Rangkaian Listrik II Pecahan Parsial d
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II
PECAHAN PARSIAL DAN DERET FOURIER
Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A.
(5115122623)
Cut Zarmayra Zahra
(5115120353)
Fajar Muttaqin
(5115122606)
Inggih Piany Syanita
(5115122568)
Moh. Syamsul Nur
(5115122604)
Reza Irhamsyah
(5115122572)
Siti Mardiah
(5115122581)
Yusup Fawzi Yahya
(5115122591)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Resume Rangkaian Listrik 2 2
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Tujuan
1. Mahasiswa dapat memahami teori persamaan parsial di dalam suatu rangkaian
listrik
2. Mahasiswa dapat memahami perhitungan fungsi dengani pecahan parsial
3. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret Fourier
Resume Rangkaian Listrik 2 3
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
I.
PENDAHULUAN
Pada pembahasan sebelumnya telah kita pelajari mengenai uraian
pecahan
parsial untuk memudahkan kita mengubah persamaan menjadi anti
Laplace-nya. Pemecahannya adalah dengan memfaktorkan
terlebih dahulu
penyebutnya atau dengan mendeferensialkan persamaan awalnya.
Pada resume kali ini akan dibahas mengenai pecahan parsial yang
persamaannya tidak dapat difaktorkan. serta perhitungan dengan deret Fourier.
Resume Rangkaian Listrik 2 4
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
II.
LANJUTAN URAIAN PARSIAL
Pada resume sebelumnya mengenai sudah dibahas bahwa Uraian Parsial
merupakan suatu metode atau cara penyederhanaan suatu fungsi dalam (s) agar mudah
untuk di anti-Laplace kan atau diubah ke fungsi (t).
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa persamaan pada penyebut
dapat diuraikan dengan cara memfaktorkannya. Namun pada kenyataannya, ada
persamaan yang tidak bisa difaktorkan. Untuk menyelesaikan soal jenis seperti itu,
maka berikut cara menyederhanakannya dengan menggunakan metode pecahan parsial.
Contoh 1
Tentukan persamaan parsial dari persamaan berikut :
1
I (s )= 2
s +2 s+5
Jawab :
Langkah penyelesaian :
1. Sederhanakan dahulu penyebutnya, yaitu : s2 +2 s +5
Persamaan tersebut merupakan contoh persamaan yang tidak bisa difaktorkan dengan
mudah, maka cara untuk menyederhanakannya dengan memecahnya menjadi bagian
riil akar dan bagian yang imajiner.
s2 +2 s +5
¿ ( s2 +2 s+ 1 )+ 4
¿ ( s +1 )2 +22
BAGIAN RIIL
AKAR
BAGIAN
IMAJINER
Resume Rangkaian Listrik 2 5
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Dalam bentuk umum angka 1 diatas adalah angka rill, sedangkan angka 2 adalah
imajiner, sehingga faktorisasi penyebut dari persamaan di atas adalah :
s2 +2 s +5= ( s+1 ) 2+ 22
( s +1−2 j ) ( s+1+2 j )
2. Setelah mendapat bentuk sederhana dari penyebutnya, maka persamaan awal dapat
kita ubah menjadi bentuk seperti ini :
k1
k2
1
=
+
2
s + 2 s+5 ( s +1−2 j ) ( s +1+2 j )
……(1)
3. Kemudian seperti pada contoh sebelumnya pada uraian pecahan parsial, untuk
mendapatkan nilai K1, kalikan persamaan 1 tersebut dengan ( s +1−2 j ) :
1 ( s +1−2 j ) k 1 ( s+1−2 j ) k 2 ( s+1−2 j )
=
+
( s +1−2 j )
( s +1+2 j )
s 2 +2 s+ 5
1
( s+1+2 j )
=k 1 +
k 2 ( s+ 1−2 j )
( s+1+2 j )
s+1−2 j=0, sehingga s=−1+ 2 j
Masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh:
k2. 0
1
4 j =k 1 + 4 j
Maka K1 dapat diperoleh :
1 − j 2 −1
k1 = 4 j = 4 j = 4 j
4. Untuk mencari K2, maka kalikan persamaan 1 dengan ( s +1+2 j ).
Resume Rangkaian Listrik 2 6
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
1 ( s +1+2 j ) k 1 ( s +1+2 j ) k 2 ( s+1+2 j )
=
+
( s+1−2 j )
( s +1+2 j )
s 2+ 2 s+5
k ( s +1+ 2 j )
1
= 1
+k 2
( s+1−2 j )
( s+1−2 j )
s+1+2 j=0, sehingga s=−1−2 j
Kemudian masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh :
k1 . 0
1
−4 j =−4 j k 1 +k 2
Maka K2 dapat diperoleh :
−1 −− j 2 1
k 2= 4 j = 4 j = 4 j
5. Maka pecahan parsialnya menjadi :
−1
1
1
4 j
4j
=
+
s 2+ 2 s+5 ( s +1−2 j ) ( s +1+2 j )
III.
