... 7
3.1 Fraktal Listrik ....................................................................................... 7
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik ............................................................... 8
3.3 Dimensi Fraktal Listrik ...................................................................... 10
BAB 4. PENUTUP............................................................................................... 17
4.1 Kesimpulan ........................................................................................... 17
4.2 Saran .................................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 18
ii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu. .................................................... 7
Gambar 2. Pembentukan Fraktal ........................................................................... 8
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu .................................................... 8
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu ....................................................................... 9
Gambar 5.Bagian dari fraktal listrik ..................................................................... 9
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik ................................................................... 10
Gambar 7.Kotak menggunakan panjang sisi 2 cm .............................................. 12
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm ............................................. 13
Gambar 9. Kotak menggunakan panjang sisi 0,5 cm .......................................... 13
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm ...................................... 14
Gambar 11. Hasil grafik dari aplikasi Graphmatica ............................................ 16
iii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Pendekatan Dimensi Fraktal ................................................................... 11
Tabel 2. Perhitungan dengan metode Box Counting ............................................ 14
iv
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fraktal merupkan salah satu cabang matematika yang merupakan bagian dari
bidang geometri. Fraktal banyak keterkaitannya dengan berbagai bidang dari
bidang sains murni seperti graf yang diteliti oleh Warchalowski. Ia mengamati
garis-garis dalam graf yang dapat dikaitkan dengan karakteristik dan dimensi
fraktal. hingga terapan seperti di teknologi, biologi, dan lainnya. Di alam ini
terdapat berbagai bentuk fraktal yang dapat dijumpai seperti sungai, pohon, awan,
gunung, petir, dan lain-lain. Fraktal dapat menjelaskan bentuk-bentuk alam yang
ada di sekitar kita secara menarik. Fraktal dapat dibentuk dengan cara mengulang
suatu pola sehingga memiliki struktur atau pola yang serupa dengan bentuk semula
untuk setiap bagiannya. Salah satu contoh fraktal adalah petir. Petir merupakan
kekuatan listrik yang mengalir dari tumbukan di awan menuju ke bumi. Bentuk
petir yang dapat kita lihat memiliki suatu kemiripan baik ketika terjadi beberapa
kali atau cabang-cabangnya. Petir merupakan wujud dari fraktal yang dihasilkan
akibat aliran muatan listrik.
Sebelumnya telah dilakukan beberapa pengamatan terkait dengan fraktal yang
dihasilkan dari listrik. Diantaranya oleh Dulan Amarasinghe dan Upul Sonnadara
yang berjudul “Fractal Characteristics of Simulated Electrical Discharges” tahun
2008 tentang karakteristik fraktal petir dalam beberapa metode. Selain itu M.D.N
Perera dan D.U.J Sonnadara yang berjudul “Fractal Nature of Simulated Lighting
Channels” tentang pengembangan dimensi fraktal petir untuk 3D tahun 2012.
Selanjutnya yang terakhir oleh Mohd Hafizi Ahmad yang berjudul “Statistical
Analysis of Electrical Tree Inception Voltage, Breakdown Voltage and Tree
Breakdown Time Data of Unsaturated Polyester Resin” tahun 2013 tentang analisis
fraktal petir yang dikaitkan dengan hal lain. Oleh karena itu penulis tertarik
melakukan pengamatan terhadap penerapan fraktal listrik dalam media lain. Pada
makalah ini, akan dibahas mengenai karakteristik dan dimensi penerapan fraktal
listrik pada permukaan kayu menggunakan metode box counting karena penelitian
sebelumnya hanya menggunakan media udara.
1
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana karakteristik fraktal listrik pada kayu ?
2. Bagaimana penerapan metode box counting dalam menghitung dimensi
fraktal listrik pada permukaan kayu ?
1.3 Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini sebagai berikut.
1. Menganalisis karakteristik fraktal listrik pada permukaan kayu.
2. Menerapkan metode box counting dalam menghitung dimensi fraktal listrik
pada kayu.
1.4 Manfaat
Manfaat dari penulisan makalah ini sebagai berikut.
1. Memberikan tambahan wawasan tentang fraktal.
2. Menerapkan dan menganalisis penelitian dari jurnal internasional.
3. Menemukan permasalahan sebagai bahan pengamatan.
4. Melatih untuk menghitung dimensi bentuk-bentuk fraktal.
5. Melatih mahasiswa untuk kritis terhadap lingkungan sekitar.
2
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Fraktal
Fraktal untuk pertama kali diangkat pada tahun 1977 oleh ahli matematika yang
berasal dari Polandian yaitu Benoit Mandelbrot. Istilah fraktal tersebut tercantum
dalam buku yang berjudul “The Fractal Geometry of Nature”. Bentuk penemuan
tersebut memberikan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan khususnya di bidang
geometri. (Evertsz, Peitgen, & Voss, 1995).
Menurut Helja, Nurhasanah, & Sampurno (2013) fraktal berasal dari kata latin
yaitu fractus yang artinya patah, tidak teratur, pecah atau urai. Sedangkan dalam
kata kerja bahasa latin yaitu frangere, artinya membagi atau memecah menjadi
potongan atau bagian tertentu. Apabila diretakkan dan dipilih bagian-bagian
kecilnya, gambar di bagian kecil tersebut diperbesar akan terlihat mirip atau
mendekati sama dengan gambar aslinya. Fraktal mempunyai rincian yang tidak
terhingga dan tingkat perbesaran yang berbeda-beda. Fraktal memiliki pola
kemiripan dengan fraktal aslinya. Menurut Addison (1997) menyatakan bahwa
fraktal merupakan bentuk yang memiliki keserupaan yang simetris jika dilihat
dengan skala atau ukuran tertentu dan merupakan bagian terkecil dari struktur objek
secara keseluruhan .
Bentuk-bentuk geometri fraktal bersifat mirip terhadap diri artinya setiap
bagian kecil dari fraktal merupakan penggandaan/pengkopian dengan ukuran kecil
dari bentuk keseluruhan. Fraktal mempunyai ciri yang unik dibandingkan dengan
bentuk-bentuk yang telah dipelajari sebelumnya yaitu gambar klasik sederhana atau
geometri Euclid misalnya belah ketupat, layang-layang, lingkaran, persegi, elips,
trapesium, bola dll. Fraktal dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan berbagai objek
yang bentuknya tidak beraturan. Salah satu bentuk tersebut sering dijumpai dalam
fenomena alam seperti bentuk pantai, awan, sungai, lereng gunung, pohon, dan lain
sebagainya. (Zakaria, 2016)
3
2.2 Karakteristik Fraktal
Fraktal menurut keserupaan dirinya terbagi menjadi tiga jenis, yaitu serupa diri
secara persis, serupa diri sebagian, dan serupa diri secara statistik. Serupa diri secara
persis mempunyai struktur fraktal yang sangat identik di semua skala. Karakteristik
seperti ini biasanya terjadi pada bentuk fraktal yang terdefinisi secara matematika
seperti segitiga sierpinski, koch snowflake(kurva kepingan salju). Karakteristik
yang kedua adalah serupa diri sebagian. Fraktal jenis ini memiliki keserupaan diri
yang tidak begitu mirip jika skalanya diubah. Contoh dari fraktal jenis tersebut
adalah himpunan Mandelbrot. Jenis yang ketiga adalah serupa diri secara statistik.
