Slide INF201 Pertemuan 1
MATEMATIKA DISKRIT
PERTEMUAN KE 1
SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
SEMESTER GANJIL TA 2017/2
UNIVERSITAS PEMBANGUNA
KURIKULUM TEKNIK
INFORMATIKA UPJ
DISTRIBUSI MATA KULIAH
SEMESTER 3
NO KODE MK
NAMA MK
SKS
SIFAT
1
KOTA
KOTA
MKMI
2
INF201
MATEMATIKA DISKRIT
3
MKMI
3
INF203
SISTEM DIGITAL
3
MKMA
4
INF205
REKAYASA PERANGKAT LUNAK
3
MKMI
5
INF207
PEMROGRAMAN MOBILE
3
MKMI
6
INF209
ANALISIS ALGORITMA
3
MKMI
7
INF211
ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER
3
MKMA
KONTRAK PERKULIAHAN
SKS MK
: 3 SKS (2 SKS TEORI + 1 SKS LATIHAN)
LAMA PERKULIAHAN
: 100 MENIT TEORI + 50 MENIT LATIHAN
JUMLAH TM : 14 PERTEMUAN (7 SEBELUM UTS DAN 7 SETELAH UTS)
PELAKSANAAN UTS
: 16 – 20 OKTOBER 2017 (16 OKTOBER 2017)
PELAKSANAAN UAS
: 18 – 22 DESEMBER 2017 (18 DESEMBER 2017)
JADWAL KULIAH
: SENIN, PKL 15.30 – 18.00 WIB, R-614
TOLERANSI KETERLAMBATAN : 15 MENIT, > 15 MENIT ABSEN NIHIL
SYARAT IKUT UJIAN : ABSENSI MINIMAL 70 % (4X ABSEN)
PENILAIAN
: 10% ABSENSI, 20% LATIHAN DI LOG BOOK, 35% UTS, 35% UAS
ALAT KOMUNIKASI : SILENT/MODE GETAR SELAMA PERKULIAHAN BERLANGSUNG
KEWAJIBAN ALAT BM
: LOG BOOK, BUKU AJAR (MATEMATIKA DISKRIT EDISI KELIMA,
RINALDI MUNIR, INFORMATIKA, 2012)
EMAIL
: SAFITRI.JAYA@UPJ.AC.ID
MATERI PERKULIAHAN
1. LOGIKA
2. HIMPUNAN
3. MATRIKS
4. RELASI DAN FUNGSI
5. INDUKSI MATEMATIK
6. ALGORITMA
7. BILANGAN BULAT (INTEGER)
8. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT
9. ALJABAR BOOLEAN
10.GRAF
11.POHON
12.KOMPLEKSITAS
APAKAH MATEMATIKA
DISKRIT ITU???
Matematika diskrit (discrete mathematics atau finite
mathematics) adalah cabang ilmu yang mengkaji objek-objek
diskrit.
Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga
elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak
bersambungan. Sebagai contoh adalah himpunan bilangan
bulat (integer).
Matematika diskrit disebut juga matematika informatika.
Perkembangan matematika diskrit terus meningkat, salah satu
alasannya adalah karena komputer digital bekerja secara
diskrit.
MATAKULIAH SYARAT
1. ALGORITMA
2. STRUKTUR DATA
3. BASIS DATA
4. OTOMATA DAN TEORI BAHASA FORMAL
5. JARINGAN KOMPUTER
6. SISTEM OPERASI
7. TEKNIK KOMPILASI
8. KEAMANAN KOMPUTER
CONTOH PERSOALAN
SEHARI-HARI
1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dibuat dari
8 karakter?
2. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke
kota b?
3. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks
perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat
semula?
4. “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”.
Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?
5. Diberikan dua buah algoritma yang berbeda untuk
menyelesaikan sebuah persoalan, bagaimana menentukan
LOGIKA
Logika merupakan studi penalaran (reasoning).
Menurut KBBI, defenisi penalaran adalah cara berpikir dengan
mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan
perasaan atau pengalaman.
Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataanpernyataan (statements).
Contoh :
Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.
1.1 PROPOSISI
Proposisi (preposition) merupakan kalimat yang bernilai benar (true) atau salah
(false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya, yang digunakan dalam penalaran.
Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran (truth
value).