DERET FOURIER
Resume Rangkaian Listrik 2 7
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Deret Fourier adalah deret yang digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini
pertama kali ditemukan oleh seorang ilmuan Perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Derat Fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan
cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik/berulang
dengan persamaan sederhana.
Contoh fungsi berulang yaitu :
1. Gelombang gigi gergaji
2. Gelombang segi empat
3. Gelombang segi tiga
Resume Rangkaian Listrik 2 8
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
4. Gelombang sinusoida
Gelombang - gelombang periodik tersebut mempunyai arti yang penting dalam
bidang elektronika, dan umumnya tidak membentuk persamaan sederhana. Menurut
Fourier fungsi berulang dapat ditulis dalam bentuk deret sinusoida tak terhingga,
asalkan fungsi tersebut mempunyai syarat Dirichlet.
Syarat Dirichlet yaitu :
Priodik, dan mempunyai perioda 2 π atau T
Bernilai tunggal
Dalam periode mempunyai maksimal dan minimal tertentu
Jika fungsi itu tidak continue, maka dalam 1 periode harus mempunyai
discontiunitas yang tertentu jumlahnya
Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata tak terhingga
Jika satu fungsi (F(t)) memenuhi syarat Dirichlet, maka dapat ditulis dalam bentuk
deret Fourier yaitu:
Resume Rangkaian Listrik 2 9
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
1
f ( t ) = a0 +a 1 co s ωt +a 2 cos 2 ωt +a 2 cos 3 ωt + …+b1 sin ωt+ b2 sin 2ωt +b 3 sin 3 ωt
2
Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:
∞
1
f ( t ) = 2 a0 + ∑ ( a n cos ( nωt ) +b n sin ( nωt ) )
n=1
Deret ini disebut juga deret Fourier trigonometri yaitu f(t)
dimana :
a dan b
= koefisien fourier
a0
= ordinat rata-rata atau komponen searah
ω=
2π
T
an cos n ωt + bn sin n ωt
= koefisien sudut dasar
= komponen harmonis ke n
Gambar dibawah ini adalah contoh kombinasi dua sinusoida yang mempunyai
frekuensi secara harmonic:
Garis putus- putus yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah fungsi periodik
bukan sinusoida, karena fungsi tersebut tidak continue dan tidak mempunyai
discontinuitas dalan jumlah tertentu
Resume Rangkaian Listrik 2 10
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
IV.
INTEGRAL FUNGSI SINUSOIDA
Untuk menghitung koefisien pada deret Fourier, diperlukan acuan penyelesaian
dari integral fungsi-fungsi sinusoida/ perkalian dari fungsi-fungsi sinusoida.
Integral fungsi-fungsi sinusoida yang diperlukan antara lain adalah:
1. Fungsi sinusoida 1:
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) dt
0
¿−
1
¿
nω
1
2π
¿− nω cos n T T −cos 0
( (
¿−
)
)
1
1−1 ) =0
nω (
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) dt=0
0
2. Fungsi sinusoida 2:
T
f ( t ) =∫ cos ( nωt ) dt
0
¿
1
¿
nω
1
2π
¿ nω sin n T T −sin 0
( (
¿
)
)
1
0−0 ) =0
nω (
T
f ( t ) =∫ cos ( nωt ) dt=0
0
3. Fungsi sinusoida 3 :
T
f ( t ) =∫ sin2 ( nωt ) dt
0
T
¿
1
( 1−cos ( 2 nωt ) ) dt
2∫
0
INGAT RUMUS
TRIGONOMETRI
cos 2 x=1−sin2 x
sehingga
sin 2 x=1−cos 2 x
Resume Rangkaian Listrik 2 11
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
¿
2π
1
1
dt− ∫ cos ( 2 nωt ) dt
∫
20
20
1
¿ ¿
2
1
π
¿ T=
2
ω
T
f ( t ) =∫ sin2 ( nωt ) dt=0
0
4. Fungsi sinusoida 4
T
f ( t ) =∫ c os2 ( nωt ) dt
0
T
1
¿ ∫ ( cos ( 2nωt ) +1 ) dt
20
T
INGAT RUMUS
TRIGONOMETRI
cos 2 x=cos 2 x−1
2π
1
1
¿ ∫ cos ( 2 nωt ) dt+ ∫ dt
20
2 0
sehingga
cos 2 x=cos 2 x +1
1 1
¿ .