Keserupaan dirinya bersifat statistik pada skala tertentu, jenis ini memiliki tingkat
serupa diri yang paling lemah. (Subiantoro, 2005).
Fraktal mempunyai dua ciri khas, yaitu self-similarity dan infinite detail. Self
similarity merupakan keadaan objek yang dibentuk secara berulang dengan
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari
asalnya dengan kata lain sekecil gambar tersebut apabila diperbesar hasilnya akan
sama. Sedangkan infinite detail merupakan objek fraktal yang memiliki bentuk
dasar yang seakan-akan tidak habis-habis apabila diperhatikan. Contohnya kurva
Koch apabila diperbesar dengan generasi yang tak terhingga akan mempunyai
ketidakrataan yang sama (Santosa, 2013)
Menurut sifat self-similarity ada dua jenis yaitu regular fractal dan random
fractal. Regular fractal mempunyai sifat exactly self-similarity yaitu setiap bagian
dari fraktal menyerupai secara sama dengan bentuk objek secara keseluruhan
terhadap berbagai skala. Pada salah satu fraktal yaitu segitiga Sierpinski, jika
sebagian darinya diperbesar bagian potongan tersebut, maka akan terlihat kesamaan
bentuk yang menyerupai diri secara sama. Contoh objek fraktal yang mempunyai
sifat exactly self-similarity adalah struktur himpunan Kantor, daun pakis, dan
segitiga Sierpinski, (Baichaqi, 2015). Sedangkan random fractal mempunyai sifat
statistically self-similarity yaitu setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai
secara persis dengan bentuk objek secara keseluruhan. Contoh objek fraktal yang
mempunyai sifat statistically self-similarity adalah garis pantai himpunan Julia, dan
Mandelbrot. (Addison,1997).
4
2.3 Jenis Fraktal
2.1.1 Fraktal Alami
Fraktal alami adalah fraktal yang berada di lingkungan sekitar. Beberapa
contoh fraktal alami adalah kembang kol, akar tumbuhan, daun pakis, awan, sungai,
dan lainnya. Contoh-contoh tersebut memiliki sifat rekursif yang bisa dilihat
dengan mudah yaitu dengan mengambil satu cabang objek dan akan terlihat bahwa
cabang tersebut adalah miniatur dari objek secara keseluruhan.
2.1.2 Fraktal Buatan
Fraktal buatan merupakan gambar, bentuk, atau pola matematika yang secara
murni memiliki suatu kemiripan. Contohnya kepingan salju alami yang memiliki
enam simetri lipat. Fraktal kepingan salju memiliki ciri khas menyerupai dirinya,
dengan kata lain terdiri atas tiga bagian yang sama (identik), masing-masing pada
bagiannya tersusun dari empat bagian dan secara mirip merupakan bentuk secara
keseluruhan dalam skala kecil dari gambar aslinya. (Nawira, 2016)
2.4 Dimensi Fraktal
Menurut kamus matematika, dimensi mengacu pada sifat-sifat yang dinamakan
panjang, luas dan volume. Dimensi adalah bilangan yang menyatakan kebebasan
untuk melakukan pergerakan di sebuah ruang. Pada umumnya, dimensi suatu objek
adalah bilangan yang mendefinisikan, mendeskripsikan, membandingkan bentuk
dan ukuran suatu objek. Konsep dimensi fraktal digunakan sebagai alat ukur
kekasaran permukaan suatu objek. Untuk suatu himpunan fraktal, dimensi
Hausdorff- Besicovitch lebih besar dibandingkan dimensi topologi. (Sankar & T,
2010).
Dimensi fraktal adalah dimensi yang tidak umum atau dimensi yang kompleks
daripada dimensi yang biasa dikenal dalam geometri euclid. (Lu, Croome, &
Viljanen, 2012). Dalam dimensi Euclidean telah diketahui dimensi bentuk-bentuk
tertentu yang merupakan bilangan bulat seperti titik memiliki dimensi nol, garis
memiliki dimensi satu, bidang memiliki dimensi dua, dan ruang memiliki dimensi
tiga. Sedangkan pada fraktal memiliki dimensi tidak bulat atau pecahan, seperti
dimensi 1,8 dan dimensi 2,7 (Subiantoro, 2005).
5
2.5 Box Counting
Menurut Klinkenberg (1994) dimensi fraktal dapat dihitung dengan metode
perhitungan kotak (box counting). Metode box counting banyak digunakan untuk
menentukan dimensi fraktal dari banyak fenomena yang berbeda. Sebelum
penerapan dalam penelitian fraktal, box counting khususnya dipakai untuk
menentukan luasan yang tidak teratur seperti kartografi. Hal ini dikarenakan bisa
diterapkan dengan efektivitas sama dengan fitur linear, daerah, himpunan titik, dan
volume. metode perhitungan kotak merupakan metode yang banyak digunakan
untuk menentukan dimensi fraktal. Metode ini juga dikenal sebagai grid atau
metode perhitungan sel retikular.
Menurut Murwani (2011) Box counting adalah salah satu metode perhitungan
dimensi yang banyak digunakan karena perhitungannya relatif mudah. Gagasan
mendasar dari perhitungan ini adalah pengukuran pada skala tertentu. Objek yang
akan dihitung dimensinya ditempatkan pada jaring-jaring persegi atau kotak-kotak
berupa grid berukuran skala tertentu, kemudian dihitung banyak kotak yang
memuat objek tersebut.Tahapan-tahapan menggunakan metode box counting yaitu.
a. Mengambil suatu objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
b. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran yang
berbeda
c. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek.
d. Menghitung besarnya dimensi 𝐷 dengan persamaan(Putra,2009)
𝐷𝑠 =
log 𝑁𝑠
1
log
𝑠
6
BAB 3. PEMBAHASAN
3.1 Fraktal Listrik
Pola petir di langit merupakan salah satu wujud fraktal. Petir memiliki
beberapa cabang berukuran besar, sedang dan sangat kecil. Pola petir memiliki
suatu kemiripan. Cabang yang kecil merupakan pengulangan cabang yang lebih
kecil membentuk suatu cabang yang lebih besar. Hal tersebut berlaku seterusnya.
Panjang cabang dapat dikembangkan dengan ukuran tertentu. Tidak ada ukuran
rata-rata cabang: semakin besar jumlah cabang yang lebih kecil semakin kecil ratarata panjang dan ketebalannya (Liebovitch & Shehadeh, 1998)
Fraktal listrik merupkan fraktal yang dapat diterapkan ke media tertentu. Jika
fraktal petir medianya adalah udara maka fraktal yang diamati pada makalah ini
adalah permukaan kayu. Fraktal listrik pada kayu dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu.
Cara pembentukan fraktal listrik yang pertama menyiapkan kayu diutamakan
kayu yang memiliki tekstur halus dan keras. Selanjutnya mengolesi permukaan
kayu tersebut dengan larutan elektrolit seperti larutan soda kue, larutan garam,
ataupun lainnya. Semakin pekat larutan elektrolit maka semakin bagus pola fraktal
yang dihasilkan. Hal ini dikarenakan ketika terjadi petir udara sebagai media
konduktor/perantara aliran, sedangkan kayu merupakan bahan bersifat isolator
sehingga perlu larutan elektrolit yang kuat agar listrik dapat mengalir. Selanjutnya
menyetrum atau menghantarkan listrik pada permukaan kayu tersebut dengan jarak
tertentu dengan tegangan 15.000 volt sampai fraktal terbentuk dan pola yang
muncul dari ujung bermuatan positif dan negatif menyatu.
