Khaggarti R Diskretnaya matematika dly
O (g (n)) ËÌÁÓ Ó ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙ- 137
d[v ℄ ÒÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅ
ÅÍÅÎÎÏÊ p 195
p É q 195
p É q 195
8 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ
a b Ì ÏÇÉÞÅ ÓËÉÊ ÜÌ ÅÍÅÎÔ éìé
205
a a Ì ÏÇÉÞÅ ÓËÉÊ ÜÌ ÅÍÅÎÔ îå
205
ab Ì ÏÇÉÞÅ ÓËÉÊ ÜÌ ÅÍÅÎÔ é
205
Ì ÏÇÉÞÅ
ÓËÉÊ
ÜÌ
ÅÍÅÎÔ
îå{é 205
îå{éìé
îå{éìé
209
ÉÚÄÁÔ ÅÌØÓÔ×Á P ear-
son Edu ation ÚÁ ÉÈ
ÓÉÌÉÑ,
ÏÆ ÏÒÍÌ ÅÎÉÉ Ô ÅË ÓÔÁ.
é ÎÁË ÍÏÑ
ÓÔØ
ÚÁ Å Å ÎÅÉÚÍÅÎÎÕÀ ÚÁ-
Â Ï ÔÕ É ÄÅÒÖË Õ.
òÏÄ èÁÇÇÁÒÔÉ
ïËÓÆÏÒÄ
íÁÒÔ 2001
as al | ÑÚÙË ÏÇÒÁÍÍÉÒ
b egin
end
ÞÉÓ ÅÌ, First É Se ond , É
b egin
Input First
Sum : = First
b egin
b egin
Input One
and
Two
T emp : = One
One : = Two
Two : = T emp
end
ne
b egin
if Õ ÓÌ Ï×ÉÅ then
end
ÉÌÉ ÔÁË:
b egin
if Õ ÓÌ Ï×ÉÅ then
b egin
Input n;
b egin
Input n;
− n;
if n <
0 then
ab : = n;
Output
ab ;
end
úÄÅ ÓØ ×Ï ×Ô ÏÒ
ÏÊ
ÓÔÒ
ÏÞË
Ô ÏÌØË Ï
Ô ÅÌØÎÙÈ ÚÎÁ ÞÅÎÉÑÈ n
ÉÇÎÏÒÉÒÕÅ ÔÓÑ
ÌÀÂ
ÏÍ ÄÒÕÇ ÏÍ ÚÎÁ ÞÅÎÉÉ.
b egin
b egin
∗ i;
Output sum;
end
b egin
b egin
ÄÉÎÅÎÎÁ
×ÅÒÛÉÎÁ, ÂÌÉÖÁÊÛÁ Ñ
ÏÄÎÏÊ
ÉÚ
ÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ;
ÓÏ Å
ÄÉÎÉÔØ
ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ
ÉÚ
ÄÉÎÅÎÎÙÈ
×ÅÒÛÉÎ;
end
end
üÔ Ï | Î ÁÉÓÁ Î Î
Ï ÒÉÔÍÁ ð ÒÉÍÁ , Ó Ë Ï-
Ô ÏÒÙÍ ÍÙ ÏÍÉÌÉÓØ
ÒÁÎÅ
Å.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÑÚÎÙÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÁËÏÊ
ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÁÍ)
ÍÅÖÄÕ
ÌÀÂÙÍÉ
Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
ÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ.
ÇÌÁ×Õ
7,
ÓÔÒ.
146).
ðÒ Å×ÒÁÝÅÎÉÅ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ
ÒÁÂ
Ï ÔÁÀÝÕÀ
ÏÇÒÁÍÍÕ | ÄÅÌ Ï Ï-
ÇÒÁÍÍÉÒ Ï×ÁÎÉÑ ÉÌÉ
ÕÒ
ÓÁ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
ÄÁÎÎÙÈ,
ÍÙ ÎÅ ÂÕ ÄÅÍ
Ï Â ÓÕÖÄÁÔØ ÜÔ Ï Ô
ÓÓ
ÎÁÛÅÊ
ËÎÉÇ Å.
ïÄÎÁË Ï ÍÙ ÏÍÉÍÓÑ
ÓÏ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×ÏÍ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×,
ÎÅË
Ï Ô ÏÒÙÅ
ÉÚ
Ï Ô ÏÒÙÈ Å ÄÓÔÁ×Ì ÅÎÙ ×
Æ ÏÒÍÅ ÄÏË ÏÄÁ,
ÄÒÕÇÉÅ
ÏÆ
ÏÒÍÌ
ÅÎÙ
ËÁË
ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅ ÓËÉÅ ÔÅ Ï-
Ò ÅÍÙ. äÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Ï
ÉÓÔÉÎÎÏ
ÓÔÉ
ÔÅ
ÏÒ
ÅÍ
ÎÅ Ï ÂÈ ÏÄÉÍÁ Ñ É ÄÁÌ ÅË Ï
ÎÅ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁ Ñ ÞÁÓÔØ
ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅ
ÓË
ÏÇ Ï
Ó ÓÁ. áÎÁÌ ÏÇÉÞÎÏ ÎÅ Ï Â-
È ÏÄÉÍÏ Ï×ÅÒÑÔØ Ë
ÏÒÒ
ÅËÔÎÏ
ÓÔØ
ÎÁ ÄÏË ÏÄÅ ÁÌÇ Ï-
ÒÉÔÍÁ. Ï ÔË
ÄÁ
ÍÙ
ÍÏ
ÖÅÍ
ÚÎÁÔØ,
ÞÔ Ï
ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ ÉÚ
ÒÁ
1.2.5 ÄÅÊÓÔ×ÉÔ ÅÌØÎÏ
ÄÁÅ Ô
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ
Ó Å ÔØ
ÄÏÒ ÏÇ?
b egin
f ∗ i;
do
Output
end
ÅÍÅÎÎÙÈ i É j × ÓÌ Å-
b egin
Input m,
6 = n do
while i
b egin
∗ m;
b egin
se ond : =
Output
se ond;
se ond;
while next
do
b egin
se ond;
se ond
se ond;
ÅÍÅÎÎÙÈ l , sum É k × ÁÌ-
b egin
b egin
− 1 do
while
b egin
b egin
end;
end
end
22 çÌÁ×Á
1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
íÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅ ÓË Ï Å ÍÏÄÅÌÉÒ
Ï×ÁÎÉÅ
ÜÔ Ï
Ó Ó, ÅËÁÀÝÉÊ
ÍÁÔ ÅÍÁÔÉË Õ ÄÌÑ Ò ÅÛÅÎÉÑ
ÅÁÌØÎÙÈ
ÓËÉÈ ÚÁ ÄÁ Þ.
ç ÒÁÆ (ÍÏÄÅÌØ) ÄÁÎÎÏÊ
Ó Å ÔÉ
ÄÏÒ
ÏÇ
ÍÅÖÄÕ
Ç ÏÒ
ÏÄÁÍÉ ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ ÎÁ-
 ÏÒÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÉÚ Ï ÂÒÁÖÁÀÝÉÈ
Ç ÏÒ
ÏÄÁ,
ÓÏ
ÄÉÎÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇ ÏÍ
(×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ) Ò Å ÂÒÁÍÉ,
ÏÚÎÁ
ÞÁÀÝÉÍÉ
ÄÏÒ
ÏÇÉ.
áÌÇ ÏÒÉÔÍ | ÜÔ Ï
ÓÌ
ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ
ÓÔØ
ÏÄÎÏÚÎÁ
ÞÎÙÈ Ë ÏÍÁÎÄ,
ÎÅÎÉÅ Ë Ï Ô ÏÒÙÈ ×Ì ÅÞÅ Ô
ÅÛÅÎÉÅ
ÓÔÁ×Ì
ÅÎÎÏÊ
ÚÁ ÄÁ ÞÉ ÚÁ Ë ÏÎÅÞÎÏ Å
×Ò ÅÍÑ.
áÌÇ ÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ
ÍÏ
ÖÅ Ô
ÂÙÔØ
Ï×ÁÎ
ÄÌÑ ×ÙÄÅÌ ÅÎÉÑ Ó Å ÔÉ Ò Å-
 ÅÒ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇ Ï Ï
ÂÝÅÇ Ï
×Å
ÓÁ,
ÓÏ
ÄÉÎÑÀÝÅÊ
×Ó Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÁÎÎÏÇ Ï
×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇ Ï ÇÒÁÆÁ.
ðÓ Å× ÄÏË ÏÄÏÍ Î ÁÚÙ
Ì Å Í Å Î Ô Ï × Ñ ÚÙ Ë Á ,
È ÏÄÑÝÉÊ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ
ÏÄÎÏÚÎÁ
ÞÎÙÈ Ô ÅÒÍÉÎÁÈ.
ÅÍÅÎÎÙÍ Å ÄÅÌ ÅÎÎÙÅ
ÚÎÁ ÞÅÎÉÑ.
ÄÅÌÑÅ Ô
× Ë Ï Ô ÏÒ ÏÍ ÄÏÌÖÎÙ
ÛÁÇÉ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ.
óÏ ÓÔÁ×ÎÏÊ
ÄÓÔÁ×ÌÑÅ Ô
ÓÏ
ÏÊ
ÒÁÔ ÏÒ Ï×), Ë Ï Ô ÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ
ËÁË
ÏÔ ÄÅÌØÎÁ Ñ Ë ÏÍÁÎÄÁ ×
Ô ÏÍ Å, × Ë Ï Ô ÏÒ
ÏÍ
ÏÎÉ
õ ÓÌ Ï×ÎÙÊ
ÄÁÅ Ô
×ÏÚÍÏ
ÖÎÏ
ÓÔØ
ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂ ÏÒ ÍÅÖÄÕ ÁÌØ-
Ô ÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏ
ÖÎÏ
ÓÔÑÍÉ.
ÉÌÉ
ÓÔ Ï
Å ÄÅ-
Ì ÅÎÎÙÊ ÎÁÂ ÏÒ Ë ÏÍÁÎÄ
ÏÄÑÝÅ
ÞÉÓÌ
ÒÁÚ.
• (ÎÅ P ) | ÜÔ Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ú ÅÍÌÑ ÎÅ Ï ÓËÁ Ñ;
• (P ÉÌÉ Q) | Ú ÅÍÌÑ Ï ÓËÁ Ñ ÉÌÉ óÁÒÁ | ÄÏËÔ ÏÒ;
• (P É Q) | Ú ÅÍÌÑ Ï ÓËÁ Ñ É óÁÒÁ | ÄÏËÔ ÏÒ.
×Á, Á ÞÅÒ ÅÚ Q | Ó ÅÇ ÏÄÎÑ
(Á) (ÎÅ P ) É Q.
(Â) (ÎÅ P ) É (ÎÅ Q).
(×) P ÉÌÉ Q.
P ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (ÎÅ P ),
Ì Ï ÖÎÏ ÚÎÁ ÞÅÎÉÀ P .
PÉQ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏ
×ÉÄÁ (P É Q). ïÎÏ
VI I I ÉÍÅÌ
VI I I ÉÍÅÌ
ÅÔ ×ÉÄ: (P É Q) ÉÌÉ
ÁQÉR ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÏÜÔ ÏÍÕ
I{XVI
I I ×.×.
(P É (ÎÅ Q))) Ì ÏÇÉ-
((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q):
ÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ PÉ Q.
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: Å ÓÌÉ P , ÔÏ Q É
Å ÓÌÉ P , ÔÏ R , | Ï ÂÁ
× Á Î É Å Å ÓÌÉ P , ÔÏ Q
− 2 − = 2 2 , Ô. Å. 4 = 4. ÁËÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ,
⇒ , ÍÙ
⇒ Q ÄÌÑ Ï Â Ï-
Q, ÉÌÉ P ÄÏ ÓÔÁÔ ÏÞÎÏ
⇒ Q)
(P
⇒ (ÎÅ P )) ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
⇒ Q).
ÉÌÉ
⇒ (ÎÅ P )) Ì ÏÇÉÞÅ ÓËÉ ÜË×É×ÁÌ ÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ-
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P
ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔ Ï ((ÎÅ Q)
⇒ Q).
⇒ Q)
⇒ (ÎÅ P ))
PQ ÎÅ
ÎÅ
(P
((ÎÅ Q)
ééì
éìì
ìéé
ììé
ðÏ ÓË ÏÌØË Õ Ä×Á ÓÌ
ÄÎÉÈ
ÜÔ ÏÊ
ÔÏ É
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, Ï Ë Ï Ô ÏÒÙÈ
ÉÄÅ Ô
ÅÞØ,
ÏÇÉÞÅ
ÓËÉ
ÜË×É×ÁÌ ÅÎÔÎÙ.
2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ
Ë×ÁÎÔÏÒÙ
ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
ÓÔÙÍ
ÄÅËÌÁÒÁÔÉ×ÎÙÍ ×Ù-
ÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍ, Ç ÄÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ
ÌÉÂ Ï ÉÓÔÉÎÎÙ, ÌÉÂ Ï
Ì Ï ÖÎÙ. õ Ô×ÅÒÖÄÅÎÉÑ,
Ó ÏÄÅÒÖÁÝÉÅ
ÏÄÎÕ
ÏÌ
ÅÍÅÎÎÙÈ, ÍÏÇÕÔ
∃ x : P (x) É
∃ x : P (x) ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ
∃ x : P (x).
∃ x : P (x) É
∃ x : P (x) Ì Ï ÖÎÏ.
∃ x : P (x). üÔ Ï, Å ÓÔ Å ÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏ Å ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ,
∀ x ÎÅ P (x).
∃ x : P (x) ⇔∀ x ÎÅ P (x);
∀ x P (x) ⇔∃ x : P (x).
P (x; y ) Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô
∀ x ∃ y : P (x; y );
∃ y : ∀ x P (x; y ).
∀ x ∃ y : P (x; y ) Ç Ï×ÏÒÉÔ Ï Ô ÏÍ, ÞÔ Ï ÄÌÑ ÌÀ ÏÇ Ï
− x Ï ÂÒÁÝÁÅ Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0 ×
∃ y : ∀ x P (x; y ) ÞÉÔÁÅ ÔÓÑ ÓÌ Å ÄÕÀÝÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ:
⇒ Q). óÕÝÅ ÓÔ×ÕÅ Ô ÎÅ ÓË ÏÌØË Ï ÓÔÁÎÄÁÒ ÔÎÙÈ
⇒ Q)
⇒ (ÎÅ P )),
⇒ Q).
⇒ Q)
Ç ÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, ÁQ
ÉÚ×Å ÄÅÎÉÅ xy Ä×ÕÈ ÎÅÞÅ ÔÎÙÈ
xy = (2m + 1)(2n +
2(2mn + m + n) +
6 = 0. ðÒ Å
ÔÉÍÁ (m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ
×ÉÄÅ m = 2p ÄÌÑ ËÁË
ÏÇ Ï-Ô Ï
ÏÇ Ï
ÞÉÓÌÁ
p.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÕ ÉÎÆ ÏÒÍÁ-
× ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m
2n
ÍÙ
ÞÔ Ï
4p
2n
Ô. Å. n
2p
îÏ Ô ÏÇ ÄÁ n ÔÏ ÖÅ Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
ÞÅ ÔÎÙÍ
ÞÉÓÌ
ÏÍ.
ÁËÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ, ÍÙ
ËÁÚÁÌÉ, ÞÔ Ï ËÁË m, ÔÁË
ÞÅ ÔÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ.