¿
2 2 nω
1
π
¿ T=
2
ω
T
f ( t ) =∫ cos2 ( nωt ) dt =
0
π
ω
5. Fungsi sinusoida 5
T
f ( t ) =∫ sin2 ( ωt ) cos2 ( ωt ) dt
0
T
¿ ∫ ( sin ( ωt ) cos ( ωt ) ) 2 dt
0
T
¿∫
0
(
2
1
sin ( 2ωt ) dt
2
T
)
1
¿ ∫ ( sin ( 2 ωt ) ) 2 dt
4 0
T
1
¿ ∫¿¿
80
INGAT RUMUS
IDENTITAS
TRIGONOMETRI
sin 2 x=2 sin x . cos x
sehingga
1
sin x . cos x= sin 2 x
2
Resume Rangkaian Listrik 2 12
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
¿
T
1
1
dt− ∫ cos 4 ωt dt
∫
80
80
1
¿ ¿
8
1
π
¿ T=
8
4ω
T
f ( t ) =∫ sin2 ( ωt ) cos2 ( ωt ) dt=
0
π
4ω
6. Fungsi sinusoida 6 terdapat pada soal dan pembahasan
7. Fungsi sinusoida 7
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
0
T
¿
1
{sin ( m+ n ) ωt +sin (m−n) ωt }dt
2∫
0
T
T
2 sin a . cos b=sin(a+ b)+ cos( a−b)
1
1
¿ ∫ sin ( m+n ) ωt dt + ∫ sin ( m−n ) ωt dt
20
20
1
¿−
¿
2(m+ n) ω
1
1
¿−
1−1 ) −
1−1 ) =0
2 ( m+ n ) ω (
2 ( m−n ) ω (
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
8. Fungsi sinusoida 8 terdapat pada soal dan pembahasan
9. Fungsi sinusoida 9 terdapat pada soal dan pembahasan
V.
SOAL DAN JAWABAN
1. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 6 berikut :
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt
0
Resume Rangkaian Listrik 2 13
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Jawab :
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt
0
T
¿
1
( sin ( 2 nωt ) + sin 0 ) dt
2∫
0
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
T
¿
1
( sin ( 2 nωt ) ) dt
2∫
0
2 sin a . cos b=sin ( a+b ) +cos (a−b)
1
¿ ¿
2
1
¿ [ 0−0 ]=0
2
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
2. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 8 berikut :
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt
0
Jawab :
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt
0
T
¿−
1
{cos ( m+n ) ωt−cos ( m−n ) ωt }dt
2∫
0
T
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
2 sin a . sin b=cos (a+ b)−cos (a−b)
T
1
1
¿− ∫ cos ( m+ n ) ωt dt+ ∫ cos ( m−n ) ωt dt
2 0
20
1
¿
2(m+ n) ω
1
1
¿−
( 0−0 ) +
( 0−0 ) =0
2
(
m−n
)ω
2(m+ n)ω
¿−
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt=0
0
3. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 9 berikut :
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt
0
Jawab:
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
2 cos a . cos b=cos (a+b)+ cos(a−b)
Resume Rangkaian Listrik 2 14
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt
0
T
¿
1
{cos ( m+n ) ωt+ cos ( m−n ) ωt }dt
2∫
0
T
T
1
1
¿ ∫ cos ( m+ n ) ωt dt + ∫ cos ( m−n ) ωt dt
20
2 0
1
¿
2(m+ n)ω
1
1
¿
( 0−0 ) +
( 0−0 ) =0
2
(
m−n
)ω
2(m+ n)ω
¿
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
4. Tentukan nilai dari fungsi berikut :
2π
f ( t ) =∫ sin 5 ωt dt
0
Jawab :
2π
f ( t ) =∫ sin 5 ωt dt
0
1
¿
5ω
1
¿−
¿
5ω
1
¿−
¿
5ω
1
¿−
1−1 ) =0
5ω (
¿−
DAFTAR PUSTAKA
Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta:
Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda
PECAHAN PARSIAL DAN DERET FOURIER
Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A.
