Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:JTNB:

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x(n) = µℓn + λn + ν,

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Cℓ ✱ r❡❣❛r❞é❡ ❝♦♠♠❡
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♠♦❞✉❧❡ ❞❡ t♦rs✐♦♥ s✉r ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ [[γ − 1]] ❝♦♥str✉✐t❡ s✉r
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x(n) ≈ µℓn + λn,

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❞❡ Kn q✉✐ ❡st S ✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ ❡t T ✲r❛♠✐✜é❡ ✭✐✳❡✳ ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ❞é❝♦♠♣♦sé❡
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ℓn+1 ❧❡ s♦♥t ❡♥❝♦r❡✱ ❡t ✐❧ ❡st ♠♦♥tré ❞❛♥s ❬✶✷❪ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ❡♥t✐❡rs ♥❛✲
T
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xTS (n) ≈ ρTS (n + 1)ℓn + µTS ℓn + λTS n.

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←−
♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ s✉r ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ✱ à ❝❡❧❛ ♣rès q✉❡ ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥t

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✺✷✾

∞
λTS ❞✐✛èr❡ ❞✬✉♥❡ ✉♥✐té ❞❡ ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥t ❧❛♠❜❞❛ ❞✉ Λ✲♠♦❞✉❧❡ CST∞
❧♦rsq✉❡ ❧✬❡①✲
t❡♥s✐♦♥ K∞ /K ❡st ❡❧❧❡✲♠ê♠❡ S ✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ ❡t T ✲r❛♠✐✜é❡✱ ✐✳❡✳ ❧♦rsq✉❡ ❧✬❡♥✲
s❡♠❜❧❡ S ❡st ✈✐❞❡ ❡t q✉❡ T ❝♦♥t✐❡♥t ❧❛ t♦t❛❧✐té ❞❡s ♣❧❛❝❡s ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ ℓ✳

❉❡ ❢❛✐t✱ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ♣ré❝é❞❡♥t❡ r❡♣♦s❡ ✐♥té❣r❛❧❡♠❡♥t
s✉r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❬✾❪ ✭❡ss❡♥t✐❡❧❧❡♠❡♥t ❝❡✉① ❞✉ ❝❤❛♣✐tr❡ ■❱✮ q✉✐ ♥✬❛✈❛✐❡♥t
❥❛♠❛✐s ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❥✉sq✉✬✐❝✐ ❞✬✉♥❡ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ s♣é❝✐✜q✉❡✱ ❡t ♠ê♠❡ ❡♥ t♦✉t❡
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❝♦♠♣t❡ ❧❡s Λ✲♠♦❞✉❧❡s ♥♦❡t❤ér✐❡♥s q✉✐ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t ❞❡ t♦rs✐♦♥✳
■❧ ♥♦✉s ❛ ❞♦♥❝ ♣❛r✉ ✉t✐❧❡ ❞✬❡♥ r❛ss❡♠❜❧❡r ✐❝✐ ✉♥❡ ♣r❡✉✈❡ ❝♦♠♣❧èt❡✳ ❊t
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❉❡ ♣❧✉s✱ ✉♥❡ ❢♦✐s ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ét❛❜❧✐❡✱ s❡ ♣♦s❡ é✈✐❞❡♠♠❡♥t✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡
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◆♦t❛t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✕ ℓ ❡st ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ♣r❡♠✐❡r ❛r❜✐tr❛✐r❡ ✭♣r✐s ✐♠♣❛✐r ❞❛♥s ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ s❡❝✲
t✐♦♥✮ ❀
✕ µℓ∞ = ∪n∈N µℓn ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s r❛❝✐♥❡s ❞✬♦r❞r❡ ℓ✲♣r✐♠❛✐r❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❀
✕ ∆ ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡ d étr❛♥❣❡r ❛✈❡❝ ℓ ❀
✕ Zℓ [∆] = ⊕ϕ Zℓ [∆]eϕ = ⊕ϕ Zϕ ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ ❀
✕ Γ = γ Zℓ ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ♣r♦❝②❝❧✐q✉❡ ✐s♦♠♦r♣❤❡ à Zℓ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r γ ❀
✕ Λ = Zℓ [[γ − 1]] ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❛ss♦❝✐é❡ ❛✉ ❣r♦✉♣❡ Γ ❀
n
✕ ωn ❡st ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ γ ℓ − 1 ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ [γ − 1] = Zℓ [γ] ❀
✕ ∇n ❡st ❧✬✐❞é❛❧ ❞❡ Λ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ωn ❡t ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+1 ❀
✕ Λ[∆] = ⊕ϕ Λ[∆]eϕ = ⊕ϕ Λϕ ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ s✉r ❧✬❛♥♥❡❛✉ Λ✳
◆♦t❛t✐♦♥s ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✕
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F ❡st ✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ ♥♦♠❜r❡s t♦t❛❧❡♠❡♥t ré❡❧ ❀
F∞ = ∪n∈N Fn ❡st ❧❛ Zℓ ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ❞❡ F ❀
K ❡st ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ❞❡ F ❞❡ ❣r♦✉♣❡ ∆ ❡t ❝♦♥t❡♥❛♥t µℓ ❀

