Smart Solution Barisan Dan Deret

Written By :
MR.BIG METHOD
Distributed by:
Pakgurufisika

www.pakgurufisika.blogspot.com

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

1. Uan 2004/P-7/No.13
10

Nilai dari

å ( 2 n + 10 ) = ....
n =1

A.
B.

C.
D.
E.

180
190
200
210
220

1 Jumlah n suku pertama
deret aritmetika adalah

Gunakan info smart :

n
S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2

10

1

å ( 2n + 10 )

Atau

n =1

n =1

n =2

n
Sn = ( a + U n )
2

n =10

= (2.1+10)+2.2+10)+.....+(2.10+10)

= 12 + 14 + ....+30

1 Yang terakhir ini merupakan
deret aritmetika dengan :
a = 12
b = 14 – 12 = 2
n = 10
n
1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2
10
=
( 2.12 + ( 10 - 1 ). 2 )
2
= 5( 24 + 9 .2 )
= 5( 24 + 18 )
= 5( 42 )
= 210
Jawaban : D

Keterangan :
n = banyaknya suku
a = suku pertama (awal)
b. = beda
Un = suku ke-n (terakhir)

akhir
10

å ( 2n + 10 ) =
n =1
angka tetap

10
( 12 + 30 )
2

awal

= 5 (42) = 210

Awal = ganti n dengan 1
Akhir = ganti n dengan 10

http:/ / meetabied.w ordpress.com

245

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

100

100

k =1

k =1

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

å 2k + å ( 3k + 2 ) = ...

2. Nilai dari
A. 25450
B. 25520
C. 25700
D. 50500
E. 50750

1 Jumlah n suku pertama
deret aritmetika adalah

Gunakan info smart :
1

100

100

100

k =1

k =1

k =1

n
S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2

å 2k + å( 3k + 2 ) = å( 5k + 2 )
n=1

n=2

Atau

n
Sn = ( a + U n )

2

n = 100

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2)
= 7 + 12 + ... + 502

1 Yang terakhir ini merupakan
deret aritmetika dengan :
a=7
b = 12 – 7 = 5
n = 100 (k=1 sampai 100)
n
1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2
100
=
( 2 .7 + ( 100 - 1 ). 5 )
2
= 50 ( 14 + 99 .5 )

= 50 ( 14 + 495 )
= 50 ( 509 )
= 25450
Jawaban : A

Keterangan :
n = banyaknya suku
a = suku pertama (awal)
b. = beda
Un = suku ke-n (terakhir)

akhir
100

å ( 5k + 2 ) =
k =1

angka tetap

100

( 7 + 502 )
2

awal

= 50(509)=25450
Awal = ganti n dengan 1
Akhir = ganti n dengan 100

http:/ / meetabied.w ordpress.com

246

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

100

100

k =1

k =1

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

å ( k + 1 ) 2 - å k 2 = ...

3. Nilai dari
A. 5050
B. 10100
C. 10200
D. 100100
E. 100200

Gunakan info smart :
1

100

100

k =1
100

k =1

å ( k + 1 )2 - å k 2
= å ( k 2 + 2k + 1 - k 2 )
k =1
100

= å ( 2k + 1 )
k =1

n=1

n=2

n = 100

1 Jumlah n suku pertama
deret aritmetika adalah
n
S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2
n
Sn =
(a + U n )
2

Keterangan :
n = banyaknya suku
a = suku pertama (awal)
b. = beda
Un = suku ke-n (terakhir)

= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1)
= 3 + 5 + ... + 201

1 Yang terakhir ini merupakan
deret aritmetika dengan :
a=3
b=5–3=2
n = 100 (k=1 sampai 100)
n
1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b )
2
100
=
( 2 .3 + 99 .2 )
2
= 50 ( 6 + 99 .2 )
= 50 ( 6 + 198 ) = 10200
Jawaban : C

akhir
100

å ( 2k
k =1

angka tetap

+ 1)=

100
( 3 + 201 )
2

awal
= 50 (204) = 10200

Awal = ganti n dengan 1
Akhir = ganti n dengan 100

http:/ / meetabied.w ordpress.com

247

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

4. Ebtanas 2000
Diketahui
A.
B.
C.
D.
E.

35

35

i =5

i =5

å ki = 25 .Nilai å ( 4 + ki ) = ....

