Bab 2 Relasi Dan Fungsi

Matematika Ekonomi

FEUG

RELASI DAN FUNGSI
Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan
setiap elemen Domain dengan setiap elemenRange yang membentuk pasangan bilangan
berurut.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Relasi dengan
X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai R: X → Y. Jika setiap x  X
dapat dipetakan ke setiap y  Y.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Fungsi dengan
X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai F: X → Y. Jika dan hanya
jika (jikka) satu x  X dapat dipetakan ke satu y  Y.
RELASI :
y1
y2
y3
y4

x1

x2
x3
x4

XY
R: X  Y menghasilkan himpunan pasangan berurut :
A = {(x1,y1), (x1,y3), (x2,y2), (x3,y1), (x3,y3), (x4,y2), (x4,y4)}
FUNGSI :
x1
x2
x3
x4

y1
y2
y3
y4

X

Y

F: X  Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
A = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)}
Dalam pembahasan matematika ekonomi, hubungan antara variabel-variabel ekonomi
dinyatakan sebagai suatu fungsi, misalnya hubungan antara jumlah permintaan sejenis
barang (Qd) dan harganya (P) → Q d = f(P), hubungan antara pengeluaran konsumsi (C) dan
pendapatan (Y) → C = f(Y), hubungan total cost (TC) dan jumlah produksi (Q) → TC = f(Q).

Rina Sugiarti

Page 1

Matematika Ekonomi

FEUG

JENIS-JENIS FUNGSI
Berdasarkan bentuk operator dalam persamaannya, jenis fungsi terdiri dari fungsi aljabar
dan fungsi transeden.

FUNGSI ALJABAR adalah fungsi yang memuat operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian, pembagian, penarikan akar, dan perpangkatan.
Fungsi aljabar dapat diklasifikasikan menjadi fungsi rasional bulat, fungsi rasional
pecahan, dan fungsi irrasional.
Fungsi rasional bulat juga disebut fungsi polinom atau fungsi berpangkat banyak, yang
ditulis sebagai f(x) = a 0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + a n-1x + andimana n adalah bilangan bulat
non negatif dan a0,a1, a2, . . . adalah bilangan real tidak sama dengan nol.
Misal:
Fungsi polinom berderajat tiga: f(x) = 3x 3 + 5x2 - 2x - 1 yang merupakan fungsi kubik.
Fungsi polinom berderajat dua: f(x) = 9x2 + 3x - 15 yang merupakan fungsi kuadrat.
Fungsi polinom berderajat satu: f(x) = 75x + 150 yang merupakan fungsi linear.
Fungsi rasional pecahan:
2

ax +bx+c
f (x )= 2
px +qx+r
f(x) = √ (2x + 5) atau ditulis f(x) = (2x + 5) 1/2

Fungsi irrasional:

FUNGSI TRANSENDEN yaitu fungsi non aljabar, seperti :
Fungsi goneometri : f(x) = 2 sin 3x + 12
Fungsi logaritma : f(x) = 5log3x
Fungsi eksponensial : f(x) = 12x
Fungsi siklometri : f(x) = arc sin x
Berdasarkan letak variabelnya, fungsi terdiri dari fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI EKSPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya dipisahkan oleh tanda "="
menjadi ruas kiri dan ruas kanan, misalnya y = 8x 2 + 32
FUNGSI IMPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya terletak dalam ruas yang sama,
misalnya y - 8x2 = 32
FUNGSI KOMPOSISI (COMPOSITE FUNCTION)
Fungsi komposisi (composite function) disebut juga sebagai fungsi majemuk, yaitu fungsi
yang diperoleh dengan mensubstitusikan fungsi lain ke dalamnya.Jika diketahui y = f(x) dan
x = g(z) maka fungsi komposisinya adalah y = f[g(z)]
Contoh : Jika f(x) = x2 - x -1 dan g(x) = x - 1 maka fungsi komposisi f[g(x)] adalah :
f[g(x)] = [g(x)]2 - [g(x)] -1
= (x - 1)2 - (x - 1) - 1
= x2 -3x + 1
Rina Sugiarti