∆ = Gal(K/F ) ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡ d étr❛♥❣❡r ❛✈❡❝ ℓ ❀
K∞ = ∪n∈N Kn ❡st ❧❛ Zℓ ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ❞❡ K ✭❡t ❝♦♥t✐❡♥t
µℓ∞ ✮ ❀
Kn ❡st ❧✬✉♥✐q✉❡ s♦✉s✲❝♦r♣s ❞❡ K∞ ❞❡ ❞❡❣ré ℓn s✉r K ✭♦♥ ❛ ❛✐♥s✐ K =
K0 ✮ ❀
Γ = γ Zℓ ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s Gal(F∞ /F ) ≃ Gal(K∞ /K) ❀
n
Γn = γ ℓ Zℓ ❡st ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ Gal(F∞ /Fn ) ≃ Gal(K∞ /Kn ) ❀
Λ = Zℓ [[γ − 1]] ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❛ss♦❝✐é❡ à Γ ❀
S ❡t T s♦♥t ❞❡✉① ∆✲❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞✐s❥♦✐♥ts ❞❡ ♣❧❛❝❡s ✜♥✐❡s ❞❡ K ❀
L ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❧❛❝❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ✭✐✳❡✳ ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ ℓ✮ ❞✉ ❝♦r♣s K ❀
S ℓ = S ∩ L ❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ s❛✉✈❛❣❡ ❞❡ S ❡t S 0 = S \ Sℓ s❛ ♣❛rt✐❡ ♠♦❞éré❡ ❀
T ℓ = T ∩ L ❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ s❛✉✈❛❣❡ ❞❡ T ❡t T 0 = S \ Tℓ s❛ ♣❛rt✐❡ ♠♦❞éré❡ ❀
Sn ❡t Tn s♦♥t ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞❡ ♣❧❛❝❡s ❞❡ Kn ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ S ❡t ❞❡
T❀
S∞ ❡t T∞ s♦♥t ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞❡ ♣❧❛❝❡s ❞❡ K∞ ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ S ❡t
T❀
P
degℓ S = p∈Sℓ [Fp : Qℓ ] ❡st ❧❡ ❞❡❣ré s❛✉✈❛❣❡ ❡♥ S ❀ ❞❡ ♠ê♠❡ degℓ T ❡♥
T✳

ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❈♦r♣s ❞❡ ❈❧❛ss❡s
✕ p ❡st ✉♥❡ ♣❧❛❝❡ ✜♥✐❡ ❞✉ ❝♦r♣s K ❡t pn ✉♥❡ ♣❧❛❝❡ ❞❡ Kn ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ p ❀
✕ Kpn ✿ ❧❡ ❝♦♠♣❧été ❞❡ Kn ❡♥ ❧❛ ♣❧❛❝❡ pn ❀
m
✕ Rpn = lim Kp×n /Kp×ℓ
✿ ❧❡ ❝♦♠♣❛❝t✐✜é ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ Kp×n ❀
n
←−

◆♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✺✸✶

✕ Upn ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ✉♥✐té ❞❡ Rpn ❀
✕ µpn ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡ t♦rs✐♦♥ ❞❡ Rpn ✱ ✐✳❡✳ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s r❛❝✐♥❡s ❞❡
❧✬✉♥✐té ❀
Q
✕ JKn = res
R ✿ ❧❡ ℓ✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s ✐❞è❧❡s ❞✉ ❝♦r♣s Kn ❀
Q pn pn
✕ UKn = pn Upn ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s ✐❞è❧❡s ✉♥✐tés ❀
Q
✕ J Tn = res
R ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s ✐❞è❧❡s T ✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛✉① ❀
Qpn ∈Tn pn
✕ U Tn = pn ∈Tn Upn ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ✉♥✐té ❞❡ J Tn ❀
Q
Q
✕ JSTnn =
pn ∈Sn Jpn
pn ∈T
/ n Upn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲✐❞è❧❡s T ✲✐♥✜♥✐tés✐✲
♠❛✉① ❀
✕ RKn = Zℓ ⊗Z Kn× ⊂ JKn ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ JKn ❀
✕ EKn = RKn ∩ UKn = Zℓ ⊗Z EKn ✿ ❧❡ ℓ✲❛❞✐✜é ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s ✉♥✐tés
❣❧♦❜❛❧❡s ❀
Tn
Tn
✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s ✉♥✐tés T ✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s ❞❡ Kn ❀
✕ EK
= RKn ∩ UK
n
n
Tn
Tn
✕ ESn = RKn ∩ JSn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲✉♥✐tés T ✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s ❞❡ Kn ❀
✕ CℓKn = JKn /UKn Rpn ✿ ❧❡ ℓ✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ✭❛✉ s❡♥s ❤❛❜✐t✉❡❧✮ ❞❡
Kn ❀
✕ CℓTSnn = JKn /JSTnn Rpn ✿ ❧❡ ℓ✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲❝❧❛ss❡s T ✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s ❞❡
Kn ❀
= lim CℓTSnn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲❝❧❛ss❡s T ✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s ❞❡ K∞ ❀
✕ CℓTS∞
∞
−→
∞
= lim CℓTSnn ✿ ❧❛ ❧✐♠✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ✭♣♦✉r ❧❛ ♥♦r♠❡✮ ❞❡s ❣r♦✉♣❡s
✕ CST∞
←−
CℓTSnn ❀
∞
❀
✕ ρTS , µTS , λTS ✿ ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❞✉ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ CST∞

