Mate matika racunalom 2.zadaca 2007

ˇ
´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA
KONRAD BURNIK

1. zadatak
Zadatak 1. Neka je (ak , ak−1 , . . . , a1 , a0 )b zapis broja s ciframa ak , . . . , a0 u bazi
b. Za cijele brojeve 2 ≤ b ≤ 16, 0 ≤ k ≤ 8 i 2 ≤ n ≤ b − 1 odredite sva rjeˇsenja
jednakosti (ak , ak−1 , . . . , a1 , a0 )b = n(a0 , a1 , . . . , ak−1 , ak )b .
Rjesenje 1. Potrebno je podijeliti pretragu za svaku bazu b posebno.
Cilj je saznati neˇsto o strukturi brojeva koji zadovoljavaju gornju jednakost.
Za dani n, brojeve ˇzelimo izgraditi induktivno po broju znamenki k, tj. od onih
s manjim brojem znamenki prema onima s ve´cim brojem znamenki, a da i dalje
vrijedi jednakost za taj isti n. Za testiranje jednakosti definiramo funkciju:
Test[n_, b_] := (FromDigits[IntegerDigits[n*#, b], b] ==
FromDigits[Reverse[IntegerDigits[#, b]], b] &)
koju koristimo kao predikat pri selekciji.
Za fiksnu bazu b, 2 ≤ b ≤ 16, najprije traˇzimo brojeve do najviˇse 5 znamenki
(k = 4) i brojeve n, 2 ≤ n ≤ b − 1 koji zadovoljavaju jednakost. Brojeve generiramo
pomo´cu Table, po broju znamenki, i zatim radimo selekciju onih koji zadovoljavaju

Test[n,b].
Nakon ˇsto generiramo sve brojeve do 5 znamenki koji zadovoljavaju Test[n,b],
iz njih ´cemo uoˇciti da za fiksni b i n, prva i zadnja znamenka traˇzenih brojeva se
ne mijenjaju kada se broj znamenki pove´cava. To svojstvo koristimo kao osnovu za
dobivanje brojeva s ve´cim brojem znamenki.
Drugo ˇsto moˇzemo primjetiti jest da se ˇcak i odredeni prefiksi i sufiksi broja ne
mijenjaju kad se broj znamenki pove´cava. Tako moˇzemo dobiti traˇzene brojeve s
joˇs ve´cim brojem znamenki.
U idu´coj tablici dan je popis svih rjeˇsenja dobiven ovim postupkom: (za n = 1
dobivamo simetriˇcne brojeve u danoj bazi.)
(* baza 2 *)
Nema takvih brojeva za n>1.
(* baza 3 *)
(*n=2*)
{ 1012, 10212, 102212, 1022212, 10121012, 10222212,
101201012, 102222212 }
1

2

KONRAD BURNIK

(* baza 4*)
(*n=3*)
{ 1023, 10323, 103323, 1033323, 10231023, 10333323,
102301023, 103333323 }
(*baza 5*)
(*n=2*)
{ 13, 143, 1313, 1443, 13013, 14443, 130013, 131313,
143143, 144443, 1300013, 1314313, 1430143, 1444443,
13000013, 13013013, 13131313, 13144313, 14300143,
14313143, 14431443, 14444443, 130000013, 130143013,
131301313, 131444313, 143000143, 143143143, 144301443,
144444443 }
(*n=4*)
{ 1034, 10434, 104434, 1044434, 10341034, 10444434,
103401034, 104444434 }
(* baza 6 *)
(*n=2*)
{ 2134, 21534, 215534, 2155534, 21342134, 21555534,

213402134, 215555534 }
(*n=5*)
{ 1045, 10545, 105545, 1055545, 10451045, 10555545,
104501045, 105555545 }
(* baza 7 *)
(*n=3*)
{ 15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515,
165165, 166665, 1500015, 1516515, 1650165, 1666665,
15000015, 15015015, 15151515, 15166515, 16500165,
16515165, 16651665, 16666665, 150000015, 150165015,
151501515, 151666515, 165000165, 165165165, 166501665,
166666665 }
(*n=6*)
{ 1056, 10656, 106656, 1066656, 10561056, 10666656,
105601056, 106666656 }
(* baza 8 *)
(*n=2*)
{ 25, 275, 2525, 2775, 25025, 27775, 250025, 252525,

ˇ

´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA

275275, 277775, 2500025, 2527525, 2750275, 2777775,
25000025, 25025025, 25252525, 25277525, 27500275,
27525275, 27752775, 27777775, 250000025, 250275025,
252502525, 252777525, 275000275, 275275275, 277502775,
277777775 }
(*n=3*)
{ 2156, 21756, 217756, 2177756, 21562156, 21777756,
215602156, 217777756 }

(*n=5*)
{ 1015, 11165, 102515, 1354535, 1016015, 1127665,
11176165, 11277665, 10151015, 10252515, 111661165,
112777665 }
(*n=7*)
{ 1067, 10767, 107767, 1077767, 106701067, 107777767,
10671067, 10777767 }

(* baza 9 *)
(*n=2*)
{ 3256, 32856, 328856, 3288812, 32563256, 32888856,
325603256, 328888856 }
(*n=4*)
{ 17, 187, 1717, 1887, 17017, 18887, 170017, 171717,
187187, 188887, 1700017, 1718717, 1870187, 1888887,
17000017, 17017017, 17171717, 17188816, 18700187,
18717187, 18871887, 18888887, 170000017, 170187017,
171701717, 171888717, 187000187, 187187187, 188701887,
188888887 }
(*n=8*)
{ 1078, 10878, 108878, 1088878, 10781078, 10888878,
107801078, 108888878 }
(* baza 10 *)
(*n=4*)
{ 2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978,
217802178, 219999978 }
(*n=9*)
{ 1089, 10989, 109989, 1099989, 10891089, 10999989,

3

4

KONRAD BURNIK

108901089, 109999989 }
(* baza 11 *)
(*n=2*)
{ 37, 3a7, 3737, 3aa7, 37037, 3aaa7, 370037, 373737,
3a73a7, 3aaaa7, 3700037, 373a737, 3a703a7, 3aaaaa7,
37000037, 37037037, 37373737, 373aa737, 3a7003a7,
3a7373a7, 3aa73aa7, 3aaaaaa7, 370000037, 3703a7037,
373703737, 373aaa737, 3a70003a7, 3a73a73a7, 3aa703aa7,
3aaaaaaa7 }
(*n=3*)
{ 14, 28, 154, 2a8, 1414, 1554, 1694, 2828, 2968,
2aa8, 14014, 15554, 16a94, 28028, 29568, 2aaa8,
140014, 141414, 142814, 2122a3, 155554, 156954, 168294,

169694, 16aa94, 280028, 281428, 282828, 294168, 295568,
296968, 2a82a8, 2a96a8, 2aaaa8, 1400014, 1415414,
142a814, 1540154, 1555554, 156a954, 1680294, 1695694,
16aaa94, 2800028, 2815428, 282a828, 2940168, 2955568,
296a968, 2a802a8, 2a956a8, 2aaaaa8, 14000014, 14014014,
14028014, 14141414, 14155414, 14169414, 14282814,
14296814, 142aa814, 15400154, 15414154, 15428154,
15541554, 15555554, 15569554, 15682954, 15696954,
156aa954, 16800294, 16814294, 16828294, 16941694,
16955694, 16969694, 16a82a94, 16a96a94, 16aaaa94,
28000028, 28014028, 28028028, 28141428, 28155428,
28169428, 28282828, 28296828, 282aa828, 29400168,
29414168, 29428168, 29541568, 29555568, 29569568,
29682968, 29696968, 296aa968, 2a8002a8, 2a8142a8,
2a8282a8, 2a9416a8, 2a9556a8, 2a9696a8, 2aa82aa8,
2aa96aa8, 2aaaaaa8, 140000014, 140154014, 1402a8014,
141401414, 141555414, 1416a9414, 142802814, 142956814,
142aaa814, 154000154, 154154154, 1542a8154, 155401554,
155555554, 1556a5819, 156802954, 156956954, 156aaa954,
168000294, 168154294, 1682a8294, 169401694, 169555694,

1696a9694, 16a802a94, 16a956a94, 16aaaaa94 }
(*n=5*)
{ 19, 1a9, 1919, 1aa9, 19019, 1aaa9, 190019, 191919,
1a91a9, 1aaaa9, 1900019, 191a919, 1a901a9, 1aaaaa9,
19000019, 19019019, 19191919, 191aa919, 1a9001a9,
1a9191a9, 1aa91aa9, 1aaaaaa9, 190000019, 1901a9019,
191901919, 191aaa919, 1a90001a9, 1a91a91a9, 1aa901aa9,
1aaaaaaa9 }

ˇ
´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA

(*n=7*)
{ 118, 1298, 11918, 12a98, 118118, 12aa98, 1180118,
1191918, 1299298, 12aaa98, 11800118, 11929918, 12981298,
12aaaa98, 129801298, 129919298, 12a992a98, 12aaaaa98,
118000118, 118118118, 119191918, 1192a9918 }
(*n=10*)

{ 109a, 10a9a, 10aa9a, 10aaa9a, 109a109a, 10aaaa9a,
109a0109a, 10aaaaa9a }
(* baza 12 *)
(*n=2*)
{ 4378, 43b78, 43bb78, 43bbb78, 43784378, 43bbbb78,
437804378, 43bbbbb78 }
(*n=3*)
{ 3289, 32b89, 32bb89, 32bbb89, 32893289, 32bbbb89,
328903289, 32bbbbb89 }
(*n=5*)
{ 219a, 21b9a, 21bb9a, 21bbb9a, 219a219a, 21bbbb9a,
219a0219a, 21bbbbb9a }
(*n=11*)
{ 10ab, 10bab, 10bbab, 10bbbab, 10ab10ab, 10bbbbab,
10ab010ab, 10bbbbbab }
(* baza 13 *)
(*n=5*)
{ 18, 198, 1818, 1998, 18018, 19998, 180018, 181818,
198198, 199998, 1800018, 1819818, 1980198, 1999998,
18000018, 18018018, 18181818, 18199818, 19800198,

19818198, 19981998, 19999998, 180000018, 180198018,
181801818, 181999818, 198000198, 198198198, 199801998,
199999998 }

(*n=6*)
{ 1b, 1cb, 1b1b, 1ccb, 1b01b, 1cccb, 1b001b, 1b1b1b,
1cb1cb, 1ccccb, 1b0001b, 1b1cb1b, 1cb01cb, 1cccccb,
1b00001b, 1b01b01b, 1b1b1b1b, 1b1ccb1b, 1cb001cb,
1cb1b1cb, 1ccb1ccb, 1ccccccb, 1b000001b, 1b01cb01b,
1b1b01b1b, 1b1cccb1b, 1cb0001cb, 1cb1cb1cb, 1ccb01ccb,

5

6

KONRAD BURNIK

1cccccccb }
(*n=12*)
{ 10bc, 10cbc, 10ccbc, 10cccbc, 10bc10bc, 10ccccbc,

10bc010bc, 10cccccbc }
(* baza 14 *)
(*n=2*)
{ 49, 4d9, 4949, 4dd9, 49049, 4ddd9, 490049, 494949,
4d94d9, 4dddd9, 4900049, 494d949, 4d904d9, 4ddddd9,
4d9004d9, 4d9494d9, 4dd94dd9, 4dddddd9, 49000049,
49049049, 49494949, 494dd949, 4d90004d9, 4d94d94d9,
4dd904dd9, 4ddddddd9, 490000049, 4904d9049, 494904949,
494ddd949 }
(*n=3*)
{ 1a735, 1a8c35, 1a8dc35, 1a8ddc35, 1a8dddc35 }
(*n=4*)
{ 2b, 2db, 2b2b, 2ddb, 2b02b, 2dddb, 2b002b, 2b2b2b,
2db2db, 2ddddb, 2b0002b, 2b2db2b, 2db02db, 2dddddb,
2b00002b, 2b02b02b, 2b2b2b2b, 2b2ddb2b, 2db002db,
2db2b2db, 2ddb2ddb, 2ddddddb, 2b000002b, 2b02db02b,
2b2b02b2b, 2b2dddb2b, 2db0002db, 2db2db2db, 2ddb02ddb,
2dddddddb }
(*n=6*)
{ 21bc, 21dbc, 21ddbc, 21dddbc, 21bc21bc, 21ddddbc,
21bc021bc, 21dddddbc }

(*n=9*)
{ 1419b, 142c9b, 142dc9b, 142ddc9b, 1419c419b, 142dddc9b }
(*n=13*)
{ 10cd, 10dcd, 10ddcd, 10dddcd, 10cd10cd, 10ddddcd,
10cd010cd, 10dddddcd }