Page 2

Matematika Ekonomi

FEUG

FUNGSI INVERS
Fungsi invers adalah fungsi yang diperoleh dengan mempertukarkan domain dan range
fungsi asal, jikka fungsi asal merupakan fungsi satu-satu.Jika fungsi asal adalah y = f(x),
maka fungsi inversnya adalah x = f -1(y) atau x = f-1[f(x)].
Contoh : Jika diketahui fungsi asal adalah f(x) = 2x -1, maka fungsi inversnya adalah :
y = 2x -1
2x = y +1
x = (y + 1)/2
f-1(y) = (y + 1)/2

FUNGSI LINEAR
KONSTANTA DAN VARIABEL
Dalam matematika murni (pure mathematics) maupun matematika terapan (applied

matematics) dikenal dua jenis besaran, yaitu konstanta dan variabel.
Konstanta adalah besaran yang nilainya tetap.
Misalnya f(x) = 4 dengan grafiknya sebagai berikut :
f(x)

4

f(x) = 4

0

x

Konstanta terdiri dari konstanta mutlak yang nilainya tidak bisa berubah sama sekali
misalnya dalam f(x) = 4, dan konstanta parameter yang nilainya bisa berubah
tergantung kondisi misalnya dalam f(x) = c
Variabel adalah besaran yang nilainya berubah-ubah, misalnya dalam f(x) = x + 4
dengan grafik sebagai berikut:
f(x)
f(x) = x + 4

4
0

x

Berdasarkan nilainya, variabel terdiri dari variabel diskrit dan varibel kontinu.
Variabel diskrit (discrete variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil
menghitung (counting) dan hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat (integer).
Rina Sugiarti

Page 3

Matematika Ekonomi

FEUG

Variabel kontinu (continue variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil
mengukur (measurement) dan dapat dinyatakan dengan bilangan bulat maupun bilangan
desimal.

Dalam persamaan garis lurus :(x/a) + (y/b) = 1
x dan y menunjukkan variabel, a dan b menunjukkan konstanta parameter, dan 1
menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan luas suatu lingkaran : A = r2
 menunjukkan konstanta mutlak, sedangkan A dan r menunjukkan variabel.
Dalam persamaan Total Revenue (TR) yang merupakan fungsi dari Quantity (Q) : TR =
150Q
TR dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 150 menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan Total Cost (TC) yang merupakan fungsi dari biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost) : TC =  + Q
TC dan Q menunjukkan variabel, sedangkan  dan  menunjukkan konstanta parameter.
CATATAN :
Dalam matematika ekonomi, penulisan variabel biasanya menggunakan huruf pertama
dari variabel bersangkutan, seperti P untuk Price, Q untuk Quantity, TC untuk Total Cost,
TR untuk Total Revenue, C untuk Consumption, I untuk Investment, Y untuk Income, G
untuk Government expenditure, S untuk Saving, T untuk Tax, X untuk Export, M untuk
Import, dan sebagainya. Penulisan konstanta parameter menggunakan huruf Yunani,
seperti α, β, δ, λ, μ dan seterusnya.Nilai untuk variabel maupun konstanta biasanya
berupa bilangan real, yang terdiri dari bilangan rasional dan irrasional.
GRAFIK FUNGSI LINEAR

Suatu fungsi linear dapat digambarkan grafiknya dalam kordinat kartesian yang memiliki
sumbu horisontal sebagai sb-x dan sumbu vertikal sebagai sb-y.
Grafik fungsi linear akan berbentuk garis lurus yang memiliki kemiringan (slope) dan
intersep.
y

y = f(x)

0

x

Intersep menunjukkan titik potong grafik garis lurus dengan sumbu vertikal, sedangkan
kemiringan (slope) garis lurus menunjukkan arah (direction) dari garis lurus tersebut.
Secara implisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan Ax + By + C = 0
Secara eksplisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan y = mx + c
Rina Sugiarti

Page 4

Matematika Ekonomi

FEUG

dimana m adalah koefisien arah yang menunjukkan kemiringan grafik fungsi tersebut dan
c adalah konstanta yang menunjukkan intersepnya.
y
y2

y = mx + c

B

y1 A
c

C

0 x1

x2

x

Karena AC = x 2 - x1 dan BC = y2 - y1, maka kemiringan garis lurus tersebut merupakan
tangent sudut CAB, yaitu :

m=

y 2− y 1
x 2−x 1

Jika m positif (m > 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menaik.
Sebaliknya jika m negatif (m < 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah
menurun.
MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
Persamaan garis yang melalui dua titik, misalkan A (x 1, y1) dan B(y1, y2) ada pada suatu
garis lurus, maka persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah :

y− y 1=

y 2− y1
( x−x 1 )
x 2−x 1

y = m(x - x1) + y1

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan (-5, 2) :
Jika (x1, y1) = (3, 4) dan (x2, y2)= (-5, 2) maka persamaan garis tersebut adalah :

y− y 1=

y 2− y1
( x−x 1 )
x 2−x 1



y−4=

2−4
( x−3)
−5−3

4y - 16 = x - 3 → x - 4y + 13 = 0

atau y = (1/4)x + 13

Persamaan garis melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah :
Jika (x1, y1) = (0, b) dan (x2, y2)= (a, 0) maka persamaan garis tersebut adalah :

y− y 1=

y 2− y1
( x−x 1 )
x 2−x 1



0−b
y−b= a−0 ( x−0)

(y/b) - 1 = - x/a → x/a) + (y/b) = 1
Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (4, 0) adalah (x/4) + (y/6) = 1 atau 3x + 2y 12 = 0
Persamaan garis melalui (x1, y1) dan memiliki kemiringan sebesar m adalah:
y - y1 = m(x - x1)
Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 2) dan memiliki kemiringan m = -4.

Rina Sugiarti

Page 5

Matematika Ekonomi

FEUG

y - 2 = -4(x + 1) → 4x + y + 2 = 0 atau

y = -4x – 2

SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0, 5) dan memiliki kemiringan m = 3,
kemudian gambarkan grafiknya.
2. Tentukan persamaan garis lurus melalui (-1, 3) dan memiliki kemiringan m = -1, kemudian
gambarkan grafiknya.
3. Jika diketahui A(1, 5) dan B(3, 4), maka tentukan kemiringan dan persamaan garis AB.
4. Suatu perusahaan angkutan besi beton menentukan biaya angkut berdasarkan
persamaan linier C = a + bQ dimana C adalah total biaya angkut (Rp) dan Q adalah
jumlah barang terangkut (ton). Jika untuk mengangkut 8 ton diperlukan biaya Rp
820.000, - Sedangkan untuk 16 ton besi beton diperlukan biaya Rp 1.620.000,- maka
tentukanlah persamaan biaya angkut besi beton tersebut.
5. Perusahaan sepatu X menyewa sebuah toko Rp 750.000,- per bulan ditambah 3% dari
hasil penjualan per bulan di toko tersebut. Jika penjualan bulan September lalu sebesar
Rp 50.000.000,- maka tentukan persamaan biaya sewa dan jumlah sewa yang harus
dibayar perusahaan kepada pemilik toko untuk bulan September.
6. Diketahui harga obral sejenis barang elektronik adalah 60% dari harga asal ditambah
biaya pemeliharaan sebesar Rp 50.000,- . Jika harga obral diketahui sebesar Rp
950.000,- maka tentukanlah persamaan harga obral barang tersebut dan harga asalnya.
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS
Diketahui dua persamaan linier y = m 1 + c1 dan y = m2 + c2. Secara grafik, hubungan
kedua persamaan tersebut akan menunjukkan :
1. Berpotongan tegak lurus, jika m1. m2 = -1
2. Berpotongan sembarang, jika m1 m2 dan c1 c2
3. Sejajar, jika m1 = m2 dan c1 c2
4. Berimpit, jika m1 = m2 dan c1 = c2
JARAK DUA TITIK PADA BIDANG
Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) membentuk garis AB sebagai berikut :
y

B

A
0
Maka jarak garis AB adalah
Rina Sugiarti

x

AB=√( x 2−x 1 )2+( y 2− y 1)2
Page 6

Matematika Ekonomi

FEUG

Tentukanlah jarak garis AB, jika A(8, 5) dan B(3, -7).

AB=√( x 2−x 1 )2 +( y 2− y 1)2

→

AB=√(3−8)2+(−7−5)2

→ AB = 13

SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan bentuk hubungan dua garis lurus dari :
(a) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan -3x + y - 4 = 0
(b) Persamaan 2x + y + 4 = 0 dan 2x + 6y - 4 = 0
(c) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan 4x + 12y - 8 = 0
(d) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan x + 3y - 9 = 0
2. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 2x + y - 3 = 0 dengan sb-x dan tegak
lurus terhadap garis 3x + 4y + 6 = 0.
3. Tentukanlah koordinat titik potong dua persamaan berikut :
(a) y = -x + 3 dan y = 3x – 5
(b) 3x - 4y + 6 = 0 dan x - 2y - 3 = 0
(c) 2x - 3y + 3 = 0 dan 4x - 6y + 12 = 0
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x + y - 3 = 0 dengan x - y = 0 dan
sejajar dengan 3x + 4y + 6 = 0.
5. Panitia pertandingan bola basket antar universitas menetapkan harga karcis per orang
untuk mahasiswa dan umum masing-masing adalah Rp 1.000 dan Rp 2.500. Pada
pertandingan babak final terjual 860 lembar karcis dengan jumlah uang masuk Rp
1.340.000. Tentukanlah jumlah mahasiswa dan umum yang menonton pertandingan final
tersebut.
6. Tentukan nilai konstanta a dalam persamaan garis y = ax + 2 agar sejajar dengan garis
yang melewati (2, 4) dan (3, 1).
7. Umur seorang ayah pada dua tahun yang lalu adalah 6 kali umur anaknya. Setelah 18
tahun kemudian, umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Berapakah umur anak dan
ayah tersebut sekarang.
8. Hitunglah jarak antara titik asal dengan garis y + x = 2
9. Jika A(x, 4) dan B(5,7), maka tentukan nilai x sehingga jarak AB = 5.

APLIKASI FUNGSI LINEAR DALAM BISNIS EKONOMI
Rina Sugiarti

Page 7

Matematika Ekonomi

FEUG

FUNGSI PERMINTAAN
Jumlah permintaan suatu barang (Q d) merupakan fungsi dari harga barang itu sendiri (P),
pendapatan yang dapat dibelanjakan (Y d), harga barang substitusi (P s), selera (T), dan
sebagainya.Qd = f(P, Yd, Ps, T, . . . )
Hubungan fungsional tersebut dengan menggunakan persamaan dapat dituliskan
sebagai:Qd = 0 - 1P + 2Yd + 3Ps + 4T + . . .
Untuk keperluan penggambaran kurva permintaan dan sesuai dengan hukum
permintaan, maka suatu fungsi permintaan dinyatakan sebagai

Qd = f(P)

dan

persamaan permintaannya dituliskan sebagai Q d = 0 - 1P dan kurva permintaan
adalah sebagai berikut:
P

Qd = f(P)
0

Q

Jika harga suatu barang naik, maka jumlah permintaan terhadap barang tersebut akan
turun, demikian sebaliknya.
Suatu dealer jam tangan merk "X" hanya dapat menjual 10 unit jam tangan jika harganya
US$ 80 per unit. Tetapi jika harganya US$ 60 per unit, maka dapat terjual sebanyak 20
unit. Tentukanlah persamaan permintaannya.
FUNGSI PENAWARAN
Sebagaimana fungsi permintaan, untuk keperluan penggambaran kurva penawaran dan
sesuai dengan hukum penawaran, maka fungsi penawaran dinyatakan sebagai Q s = f(P)
dan persamaan penawarannya Qs = 0 + 1P dengan kurva penawaran sebagai berikut:
P
Qs = f(P)

0
Jika

harga suatu

barang naik,

Q
maka jumlah penawarannyaakan naik, demikian

sebaliknya.

Rina Sugiarti

Page 8

Matematika Ekonomi

FEUG

Suatu toko kamera merk "Y" akan menyediakan 50 unit kamera untuk dijual pada saat
harganya US$ 50 per unit. Sedangkan pada saat harganya US$ 75 per unit, toko tersebut
akan menyediakan sebanyak 100 unit kamera. tentukanlah persamaan penawarannya.
KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM)
Keseimbangan pasar suatu barang menunjukkan tingkat harga yang mengakibatkan
jumlah permintaan sama dengan jumlah penawarannya (Q d = Qs).
Secara grafik, keseimbangan pasar tercapai pada titik potong kurva permintaan dan kurva
penawarannya.Pada titik E tercapai Q d = Qs → Qe
P
D
Pe

S
E

0
Qe
Q
Tentukan keseimbangan pasar suatu barang yang mempunyai persamaan permintaan
dan penawaran adalah Qd = 10 - 5P dan Qs = 3 + 2P
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR.
Pengenaan pajak terhadap sejenis barang akan mengakibatkan harganya menjadi lebih
mahal, sehingga kurva penawaran akan bergeser ke kiri atas, yang menghasilkan
keseimbangan pasar yang baru.
Sebaliknya pemberian subsidi terhadap sejenis barang akan mengakibatkan harganya
menjadi lebih murah, sehingga kurva penawaran akan bergeser ke kanan bawah, yang
menghasilkan keseimbangan pasar yang baru.
P

S’

P
S

S
S’

P’
P
0

E’

P
E

P’
Q

0

E
E’
Q

PENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASARPENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR

PAJAK (TAX)

Rina Sugiarti

Page 9

Matematika Ekonomi

FEUG

 Pajak merupakan pungutan yang ditarik pemerintah (negara) terhadap wajib pajak tanpa
mendapat balas jasa langsung. Ada dua jenis pajak berdasarkna cara penarikannya, yaitu
pajak langsung dan pajak tidak langsung.
 Pajak langsung adalah pajak yang langsung dipungut dari wajib pajak tanpa fihak perantara,
seperti Pajak Penghasilan (PPh), Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Kekayaan, Pajak
Kendaraan, Pajak Perusahaan, dan sebagainya.
 Pajak tak langsung adalah pajak yang tidak langsung dipungut dari wajib pajak, tetapi melalui
wajib pungut yang selanjutnya disetorkan kepada pemerintah (negara), seperti Pajak
Pertambahan Nilai (PPn), Pajak Penjualan, Pajak Tontonan, Cukai, Pajak Barang Mewah, dan
sebagainya.
 Pajak tak langsung seperti PPn dan cukai akan berpengaruh langsung terhadap harga yang
ditawarkan oleh produsen sebagai akibat pembebanan pajak terhadap konsumen, sehingga
akan mengubah fungsi penawaran dan keseimbangan pasar.
 Diketahui fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah P = 12 – 2Q dan P = 3 + Q,
jika pemerintah mengenakan pajak tetap (pajak spesifik) sebesar T = 3, maka tentukan: (1)
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah ada pajak, (2) Besarnya pajak per unit yang
ditanggung produsen dan konsumen, (3) Total pajak yang ditanggung produsen dan
konsumen, (4) Total pajak yang diterima pemerintah (negara), (5) Gambarkan kurvanya
Jawab:
(1) Keseimbangan pasar sebelum pajak → 12 – 2Q = 3 + Q → 3Q = 9 → Q = 3 dan P = 3 +
3=6
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P = 6 dan Q = 3
Keseimbangan pasar sesudah pajak:
Fungsi penawaran sesudah pajak adalah P = (3 + Q) + 3 → P = 6 + Q
Sehingga 12 – 2Q = 6 + Q → 3Q = 6 → Q’ = 2 dan P’ = 6 + 2 = 8
Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’ = 8 dan Q’ =2
(2) Besarnya pajak per unit yang ditanggung produsen adalah: t p = 6 – (3 + 2) = 1
Sedangkan besarnya pajak per unit yang ditanggung konsumen adalah: t k = 3 – 1 = 2 atau
tk = 8 – 6 =2
(3) Total pajak yang ditanggung produsen dan konsumen: T p = 2(1) = 2 dan Tk = 2(2) = 4
(4) Total pajak yang diterima pemerintah: T G = 2(3) = 6

P
Rina Sugiarti

Page 10

Matematika Ekonomi

FEUG

S’
12
S

8

E’

6
5

E

3

0

2 3

6

Q

PAJAK PERSENTASE (PAJAK PROPORSIONAL)
 Pajak persentase atau pajak proporsional adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang
yang diperhitungkan sebesar persentase (%) yang tetap dari hasil penerimaannya. Pajak
persentase dituliskan sebagai t%, dengan pajak sebesar t% maka harga penawaran akan
bertambah sebesar t% dari harga penawaran sebelumnya.
 Jika harga penawaran sebelum pajak adalah P = f(Q) dan ada pajak sebesar t%, maka harga
penawaran sesudah pajak adalah P’ = (100 + t)% f(Q) atau P’ = (100 + t)% P
 Untuk menentukan pajak per unit setelah kena pajak sebesar t% adalah:
t%
t per unit=t % ( P ) =
P'
( 100+t ) %
Contoh soal:
 Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang: P = 8 – ½Q dan P = 2 + 2Q, jika
terhadap barang tersebut dikenakan pajak proporsional sebesar 20%. Tentukan (1)
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah ada pajak, (2) besarnya pajak per unit, (3)
besarnya pajak per unit yang masing-masing ditanggung oleh konsumen dan produsen, (4)
Total pajak yang ditanggung konsumen dan produsen, (5) Total pajak yang diterima
pemerintah, (6) Gambarkan kurvanya.
 Jawab:
(1) Keseimbangan pasar sebelum pajak:
8 – ½Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P = 6.8
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P = 6.8 dan Q = 2.4
Fungsi penawaran sesudah pajak: P = 1.2(2 + 2Q) → P = 2.4 + 2.4Q

Rina Sugiarti

Page 11

Matematika Ekonomi

FEUG

Keseimbangan pasar sesudah pajak:
8 – ½ Q = 2.4 + 2.4Q → 2.9Q = 5.6 → Q = 1.93 dan P = 7.03
Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’ = 7.03 dan Q’ = 1.93
P

S’
S

8
7.03
6.8

-10

E’

E

1.93 2.4

16

Q

(2) Besarnya pajak per unit:
t per unit=t % ( P ) =

t%
( 100+t ) %

P ' →t=

0.2
7.03=1.17
1.2

(3) Besarnya pajak per unit yang ditanggung konsumen dan produses: t k = 7.03 – 6.8 = 0.23
dan tp = 1.17 – 0.23 = 0.94 atau tp dicari dengan mensubstitusikan Q’ = 1.93 ke dalam
fungsi penawaran P = 2 + 2Q → P = 2 + 2(1.93) = 5.86 → tp = 6.8 – 5.86 = 0.94
(4) Total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen dan produsen:
Tk = 0.23 x 1.93 = 0.4439 dan Tp = 0.94 x 1.93 = 1.8142.
(5) Total pajak yang diterima pemerintah: T G = 0.4439 + 1.8142 = 2.2581 atau T G = 1.17 x
1.93 = 2.2581
Catatan: Jika pajak yang dibebankan sebagai pajak spesifik (pajak tetap), maka bagian pajak
yang ditanggung konsumen lebih besar daripada pajak yang ditanggung produsen. Sebaliknya,
jika pajaknya merupakan pajak proporsional (pajak persentase), maka bagian pajak yang
ditanggung konsumen lebih kecil daripada bagian pajak yang ditanggung produsen.

SUBSIDI
Rina Sugiarti

Page 12

Matematika Ekonomi

FEUG

 Subsidi adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen, sehingga harga yang
ditawarkan sesuai dengan keinginan pemerintah dengan harga lebih murah daripada harga
semula. Subsidi akan mengubah fungsi penawaran dan keseimbangan pasar.
 Jika fungsi penawaran terhadap suatu barang sebelum subsidi adalah P = f(Q) dan ada
subsidi terhadap barang tersebut sebesar s, maka fungsi penawaran sesudah subsidi adalah
P = f(Q) – s
 Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang adalah P = 10 – ½ Q dan P = 4 +
2Q, jika pemerintah memberikan subsidi terhadap barang tersebut sebesar s = 2. Tentukan
keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi, kemudian gambarkan kurvanya.
Jawab:
Keseimbangan pasar sebelum subsidi: 10 – ½ Q = 4 + 2Q → 5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P =
8.8 Jadi keseimbangan pasar tercapai pada P = 8.8 dan Q = 2.4 →E(8.8; 2.4)
Keseimbangan sesudah subsidi: Fungsi penawaran P’ = (4 + 2Q) – 2 → P’ = 2 + 2Q
10 – ½ Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 8 → Q = 3.2 dan P = 8.4, jadi keseimbangan pasar yang baru
tercapai pada P’ = 8.4 dan Q’ = 3.2 →E’(8.4; 3.2)
P

10

S

10

S’

8.8

E

8.4 E’

-2

-1

0

2.4

Q

3.2

ANALISIS TITIK IMPAS (BREAK-EVEN ANALYSIS)
Rina Sugiarti

Page 13

Matematika Ekonomi

FEUG

 Titik impas (break-even point) tercapai pada saat TC = TR
Total cost (TC) → TC = FC + VC
FC (fixed cost) adalah semua biaya yang dikeluarkan sebelum dihasilkan output (Q) atau
biaya-biaya yang dikeluarkan untuk membeli fixed capital (modal tetap) seperti bangunan
pabrik, mesin dan peralatan, kendaraan, dan sebagainya. Dalam jangka pendek besarnya FC
bersifat tetap (fixed) atau tidak ditentukan oleh jumlah output → FC ≠ f(Q). Dalam jangka
panjang FC juga berubah karena adanya peningkatan skala ekonomi (economic of scale).
VC (variabel cost) adalah biaya-biaya yang dikeluarkan ketika produksi mulai menghasilkan
output atau biaya-biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku (raw material) dan bahan
penolong (auxiliary goods), energi listrik dan BBM, sehingga besarnya VC ditentukan oleh
jumlah output (Q)→ VC = f(Q).
TR (total revenue) adalah semua penerimaan dari hasil penjualan output, sehingga besarnya
ditentukan oleh jumlah output (Q) → TR = f(Q)
Secara spesifik, TC dan TR dirumuskan dengan persamaan berikut:
TC = k + PQ
TR = P’Q
P dalam TC menunjukkan biaya produksi per unit
P’ dalam TR menunjukkan harga jual per unit
 Secara grafik, titik impas digambarkan sebagai berikut:
Rp

TR
TC
BEP

FC

0

Q*

Q (unit)

Pada tingkat produksi sebesar Q* tercapai BEP → TR = TC →π = 0
Sebelum BEP →π< 0 (rugi) dan sesudah BEP →π> 0 (untung)