◆♦t❛t✐♦♥s r❡❧❛t✐✈❡s à ❧✬✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♠✐r♦✐r
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕
✕

Tℓ = lim µℓn ❡st ❧❡ ♠♦❞✉❧❡ ❞❡ ❚❛t❡ ❝♦♥str✉✐t s✉r ❧❡s r❛❝✐♥❡s ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❀
←−
∆p ✿ ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡ ❞❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s pn ❞❛♥s Kn /Fn ♣♦✉r n ≫ 0 ❀
χp ✿ ❧✬✐♥❞✉✐t
à ∆ ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ ✉♥✐té ❞❡ ∆p ❀
P
χT = p∈T χp✱ ❧❛ s♦♠♠❡ ét❛♥t ♣r✐s❡ s✉r ❧❡s ♣❧❛❝❡s ❞❡ F∞ ❀
ω ✿ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡✱ ✐✳❡✳ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❞✉ Zℓ [∆]✲♠♦❞✉❧❡ Tℓ ❀
ψ → ψ ∗ = ωψ −1 ❡st ❧✬✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♠✐r♦✐r ✭♦ù ψ ∗ ❡st ❧❡ r❡✢❡t ❞❡ ψ ✮ ❀
χreg ✿ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ré❣✉❧✐❡r ❞❡ ∆ ❀
χ = χ⊕ + χ⊖ ✿ ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ χ ❡♥ s❡s ♣❛rt✐❡s ré❡❧❧❡s ❡t ✐♠❛❣✐✲
♥❛✐r❡s ❀
⊕ ❡t δ = deg S χ
χ∞ = [F : Q] χreg
reg ❀ ❞❡ ♠ê♠❡ ✿ δT = degℓ T χreg ❀
S
ℓ
Q
νp
mn = pn ∈T pn ✿ ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡ ❞✬❤②♣❡r♣r✐♠❛r✐té ❞✉ ❝♦r♣s
Kn ❀
Rmn ✿ ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ RKn ❢♦r♠é ❞❡s é❧é♠❡♥ts ❝♦♥❣r✉s à ✶ ♠♦❞✉❧♦
mn ❀
ESmnn = ESn ∩ Rmn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲✉♥✐tés ❝♦♥❣r✉❡s à ✶ ♠♦❞✉❧♦ mn ❀

✺✸✷

❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s

❏❛✉❧❡♥t

mn
n
✕ Cℓm
Sn = JKn /JSn RKn ❧❡ ℓ✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s S ✲❝❧❛ss❡s ❞❡ r❛②♦♥ mn ❞❛♥s Kn ✳
✕ HSTnn ✿ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ S ✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ T ✲r❛♠✐✜é❡ ❞✬❡①♣♦s❛♥t ℓn+1
♠❛①✐♠❛❧❡ ❞✉ ❝♦r♣s Kn ❀
✕ RadTSnn ✿ ❧❡ r❛❞✐❝❛❧ ❦✉♠♠ér✐❡♥ ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ HSTnn /Kn ❀
✕ GalTSnn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ HSTnn /Kn ✳

✶✳ ▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞✉ ♣❛r❛♠étr❛❣❡ ♣♦✉r ❧❡s

Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s

✶✳✶✳ ❘❛♣♣❡❧ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛✳

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ♣✉r❡♠❡♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡✱ ℓ ❡st ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ♣r❡♠✐❡r ❛r❜✐✲
tr❛✐r❡✱ Zℓ ❞és✐❣♥❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ❞❡s ❡♥t✐❡rs ℓ✲❛❞✐q✉❡s✱ Fℓ ≃ Z/ℓZ s♦♥ ❝♦r♣s
rés✐❞✉❡❧ ❡t ∆ ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡ d étr❛♥❣❡r à ℓ✳
❙♦✉s ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ ℓ ∤ d✱ ❧✬❛❧❣è❜r❡ rés✐❞✉❡❧❧❡ Fℓ [∆] ❡st ❛✐♥s✐ ✉♥❡ ❛❧❣è❜r❡
s❡♠✐✲s✐♠♣❧❡✱ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞✬❡①t❡♥s✐♦♥s Fϕ ❞❡ Fℓ ❀ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ Zℓ [∆]
❡st ✉♥❡ ❛❧❣è❜r❡ s❡♠✐✲❧♦❝❛❧❡✱ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞✬❡①t❡♥s✐♦♥s ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡s Zϕ
❞❡ Zℓ ❀ ❡t ❧❡s ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ♣r✐♠✐t✐❢s e¯ϕ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t eϕ ✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à
❧❡✉rs ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s r❡s♣❡❝t✐✈❡s ✿