7
Setelah pola terbentuk maka pola tersebut difoto untuk diamati dan dianalisis
karakteritik dan dimensinya.
Gambar 2. Pembentukan Fraktal
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dijadikan usaha yang bersifat
komersil. Perabotan atau kebutuhan manusia yang berasal dari kayu dapat diberikan
sentuhan pola fraktal listrik sehingga memberikan kesan unik khususnya
masyarakat yang belum mengetahuinya.
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik
Berdasarkan keserupaan diri dari tinjauan pustaka fraktal listrik dapat
dikategorikan serupa sebagian, karena memiliki keserupaan yang tidak terlalu mirip
jika skalanya diubah. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 4 bahwa pengambilan objek
pada bagian tertentu jika diperbesar memberikan hasil yang tidak sama. Namun
cabang-cabang yang terbentuk memberikan kemiripan antara cabang besar dengan
cabang kecil. Sedangkan berdasarkan ciri khas fraktal listrik pada permukaan kayu
termasuk self-similarity karena objek yang dibangun secara berulang dengan
8
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari
asalnya. Self-similarity ada dua macam fraktal yaitu regular fractal dan random
fractal. Fraktal listrik pada permukaan kayu termasuk kategori random fractal
karena setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai secara persis dengan
bentuk objek secara keseluruhan.
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu
Gambar 5.Bagian dari fraktal listrik
9
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik
3.3 Dimensi Fraktal Listrik
Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Amarasinghe dan Sonnadara
tahun 2008 tentang perhitungan pendekatan dimensi fraktal dari aliran listrik
menggunakan tiga metode yaitu metode box counting, metode sandbox dan metode
fungsi korelasi. Metode pertama adalah box counting yang dirumuskan dengan
Keterangan :
1 𝐷𝑙
]
𝑟∝[
𝑛(𝑟)
𝑛(𝑟) adalah banyak kotak
𝑟 adalah ukuran kotak
𝐷𝑙 adalah dimensi
Metode kedua adalah modifikasi dari box counting yang dinamakan sandbox
yang dirumuskan dengan
Keterangan :
𝑀(𝐿) ∝ 𝐿𝐷2
𝐿 adalah ukuran kotak(persegi)
𝑀(𝐿) adalah rata-rata massa.
𝐷2 adalah dimensi
10
Metode ketiga disebut metode Fungsi Korelasi. Metode ini memakai nilai
statistik untuk dimensi fraktal berdasarkan pair-wise distance antartitik. Metode
kedua dan ketiga tidak digunakan karena pengamatan yang dilakukan berdasarkan
objek gambar. Hasil penelitian Amarangsinghe dinyatakan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Pendekatan Dimensi Fraktal
Perhitungan dimensi fraktal listrik dapat menggunakan metode box counting.
Metode ini sering dikenal sebagai metode perhitungan kotak atau grid. Metode ini
membagi suatu objek dapat berupa gambar menjadi beberapa bagian kotak(persegi)
dengan berbagai ukuran yang berbeda-beda. Selanjutnya dihitung banyaknya kotak
yang menutupi objek tersebut. Dimensi box counting merupakan hasil perhitungan
banyaknya jumlah kotak yang berubah ketika ukuran kotak tersebut diperkecil
hingga panjang sisi 𝜀 mendekati 0.
Langkah-langkah bekerja dengan metode box counting adalah sebagai berikut.
1. Menentukan objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
2. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran (r)
yang berbeda.
3. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek pada objek N.
4. Menghitung besarnya dimensi D dengan persamaan.
log 𝑁(𝑟)
1 𝐷
𝑁(𝑟) = ( ) ⟺ 𝐷(𝑟) =
1
𝑟
log
𝑟
11
5. Menghitung rata-rata dimensi antariterasi untuk mendapatkan nilai yang
valid dengan rumus
𝐷=
Keterangan :
𝑁 adalah banyak garis
1
𝑟
log 𝑁′ − log 𝑁
1
1
log ( ) − log (𝑟 )
𝑟′
adalah perbandingan panjang segmen garis
Perhitungan pertama menggunakan garis berukuran 2 cm seperti Gambar 7.
Gambar 7.Kotak menggunakan panjang sisi 2 cm
12
Perhitungan kedua menggunakan garis berukuran 1 cm seperti gambar 8.
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm
Perhitungan ketiga menggunakan garis berukuran 0,5 cm seperti Gambar 9.
Gambar 9. Kotak menggunakan panjang sisi 0,5 cm
13
Perhitungan keempat memakai garis berukuran 0,25 cm seperti Gambar 10.
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm
Hasil dari perhitungan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel berikut.
Tabel 2.Perhitungan dengan metode Box Counting
Iterasi
1.
Banyak kotak(N)
39
Panjang sisi kotak(r)
2 cm
2.
105
1 cm
3.
248
0,5 cm
4.
1089
0,25 cm
Selanjutnya dihitung dimensinya antariterasi berdasarkan rumus
𝐷=
𝐷21 =
log 𝑁′ − log 𝑁
1
1
log ( ) − log ( )
𝑟
𝑟′
log(105) − log(39) 2,021 − 1,591
=
= 1,429
1
1
0
−
(−0,301)
log ( ) − log ( )
1
2
14
𝐷31 =
𝐷32 =
𝐷41 =
𝐷42 =
𝐷43 =
log(248) − log(39)
2,394 − 1,591
=
= 1,334
1
1
log ( ) − log (2) 0,301 − (−0,301)
0,5
log(248) − log(105) 2,394 − 2,021
=
= 1,239
1
1
0,301 − 0
log ( ) − log ( )
1
0,5
3,037 − 1,591
log(1089) − log(39)
=
= 1,601
1
1
) − log ( ) 0,602 − (−0,301)
log (
2
0,25
log(1089) − log(105) 3,037 − 2,021
=
= 1,688
1
1
0,602
−
0
log (
) − log ( )
1
0,25
log(1089) − log(248) 3,037 − 2,394
=
= 2,136
1
1
0,602
−
0,301
) − log ( )
log (
0,5
0,25
Selanjutnya dihitung rata-rata dimensi untuk memperoleh nilai yang valid.
𝐷21 + 𝐷31 + 𝐷32 + 𝐷41 + 𝐷42 + 𝐷43
6
1,429 + 1,429 + 1,239 + 1,601 + 1,688 + 2,136
=
= 1,571
6
𝐷=
Jadi dimensi fraktal listrik menggunakan metode box counting adalah 1,571.
Perhitungan dimensi dari hasil metode box counting dapat menggunakan
aplikasi yaitu Graphmatica. Grafik yang dihasilkan oleh aplikasi Graphmatica
merupakan hasil pendekatan sebagai slope(kemiringan) dari regresi linier ketika
1
memplot log ( ) sebagai nilai di sumbu X dan log(𝑁) sebagai nilai di sumbu Y.