(5115122623)
Cut Zarmayra Zahra
(5115120353)
Fajar Muttaqin
(5115122606)
Inggih Piany Syanita
(5115122568)
Moh. Syamsul Nur
(5115122604)
Reza Irhamsyah
(5115122572)
Siti Mardiah
(5115122581)
Yusup Fawzi Yahya
(5115122591)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Resume Rangkaian Listrik 2 2
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Tujuan
1. Mahasiswa dapat memahami teori persamaan parsial di dalam suatu rangkaian
listrik
2. Mahasiswa dapat memahami perhitungan fungsi dengani pecahan parsial
3. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret Fourier
Resume Rangkaian Listrik 2 3
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
I.
PENDAHULUAN
Pada pembahasan sebelumnya telah kita pelajari mengenai uraian
pecahan
parsial untuk memudahkan kita mengubah persamaan menjadi anti
Laplace-nya. Pemecahannya adalah dengan memfaktorkan
terlebih dahulu
penyebutnya atau dengan mendeferensialkan persamaan awalnya.
Pada resume kali ini akan dibahas mengenai pecahan parsial yang
persamaannya tidak dapat difaktorkan. serta perhitungan dengan deret Fourier.
Resume Rangkaian Listrik 2 4
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
II.
LANJUTAN URAIAN PARSIAL
Pada resume sebelumnya mengenai sudah dibahas bahwa Uraian Parsial
merupakan suatu metode atau cara penyederhanaan suatu fungsi dalam (s) agar mudah
untuk di anti-Laplace kan atau diubah ke fungsi (t).
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa persamaan pada penyebut
dapat diuraikan dengan cara memfaktorkannya. Namun pada kenyataannya, ada
persamaan yang tidak bisa difaktorkan. Untuk menyelesaikan soal jenis seperti itu,
maka berikut cara menyederhanakannya dengan menggunakan metode pecahan parsial.
Contoh 1
Tentukan persamaan parsial dari persamaan berikut :
1
I (s )= 2
s +2 s+5
Jawab :
Langkah penyelesaian :
1. Sederhanakan dahulu penyebutnya, yaitu : s2 +2 s +5
Persamaan tersebut merupakan contoh persamaan yang tidak bisa difaktorkan dengan
mudah, maka cara untuk menyederhanakannya dengan memecahnya menjadi bagian
riil akar dan bagian yang imajiner.
s2 +2 s +5
¿ ( s2 +2 s+ 1 )+ 4
¿ ( s +1 )2 +22
BAGIAN RIIL
AKAR
BAGIAN
IMAJINER
Resume Rangkaian Listrik 2 5
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Dalam bentuk umum angka 1 diatas adalah angka rill, sedangkan angka 2 adalah
imajiner, sehingga faktorisasi penyebut dari persamaan di atas adalah :
s2 +2 s +5= ( s+1 ) 2+ 22
( s +1−2 j ) ( s+1+2 j )
2. Setelah mendapat bentuk sederhana dari penyebutnya, maka persamaan awal dapat
kita ubah menjadi bentuk seperti ini :
k1
k2
1
=
+
2
s + 2 s+5 ( s +1−2 j ) ( s +1+2 j )
……(1)
3. Kemudian seperti pada contoh sebelumnya pada uraian pecahan parsial, untuk
mendapatkan nilai K1, kalikan persamaan 1 tersebut dengan ( s +1−2 j ) :
1 ( s +1−2 j ) k 1 ( s+1−2 j ) k 2 ( s+1−2 j )
=
+
( s +1−2 j )
( s +1+2 j )
s 2 +2 s+ 5
1
( s+1+2 j )
=k 1 +
k 2 ( s+ 1−2 j )
( s+1+2 j )
s+1−2 j=0, sehingga s=−1+ 2 j
Masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh:
k2. 0
1
4 j =k 1 + 4 j
Maka K1 dapat diperoleh :
1 − j 2 −1
k1 = 4 j = 4 j = 4 j
4. Untuk mencari K2, maka kalikan persamaan 1 dengan ( s +1+2 j ).
Resume Rangkaian Listrik 2 6
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
1 ( s +1+2 j ) k 1 ( s +1+2 j ) k 2 ( s+1+2 j )
=
+
( s+1−2 j )
( s +1+2 j )
s 2+ 2 s+5
k ( s +1+ 2 j )
1
= 1
+k 2
( s+1−2 j )
( s+1−2 j )
s+1+2 j=0, sehingga s=−1−2 j
Kemudian masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh :
k1 . 0
1
−4 j =−4 j k 1 +k 2
Maka K2 dapat diperoleh :
−1 −− j 2 1
k 2= 4 j = 4 j = 4 j
5. Maka pecahan parsialnya menjadi :
−1
1
1
4 j
4j
=
+
s 2+ 2 s+5 ( s +1−2 j ) ( s +1+2 j )
III.
