Edisi 5 Pebruari Pekan Ke-1, 2006 Nomor Soal: 41-50

Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 5
Pebruari Pekan Ke-1, 2006
Nomor Soal: 41-50
41. Bilangan x memenuhi 32 x 

34
1 x

15

 52 x  0 . Hitunglah 337  32 x  200  52 x yang

mungkin.
Solusi:
Misalnya 3x  a dan 5x  b , sehingga
34

32 x 

 52 x  0

151 x
34
32 x  15x  52 x  0
15
15  32 x  34  3x  5 x  15  52 x  0

15a 2  34ab  15b 2  0

5a  3b3a  5b  0

5a  3b atau 3a  5b

5  3x  3  5x atau 3  3x  5  5x
x

x

3
3
 3  3

   atau     
5
5
5 5
x  1 atau x  1

1

Jika x  1 , maka 337  321  200  521  1011  1000  2011 .
Jika x  1 , maka 337  32 1  200  52 1 

337 200 697
.


9
25
9



42. n bilangan rasional yang memenuhi persamaan 4 3  4 2
Nilai dari 2006n adalah ....
Solusi:

4

4
4
4

 16 


 52 6 

6n

 16
5 2 6 



 5  2 6 5  2 6 





34 2




2

34 2

34

n

6n

34 2

6n

6n


 4

 80  32 6



34 2

n

n



2n

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006



6n

n

 16 

 .
 52 6 

6  n  2n

n2

Jadi, nilai 2006n  2006  2  4012
Catatan:

4

34 2

  4
4



34 2

 80  32 6



 4
2

34 2

  80  32 6 80  32 6 
2

2

43. Tentukan pasangan tripel  a, b, c  dari bilangan real yang memenuhi sistem
1
persamaan c a  b 2 a , 3c   9a , dan a  b  c  9 .
9
Solusi:
a  b  c  9 .... (1)
c a  b 2 a  c  b 2 .... (2)

1
3c   9a  3c  32 a 2  c  2a  2 .... (3)

9

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh b 2  2a  2 .... (4)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a  b  b 2  12 .... (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh





b2  2 9  b2  b  2
b 2  18  2b 2  2b  2
3b 2  2b  16  0

 b  2  3b  8   0
b  2 atau y  

8
3

Jika b  2 , maka c  b 2  22  4 dan
c  2a  2
4  2a  2
a 3

Pasangan tripel  a, b, c    3, 2, 4  .
8

 8

2

64

Jika b   , maka c  b 2     
9
3
 3
c  2a  2

64
 2a  2
9
64  18a 18
18a  82

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

a

41
9
 41 8 64 
, ,  .
3 9 
 9

Pasangan tripel yang lain adalah  a, b, c   
44. Tentukan pasangan tidak nol

 a, b  yang merupakan solusi simultan dari

a a  b  b8 dan b a  b  a12 b 4 .

Solusi:
Jika salah satu a  0 atau b  0 , maka yang lain sama dengan nol juga, tetapi
0 tidak didefinisikan.
Sekarang kalikan a a  b  b8 dan b a  b  a12b 4 menghasilkan

 ab a b   ab 12 ,

sehingga diperoleh a  b  12 .
3

Substitusikan kembali ke a a  b  b8 diperoleh a12  b8 atau b  a 2 .
3

Kemudian substitusikan b  a 2 ke a  b  12 , sehingga diperoleh
3

a  a 2  12
3

a 2  12  a

4 1 1 24 144
4 12 144
1 3 36
0

a3  144  24a  a 2

a3  a 2  24a  144  0

 a  4  a2  3a  36  0

a  4 atau a 2  3a  36  0(akar- akarnyatidakreal, karena D  0)

Jika a  4 , maka b 

3
a2



3
42

8

Kita juga mempunyai ab  1 atau b 
Substitusikan b 
a

a

a

a

1
a

a

1
a

1
.
a

1
ke a a  b  b8 , diperoleh
a

8

1
 
a



1
a  8
a

1
a8

1

1
a

Sehingga salah satu a  1 atau a   8  0
1
1

Jika a  1 , maka b   1
3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

a

1
8  0
a

a 2  8a  1  0

a

8  64  4 8  60 8  2 15


 4  15
2
2
2

a  4  15 atau a  4  15

Jika a  4  15 , maka b 
Jika a  4  15 , maka b 

1



4  15
1



4  15

1
4  15
1
4  15




4  15
4  15
4  15
4  15

Terakhir mungkin kita memiliki ab  1 atau b  

 4  15
 4  15

1
dengan a  b adalah
a

bilangan bulat genap.
1
a

Substitusikan b   ke a a  b  b8 , diperoleh
a

a

a

a

1
a

a

1
a

8

 1
  
 a



1
a  8
a

1
a8

1

Sehingga kita harus mempunyai x  1 dan y  
a

1
1
1

1
8  0
a

a 2  8a  1  0

a

8  64  4 8  60 8  2 15


 4  15
2
2
2

a  4  15 atau a  4  15

Jika a  4  15 , maka b 
Jika a  4  15 , maka b 

1
4  15
1
4  15




1
4  15
1
4  15






4  15
4  15
4  15
4  15

 4  15

 4  15

Jadi, ada 7 buah solusi:  4,8  , 1,1 , 4  15, 4  15







 



, 4  15, 4  15 ,  1,1 , 4  15, 4  15 , 4  15, 4  15

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006



45. Tentukan

2

jumlah

semua

akar-akar

   