Contoh 1 :
1. 6 adalah bilangan genap. Proposisi (true)
2. 2 + 2 = 4.
Proposisi (true)
3. Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
4. Kemarin hari hujan.
Proposisi (false)
Bukan proposisi
5. Kehidupan hanya ada di planet Bumi. Bukan proposisi
1.1 PROPOSISI
Contoh 2 :
1. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Kalimat
tanya
2. Serahkan uangmu sekarang!
3. X + 3 = 8.
4. X > 3.
Kalimat perintah
Bukan proposisi
Bukan proposisi
5. X + Y = Y + X untuk setiap X dan Y bilangan rill.
Proposisi
1.1 PROPOSISI
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus
proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi
(propositional logic), sedangkan bidang logika yang membentuk
proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah seperti
contoh 2.3 dan 2.4 dinamakan kalkulus predikat.
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf
kecil seperti p, q, r,...
Misalnya :
p : 6 adalah bilangan genap.
q : 2 + 2 = 5.
Proposisi (false)
Proposisi (true)
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
disebut operator logika
Operator logika dasar yang biasa digunakan antara lain :
1. Dan (and) , disebut juga operator biner.
2. Atau (or), disebut juga operator biner.
3. Tidak (not), disebut juga operator uner (hanya membutuhkan
satu proposisi).
Proposisi hasil pengkombinasian disebut proposisi majemuk
(compound proposition), sedangkan yang bukan hasil kombinasi
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Contoh 3 :
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : hari ini hujan
q : murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka :
p ^ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
P v q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~ p : tidak benar hari ini hujan (hari ini tidak hujan)
~ q : tidak benar murid-murid diliburkan dari sekolah
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Latihan 1 :
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : pemuda itu tinggi
q : pemuda itu tampan
Nyatakan proposisi-proposisi di bawah ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik)
1. Pemuda itu tinggi dan tampan
2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
1.3 TABEL KEBENARAN
Tabel kebenaran AND
Tabel kebenaran OR
p
q
p^q
p
q
pvq
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
Tabel kebenaran NOT
p
q
T
F
F
T
1.3 TABEL KEBENARAN
Latihan 2 :
Jika p, q dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari
ekspresi logika berikut ini :
1. (p ^ q) v (~q ^ r)
2. p v ~(p ^ q)
3. (p ^ q) ^ ~(p v q)
4. ~(p ^ q)
5. ~p v ~q
1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara :
1. inklusif or (inclusive or) yaitu p atau q atau keduanya
Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai bahasa C++
atau Java.
2. ekslusif or (exclusive or) yaitu p atau q tetapi bukan keduanya
Contoh
: Pemenang lomba mendapat hadiah TV atau uang
Tabel kebenaran
Tabel kebenaran
exclusive or
p
q
inclusive or
p
q
pvq
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p er q
1.5 HUKUM-HUKUM LOGIKA
PROPOSISI
1. Hukum identitas
2. Hukum null / dominasi
3. Hukum negasi
4. Hukum idempoten
5. Hukum involusi (negasi ganda)
6. Hukum penyerapan (absorpsi)
7. Hukum komutatif
8. Hukum asosiatif
9. Hukum distributif
10.Hukum De Morgan
1.6 OPERASI LOGIKA DI
DALAM KOMPUTER
Bahasa pemrograman menyediakan tipe data boolean untuk data
yang bertipe logika.
Tipe data boolean hanya mempunyai dua konstanta nilai yaitu true
dan false.
Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR (exclusive
OR) dan NOT.
Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran true adalah 1
Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran false adalah 0
Operasi bit dapat diperluas untuk rangkaian bit yang panjangnya
tetap. Operasi ini dinamakan bitwise.
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Selain dalam bentuk AND, OR dan NOT, proposisi majemuk juga
dapat muncul dalam bentuk bersyarat (implikasi) jika p maka q.
Contoh :
a. Jika adik lulus ujian maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 800 C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap
mengundurkan
diri.
Tabel kebenaran bersyarat
(implikasi)
p
q
p
q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Latihan 3 :
Misalkan
x : Anda berusia 17 tahun.
y : Anda dapat memperoleh SIM.