Fℓ [∆] = ⊕ϕ Fℓ [∆]¯
eϕ = ⊕ϕ Fϕ

&

Zℓ [∆] = ⊕ϕ Zℓ [∆]eϕ = ⊕ϕ Zϕ

s♦♥t ❞♦♥♥és à ♣❛rt✐r ❞❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s ϕ ❞❡ ∆ ♣❛r ❧❡s
❢♦r♠✉❧❡s ❝❧❛ss✐q✉❡s ✿
P
eϕ = d1 τ ∈∆ ϕ(τ −1 )τ ✱
❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡✉rs ré❞✉❝t✐♦♥s r❡s♣❡❝t✐✈❡s ♠♦❞✉❧♦ ℓ✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥
[Zϕ : Zℓ ] ❞✉ Zℓ ✲♠♦❞✉❧❡ Zϕ ✭❝✬❡st à ❞✐r❡ ❧❡ ❞❡❣ré ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡
Qϕ /Qℓ ❞❡s ❝♦r♣s ❞❡ ❢r❛❝t✐♦♥s✮ ❡st ❧❡ ❞❡❣ré deg ϕ ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ ϕ✳
❉❡ ❢❛ç♦♥ t♦✉t❡ s❡♠❜❧❛❜❧❡✱ s✐ Γ = γ Zℓ ❞és✐❣♥❡ ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ♣r♦❝②❝❧✐q✉❡ ✐s♦✲
♠♦r♣❤❡ à Zℓ ❡t Λ = Zℓ [[γ−1]] ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡s sér✐❡s ❢♦r♠❡❧❧❡s ❡♥ ❧✬✐♥❞ét❡r♠✐♥é❡
γ−1 à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ ❞❡s ❡♥t✐❡rs ℓ✲❛❞✐q✉❡s✱ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡ ❣r♦✉♣❡
Λ[∆] s✬é❝r✐t ❝❛♥♦♥✐q✉❡♠❡♥t ❝♦♠♠❡ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞❡ s❡s ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ✿

Λ[∆] = ⊕ϕ Λ[∆]eϕ = ⊕ϕ Λϕ .
❊t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆✱ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡
Λϕ = Λ[∆]eϕ ❛ss♦❝✐é❡ à ❧✬✐❞❡♠♣♦t❡♥t eϕ s✬✐❞❡♥t✐✜❡ à ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡s sér✐❡s
❢♦r♠❡❧❧❡s Zϕ [[γ − 1]] ❡♥ ❧✬✐♥❞ét❡r♠✐♥é❡ γ − 1 à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥
♥♦♥ r❛♠✐✜é❡ Zϕ = Zℓ [∆]eϕ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ ✳
P❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t✱ ♣❛r ❛❝t✐♦♥ ❞❡s ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ♣r✐♠✐t✐❢s eϕ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡
Λ[∆] t♦✉t Λ✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ X s❡ ❞é❝♦♠♣♦s❡ ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❝♦♠♠❡ s♦♠✲
♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ❞❡ s❡s ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡s Xϕ = X eϕ ✱ ❝✬❡st à ❞✐r❡ ❝♦♠♠❡ s♦♠♠❡
❞✐r❡❝t❡ ❞❡ Λϕ ✲♠♦❞✉❧❡s ♥♦❡t❤ér✐❡♥s✳ ▲❡s t❤é♦rè♠❡s ❞❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡
❞✬■✇❛s❛✇❛✱ t❡❧s q✉✬é♥♦♥❝és ♣❛r ❙❡rr❡ ✭❝❢✳ ❬✶✹❪✮✱ ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞♦♥❝ ♠✉t❛t✐s

✺✸✸

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

♠✉t❛♥❞✐s ❞❡ ❞é❝r✐r❡ ✉♥ t❡❧ ♠♦❞✉❧❡ à ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣rès à ♣❛rt✐r
❞✬✉♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♠♦❞✉❧❡s ré❢ér❡♥ts ❞✐ts é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳ ■❧ ✈✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✿

❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✳ ❚♦✉t

Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ X ❡st ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤❡ à
✉♥❡ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ✜♥✐❡ ❞❡ ♠♦❞✉❧❡s ✐s♦t②♣✐q✉❡s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳
P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❞✉ ❣r♦✉♣❡
∆✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ tr✐♣❧❡t (ρϕ , sϕ , tϕ ) ❞✬❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s✱ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s✉✐t❡
❞é❝r♦✐ss❛♥t❡ (fϕ,i )i=0,✳✳✳,sϕ ❞❡ ♣♦❧②♥ô♠❡s ❞✐st✐♥❣✉és ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zϕ [γ − 1]
❡t ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s✉✐t❡ ❞é❝r♦✐ss❛♥t❡ (mϕ,i )i=0,✳✳✳,tϕ ❞✬❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s
t❡❧s q✉❡ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ Xϕ = eϕ X ❞✉ ♠♦❞✉❧❡ X s✬❡♥✈♦✐❡ ♣❛r ✉♥ Λ[∆]✲
♠♦r♣❤✐s♠❡ à ♥♦②❛✉ ❡t ❝♦♥♦②❛✉ ✜♥✐ ❞❛♥s ❧❛ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ✿




sϕ
ρ
tϕ
Xϕ ∼ Λϕϕ ⊕ ⊕i=0
Λϕ /fϕ,i Λϕ ⊕ ⊕j=0
Λϕ /ℓmϕ,i Λϕ .

