PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
Disusun Oleh:
Kelompok 2
Rizki Resti Ari
09320002
Naviul Hasanah
09320040
JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
1. Menentukan Persamaan Garis yang Diketahui Unsur-unsurnya
a. Bentuk umum
ax + by + c = 0 atau y = mx + n
b. Persamaan sumbu x
y=0
c. Persamaan sumbu y
x=0
d. Sejajar sumbu x
y=k
e. Sejajar sumbu y
x=k
f. Melalui titik asal dengan gradien m
y = mx
g. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m
y -y1 = m (x - x1)
h. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b)
bx + ay = ab
i. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
( y − y 1) (x−x 1)
=
( y 2− y 1 ) (x2 −x1 )
( y 2− y 1 )
y-y1 = (
).(x-x1)
( x 2−x 1)
ket :
Persamaan (i) didapat dari persamaan (g) dengan mengganti
( y 2− y 1 )
m=
( x 2−x 1)
( y 2− y 1 )
Garis ini mempunyai gradien m =
( x 2−x 1)
(http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm)
Contoh soal :
1. Diketahui sebuah garis mempunyai kemiringan 3 dan melalui titik P(6,4).
Tentukan persamaan garis tersebut!
Diket : m = 3
x =6
y =4
persamaan garis : y -y1 = m (x - x1)
y- 4 = 3 (x – 6)
y = 3x – 18
2. Diketahui sebuah garis yang melalui titik A(3,7) dan B(4,6). Tentukan
persamaan garis tersebut!
Diket : x1 = 3
x2 = 4
y1 = 7
y2 = 6
Persamaan garis :
( y− y 1 ) ( x−x 1 )
=
( y 2− y 1 ) ( x2 −x1 )
( y −7 ) ( x−3 )
=
( 6−7 ) ( 4−3 )
y −7 x−2
=
−1
1
y−7=−x+2
y=−x+ 9
x+ y−9=0
2. Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya
adalah 2 atau biasanya sering disebut sebagai persamaan berpangkat 2.
Bentuk umum : , dimana a , bϵR dan a ≠ 0
Dalam persamaan kuadrat ax 2+ bx+ c=0, a merupakann koefisien
2
x , b merupakan koefisien x, dan c merupakan suku tetapan
(konstanta).
Contoh soal : Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat berikut
a.
10+ x 2−6 x=0
Jawab, a = 1 b=-6 dan c = 10
b. 5 x2 +2 x=0
Jawab a = 5 b = 2 dan c = 0
Mencari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa
cara, yaitu :
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
Persamaan kuadrat ax 2+ bx+ c=0 dapat berubah ke dalam bentuk
perkalian faktor, yaitu :
( x 1− p ) ( x 2−q )=0
Himpunana penyelesaiannya (Hp) : { p , q }
Contoh Soal : x 2−3 x+2=0
Jawab : ( x−1 ) ( x −2 )=0
x−1=0 ∪ x−2=0
x=1∪ x =2
Jadi, Hp = {1,2}
b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk kuadrat x 2+ bx+ c=0 dapat diubah menjadi suatu bentuk
yang memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu :
1 2
b¿ +c
2
1 2
b ¿ −¿
2
2
2
x + bx+ c → x +bx +¿
1 2
b¿ +c
2
1
x+ b ¿2−¿
2
¿
1 2
b¿
2
1 2
b ¿ =−c+ ¿
2
x 2+bx=−c → x2 +bx +¿
1 2
b¿
2
1
x+ b ¿2=−c+ ¿
2
¿
Contoh soal :
2
x −6 x−16=0
Tentukan Hp persamaan kuadrat diatas dengan cara melengkapi bentuk
kuadrat sempurna!
Jawab :
−3 ¿2
−3 ¿2=16+ ¿
x 2−6 x=16 → x 2−6 x +¿
2
−3 ¿
2
x−3 ¿ =16+ ¿
¿
2
x−3 ¿ =25
¿
x−3=± √ 25
x−3=±5
x 1=5+3 atau x 2=−5+3
x 1=8 atau x 2=−2
Jadi Hp = {8,-2}
c. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Selain pemfaktoran dan melengkapkankuadrat sempurna, persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan rumus abc
−b ± √ b2−4 ac
x 1,2=
2a
Contoh soal :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
2
x +5 x +6=0 dengan
menggunakan rumus abc !
Jawab :
x 2+5 x +6=0 , berarti a=1,b=5 dan c=6
2
−b ± √ b −4 ac
x 1,2=
2a
−5 ± √ 5 2−4.1 .6
x 1,2=
2.1
−5 ± √ 25−24
x 1,2=
2
−5 ± √ 1
x 1,2=
2
−5 ± 1
x 1,2=
2
−5+1
−5−1
x 1=
atau x 2=
2
2
x 1=−2 atau x2=−3
Jadi, Hp = {-2,-3}
3. Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dan
Pertidaksamaan Kuadrat
a.