ðÏÜÔ ÏÍÕ ÏÎÉ Ï ÂÌÁ ÄÁÀÔ
b egin
b egin
max(M
a);
end
end
a 1 = 4,
a 2 = 7,
2. åÓÌÉ ÓÌ Å k -Ç Ï
ÄÅ Ô ÒÁ×ÎÏ max(M
ðÕÓÔØ P (n) | ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØ-
2. ∀ k > 1 (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ.
P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ
··· + n =
n(n
n.
··· + n = n(n+1) 2 .
··· + k = k (k +1) 2 ÉÍÅ ÅÔ
··· + k + (k + 1) = (1 + 2 + ··· + k ) + (k + 1) =
⇒ P (k + 1)
ÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅ ÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏ
a = mb ËÁË ÏÍ-Ô Ï
ðÕ ÓÔØ P (n) Ï Â ÏÚÎÁ
− 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ËÁË ÏÍ-Ô Ï ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÏÍ k . ÏÇ ÄÁ
− 1 = 7(7 k ) − 1 =
− 1) + 7 − 1 =
7(7
− 1) + 6:
7(7
− 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÏ
ÁË ËÁË
ÓÕÍÍÁ 7(7 k
− 1) + 6 ÔÏ ÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6.
− 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÁË ÞÔ Ï
⇒ P (k + 1)) ÉÓÔÉÎÎÁ.
P (n) ÄÌÑ ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
> 1:
+1
8k
− 1) 2 ÄÌÑ ×Ó Å È n > 1.
− 1) 2 Ï Â ÏÚÎÁ ÞÉÍ ÞÅÒ ÅÚ P (n). åÓÌÉ
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒ Å ÄÉËÁÔ
(2n
− 1) 2 = (2 − 1) 2 = 1, ÞÔ Ï
− 1) 2 ÄÌÑ ÎÅË Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï k > 1. ÏÇ ÄÁ
− 2 + 8k =
⇒ P (k + 1)) ÄÏËÁÚÁÎÁ
> 1. óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ,
2.1. ðÕ ÓÔØ P , QÉ
ÄÅÌ
ÅÎÎÙÅ
ÓÌ
ÄÕÀÝÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÑ:
ÕÍÉÒÁÀ
ÏÔ
ÖÁÖÄÙ.
⇒ (ÎÅ P );
(Â) P
⇒ Q)) ⇒ Q.
(×) (P É (P
⇒ Q) ⇒ R Ì ÏÇÉÞÅ ÓËÉ ÜË×É-
(P
⇒ R) É (Q ⇒ R ).
ÅÚ P (x) Å ÄÉËÁÔ Õ x
2.6. ðÕ ÓÔØ P (x) ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô
x | ËÁË ÏÊ-Ô Ï ÞÅÌ Ï×ÅË.
∀ x (P (x) É Q(x)):
⇒ n + m | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ .
n É m | ÞÅÔÎÙÅ
⇒ n | ÞÅÔÎÏÅ .
n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ
··· + (4n − 3) = n(2n − 1) ÄÌÑ ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓ ÅÌ n.
··· + n 2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) ÄÌÑ ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓ ÅÌ n.
1 · 3 3 · 5 ··· + (2n − 1) · (2n+1) = 2n+1 ÄÌÑ ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓ ÅÌ n.
3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁ ÞÅ-
(Ç) þÉÓÌ Ï n
ÎÉÑÈ ÞÉÓÌÁ n.
1 · 1! + 2 · 2! + ··· + n · n! = (n + 1)! − 1 ÄÌÑ ×Ó Å È ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
1 · 2 · 3 ··· (n − 1) · n.)
1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔ ÅÌØÎÏ:
n! =
− x k − 1 k > 1:
⇒ Q)
PQ
(P
⇒ Q) ÉÚ Å
⇒ ÎÅ P ) É (P ⇒ Q).
⇒ Q),
ðÕÓÔØ P (n) | ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØ-
2. ∀ k > 1 (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ.
P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ
A, ÉQ | Å ÄÉËÁÔ,
{ P } A { Q } ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï
ÞÅÎÉÉ Q. ðÒ Å ÄÉËÁÔ P
, ÁQ | ×ÙÈÏÄÎÙÍ
{ P } A { Q } ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅ Ô-
{ P } A { Q } . äÌÑ Ï ÓÔÙÈ
b egin
1 − y 1 . ðÒ Å ÄÉËÁÔ
{ P } òÁÚÎÏÓÔØ { Q }
1 − y 1 . éÓÔÉÎÎÏ ÓÔØ
, x É y . ó Æ ÏÒÍÁÌØ-
− y , x = x 1 É y = y 1 ×Ì ÅË ÕÔ
ÔÏ ÖÄÅ ÓÔ×Ï z = x
x | ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÏ
b egin
= ax;
= (y + b)x;
end {
y = ax
bx +
Ï Â ÏÚÎÁ ÞÅÎÉÑ Å Ä- É
→{ x = x 1 }
b egin
ax;
1 →{ y = ax 1 É x = x 1 }
(y
b)x;
2 →{ y = ax 2 1 + bx 1 }
end
→{ y = ax 2 1 + bx 1 + }
{ P } y : = ax { Q 1 } ,
{ Q 1 } y : = (y + b)x { Q 2 } ,
{ P } ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ { Q }
if ... then, ×Ï ×È ÏÄÎÙÈ
if Õ ÓÌ Ï×ÉÅ then
{ P É Õ ÓÌ Ï×ÉÅ } ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 { Q }
{ P É ÎÅ (Õ ÓÌ Ï×ÉÅ) } ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2 { Q } .
x | ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÏ
b egin
> 0 then
− x;
abs
end {
{ abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x } .
{ P É x > 0 } abs : = x { Q } ÉÍÅ ÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏ Å ÚÎÁ ÞÅÎÉÅ,
{ P É ÎÅ (x > 0) } abs : = − x { Q } ÔÏ ÖÅ ÉÓÔÉÎÅÎ, ÔÁË
n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏ
b egin
sq : = sq
2i
end {
sq = n
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕ ÓÔØ P
(n)
sq = n
Å n-Ç Ï
Ï È ÏÄÁ Á sq
sq ÓÌ Å k -Ç Ï Ï È ÏÄÁ
(1) sq
(2) Å ÓÌÉ sq
sq
(k
− 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 :
⇒ P (k + 1))
> 1. óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, Ó ÏÇ ÌÁÓÎÏ
ÌÀÂ ÏÍ k
ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅ ÓË ÏÊ
P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ
ÄÌÑ
×Ó Å
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
n.
÷ ÚÁ ÄÁ ÞÅ
4 for
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ
ÄÅÌ
ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌ ÏÍ
Ï È ÏÄÏ×). ÷ Ô ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,
ÏÇ
ÄÁ
ÞÉÓÌ
ÚÁÒÁÎÅ Å ÎÅ Å-
ÄÅÌ ÅÎÏ, ËÁË × Å while
...
do,
ÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Å ÓÌ Å-
ÄÕÅ Ô Å Ï ÖÉÔØ,
ÞÔ Ï
ÞÉÓÌ
ÏÄÏ×
×Ó Å
ÖÅ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ É
ÚÁÔØ ÓÔØ ×ÙÈ
ÏÄÎÙÈ
ÄÁÎÎÙÈ.
ðÏ
ÓÌ
ÞÅÇ Ï ÎÅ Ï ÂÈ ÏÄÉÍÏ ÂÕ ÄÅ Ô
Ï×ÅÒÉÔØ, ÞÔ Ï ÞÉÓÌ
ÔÁË
ÏÇ Ï
ÄÅÊÓÔ×ÉÔ ÅÌØÎÏ Ë ÏÎÅÞÎÏ.
a ∈ S ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï Ï ÂßÅËÔ a | ÜÌ ÅÍÅÎÔ
a 6∈ S .
a ÅÖÉÔ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Õ S . åÓÌÉ
{ x : P (x) }
Å ÄÉËÁÔ P (x) ÉÍÅ ÅÔ
{ x : x | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏ Å ÞÉÓÌ Ï }
− 1, Ç ÄÅ n | ÌÀÂ Ï Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏ Å ÞÉÓÌ Ï, ÁÌØÔ ÅÒÎÁÔÉ×ÎÏ Å
{ 2n − 1 : n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏ Å ÞÉÓÌ Ï } :
± 6 É ± 12. ó ÄÒÕÇ ÏÊ ÓÔ ÏÒ ÏÎÙ, x + 4 ÔÏ ÖÅ ÄÅÌÉÔ 12. ðÏÜÔ ÏÍÕ
− 6 ÉÌÉ x = 2.
− 6 ÉÌÉ x = 2.
N = { 1; 2; 3; : : : } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ;
Z = { 0; ± 1; ± 2; ± 3; : : : } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
∈Z ; q 6 = 0 } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
q : p; q
R = { ×Ó Å ÄÅ ÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒ Ï ÂÉ } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ .
N ×ËÌÀÞÁÀÔ É 0.
Z = { 0; ± 1; ± 2; ± 3; : : : } .
A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
×Á S , Å ÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÅÇ Ï
ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á S . äÏ×ÏÌØÎÏ
A ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏ
B ÎÅ Ï ÂÈ ÏÄÉÍÏ
{ n : n 2 | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å
ÞÉÓÌ Ï
{ n : n | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å
ÞÉÓÌ Ï
ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔ Ï
∈ 2 | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å
∈ B , Ô. Å. A ⊂ B .
Ï Å É ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å. óÌ
ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ,
∈ B . ÏÇ ÄÁ x | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å
∈ A. ÷ ×ÉÄÕ
ÖÅ ÂÕ ÄÅ Ô ÎÅÞÅ Ô-
ÎÙÍ ÞÉÓÌ ÏÍ, Á
∈ B ÍÙ ÍÏ ÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔ Ï ×Ó Å ÜÌ ÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B
B ⊂ A. éÔÁË, A = B .
A ∪ B = { x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B } :
ïÎÏ ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ ÔÅ È
ÜÌ
ÅÍÅÎÔ Ï×,
Ï Ô ÏÒÙÅ
ÅÖÁÔ ÌÉÂ Ï ÍÎÏ ÖÅ-
ÓÔ×Õ A, ÌÉÂ Ï ÍÎÏ ÖÅ
ÓÔ×Õ
×ÏÚÍÏ
ÖÎÏ
ÏÉÍ ÓÒÁÚÕ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ
3.2.
÷ÅÎÎÁ Ï ÂßÅ ÄÉÎÅÎÉÑ
ÎÁ
ÒÉÓ.
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ
ÍÎÏ
ÖÅ
ÓÔ×
B ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
ï Î Ï Ó Ï ÓÔ Ï ÉÔÉÚ Ü Ì Å Í Å
Ë Á Ë Í Î Ï Ö Å ÓÔ × Õ
A , ÔÁ Ë
3.3.
É ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Õ
B . äÉÁÇÒÁÍÍÁ
÷ÅÎÎÁ
Ó ÅÞÅÎÉÑ
ÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ.
A \ B = { x : x ∈ A É x 6∈ B } :
A \ B ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ ×Ó Å È ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï× ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á A, Ë Ï Ô ÏÒÙÅ
\ A. ðÏ ÓË ÏÌØË Õ × ËÁÖÄÏÊ
\ A Ï ÂÙÞÎÏ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÀÔ A É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÓÔ×Ï U
{ x : ÎÅ (x ∈ A) } ⇔ A = { x : x 6∈ A } :
A △ B = { x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A) } :
B , ÌÉÂ Ï
A. ç
× A, ÌÉÂ Ï ×
B , ÎÏ ÎÅ
{ 1; 3; 5; 7 } ; B = { 2; 4; 6; 8 } ; C = { 1; 2; 3; 4; 5 } :
A ∪ C = { 1; 3; 5; 7; 2; 4 } ;
B ∩ C = { 2; 4 } ;
B △ C = (B \ C ) ∪ (C \ B ) = { 6; 8 }∪{ 1; 3; 5 } = { 6; 8; 1; 3; 5 } .
{ x : 1 6 x 6 12 É x ÞÅ ÔÎÏ Å
{ x : 1 6 x 6 12 É x
∩ B ) = { 6; 12 } = { 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11 }
(A
A ∪ B = { 1; 3; 5; 7; 9; 11 }∪{ 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11 } =
∩ B ) = { x : x 6∈ (A ∩ B ) } =
(A
{ x : ÎÅ (x ∈ (A ∩ B )) } =
{ x : ÎÅ (x ∈ A) É (x ∈ B )) } ;
A ∪ B = { x : (x 6∈ A) ÉÌÉ (x 6∈ B ) } =
{ x : (ÎÅ (x ∈ A)) ÉÌÉ (ÎÅ (x ∈ B )) } :
ÎÅ (P
Q)
(ÎÅ Q);
Ç ÄÅ PÉQ | Ï ÓÔÙÅ
∩ B ), Á (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q) | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Õ A ∪ B .
∩ , ∅ ÎÁ U É ÎÁÏ Â ÏÒ Ï Ô. ÁË Ï Å ÓÏ Ï Ô×Å ÔÓÔ×ÉÅ ÔÏ ÖÄÅ ÓÔ× ÎÁÚÙ×Á-
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C
A ∪∅ = A A ∩ U = A
A ∩∅ = ∅
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
∪ B ) = A ∩ B (A ∩ B ) = A ∪ B
(A
A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ):
A △ B = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A):
∪ B ) ∩ (A ∩ B ) =
(A
∪ B ) ∩ (A ∪ B )) =
= (A
∪ B ) ∩ A) ∪ ((A ∪ B ) ∩ B ) =
= ((A
∩ (A ∪ B )) ∪ (B ∩ (A ∪ B )) =
= (A
∩ A) ∪ (A ∩ B )) ∪ ((B ∩ A) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. Ë ÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.)
= ((A
∩ A) ∪ (B ∩
∪ ((A ∩ B ) ∪ (B ∩ B )) = (Ú.
= ((A
A ))
∅ ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪∅ ) =
∩ B ) ∪ (B ∩ A)
= (A
A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B );
| A ∪ B | = | A | + | B |−| A ∩ B | :
A ∪ B Ó Ï-
A \ B , A ∩ B É B \ A, Ë Ï Ô ÏÒÙÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ Ï ÂÝÉÈ
\ B ) ∪ (A ∩ B )
\ A) ∪ (A ∩ B ):
| A \ B | = m;
| A ∩ B | = n;
| B \ A | = p:
| A | = m + n, | B | = n + p É
AB AB BA
| A | = 16;
| B | = 37;
| A ∩ B | = 5:
| A ∪ B | = 16 + 37 − 5 = 48:
×ÉÄÁ (a; b), Ç ÄÅ
A × B = { (a; b) : a ∈ A É b ∈ B } .
{ x; y } É B = { 1; 2; 3 } . îÁÊÄÉÔ Å ÄÅËÁÒ Ô Ï×Ù
A × B Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
{ (x; 1); (x; 2); (x; 3); (y ; 1); (y ; 2); (y ; 3) } :
B × A | ÜÔ Ï
{ (1; x); (2; x); (3; x); (1; y ); (2; y ); (3; y ) } :
A × B É B × A ÒÁÚÌÉÞÎÙ! ðÒÑÍÙÍ
B × B ÓÌÕÖÉÔ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
| A × B | = mn; Å ÓÌÉ | A | = m É | B | = n:
A × B ÉÚ
( x, 1)
( x, 2)
( x, 3)
( 1) y,
( 2) y,
( 3) y,
R ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ ÎÁ ÓÁÍÏ ÓÅ ÂÑ. íÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï R ×R
R 2 , ËÁË ÅÇ Ï ÞÁÓÔ Ï Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÀÔ, ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ ×Ó Å È
R 2 ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÄÅËÁÒ-
(Á ÉÈ Ò Ï×ÎÏ m ÛÔÕË) ÕÞÁÓÔ×ÕÅ Ô
A n ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
A 1 × A 2 ×··· A n = { (a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) : a i ∈ A i ; i = 1; 2; : : : ; n } :
{ n 0; 1 } . ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï B .
A ⊂ S , ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏ Ï Ô×Å ÔÓÔ×ÉÅ n-ÂÉÔÎÕÀ
ÓÔÒ ÏË Õ (b
A. ÍÙ
{ 1; 2; 3; 4; 5 } , A = { 1; 3; 5 } É B = { 3; 4 } .
A ∪ B = { 1; 3; 4; 5 } , A ∩ B = { 3 }
{ x : x ∈Z É 10 6 x 6 17 } ;
{ x : x ∈Z É x 2 < 24 } ;
{ x : x ∈Z É 6x 2 + x − 1 = 0 } ;
{ 2 ∈R + x − 1 = 0 } :
6x
− 1 = (3x − 1)(2x + 1):
{ p; q ; r ; s; t; u; v ; w } . ðÕ ÓÔØ A = { p; q ; r ; s } , B =
ÓÉÒÕÅÍ U =
{ r ; t; v } É C = { p; s; t; u } . îÁÊÄÉÔ Å ÜÌ ÅÍÅÎÔÙ ÓÌ Å ÄÕÀÝÉÈ
∪ B );
∪ B ) ∩ (A ∩ C );
(Ä) (A
{ x : x | ÓÌ Ï×Ï, ÓÔ ÏÑÝÅ Å
{ x : x | ÓÌ Ï×Ï, ÓÔ ÏÑÝÅ Å ÓÌ Å Ë ÏÛËÁ } ;
{ x : x | ÓÌ Ï×Ï, Ó ÏÄÅÒÖÁÝÅ Å Ä×ÏÊÎÕÀ  ÕË×Õ } .
{ 3n : n ∈Z É n > 4 } ;
{ 2n : n ∈ Z} ;
{ 2 n : n ∈Z É n 6 100 } .
(ii)
{ 6n : n ∈Z É n > 2 } ;
(iii)
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ):
ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ× A,
A ∩ (B △ C ) = (A ∩ B ) △ (A ∩ C ):
A ∪ (B △ C ) ÎÅ Ï ÂÑÚÁ-
∪ B ) △ (A ∪ C ).
∩ (B ∪ C )) = A ∪ B ∪ C ;
(Â) (A
∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ;
(×) (A
\ B ) \ C = A \ (B ∪ C );
(Ç) (A
A △ A △ A = A.
A ∗ B = (A ∩ B ):
A ∗ A = A;
∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∪ B ;
(Â) (A
∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ;
(×) (A
∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = A ∩ B .
| A | + | B | + | C |−| A ∩ B |−| B ∩ C |−| A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | :
A × B = B × A?
A × B = A × C . óÌ Å ÄÕÅ Ô ÌÉ Ï ÔÓÀÄÁ, ÞÔ Ï B = C ? ïÂßÑÓÎÉÔ Å
A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C );
∪ B ) × C = (A × C ) ∪ (B × C ).
(Â) (A
P (A) ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï,
P (A) = { C : C ⊂ A } .
P (A), Å ÓÌÉ A = { 1; 2; 3 } .
P (A) ∩P (B ) = P (A ∩ B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏ-
P (A) ∪P (B ) ÎÅ ×Ó ÅÇ ÄÁ
P (A ∪ B ).
N = { 1; 2; 3; : : : } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ.
Z = { 0; ± 1; ± 2; ± 3; : : : } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
Q = p { q : p; q
R = { ×Ó Å ÄÅ ÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒ Ï ÂÉ } | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ.
A ∪ B = { x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B } :
A \ B = { x : x ∈ A É x 6∈ B } :
{ x : x 6∈ A } :
A △ B = { x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A) } :
∩ ÎÁ ∪ , ∅ ÎÁ U É ÎÁÏ Â ÏÒ Ï Ô.
| A ∪ B | = | A | + | B |−| A ∩ B | :
A × B = { (a; b) : a ∈ A É b ∈ B } :
A × B ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
R ×R ÉÌÉ 2 R ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÄÅËÁÒ Ô Ï×ÏÊ
n)
I I I, ÷ÉÌØÇ ÅÌØÍ
I I I, üÄ×ÁÒÄ)
Ô ÅÌ ÅÍ y , Á ÖÅÎÁ (x; y
I I I?,
| ÖÅÎÁ (x, ç Å ÏÒÇ IV)
ËÁË ÂÙÌÁ
ÌÉ
ÖÅÎÁ
ÏÒÇÁ
IV?.
÷ ÜÔ ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ï Ô×Å Ô
Ï ÖÉÔ ÅÌ ÅÎ, ÔÁË ËÁË,
ÚÁÍÅÎÑÑ
ÎÁ
ëÁÒ
ÏÌÉÎÁ, ÍÙ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÅ,
ÆÁËÔ Ï×.
Å ÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ
(x)
from
(x;
ÍÕÖ x.
(y
x)
from
(x;
IV).
ÞØÅÊ-ÌÉÂ Ï ÖÅÎÙ.
ÒÏÄÉÔÅÌØ (y ; x))
I I I, É ÷ÉÌØ-
VI I I. ðÏÜÔ ÏÍÕ
VI I I).
VI I I), Ï ÓÎÏ-
ÍÁÔØ (x) from
É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄).
þÁÓÔØ [ÖÅÎÁ (x; y ) É
(x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄
I I.
A × B Ä×ÕÈ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ× A É B
× K ÍÏ ÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ Â ÏÌØÛÏ Å
A × B . ÷ Ô ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Ë ÏÇ ÄÁ
B ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï R
A.
B , ÍÙ Ç Ï×ÏÒÉÍ
{ (x; y ) : x | ÄÅ ÄÕÛËÁ y } ;
(Á) R =
{ (x; y ) : x | ÓÅ ÓÔÒÁ y } .
{ (x; y ) : x + y = 9 } ;
(Á) U =
{ (x; y ) : x < y } .
{ (x; y ) : x | ÄÅÌÉÔ ÅÌØ y }
{ 1; 3; 5; 7 } É B = { 2; 4; 6 } ÉÚ
7 òÉÓÕÎÏË
{ 1; 2; 3; 4; 5; 6 } ;
ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒ Ï×ÁÎÎÙÊ
ÇÒÁÆ
ÄÅ Ô
ÉÍÅ ÔØ
ÛÅ
ÓÔØ
×ÅÒÛÉÎ. ïÎ ÄÅÎ
4.3.
ÎÁ ÒÉÓ.
MÓ n ÓÔÒ ÏËÁÍÉ
∈ R;
6∈ R;
(i;
(a
{ a; b; ; d } ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ
∈ R ÍÏ Ö-
− y = 1:
∈ A x R x;
⇒ y R x ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
x É y ÉÚ A;
⇒ x = y ) ÄÌÑ ×Ó Å È x É y ÉÚ A;
⇒ x R z ) ÄÌÑ ÌÀÂ ÏÊ ÔÒ ÏÊËÉ ÜÌ ÅÍÅÎ-
(x
∈ A.
∈ R ÄÌÑ
ÓÉ×ÎÏ, Å ÓÌÉ (x; x)
∈ R ÓÌ Å ÄÕÅ Ô, ÞÔ Ï (y ; x) ∈ R; Ë Ï ÓÏ ÓÉÍÍÅ ÔÒÉÞÎÏ, Å ÓÌÉ
×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y )
∈ R É x = 6 y ×ÙÔ ÅËÁÅ Ô, ÞÔ Ï (y ; x) 6∈ R; ÔÒÁÎ-
ÉÚ Å Ï ÖÅÎÉÊ: (x;
∈ R É (y ; z ) ∈ R ×Ì ÅË ÕÔ (x; z ) ∈ R.
(x;
ÓÔÒ ÅÌËÁ ÉÚ y × x  Õ-
ÅÌËÁÍÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × y
ÎÏÊ ÄÉÁÇ ÏÎÁÌÉ (M (i;
6 = j ⇒ M (j; i) = ì:
(Á) x ÄÅÌÉÔ y ÎÁ
6 = y ÎÁ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Å
ÄÅÌÉÔ y , Á y × Ó×ÏÀ
mx
(nm)x,
Å. x ÄÅÌÉÔ z . úÎÁ ÞÉÔ,
ÖÅÎÉÊ: x ÄÅÌÉÔ y É y
6 = x Ì Ï ÖÎÏ, ÔÏ ÜÔ Ï Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ Ò Å-
x
6 = y Ô ÏÇ ÄÁ É Ô ÏÌØË Ï
6 = x. îÁÛÅ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ Ï ÂÌÁ ÄÁÅ Ô Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
6 = y É y 6 = x ÎÅÌØÚÑ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔ Ï x = y .
ÔÒÉ ÞÅÌ Ï×ÅËÁ x, y É z ,
⊂ A × A ÔÁË, ÞÔ Ï ÎÏ×Ï Å
∗ Â Õ ÄÅ Ô ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÓÒ Å ÄÉ ×Ó Å È ÒÁÓÛÉÒ ÅÎÉÊ R Ó ×Ù-
ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï R
∗ Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R
∗ ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R Ï ÔÎÏ ÓÉ-
∗ Ï ÂÌÁ ÄÁÅ Ô Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ;
1. R
2. R
3. R
ÄÅÒÖÁÝÅÇ Ï RÉ
{ 1; 2; 3 } , Á Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ A ÚÁ ÄÁÎÏ
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅ ÅÔ ÔÅ ÖÅ ÕÇ ÌÙ, ÞÔ Ï É ... ÎÁ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Å ×Ó Å È
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R, ÚÁ ÄÁÎÎÏ Å Õ ÓÌ Ï×ÉÅÍ: x R y , Å ÓÌÉ É Ô ÏÌØË Ï Å ÓÌÉ
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅ ÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔ, ÞÔ Ï É ... ÎÁ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Å
A 1 ∪ A 2 ∪···∪ A n ;
A i ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÂÌÏËÁÍÉ
ÒÁÚ
ÂÉÅÎÉÑ.
äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ
ÒÁÚ
ÂÉÅÎÉÑ
ÍÎÏ
ÖÅ
ÓÔ×Á
A ÎÁ ÂÌ ÏË Ï×
ÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ.
4.4. úÁÍÅ ÔÉÍ,
ÞÔ Ï
ÂÌ
ÏËÉ
ÉÚ
ÂÒÁÖÅÎÙ ËÁË Ì Ï ÓË ÕÔÙ, ÎÅ
∈ A ËÁË
E x | ÖÅ ÓÔ×Ï
A. ëÒ ÏÍÅ Ô ÏÇ Ï, R
∈ E x É E x ÎÅ ÓÔ Ï.
Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ, Ô. Å. x R x. óÌ Å ÄÏ-
∈ E x . ÏÇ ÄÁ z R x É
E y . ðÒ Å Ä-
Ï ÖÉÍ, ÞÔ Ï x R y
x R y . ðÏ ÓË ÏÌØË ÕR
∈ E y . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, E x ⊂ E y . áÎÁÌ ÏÇÉÞÎÏ
z R y . éÎÙÍÉ ÓÌ Ï×ÁÍÉ,
⊂ E x , Ï ÔË Õ ÄÁ E x = E y , ÞÔ Ï É ÔÒ Å Â Ï×ÁÌ Ï ÓØ.
A Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ Ï ÂßÅ ÄÉ-
∈ A, ÔÏ x ∈ E x . ÷ ÞÁÓÔÎÏ-
∩ E y 6 = ∅ . ÏÇ ÄÁ ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ
∩ E y . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ,
ÜÌ ÅÍÅÎÔ z × A,
ÖÄÁÔØ, ÞÔ Ï x R z É z
E y . éÔÁË, ÍÙ Å
E y Å Ó ÅËÁÀÔÓÑ
R ÚÁ ÄÁÎÏ
Õ ÓÌ Ï×ÉÅÍ: x R y , Å ÓÌÉ
− x = 0 ∈Z ÄÌÑ ÌÀ ÏÇ Ï ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÏÇ Ï ÞÉÓÌÁ
− y ÞÉÓÌ Ï
x, Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ RÒ Å ÆÌ
− x = − (x − y ) Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
− z = (x − y ) + (y − z ) | ÓÕÍÍÁ
{ z ∈R : z − x |
∈R : z − |
E √ 2 = { z ∈R : z √ − 2 |
6 = y É x R y ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x
Ë Ï Ô ÏÒÙÈ x R z É z R
≺ y , ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ x
ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á A, É
Å ÓÌÉ x
×ÅÒÛÉÎÙ y É ÓÏ Å ÄÉÎÑÅ ÔÓÑ
x.
Z Ï ÔÎÏ ÓÉÔ ÅÌØÎÏ
{ (x; y ) : 2x + y = 9 } ;
{ (x; y ) : x + y < 7 } ;
{ (x; y ) : y = x 2 } :
4.3. ðÕ ÓÔØ R | Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ
Ô ÏÇ ÄÁ, Ë ÏÇ ÄÁ u + 2v |
(Á) x + y | ÎÅÞÅ ÔÎÏ
{ x : x ∈Z É 1 6 x 6 12 } .
{ (x; y ) : xy = 9 } ;
(Á) R =
{ (x; y ) : 2x = 3y } ;
N ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ;
(Â) x = 2y ÎÁ ÍÎÏ ÖÅ
R ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ;
{ a; b; ; d } . éÍÅ ÅÔ ÌÉ ÓÍÙÓÌ ÓÔÒ ÏÉÔØ
Õ ÓÌ Ï×ÉÅÍ: x R y ,
Z , R ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ Õ ÓÌ Ï×ÉÅÍ: x R y Ô ÏÇ ÄÁ É Ô ÏÌØË Ï Ô ÏÇ ÄÁ,
− y | ÞÅ ÔÎÏ Å ÞÉÓÌ Ï;
Ë ÏÇ ÄÁ x
A | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
x ÉÍÅ ÅÔ ÔÏÔ ÖÅ
ÞÔ Ï É y ;
R 2 , R ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ
(a;
b) R ( ; d) × Ô ÏÍ ÓÌÕ-
ÄÅÌÑÅ ÔÓÑ ÔÁË: x R y × Ô ÏÍ É
2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. ðÏËÁÖÉÔ Å, ÞÔ Ï
{ 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 } Ó Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x ÄÅ-
ÌÉÔ y ;
{ a; b; ; d; e; f ; g ; h }
ÍÅÎÔÙ RÉ ÎÁÊÄÉÔ Å
A.