Nyatakan proposisi berikut ke dalam notasi implikasi :
1. Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM
2. Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun
3. Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun
4. Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun
5. Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Latihan 4 :
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk
menarik pembeli. Pedagang pertama memiliki moto “Barang bagus
tidak murah” sedangkan pedagang kedua memiliki moto “Barang
murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut
menyatakan hal yang sama?
1.8 VARIAN PROPOSISI
BERSYARAT
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan “jika p maka
q”, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari
implikasi, yaitu :
1. Konvers (kebalikan)
2. Invers
3. Kontraposisi
: ~p
:q
p
~q
: ~q
~p
1.9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI)
Proposisi bersyarat lainnya adalah “p jika dan hanya jika q”, yang
dilambangkan dengan p
q
Tabel kebenaran bikondisional
p
q
p
q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
1.9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI)
p
q ekivalen secara logika dengan (p
q) ^ (q
p).
Dapatkah anda membuktikan ekivalensinya?
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional dalam kata-kata, yaitu :
1. p jika dan hanya jika q.
2. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
3. Jika p maka q, dan sebaliknya.
4. p iff q.
5. p if and only if q.
6. p is necessary and sufficient for q.
7. If p then q, and conversely
1.10 INFERENSI
Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi,
diantaranya :
1. Modus Ponen atau law of detachment.
2. Modus Tollen
3. Silogisme hipotesis
4. Silogisme disjungtif
5. Simplifikasi
6. Penjumlahan
7. Konjungsi
1.10 INFERENSI – MODUS
PONEN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ (p
p
q
q))
q dimana
: hipotesis
p : hipotesis
q : konklusi
Contoh :
Implikasi “jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis
“20 habis dibagi 2” keduanya benar, maka inferensi modus ponen adalah sbb :
p
q
: jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap hipotesis
p
: 20 habis dibagi 2 hipotesis
q
: 20 adalah bilangan genap
konklusi
1.10 INFERENSI – MODUS
TOLLEN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p
p
q
q)]
~p dimana
: hipotesis
~q : hipotesis
~p : konklusi
Contoh :
Implikasi “jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil” dan hipotesis “n2 bernilai
genap” keduanya benar, maka inferensi modus tollen adalah sbb :
p
q
: jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil
~q : n2 bernilai genap hipotesis
~p : n bukan bilangan ganjil konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI – SILOGISME
HIPOTESIS
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p
p
q
: hipotesis
q
r
: hipotesis
p
r
: konklusi
q) dan (q
r)]
(p
r) dimana
Contoh :
Implikasi “jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi “jika saya
lulus ujian, maka saya cepat menikah” keduanya benar, maka inferensi silogisme
hipotesis adalah :
p
q
: jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian
hipotesis
q
r
: jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
p
r
: jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI –
DISJUNGTIF
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p]
q dimana
p v q : hipotesis
~p
q
: hipotesis
: konklusi
Contoh :
Inferensi berikut “Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan” dan
inferensi “Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan”, maka
inferensi kaidah silogisme disjungtifadalah sbb :
p v q : Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan
~p : Saya tidak belajar dengan giat
q
: saya menikah tahun depan
hipotesis
konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI –
SIMPLIFIKASI
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q)
p dimana
p ^ q : hipotesis
p
: konklusi
Contoh :
“Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR” , maka
inferensi simplifikasi adalah sbb :
p ^ q : Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR hipotesis
p
: Hamid adalah mahasiswa ITB konklusi
1.10 INFERENSI –
PENJUMLAHAN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi p
p
(p v q) dimana
: hipotesis
p v q : konklusi
Contoh :
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil kuliah
Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah penjumlahan
adalah sbb :
p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
hipotesis
q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma
konklusi
1.10 INFERENSI –
KONJUNGSI
Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q))
p
: hipotesis
q
: hipotesis
(p ^ q) dimana
p ^ q : konklusi
Contoh :
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim
mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah konjungsi
adalah :
p
: Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
q
: Taslim mengulang kuliah Algoritma
hipotesis
hipotesis
p ^ q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma
konklusi
1.11 ARGUMEN
Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai berikut :
p1, p2, p3, ............... pn, q
p1, p2, p3, ............... pn : hipotesis
q
: konklusi
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid)
Contoh :
1. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut
surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”
2. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami
datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”
Buktikan apakah kedua kalimat di atas adalah valid atau invalid?