DERET FOURIER
Resume Rangkaian Listrik 2 7
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Deret Fourier adalah deret yang digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini
pertama kali ditemukan oleh seorang ilmuan Perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Derat Fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan
cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik/berulang
dengan persamaan sederhana.
Contoh fungsi berulang yaitu :
1. Gelombang gigi gergaji
2. Gelombang segi empat
3. Gelombang segi tiga
Resume Rangkaian Listrik 2 8
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
4. Gelombang sinusoida
Gelombang - gelombang periodik tersebut mempunyai arti yang penting dalam
bidang elektronika, dan umumnya tidak membentuk persamaan sederhana. Menurut
Fourier fungsi berulang dapat ditulis dalam bentuk deret sinusoida tak terhingga,
asalkan fungsi tersebut mempunyai syarat Dirichlet.
Syarat Dirichlet yaitu :
Priodik, dan mempunyai perioda 2 π atau T
Bernilai tunggal
Dalam periode mempunyai maksimal dan minimal tertentu
Jika fungsi itu tidak continue, maka dalam 1 periode harus mempunyai
discontiunitas yang tertentu jumlahnya
Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata tak terhingga
Jika satu fungsi (F(t)) memenuhi syarat Dirichlet, maka dapat ditulis dalam bentuk
deret Fourier yaitu:
Resume Rangkaian Listrik 2 9
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
1
f ( t ) = a0 +a 1 co s ωt +a 2 cos 2 ωt +a 2 cos 3 ωt + …+b1 sin ωt+ b2 sin 2ωt +b 3 sin 3 ωt
2
Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:
∞
1
f ( t ) = 2 a0 + ∑ ( a n cos ( nωt ) +b n sin ( nωt ) )
n=1
Deret ini disebut juga deret Fourier trigonometri yaitu f(t)
dimana :
a dan b
= koefisien fourier
a0
= ordinat rata-rata atau komponen searah
ω=
2π
T
an cos n ωt + bn sin n ωt
= koefisien sudut dasar
= komponen harmonis ke n
Gambar dibawah ini adalah contoh kombinasi dua sinusoida yang mempunyai
frekuensi secara harmonic:
Garis putus- putus yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah fungsi periodik
bukan sinusoida, karena fungsi tersebut tidak continue dan tidak mempunyai
discontinuitas dalan jumlah tertentu
Resume Rangkaian Listrik 2 10
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
IV.
INTEGRAL FUNGSI SINUSOIDA
Untuk menghitung koefisien pada deret Fourier, diperlukan acuan penyelesaian
dari integral fungsi-fungsi sinusoida/ perkalian dari fungsi-fungsi sinusoida.
Integral fungsi-fungsi sinusoida yang diperlukan antara lain adalah:
1. Fungsi sinusoida 1:
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) dt
0
¿−
1
¿
nω
1
2π
¿− nω cos n T T −cos 0
( (
¿−
)
)
1
1−1 ) =0
nω (
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) dt=0
0
2. Fungsi sinusoida 2:
T
f ( t ) =∫ cos ( nωt ) dt
0
¿
1
¿
nω
1
2π
¿ nω sin n T T −sin 0
( (
¿
)
)
1
0−0 ) =0
nω (
T
f ( t ) =∫ cos ( nωt ) dt=0
0
3. Fungsi sinusoida 3 :
T
f ( t ) =∫ sin2 ( nωt ) dt
0
T
¿
1
( 1−cos ( 2 nωt ) ) dt
2∫
0
INGAT RUMUS
TRIGONOMETRI
cos 2 x=1−sin2 x
sehingga
sin 2 x=1−cos 2 x
Resume Rangkaian Listrik 2 11
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
¿
2π
1
1
dt− ∫ cos ( 2 nωt ) dt
∫
20
20
1
¿ ¿
2
1
π
¿ T=
2
ω
T
f ( t ) =∫ sin2 ( nωt ) dt=0
0
4. Fungsi sinusoida 4
T
f ( t ) =∫ c os2 ( nωt ) dt
0
T
1
¿ ∫ ( cos ( 2nωt ) +1 ) dt
20
T
INGAT RUMUS
TRIGONOMETRI
cos 2 x=cos 2 x−1
2π
1
1
¿ ∫ cos ( 2 nωt ) dt+ ∫ dt
20
2 0
sehingga
cos 2 x=cos 2 x +1
1 1
¿ .