Solusi:  3  9    9  3   9  3
x

3

3

real

x

dari

persamaan

3

 4  4x  2  4x  2x  6 .
3

x

3

x

x

x

 12



3

Misalnya 3x  9  a , 9 x  3  b , a  b  9x  3x  12 , sehingga

3

x

 

 

3

3

 9  9 x  3  9 x  3x  12



3

a 3  b3   a  b 

3

a3  b3  a3  b3  3a 2b  3ab2
3ab  a  b   0
a  0  b  0  a  b

3x  9  0  9x  3  0  9x  3x  12  0







3x  9  0  9 x  3  0  3 x  4 3 x  3  0
3x  9(diterima)  9 x  3(diterima)  3x  3(diterima)  3x  4(ditolak)

x  2 x 

1
 x 1
2

Jadi, jumlah akar-akarnya adalah 2 
46. Hitunglah x dari persamaan

3



1
1
1  3 .
2
2

log 27

9

log x

  p , jika p merupakan akar dari

1
1
persamaan 2 p 4  3  p 5  0 .
2 2
Solusi:

Misalnya y  2 p 4 , sehingga
1 2
y 3   0
2 y
2 y2  7 y  4  0

 2 y  1 y  4   0
1
y   atau y  4
2
1
2 p  4   (ditolak) atau 2 p  4  4(diterima)
2
2 p 4  22
p42

p6

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

3



log 27

 3 log x
3 2


3

3

log x

9

log x

6

3


  36


 32

x 9
x  81
47. Tentukan

himpunan

penyelesaian

dari

sistem

2 9 x  y  2 


 10  39 x  y 1  81  0
3

8x  y  4  0


Solusi:
8 x  y  4  0 .... (1)
2 9 x y 2
3
 10  39 x  y 1  81  0

2 9 x  y 1
32  3 
 10  39 x  y 1  81  0

Misalnya p  39 x  y 1 , sehingga
1 2
p  10 p  81  0
9

p 2  90 p  729  0

 p  9  p  81  0
p  9  p  81

39 x  y 1  9  39 x  y 1  81
9x  y  1  2  9x  y  1  4
y  9 x  3 .... (2)
y  9 x  5 .... (3)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
8x  9 x  3  4  0
x7
y  9  7  3  60
Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
8x  9 x  5  4  0
x9
y  9  9  5  76
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

 7,60 , 9,76 

48. Tentukan penyelesaian dari persamaan 16sin
Solusi:

2

x

 16cos

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

2

x

 10 .

persamaan

16sin

2

2

x

 16cos

16sin

2

x

16sin

2

x

 161sin x  10
16

 10
2
16sin x

x

 10

2

2

Misalnya y  16sin x , sehingga
16sin

y

2

x



16
16sin

2

x

 10

16
 10
y

y 2  10 y  16  0

 y  2 y  8  0
y  2atau y  8

16sin
2

2

x

4sin 2 x

 2atau16sin
 2atau 2

2

x

4sin 2 x

8
 23

4sin 2 x  1atau 4sin 2 x  3
1
1
sin x   atau sin x  
3
2
2
1
1
1
1
sin x  atau sin x   atau sin x 
3 atau sin x  
3
2
2
2
2


5

 k  2 atau
x   k  2  x       k  2 
6
6
6


x
x

7
7 


 k  2  x    
  k  2    k  2 atau
6
6 
6





2

 k  2  x       k  2 
 k  2 atau
3
3
3


4
4 


 k  2  x    
  k  2    k  2
3
3 
3

49. Carilah
penyelesaian
dari
sistem
x

 x  y 1 3 x  y 7
log 256
3
 log 3433  p
3
log

p 4  p log 4 .

1

22 x 3 y 

4
Solusi:
1
22 x 3 y 
4
p

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

persamaan

22 x 3 y  22
2 x  3 y  2 .... (1)
p

3x  y 1  33 x  y  7 log 3433 
p

 

3x  y 1  33 x  y  7 log 73

3x  y 1  33 x  y  7 log 79 

3



p

log 256

log 4

 p log 4

log 44
4 p log 4
p

4 p log 4
4 p log 4

3x  y
33
 x y  9  1
3
3

Misalnya a  3x  y , sehingga
a 27

 10
3 a
a 2  30a  81  0

 a  3 a  27   0
a  3  a  27

3x  y  3  3x  y  27
x  y  1 x  y  3
y  x  1....(2)
y  x  3....(3)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2 x  3  x  1  2
2 x  3x  3  2
x5
y  5 1  4

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2 x  3  x  3  2
2 x  3x  9  2
x  11
y  11  3  8

Jadi, penyelesaiannya adalah  5, 4  ; 11,8  .
50. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4x
Solusi:

4x 

x2 5

 12  2x 1

x2 5

x2 5

8  0

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

 12  2x 1

x2 5

8  0

2



2 x  x 2 5

  12  21  2x

  6  2x

x 2 5

Misalnya y  2 x 

x 5

2



2 x  x 5
2

2

x 2 5

8 0

8 0
, sehingga

y2  6 y  8  0

 y  2  y  4   0
y  2atau y  4

2x

x2 5

 2atau 2x 

x2 5

4

x  x2  5  1atau x  x2  5  2
x  1  x2  5 atau x  2  x2  5
x2  2 x  1  x2  5atau x2  4 x  4  x2  5
2 x  6atau 4 x  9
9
x  3atau x 
4

9 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006