PERTEMUAN KE 1
SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
SEMESTER GANJIL TA 2017/2
UNIVERSITAS PEMBANGUNA
KURIKULUM TEKNIK
INFORMATIKA UPJ
DISTRIBUSI MATA KULIAH
SEMESTER 3
NO KODE MK
NAMA MK
SKS
SIFAT
1
KOTA
KOTA
MKMI
2
INF201
MATEMATIKA DISKRIT
3
MKMI
3
INF203
SISTEM DIGITAL
3
MKMA
4
INF205
REKAYASA PERANGKAT LUNAK
3
MKMI
5
INF207
PEMROGRAMAN MOBILE
3
MKMI
6
INF209
ANALISIS ALGORITMA
3
MKMI
7
INF211
ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER
3
MKMA
KONTRAK PERKULIAHAN
SKS MK
: 3 SKS (2 SKS TEORI + 1 SKS LATIHAN)
LAMA PERKULIAHAN
: 100 MENIT TEORI + 50 MENIT LATIHAN
JUMLAH TM : 14 PERTEMUAN (7 SEBELUM UTS DAN 7 SETELAH UTS)
PELAKSANAAN UTS
: 16 – 20 OKTOBER 2017 (16 OKTOBER 2017)
PELAKSANAAN UAS
: 18 – 22 DESEMBER 2017 (18 DESEMBER 2017)
JADWAL KULIAH
: SENIN, PKL 15.30 – 18.00 WIB, R-614
TOLERANSI KETERLAMBATAN : 15 MENIT, > 15 MENIT ABSEN NIHIL
SYARAT IKUT UJIAN : ABSENSI MINIMAL 70 % (4X ABSEN)
PENILAIAN
: 10% ABSENSI, 20% LATIHAN DI LOG BOOK, 35% UTS, 35% UAS
ALAT KOMUNIKASI : SILENT/MODE GETAR SELAMA PERKULIAHAN BERLANGSUNG
KEWAJIBAN ALAT BM
: LOG BOOK, BUKU AJAR (MATEMATIKA DISKRIT EDISI KELIMA,
RINALDI MUNIR, INFORMATIKA, 2012)
: SAFITRI.JAYA@UPJ.AC.ID
MATERI PERKULIAHAN
1. LOGIKA
2. HIMPUNAN
3. MATRIKS
4. RELASI DAN FUNGSI
5. INDUKSI MATEMATIK
6. ALGORITMA
7. BILANGAN BULAT (INTEGER)
8. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT
9. ALJABAR BOOLEAN
10.GRAF
11.POHON
12.KOMPLEKSITAS
APAKAH MATEMATIKA
DISKRIT ITU???
Matematika diskrit (discrete mathematics atau finite
mathematics) adalah cabang ilmu yang mengkaji objek-objek
diskrit.
Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga
elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak
bersambungan. Sebagai contoh adalah himpunan bilangan
bulat (integer).
Matematika diskrit disebut juga matematika informatika.
Perkembangan matematika diskrit terus meningkat, salah satu
alasannya adalah karena komputer digital bekerja secara
diskrit.
MATAKULIAH SYARAT
1. ALGORITMA
2. STRUKTUR DATA
3. BASIS DATA
4. OTOMATA DAN TEORI BAHASA FORMAL
5. JARINGAN KOMPUTER
6. SISTEM OPERASI
7. TEKNIK KOMPILASI
8. KEAMANAN KOMPUTER
CONTOH PERSOALAN
SEHARI-HARI
1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dibuat dari
8 karakter?
2. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke
kota b?
3. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks
perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat
semula?
4. “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”.
Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?
5. Diberikan dua buah algoritma yang berbeda untuk
menyelesaikan sebuah persoalan, bagaimana menentukan
LOGIKA
Logika merupakan studi penalaran (reasoning).
Menurut KBBI, defenisi penalaran adalah cara berpikir dengan
mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan
perasaan atau pengalaman.
Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataanpernyataan (statements).
Contoh :
Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.
1.1 PROPOSISI
Proposisi (preposition) merupakan kalimat yang bernilai benar (true) atau salah
(false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya, yang digunakan dalam penalaran.
Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran (truth
value).
Contoh 1 :
1. 6 adalah bilangan genap. Proposisi (true)
2. 2 + 2 = 4.