¿
2 2 nω
1
π
¿ T=
2
ω
T
f ( t ) =∫ cos2 ( nωt ) dt =
0
π
ω
5. Fungsi sinusoida 5
T
f ( t ) =∫ sin2 ( ωt ) cos2 ( ωt ) dt
0
T
¿ ∫ ( sin ( ωt ) cos ( ωt ) ) 2 dt
0
T
¿∫
0
(
2
1
sin ( 2ωt ) dt
2
T
)
1
¿ ∫ ( sin ( 2 ωt ) ) 2 dt
4 0
T
1
¿ ∫¿¿
80
INGAT RUMUS
IDENTITAS
TRIGONOMETRI
sin 2 x=2 sin x . cos x
sehingga
1
sin x . cos x= sin 2 x
2
Resume Rangkaian Listrik 2 12
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
¿
T
1
1
dt− ∫ cos 4 ωt dt
∫
80
80
1
¿ ¿
8
1
π
¿ T=
8
4ω
T
f ( t ) =∫ sin2 ( ωt ) cos2 ( ωt ) dt=
0
π
4ω
6. Fungsi sinusoida 6 terdapat pada soal dan pembahasan
7. Fungsi sinusoida 7
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
0
T
¿
1
{sin ( m+ n ) ωt +sin (m−n) ωt }dt
2∫
0
T
T
2 sin a . cos b=sin(a+ b)+ cos( a−b)
1
1
¿ ∫ sin ( m+n ) ωt dt + ∫ sin ( m−n ) ωt dt
20
20
1
¿−
¿
2(m+ n) ω
1
1
¿−
1−1 ) −
1−1 ) =0
2 ( m+ n ) ω (
2 ( m−n ) ω (
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
8. Fungsi sinusoida 8 terdapat pada soal dan pembahasan
9. Fungsi sinusoida 9 terdapat pada soal dan pembahasan
V.
SOAL DAN JAWABAN
1. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 6 berikut :
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt
0
Resume Rangkaian Listrik 2 13
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
Jawab :
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt
0
T
¿
1
( sin ( 2 nωt ) + sin 0 ) dt
2∫
0
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
T
¿
1
( sin ( 2 nωt ) ) dt
2∫
0
2 sin a . cos b=sin ( a+b ) +cos (a−b)
1
¿ ¿
2
1
¿ [ 0−0 ]=0
2
T
f ( t ) =∫ sin ( nωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
2. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 8 berikut :
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt
0
Jawab :
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt
0
T
¿−
1
{cos ( m+n ) ωt−cos ( m−n ) ωt }dt
2∫
0
T
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
2 sin a . sin b=cos (a+ b)−cos (a−b)
T
1
1
¿− ∫ cos ( m+ n ) ωt dt+ ∫ cos ( m−n ) ωt dt
2 0
20
1
¿
2(m+ n) ω
1
1
¿−
( 0−0 ) +
( 0−0 ) =0
2
(
m−n
)ω
2(m+ n)ω
¿−
T
f ( t ) =∫ sin ( mωt ) sin ( nωt ) dt=0
0
3. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 9 berikut :
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt
0
Jawab:
INGAT RUMUS IDENTITAS
TRIGONOMETRI
2 cos a . cos b=cos (a+b)+ cos(a−b)
Resume Rangkaian Listrik 2 14
Pecahan Parsial dan Deret Fourier
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt
0
T
¿
1
{cos ( m+n ) ωt+ cos ( m−n ) ωt }dt
2∫
0
T
T
1
1
¿ ∫ cos ( m+ n ) ωt dt + ∫ cos ( m−n ) ωt dt
20
2 0
1
¿
2(m+ n)ω
1
1
¿
( 0−0 ) +
( 0−0 ) =0
2
(
m−n
)ω
2(m+ n)ω
¿
T
f ( t ) =∫ cos ( mωt ) cos ( nωt ) dt=0
0
4. Tentukan nilai dari fungsi berikut :
2π
f ( t ) =∫ sin 5 ωt dt
0
Jawab :
2π
f ( t ) =∫ sin 5 ωt dt
0
1
¿
5ω
1
¿−
¿
5ω
1
¿−
¿
5ω
1
¿−
1−1 ) =0
5ω (
¿−
DAFTAR PUSTAKA
Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta:
Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda