MAKALAH MATA PELAJARAN MATEMATIKA GEOMET
MAKALAH
MATA PELAJARAN MATEMATIKA
(GEOMETRI TRANSFORMASI)
Pencerminan (Refleksi), Pergeseran (Translasi), Perputaran(Rotasi), dan Perbesaran (Dilatasi)
Disusun oleh
1.
:
Januar Hidayat
2.
3.
4.
5.
SMK PENERBANGAN SRIWIJAYA
PALEMBANG
TAHUN 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia, yang telah dilimpahkan-Nya,
sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini disusun dengan maksud untuk memenuhi tugas
mata kuliah Geometri Transformasi tentang Refleksi, Translasi, Rotasidan Dilatasi
penulis pun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kesalahan disana sini
baik dari segi isi penulisan maupun kata-kata yang digunakan yang didasari oleh terbatasnya referensi
yang digunakan. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan
makalah ini lebih lanjut akan penulis terima dengan senang hati.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB II PEMBAHASAN
A.
Refleksi (pencerminan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Translasi (pergeseran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Rotasi (perputaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.
Dilatasi (pembesaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Daftar pustaka
...................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar belakang
Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu
matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan Ilmu
Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan Ilmu
Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan
Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.
Matapelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui
adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.
Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu
terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang
memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah transformasi
dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah
ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.
Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat
refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).
B.
Rumusan masalah
Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan
penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan
petunjuk tentang pengumpulan data.
Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri Transformasi
yang didalamnya memuat tentang refleksi(pencerminan), translasi(pergeseran), rotasi(perputaran),
dan dilatasi(pembesaran).
C.
Tujuan
1.
Mengetahui apa itu Refleksi
2.
Mengetahui apa itu Translasi
3.
Mengetahui apa itu Rotasi
4.
Mengetahui apa itu Dilatasi
5.
Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat
menyelesaikan soal-soal yang tentang itu.
D.
Manfaat
Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih hanya untuk mengetahui apa itu refleksi, transformasi,
rotasi, dan dilatasi. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi tentang
refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi tersebut.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi / pencerminan suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun
geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).
Macam-macam Refleksi
1)
Pencerminan Terhadap Sumbu X
Y
C
A
B
A’
B’
X
C’
Misalnya :
A(1,1) ß T à A’(1,-1)
B(5,1) ß T à B’(5,-1)
C(3,4) ß T à C’(3,-4)
P(x,y) ß T à P’(x,-y)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu x, P(x,y) Û P’(x,-y).
2)
Percerminan Terhadap Sumbu Y
C’
Y
C
B’
B
A’
A
X
Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(-2,1)
B(5,2) ß T à B’(-5,2)
C(1,4) ß T à C’(-1,4)
P(x,y) ß T à P’(-x,y)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu Y, P(x,y) Û P’(-x,y).
3)
Pencerminan Terhadap Sumbu Y = X
Y
Y=X
B’
C’
C
A’
A
B
0
X
Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(1, 2)
B(5,1) ß T à B’(1,5)
C(5,4) ß T à C’(4,5)
P(x,y) ß T à P’(y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y= X, P(x,y) Û P’(y,x).
4)
Pencerminan Terhadap Sumbu Y = -X
Y
Y = -X
C
B
C’
A
B’
A’
X
0
Misalnya :
A(-1,4) ß T à A’(-4, 1)
B(-1,6) ß T à B’(-6,1)
C(-5,6) ß T à C’(-6,5)
P(x,y) ß T à P’(-y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y=-x, P(x,y) Û P’(-y,x).
5)
Pencerminan terhadap garis x = h
Y
x=h
A
A’
0
X
Misalnya :
A(1,5) ß T( x=3) à A’(2.3-1,5)
A’(5, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis x=h, P(x,y) Û P’(2h-x, y).
6)
Pencerminan Terhadap Garis y = h
Y
A’
A
0
X
Misalnya :
A(6,1) ß T( y=3) à A’(6, 2.3-1)
A’(6, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis y=h, P(x,y) Û P’(x, 2h -y).
B. Tranlasi (pergeseran)
P’(x’,y’)
Y
Tranlasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah
tertentu.
T
b
Jika translasi T =
a
Memetakan titik P(x,y) ke P’(x’,y’)
P(x,y)
X
0
Maka x’ = x + a dan y’ = y + b
Ditulis dalam bentuk matrik
atau P(x,y)
P’ (x+a, y+b)
5
Contoh
1.
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat
bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh
T=
penyelesaian
Y
O(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
B
0’(1,3)
A(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
A’(4,3)
B(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
B’(4,8)
O
2.
A
X
Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T =
Penyelesaian
Karena translasi T =
adalah…
Y
maka
P(-1,3)
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1)
dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25
3.
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8).
Bayangan kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….
Penyelesaian
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
X
-5+ b = -8 → b = -3
a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah
T=
Karena T =
Maka
x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
X
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3
C. Rotasi (perputaran)
Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar.
Rotasi Pusat O(0,0)
Y
P(x’,y’)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar a berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh
bayangan P’(x’,y’)
P(x,y)
maka:
x’ = xcosa - ysina
y’ = xsina + ycosa
ü Jika sudut putar a = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½ π =
Contoh
1.
Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut
putaran +90o, adalah….
penyelesaian
R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke:
x+y=6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
2.
Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….
Penyelesaian
R-90o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
R-90o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke:
2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
ü Jika sudut putar a = π (rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =
Contoh
Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o, adalah….
Penyelesaian
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x – 1
D. Dilatasi (perbesaran)
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.
ü Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k
Jika
titik P(x,y) didilatasi
terhadap pusat O(0,0) dan
faktor
bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k]atau,
skala k didapat
Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik
A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’
Penyelesaian
garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2)karena dilatasi [O,2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Y
B -4
Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
=½x6x4
A
-6
= 12
O
X
ü Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y – b) +
b dilambangkan dengan [P(a ,b) ,k]
Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….
Penyelesaian
A(x,y)
A’(x’,y’)
x’ = k (x-a)+a , y’ = k (y-b)+b
A(-5,13)
A’(x,y)
Jadi koordinat titik A’(-3,8)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :
a.
Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu.
b.
Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
c.
Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.
d.
Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah
ukuran bentuknya.
B.
Saran
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri transformasi dimana dalam
makalah ini membahas geomatri transformasi secara detail yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan
dilatasi.
DAFTAR PUSTAKA
http://lib.uin-malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/07140073.pdf
http://p4tkmatematika.org/downloads/sma/geometritransformasi.pdf
http://www.jurnal.fkip.uns.ac.id/index.php/pgsdkebumen/article/view/1700/1238
Sartono, Wirodikromo, Matematika 2000 untuk SMU Jilid 1 sampai 6, Erlangga, jakarta 2003.
MATA PELAJARAN MATEMATIKA
(GEOMETRI TRANSFORMASI)
Pencerminan (Refleksi), Pergeseran (Translasi), Perputaran(Rotasi), dan Perbesaran (Dilatasi)
Disusun oleh
1.
:
Januar Hidayat
2.
3.
4.
5.
SMK PENERBANGAN SRIWIJAYA
PALEMBANG
TAHUN 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia, yang telah dilimpahkan-Nya,
sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini disusun dengan maksud untuk memenuhi tugas
mata kuliah Geometri Transformasi tentang Refleksi, Translasi, Rotasidan Dilatasi
penulis pun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kesalahan disana sini
baik dari segi isi penulisan maupun kata-kata yang digunakan yang didasari oleh terbatasnya referensi
yang digunakan. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan
makalah ini lebih lanjut akan penulis terima dengan senang hati.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB II PEMBAHASAN
A.
Refleksi (pencerminan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Translasi (pergeseran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Rotasi (perputaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.
Dilatasi (pembesaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Daftar pustaka
...................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar belakang
Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu
matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan Ilmu
Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan Ilmu
Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan
Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.
Matapelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui
adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.
Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu
terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang
memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah transformasi
dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah
ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.
Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat
refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).
B.
Rumusan masalah
Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan
penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan
petunjuk tentang pengumpulan data.
Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri Transformasi
yang didalamnya memuat tentang refleksi(pencerminan), translasi(pergeseran), rotasi(perputaran),
dan dilatasi(pembesaran).
C.
Tujuan
1.
Mengetahui apa itu Refleksi
2.
Mengetahui apa itu Translasi
3.
Mengetahui apa itu Rotasi
4.
Mengetahui apa itu Dilatasi
5.
Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat
menyelesaikan soal-soal yang tentang itu.
D.
Manfaat
Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih hanya untuk mengetahui apa itu refleksi, transformasi,
rotasi, dan dilatasi. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi tentang
refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi tersebut.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi / pencerminan suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun
geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).
Macam-macam Refleksi
1)
Pencerminan Terhadap Sumbu X
Y
C
A
B
A’
B’
X
C’
Misalnya :
A(1,1) ß T à A’(1,-1)
B(5,1) ß T à B’(5,-1)
C(3,4) ß T à C’(3,-4)
P(x,y) ß T à P’(x,-y)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu x, P(x,y) Û P’(x,-y).
2)
Percerminan Terhadap Sumbu Y
C’
Y
C
B’
B
A’
A
X
Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(-2,1)
B(5,2) ß T à B’(-5,2)
C(1,4) ß T à C’(-1,4)
P(x,y) ß T à P’(-x,y)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu Y, P(x,y) Û P’(-x,y).
3)
Pencerminan Terhadap Sumbu Y = X
Y
Y=X
B’
C’
C
A’
A
B
0
X
Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(1, 2)
B(5,1) ß T à B’(1,5)
C(5,4) ß T à C’(4,5)
P(x,y) ß T à P’(y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y= X, P(x,y) Û P’(y,x).
4)
Pencerminan Terhadap Sumbu Y = -X
Y
Y = -X
C
B
C’
A
B’
A’
X
0
Misalnya :
A(-1,4) ß T à A’(-4, 1)
B(-1,6) ß T à B’(-6,1)
C(-5,6) ß T à C’(-6,5)
P(x,y) ß T à P’(-y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y=-x, P(x,y) Û P’(-y,x).
5)
Pencerminan terhadap garis x = h
Y
x=h
A
A’
0
X
Misalnya :
A(1,5) ß T( x=3) à A’(2.3-1,5)
A’(5, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis x=h, P(x,y) Û P’(2h-x, y).
6)
Pencerminan Terhadap Garis y = h
Y
A’
A
0
X
Misalnya :
A(6,1) ß T( y=3) à A’(6, 2.3-1)
A’(6, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis y=h, P(x,y) Û P’(x, 2h -y).
B. Tranlasi (pergeseran)
P’(x’,y’)
Y
Tranlasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah
tertentu.
T
b
Jika translasi T =
a
Memetakan titik P(x,y) ke P’(x’,y’)
P(x,y)
X
0
Maka x’ = x + a dan y’ = y + b
Ditulis dalam bentuk matrik
atau P(x,y)
P’ (x+a, y+b)
5
Contoh
1.
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat
bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh
T=
penyelesaian
Y
O(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
B
0’(1,3)
A(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
A’(4,3)
B(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
B’(4,8)
O
2.
A
X
Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T =
Penyelesaian
Karena translasi T =
adalah…
Y
maka
P(-1,3)
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1)
dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25
3.
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8).
Bayangan kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….
Penyelesaian
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
X
-5+ b = -8 → b = -3
a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah
T=
Karena T =
Maka
x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
X
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3
C. Rotasi (perputaran)
Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar.
Rotasi Pusat O(0,0)
Y
P(x’,y’)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar a berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh
bayangan P’(x’,y’)
P(x,y)
maka:
x’ = xcosa - ysina
y’ = xsina + ycosa
ü Jika sudut putar a = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½ π =
Contoh
1.
Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut
putaran +90o, adalah….
penyelesaian
R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke:
x+y=6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
2.
Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….
Penyelesaian
R-90o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
R-90o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke:
2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
ü Jika sudut putar a = π (rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =
Contoh
Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o, adalah….
Penyelesaian
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x – 1
D. Dilatasi (perbesaran)
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.
ü Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k
Jika
titik P(x,y) didilatasi
terhadap pusat O(0,0) dan
faktor
bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k]atau,
skala k didapat
Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik
A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’
Penyelesaian
garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2)karena dilatasi [O,2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Y
B -4
Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
=½x6x4
A
-6
= 12
O
X
ü Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y – b) +
b dilambangkan dengan [P(a ,b) ,k]
Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….
Penyelesaian
A(x,y)
A’(x’,y’)
x’ = k (x-a)+a , y’ = k (y-b)+b
A(-5,13)
A’(x,y)
Jadi koordinat titik A’(-3,8)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :
a.
Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu.
b.
Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
c.
Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.
d.
Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah
ukuran bentuknya.
B.
Saran
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri transformasi dimana dalam
makalah ini membahas geomatri transformasi secara detail yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan
dilatasi.
DAFTAR PUSTAKA
http://lib.uin-malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/07140073.pdf
http://p4tkmatematika.org/downloads/sma/geometritransformasi.pdf
http://www.jurnal.fkip.uns.ac.id/index.php/pgsdkebumen/article/view/1700/1238
Sartono, Wirodikromo, Matematika 2000 untuk SMU Jilid 1 sampai 6, Erlangga, jakarta 2003.