X ÓÔ ÏÉÔ ÒÁÎØ-
Ï Ô×Å ÔÓÔ×ÕÀÝÁ Ñ Â ÕË×Á ÓÌ Ï×Á Y ,
X Å ÄÛÅ ÓÔ×ÕÅ Ô
X Å ÄÛÅ-
ÓÔ×ÕÅ Ô Y , × Ï ÔÉ×ÎÏÍ
A × B . åÓÌÉ A = B , ÔÏ Ç Ï×ÏÒÑÔ, ÞÔ Ï R | Ï ÔÎÏ-
∈ A;
⇒ y R x ÄÌÑ ×Ó Å È x; y ∈ A;
⇒ x = y ) ÄÌÑ ×Ó Å È
∈ A;
(x
x;
⇒ x R z ÄÌÑ ×Ó Å È x; y z ∈ A.
∗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑ R Ï ÔÎÏ ÓÉÔ ÅÌØ-
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R
ÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , Å ÓÌÉ
∗ Ï ÂÌÁ ÄÁÅ Ô Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ;
∈ A Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
A 1 ∪ A 2 ∪···∪ A n É A i ∩ A j = ∅
6 = j:
A i ÉÚ
ÅÎÔÎÏ ÓÔÉ ÎÁ A, ÔÏ ÒÁÚ-
A.
6 = y , ÔÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
É z R y , ÔÏ Ç Ï×ÏÒÑÔ,
≺ y , ×ÅÒÛÉÎÁ x
Ë ÏÇ ÄÁ x
ÎÏÊ y É ÓÏ Å ÄÉÎÑÅ ÔÓÑ
4.2. T1 =
A 1 × A 2 ×···× A n . óÔÒ ÏËÉ Ï ÂÒÁÚÕÀÔ
A 1 × A 2 × A 3 × A 4 × A 5 , Ç ÄÅ A 1 | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ ÓÔÕ ÄÅÎÔ Ï×,
ËÁË ÖÅ ÓÔ×Ï T
88 çÌÁ×Á
4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
{ æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒ Å Ó } )
A 1 ×···× A m × B 1 ×···× B n , Á S | ×
A 1 ×···× A m × C 1 ×···× C p . ÷ ÜÔ ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ï ÂÝÉÅ ÁÔÒÉÂ ÕÔÙ
ÄÉÎÅÎÉÅ RÉS | ÜÔ Ï
A 1 ×···× A m × B 1 ×···× B n × C 1 ×···× C p , ÓÏ ÓÔ ÏÑ-
ÖÅ ÓÔ×Ï ×
ÝÅ Å ÉÚ ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï× ×ÉÄÁ
(a
2 ; : : : ; p ),
Ç ÄÅ (a
ÅÖÉÔ
R,
(a
× ÖÅ ÓÔ×Å S .
4.6.
ÓÏ Å
ÄÁÅ Ô
ÔÁÂÌ.
4.6
æÁÍÉÌÉÑ áÄÒ
ïÓÎÏ×Ù
ðÒ
ÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÷ÙÞÉÓÌ.
ÍÁÔ ÅÍ.
ÍÁÔ ÅÍ. ÓÉÓÔ ÅÍÙ
äÖÏÎÓ
2 íÏ ÔÔ, îØÀÔ ÏÎ
ÏÒ
ÄÏ×Ì
È ÏÒ ÎÅ Õ Ä
ç ÒÁÎÔ
18 éÆÆÌ ÅÊÒ
ÏÁ Ä,
óÉÆ
ÏÒ Ô
ÄÏ×Ì
ÏÒ
ÏÔ ÌÕ ÄÏ×Ì
óÉÎÇÈ 4á îØÀÒÁÏÄ,
óÉÆ
ÏÒ Ô
ÄÏ×Ì
ÏÒ
ÏÔ Ì ÎÅ Õ Ä
æÒ ÅÎË
11 æÉÎÎÒ
ÏÁ Ä,
îØÀÔ ÏÎ
ÎÅ
ÎÅ
Õ ÄÏ×Ì Õ ÄÏ×Ì
íÁËËÁÊ 133 õ ÆÆÒ
ÏÁ Ä,
òÅÁ ÄÉÎÇ
ÏÔ
ÏÔ
È ÏÒ ÏÔ Ì
R1 = Ï ÅËÔ(T2,
R2 = ×ÙÂ ÏÒ(R 1, ÷ÙÞÉÓÌ.
ÌÕÞÉÔÓÑ R1.
R2 (ÔÁÂÌ. 4.9).
R1 = ×ÙÂ ÏÒ(T1,
{ æÁÍÉÌÉÑ, äÉÓËÒ. ÍÁÔ ÅÍ. } );
);
R2 = Ï ÅËÔ(T2,
R3 = ÓÏ Å ÄÉÎÅÎÉÅ(R1,
R3 = ×ÙÂ ÏÒ(R2, ï Ó Î
R4 = ÓÏ Å ÄÉÎÅÎÉÅ(R1,
{ æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒ Å Ó } ).
R3);
R = Ï ÅËÔ(R4,
− 1 ÍÅÖÄÕ B É A Æ ÏÒÍÕÌ Å:
B . Å-
− 1 = { (b; a) : (a; b) ∈ R } :
B , ÁS | ÂÉÎÁÒÎÏ Å
◦ R = { (a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅË Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï b ∈ B } :
ÓÔÒÁ b, ÁS Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁ-
◦ R Å ÓÔØ ÎÉ ÞÔ Ï ÉÎÏ Å, ËÁË a | Ô Å ÔÑ .
RÉS ÚÁ ÄÁÎÙ ÏÒÇÒÁ-
◦ R.
ôa
{ (a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 2) }
{ (1; y ); (2; x); (3; x) } :
⇒ (a; y ) ∈ S ◦ R;
⇒ (a; x) ∈ S ◦ R;
⇒ (a; x) ∈ S ◦ R;
⇒ (b; x) ∈ S ◦ R:
b SR
B , ÁS | Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ
∈ R;
6∈ R:
∈ S;
6∈ S:
∈ B , ÞÔ Ï a i R b k É b k S j , ÔÏ ×
◦ R) j , ÔÏ ÚÎÁ ÞÅÎÉÅ P (i; j ) Ì ÏÇÉÞÅ ÓË ÏÊ
◦ R ÔÏ ÖÅ ÒÁ×ÎÏ é. åÓÌÉ ÖÅ × i-ÏÊ ÓÔÒ ÏË Å
ÞÅÎÉÀ × j -ÏÍ
N , ÔÏ P (i; N , ÔÏ P (i;
{ a; b } É B = { 1; 2; 3 } ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ
{ 1; 2; 3 } É C = { x; y } ,
◦ R ÒÁ×ÎÁ  ÕÌ Å×Õ
P (1; 1) = ééé
◦ R É Ï ÂßÑÓÎÉÔØ,
◦ R ÒÁ×ÎÁ
◦ R ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (x; z ), Ç ÄÅ x R y É y R z ÄÌÑ
∈ A. ðÏÜÔ ÏÍÕ × ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÓÔÉ R Ë
ËÁË ÏÇ Ï-ÎÉÂ Õ ÄØ y
◦ R ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ
◦ R Ó ÏÄÅÒ-
×ÉÄÎÏ, ÞÔ Ï R
R.
Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ
a ∈ A ÓÕÝÅ ÓÔ×ÕÅ Ô Ò Ï×ÎÏ ÏÄÎÁ
Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (a; b).
{ a; b; } × { 1; 2 } , ÓÏ ÓÔ ÏÑÝÕÀ ÉÚ
{ a; b; } É B = { 1; 2; 3 } Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
{ (a; 1); (a; 2); (b; 3); ( ; 2) } ;
{ (a; 1); (b; 2); ( ; 1) } ;
{ (a; 1); ( ; 2) } .
a ÓÏ Ï Ô×Å Ô-
g Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
b ÎÅ ÓÏ Ï Ô×Å ÔÓÔ×ÕÅ Ô
Z 2 , ÚÁ ÄÁÎÎÏ Å { (x; x ) : x ∈ Z} ;
R , ÚÁ ÄÁÎÎÏ Å
{ (x; y ) : x = y 2 }
∈ A ÓÕÝÅ ÓÔ×ÕÅ Ô Å ÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ
∈ B , ÔÁË ÏÊ, ÞÔ Ï (x; y ) ∈ f , ÍÙ Â Õ ÄÅÍ
ÎÙÊ y
f (x), É Ç Ï-
f (x) ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÚÏÍ
A −→ B , ÞÔ Ï ÂÙ
∈ A. ïÎÏ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅ ÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌ ÏÍ f (A) É Æ ÏÒÍÁÌØÎÏ
{ f (x) : x ∈ A } :
f (A)
A ÓÏ
f ÉÌÉ
f f(A)
A −→ B
A −→ B , Ç ÄÅ A É B | Â Å ÓË Ï-
R −→ R , ÚÁ ÄÁÎÎÏÊ Æ ÏÒÍÕÌ ÏÊ
R . ÷ÅÒ ÔÉËÁÌØÎÁ Ï ÓØ
R ). ëÒÉ×Á Ñ ÎÁ ÒÉÓÕÎË Å, Ô. Å. ÇÒÁÆ ÉË
R ×R , ÄÌÑ Ë Ï Ô ÏÒÙÈ y = f (x). ÁË ËÁË,
(x; y ) ÏÉÚ×Å
R −→ R ,
2 − x. îÁÊÄÉÔ Å Å Å ÚÎÁ ÞÅÎÉÑ
g (x)
A −→ B |
a 2 ∈ A.
a 1 6 = a 2 ⇒ f (a 1 ) 6 = f (a 2 );
b ∈ B ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ ÔÁË ÏÊ
a ∈ A, ÞÔ Ï b = f (a). ÁËÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï ÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁ ÞÅ-
ÏÇ Ï-Ô Ï
f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ
Z −→ Z , ÚÁ ÄÁÎÎÁ Ñ Æ ÏÒÍÕ-
Ì ÏÊ h(x) = x
R −→ R , ÚÁ ÄÁÎÎÏÊ Ô ÏÊ ÖÅ Æ ÏÒÍÕÌ ÏÊ f (x) = x 2 ,
h ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ Ô ÏÌØË Ï h ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ Ô ÏÌØË Ï
a 1 6 = a 2 , ÄÌÑ Ë Ï Ô ÏÒÙÈ h(a 1 ) = h(a 2 ). îÁ ÇÒÁÆ ÉË Å
R −→ R , ÚÁ ÄÁÎÎÁ Ñ Æ ÏÒ-
a 2 . úÎÁ ÞÉÔ, k |
b ∈R . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔ Ï ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ ÔÁË Ï Å ×ÅÝÅ ÓÔ×ÅÎÎÏ Å ÞÉÓÌ Ï
a ∈R , ÞÔ Ï h(a) = b. ñÓÎÏ, ÞÔ Ï × ËÁ ÞÅ ÓÔ×Å a ÍÏ ÖÎÏ ×ÚÑÔØ a = 1 4 (b − 3).
éÔÁË, k | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ
ðÏ ÓË ÏÌØË Õ k Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
A −→ B | ÂÉÎÁÒÎÏ Å Ï ÔÎÏÛÅ-
f − 1 . åÓÌÉ
f − 1 : B −→ A ÄÌÑ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÅÎÉÑ
f − 1 ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ
f (a). ëÏÇ ÄÁ
f Ï ÂÒÁ-
f − 1 (b).
f − 1 (b) = a. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌ Ï×ÁÍÉ, Ï ÂÒÁÔÎÁ Ñ
R −→ R , k = 4x + 3 (ÓÍ.
✲ ðÒÉÂÁ×ÉÔØ 4x ✲ 4x + 3 ✲
− 3) òÁÚÄÅÌÉÔØ (x − 3) ÷ÙÞÅ ÓÔØ ✛ x ✛ ✛
4 (x
1 R 1 −→ R ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ Æ ÏÒÍÕÌ ÏÊ k − =
− 1 (y ).
− 4 1 − (y ) = 1 4 (y − 3) ÉÌÉ, ÓË ÏÌØ-
− 1 (x) = 1 4 (x − 3),
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, k
A −→ B .
A −→ B |
a ∈ A É f (a) = b :
f − 1 = (b; a) : a ∈ A É f (a) = b :
b ∈ B ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ
f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ,
a ∈ A, ÞÔ Ï f (a) = b. ëÒ ÏÍÅ Ô ÏÇ Ï, ××ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ ÓÔÉ ÆÕÎË-
f − 1 Ï ÂÌÁ ÄÁÀÔ Ô ÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ,
b ∈ B ÓÕÝÅ ÓÔ×ÕÅ Ô Å ÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌ ÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÄÌÑ Ë Ï-
∈ f , Ô. Å. b = f (a). üÔÉÍ
f − 1 Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
{ x : x ∈R É x 6 = 1 }
A −→ A ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ Æ ÏÒÍÕÌ ÏÊ:
f (x) f (x)
b 1 ∈ A, ÄÌÑ Ë Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï f (a) = b. − üÔ Ï
f − 1 (b) = a ×Ó ÅÇ ÄÁ,
f − 1 : A −→ A,
f − 1 (x) =
A −→ B É g : B −→ C |
g ◦ f ÍÅÖÄÕ A É C ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ
b ∈ B (a; b) ∈ f É (b; ) ∈ g . ïÄÎÁË Ï ÜÌ ÅÍÅÎÔ b = f (a)
a,
g (b)
b (g ÔÏ ÖÅ b (g ÔÏ ÖÅ
◦ f )(x) = g (f (x)).
ÝÅÊ (g
R −→ R , f (x) = x 2 É
R −→ R , g (x) = 4x + 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f É g ◦ g .
R ÓÏ ÚÎÁ ÞÅ-
2 ◦ 2 f )(x) = g (f (x)) = g (x ) = 4x + 3;
(g
◦ g )(x) = f (g (x)) = f (4x + 3) = (4x + 3) 2 = 16x 2 + 24x + 9;
(f
◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x 2 ) = x 4 ;
(f
◦ g )(x) = g (g (x)) = g (4x + 3) = 4(4x + 3) + 3 = 16x + 15.
| x | É Ô. Ä. ëÒ ÏÍÅ Ô ÏÇ Ï, × ÎÉÈ Ì ÅÇË Ï Ó ÏÚÄÁ×ÁÔØ
ËÉÍÉ ËÁË sin x, log x,
A −→ B |
| A | > | B | , ÔÏ
6 = a j , ÄÌÑ Ë Ï Ô ÏÒÙÈ f (a i ) = f (a j ).
6 = j ÍÙ ÉÍÅ ÅÍ: f (a i ) 6 = f (a j ). ÏÇ ÄÁ
| B |> n, ÞÔ Ï
| A | > | B | . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, Å ÓÔØ È Ï ÔÑ
∈ A, ÄÌÑ Ë Ï Ô ÏÒÙÈ f (a i ) = f (a j ).
A −→ B ,
| A | = 15, Á | B | = 12, ÔÏ | A | > | B | . ðÏ
A −→ B
| A | > | B | = 1 089,
A −→ B ,
A −→ B , Ç ÄÅ A É B | Ë ÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á. åÓÌÉ | A | > k | B |
| B | ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï×.
A −→ B |
| A | > 4 | B | = 4 356. ÁËÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ, Ô ÅÌ Å Æ ÏÎ-
A | ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï Ï ÓÔÁ×-
A −→ B
| A | > 2 | B | , ÔÏ ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ ÔÒÉ ÞÅÌ Ï×ÅËÁ, Ë Ï Ô ÏÒÙÅ ÌÉ Ï
b É ÚÎÁË ÏÍÙ Ó x.
− 1 , S − 1 É S ◦ R. ðÒ Ï×ÅÒØÔ Å, ÞÔ Ï
÷ÙÞÉÓÌÉÔ Å R
◦ R) −
− 1 , S − 1 , R ◦ S , S − 1 ◦ R − 1 É R ◦ R.
Ô ÅÌØÎÏ RÉR
5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ RÉS ÚÁ ÄÁÎÙ
{ 0; 2; 4; 6 } É B = { 1; 3; 5; 7 } . ëÁËÉÅ ÉÚ
Z , ÓËÁÖÉÔ Å, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÏÎÉ
f (n) = 2n + 1;
(×) h(n) =
− 1; Å ÓÌÉ n ÎÅÞÅ ÔÎÏ:
Z 2 −→ Z + 1;
f (x)
N −→ N , g (x) = 2 x ;
R −→ R , h(x) = 5x − 1;
−→ R >
R −→ R , k (x) = x + | x | ;
(Ä) k :
R −→ R , l (x) = 2x −| x | .
(Å) l :
| x | ÚÄÅ ÓØ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô ÍÏÄÕÌØ
> 0 É ÒÁ×ÎÙÊ − x
−→ Z
Z −→ Z , ÚÁ ÄÁÎÎÁ Ñ
A −→ B ÚÁ ÄÁÎÁ Æ ÏÒÍÕÌ ÏÊ: f (x) = 1 + 2 x , Ç ÄÅ A
R −→ R É g : R −→ R ÚÁ ÄÁÎÙ Õ ÓÌ Ï×ÉÅÍ:
5.10. f :
− x;
Å ÓÌÉ x < 0:
A −→ B É g : B −→ C |
g ◦ f ÔÏ ÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ;
g ◦ f ÔÏ ÖÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ;
5.14. ðÕ ÓÔØ S =
ÅÍÅÎÔ Ï× ÉÚ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á S ,
ÌÉÔØ ËÁË Ï Å-Ô Ï ÉÚ
f (12)
− 1 = (b; a) : (a; b) ∈ R .
B , ÉS | Ï ÔÎÏÛÅ-
ÅÊ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÊ RÉS
◦ R = (a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅË Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï b ∈ B :
ðÕ ÓÔØ MÉN | Ì ÏÇÉÞÅ
Ï ÔÎÏÛÅÎÉÊ RÉS ÓÏ Ï Ô×Å Ô-
◦ R.
A −→ B Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅ Ô
∈ B | ÚÎÁ ÞÅÎÉÅ
f (x), ÞÔ Ï ÂÙ
∈ A (ÎÅ
A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ (ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ
⇒ a 1 = a 2 ÄÌÑ ×Ó Å È a 1 ; a 2 ∈ A.
A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, Å ÓÌÉ Å Å ÍÎÏ ÖÅ-
b ∈ B ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ ÔÁË ÏÊ a ∈ A, ÞÔ Ï f (a) = b.
A −→ B Ï ÂÒÁÔÉÍÁ Ô ÏÇ ÄÁ É Ô ÏÌØË Ï
f Ï ÂÒÁÔÉÍÏÊ.
f − 1 : B −→ A. åÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f − 1 (b) = a.
f ÍÙ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅÍ
A −→ B | ÆÕÎË-
A | > | B | , ÔÏ
| A | > k | B | ÄÌÑ ÎÅË Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇ Ï k ,
. ï ÏÚÎÁ ÞÉÍ ÞÅÒ ÅÚ S ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï ÓÔÒ ÏË
−→ C, Ç ÄÅ har (s) | Å Ò × Á Ñ Â Õ Ë × Á Î Å Õ Ó Ô Ï Ê Ó Ô Ò Ï Ë É s.
har : S
−→ S, Ç ÄÅ rest (s) | ÓÔÒ ÏËÁ,
rest : S
C × S −→ S, Ç ÄÅ add har ( ; s) | ÓÔÒ ÏËÁ,
add har :
−→ P, Ç ÄÅ len(s) | ÞÉÓÌ Ï ÌÉÔ ÅÒ × ÓÔÒ ÏË Å s.
len : S len : S
len (rest (s)) É
add har har (s);
add har
len (rest (s)) =
add har har
(s);
add har
= add har
add har
= add har
add har
= add har
add har
( har
(s);
add har
rest(s)));
−→ C ÎÕÖÎÁ ÄÌÑ
third(s)
har
(rest
(rest
(s))):
−→ S, Ë Ï Ô ÏÒÁ Ñ
har (s). ïÓÔÁÌØÎÙÅ
rest (rest (s)). óÌ Å-
add har ( har (rest
(s));
add har
( har
(s);
rest (rest (s)))):
Input s
b egin
while i
add har
Output u
ÅÍÅÎÎÙÈ , t, u É
i × Ô ÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂ Ï ÔÙ
while
ii < 4?
ÓÔÒ ÏË Å s = , Á reverse2
−→ S,
rest : S
∈ S É s 6 = ,
Ï ÂÌÁÓÔØ Å ÄÅÌ
ÅÎÉÑ:
Ç ÄÅ rest (s) | ÓÔÒ ÏËÁ,
rest (rest (s)) ÎÅ
◦ rest | s ∈ S É len (s) > 1.
ÄÌÉÎÙ
1 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ, ÔÏ
Ï ÂÌÁÓÔØ Å ÄÅÌ ÅÎÉÑ
rest
··· + x k ) n :
(x
ÓÏ ÂÙÔÉÑ A, É n
1 · n 2 ··· n k .
| A ∪ B | = | A | + | B | , Ô. Å. ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï A ∪ B Ó ÏÄÅÒÖÉÔ
A 1 × A 2 ×···× A k , ÞØÑ ÍÏÝÎÏ ÓÔØ ÒÁ×ÎÁ
| A 1 |·| A 2 |···| A k | .
6 ÓÌÕÞÁÅ×: AB , AC ,
X ÍÏÝÎÏ ÓÔÉ k . ëÁÖÄÙÊ
ÂßÅÍÁ k ÉÚ n ÜÌ ÅÍÅÎ-
Ô Ï× ÉÌÉ, ÉÎÁ ÞÅ, (n;
)-×ÙÂ
• (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ Ó
ÎÁ Ñ (n; k )-×ÙÂ ÏÒËÁ,
• (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ
ÎÁ Ñ (n; k )-×ÙÂ ÏÒËÁ,
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅ-
ÓÌ Ï ×Ó Å È (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ
ÉÚ N Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÚÎÁË
A k n . | ðÒÉÍ.
− k + 1) ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï×.
− 1)(n − 2) ··· (n − k + 1):
− 1)(n − 2) ··· (n − k + 1) =
P (n; k ) = n(n
− k )(n − = k n(n − 1) ··· 2 · 1
− 1)(n − 2) ··· (n − k + 1)
(n
− k )(n − k − 1) ··· 2 · 1
(n
− 1)(n − 2) ··· (n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) ··· 2 · = 1 =
n(n
− k )(n − k − 1) ··· 2 · 1
(n
n!
− k )!
− k )!
P (6; 4) =
(n; k )-Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÊ Â ÅÚ
ÆÁËÔ ÏÍ: ÞÉÓÌ Ï ×Ó Å È (n; k )-
{ 1; 2; 3 } Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ (4; 3)-Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÅÍ Â ÅÚ
ÓÌÕÞÁÅ (n = 4, k = 3)
äÁÎÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ
B ⊂ A, ÇÄÅ | B | = k É | A | = n. óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÅÇÏ
ÓÔ×Ï (k ; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ
− k )!
− k )! k !
C k n , ÁÕ ÎÁÓ, ËÁË É
(k Ï ÂßÅËÔ Ï× ÉÚ n ÄÁÎÎÙÈ),
− 1) + k ÑÞÅ ÅË ÄÌÑ
− 1) ÍÅ ÔËÉ × (n + k − 1)
− 1; n − 1) =
− 1 − (n − 1))! (n − 1)!
5 − 1; 6 − 1) = C (10; 5) =
Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÑ (n + k
− k )! Â ÅÚ
− k )! k !
(n
− 6)! 6!
· C (43; 3) =
6!
43!
C (6; 3)
246 820:
3!
3!
40!
3!
÷ÅÒ ÏÑÔÎÏ ÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ
ÜÔ Ï
ÄÏÌÑ
ÄÁ
ÞÎÏ
ËÁÒ Ô ÏÞÅË
Ë Ï ×Ó ÅÍ ×ÏÚÍÏ ÖÎÙÍ
Ô.
Å.
246
820
0;
018:
57
13 983
816
4 ïÎÁ
È Ï ÖÁ ÎÁ ÎÁÛÅ
Ï Ô Ï.
ðÒÉÍ.
2 · C (10; 4) Ë ÏÍÉÔ Å ÔÁ ÉÍÅÀÔ × ËÁ ÞÅ ÓÔ×Å ÞÌ ÅÎÁ
C (n; k ) ×ÏÚÎÉËÁÀÔ
× ÂÉÎÏÍÅ (a + b) n
C (n; k ), ×Ù×Å ÄÅÎÎÏÊ
− k b k (Ç ÄÅ k
ÂÉÎÏÍÅ (a + b) n
×ÚÑÔÙÈ ÉÚ k ÓË Ï Â ÏË, É a,
− k ) ÓË Ï Â ÏË. ÁË ËÁË Å ÓÔØ Ò Ï×ÎÏ C (n; k )
− 1 b + C (n; 2)a n − 2 b 2 + ··· + C (n; n)b n :
C (n; k ) ÞÁÓÔ Ï
− 1) C (n; n)
C (n; 0)
C (n; 1)
C (n;
ëÁÖÄÁ Ñ (n + 1)-Á
×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b) n
− k );
− 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = C (n; k );
− C 1)! (n
− 1; k − 1) + C (n − 1; k ) =
(n
(n
− k )! (k − 1)! (n − k − 1)! k !
(n
(n
− k − 1)! (k − 1)! n − k
(n
(n
− k − 1)! (k − 1)! (n − k )k
(n
n!
− k )! k !
C (n; k ):
(n
··· n r !
··· n r ! ÎÏ ÓÑÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ .
1 2 ··· r × ÒÁÚÌ Ï ÖÅÎÉÉ
··· + x r ) n .
2 ··· x n r r
2 ··· x n r r × Ô ÏÞÎÏ ÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ
Å ÓÔÁÎÏ×ÏË n
Ï ÂßÅËÔ Ï×, n
(x + y + z )
(x + y + 3)
(x + y + z )
(x + y + z )
(x
ÞÌ ÅÎ 210x
ð Ï Ì Ï Ö É × z = 3,
ÉÓÔ Å Å Î É (x + y + 3)
1 890x
ÏÜÆÆ x
(x
− k ).
C (n;
C (n;
ÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ Ï×.
Î ÌÉÂ Å ÒÁÌ - Ä Å Í Ï Ë ÒÁÔ ?
0 6 k 6 n − 2.
··· + C (n; n) = 2 n :
S ÉÚ n ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï× Ó Ï-
− n C (n; 1) + C (n; 2) −··· + ( − 1) C (n; n) = 0:
a 3 b 5 ÓÌ Å ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓË Ï Â ÏË
(x
2y
ÎÏ ÓÔØ k ÓÏ ÂÙÔÉÊ Ó n
1 · n 2 ··· n k .
ÅÍ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ,
| (n; k )-Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÅ.
− 1 b + C (n; 2)a n − 2 b 2 +
(a + b) n
C (n; 0)a n
··· n ;
− k )! k !
k )-Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÊ, ËÁË Ó
k ! (n
− k )! Â ÅÚ
− k )! k !
··· n r !
1, n
ÂßÅËÔ Ï× r .
X × ÓÌ Ï×Á-
Ò Å, Ó ÏÄÅÒÖÁÝÅÍ n ÓÌ
X Ó ÓÌ Ï×ÏÍ ×
X ÎÅ ÂÕ ÄÅ Ô ÎÁÊÄÅÎÏ
X ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅ Ô-
1 + log
2 n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
log
ÞÔ Ï log
A,
E ÔÒ Å Â ÕÅ ÔÓÑ
n, 3n
2n
4n, n
ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ× n = 1,
n = 10, n = 100 É n =
g (x),
| f (n) |6 C | g (n) | ÄÌÑ ×Ó Å È ÄÏ ÓÔÁÔ ÏÞÎÏ Â ÏÌØÛÉÈ ÚÎÁ ÞÅÎÉÊ n.
6 n 2 n > 1, ÍÙ
6 2n 2 + 4n 2 = 6n 2
2n
4n
∈N . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ,
2 6 2n 2 + 4n
ÞÔ Ï O (g (n)) Ï
g (n). ðÏÜÔ ÏÍÕ
2 | n {z } ↑
×É× (n log n) ÍÅÖÄÕ n
g (n), ÎÏ
g (n). þÔ Ï-
7 log n. ñÓÎÏ,
7 log n = O (log n).
ðÏ ÓË ÏÌØË Õ n É log n
ËÌÁÓ ÓÕ O (n
f (n) ÒÁÓÔÕÔ ÎÅ
f (n) ÉÍÅ ÅÔ
ÞÔ Ï É n
(Á) n
2n
(Â) 6n
(×) 5n + n
2 log
n.
(n
ÓË ÏÌØË Õ n
ÅÖÁÝÉÅ × ËÌÁÓ Ó Å O (n
ÓÔ×Å n É ËÁËÉÅ
b egin
×Ô ÏÒÑÅ ÔÓÑ 2n ÒÁÚ. ãÉËÌ, ÅÍÅÎÎÏÊ j , n
··· + n ÒÁÚ, ÞÔ Ï ÒÁ×ÎÏ 1 2 n(n + 1).
· 2 n(n + 1) = n (n + 1):
T (n)
2n
éÔÁË, T (n) = O (n
§ 7.1, üÊÌ ÅÒÕ Õ ÄÁÌ Ï ÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔ Ï
Êåíèíãñáåðã
òÉÓÕÎÏË
7.1. óÈ
ÅÍÁ
ÓÔÁÒ
ÏÇ Ï
ëÅÎÉÇ Ó Â
ÅÒÇÁ
÷ ÜÔ ÏÊ Ç ÌÁ×Å ÍÙ
××ÏÄÉÍ
ÓÔÁÎÄÁÒ ÔÎÕÀ
Ô ÅÒÍÉÎÏÌ ÏÇÉÀ,
ÚÕÅÍÕÀ × ÔÅ ÏÒÉÉ ÇÒÁÆ
Ï×,
ÒÁÚ
ÂÉÒÁÅÍ
ÎÅ
ÓË
ÏÌØË Ï Ë ÏÎËÒ Å ÔÎÙÈ ÚÁ-
ÄÁ Þ, Ò ÅÛÁÅÍÙÈ Ó
ÇÒÁÆ
Ï×.
ÞÁÓÔÎÏ
ÓÔÉ, ÍÙ ÏÍÉÍÓÑ
Ó ËÌÁÓ Ó ÏÍ ÇÒÁÆ Ï×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ
ÄÅÒ
Å×ØÑÍÉ.
äÅÒ Å×ØÑ | Å ÓÔ Å ÓÔ×ÅÎ-
ÎÁ Ñ ÍÏÄÅÌØ, Å ÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁ
ÄÁÎÎÙÅ,
ÏÒÇÁÎÉÚ
Ï×ÁÎÎÙÅ × ÉÅÒÁÒ ÈÉÞ-
ÎÕÀ ÓÉÓÔ ÅÍÕ. ðÏÉÓË
ÄÅÒ
Å×Õ
ÄÌÑ
×ÙÄÅÌ
ÅÎÉÑ
ÏÔ ÄÅÌØÎÙÈ Å ÄÍÅ Ô Ï×
É Ó ÏÒ ÔÉÒ Ï×ËÁ ÄÁÎÎÙÈ
ÄÅÒ
Å×Å
ÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ
ÓÏ Â ÏÊ ×ÁÖÎÙÅ Ô ÏÞËÉ
B òÉÓÕÎÏË
7.2. íÏÄÅÌØ
ÚÁ ÄÁ
ÞÉ
ÍÏ
ÓÔÁÈ
ëÅÎÉÇ Ó Â ÅÒÇÁ
ç ÒÁÆ, × Ë Ï Ô ÏÒ ÏÍ
ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ
ÍÁÒÛÒÕÔ,
ÎÁ
ÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×Á-
ÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ,
ÏÄÑÝÉÊ
×Ó ÅÍ
Ò Å ÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ Ò Ï×ÎÏ
ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ
ÇÒÁÆÏÍ
ðÏ
ÓÌ
Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ ÓÔØ ×ÅÒ-
ÛÉÎ (ÍÏ ÖÅ Ô ÂÙÔØ É
ÅÎÉÑÍÉ),
ÞÅÒ
ÅÚ
Ï Ô ÏÒÙÅ Ï È ÏÄÉÔ ÉÓË Ï-
ÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ËÁË É
ÓÁÍ
ÍÁÒÛÒÕÔ,
ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ .
üÊÌ ÅÒ ÚÁÍÅ ÔÉÌ, ÞÔ Ï
ÓÌÉ
ÇÒÁÆ
ÓÔØ
ÜÊÌ
ÅÒ
Ï×
ÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇ Ï
Ò Å ÂÒÁ, ×Å ÄÕÝÅÇ Ï × ËÁË
ÕÀ-Ô Ï
×ÅÒÛÉÎÕ,
ÄÏÌÖÎÏ
ÎÁÊÔÉÓØ ÄÒÕÇ Ï Å Ò Å ÂÒ Ï,
×ÙÈ ÏÄÑÝÅ Å ÉÚ ÜÔ ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÉÚ
ÜÔ ÏÇ Ï Ï ÓÔ ÏÇ Ï ÎÁÂÌÀ-
1 úÁÊÄÑ
× ×ÅÒÛÉÎÕ, ÍÙ
ÎÅ
ÍÏ
ÖÅÍ
×ÙÊÔÉ
Ô ÏÍÕ
ÖÅ
Å ÂÒÕ, ÓÏ ÂÌÀÄÁ Ñ Õ ÓÌ Ï×ÉÑ
ÚÁ ÄÁ ÞÉ. | ðÒÉÍ.
v , ÓÏ Å ÄÉÎÑÅ Ô É v Ó u
x, ÔÏ Ç Ï×ÏÒÑÔ, ÞÔ Ï v É x
{ a; b; ; d; e } É ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×ÏÍ Ò Å Â ÅÒ E = { ab; ae; b ; bd; e; de } . ÷Ù-
G ′ = (V ′ ; E ′ ), ×
ËÁÖÄÏÇ Ï i = 1; : : : ; k
− 1 v i Ï ÂÒÁÚÕÅ Ô Ò Å ÂÒ Ï ÇÒÁÆÁ. íÙ Â Õ ÄÅÍ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÔØ ÔÁË ÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ
ÞÅÒ ÅÚ v
G ÉÚ
7.1. çÒÁÆÙ
É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ 145
7.4.
òÉÓÕÎÏË
ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆ Å
ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÓÌ
ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ ÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ
k , ËÁÖÄÁ
Ï Ô ÏÒÙÈ
Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
ÏÄÎÏÇ Ï Ò Å ÂÒÁ,
ÓÔÁÌØÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
(É
ÂÒÁ) ÎÅ
éÎÙÍÉ ÓÌ Ï×ÁÍÉ,
ÜÔ Ï
ÚÁÍËÎÕÔÙÊ
ÍÁÒÛÒÕÔ, Ï È ÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒ ÅÚ
ËÁÖÄÕÀ Ó×ÏÀ ×ÅÒÛÉÎÕ
ÂÒ
Ô ÏÌØË
ÏÄÉÎ
ÒÁÚ.
7.5.
òÉÓÕÎÏË
7.2.
ðÒÉÍÅÒ
7.3. îÁÊÄÉÔ Å
ÇÒÁÆ
G ÉÚ
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔ ÏÍ ÇÒÁÆ
ÓÔØ
Ä×Á
ÒÁÚÎÙÈ
ÄÌÉÎÙ 5:
1 2 5 4 3 1:
íÙ ÍÏ ÖÅÍ ÏÊÔÉ ÜÔÉ
ËÁË
ÏÄÎÏÍ
ÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕ-
b egin
V ′ 6 = ∅ do
while
b egin
ÄÉÎÅÎÎÙÅ ÍÁÒÛÒÕÔ ÏÍ Ó y ;
end
end
÷ÙÂ ÏÒ y =
÷ÙÂ ÏÒ y =
÷ÙÂ ÏÒ y =
éÔÁË, (G) =
4 · 3 · 2 = 24
a e d b a ÚÁ ÄÁÀÔ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ
ðÒÉÍ.
f g Ï ÂÑÚÁÎÙ ×È ÏÄÉÔØ
g d ÎÉËÁË
ed,
b egin
b egin
′ u;
u;
′ : = u;
wv
B D C AB 14 B
B D C AB D 24 B
D C AB D Ï ÂÝÅÇ Ï ×Å ÓÁ
AC B D A Ï ÂÝÅÇ Ï ×Å ÓÁ
• G Ó×ÑÚ ÅÎ É m = n − 1.
• G Ó×ÑÚ ÅÎ, Á Õ ÄÁÌ ÅÎÉÅ È Ï ÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇ Ï ÅÇ Ï Ò Å ÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅ Ô Ó×ÑÚ-
• G ÎÏ Å ÓÌÉ ÄÏ ÂÁ×ÉÔØ È Ï ÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ Ò Å ÂÒ Ï, ÔÏ × G
ÄÌÑ ÄÅÒ Å×Á TÓ n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
ÄÅÒ Å×Ï T ÓÌ Å ÜÔ ÏÊ
1 − 1 Ò Å ÂÒ Ï, Á T 2 |
ðÏ Å Ï ÖÅÎÉÀ
2 − 1. óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, ÉÓÈ ÏÄÎÏ Å ÄÅÒ Å×Ï T ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌ Ï (Ó ÕÞÅ Ô ÏÍ
1 − 1) + (n 2 − 1) + 1 = n − 1 Ò Å ÂÒ Ï, ÞÔ Ï É
− 1 Ò Å ÂÒ Ï.
f . äÒÕÇ Ï Å | b, ,
îÁÚ×ÁÎÎÙÅ
ÄÅÒ
Å×ØÑ
ÎÁ ÒÉÓ.
ðÒ Ó Ó,
7.8,
ÍÏ
ÖÎÏ
ÓÏ ÂÉÔØ ÄÌÑ Ò Å-
ÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ
ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ
ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ
îÕÖÎÏ Ï ÓÔÒ Ï ÉÔ
Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÏÒÏÄÏ×.
éÚ×ÅÓÔÎÁ
ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØ-
ÓÔ×Á ÏÔÒÅÚËÁ
ÍÅÖÄÕ
ÌÀÂÏÊ
ÇÏÒÏÄÏ×.
ÎÁÊÔÉ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ
ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ.
b egin
E ′ : = E \{ e }
while
b egin
e ′ : = Ò Å ÂÒ Ï ÉÚ E ′ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇ Ï ×Å ÓÁ;
∪{ e ′ } ;
E ′ : = ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï Ò Å Â ÅÒ ÉÚ E ′ \{ T } ,
ÞØÅ
ÄÏ
ÂÁ×Ì
ÅÎÉÅ
ÎÅ
×Å ÄÅ Ô
ÂÒÁÚ
Ï×ÁÎÉÀ
Ï×;
end
end
ðÒÉÍÅÒ
7.9. ÷ ÔÁÂÌ.
7.3 ÄÁÎÏ
ÒÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅ
(×
ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ
ÄÅÒ Å×ÎÑÍÉ A,
îÁÊÄÉÔ Å
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ Å Ï ÓÔ Ï×ÎÏ Å ÄÅÒ Å×Ï.
{ AC ; B C; C E ; D E } ÉÌÉ { AC ; B D ; C E ; D E } ×Å ÓÁ 23 ËÁÖÄÏ Å.
I I I äÁÎÉÉÌ
I éÏÇÁÎ
ÄÅÒ Å×ØÑ Ó Ë ÏÒÎÑÍÉ v
k ÏÔ ÄÅÌØ-
÷ÅÒÛÉÎÙ v
ÇÒÁÆÁ T | ÜÔ Ï ÓÙÎÏ×ØÑ
ÄÅÒ Å×Á T .
ÏÊ-Ô Ï
ÏÒÎÅÍ T
n Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
n(n
G ÉÍÅ ÅÔ
ÇÒÁÆÁ K
ðÅ Ô ÅÒ Ó ÅÎÁ P .
9. ðÏËÁÖÉÔ Å, ÞÔ Ï P ÎÅ Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
A;
− k Ò Å Â ÅÒ.
G ÉÍÅ
G Å ÓÔØ Â ÏÌ Å Å ÏÄÎÏÊ
G Ó ÏÄÅÒÖÉÔ ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒ Å 2k ×ÅÒÛÉÎ
T | ÜÔ Ï ÍÁË
> 0) Ë Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï ÉÍÅ ÅÔ (i + 1) ÓÙÎÁ.
÷ÅÒÛÉÎÙ u É v ÇÒÁÆÁ
ËÁËÉÍ-Ô Ï Ò Å ÂÒ ÏÍ e,
ÛÉÎÁÍ u É v .
(v
ÎÙÈ v .
(V
(V
E , × Ë Ï Ô ÏÒ ÏÍ ÎÅ Ô
ÆÁ G, Ë Ï Ô ÏÒ Ï Å ÚÁ ÄÁÅ ÔÓÑ
G ′ = (V ′ ; E ′ ), ×
− 1 v i ÓÏ Å ÄÉÎÅÎÁ Ò Å ÂÒ ÏÍ.
Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m
G Ó×ÑÚ ÅÎ É m =
G Ó×ÑÚ ÅÎ, ÁÕ ÄÁÌ
G ÎÏ
G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
G. áÌÇ Ï-
ÏÒÎÅÍ ËÁË ÏÇ Ï-Ô Ï ÄÒÕ-
Ò Å×Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
Ï×ÁÎÎÙÍÉ Ó v .
ÇÒÁÆÁ T ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ËÁËÉÈ-Ô Ï
ÎÁÊÔÉ ËÁË ÕÀ-Ô Ï ÉÎÆ ÏÒ-
if ÄÅÒ
then
else
if
ÏÒÎÑ then
else
if
Ë ÏÒÎÑ then
else
end
 ÕË×Á R, Á ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ
ÄÅÒ Å×Å ×ÅÒÛÉÎÙ K .
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á R
×ÉÄÉÍ, ÞÔ Ï R < T . úÎÁ-
ÞÉÔ, ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ
ÅËÌÀÞÁÅ ÔÓÑ
ÎÁ
Å×Ï
Å ÄÅÒ Å×Ï ×ÅÒÛÉ-
ÎÙ T . ÁË ËÁË R >
ÄÅÒ
Å×Ï
×ÅÒÛÉÎÙ M ÎÕÌ Å×Ï Å, ÔÏ
ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ
ÏÔ
ÄÅÒ Å×Ï, ÉÚ Ï ÂÒÁÖÅÎ-
ÎÏ Å ÎÁ ÒÉÓ.
7.28. ×ÓÔÁ×ÉÍ
L,
ÓÔÒ
ÏÉ× ÄÅÒ Å×Ï, Å
7.29.
ÎÁ ÒÉÓ.
7.28.
òÉÓÕÎÏË
áÌÇ ÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ
ÍÏ
ÖÎÏ
Ï×ÁÔØ
ÄÌÑ
Ó ÏÚÄÁÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇ Ï
ÄÅÒ Å×Á ÎÁ ÞÉÎÁ
ÎÕÌ
Å×ÏÇ Ï
ÄÅÒ
Å×Á
ÓÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ ÄÏ ÂÁ-
×ÌÑÑ ÎÏ×ÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ×
ÄÏ
ÂÎÏÍ
ÄÌÑ
ÎÁÓ
Å.
Ä×ÏÉÞÎÏ Å
b egin
b egin
end
end
R,
L.
A;
C;
K;
L;
R;
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ PER T |
Ev aluation and Review
e hnique. ÂÙÌÁ
É v ÏÒÇÒÁÆÁ G, Â Õ-
uv
×ÅÒÛÉÎ u É v × ÏÒ-
×ÅÒÛÉÎÙ u × v , É ÎÅ Â ÏÌ Å Å
ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ vu ÉÚ v
{ a; b; ; d } É ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×ÏÍ ÄÕÇ E = { ab; bd; b; db; d } .
− 1 v i Ë Ï Ô ÏÒ ÏÊ Ï ÂÒÁÚÕÅ Ô
ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ).
G ÎÁÚÙ×ÁÔØ
×ÅÒÛÉÎ v
ÎÁ v
G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
(A) âÉÏ Ô Å ÈÎÏÌ
(B) îÁ ÞÁÌØÎÙÊ
(C) ãÉÔ ÏÌ ÏÇÉÑ
(D) óÔÒÕËÔÕÒÁ
(E) üÎÚÉÍÏÌ ÏÇÉÑ
D,
(F) äÉÅ Ô ÏÌ ÏÇÉÑ
(G) ç ÅÎÎÁ Ñ ÉÎÖÅÎÅÒÉÑ
(H) âÉÏÌ ÏÇÉÑ
A ÄÏ
H. äÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ
ÍÅ ÔË ÏÊ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ v Ó
× ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï A(v ).
b egin
∈ V do
l abel :
whileÏ ÓÔÁÀÔÓÑ
∅ do
b egin
∈ V do;
\{ u } ;
{ B } , A(B) = { C } , A(C) = { H } , A(D) = { C } ,
A(A) =
{ D; G } , A(F) = { E } , A(G) = { C } É A(H) = ∅ .
A(E) =
ÓÔÁ×ÛÉÈ ÓÑ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ× A(v ).
{ B } , A(B) = { C } , A(C) = ∅ , A(D) = { C } ,
A(A) =
{ D; G } , A(F) = { E } É A(G) = { C } .
A(E) =
while.
C É Õ ÄÁÌÉÔØ
Û ÉÈÓ Ñ Í Î Ï Ö Å ÓÔ × A(v ).
{ B } , A(B) = ∅ , A(D) = ∅ , A(E) = { D; G } ,
A(A) =
{ E } É A(G) = ∅ .
A(F) =
∅ , A(D) = ∅ ,
{ D; G } , A(F) = { E } É A(G) = ∅ .
A(v
A(A) =
A(E) =
∅ , A(E) = { D; G } , A(F) = { E } É
A(G) =
{ G } , A(F) = { E } É
A(G) =
∅ , É A(F) = ∅ .
ïÓÔÁÎÅ ÔÓÑ Ô ÏÌØË Ï A(F) =
while.
F.
Ï×: H, C, B, A,
D, G, E,
F. ïÎ ÄÁÅ Ô
· M · M ÍÏ ÖÎÏ
∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n
− 1)
− 1)
b 1n
b 21 b 22 : : : b 2(n − 1) ÉÌÉ b 2n =
a 21 a 22 : : : a 2(n − 1) a 2n
− 1) a mn
− 1) b mn
b 12 : : : a 1n ÉÌÉ b 1n
11 ÉÌÉ
b 11 a 12 ÉÌÉ
a 21 ÉÌÉ = b 21 a 22 ÉÌÉ b 22 : : : a 2n ÉÌÉ b 2n :
E ∗ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑ E ÎÁ
Å ÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ
ÓÔÉ
G.
×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏÒÇÒÁÆÁ
ðÒÉÍÅÒ
8.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔ Å
ÄÏ
ÓÔÉÖÉÍÏ
ÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, Å ÄÓÔÁ-
8.3.
×Ì ÅÎÎÏÇ Ï ÎÁ ÒÉÓ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒ ÅÖÄÅ
×Ó ÅÇ Ï
ÓÍÅÖÎÏ ÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ.
(k
Å Ó ÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒ
(i;
j ), ÒÁ×ÅÎ é × Ô ÏÍ É
{ ÓÔ×Á
∗ . õ ÄÁ ÞÎÏ Å
∗ ÏÒÉÅÎ-
b egin
− 1 (i; j ) ÉÌÉ W k − 1 (i; k ) É W k − 1 (k ; j )
− 1 (i; k ) = ì, ÔÏ W k − 1 (i; k ) É W k − 1 (k ; j ) = ì, É ÚÎÁ ÞÅ-
− 1 (i; j ). éÎÁ ÞÅ Ç Ï×ÏÒÑ,
− 1 (i; k ) = é, ×ÙÞÉÓÌ ÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌ ÅÎÉÀ
− 1 (i; k ) É W k − 1 (k ; j ) . ðÒÉ ÜÔ ÏÍ i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ
ÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ
ÉÌÉ
ÉÚ
ÔÅËÕÝÅÊ
ÓÔÒÏËÉ i É ÔÅËÕÝÅÊ
ÓÔÒÏËÉ k . ç Ï×ÏÒÑ Â ÏÌ
ÁËË
ÕÒÁÔÎÏ,
×ÙÞÉÓÌ
ÅÎÉÉ W
ÓÌ Å ÄÕÀÝÉÍ Ï ÂÒÁÚ ÏÍ.
1. âÅÒ ÅÍ k -ÙÊ ÓÔ ÏÌÂ
2. óÔÒ ÏË ÕÓ ÎÏÍÅÒ
ÏÍ
(i
1;
n),
Ï Ô ÏÒ ÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅ ÓÔ Å
ÓÔ ÏÉÔ ì,
i-ÕÀ
ÓÔÒ
ÏË
ÉÚ 1-ÏÊ É 3-ÅÊ ÓÔÒ ÏË
Ë 5-ÏÊ É 1-ÏÊ
2-ÏÊ ÓÔÒ ÏËÁÍ ÉÚ W
Ò Å ÔØÑ ÓÔÒ ÏËÁ × W
2 3-ÅÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒ ÏË ÍÁ-
Ó ÅÞÅÎÉÉ 3-ÅÊ ÓÔÒ ÏËÉ É 3-Ç Ï
A Ë ÌÀÂ ÏÊ ÄÒÕ-
ÅÍÅÎÔÙ w (u; v ) ÚÁ ÄÁÀÔÓÑ
∞ ; Å ÓÌÉ u É v ÎÅ ÓÏ Å ÄÉÎÅÎÙ ÄÕÇ ÏÊ,
w (u; v ) =
d;
A 0 2 3 ∞ ∞∞
0 ∞∞ 5 D :
E ∞∞∞∞ 0 1
F ∞∞∞∞∞ 0
Ó×ÁÉ×ÁÅ ÔÓÑ ÞÉÓÌ Ï d[v
(A; v ), Å ÓÌÉ ÔÁËÁ Ñ ÓÕ-
ÒÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅ d[u℄ ÄÏ ÎÅ Å.
d[v ℄ ÂÕ ÄÅ Ô ÍÅÎÑÅ ÔÓÑ
ÞÅÎÉÑ d[v ℄ É Ï ÓÔÁ×ÛÉÅ
ÚÎÁ ÞÅÎÉÊ d[v ℄ ÓÒ Å ÄÉ
d[v
A B C D E F ×ÅÒÛÉÎÙ
ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁ ÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÏËÁ-
A D E ÒÁ×ÎÁ 5, Ô ÅË ÕÝÅ Å
ÚÎÁ ÞÅÎÉÅ d[E
ÚÎÁ ÞÅÎÉÑ d[v ℄.
×ÅÌÉÞÉÎÕ d[F
äÌÑ ×ÅÒÛÉÎ u É v ÞÅÒ ÅÚ
w (u; v ) ÍÙ Ï Â ÏÚÎÁ ÞÁÅÍ
A THTO(v ) ÅÞÉ-
b egin
∈ V do
for ËÁÖÄÏÊ
b egin
A THTO(v
b egin
∈ E do
d ′ : = d[u℄ + w (u; v )
b egin
d ′ < d[v ℄ then
if
b egin
d[v
A THTO(v
A THTO(u); v ;
− (v ), ÚÁÈ ÏÄÑÝÉÈ ×
ÈÏÄÁ ÜÔ ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÞÉÓÌ
ÄÕÇ
ÎÅ Å.
ïÂßÑÓÎÉÔ Å,
ÓÕÍÍÙ
ÉÓÈ ÏÄÁ É
ÌÕ ÚÁÈ ÏÄÁ ×Ó Å
×ÅÒÛÉÎ
ÏÒÇÒÁÆÁ
| Ó ÞÉ-
ÓÌ ÏÍ ÅÇ Ï ÄÕÇ.
þÔ Ï ÍÏ ÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ
ÞÉÓÌ
ÕË×
ÌÀÂ ÏÊ ÓÔÒ ÏË Å
ÓÍÅÖÎÏ ÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ?
ËÁË
Å ÔÉÒ Ï×ÁÔØ ÉÈ ÞÉÓÌ Ï ×
ÌÀÂ ÏÍ
8.3. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ
ÔÁË
ÏÊ
ÏÒÇÒÁÆ,
ÉÚ
Ë Ï Ô ÏÒ ÏÇ Ï
Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, Å ÓÌÉ
ÚÁÂÙÔØ
ÄÕÇ. ó ÄÒÕÇ ÏÊ
ÓÔ ÏÒ ÏÎÙ, Å ÓÌÉ ÄÌÑ
ÌÀÂ
ÏÊ
ÅÇ Ï ×ÅÒÛÉÎ
ÓÕÝÅ ÓÔ×ÕÅ Ô ×Å
ÄÕÝÉÊ
ÉÚ
×Ï ×Ô ÏÒÕÀ, ÔÏ ÔÁË ÏÊ
ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÌØÎÏ
Ó×ÑÚÎÙÍ
(Á) Å ÄÅÌÉÔ Å, ËÁËÉÅ
ÉÚ
Ó×ÑÚÎÙÈ
ÏÒÇÒÁÆ Ï×, Å ÄÓÔÁ×Ì ÅÎ-
ÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 8.6,
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÓÉÌØÎÏ
Ó×ÑÚÎÙÍÉ.
òÉÓÕÎÏË
8.6. ó×ÑÚÎÙÅ
ÏÒÇÒÁÆÙ
(Â) ïÂßÑÓÎÉÔ Å, ËÁË
ÎÕÖÎÏ
ÏÒÉÅÎÔÉÒ
Ï×ÁÔØ Ò Å ÂÒÁ ÇÁÍÉÌØÔ Ï-
ÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ (Ô. Å.
ÎÁÒÉÓ Ï×ÁÔØ
ÎÁ
ËÁÖÄÏÍ Ò Å ÂÒ Å ÓÔÒ ÅÌË Õ,
Å×ÒÁÔÉ× Å Å ×
ÄÕÇÕ),
ÞÔ Ï
ÂÙ
ÉÚ
ÎÅÇ Ï ÓÑ ÓÉÌØÎÏ
Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ.
8.6. ðÕ ÓÔØ M = M
(i;
{ 1; 2; 3; : : : ; n } .
ÓÔ×Ï ÄÅÎÔ Ï× A(v )
×ÅÒÛÉÎÙ v
G ÉÍÅ
÷ÙÞÉÓÌÉÔ Å M
Õ Ä Ï ÓÔÉ Ö ÉÍ Ï ÓÔÉM
×ÙÞÉÓÌÉÔ Å W
G ÉÚ
A;
ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S
ÏÔ S ÄÏ T .
= (V ;
E ), Ç ÄÅ
E | Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ
V . üÌ ÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏ
E ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÎÔ ÏÍ v .
− 1 v i Ï ÂÒÁ-
ÍÅ ÔË ÏÊ i É ×ÅÒÛÉÎÕ v
∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n
∗ Á ÄÌÑ ÌÀÂ ÏÇ Ï k > 1
k ÓÔÒ ÏÉÔÓÑ
1. âÅÒ ÅÍ k -ÙÊ ÓÔ ÏÌÂ
Ë v , ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÒÁÓ-
ÓÔ ÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ
190 çÌÁ×Á
8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ
ÇÒÁÆÙ
ðÒ ÄÕÒÁ äÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÔ ÏÑÎÎÏ Ë ÏÒÒ ÅËÔÉ-
ÒÕÅ Ô ÓËÎÕÀ
ÓÏ
ÂÎÏ
ÓÔØ
ÌÉÎÉÊ
ÕÞÅ Ô ÏÍ
Å ÂÎÏ ÓÔÉ. þÔ Ï ÂÙ
ÄÁÔØ ×ÏÚÍÏ ÖÎÏ ÓÔØ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ
ÕÚÌÁÍ
ÅÛÁÔØ, Ë ÏÇ ÄÁ É Ë Õ ÄÁ
Ò Å ÄÁ×ÁÔØ ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆ
ÒÁÚÒÁÂ
Ï ÔÁÎ
ÉÌÉ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Ï
ëÁÖÄÙÊ ÕÚ ÅÌ
ÄÅÒÖÉ×ÁÅ Ô
Ó×ÏÀ
ÔÁË ÞÔ Ï
ÚÁ ÄÁ ÞÁ
ÄÁ
ÞÉ
ÓÏ
ÂÝÅÎÉÊ
ÒÁÓÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÁ ×Ó ÅÊ
Ó Å ÔÉ.
òÉÓÕÎÏË
8.9. óÅÍÉÕÚÌ
Ï×Á
Ó Å ÔØ
ëÁÖÄÙÊ ÕÚ ÅÌ Ó Å ÔÉ,
ÉÚ
ÂÒÁÖÅÎÎÏÊ
ÎÁ
ÒÉÓ.
8.9, ÏÇ ÏÎÑÅ Ô ÁÌÇ Ï-
ÒÉÔÍ äÅÊË ÓÔÒÙ ÄÌÑ
ÄÅÌ
ÅÎÉÑ
ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ
Ë ÄÒÕÇÉÍ ÕÚÌÁÍ
É Ï ÓÔÒÁÎÑÅ Ô ÜÔÕ
ÉÎÆ
ÄÅÒ
Å×Õ,
ÞÅÊ Ë ÏÒ ÅÎØ ÓÏ Ï Ô×Å Ô-
ÓÔ×ÕÅ Ô ÄÏÍÁÛÎÅÍÕ
ÕÚÌÕ.
ÄÌÑ
ÕÚÌÁ
1 ÓÏ Ï Ô×Å ÔÓÔ×ÕÀÝÅ Å
8.10.
ÄÅÒ Å×Ï ÎÁ
ÒÉÓ.
òÅÁÌØÎÏ, ÄÌÑ
ÄÁ
ÞÉ
ÓÏ
ÂÝÅÎÉÊ
ÌÀÂ
ÏÍÕ
ÕÚÌÕ ÔÒ Å Â ÕÅ ÔÓÑ ÔÁÂÌÉ-
× Ë Ï Ô ÏÒ ÏÊ ÕËÁÚÁÎÙ
ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ
ÓÏ
ÓÅ
ÄÉ
ÄÌÑ
Å ÄÁ ÞÉ ÓÏ Ï ÂÝÅÎÉÑ
Ô ÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ Á ÄÒ
ÓÁÔÕ
ÁËÁ
Ï ÔÎÏ ÓÑÝÁ ÑÓÑ Ë ÕÚÌÕ 1,
ÄÅÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ.
8.4).
8.4
áÄÒ Å ÓÁÔ
óÌ Å ÄÕÀÝÉÊ
ÕÚ
ÅÌ
1 ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ
ÓÏ
ÓÅ
ÄÅÊ
ÜÔ ÏÍ
ÏÎÔ ÅË
ÓÔ Å
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁÒÛÒÕ-
Ô Ï×. | ðÒÉÍ. .
A THTO(6) = 2; 3;
A THTO(6)
∨ q É p ∧ q (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2).
ÅÍÅÎÎÙÅ p É q ÎÁ
∨ q | ÎÁ (P ÉÌÉ Q), Á p ∧ q | ÎÁ (P É Q).
∧ q = q ∧ p,
∨ q = q ∨ p;
∧ (q ∧ r ) = (p ∧ q ) ∧ r ,
∨ (q ∨ r ) = (p ∨ q ) ∨ r ;
∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ),
∨ (q ∧ r ) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r );
∧ p = p,
∨ p = p;
∧ (p ∨ q ) = p,
∨ (p ∧ q ) = p;
(p
(p
∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ):
∧ (q ∨ r ) É (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ) ÜË×É×ÁÌ ÅÎÔÎÙ.
∧ (q ∨ r )
∧ q ) ∨ (p ∧ r )
pqrp
(p
∧ q ) ∧ (p ∨ q ) ÜË×É-
∧ q ) ∧ (p ∨ q ) = ( p) ∨ q ∧ (p ∨ q ) = (ÚÁË ÏÎ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ)
∨ q ) ∧ (p ∨ q ) =
∧ q = 0)
ËÁË q
−→ B , ÞÔ Ï f (p 1 ; p 2 ; : : : ; p n ) |  ÕÌ Å×Ï
ÁË ËÁË m(p; q ; r
∧ q ∧ r ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ
∧ q ∧ r = 1 ⇔ p = 0; q = r = 1: ∧ q ∧ r = 1 ⇔ p = 0; q = r = 1:
ÜÔ ÏÍÕ m(p; q ; r ) = p
f 1 ∨ f 2 ∨···∨ f s ÒÁ×ÎÏ 1 Ô ÏÇ ÄÁ É Ô ÏÌØË Ï Ô ÏÇ ÄÁ, Ë ÏÇ ÄÁ ÓÒ Å ÄÉ
f i ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ
∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ):
∧ q ) ∨ ( q ∧ r ).
∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ):
∨ q , p ∧ q É ÏÄÎÏÊ
∨ q ) = p ∧ q . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ,
∨ q = ( p ∧ q ):
∧ É , Ô. Å. { p ∧ q ; p } | ÔÏ ÖÅ
∧ q ):
(p
∨ q É p ∧ q ÍÏ ÖÅ Ô ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒ ÅÚ îå{é .