❖♥ ❞✐t q✉❡ ❧✬❡♥t✐❡r ρϕ = dimΛϕ Xϕ ❡st ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞✉ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ Xϕ
Q ϕ mϕ,j Qsϕ
❡t q✉❡ ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ Pϕ = tj=0
ℓ
i=0 fϕ,i ∈ Zϕ [γ − 1] ❡st ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡
❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λϕ ✲t♦rs✐♦♥✳
■❧ ❡st ❛❧♦rs ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡ ❝♦❞❡r ❣❧♦❜❛❧❡♠❡♥t ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧✬❡♥✲
s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❡♥ ✐♥tr♦❞✉✐s❛♥t ❝♦♠♠❡ s✉✐t ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣❛r❛✲
♠ètr❡s ✿

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ♣ré❝é❞❡♥t✱ ♥♦✉s ❛♣♣❡❧♦♥s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬✉♥
Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ X ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ∆ ❞é✲
✜♥✐s à ♣❛rt✐r ❞❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❞❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ✐s♦t②♣✐q✉❡s ❞❡ X

♣❛r ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s ✿
ρ=

P

ϕ ρϕ

ϕ,

µ=

P

ϕ µϕ

ϕ,

λ=

P

ϕ λϕ

ϕ✱

♦ù✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ✱ ❧❡s ❡♥t✐❡rs ρϕ ✱ µϕ ❡t λϕ
♠❡s✉r❡♥t r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ dimΛϕ Xϕ ❞❡ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞❡ X ✱
Pϕ
Psϕ
❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❛ ℓ✲✈❛❧✉❛t✐♦♥ tj=0
mϕ,j ❡t ❧❡ ❞❡❣ré i=0
deg fϕ,i ❞✉ ♣♦❧②♥ô♠❡
❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λϕ ✲t♦rs✐♦♥✳
■♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❛ ✜❧tr❛t✐♦♥ (∇n )n∈N ✱ q✉✐ ❥♦✉❡ ✉♥ rô❧❡ ❡ss❡♥t✐❡❧
❞❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t ✿

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✸✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ n✱ ❞és✐❣♥♦♥s ♣❛r
∇n = ℓn+1 Λ + ωn Λ
❧✬✐❞é❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ [[γ − 1]] ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+1 ❡t
n
❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ωn = γ ℓ − 1 ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ [γ − 1] = Zℓ [γ]✳ ❈❡❧❛ ét❛♥t ✿

✭✐✮ ▲✬✐❞é❛❧ ∇ = ∇0 ❡st ❧✬✉♥✐q✉❡ ✐❞é❛❧ ♠❛①✐♠❛❧ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ré❣✉❧✐❡r
Λ✳
✭✐✐✮ ▲❡s ✐❞é❛✉① (∇n )n∈N ❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ s✉✐t❡ ❡①❤❛✉st✐✈❡ str✐❝t❡♠❡♥t ❞é❝r♦✐s✲
s❛♥t❡ ❞✬✐❞é❛✉① ❞✬✐♥❞✐❝❡ ✜♥✐ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ [[γ − 1]]✳

✺✸✹

❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s

❏❛✉❧❡♥t

✭✐✐✐✮ ❯♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ❝♦♠♣❛❝t X ❡st ♥♦❡t❤ér✐❡♥ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✬✐❧ ❡①✐st❡
✉♥ ❡♥t✐❡r n ♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ q✉♦t✐❡♥t X/∇n X ❡st ✜♥✐ ❀ ❛✉q✉❡❧ ❝❛s✱ ❧❡s
q✉♦t✐❡♥ts X/∇n X s♦♥t t♦✉s ❞❡s Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s ✜♥✐s✳
✭✐✈✮ ❯♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ❝♦♠♣❛❝t X ❡st ✜♥✐ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❡♥t✐❡r
n ♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ X/∇n X ❡st tr✐✈✐❛❧ ❀ ❛✉q✉❡❧ ❝❛s✱ ❧❡s s♦✉s✲
♠♦❞✉❧❡s X/∇n X s♦♥t ✉❧t✐♠❡♠❡♥t tr✐✈✐❛✉①✳
Pr❡✉✈❡✳ ▲❡s ❞❡✉① ♣r❡♠✐èr❡s ❛ss❡rt✐♦♥s s✬♦❜t✐❡♥♥❡♥t ❝♦♠♠❡ s✉✐t ✿ ❞✬✉♥ ❝ôté✱

❝♦♠♠❡ ω0 ❡st é❣❛❧ à γ − 1✱ ❧✬✐❞é❛❧ ∇0 ❡st ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧✬✐❞é❛❧ ♠❛①✐♠❛❧ ∇ ❞❡
❧✬❛❧❣è❜r❡ Λ ❀ ❡t ❧✬✐❞❡♥t✐té
n
n+1
n
n
(γ ℓ − 1)ℓ = (γ ℓ
− 1) + ℓ(γ ℓ − 1)P (γ ℓ )✱

♣♦✉r ✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡ P ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ [γ − 1] = Zℓ [γ]✱ ♠♦♥tr❡ ♣❛r
✉♥❡ ré❝✉rr❡♥❝❡ é✈✐❞❡♥t❡ q✉❡ ∇n ❡st ❝♦♥t❡♥✉ ❞❛♥s ❧❛ ♣✉✐ss❛♥❝❡ (n + 1)✲✐è♠❡
❞❡ ❧✬✐❞é❛❧ ∇✳ ❉✬✉♥ ❛✉tr❡ ❝ôté✱ ✉♥ ❝❛❧❝✉❧ ✐♠♠é❞✐❛t ❞♦♥♥❡ ✿
(Λ : ∇n ) = |(Z/ℓn+1 Z)[Γn ]| = ℓ(n+1)ℓ ✱
n

❛✈❡❝ Γn = Γ/Γℓ ❀ ❝❡ q✉✐ ét❛❜❧✐t ❧❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ♣♦✐♥t✳
▲❡s ❛ss❡rt✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s rés✉❧t❡♥t ❛❧♦rs ❞✉ ❢❛✐t q✉❡ ❧❡s ✐❞é❛✉① (∇n )n∈N
❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ✈♦✐s✐♥❛❣❡s ❞❡ ✵ ❞❛♥s ❧✬❛❧❣è❜r❡ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ ❝♦♠♣❛❝t❡
Λ = Zℓ [[γ − 1]]✳
n

▲✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ s❡❝t✐♦♥ q✉✐ s✉✐t ❡st ❞❡ r❡❧✐❡r ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬ ✉♥
Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❛✉① ♦r❞r❡s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s ❞❡ s❡s q✉♦t✐❡♥ts ✜♥✐s✳
✶✳✷✳ ❊♥♦♥❝é ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✉r ❧❡ ♣❛r❛♠étr❛❣❡✳

▲❡ rés✉❧t❛t ❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ r❡❧✐❡ ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬✉♥ Λ[∆]✲
♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞♦♥♥é X ❛✈❡❝ ❧❡s ♦r❞r❡s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s s♦✉s✲q✉♦t✐❡♥ts ✜♥✐s
❞❡ X ✿

❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡
♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ ❡t λ✳ ❙✐ ∇n = ℓn+1 Λ + ωn Λ ❞és✐❣♥❡ ❧✬✐❞é❛❧
❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛
Λ = Zℓ [[γ − 1]] ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+1 ❡t ❧❡
n
♣♦❧②♥ô♠❡ ωn = (γ ℓ − 1)✱ ✐❧ϕ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ ν ❞✉
❣r♦✉♣❡ ∆ t❡❧ q✉❡ ❧✬♦r❞r❡ ℓxn ❞❡ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞✉ q✉♦t✐❡♥t X/∇n X s♦✐t
❞♦♥♥é✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❡t t♦✉t ❡♥t✐❡r n ❛ss❡③
❣r❛♥❞✱ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿
n
n
xϕ
n = < ρ, ϕ > (n + 1)ℓ + < µ, ϕ > ℓ + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳


ϕ
❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ ❧✬✐♥❞✐❝❡ ℓxn = Xϕ : ∇n Xϕ ❡st ❞♦♥♥é ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡✲
♠❡♥t ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿
n
n
xϕ
n ≈ < ρ, ϕ > (n + 1)ℓ + < µ, ϕ > ℓ + < λ, ϕ > n ✱
❡♥ ❝❡ s❡♥s q✉❡ ❧❛ ❞✐✛ér❡♥❝❡ ❡♥tr❡ ❧❡s ❞❡✉① ♠❡♠❜r❡s ❡st ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥st❛♥t❡✳
❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✹✳ ✭❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s✳✮

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✺✸✺

❈❡ rés✉❧t❛t ❛♠è♥❡ ❛✐♥s✐ à ♣♦s❡r ✿

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✺✳ ◆♦✉s ❞✐s♦♥s q✉✬✉♥❡ s✉✐t❡ (Xn )n∈N ❞❡ Zℓ [∆]✲♠♦❞✉❧❡s ✜♥✐s
❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ✈✐rt✉❡❧s ✿
P
P
P
P
ν = ϕ νϕ ϕ ✱
λ = ϕ λϕ ϕ
µ = ϕ µϕ ϕ ,
ρ = ϕ ρϕ ϕ ,
❧♦rsq✉❡
♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ ❧✬♦r❞r❡
ϕ
ℓxn ❞❡ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ eϕ Xn ❞❡ Xn ❡st ❞♦♥♥é ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡♠❡♥t ♣❛r ❧❛
❢♦r♠✉❧❡ ✿
n
n
xϕ
n = < ρ, ϕ > (n + 1)ℓ + < µ, ϕ > ℓ + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳
▲♦rsq✉❡ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ν ♥✬❡st ♣❛s ❡①♣❧✐❝✐té✱ ♥♦✉s é❝r✐✈♦♥s s✐♠♣❧❡♠❡♥t ✿
n
n
xϕ
n ≈ < ρ, ϕ > (n + 1)ℓ + < µ, ϕ > ℓ + < λ, ϕ > n✱
♣♦✉r s✐❣♥✐✜❡r q✉❡ ❧❛ ❞✐✛ér❡♥❝❡ ❡♥tr❡ ❧❡s ❞❡✉① ♠❡♠❜r❡s ❡st ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥s✲
t❛♥t❡✳
❘❡♠❛rq✉❡✳ ▲✬❡♥t✐❡r xϕn ét❛♥t t♦✉❥♦✉rs ♣♦s✐t✐❢✱ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ρ q✉✐ ❛♣♣❛r❛✐t