Proposisi (true)
3. Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
4. Kemarin hari hujan.
Proposisi (false)
Bukan proposisi
5. Kehidupan hanya ada di planet Bumi. Bukan proposisi
1.1 PROPOSISI
Contoh 2 :
1. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Kalimat
tanya
2. Serahkan uangmu sekarang!
3. X + 3 = 8.
4. X > 3.
Kalimat perintah
Bukan proposisi
Bukan proposisi
5. X + Y = Y + X untuk setiap X dan Y bilangan rill.
Proposisi
1.1 PROPOSISI
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus
proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi
(propositional logic), sedangkan bidang logika yang membentuk
proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah seperti
contoh 2.3 dan 2.4 dinamakan kalkulus predikat.
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf
kecil seperti p, q, r,...
Misalnya :
p : 6 adalah bilangan genap.
q : 2 + 2 = 5.
Proposisi (false)
Proposisi (true)
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
disebut operator logika
Operator logika dasar yang biasa digunakan antara lain :
1. Dan (and) , disebut juga operator biner.
2. Atau (or), disebut juga operator biner.
3. Tidak (not), disebut juga operator uner (hanya membutuhkan
satu proposisi).
Proposisi hasil pengkombinasian disebut proposisi majemuk
(compound proposition), sedangkan yang bukan hasil kombinasi
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Contoh 3 :
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : hari ini hujan
q : murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka :
p ^ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
P v q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~ p : tidak benar hari ini hujan (hari ini tidak hujan)
~ q : tidak benar murid-murid diliburkan dari sekolah
1.2 MENGKOMBINASIKAN
PROPOSISI
Latihan 1 :
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : pemuda itu tinggi
q : pemuda itu tampan
Nyatakan proposisi-proposisi di bawah ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik)
1. Pemuda itu tinggi dan tampan
2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
1.3 TABEL KEBENARAN
Tabel kebenaran AND
Tabel kebenaran OR
p
q
p^q
p
q
pvq
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
Tabel kebenaran NOT
p
q
T
F
F
T
1.3 TABEL KEBENARAN
Latihan 2 :
Jika p, q dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari
ekspresi logika berikut ini :
1. (p ^ q) v (~q ^ r)
2. p v ~(p ^ q)
3. (p ^ q) ^ ~(p v q)
4. ~(p ^ q)
5. ~p v ~q
1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara :
1. inklusif or (inclusive or) yaitu p atau q atau keduanya
Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai bahasa C++
atau Java.
2. ekslusif or (exclusive or) yaitu p atau q tetapi bukan keduanya
Contoh
: Pemenang lomba mendapat hadiah TV atau uang
Tabel kebenaran
Tabel kebenaran
exclusive or
p
q
inclusive or
p
q
pvq
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p er q
1.5 HUKUM-HUKUM LOGIKA
PROPOSISI
1. Hukum identitas
2. Hukum null / dominasi
3. Hukum negasi
4. Hukum idempoten
5. Hukum involusi (negasi ganda)
6. Hukum penyerapan (absorpsi)
7. Hukum komutatif
8. Hukum asosiatif
9. Hukum distributif
10.Hukum De Morgan
1.6 OPERASI LOGIKA DI
DALAM KOMPUTER
Bahasa pemrograman menyediakan tipe data boolean untuk data
yang bertipe logika.
Tipe data boolean hanya mempunyai dua konstanta nilai yaitu true
dan false.
Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR (exclusive
OR) dan NOT.
Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran true adalah 1
Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran false adalah 0
Operasi bit dapat diperluas untuk rangkaian bit yang panjangnya
tetap. Operasi ini dinamakan bitwise.
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Selain dalam bentuk AND, OR dan NOT, proposisi majemuk juga
dapat muncul dalam bentuk bersyarat (implikasi) jika p maka q.
Contoh :
a. Jika adik lulus ujian maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 800 C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap
mengundurkan
diri.
Tabel kebenaran bersyarat
(implikasi)
p
q
p
q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Latihan 3 :
Misalkan
x : Anda berusia 17 tahun.
y : Anda dapat memperoleh SIM.
Nyatakan proposisi berikut ke dalam notasi implikasi :
1. Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM
2. Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun
3. Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun
4. Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun
5. Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun
1.7 PROPOSISI BERSYARAT
(IMPLIKASI)
Latihan 4 :
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk
menarik pembeli. Pedagang pertama memiliki moto “Barang bagus
tidak murah” sedangkan pedagang kedua memiliki moto “Barang
murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut
menyatakan hal yang sama?