∧ p) = p îå{é p:
(p
∨ q = ( p ∧ q ) = (p îå{é p) ∧ (q îå{é q ) =
(q îå{é q ):
∧ q = (p ∧ q ) = (p îå{é q ) =
(p îå{é q ):
∨ pq r ∨ p q r ×ÍÅ ÓÔ Ï
∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ):
pqr
∨ pq r ∨ p q r = ( pr q ∨ pr q ) ∨ p q r =
∨ q = 1:
p, q É r ËÁÒ ÔÁ ëÁÒÎÏ
∨ p q r ∨ p q r ÉÚ Ï ÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3.
∨ pq r ∨ p q r
∨ pq r ∨ p q r
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pq r
∨ pq r ∨ p q r
∨ p q r ∨ p q r = pq r ∨ (p q r ∨ pq r ) =
pq r
∨ pr ( q ∨ q ) = p q r ∨ pr :
= pqr
∨ p q r ∨ pq r ∨ pq r ∨ pq r :
∨ p q r ∨ p q r ∨ pq r ∨ pq r
∨ pq r ∨ pq r ∨ pq r ;
∨ p q r ∨ pq r ∨ pq r = (p ∨ p)q r ∨ (p ∨ p)q r =
pq r
∨ q r = q (r ∨ r ) = q :
∨ p q r = p r (q ∨ q ) = p r :
ÚÁÍÅ ÔÉÔØ, ÞÔ Ï ÍÉÎÔ ÅÒÍ pq r
f ∨ f , Ç ÄÅ f |
∨ q ) ∧ r ∨ (q ∨ r ):
∨ p q r É p q r ∨ p q r . ðÏ ÓÌ Å ÉÈ
íÁË-ëÌÁÓËÉ. ïÎ ÄÏ×ÏÌØÎÏ
ab
∨ p q r ; pq r
∨ p q r ∨ pq r
7 pq
pq r
∨ p qr ∨ pq r.
∨ p q r ∨ pq r
∨ p q r = (q ∨ q )pr = pr :
pq
∨ pr , Ë Ï Ô ÏÒ Ï Å, ××ÉÄÕ ÄÉÓÔÒÉ-
∨ r ).
p(q p(q
p(q r) r
∨ r ),
∨ r ) = p îå{é (q ∨ r ) îå{é p îå{é (q ∨ r ) :
p(q
á ×Ï-×Ô ÏÒÙÈ,
∨ r = (q îå{é q ) îå{é (r îå{é r ):
p (q
∧ q ) ∧ (r ∨ (p ∧ q ))) = p ∨ q .
∧ ( q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r )
(p
∨ q ):
(p
∨ p q r ∨ pq r ∨ pq r
pq
∨ ( q ∧ r ):
qr
pq
pq
Å Î É Ñ p îå{éìé q ,
Î É Ñ q îå{éìé q =
r îå{é r .)
−→ B , ÞÔ Ï f (p 1 ; p 2 ; : : : ; p n ) |  ÕÌ Å×Ï
∧ q = q ∧ p,
∨ q = q ∨ p;
∧ (q ∧ r ) = (p ∧ q ) ∧ r ,
∨ (q ∨ r ) = (p ∨ q ) ∨ r ;
∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ),
∨ (q ∧ r ) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r );
∧ p = p,
∨ p = p;
∧ (p ∨ q ) = p,
∨ (p ∧ q ) = p;
(p
(p (p
ab
é îå-é
2-ÂÉÔÎÏÇÏ
2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔ ÏÒ
ÓÈ ÅÍÙ 2-ÂÉÔÎÏÇ Ï
ðÕ ÓÔØ x É y Ï Â ÏÚÎÁ
ÓÌ Ï ÖÉÔØ, Á u É v |
∨ x y (ÓÌÏÖÅÎÉÅ
ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, u = xy (ÒÁÚÒÑÄ
ÒÅÎÏÓÁ ) É v = xy
b 2-áèòíûé
e,
2 d.
g . óËÌÁ-
f . îÁË Ï-
e,
ÉÚ u
2-ÂÉÔÎÏÇ Ï ÓÕÍÍÁÔ ÏÒÁ ÎÁ
1 ∨ u 3 = 1 ∨ 0 = 1, ÞÔ Ï ÄÁÅ Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e = 1.
a Ïîëóáèòíûé
b ñóììàòîð 1
c Ïîëóáèòíûé
d ñóììàòîð 2
01 ⇒ u 1 = 0 É v 1 = 1;
10 ⇒ u 2 = 1 É v 2 = 0 (Ï ÔË Õ ÄÁ g = 0):
10 ⇒ u 3 = 1 É v 3 = 0 (Ï ÔË Õ ÄÁ f = 0):
îÁË
1 ∨ u 3 = 0 ∨ 1 = 1;
a Ïîëóáèòíûé
b ñóììàòîð
Ïîëóáèòíûé
ñóììàòîð
d 2-áèòíûé i
e ñóììàòîð j
òÉÓÕÎÏË
9.22. Ñ
ÓÈ
ÅÍÁ
3-ÂÉÔÎÏÇ Ï ÓÕÍÍÁÔ ÏÒÁ
úÁ ÄÁ ÞÁ
4. ðÒ Ï×ÅÒØÔ Å,
ÞÔ Ï
ÓÈ
ÅÍÁ
ÉÚ
ÒÉÓ.
9.22 ×ÙÞÉÓÌÑÅ Ô
ÓÌ Å ÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ:
(Á) 110 +
2 011;
(Â) 101 +
2 111.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÁÍ ÓÌ Å
ÄÕÅ Ô
1001
ÓÌÕÞÁÅ (Á) É 10 × ÓÌÕ-
ÞÁÅ (Â).
= 6 n ÎÁ
i < n. | ðÒÉÍ. .
sum
k < 12?
Ô Ï× n
1 BG 6
2 DE 5
3 EF 4
4 AB 3
5 BC 3
6 CD 3
7 EG 3
9 AF 2
10 CE 2
11 CG 1
11 É m =
BG, DE, EF,
AB É
EG. ïÓÔÁÅ ÔÓÑ
⇒ Q,
2.1. (Á) PÉ (ÎÅ Q),
⇒ (ÎÅ Q).
⇒ (ÎÅ Q).
⇒ (ÎÅ Q))
⇒ ÎÅ P
P ÎÅ PPÉ
(P
)) P
⇒ Q)
⇒ Q)) ⇒ Q
´ ` ⇒ ´ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ R (ÎÅ P ) ⇒ R É Q ⇒ R
PQRPQ (ÎÅ P
⇒ Q) ⇒ R
∀ x P (x);
∃ x : ÎÅ P (x);
∀ x ÎÅ P (x).
∀ x P (x) (Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (Á) Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
∃ x : P (x). åÇ Ï ÓÌ Å-
ÔÁ × ÉÔ Ø × × É Ä Å n = 2a É
m = 2b, Ç
a,
2a +
2b =
2(a + b);
+ m.
n + m | ÎÅÞÅ ÔÎÏ Å
ÇÁÅÍÙÈ n É m Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ
ÞÉÓÌÁ, ÔÏ m = 2a É n =
··· + (4n − 3) = n(2n − 1)
ÞÅÒ ÅÚ P (n). ðÒÉ
ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÔØ P (k
··· + 4(k + 1) − 3 = 1 + ··· + (4k − 3) + (4k + 1) =
− 1) + (4k + 1) =
2 2 + 1 ··· + n 2 = n(n + 1)(2n + 1):
ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÔØ P (k + 1).
··· + (k + 1) 2 = 1 2 +
P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×Ó Å È
− 1) · (2n + 1)
1 (2n
2n +
åÓÌÉ n =
− 1 2(k + 1) + 1
1 2(k
− 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3)
(2k + 1)(2k
úÎÁ ÞÉÔ, P (n) ÉÍÅ ÅÔ
3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÞÅÒ ÅÚ P (n).
1 3 − 1 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1)
− 3 + 3k 2 + 2k =
(k + 1)
3 − k ) + 3k 2 + 3k :
(k
3 − k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 Å
3 − k ) + 3k 2 + 3k ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ
É (k
⇒ P (k + 1),
P (n) ×ÅÒÎÏ
1 · 1! + 2 · 2! + ··· + n · n! = (n + 1)! − 1:
1 · 1! + 2 · 2! + ··· + (k + 1) · (k + 1)! =
1 · 1! + 2 · 2! + ··· + k · k ! + (k + 1) · (k + 1)! =
− 1 + (k + 1)!(k + 1) =
= (k
− 1 = (k + 2)! − 1;
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k + 1), ÞÔ Ï É ÔÒ Å-
− 1 . ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ n = 1 ×
P (k ) ×ÅÒÎÏ
ÉÓÔÉÎÎÏ ÓÔØ P (k + 1).
úÎÁ ÞÉÔ, P (n)
2 − x 1 = 2 · 2 − 1 = 3;
2x
3 − x 2 = 2 · 3 − 2 = 4;
2x
4 − x 3 = 2 · 4 − 3 = 5:
éÓÔÉÎÎÏ ÓÔØ P (1) ÉP (2)
(3), P (4) ÉP (5).
− 1) É P (k ). ÏÇ ÄÁ
×ÁÎÉÑ P (k
− x k − 1 = 2k − (k − 1) = k + 1:
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k + 1) ÉÚ
− 1) É P (k ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ,
(k
Å ÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅ
{ 3n − 1 : n
∈ N}
(Â) S =
T = 1=(2 n
{ − 1) : n ∈ N} .
{ p; q ; r ; s; t; u } ;
{ p; s } ;
{ p; r ; s; u; v } ;
{ u; w } ;
A ∪ B ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ ×Ó Å È ÓÌ Ï× ÓÌ Ï×ÁÒÑ.
B △ C ÍÏ ÖÎÏ
∪ C ) \ (B ∩ C ), Á ÓÌ Ï×Ï ÓÔÒ Å Ó Ó
A \ B = { 3n : n ∈Z É n > 4; É n| ÎÅÞÅ ÔÎÏ } .
A \ B = { 6k + 3 : k ∈Z É k > 2 } .
∈ A ∩ (B ∪ C ), ÔÏ x ∈ A É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ C ) .
åÓÌÉ x
∈ A) É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ A) É (x ∈ C ) :
(x
∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔ ÅËÁÅ Ô
A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ).
A Ç B- ãîðç. øòðèõîâêà ( A Ç B ) È ( A Ç C )
A Ç C- âåðò. øòðèõîâêà
B D C A Ç (D) B C
A Ç B- ãîðç. øòðèõîâêà ( A Ç B ) D ( A Ç C )
A Ç C- âåðò. øòðèõîâêà
A,
A ÎÅ
Ï ÔÉ×ÏÒ ÅÞÉÔ ÒÁ×ÅÎ- Ï ÔÉ×ÏÒ ÅÞÉÔ ÒÁ×ÅÎ-
A ∪ (B △ C ) = (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). ÷ ÞÁÓÔÎÏ ÓÔÉ,
{ 1; 2 } , B = { 3; 4 } É C = { 4; 5 } . ÏÇ ÄÁ
B △ C = { 3; 5 }
A ∪ (B △ C ) = { 1; 2; 3; 5 } :
A ∪ B = { 1; 2; 3; 4 } ; A ∪ C = { 1; 2; 4; 5 }
∪ B ) △ (A ∪ C ) = { 3; 5 } :
∩ B ) ∪ B = (A ∪ B ) ∪ B = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É
(A
A ∪ (B ∪ B ) = (Ú.
A ∪ B (Ú.
∩ (B ∪ C )) = A ∪ (B ∪ C ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É
(A
A ∪ B ∪ C (ÓÌ Å ÄÓÔ×ÉÅ Ú.
∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) =
(A
∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) =
(B
∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ :
\ B ) \ C = (A ∩ B ) \ C =
(A
(A
A ∩ (B ∩ C ) = (××ÉÄÕ
A ∩ (B ∪ C ) =
A \ (B ∪ C )
A △ A = (A \ A) ∪ (A \ A) =
\ A) =
\∅ ) ∪ ( ∅ \ A) =
(A
∩∅ ) ∪ ( ∅ ∩ A) =
(A
A ∪∅ =
A ∗ A = (A ∩ A) = A: A ∗ A = (A ∩ A) = A:
∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∗ B = (A ∩ B ) = A ∪ B :
∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = (A ∗ B ) =
(A
∩ B )) =
((A
ÖÉÍ, ÞÔ Ï Ï ÂÌÁÓÔØ i Ó Ï-
ÄÅÒÖÉÔ n
i ÜÌ ÅÍÅÎÔ Ï×.
= (n
(n
+ (n
= 3n
1 + 2n
2n
2n
= (n
(n
(n
= 3n
| A | + | B | + | C |−
−| A ∩ B |−| B ∩ C |−| A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | =
− 3n 1 − n 2 − n 3 − n 4 + n 1 =
| A ∪ B ∪ C | = 25 + 27 + 12 − 20 − 5 − 3 = 36:
C \ (A ∪ B ), ÓË ÏÌØ-
\ A) ∪ (C ∩ A):
(C
| C | = 12 É | C ∩ A | = 5. úÎÁ ÞÉÔ,
| C \ A | = 12 − 5 = 7. ÎÕÖÎÏ Ï ÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ Ô Ï, ÞÔ Ï Ë
C \ A Ï ÔÎÏ ÓÑÔÓÑ ÓÔÕ ÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ
C \ A ÍÏÇÕÔ Ï ÓÔÁÔØÓÑ
\ A) \ B . äÌÑ
\ A) \ B = | C \ A |− (C \ A) ∩ B :
(C
\ A) ∩ B .
\ A) ∩ B = C ∩ B ⇒ (C \ A) ∩ B = C ∩ B = 3:
(C
A × B ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (a; b), Ç ÄÅ
a ∈ A É b ∈ B . åÓÌÉ A × B = B × A, ÔÏ
A × B ÄÏÌÖÎÁ
(a; b) ÉÚ ÍÎÏ ÖÅ ÓÔ×Á
B × A, Ô. Å. a ∈ B É b ∈ A.
a ∈ A É ÌÀÂ ÏÇ Ï b ∈ B , ÍÙ
A × C ÓÏ ÓÔ ÏÉÔ ÉÚ
(a; ), × Ë Ï-
a ∈ A É ∈ C . åÓÌÉ A × B = A × C , ÔÏ (a; ) ∈ A × B ,
∈ B . üÔ Ï ÎÁÍ ÄÁÅ Ô ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: C ⊂ B . íÅÎÑÑ × ÎÁ-
B ⊂ C . óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, B = C .
C ÍÅ
∈ A × (B ∩ C ). ÏÇ ÄÁ x = (a; t); Ç ÄÅ a ∈ A É
3.11. (Á) ðÕ ÓÔØ x
∈ (B ∩ C ). óÌ Å ÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, t ∈ B , Ô. Å. (a; t) ∈ A × B É,
∈ C ⇒ (a; t) ∈ A × C . úÎÁ ÞÉÔ, (a; t) ∈
× B ) ∩ (A × C ). éÎÙÍÉ ÓÌ Ï×ÁÍÉ,
(A
A × (B ∩ C ) ⊂ (A × B ) ∩ (A × C ):
∈ (A × B ) ∩ (A × C ), ÔÏ x ∈ A × B É