Slide INF201 INF201 Matematika Diskrit Materi ke 3

Matematika Diskret (INF201)

Kombinasi dan Peluang

Diampu oleh Mohammad Nasucha, S.T., M.Sc.

Program Studi Teknik Informatika Universitas Pembangunan Jaya

Bintaro – Tangerang Selatan 2014

2

Kombinatorial

Permasalahan yang muncul dalam kombinatorial, Contoh ke-1 :

Masalah

Password komputer terdiri dari 8 karakter. Berapa banyaknya kemungkinan password yang dapat dibuat jika huruf besar dan kecil tidak dibedakan?

Kombinatorial

Contoh ke-2

Pada C++ dikenal jenis bilangan integer. Int A

A berisi 4 bytes 4 x 8 bit

= 32bit

2^32 = 4.294.967.296

Artinya nilai A berkisar dari 0 s.d. 4.294.967.295 Contoh ke-3

Double A

A berisi 8 byte 8 x 8

= 64 bit

2^64 = 1,84 e19 = 1,84 . 10^19

Kombinatorial

Contoh ke-5

Sebuah komputer sederhana dibuat dengan uP 4bit, menggunakan RAM 4 bit juga. Operating System sederhana juga dibuat dan mengenali variabel dengan jenis bilangan integer yang memiliki panjang 4 bit.

Masalah

Berapakah nilai terendah dan nilai tertinggi angka yang bisa di-handle oleh komputer tersebut?

Jawaban

n = 2^4, yaitu dari 0000 s.d. 1111. Setelah dikonversikan ke sistem bilangan desimal, komputer tersebut akan mampu menangani 16 angka, yaitu 0 s.d. 15.

Kombinatorial

Contoh ke-6 Masalah

Seandainya komputer tersebut di-upgrade menjadi sistem 5 bit, berapakah angka tertinggi desimal yang bisa ditanganinya?

Jawaban

Jika banyaknya bilangan yang bisa ditempatkan di RAM disebut n maka n = 2^5, di mana nilai n adalah dari 00000 s.d. 11111.

Setelah dikonversikan ke sistem bilangan desimal, komputer tersebut akan mampu menangani 16 angka, yaitu 0 s.d. 31.

Masalah

Kesimpulan apa yang bisa Anda peroleh dari contoh kasus ke-5 dan contoh kasus ke-6?

Jawaban

Hal yang bisa saya simpulkan adalah bahwa dengan penambahan 1 bit saja, kapasitas operasi matematika maupun kapasitas penyimpanan pada memori berlipat dua.

Enumerasi dan Kombinatorial

7

Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut?

a. Enumerasi :

Mencacah atau menghitung satu persatu setiap kemungkinan jawaban. (exhaustive search).

Tidak memungkinkan digunakan untuk jumlah objek yang besar.

b. Kombinatorial

Memanfaatkan pola (rumus) yang merupakan generalisasi dari semua kasus. Pola (rumus) diperoleh dengan melakukan percobaan, mencatat hasilnya, menganalisis hasilnya.

Kombinatorial dan Kaidah Menghitung (

counting

)

• Melakukan percobaan

• Mencatat hasil percobaan (data)

• Menganalisis data dan membuat generalisasi pola dalam bentuk rumus.

Contoh :

Melakukan percobaan melempar dadu.

Diperoleh data bahwa permukaan dadu yang muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.

Kombinatorial dan Kaidah Menghitung (

counting

)

Masalah

Bandar menjelaskan aturan main judi kepada penjudi: Untuk melakukan permainan ini Anda hanya perlu membayar Rp 50 ribu.

Jika Anda melempar dadu dua kali dan memperoleh hasil 66, Anda kami beri hadiah Rp 1.000.000.

Jika permainan ini berlangsung terus-menerus, siapakah yang akan beruntung, bandar atau penjudi?

Kaidah Perkalian (

Rule of Product)

Jawaban

Percobaan pertama memiliki n1 kemungkinan hasil. Percobaan kedua memiliki n2 kemungkinan hasil.