Soal-Soal:
Rina Sugiarti

Page 14

Matematika Ekonomi

FEUG

1. PT. XYZ memproduksi sejenis barang elektronik, pada tingkat penjualan sebesar 10.000 unit
perusahaan mendapat laba sebesar Rp 1.000.000.000,- dengan biaya tetap sebesar Rp 3
milyar. Jika diketahui harga barang elektronik tersebut per unitnya sebesar Rp 1000.000,-,
maka:
a) Tentukan fungsi Total Revenue (TR), Total Cost (TC), dan Variabel Cost (VC)
b) Tentukan Break Even Point (BEP)
c) Bila perusahaan tersebut menjual produknya sebanyak 6.000 unit, apakah perusahaan
mengalami kerugian atau untung?
d) Gambarkan grafiknya
2. Suatu perusahaan harus mengeluarkan biaya sebesar Rp 250 juta meskipun belum
berproduksi, tetapi bila perusahaan berproduksi sebanyak 400 ribu unit maka biaya
variabelnya sebesar Rp 200 juta. Jika produksi perusahaan tersebut mencapai 1.250.000 unit,
maka akan diperoleh keuntungan sebesar Rp 50 juta.
a) Tentukan harga jual per unit barang produksi perusahaan tersebut
b) Tentukan fungsi TC, TR, dan BEP
c) Hitung keuntungan pada tingkat produksi 2.500.000 unit
d) Gambarkan grafiknya

Rina Sugiarti

Page 15

Matematika Ekonomi

FEUG

Jawab:
1. Diketahui: Pada penjualan Q = 10.000 →π = 1.000.000.000 dengan FC = 3.000.000.000
Harga jual P = 1.000.000
a) Fungsi Total Revenue: TR = PQ →TR = 1.000.000 Q
Fungsi Total Cost: TC = FC + VC → TC = 3.000.000.000 + VC
Pada saat Q = 10.000→π = TR – TC → 1.000.000.000 = 10.000.000.000 – TC
TC = 9.000.000.000 → TC = 3.000.000.000 + VC → 9.000.000.000 = 3.000.000.000 + VC
VC = 6.000.000.000 → VC = PQ →6.000.000.000 = P 10.000 → P = 600.000
Jadi VC = 600.000 P dan TC = 3.000.000.000 + 600.000 Q
b) Break-Even Point (BEP) → tercapai pada saat TR = TC
1.000.000 Q = 3.000.000.000 + 600.000 Q → 400.000 Q = 3.000.000.000 → Q = 7.500
Jadi BEP tercapai pada Q = 7.500
c) Pada saat Q = 6.000→ TR = 1.000.000 x 6.000 = 6.000.000.000
dan TC = 3.000.000.000 + 600.000(6.000) = 6.600.000.000
jadi TR < TC, sehingga pada saat Q = 6.000 perusahaan mengalami kerugian
d) Grafiknya:
Rp

TR = 1.000.000Q
TC = 3.000.000.000 + 600.000Q
BEP

FC = 3.000.000.000

0

7.500

2. Diketahui:
Pada saat Q = 0 → FC = 250.000.000 dan pada saat Q = 400.000 → VC = 200.000.000
Pada saat Q = 1.250.000 →π = 50.000.000
a) VC = PQ → 200.000.000 = P 400.000 → P = 500
Jadi TC = 250.000.000 + 500Q
Pada Q = 1.250.000 →π = TR – TC → 50.000.000 = TR – (250.000.000 +
500(1.250.000))
TR = 925.000.000 → TR = PQ →925.000.000 = P 1.250.000 → P = 740
Rina Sugiarti

Page 16

Matematika Ekonomi

FEUG

Jadi harga jual per unit: P = Rp 740.b) Fungsi Total Cost: TC = 250.000.000 + 500Q
Fungsi Total Revenue: TR = 740Q
Break-Even Point: TR = TC → 740Q = 250.000.000 + 500Q → 240Q = 250.000.000
BEP → Q = 1.041.666,67
c) Keuntungan pada Q = 2.500.000 →π = TR – TC
TR = 740 x 2.500.000 = 1.850.000.000
TC = 250.000.000 + 500 x 2.500.000 = 1.500.000.000
Jadi keuntungannya: π = 1.850.000.000 – 1.500.000.000 = Rp 350.000.000
d) Grafiknya:
Rp

TR = 740Q
TC = 250.000.000 + 500Q
BEP

FC = 250.000.000

0

Rina Sugiarti

1.041.666.67

Q

Page 17

Matematika Ekonomi

Rina Sugiarti

FEUG

Page 18