Slide INF201 Pertemuan 3
MATEMATIKA DISKRIT
PERTEMUAN KE 3
SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
SEMESTER GANJIL TA 2017/2
UNIVERSITAS PEMBANGUNA
REVIEW MATERI
1. Tentukan kardinalitas dari himpunan – himpunan berikut ini :
a.
{{},{{}}}
b.
Diketahui A = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan B = { 4, 10, 14, 18 } tentukan kardinalitas
dari A
B
2. Tentukan semua partisi dari himpunan B = { { }, 1, 2, {2}, {{4}} }
3. Diketahui multiset P = { 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 } dan Q = { 0, 1, 2,
3, 3, 3, 3, 4, 4 } tentukan : P
C, P C, P – Q dan P + Q
4. Diberikan A = { 1, 2 }, B = { x, y, z }, dan C = { 3, 4 }, tentukan |A
x B x C| dan A x B x C
5. Diketahui A = { 1, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3 }, tentukan A – B dan B A
MATRIKS
Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris
dan kolom.
Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah :
A=
Di bawah ini adalah sebuah matriks yang berukuran 3 x 4 :
A=
Kolo
m
Bari
s
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
Diagonal adalah matrik bujursangkar dengan aij =0 untuk i
≠ j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada
posisi i ≠ j bernilai 0.
Contoh :
Matriks Identitas dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal
dengan semua elemen diagonal = 1.
Contoh :
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
Segitiga bawah / atas adalah matrik jika elemen-elemen di
atas / di bawah diagonal bernilai 0, yaitu aij = 0 jika i < j ( i > j ).
Contoh :
Matriks segitiga
atas
Matriks segitiga
bawah
Matriks Transpose adalah matrik yang diperoleh dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom.
Contoh :
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil
pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal
matriks.
Contoh :
Matriks 0/1 (zero-one) adalah matrik yang setiap elemennya hanya
bernilai 0 atau 1.
Contoh :
OPERASI ARITMATIKA
MATRIKS
1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ukuran baris x kolom dari
kedua matriks A dan B adalah sama. Contoh : A adalah matriks berukuran 3 x 3
dan B adalah matriks dengan ukuran 3 x 3, maka A dapat dijumlahkan dengan B.
Sebaliknya jika A adalah matriks berukuran 3 x 3 dan B berukuran 4 x 4, maka A
tidak dapat dijumlahkan dengan B karena A dan B memiliki ukuran yang berbeda.
2. Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama
dengan jumlah baris dari matriks B. Contoh : matrika A berukuran 2 x 2 dan
Matriks B berukuran 2 x 3, maka A dapat dikalikan dengan B.
3. Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan k adalah skalar, perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan
setiap elemen matriks dengan k.
RELASI
elemen
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan
himpunan lainnya yang dinyatakan dengan struktur.
Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B
Notasi : R
(A x B)
Contoh :
Misalkan A = {Aqil, Gilang, Dwi} adalah himpunan nama
mahasiswa, dan
B = { Matematika Diskrit, RPL, PBO} adalah himpunan nama mata
kuliah, maka perkalian antara A dan B menghasilkan himpunan
pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A| x |B| = 3 x 3
yaitu 9 buah.
REPRESENTASI RELASI
Representasi relasi dengan tabel
A
B
Aqil
Matematika
Diskrit
Aqil
RPL
Aqil
PBO
Gilang
Matematika
Diskrit
Gilang
RPL
Gilang
PBO
Dwi
Matematika
Diskrit
Dwi
RPL
REPRESENTASI RELASI
Representasi
relasi dengan matriks
Misalkan R menyatakan relasi mata kuliah yang diambil oleh
mahasiswa sebagai berikut :
R = {(Aqil, Matematika diskrit), (Aqil, RPL), (Gilang, RPL), (Gilang,
PBO), (Dwi, RPL) }
Relasi matriks dari R adalah sebagai berikut :
REPRESENTASI RELASI
Representasi relasi dengan graf berarah
1. Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara
grafis menggunakan graf berarah (direct graph atau digraph).
Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik yang
disebut juga simpul atau vertex, dan tiap pasangan terurut
dinyatakan dengan busur atau arc yang arahnya ditunjukkan
dengan sebuah panah.
2. Sebuah graf berarah dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a
disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul
tujuan (terminal vertex).
3. Sebuah graf yang memiliki simpul asal dan simpul tujuan yang
sama disebut gelang atau kalang (loop).
RELASI INVERSI
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi
dari relasi R dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A
yang didefinisikan oleh
R-1 = {(b, a) | (a, b)
R}
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan
relasi R dari P ke Q, jika P habis membagi Q maka diperoleh relasi R
adalah sebagai berikut :
R = { (2,2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8) } maka relasi
invers dari R adalah
R-1 = { (2, 2), (4, 2), (8,2), (9,3), (15, 3), (4, 4), (8,4) }
MENGKOMBINASIKAN RELASI
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a),
(b,b), (c,c)} dan relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a,d)} adalah relasi
dari A ke B. Kombinasi relasi dapat diperoleh sebagai berikut :
R1 R2 = {(a,a)}
R1
R2 = {(a, a), (b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)}
R1 – R2 = {(b,b), (c,c)}
R2 – R1 = {(a, b), (a, c), (a,d)}
R1
R2 = {(b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)}
PERTEMUAN KE 3
SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
SEMESTER GANJIL TA 2017/2
UNIVERSITAS PEMBANGUNA
REVIEW MATERI
1. Tentukan kardinalitas dari himpunan – himpunan berikut ini :
a.
{{},{{}}}
b.
Diketahui A = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan B = { 4, 10, 14, 18 } tentukan kardinalitas
dari A
B
2. Tentukan semua partisi dari himpunan B = { { }, 1, 2, {2}, {{4}} }
3. Diketahui multiset P = { 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 } dan Q = { 0, 1, 2,
3, 3, 3, 3, 4, 4 } tentukan : P
C, P C, P – Q dan P + Q
4. Diberikan A = { 1, 2 }, B = { x, y, z }, dan C = { 3, 4 }, tentukan |A
x B x C| dan A x B x C
5. Diketahui A = { 1, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3 }, tentukan A – B dan B A
MATRIKS
Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris
dan kolom.
Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah :
A=
Di bawah ini adalah sebuah matriks yang berukuran 3 x 4 :
A=
Kolo
m
Bari
s
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
Diagonal adalah matrik bujursangkar dengan aij =0 untuk i
≠ j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada
posisi i ≠ j bernilai 0.
Contoh :
Matriks Identitas dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal
dengan semua elemen diagonal = 1.
Contoh :
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
Segitiga bawah / atas adalah matrik jika elemen-elemen di
atas / di bawah diagonal bernilai 0, yaitu aij = 0 jika i < j ( i > j ).
Contoh :
Matriks segitiga
atas
Matriks segitiga
bawah
Matriks Transpose adalah matrik yang diperoleh dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom.
Contoh :
BEBERAPA MATRIKS KHUSUS
Matriks
setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil
pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal
matriks.
Contoh :
Matriks 0/1 (zero-one) adalah matrik yang setiap elemennya hanya
bernilai 0 atau 1.
Contoh :
OPERASI ARITMATIKA
MATRIKS
1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ukuran baris x kolom dari
kedua matriks A dan B adalah sama. Contoh : A adalah matriks berukuran 3 x 3
dan B adalah matriks dengan ukuran 3 x 3, maka A dapat dijumlahkan dengan B.
Sebaliknya jika A adalah matriks berukuran 3 x 3 dan B berukuran 4 x 4, maka A
tidak dapat dijumlahkan dengan B karena A dan B memiliki ukuran yang berbeda.
2. Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama
dengan jumlah baris dari matriks B. Contoh : matrika A berukuran 2 x 2 dan
Matriks B berukuran 2 x 3, maka A dapat dikalikan dengan B.
3. Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan k adalah skalar, perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan
setiap elemen matriks dengan k.
RELASI
elemen
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan
himpunan lainnya yang dinyatakan dengan struktur.
Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B
Notasi : R
(A x B)
Contoh :
Misalkan A = {Aqil, Gilang, Dwi} adalah himpunan nama
mahasiswa, dan
B = { Matematika Diskrit, RPL, PBO} adalah himpunan nama mata
kuliah, maka perkalian antara A dan B menghasilkan himpunan
pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A| x |B| = 3 x 3
yaitu 9 buah.
REPRESENTASI RELASI
Representasi relasi dengan tabel
A
B
Aqil
Matematika
Diskrit
Aqil
RPL
Aqil
PBO
Gilang
Matematika
Diskrit
Gilang
RPL
Gilang
PBO
Dwi
Matematika
Diskrit
Dwi
RPL
REPRESENTASI RELASI
Representasi
relasi dengan matriks
Misalkan R menyatakan relasi mata kuliah yang diambil oleh
mahasiswa sebagai berikut :
R = {(Aqil, Matematika diskrit), (Aqil, RPL), (Gilang, RPL), (Gilang,
PBO), (Dwi, RPL) }
Relasi matriks dari R adalah sebagai berikut :
REPRESENTASI RELASI
Representasi relasi dengan graf berarah
1. Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara
grafis menggunakan graf berarah (direct graph atau digraph).
Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik yang
disebut juga simpul atau vertex, dan tiap pasangan terurut
dinyatakan dengan busur atau arc yang arahnya ditunjukkan
dengan sebuah panah.
2. Sebuah graf berarah dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a
disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul
tujuan (terminal vertex).
3. Sebuah graf yang memiliki simpul asal dan simpul tujuan yang
sama disebut gelang atau kalang (loop).
RELASI INVERSI
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi
dari relasi R dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A
yang didefinisikan oleh
R-1 = {(b, a) | (a, b)
R}
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan
relasi R dari P ke Q, jika P habis membagi Q maka diperoleh relasi R
adalah sebagai berikut :
R = { (2,2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8) } maka relasi
invers dari R adalah
R-1 = { (2, 2), (4, 2), (8,2), (9,3), (15, 3), (4, 4), (8,4) }
MENGKOMBINASIKAN RELASI
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a),
(b,b), (c,c)} dan relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a,d)} adalah relasi
dari A ke B. Kombinasi relasi dapat diperoleh sebagai berikut :
R1 R2 = {(a,a)}
R1
R2 = {(a, a), (b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)}
R1 – R2 = {(b,b), (c,c)}
R2 – R1 = {(a, b), (a, c), (a,d)}
R1
R2 = {(b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)}