Artinya jika kedua percobaan dilakukan berturutan maka banyaknya kemungkinan hasil n = n1.n2.

Dalam hal ini n1 = 6, n2 = 6 sehingga n = 6.6 = 36.

Dengan kata lain kemungkinan seseorang perlu melakukan 36 kali permainan hingga dia bisa memperoleh hasil 66. Dalam hal ini dia harus membayar sebesar Rp 50.000 x 36 = Rp 1.800.000. Sedangkan hadiah yang diperoleh oleh penjudi jika memperoleh angka 66 adalah Rp 1.000.000.

Jika judi ini berlangsung terus-menerus maka bandar lah yang menang, bukan para penjudi.

Kaidah Perkalian (Rule of Product)

Soal

Terdapat 3 rute bus dari Solo ke Yogya, 4 rute bus dari Yogya ke Magelang. Ada berapa rute yang dapat ditempuh dari Solo ke Magelang?

Kaidah Perkalian (Rule of Product)

Soal

Terdapat 3 rute bus dari Solo ke Yogya, 4 rute bus dari Yogya ke Magelang. Ada berapa rute yang dapat ditempuh dari Solo ke Magelang?

Jawaban

Berikut ini adalah analisis kombinatorial. Rute I: R1 = 3

Rute II: R2 = 4 R = R1 * R2

Dengan demikian terdapat 12 rute dari Solo ke Magelang.

Kaidah Penjumlahan (

Rule of Sum)

Bila

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan yang mungkin terjadi,

maka

bila salah satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2 saja ),

terdapat x + y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)

Soal

Jabatan Ketua Senat dapat diduduki oleh siapa saja dari 35 mahasiswa TI dan 16 mahasiswa SI. Terdapat berapa cara kah memilih penjabat Ketua Senat?

Peluang

Soal

Irwan pada setiap hari kerja berkendara dari rumahnya ke UPJ dengan sepeda motor. Pada rute tersebut dia melewati 3 perempatan berlampu lalu-lintas. Pihak berwenang membuat setting lampu sebagai berikut:

lampu hijau menyala selama 30 detik lampu merah menyala selama 90 detik.

a. Berapakah peluang Irwan pada suatu hari berkendara ke UPJ tanpa mengalami lampu merah? b. Jika hari pertama kuliah jatuh pada Senin 29

Agustus 2016, kira-kira pada tanggal berapa Irwan berkendara ke UPJ tanpa mengalami lampu merah tersebut?

Perluasan Kaidah Perkalian

dan Penjumlahan

Jika

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai p1,p2,…, pn hasil percobaan yang

mungkin terjadi dengan syarat setiap p_i tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a) p₁ X p₂ X … X p_n untuk kaidah perkalian; dan (b) p₁ + p₂ + … + p_n untuk kaidah penjumlahan.

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33: Arithmetic Sequence

2, 4, 8, 16, 32, 64: Geometric Sequence

A x 3 = 111 A x 6 = 222 A x 9 = 333 A x 12 = 444 A x 15 = 555 A x 18 = 666 A x 21 = 777 A x 24 = 888 A x 27 = 999

19

Kombinasi Bit pada Komputer

Soal

Jika sebuah bus data parallel pada sebuah

motherboard PC tahun 90-an terdiri dari 8 jalur, terdapat berapa jenis kombinasi data pada setiap waktu pada bus data tersebut?

20

Jawab 2^8 =

21

Kombinasi Bit pada Komputer

Soal

Jika sebuah bus data serial jenis RS-232, PS/2

mengirimkan data dengan panjang kata 8 bit, terdapat berapa jenis kombinasi data kah yang terkandung

22

Jawab

23

Kombinasi Bit pada Komputer

Soal

Jika sebuah bus data serial (misalnya USB)

mengirimkan data dengan panjang kata 32 bit, terdapat berapa jenis kombinasi data kah yang terkandung pada setiap kata?

24

Jawab 2^32 =

25

Kombinasi Bit pada Komputer

Soal

Jika port USB-2 mengirimkan data dari komputer berbasis Windows 8 atau Windows 8.1 ke flash disc dengan panjang kata 64 bit, ada berapa jenis

26

Kombinasi Bit pada Bus Data PC

Jawab 2^64 =

27

28

Soal

Jika sebuah data bus berjenis paralel pd Video Card terdiri dari 8 jalur, maka:

a) Ada berapa level brightness kah yang bisa di-handle oleh Video Card tsb?

b) Ada berapa banyak warna kah yang bisa dihandle oleh Video Card tersebut? Diasumsikan bahwa unsur R, G dan B dikontrol bergantian, masing-masing dengan 8 bit.

29

Jawab (1)

8 bit ini memiliki nilai terkecil 0000 0000 dan memiliki nilai tertinggi 1111 1111 Dengan total kombinasi sebesar 2^8 = 256.

Itu artinya VGA Card ini mampu mengatur terang gelap (brightness) dg 256 tingkatan.

30

Jawab (2)

R memiliki 2^8 = 256 tingkatan intensitas. G memiliki 2^8 = 256 tingkatan intensitas. B memiliki 2^8 = 256 tingkatan intensitas. Total kombinasi warna

= 256^256^256 atau

= (2^8) * (2^8) * (2^8) = 2^(8+8+8) = 2^24 =

31

Warna pada setiap pixel pada screen laptop atau smartphone sesungguhnya dibentuk oleh 3 pixel berwana Red, Green dan Blue.

Jika level terang pixel Red, Green dan Blue masing-masing didefinisikan dengan 8 bit, berapa juta warnakah bisa dihasilkan oleh screen tsb?

Jwb:

32

Soal:

Terdapat 6 bola dengan 6 warna. Akan ditempatkan ke 4 lubang. Ada berapa jenis kombinasi? Jawab

33 Kombinasi dan Peluang

Soal

Sebuah dadu dilempar 4 kali berturut-turut:

1) Ada berapa kombinasi yg mungkin muncul dari ke-4 lemparan tsb?

2) Berapa peluang bahwa angka 3256 muncul? Jawab

3) Kombinasi = 6^4

4) Peluang = (1/6) * (1/6) * (1/6) * (1/6) = 1 / (6^4) = 1 / 1296 = 0, 00077

34 Kombinasi dan Peluang

Soal

Seorang mhs berkendara dari rmh ke kampus melewati 3 kali perempatan dg lampu lalu-lintas.

Berapa peluang bhw mhs tsb melewati semua perempatan dengan lampu hijau?

Jawab

Peluang = (1/4) * (1/4) * (1/4) = 1 /(4^3) = 1 / 64

35

Kombinasi dan Peluang Soal

Seorang penjudi Lotto menebak 2 angka terakhir dari setiap tebakan 8 angka.

Berapa peluang bhw tebakannya benar? Jawab

Peluang = (1/10) * (1/10) = 1 / (10^2) = 1/100

Kombinatorial

Permasalahan yang muncul dalam kombinatorial, contoh :

- Password komputer terdiri dari 8 karakter. Berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat jika huruf besar dan kecil tidak dibedakan?

Kombinatorial

Int A

A berisi 4 bytes 4 x 8 bit

= 32bit

2^32 = 4 294 967 296

Double A

A berisi 8 byte 8 x 8

= 64 bit

2^64 = 1,84 e19

Enumerasi dan Kombinatorial

38

Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut?

a. Enumerasi :

mencacah atau menghitung satu persatu setiap kemungkinan jawaban. (exhaustive search).

Tidak memungkinkan digunakan untuk jumlah objek yang besar.

Kombinatorial dan Kaidah Menghitung (

counting

)

Kombinatorial didasarkan pada hasil percobaan yang dilakukan.

Percobaan merupakan proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

Hasil-hasil percobaan tersebut nantinya dapat dibuat suatu generalisasi yang menghasilkan formula atau aturan tertentu.