190
180
150
149
145

1 Jumlah dari suatu
bilangan asli k

Gunakan info smart :
35

1

n

å ( 4 + ki ) =

35

å 4 + å ki

35

i=5

i=5

i =5

= 4.35-4.4+25
= 140-16+25
= 140+9
= 149

1

å k = kn
i =1
n

1

å k = kn - kp

i =1 + p

Keterangan :
k = bilangan asli
n = bilangan asli > 1
p = penambahan dari bil. 1

Jawaban : D

http:/ / meetabied.w ordpress.com

248

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

5. Uan 2004/P-1/No.13
n

n

n

k =1

i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2 = ......
1
n( n + 3 )
2
1
B.
n( n + 3 )
2
1
C.
n( n + 3 )
2
D. 149

A.

1
n( n + 3 )
2
1
E. n( n + 3 )
2

D.

1 Batas atas sigma semuanya n, berarti batas
bawah sigma dapat kita anggap k atau
i = a = k, sehingga :
n

n

n

k =1

i
i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2
n

n

n

= å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2 k + 2 ) - å 3k 2
k =1
n

k =1

k =1

= å ( 3k - 5 k - 2 + 8 k + 8 - 3k )
2

2

k =1
n

= å ( 3k + 6 )
k =1

n
( 9 + 3n + 6 )
2
n
= ( 3n + 15 )
2
3
= n( n + 5 )
2
=

Jawaban : E

http:/ / meetabied.w ordpress.com

249

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 +

5
n . Beda
2

dari deret aritmetika terseut adalah...
1
A. -5
2
B. -2
C. 2
1
D. 2
2
1
E. 5
2

Gunakan info smart :
1 Sn = n2 +

1 S n = pn 2 + qn suatu
deret aritmetika, maka
beda = 2p

5
n
2

5
( n - 1)
2
5
5
= n 2 - 2n + 1 + n 2
2
1
3
2
=n + n2
2
1 U n = S n - S n -1
5
1
3
= n 2 + n - n2 - n +
2
2
2
3
= 2n +
2
3 11
U2 = 2.2 + =
2 2
3 7
U1 = 2.1 + =
2 2
11 7
b = U2 –U1 = - = 2
2 2
S n -1 = ( n - 1 ) 2 +

1 Sn = n2 +

http:/ / meetabied.w ordpress.com

5
n
2

S n = 1 .n 2 +

5
n
2

b = 2.1 = 2
Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C

250

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = 3n 2 - 4 n . Suku
ke-n dari deret aritmetika terseut adalah...
A. 6n +2
B. 6n -2
C. 6n -5
D. 6n -7
E. 3n -8

Gunakan info smart :
1 S n = 3n 2 - 4 n
S n -1 = 3( n - 1 ) 2 - 4( n - 1 )
= 3( n 2 - 2 n + 1 ) - 4 n + 4
= 3n 2 - 6 n + 3 - 4 n + 4
= 3n 2 - 10 n + 7
U n = S n - S n -1
= 3n 2 - 4 n - 3n 2 + 10 n - 7
= -4 n + 10 n - 7
= 6n - 7

Jawaban : D

1 Jumlah koefisien
variable untuk jumlah
n suku pertama sama
dengan jumlah
koefisien variabel
untuk suku ke-n

1 S n = 3n 2 - 4 n
Jumlah koefisien :
3+(-4) = -1
1 Pada pilihan dicari
jumlah koefisiennya
yang -1,
A. 6 + 2 = 8 (S)
B. 6+(-2) = 4 (S)
C. 6 +(-5) = 1 (S)
D. 6 +(-7) = -1 (B)
Jadi jawaban : D

http:/ / meetabied.w ordpress.com

251

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

8.. UAN 2003/P-1/No.10
Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini
membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun
dan usai anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak
tersebut adalah...
A. 48,5 tahun
B. 49,0 tahun
C. 49,5 tahun
D. 50,0 tahun
E. 50,5 tahun

@
@
@

Suku ke-n deret aritika :
Un = a +(n-a)b
Jumlah n suku pertama
Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

U3 = 7 …….. a +2b = 7
U5 = 12 …….. a +4b = 12 –
-2b = -5 → b = 52
a + 2. 52 = 7 , berarti a = 2

@

S6 = 12 .6(2.2 + (6 - 1). 52 ) = 3(4 + 12,5) = 49,5

http:/ / meetabied.w ordpress.com

252

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

9. SPMB 2002/Reg-II/No.19
Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku
pertama adalah....
A. 250
B. 240
C. 230
D. 220
E. 210

p
p

Jika Un = an +b, maka

Sn = 12 an 2 + (b + 12 a )n

1

Un = 4n +1
4
4
S10 = .10 2 + ( 1 + ).10
2
2
= 2.100 + ( 1 + 2 ).10
= 200 + 30 = 230

http:/ / meetabied.w ordpress.com

253

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali
dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini
berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh
lintasan bola adalah....
A. 120 m
B. 140 m
C. 160 m
D. 180 m
E. 200 m

1 Bola jatuh di ketinggian t,

dan memantul sebesar

a
b

kali tinggi sebelumnya,
dst….maka Jumlah seluruh
lintasan bola sampai
berhenti adalah :
J=
1

J=

b+a
t
b-a

b+a
4+3
t=
.20 = 140
b-a
4-3

http:/ / meetabied.w ordpress.com

254

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

11. SMPB 2002/No. 17
Agar deret geometri

x -1 1
1
, ,
,....
x x x ( x - 1)

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi....
A. x > 0
B. x < 1
C. 0 < x < 1
D. x > 2
E. x < 0 atau x > 2

1

1
1

Konvergen , syarat :
-1 < r < 1

x -1 1
1
1
, ,
,.... r =
x x x( x - 1)
x -1
Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1
-1 <

1
x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 atau
x -1 > 1
Jadi : x < 0 atau x > 2

http:/ / meetabied.w ordpress.com

255

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

12. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan
jumlahnya 10,maka....
A. -10 < a < 0
B. -16 < a < 0
C. 0 < a < 0
D. 0 < a < 20
E. -8 < a < 20

1 Deret geometri tak

hingga,diketahui
Suku pertama : a
Jumlah tak hingga : S
Maka : 0 < a < 2S
1

0 < a < 2S
0 < a < 2.10
0 < a < 20

http:/ / meetabied.w ordpress.com

256

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

13. UMPTN 1996
Dalam suatu barisan geometri,U1 +U3 = p, dan U2 +U4 = q, maka
U4 =....
A.
B.
C.

p3
p2 + q2
q3
2

p +q

2

p3 + q 3
2

p +q

2

D.

q2
2

p + q2
p2 + q3

E.

p2 + q2

1

1

Deret Geometri :
Jumlah 2 suku ganjil : U1 +U3 = x
Jumlah 2 suku genap : U2 +U4 =y
Maka :
U1 =
U2 =

1

x3
2

x +y

2

x2y
x 2 + y2

à U4 =
à U3 =

y3
2

x + y2
xy 2
x 2 + y2

U1 +U3 = p
U2 +U4 = q à U 4 =

q3
p2 + q2

http:/ / meetabied.w ordpress.com

257

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

14. UMPTN 1996
Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku
pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 –Sn adalah...
A. 2(a +nb) +1
B. 2a +nb +1
C. 2a +b(2n +1)
D. a +b(n +1)
E. a +nb +1

1

1

Jumlah n suku pertama
deret Aritmetika adalah :
Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

Sn+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b)
Sn = ½ n(2a +(n -1)b) Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b
Mudeh….aja !

http:/ / meetabied.w ordpress.com

258

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

15. UMPTN 1996
Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,...
Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah....
A. 8log 2
B. 20 log 2
C. 28 log 2
D. 36 log 2
E. 40 log 2

1

1

Jumlah n suku pertama
deret Aritmetika adalah :
Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

S8 = ½ 8(2log2 +(8 -1)log2)
= 4 (9 log 2) = 36 log 2

http:/ / meetabied.w ordpress.com

259

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

16. UMPTN 1997
Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2
sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret
aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah....
A. Sn = n2 +9n
B. Sn = n2 -9n
C. Sn = n2 +8n
D. Sn = n2 -6n
E. Sn = n2 +6n

1
1

Jika Un = pn +q à beda
b=p
Beda setelah deret
disisipi dengan k suku
,adalah : b' =

1

b
k +1

Un = 6n +4 à b = 6

b' =

6
=2
2 +1

Sn = ½ n(2.10+(n -1).2) = n2 +9n

http:/ / meetabied.w ordpress.com

260

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

17. UMPTN 1997
Antara dua suku yang berurutan pada barisan :
3 ,18 ,33,....disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan
aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang
terbentuk adalah....
A. 78
B. 81
C. 84
D. 87
E. 91

1
1

Jika Un = pn +q à beda
b=p
Beda setelah deret
disisipi dengan k suku
,adalah : b' =

1

b
k +1

3 ,18 ,33 ,…. b = 18 -3 = 15

b' =

15
=3
4 +1

S7 = ½ 7(2.3+(7 -1).3) = 7(3 +9) = 84

http:/ / meetabied.w ordpress.com

261

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

18. UMPTN 1997
Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio
r = x2 –x. Jika deret tersebut konvergen,maka x memenuhi....
A. ( ½ -Å2) < x < ( ½ +Å2)
B. ½ (1 -Å3) < x < ½ (1 +Å3)
C. ( ½ -Å3) < x < (1 +Å3)
D. ½ (1 -Å5) < x < ½ (1 +Å3)
E. ( ½ -Å5) < x < (1 +Å5)

1

1

1

Syarat Konvergen :
-1 < r < 1

Konvergen : -1 < x2-x < 1
x2 –x < 1 à x2 –x -1 < 0
Pemb.Nol : x2-x +(- ½ )2 = 1 +( ½ )2
(x – ½ )2 = 54
di dapat : x = ½ (1+Ö5) atau
Jadi ½ (1-Ö5) < x < ½ (1+Å5)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

x = ½ (1 -Ö5)

262

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

19. UMPTN 1997
Jika deret geometri konvergen dengan limit

-8
3

dan suku ke-2 serta

suku ke-4 berturut-turut 2 dan ½ , maka suku pertamanya adalah...
A. 4
B. 1
C. ½
D. -4
E. -8

Limit

1

S~ =
1

1
1

-8
3
-8
3

, maksudnya

Deret geometri :
Un = arn-1
U4 = ar3 , dst...

U 4 ar 3
1
=
Þ = r2 , r = - ½
U2
ar
4
a
-8
a
S¥ =
®
=
1- r
3
1 + 12
didapat a = -4

http:/ / meetabied.w ordpress.com

263

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

20. UMPTN 1998
Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari
tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut
berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya
adalah....
A. 4,551 juta
B. 5,269 juta
C. 5,324 juta
D. 5,610 juta
E. 5,936 juta

1 Pertumbuhan dalam waktu n

periode dan p % , dengan
data awal M adalah :
Mn = M(1 + p%)n

1

Periode 1987 – 1990 à n = 4
Mn = 4(1 + 10 %)4
= 4(1 + 0,1)4 = 5,324

]

http:/ / meetabied.w ordpress.com

264

Kumpulan Rumus Fisika & Matematika

http:/ / pakgurufisika.blogspot.com

14. UMPTN 1998
Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga
yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga :

1
1
1
+
+
+ .... ,maka......
2
3 + r (3 + r )
(3 + r ) 2
A. ¼ < S < ½
B. 83 < S < 34

D.

3
4