𝑟
Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut.(Jiang,2012)
1
log 𝑁 + 𝐷 ∙ log ( ) + 𝑘 = 0
𝑟
Hasil plot dapat dilihat pada Gambar 11 yaitu persamaan 𝑦 = 1,565𝑥 +
2,0254. Dimana nilai dimensinya adalah 1.565
15
Gambar 11. Hasil grafik dari aplikasi Graphmatica
Perhitungan dimensi fraktal listrik ini belum tentu kebenarannya dikarenakan
masih banyak error yang terjadi. Error yang terjadi biasanya dikarenakan ketidak
telitian menghitung banyak kotal. Perhitungan dengan menggunakan metode box
counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57. Dimensi fraktal listrik pada
permukaan kayu dapat dibandingkan dengan dimensi aliran listrik seperti hasil
penelitian dari Safiudo yang berjudul “Fractal Dimension of Lighting Discharge”
yang menyatakan bahwa pola 3D untuk dimensi fraktal listrik mendekati 1,51
dalam bidang pengamatan dan 1,34 dalam bidang foto. Hal ini dapat disimpulkan
bahwa pengamatan dan perhitungan memberikan hasil yang memiliki error kecil
dengan hasil penelitian sebelumnya yaitu 0,06. Pembanding yang diambil yaitu
pola 3D dikarenakan objek fraktal listrik adalah secara langsung seperti aliran listrik
yang ada di alam. Sedangkan bidang foto merupakan hasil foto dari petir sehingga
dimensinya memberikan selisih yang lumayan besar.
16
BAB 4. PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dikategorikan serupa sebagian.
Sedangkan berdasarkan ciri khas fraktal listrik pada kayu termasuk self-similarity
Fraktal listrik pada kayu termasuk kategori random fractal. Perhitungan dengan
menggunakan metode box counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57.
Hal ini dapat disimpulkan bahwa pengamatan dan perhitungan memberikan hasil
yang memiliki error kecil dengan hasil penelitian sebelumnya.
4.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti lebih lanjut dan dibuatkan katalog
pola fraktal listrik pada kayu. Hal ini dikarenakan fraktal listrik pada permukaan
kayu bersifat serupa sebagian jadi perlu adaya pengelompokkan bagian mana yang
memiliki kemiripan hingga bagian yang tidak mirip.
17
DAFTAR PUSTAKA
Addison, S. P. (1997). Fractal and Caos n Illustated Course. London: Institute of
Publishing.
Ahmad, M. H., Bashir, N., Ahmad, H., Piah, M. A., Malek, Z. A., & Yusof, F.
(2013). Statistical Analysis of Electrical Tree Inception Voltage,
Breakdown Voltage and Tree Breakdown Time Data of Unsaturated
Polyester
Resin.
Journal
Electric
Engineering
Technology,
Vol.8.halaman:821-830.
Amarasinghe, D., & Sonnadara, U. (2008). Fractal Characteristics od Simulated
Electrical Discharges. Journal of the National Science Foundation of Sri
Lanka, vol.36(2) halaman: 137-143.
Azmi, M. (2013). Dimensi Fraktal. Journal Mathematical Education, 11(1) 1-2.
Baichaqi, A. (2015). Penggabungan Geometri Fraktal dengan Batik Labako.
.skripsi.Jember: Universitas Jember.
Evertsz, C., Peitgen, H., & Voss, R. (1995). Fractal Geometry and Analysis.
Singapore: World Scientific.
Helja, M., Nurhasanah, & Sampurno, J. (2013). Analisis Fraktal Citra Mammogram
Berbasis Tekstur Sebagai Pendukung Diagnosis Kanker Payudara.
POSITRON, ISSN:2301-4970 Vol.3(2) halaman:35-28.
Jiang, S. (2012). Box-Counting Dimension of Fractal Urban Form:Stability Issue
and Measurement Design. Internasional Journal of Artificial Life
Research., Vol3(3).halaman:41-63.
Klinkenberg, B. (1994). Review of Method Used to Determine the Fractal
Dimension of Linier Features. Journal Mathematical Geology,
vol.26(1),halaman:12.
Liebovitch, L. S., & Shehadeh, L. A. (1998). Introduction to Fractals. U.S.A:
Florida Atlantic University.
Lu, X., Croome, D. C., & Viljanen, M. (2012). Fractal Geometri and Architecture
Design: Case Studt Review. Chaotic Modeling and Simulation
(CMSIM),vol. 2, halaman:311-322.
Murwani, T. (2011). Dimensi Fraktal Himpunan Julia. Yogyajarta: Universitas
Sanata Dharma.
Nawira. (2016). Analisis Statistik dan Dimensi Fraktal Sinyal Suara Jantung
(Phonocardiogram).Skripsi. Lampung: Universitas Lampung.
18
Perera, M. D., & Sonnadara, D. U. (2012). Fractal Nature of Simulated Lighting
Channels. Sri Lankan Journal of Physics, Vol.13(2),halaman:9-25.
Putra, K. (2009). Sistem Vericikasi Biometrika Telapak Tangan dengan Metode
Dimensi Fraktal dan Lacunarity. Teknologi Elektro, Vol 8(2),halaman:1-6.
Ratri, A. A. (2015). Penerapan Metode Box Counting untuk Identifikasi Telapak
Tangan. skripsi.Jember: Universitas Jember.
Safiudo, J., Gomez, J. B., Castafio, F., & Pacheco, A. (1995). Fractal Dimension of
Lighting Discharge. Nonlinear Processes in Geophysics,vol 2,halaman:
101-106.
Sankar, D., & T, T. (2010). Fractal Featur based on Differential Box Counting
Method for Categoriztion of Digital Mammograms. International Journal
of Computer Information Systems and Industrial Management Applications
(IJCISIM), ISSN 2150-7988, Vol 2 halaman:011-019.
Santosa, P. (2013). Grafika Komputer dan Antarmuka Grafis Teknis Penyusunan
Program Aplikasi Berbasis Grafis yang Profesional. Yogyakarta: Andi
Offset.
Shen, G. (2002). Fractal Dimension and Fractal Growth of Urbanized Areas.
International Journal of Geographical Information Science, vol. 16, no.5,
halaman : 419-437.
Subiantoro, N. (2005). Penentuan Dimensi Objek Fraktal dengan Metode Box
Counting. Skripsi. Jember: Universitas Jember.
Wachalowski, W., & Krawczyk, M. J. (2017). Line graphs for fractals. Commun
Nonlinier Sci Numer Simulat Vol.44, halaman:506-512.
Zakaria, A. F. (2016). Penerapan Metode Eksponen Hurst dan Box Counting pada
Kasus Curah Hujan. skripsi. Jember: Universitas Jember.
19
ANALISIS KARAKTERISTIK DAN DIMENSI
FRAKTAL LISTRIK PADA PERMUKAAN KAYU
Disusun untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester
Mata Kuliah Geometri Fraktal Kelas A
Oleh:
Zahirotul ‘Ula (NIM:140210101037)
Dosen Pengampu:
Dr. Erfan Yudianto, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2017
i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI .......................................................................................................... ii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ iii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ iv
BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ....................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 2
1.3 Tujuan ..................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ................................................................................................... 2
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 3
2.1 Pengertian Fraktal ................................................................................. 3
2.2 Karakteristik Fraktal ............................................................................. 4
2.3 Jenis Fraktal ........................................................................................... 5
2.4 Dimensi Fraktal ...................................................................................... 5
2.5 Box Counting .......................................................................................... 6
BAB 3. PEMBAHASAN ....................................................................................... 7
3.1 Fraktal Listrik ....................................................................................... 7
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik ............................................................... 8
3.3 Dimensi Fraktal Listrik ...................................................................... 10
BAB 4. PENUTUP............................................................................................... 17
4.1 Kesimpulan ........................................................................................... 17
4.2 Saran .................................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 18
ii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu. .................................................... 7
Gambar 2. Pembentukan Fraktal ........................................................................... 8
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu .................................................... 8
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu ....................................................................... 9
Gambar 5.Bagian dari fraktal listrik ..................................................................... 9
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik ................................................................... 10
Gambar 7.Kotak menggunakan panjang sisi 2 cm .............................................. 12
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm ............................................. 13
Gambar 9. Kotak menggunakan panjang sisi 0,5 cm .......................................... 13
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm ...................................... 14
Gambar 11. Hasil grafik dari aplikasi Graphmatica ............................................ 16
iii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Pendekatan Dimensi Fraktal ................................................................... 11
Tabel 2. Perhitungan dengan metode Box Counting ............................................ 14
iv
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fraktal merupkan salah satu cabang matematika yang merupakan bagian dari
bidang geometri. Fraktal banyak keterkaitannya dengan berbagai bidang dari
bidang sains murni seperti graf yang diteliti oleh Warchalowski. Ia mengamati
garis-garis dalam graf yang dapat dikaitkan dengan karakteristik dan dimensi
fraktal. hingga terapan seperti di teknologi, biologi, dan lainnya. Di alam ini
terdapat berbagai bentuk fraktal yang dapat dijumpai seperti sungai, pohon, awan,
gunung, petir, dan lain-lain. Fraktal dapat menjelaskan bentuk-bentuk alam yang
ada di sekitar kita secara menarik. Fraktal dapat dibentuk dengan cara mengulang
suatu pola sehingga memiliki struktur atau pola yang serupa dengan bentuk semula
untuk setiap bagiannya. Salah satu contoh fraktal adalah petir. Petir merupakan
kekuatan listrik yang mengalir dari tumbukan di awan menuju ke bumi. Bentuk
petir yang dapat kita lihat memiliki suatu kemiripan baik ketika terjadi beberapa
kali atau cabang-cabangnya. Petir merupakan wujud dari fraktal yang dihasilkan
akibat aliran muatan listrik.
Sebelumnya telah dilakukan beberapa pengamatan terkait dengan fraktal yang
dihasilkan dari listrik. Diantaranya oleh Dulan Amarasinghe dan Upul Sonnadara
yang berjudul “Fractal Characteristics of Simulated Electrical Discharges” tahun
2008 tentang karakteristik fraktal petir dalam beberapa metode. Selain itu M.D.N
Perera dan D.U.J Sonnadara yang berjudul “Fractal Nature of Simulated Lighting
Channels” tentang pengembangan dimensi fraktal petir untuk 3D tahun 2012.
Selanjutnya yang terakhir oleh Mohd Hafizi Ahmad yang berjudul “Statistical
Analysis of Electrical Tree Inception Voltage, Breakdown Voltage and Tree
Breakdown Time Data of Unsaturated Polyester Resin” tahun 2013 tentang analisis
fraktal petir yang dikaitkan dengan hal lain. Oleh karena itu penulis tertarik
melakukan pengamatan terhadap penerapan fraktal listrik dalam media lain. Pada
makalah ini, akan dibahas mengenai karakteristik dan dimensi penerapan fraktal
listrik pada permukaan kayu menggunakan metode box counting karena penelitian
sebelumnya hanya menggunakan media udara.
1
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana karakteristik fraktal listrik pada kayu ?
2. Bagaimana penerapan metode box counting dalam menghitung dimensi
fraktal listrik pada permukaan kayu ?
1.3 Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini sebagai berikut.
1. Menganalisis karakteristik fraktal listrik pada permukaan kayu.
2. Menerapkan metode box counting dalam menghitung dimensi fraktal listrik
pada kayu.
1.4 Manfaat
Manfaat dari penulisan makalah ini sebagai berikut.
1. Memberikan tambahan wawasan tentang fraktal.
2. Menerapkan dan menganalisis penelitian dari jurnal internasional.
3. Menemukan permasalahan sebagai bahan pengamatan.
4. Melatih untuk menghitung dimensi bentuk-bentuk fraktal.
5. Melatih mahasiswa untuk kritis terhadap lingkungan sekitar.
2
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Fraktal
Fraktal untuk pertama kali diangkat pada tahun 1977 oleh ahli matematika yang
berasal dari Polandian yaitu Benoit Mandelbrot. Istilah fraktal tersebut tercantum
dalam buku yang berjudul “The Fractal Geometry of Nature”. Bentuk penemuan
tersebut memberikan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan khususnya di bidang
geometri. (Evertsz, Peitgen, & Voss, 1995).
Menurut Helja, Nurhasanah, & Sampurno (2013) fraktal berasal dari kata latin
yaitu fractus yang artinya patah, tidak teratur, pecah atau urai. Sedangkan dalam
kata kerja bahasa latin yaitu frangere, artinya membagi atau memecah menjadi
potongan atau bagian tertentu. Apabila diretakkan dan dipilih bagian-bagian
kecilnya, gambar di bagian kecil tersebut diperbesar akan terlihat mirip atau
mendekati sama dengan gambar aslinya. Fraktal mempunyai rincian yang tidak
terhingga dan tingkat perbesaran yang berbeda-beda. Fraktal memiliki pola
kemiripan dengan fraktal aslinya. Menurut Addison (1997) menyatakan bahwa
fraktal merupakan bentuk yang memiliki keserupaan yang simetris jika dilihat
dengan skala atau ukuran tertentu dan merupakan bagian terkecil dari struktur objek
secara keseluruhan .
Bentuk-bentuk geometri fraktal bersifat mirip terhadap diri artinya setiap
bagian kecil dari fraktal merupakan penggandaan/pengkopian dengan ukuran kecil
dari bentuk keseluruhan. Fraktal mempunyai ciri yang unik dibandingkan dengan
bentuk-bentuk yang telah dipelajari sebelumnya yaitu gambar klasik sederhana atau
geometri Euclid misalnya belah ketupat, layang-layang, lingkaran, persegi, elips,
trapesium, bola dll. Fraktal dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan berbagai objek
yang bentuknya tidak beraturan. Salah satu bentuk tersebut sering dijumpai dalam
fenomena alam seperti bentuk pantai, awan, sungai, lereng gunung, pohon, dan lain
sebagainya. (Zakaria, 2016)
3
2.2 Karakteristik Fraktal
Fraktal menurut keserupaan dirinya terbagi menjadi tiga jenis, yaitu serupa diri
secara persis, serupa diri sebagian, dan serupa diri secara statistik. Serupa diri secara
persis mempunyai struktur fraktal yang sangat identik di semua skala. Karakteristik
seperti ini biasanya terjadi pada bentuk fraktal yang terdefinisi secara matematika
seperti segitiga sierpinski, koch snowflake(kurva kepingan salju). Karakteristik
yang kedua adalah serupa diri sebagian. Fraktal jenis ini memiliki keserupaan diri
yang tidak begitu mirip jika skalanya diubah. Contoh dari fraktal jenis tersebut
adalah himpunan Mandelbrot. Jenis yang ketiga adalah serupa diri secara statistik.