1.8 VARIAN PROPOSISI
BERSYARAT
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan “jika p maka
q”, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari
implikasi, yaitu :
1. Konvers (kebalikan)
2. Invers
3. Kontraposisi
: ~p
:q
p
~q
: ~q
~p
1.9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI)
Proposisi bersyarat lainnya adalah “p jika dan hanya jika q”, yang
dilambangkan dengan p
q
Tabel kebenaran bikondisional
p
q
p
q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
1.9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI)
p
q ekivalen secara logika dengan (p
q) ^ (q
p).
Dapatkah anda membuktikan ekivalensinya?
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional dalam kata-kata, yaitu :
1. p jika dan hanya jika q.
2. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
3. Jika p maka q, dan sebaliknya.
4. p iff q.
5. p if and only if q.
6. p is necessary and sufficient for q.
7. If p then q, and conversely
1.10 INFERENSI
Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi,
diantaranya :
1. Modus Ponen atau law of detachment.
2. Modus Tollen
3. Silogisme hipotesis
4. Silogisme disjungtif
5. Simplifikasi
6. Penjumlahan
7. Konjungsi
1.10 INFERENSI – MODUS
PONEN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ (p
p
q
q))
q dimana
: hipotesis
p : hipotesis
q : konklusi
Contoh :
Implikasi “jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis
“20 habis dibagi 2” keduanya benar, maka inferensi modus ponen adalah sbb :
p
q
: jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap hipotesis
p
: 20 habis dibagi 2 hipotesis
q
: 20 adalah bilangan genap
konklusi
1.10 INFERENSI – MODUS
TOLLEN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p
p
q
q)]
~p dimana
: hipotesis
~q : hipotesis
~p : konklusi
Contoh :
Implikasi “jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil” dan hipotesis “n2 bernilai
genap” keduanya benar, maka inferensi modus tollen adalah sbb :
p
q
: jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil
~q : n2 bernilai genap hipotesis
~p : n bukan bilangan ganjil konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI – SILOGISME
HIPOTESIS
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p
p
q
: hipotesis
q
r
: hipotesis
p
r
: konklusi
q) dan (q
r)]
(p
r) dimana
Contoh :
Implikasi “jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi “jika saya
lulus ujian, maka saya cepat menikah” keduanya benar, maka inferensi silogisme
hipotesis adalah :
p
q
: jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian
hipotesis
q
r
: jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
p
r
: jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI –
DISJUNGTIF
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p]
q dimana
p v q : hipotesis
~p
q
: hipotesis
: konklusi
Contoh :
Inferensi berikut “Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan” dan
inferensi “Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan”, maka
inferensi kaidah silogisme disjungtifadalah sbb :
p v q : Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan
~p : Saya tidak belajar dengan giat
q
: saya menikah tahun depan
hipotesis
konklusi
hipotesis
1.10 INFERENSI –
SIMPLIFIKASI
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q)
p dimana
p ^ q : hipotesis
p
: konklusi
Contoh :
“Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR” , maka
inferensi simplifikasi adalah sbb :
p ^ q : Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR hipotesis
p
: Hamid adalah mahasiswa ITB konklusi
1.10 INFERENSI –
PENJUMLAHAN
Kaidah ini didasarkan pada tautologi p
p
(p v q) dimana
: hipotesis
p v q : konklusi
Contoh :
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil kuliah
Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah penjumlahan
adalah sbb :
p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
hipotesis
q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma
konklusi
1.10 INFERENSI –
KONJUNGSI
Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q))
p
: hipotesis
q
: hipotesis
(p ^ q) dimana
p ^ q : konklusi
Contoh :
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim
mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah konjungsi
adalah :
p
: Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
q
: Taslim mengulang kuliah Algoritma
hipotesis
hipotesis
p ^ q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma
konklusi
1.11 ARGUMEN
Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai berikut :
p1, p2, p3, ............... pn, q
p1, p2, p3, ............... pn : hipotesis
q
: konklusi
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid)
Contoh :
1. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut
surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”
2. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami
datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”
Buktikan apakah kedua kalimat di atas adalah valid atau invalid?