Pertidaksamaan linier (pangkat satu)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk
linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3
2x > 8
x>4
Jadi Hp = { x | x > 4, x
¿
R}
b. Pertidaksamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta.
Penyelesaian:
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis
bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
Jawab :
x² + x - 2 > 0 → x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x = -2 atau x = 1
----------
+++++++
-2
0
+++++++
1
Karena x² + x - 2 > 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah positif.
Jadi, Hp = { x | x < -2 atau x > 1, x
¿
R}
(http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm)
Latihan Soal 1.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 dan y = 3x – 2 adalah …
a. {(-1, 1) , (-2, -4)}
b. {(-1, 1) , (-2, 4)}
c. {(1, 1) , (2, 4)}
d. {(-1, -1) , (-2, -4)}
e. {(1, -1) , (2, -4)}
2. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 1) dan (4, -3) adalah …
a. 6y + 4x + 2 = 0
b. 6y + 4x – 3 = 0
c. 6y + 2x – 2 = 0
d. -2y + 5x – 8 = 0
e. 2y + 4x + 6 = 0
3. Himpunan penyelesaian dari 2x2 + 5x – 3 = 0 adalah …
a.
{½, -3}
b.
{-½, -3}
c.
{1, 3}
d.
{-1, 3}
e.
{-1, -3}
3 x−6
≤1
4. Penyelesaian dari 2 x−2
adalah …
a.
b.
c.
d.
e.
1 -2, x ¿ R}
Latihan Soal 2.
Isilah dengan jawaban yang tepat dan benar!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x² - 9 = 0 dengan cara memfaktorkan!
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 8x + 2 = 0 dengan cara
melengkapi bentuk kuadrat sempurna!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² - 5x - 7 = 0 dengan cara rumus
ABC!
4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x - 5 ≥ x - 17 dengan
selang/interval dan notasi himpunan !
5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² - 5x + 6 ≤ 0
dengan selang/interval dan notasi himpunan !
REFERENSI
Johanes,dkk.2003.Kompetensi Matematika.Jakarta : Yudistira
………..2010.”Persamaan Garis”Ditulis dalam
http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm;diakses
pada 24 September 2010.
………..2010.”Pertidaksamaan”Ditulis dalam
http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPend
amping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm;diakses pada 24
September 2010.
Ngapaningsih,dkk.2008.Detik-Detik Matematika.Klaten : Intan Pariwara
PERTIDAKSAMAAN
Disusun Oleh:
Kelompok 2
Rizki Resti Ari
09320002
Naviul Hasanah
09320040
JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
1. Menentukan Persamaan Garis yang Diketahui Unsur-unsurnya
a. Bentuk umum
ax + by + c = 0 atau y = mx + n
b. Persamaan sumbu x
y=0
c. Persamaan sumbu y
x=0
d. Sejajar sumbu x
y=k
e. Sejajar sumbu y
x=k
f. Melalui titik asal dengan gradien m
y = mx
g. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m
y -y1 = m (x - x1)
h. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b)
bx + ay = ab
i. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
( y − y 1) (x−x 1)
=
( y 2− y 1 ) (x2 −x1 )
( y 2− y 1 )
y-y1 = (
).(x-x1)
( x 2−x 1)
ket :
Persamaan (i) didapat dari persamaan (g) dengan mengganti
( y 2− y 1 )
m=
( x 2−x 1)
( y 2− y 1 )
Garis ini mempunyai gradien m =
( x 2−x 1)
(http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm)
Contoh soal :
1. Diketahui sebuah garis mempunyai kemiringan 3 dan melalui titik P(6,4).
Tentukan persamaan garis tersebut!
Diket : m = 3
x =6
y =4
persamaan garis : y -y1 = m (x - x1)
y- 4 = 3 (x – 6)
y = 3x – 18
2. Diketahui sebuah garis yang melalui titik A(3,7) dan B(4,6). Tentukan
persamaan garis tersebut!
Diket : x1 = 3
x2 = 4
y1 = 7
y2 = 6
Persamaan garis :
( y− y 1 ) ( x−x 1 )
=
( y 2− y 1 ) ( x2 −x1 )
( y −7 ) ( x−3 )
=
( 6−7 ) ( 4−3 )
y −7 x−2
=
−1
1
y−7=−x+2
y=−x+ 9
x+ y−9=0
2. Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya
adalah 2 atau biasanya sering disebut sebagai persamaan berpangkat 2.
Bentuk umum : , dimana a , bϵR dan a ≠ 0
Dalam persamaan kuadrat ax 2+ bx+ c=0, a merupakann koefisien
2
x , b merupakan koefisien x, dan c merupakan suku tetapan
(konstanta).
Contoh soal : Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat berikut
a.
10+ x 2−6 x=0
Jawab, a = 1 b=-6 dan c = 10
b. 5 x2 +2 x=0
Jawab a = 5 b = 2 dan c = 0
Mencari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa
cara, yaitu :
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
Persamaan kuadrat ax 2+ bx+ c=0 dapat berubah ke dalam bentuk
perkalian faktor, yaitu :
( x 1− p ) ( x 2−q )=0
Himpunana penyelesaiannya (Hp) : { p , q }
Contoh Soal : x 2−3 x+2=0
Jawab : ( x−1 ) ( x −2 )=0
x−1=0 ∪ x−2=0
x=1∪ x =2
Jadi, Hp = {1,2}
b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk kuadrat x 2+ bx+ c=0 dapat diubah menjadi suatu bentuk
yang memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu :
1 2
b¿ +c
2
1 2
b ¿ −¿
2
2
2
x + bx+ c → x +bx +¿
1 2
b¿ +c
2
1
x+ b ¿2−¿
2
¿
1 2
b¿
2
1 2
b ¿ =−c+ ¿
2
x 2+bx=−c → x2 +bx +¿
1 2
b¿
2
1
x+ b ¿2=−c+ ¿
2
¿
Contoh soal :
2
x −6 x−16=0
Tentukan Hp persamaan kuadrat diatas dengan cara melengkapi bentuk
kuadrat sempurna!
Jawab :
−3 ¿2
−3 ¿2=16+ ¿
x 2−6 x=16 → x 2−6 x +¿
2
−3 ¿
2
x−3 ¿ =16+ ¿
¿
2
x−3 ¿ =25
¿
x−3=± √ 25
x−3=±5
x 1=5+3 atau x 2=−5+3
x 1=8 atau x 2=−2
Jadi Hp = {8,-2}
c. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Selain pemfaktoran dan melengkapkankuadrat sempurna, persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan rumus abc
−b ± √ b2−4 ac
x 1,2=
2a
Contoh soal :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
2
x +5 x +6=0 dengan
menggunakan rumus abc !
Jawab :
x 2+5 x +6=0 , berarti a=1,b=5 dan c=6
2
−b ± √ b −4 ac
x 1,2=
2a
−5 ± √ 5 2−4.1 .6
x 1,2=
2.1
−5 ± √ 25−24
x 1,2=
2
−5 ± √ 1
x 1,2=
2
−5 ± 1
x 1,2=
2
−5+1
−5−1
x 1=
atau x 2=
2
2
x 1=−2 atau x2=−3
Jadi, Hp = {-2,-3}
3. Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dan
Pertidaksamaan Kuadrat
a.
Pertidaksamaan linier (pangkat satu)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk
linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3
2x > 8
x>4
Jadi Hp = { x | x > 4, x
¿
R}
b. Pertidaksamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta.
Penyelesaian:
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis
bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
Jawab :
x² + x - 2 > 0 → x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x = -2 atau x = 1
----------
+++++++
-2
0
+++++++
1
Karena x² + x - 2 > 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah positif.
Jadi, Hp = { x | x < -2 atau x > 1, x
¿
R}
(http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm)
Latihan Soal 1.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 dan y = 3x – 2 adalah …
a. {(-1, 1) , (-2, -4)}
b. {(-1, 1) , (-2, 4)}
c. {(1, 1) , (2, 4)}
d. {(-1, -1) , (-2, -4)}
e. {(1, -1) , (2, -4)}
2. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 1) dan (4, -3) adalah …
a. 6y + 4x + 2 = 0
b. 6y + 4x – 3 = 0
c. 6y + 2x – 2 = 0
d. -2y + 5x – 8 = 0
e. 2y + 4x + 6 = 0
3. Himpunan penyelesaian dari 2x2 + 5x – 3 = 0 adalah …
a.
{½, -3}
b.
{-½, -3}
c.
{1, 3}
d.
{-1, 3}
e.
{-1, -3}
3 x−6
≤1
4. Penyelesaian dari 2 x−2
adalah …
a.
b.
c.
d.
e.
1 -2, x ¿ R}
Latihan Soal 2.
Isilah dengan jawaban yang tepat dan benar!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x² - 9 = 0 dengan cara memfaktorkan!
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 8x + 2 = 0 dengan cara
melengkapi bentuk kuadrat sempurna!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² - 5x - 7 = 0 dengan cara rumus
ABC!
4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x - 5 ≥ x - 17 dengan
selang/interval dan notasi himpunan !
5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² - 5x + 6 ≤ 0
dengan selang/interval dan notasi himpunan !
REFERENSI
Johanes,dkk.2003.Kompetensi Matematika.Jakarta : Yudistira
………..2010.”Persamaan Garis”Ditulis dalam
http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm;diakses
pada 24 September 2010.
………..2010.”Pertidaksamaan”Ditulis dalam
http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPend
amping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm;diakses pada 24
September 2010.
Ngapaningsih,dkk.2008.Detik-Detik Matematika.Klaten : Intan Pariwara