Keserupaan dirinya bersifat statistik pada skala tertentu, jenis ini memiliki tingkat
serupa diri yang paling lemah. (Subiantoro, 2005).
Fraktal mempunyai dua ciri khas, yaitu self-similarity dan infinite detail. Self
similarity merupakan keadaan objek yang dibentuk secara berulang dengan
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari
asalnya dengan kata lain sekecil gambar tersebut apabila diperbesar hasilnya akan
sama. Sedangkan infinite detail merupakan objek fraktal yang memiliki bentuk
dasar yang seakan-akan tidak habis-habis apabila diperhatikan. Contohnya kurva
Koch apabila diperbesar dengan generasi yang tak terhingga akan mempunyai
ketidakrataan yang sama (Santosa, 2013)
Menurut sifat self-similarity ada dua jenis yaitu regular fractal dan random
fractal. Regular fractal mempunyai sifat exactly self-similarity yaitu setiap bagian
dari fraktal menyerupai secara sama dengan bentuk objek secara keseluruhan
terhadap berbagai skala. Pada salah satu fraktal yaitu segitiga Sierpinski, jika
sebagian darinya diperbesar bagian potongan tersebut, maka akan terlihat kesamaan
bentuk yang menyerupai diri secara sama. Contoh objek fraktal yang mempunyai
sifat exactly self-similarity adalah struktur himpunan Kantor, daun pakis, dan
segitiga Sierpinski, (Baichaqi, 2015). Sedangkan random fractal mempunyai sifat
statistically self-similarity yaitu setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai
secara persis dengan bentuk objek secara keseluruhan. Contoh objek fraktal yang
mempunyai sifat statistically self-similarity adalah garis pantai himpunan Julia, dan
Mandelbrot. (Addison,1997).
4
2.3 Jenis Fraktal
2.1.1 Fraktal Alami
Fraktal alami adalah fraktal yang berada di lingkungan sekitar. Beberapa
contoh fraktal alami adalah kembang kol, akar tumbuhan, daun pakis, awan, sungai,
dan lainnya. Contoh-contoh tersebut memiliki sifat rekursif yang bisa dilihat
dengan mudah yaitu dengan mengambil satu cabang objek dan akan terlihat bahwa
cabang tersebut adalah miniatur dari objek secara keseluruhan.
2.1.2 Fraktal Buatan
Fraktal buatan merupakan gambar, bentuk, atau pola matematika yang secara
murni memiliki suatu kemiripan. Contohnya kepingan salju alami yang memiliki
enam simetri lipat. Fraktal kepingan salju memiliki ciri khas menyerupai dirinya,
dengan kata lain terdiri atas tiga bagian yang sama (identik), masing-masing pada
bagiannya tersusun dari empat bagian dan secara mirip merupakan bentuk secara
keseluruhan dalam skala kecil dari gambar aslinya. (Nawira, 2016)
2.4 Dimensi Fraktal
Menurut kamus matematika, dimensi mengacu pada sifat-sifat yang dinamakan
panjang, luas dan volume. Dimensi adalah bilangan yang menyatakan kebebasan
untuk melakukan pergerakan di sebuah ruang. Pada umumnya, dimensi suatu objek
adalah bilangan yang mendefinisikan, mendeskripsikan, membandingkan bentuk
dan ukuran suatu objek. Konsep dimensi fraktal digunakan sebagai alat ukur
kekasaran permukaan suatu objek. Untuk suatu himpunan fraktal, dimensi
Hausdorff- Besicovitch lebih besar dibandingkan dimensi topologi. (Sankar & T,
2010).
Dimensi fraktal adalah dimensi yang tidak umum atau dimensi yang kompleks
daripada dimensi yang biasa dikenal dalam geometri euclid. (Lu, Croome, &
Viljanen, 2012). Dalam dimensi Euclidean telah diketahui dimensi bentuk-bentuk
tertentu yang merupakan bilangan bulat seperti titik memiliki dimensi nol, garis
memiliki dimensi satu, bidang memiliki dimensi dua, dan ruang memiliki dimensi
tiga. Sedangkan pada fraktal memiliki dimensi tidak bulat atau pecahan, seperti
dimensi 1,8 dan dimensi 2,7 (Subiantoro, 2005).
5
2.5 Box Counting
Menurut Klinkenberg (1994) dimensi fraktal dapat dihitung dengan metode
perhitungan kotak (box counting). Metode box counting banyak digunakan untuk
menentukan dimensi fraktal dari banyak fenomena yang berbeda. Sebelum
penerapan dalam penelitian fraktal, box counting khususnya dipakai untuk
menentukan luasan yang tidak teratur seperti kartografi. Hal ini dikarenakan bisa
diterapkan dengan efektivitas sama dengan fitur linear, daerah, himpunan titik, dan
volume. metode perhitungan kotak merupakan metode yang banyak digunakan
untuk menentukan dimensi fraktal. Metode ini juga dikenal sebagai grid atau
metode perhitungan sel retikular.
Menurut Murwani (2011) Box counting adalah salah satu metode perhitungan
dimensi yang banyak digunakan karena perhitungannya relatif mudah. Gagasan
mendasar dari perhitungan ini adalah pengukuran pada skala tertentu. Objek yang
akan dihitung dimensinya ditempatkan pada jaring-jaring persegi atau kotak-kotak
berupa grid berukuran skala tertentu, kemudian dihitung banyak kotak yang
memuat objek tersebut.Tahapan-tahapan menggunakan metode box counting yaitu.
a. Mengambil suatu objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
b. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran yang
berbeda
c. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek.
d. Menghitung besarnya dimensi 𝐷 dengan persamaan(Putra,2009)
𝐷𝑠 =
log 𝑁𝑠
1
log
𝑠
6
BAB 3. PEMBAHASAN
3.1 Fraktal Listrik
Pola petir di langit merupakan salah satu wujud fraktal. Petir memiliki
beberapa cabang berukuran besar, sedang dan sangat kecil. Pola petir memiliki
suatu kemiripan. Cabang yang kecil merupakan pengulangan cabang yang lebih
kecil membentuk suatu cabang yang lebih besar. Hal tersebut berlaku seterusnya.
Panjang cabang dapat dikembangkan dengan ukuran tertentu. Tidak ada ukuran
rata-rata cabang: semakin besar jumlah cabang yang lebih kecil semakin kecil ratarata panjang dan ketebalannya (Liebovitch & Shehadeh, 1998)
Fraktal listrik merupkan fraktal yang dapat diterapkan ke media tertentu. Jika
fraktal petir medianya adalah udara maka fraktal yang diamati pada makalah ini
adalah permukaan kayu. Fraktal listrik pada kayu dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1.fraktal listrik pada permukaan kayu.
Cara pembentukan fraktal listrik yang pertama menyiapkan kayu diutamakan
kayu yang memiliki tekstur halus dan keras. Selanjutnya mengolesi permukaan
kayu tersebut dengan larutan elektrolit seperti larutan soda kue, larutan garam,
ataupun lainnya. Semakin pekat larutan elektrolit maka semakin bagus pola fraktal
yang dihasilkan. Hal ini dikarenakan ketika terjadi petir udara sebagai media
konduktor/perantara aliran, sedangkan kayu merupakan bahan bersifat isolator
sehingga perlu larutan elektrolit yang kuat agar listrik dapat mengalir. Selanjutnya
menyetrum atau menghantarkan listrik pada permukaan kayu tersebut dengan jarak
tertentu dengan tegangan 15.000 volt sampai fraktal terbentuk dan pola yang
muncul dari ujung bermuatan positif dan negatif menyatu.
7
Setelah pola terbentuk maka pola tersebut difoto untuk diamati dan dianalisis
karakteritik dan dimensinya.
Gambar 2. Pembentukan Fraktal
Gambar 3.Pemanfaatan fraktal listik pada kayu
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dijadikan usaha yang bersifat
komersil. Perabotan atau kebutuhan manusia yang berasal dari kayu dapat diberikan
sentuhan pola fraktal listrik sehingga memberikan kesan unik khususnya
masyarakat yang belum mengetahuinya.
3.2 Karakteristik Fraktal Listrik
Berdasarkan keserupaan diri dari tinjauan pustaka fraktal listrik dapat
dikategorikan serupa sebagian, karena memiliki keserupaan yang tidak terlalu mirip
jika skalanya diubah. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 4 bahwa pengambilan objek
pada bagian tertentu jika diperbesar memberikan hasil yang tidak sama. Namun
cabang-cabang yang terbentuk memberikan kemiripan antara cabang besar dengan
cabang kecil. Sedangkan berdasarkan ciri khas fraktal listrik pada permukaan kayu
termasuk self-similarity karena objek yang dibangun secara berulang dengan
8
mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari
asalnya. Self-similarity ada dua macam fraktal yaitu regular fractal dan random
fractal. Fraktal listrik pada permukaan kayu termasuk kategori random fractal
karena setiap bagian dari objek fraktal tidak menyerupai secara persis dengan
bentuk objek secara keseluruhan.
Gambar 4 Fraktal listrik pada kayu
Gambar 5.Bagian dari fraktal listrik
9
Gambar 6. Bagian dari fraktal listrik
3.3 Dimensi Fraktal Listrik
Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Amarasinghe dan Sonnadara
tahun 2008 tentang perhitungan pendekatan dimensi fraktal dari aliran listrik
menggunakan tiga metode yaitu metode box counting, metode sandbox dan metode
fungsi korelasi. Metode pertama adalah box counting yang dirumuskan dengan
Keterangan :
1 𝐷𝑙
]
𝑟∝[
𝑛(𝑟)
𝑛(𝑟) adalah banyak kotak
𝑟 adalah ukuran kotak
𝐷𝑙 adalah dimensi
Metode kedua adalah modifikasi dari box counting yang dinamakan sandbox
yang dirumuskan dengan
Keterangan :
𝑀(𝐿) ∝ 𝐿𝐷2
𝐿 adalah ukuran kotak(persegi)
𝑀(𝐿) adalah rata-rata massa.
𝐷2 adalah dimensi
10
Metode ketiga disebut metode Fungsi Korelasi. Metode ini memakai nilai
statistik untuk dimensi fraktal berdasarkan pair-wise distance antartitik. Metode
kedua dan ketiga tidak digunakan karena pengamatan yang dilakukan berdasarkan
objek gambar. Hasil penelitian Amarangsinghe dinyatakan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Pendekatan Dimensi Fraktal
Perhitungan dimensi fraktal listrik dapat menggunakan metode box counting.
Metode ini sering dikenal sebagai metode perhitungan kotak atau grid. Metode ini
membagi suatu objek dapat berupa gambar menjadi beberapa bagian kotak(persegi)
dengan berbagai ukuran yang berbeda-beda. Selanjutnya dihitung banyaknya kotak
yang menutupi objek tersebut. Dimensi box counting merupakan hasil perhitungan
banyaknya jumlah kotak yang berubah ketika ukuran kotak tersebut diperkecil
hingga panjang sisi 𝜀 mendekati 0.
Langkah-langkah bekerja dengan metode box counting adalah sebagai berikut.
1. Menentukan objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
2. Membagi objek tersebut ke dalam kotak-kotak dengan variasi ukuran (r)
yang berbeda.
3. Menghitung banyaknya kotak yang berisi bagian objek pada objek N.
4. Menghitung besarnya dimensi D dengan persamaan.
log 𝑁(𝑟)
1 𝐷
𝑁(𝑟) = ( ) ⟺ 𝐷(𝑟) =
1
𝑟
log
𝑟
11
5. Menghitung rata-rata dimensi antariterasi untuk mendapatkan nilai yang
valid dengan rumus
𝐷=
Keterangan :
𝑁 adalah banyak garis
1
𝑟
log 𝑁′ − log 𝑁
1
1
log ( ) − log (𝑟 )
𝑟′
adalah perbandingan panjang segmen garis
Perhitungan pertama menggunakan garis berukuran 2 cm seperti Gambar 7.
Gambar 7.Kotak menggunakan panjang sisi 2 cm
12
Perhitungan kedua menggunakan garis berukuran 1 cm seperti gambar 8.
Gambar 8. Kotak menggunakan panjang sisi 1 cm
Perhitungan ketiga menggunakan garis berukuran 0,5 cm seperti Gambar 9.
Gambar 9. Kotak menggunakan panjang sisi 0,5 cm
13
Perhitungan keempat memakai garis berukuran 0,25 cm seperti Gambar 10.
Gambar 10 .Kotak menggunakan panjang sisi 0,25 cm
Hasil dari perhitungan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel berikut.
Tabel 2.Perhitungan dengan metode Box Counting
Iterasi
1.
Banyak kotak(N)
39
Panjang sisi kotak(r)
2 cm
2.
105
1 cm
3.
248
0,5 cm
4.
1089
0,25 cm
Selanjutnya dihitung dimensinya antariterasi berdasarkan rumus
𝐷=
𝐷21 =
log 𝑁′ − log 𝑁
1
1
log ( ) − log ( )
𝑟
𝑟′
log(105) − log(39) 2,021 − 1,591
=
= 1,429
1
1
0
−
(−0,301)
log ( ) − log ( )
1
2
14
𝐷31 =
𝐷32 =
𝐷41 =
𝐷42 =
𝐷43 =
log(248) − log(39)
2,394 − 1,591
=
= 1,334
1
1
log ( ) − log (2) 0,301 − (−0,301)
0,5
log(248) − log(105) 2,394 − 2,021
=
= 1,239
1
1
0,301 − 0
log ( ) − log ( )
1
0,5
3,037 − 1,591
log(1089) − log(39)
=
= 1,601
1
1
) − log ( ) 0,602 − (−0,301)
log (
2
0,25
log(1089) − log(105) 3,037 − 2,021
=
= 1,688
1
1
0,602
−
0
log (
) − log ( )
1
0,25
log(1089) − log(248) 3,037 − 2,394
=
= 2,136
1
1
0,602
−
0,301
) − log ( )
log (
0,5
0,25
Selanjutnya dihitung rata-rata dimensi untuk memperoleh nilai yang valid.
𝐷21 + 𝐷31 + 𝐷32 + 𝐷41 + 𝐷42 + 𝐷43
6
1,429 + 1,429 + 1,239 + 1,601 + 1,688 + 2,136
=
= 1,571
6
𝐷=
Jadi dimensi fraktal listrik menggunakan metode box counting adalah 1,571.
Perhitungan dimensi dari hasil metode box counting dapat menggunakan
aplikasi yaitu Graphmatica. Grafik yang dihasilkan oleh aplikasi Graphmatica
merupakan hasil pendekatan sebagai slope(kemiringan) dari regresi linier ketika
1
memplot log ( ) sebagai nilai di sumbu X dan log(𝑁) sebagai nilai di sumbu Y.
𝑟
Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut.(Jiang,2012)
1
log 𝑁 + 𝐷 ∙ log ( ) + 𝑘 = 0
𝑟
Hasil plot dapat dilihat pada Gambar 11 yaitu persamaan 𝑦 = 1,565𝑥 +
2,0254. Dimana nilai dimensinya adalah 1.565
15
Gambar 11. Hasil grafik dari aplikasi Graphmatica
Perhitungan dimensi fraktal listrik ini belum tentu kebenarannya dikarenakan
masih banyak error yang terjadi. Error yang terjadi biasanya dikarenakan ketidak
telitian menghitung banyak kotal. Perhitungan dengan menggunakan metode box
counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57. Dimensi fraktal listrik pada
permukaan kayu dapat dibandingkan dengan dimensi aliran listrik seperti hasil
penelitian dari Safiudo yang berjudul “Fractal Dimension of Lighting Discharge”
yang menyatakan bahwa pola 3D untuk dimensi fraktal listrik mendekati 1,51
dalam bidang pengamatan dan 1,34 dalam bidang foto. Hal ini dapat disimpulkan
bahwa pengamatan dan perhitungan memberikan hasil yang memiliki error kecil
dengan hasil penelitian sebelumnya yaitu 0,06. Pembanding yang diambil yaitu
pola 3D dikarenakan objek fraktal listrik adalah secara langsung seperti aliran listrik
yang ada di alam. Sedangkan bidang foto merupakan hasil foto dari petir sehingga
dimensinya memberikan selisih yang lumayan besar.
16
BAB 4. PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Fraktal listrik pada permukaan kayu dapat dikategorikan serupa sebagian.
Sedangkan berdasarkan ciri khas fraktal listrik pada kayu termasuk self-similarity
Fraktal listrik pada kayu termasuk kategori random fractal. Perhitungan dengan
menggunakan metode box counting memberikan hasil yang mendekati yaitu 1,57.
Hal ini dapat disimpulkan bahwa pengamatan dan perhitungan memberikan hasil
yang memiliki error kecil dengan hasil penelitian sebelumnya.
4.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti lebih lanjut dan dibuatkan katalog
pola fraktal listrik pada kayu. Hal ini dikarenakan fraktal listrik pada permukaan
kayu bersifat serupa sebagian jadi perlu adaya pengelompokkan bagian mana yang
memiliki kemiripan hingga bagian yang tidak mirip.
17
DAFTAR PUSTAKA
Addison, S. P. (1997). Fractal and Caos n Illustated Course. London: Institute of
Publishing.
Ahmad, M. H., Bashir, N., Ahmad, H., Piah, M. A., Malek, Z. A., & Yusof, F.
(2013). Statistical Analysis of Electrical Tree Inception Voltage,
Breakdown Voltage and Tree Breakdown Time Data of Unsaturated
Polyester
Resin.
Journal
Electric
Engineering
Technology,
Vol.8.halaman:821-830.
Amarasinghe, D., & Sonnadara, U. (2008). Fractal Characteristics od Simulated
Electrical Discharges. Journal of the National Science Foundation of Sri
Lanka, vol.36(2) halaman: 137-143.
Azmi, M. (2013). Dimensi Fraktal. Journal Mathematical Education, 11(1) 1-2.
Baichaqi, A. (2015). Penggabungan Geometri Fraktal dengan Batik Labako.
.skripsi.Jember: Universitas Jember.
Evertsz, C., Peitgen, H., & Voss, R. (1995). Fractal Geometry and Analysis.
Singapore: World Scientific.
Helja, M., Nurhasanah, & Sampurno, J. (2013). Analisis Fraktal Citra Mammogram
Berbasis Tekstur Sebagai Pendukung Diagnosis Kanker Payudara.
POSITRON, ISSN:2301-4970 Vol.3(2) halaman:35-28.
Jiang, S. (2012). Box-Counting Dimension of Fractal Urban Form:Stability Issue
and Measurement Design. Internasional Journal of Artificial Life
Research., Vol3(3).halaman:41-63.
Klinkenberg, B. (1994). Review of Method Used to Determine the Fractal
Dimension of Linier Features. Journal Mathematical Geology,
vol.26(1),halaman:12.
Liebovitch, L. S., & Shehadeh, L. A. (1998). Introduction to Fractals. U.S.A:
Florida Atlantic University.
Lu, X., Croome, D. C., & Viljanen, M. (2012). Fractal Geometri and Architecture
Design: Case Studt Review. Chaotic Modeling and Simulation
(CMSIM),vol. 2, halaman:311-322.
Murwani, T. (2011). Dimensi Fraktal Himpunan Julia. Yogyajarta: Universitas
Sanata Dharma.
Nawira. (2016). Analisis Statistik dan Dimensi Fraktal Sinyal Suara Jantung
(Phonocardiogram).Skripsi. Lampung: Universitas Lampung.
18
Perera, M. D., & Sonnadara, D. U. (2012). Fractal Nature of Simulated Lighting
Channels. Sri Lankan Journal of Physics, Vol.13(2),halaman:9-25.
Putra, K. (2009). Sistem Vericikasi Biometrika Telapak Tangan dengan Metode
Dimensi Fraktal dan Lacunarity. Teknologi Elektro, Vol 8(2),halaman:1-6.
Ratri, A. A. (2015). Penerapan Metode Box Counting untuk Identifikasi Telapak
Tangan. skripsi.Jember: Universitas Jember.
Safiudo, J., Gomez, J. B., Castafio, F., & Pacheco, A. (1995). Fractal Dimension of
Lighting Discharge. Nonlinear Processes in Geophysics,vol 2,halaman:
101-106.
Sankar, D., & T, T. (2010). Fractal Featur based on Differential Box Counting
Method for Categoriztion of Digital Mammograms. International Journal
of Computer Information Systems and Industrial Management Applications
(IJCISIM), ISSN 2150-7988, Vol 2 halaman:011-019.
Santosa, P. (2013). Grafika Komputer dan Antarmuka Grafis Teknis Penyusunan
Program Aplikasi Berbasis Grafis yang Profesional. Yogyakarta: Andi
Offset.
Shen, G. (2002). Fractal Dimension and Fractal Growth of Urbanized Areas.
International Journal of Geographical Information Science, vol. 16, no.5,
halaman : 419-437.
Subiantoro, N. (2005). Penentuan Dimensi Objek Fraktal dengan Metode Box
Counting. Skripsi. Jember: Universitas Jember.
Wachalowski, W., & Krawczyk, M. J. (2017). Line graphs for fractals. Commun
Nonlinier Sci Numer Simulat Vol.44, halaman:506-512.
Zakaria, A. F. (2016). Penerapan Metode Eksponen Hurst dan Box Counting pada
Kasus Curah Hujan. skripsi. Jember: Universitas Jember.
19