Contoh : Hasil percobaan melempar dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Kombinatorial dan Kaidah Menghitung (

counting

)

Bandar menjelaskan aturan main judi kepada gambler: Untuk melakukan permainan ini Anda hanya perlu membayar Rp 50 ribu.

Jika Anda melempar dadu dua kali dan memperoleh hasil 66, Anda kami beri hadiah Rp 1000.000.

Permainan ini berlangsung terus-menerus.

Kaidah Perkalian (

Rule of Product)

Bila :

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan

yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan

yang mungkin terjadi, Maka :

bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat x × y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Perkalian (Rule of Product)

Contoh:

Terdapat 3 rute bus dari Solo ke Yogya, 4 rute bus dari Yogya ke Magelang. Ada berapa rute yang dapat ditempuh dari Solo ke Magelang?

Solusi :

Ada 3 kemungkinan rute Solo-Yogya dan 4

kemungkinan rute Yogya-Magelang, maka sesuai kaidah perkalian terdapat 3 × 4 = 12 kemungkinan rute yang ditempuh.

Kaidah Penjumlahan (

Rule of Sum)

Bila :

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan

yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan

yang mungkin terjadi, Maka :

bila salah satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2 saja ),

maka terdapat x + y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)

Contoh :

Jabatan Ketua Senat dapat diduduki oleh 13 mahasiswa TI, 27 mahasiswa SI. Berapa cara memilih penjabat Ketua Senat?

Solusi :

Jabatan yang ditawarkan hanya satu. Ada 13 cara memilih untuk TI, dan 27 cara untuk SI, namun hanya ada satu orang yang akan terpilih (TI atau SI), maka jumlah cara memilih penjabat Ketua Senat adalah 13 + 27 = 40 cara.

Perluasan Kaidah Perkalian

dan Penjumlahan

Jika :

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai p₁,p₂,…, p_n hasil percobaan yang mungkin terjadi dengan syarat setiap p_i tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

Maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a) p₁ X p₂ X … X p_n untuk kaidah perkalian; dan

Jika :

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai p₁,p₂,…, p_n hasil percobaan yang mungkin terjadi dengan syarat setiap p_i tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

Maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a) p₁ X p₂ X … X p_n untuk kaidah perkalian; dan

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33: Arithmetic Sequence

2, 4, 8, 16, 32, 64: Geometric Sequence

37 x 3 = 111 37 x 6 = 222 37 x 9 = 333 37 x 12 = 444 37 x 15 = 555

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)

Bila :

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan

yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan

yang mungkin terjadi, Maka :

bila salah satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2 saja ),

maka terdapat x + y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Penjumlahan (

Rule of Sum)

Contoh :

Jabatan Ketua Senat dapat diduduki oleh 13 mahasiswa TI, 27 mahasiswa SI. Berapa cara memilih penjabat Ketua Senat?

Solusi :

Jabatan yang ditawarkan hanya satu. Ada 13 cara memilih untuk TI, dan 27 cara untuk SI, namun hanya ada satu orang yang akan terpilih (TI atau SI), maka jumlah cara memilih penjabat Ketua Senat adalah 13 + 27 = 40 cara.

Perluasan Kaidah Perkalian

dan Penjumlahan

Jika :

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai

p

₁

,

p

₂

,…,

p

_n hasil percobaan yang mungkin terjadi dengan syarat setiap

p

_i tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

Maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a)

p

₁ X

p

₂ X … X

p

_n untuk kaidah perkalian; dan

Jika :

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai

p

₁

,

p

₂

,…,

p

_n hasil percobaan yang mungkin terjadi dengan syarat setiap

p

_i tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

Maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a)

p

₁ X

p

₂ X … X

p

_n untuk kaidah perkalian; dan

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33: Arithmetic Sequence

2, 4, 8, 16, 32, 64: Geometric Sequence

37 x 3 = 111 37 x 6 = 222 37 x 9 = 333 37 x 12 = 444 37 x 15 = 555