❞❛♥s ❧❛ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✺ ❡st ❞❡ ❝❡ ❢❛✐t ♣♦s✐t✐❢ ✭❡♥ ❝❡ s❡♥s q✉❡ ❧✬♦♥ ❛ ρϕ ≥ 0
♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ✐rré❞✉t✐❜❧❡ ϕ✮ ❀ ✐❧ ❡♥ ❡st ❞❡ ♠ê♠❡ ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ µ s✐
ρ ❡st ♥✉❧ ❀ ❡t ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ λ s✐ ρ ❡t µ s♦♥t t♦✉s ❞❡✉① ♥✉❧s✳ ■❧ ♣❡✉t ❛rr✐✈❡r
❡♥ r❡✈❛♥❝❤❡ q✉❡ ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s λ ♦✉ µ ♥❡ s♦✐❡♥t ♣❛s ❞❛♥s RZ+ℓ (∆) ❞ès ❧♦rs
q✉❡ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❞♦♠✐♥❛♥t ② ❡st ✿ ❞❡s ❡①❡♠♣❧❡s s♦♥t ❞♦♥♥és ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥
✷ ♣❧✉s ❧♦✐♥✳

Pr❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡✳ ❉✐st✐♥❣✉♦♥s ❧❡s tr♦✐s ❝❛s ✿
✭✐✮ P♦✉r X = Λϕ ✱ ✐❧ ✈✐❡♥t t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t ✿
n
X/∇n X ≃ (Zϕ /ℓn+1 Zϕ )[Γn ]✱ ❛✈❡❝ Γn = Γ/Γℓ ≃ Z/ℓn Z ❀
❞✬♦ù ❧✬✐❞❡♥t✐té ❛tt❡♥❞✉❡ ✿
n
n
(X : ∇n X) = (Zϕ : ℓn+1 Zϕ )ℓ = ℓ(n+1)ℓ deg ϕ ✳
✭✐✐✮ P♦✉r X = Λϕ /ℓmϕ Λϕ ❡t n ≥ mϕ ✱ ❧❡ ♠ê♠❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞♦♥♥❡ ✿
n
n
(X : ∇n X) = (Zϕ : ℓmϕ Zϕ )ℓ = ℓmϕ ℓ deg ϕ ✳
✭✐✐✐✮ ♣♦✉r X = Λϕ /fϕ Λϕ ❡♥✜♥✱ ♥♦✉s ❛✉r♦♥s ❜❡s♦✐♥ ❞✬✉♥ ❧❡♠♠❡ ❝❧❛ss✐q✉❡
q✉✐ ♣❡✉t êtr❡ r❡❣❛r❞é ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❛✉① ❛♥♥❡❛✉① ❞❡ ♣♦❧②✲
♥ô♠❡s s✉r Zϕ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ✽ ✭✐✐✐✮ ❞❡ ❬✶✹❪ ✿

▲❡♠♠❡ ✶✳✻✳ ❙♦✐t Zϕ ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✜♥✐❡ ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ ❡t fϕ
✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❞✐st✐♥❣✉é ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zϕ [γ − 1]✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧
n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ❛❧♦rs ❞❡✉① ♣♦❧②♥ô♠❡s an ❡t bn ❞❛♥s Zϕ [γ − 1] t❡❧s
q✉✬♦♥ ❛✐t ✿
Pℓ−1 kℓn
= ℓ(1 + ℓan ) + bn fϕ ✳
= ωωn+1
k=0 γ
n
❉❡ ♣❧✉s ❧✬é❧é♠❡♥t 1 + ℓan ❡st ✐♥✈❡rs✐❜❧❡ ❞❛♥s ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ Λϕ = Zϕ [[γ − 1]]✳

✺✸✻

❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s

❏❛✉❧❡♥t

Pr❡✉✈❡✳ ❘❛✐s♦♥♥♦♥s ❞❛♥s ❧✬❛♥♥❡❛✉ q✉♦t✐❡♥t Zϕ [γ − 1]/fϕ Zϕ [γ − 1]✳ ❙✐ dϕ ❡st
❧❡ ❞❡❣ré ❞✉ ♣♦❧②♥ô♠❡ fϕ ✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣❛r ❤②♣♦t❤ès❡ ✿
dϕ
ℓn−1
n−1
(γ − 1)
donc
γℓ
− 1 ≡ (γ − 1)
≡ 0 mod ℓ,
≡ 1 mod ℓ✱
❞ès q✉❡ n ❡st ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✳ ❈❡❧❛ ét❛♥t✱ ✐❧ s✉✐t ✿
γℓ

n−1

2

n

≡ 1 mod ℓ, puis γ ℓ ≡ 1 mod ℓ ; et enfin

❝❡ q✉✐ ❡st ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧❡ rés✉❧t❛t ❛♥♥♦♥❝é✳

Pℓ−1

k=0 γ

kℓn ≡

2

ℓ mod ℓ ,

❙✉✐t❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡✳ ❆♣♣❧✐q✉é ❛✉ ♠♦❞✉❧❡ ✐s♦t②♣✐q✉❡ X =
Λϕ /fϕ Λϕ ✱ ❧❡ ▲❡♠♠❡ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ♣♦✉r n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ❧✬é❣❛❧✐té ∇n+1 X =
ℓ ∇n X ✱ ❞♦♥❝ ✿
(X : ∇n X) = (X : ∇n0 X)(∇n0 X : ∇n X) = (X : ∇n0 X)(∇n0 X : ℓn−n0 ∇n0 X)
♣♦✉r n ≫ n0 ❀ ♣✉✐s✱ ❝♦♠♠❡ ❛tt❡♥❞✉ ✿
(X : ∇n X) ≈ (∇n0 X : ℓn−n0 ∇n X) = ℓ(n−n0 )dϕ deg ϕ ≈ ℓn dϕ deg ϕ ❀

❝❡ q✉✐ ❛❝❤è✈❡ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞✉ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡✳
❉❛♥s ❧❛ ♣r❛t✐q✉❡✱ ✐✳❡✳ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡
❞✬■✇❛s❛✇❛✱ ✐❧ ♥✬❡st ♣❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ❡♥ ❣é♥ér❛❧ ❞✬❛♣♣❧✐q✉❡r ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❧❡
❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✹✱ ❝❛r ✐❧ ❡st s♦✉✈❡♥t ♥é❝❡ss❛✐r❡ ❞❡ ❢❛✐r❡ ❛♣♣❡❧ à ✉♥ rés✉❧t❛t
❛♣♣❛r❡♠♠❡♥t ♣❧✉s t❡❝❤♥✐q✉❡ ✿
✶

❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❡t ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ
❡t λ ❀ ❡t s♦✐t Y ✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ X ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r Zℓ ✳ ❆❧♦rs✱ ♣♦✉r t♦✉t
❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ m ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts ❞é✜♥✐s ♣♦✉r n ≥ m ♣❛r ✿
❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✼✳

Yn = X/(∇n X +

ωn
ωm Y

)

❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ❧❡s ♠ê♠❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ρ✱ µ ❡t λ q✉❡ ❧❡s Xn = X/∇n X ✳
❊♥✜♥✱ ✐❧ ❡st é✈✐❞❡♠♠❡♥t ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡ ❥♦✉❡r s✉r ❧❡s ❞❡✉① t❡r♠❡s q✉✐ ✐♥t❡r✲
✈✐❡♥♥❡♥t ❞❛♥s ❧❛ ❣é♥ér❛t✐♦♥ ❞❡s ✐❞é❛✉① ∇n ✳ ■❧ ✈✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✿

❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ
❡t λ✳ ❙✐ ∇n,k = ℓn+k Λ + ωn Λ ❞és✐❣♥❡ ❧✬✐❞é❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ =
n
Zℓ [[γ − 1]] ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+k ❡t ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ωn = γ ℓ − 1✱ ✐❧ ❡①✐st❡
ϕ
✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ ν ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ t❡❧ q✉❡ ❧✬♦r❞r❡ ℓxn ❞❡
❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞✉ q✉♦t✐❡♥t X/∇n,k X s♦✐t ❞♦♥♥é✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡
ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❡t t♦✉t ❡♥t✐❡r n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿
n
n
xϕ
n = < ρ, ϕ > (n + k)ℓ + < µ, ϕ > ℓ + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳


❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts X/∇n,k X n∈N ❡st ♣❛r❛♠étré❡
♣❛r ✿
ρ,
µ + (k − 1)ρ, et λ✳

❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✽✳

✶
❈✬❡st ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❞é❥à ❧❡ ❝❛s ♣♦✉r ❧❡s ❣r♦✉♣❡s ❞❡ ❝❧❛ss❡s ❞✬✐❞é❛✉① ❛✉ s❡♥s ❤❛❜✐t✉❡❧✳

✺✸✼

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

❚♦✉t❡ ❧❛ ❞✐✣❝✉❧té ♣♦✉r ét❛❜❧✐r ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❡t s❡s ❝♦r♦❧✲
❧❛✐r❡s ❡st ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❞❡ ✈ér✐✜❡r q✉❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❛♥♥♦♥❝é❡ ❡st ❡♥❝♦r❡ ✈❛❧✐❞❡
❧♦rsq✉❡ ❧❡ ♠♦❞✉❧❡ X ❡st s❡✉❧❡♠❡♥t ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ é❧é✲
♠❡♥t❛✐r❡✳
▲❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ rés✉❧t❛t ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ s❡❝t✐♦♥ q✉✐ ✈✐❡♥t✳

✶✳✸✳ ❋✐❧tr❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡ ❛✉① ✐❞é❛✉①

∇n

❡t ♣r❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡✳

▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s rés✉❧t❡ ❞✬✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ q✉❛tr❡ ❧❡♠♠❡s ❡t ❞✉
❝❛❧❝✉❧ ❞é❥à ❡✛❡❝t✉é ❞❡ ❧✬✐♥❞✐❝❡ (E : ∇n E) ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ♠♦❞✉❧❡ E ❡st é❧é♠❡♥✲
t❛✐r❡✳
❙♦✐t E = T ⊕ P ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡
❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λ✲t♦rs✐♦♥ T ❡t ❞✬✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ P ✳ P♦✉r
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