(* baza 15 *)
(*n=2*)
{ 549a, 54e9a, 54ee9a, 54eee9a, 549a549a, 54eeee9a,

ˇ
´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA

549a0549a, 54eeeee9a }
(*n=3*)
{ 3b, 3eb, 3b3b, 3eeb, 3b03b, 3eeeb, 3b003b, 3b3b3b,
3eb3eb, 3eeeeb, 3b0003b, 3b3eb3b, 3b00003b, 3b03b03b,
3b3b3b3b, 3b3eeb3b, 3eb003eb, 3eb3b3eb, 3eeb3eeb,
3eeeeeeb, 3b3b03b3b, 3b3eeeb3b, 3eeb03eeb, 3eeeeeeeb,
3b000003b, 3b03eb03b, 3eb0003eb, 3eb3eb3eb }
(*n=4*)
{ 32bc, 32ebc, 32eebc, 32eeebc, 32bc32bc, 32eeeebc,
32bc032bc, 32eeeeebc }
(*n=7*)
{ 1d, 1ed, 1d1d, 1eed, 1d01d, 1eeed, 1d001d, 1d1d1d,
1ed1ed, 1eeeed, 1d0001d, 1d1ed1d, 1ed01ed, 1eeeeed,
1d00001d, 1d01d01d, 1d1d1d1d, 1d1eed1d, 1d1d01d1d,
1d1eeed1d, 1d000001d, 1d01ed01d }
(*n=11*)
{ 102b, 112db, 103b2b, 113ddb, 102c02b, 113eddb,
102b102b, 103b3b2b, 112ec2db, 113eeddb, 112dc12db,
113eeeddb }
(*n=14*)
{ 10de, 10ede, 10eede, 10eeede, 10de10de, 10eeeede,
10de010de, 10eeeeede }

(* baza 16 *)
(*n=3*)
{ 43bc, 43fbc, 43ffbc, 43fffbc, 43bc43bc, 43ffffbc,
43bc043bc, 43fffffbc }
(*n=7*)
{ 21de, 21fde, 21ffde, 21fffde, 21de21de, 21ffffde,
21de021de, 21fffffde }
(*n=15*)
{ 10ef, 10fef, 10ffef, 10fffef, 10ef10ef, 10ffffef,
10ef010ef, 10fffffef }

7

8

KONRAD BURNIK

2. zadatak
Zadatak 2. Odredite volumen tijela od svih toˇcaka prostora ˇcije koordinate (x, y, z)
zadovoljavaju uvjet:
(x2 + y 2 + z 2 + 8)2 ≤ 36(x2 + y 2 ).
Rjesenje 2. Uvedimo najprije supstituciju:
r 2 = x2 + y 2
polazna nejednakost sad postaje:
(r2 + z 2 + 8)2 ≤ 36r2
Zbog r2 + z 2 + 8 ≥ 0 i 6r ≥ 0, slijedi
r2 + z 2 + 8 ≤ 6r
Dopunjavanjem do kvadrata dobijemo (r−3)2 +z 2 ≤ 1. Volumen se dobije rotacijom
tijela definiranog s (x − 3)2 + z 2 ≤ 1 u xz-ravnini oko z-osi. Imamo dakle, volumen
preko integrala:
V =2

Z

2

4

p

1 − (x − 3)2 · 2πxdx,

ˇ se u Mathematici lako izraˇcuna naredbom:
Sto
V = 2*Integrate[Sqrt[1 - (x - 3)^2]*(2*Pi*x), {x, 2, 4}]
6*Pi^2
3. zadatak
Zadatak 3. Neka je n pozitivan neparan cijeli broj i neka je θ realan broj takav da
je πθ iracionalan broj. Neka je ak = tan(θ + kπ
zite da je
n ) za k = 1, 2, . . . , n. Dokaˇ
a1 + a2 + · · · + an
a1 a2 . . . an
uvijek cijeli broj i odredite njegovu vrijednost.
Rjesenje 3. Traˇzimo polinom n-tog stupnja ˇciji korijeni su brojevi ak .
Promotrimo kompleksni broj ω = cos(θ) + i sin(θ). Korijeni jednadˇzbe
¶n
µ
1 + ix
= ω 2n
1 − ix
su brojevi ak = tan(θ + kπ
sto se lako moˇze provjeriti uvrˇstavanjem. Dakle,
n ), ˇ
brojevi ak su korijeni polinoma p(x) definiranog s:
p(x) = (1 + ix)n − ω 2n (1 − ix)n
n µ ¶
n µ ¶
X
X
n
n
=
(ix)k − ω 2n
(−1)k (ix)k
k
k
k=0
k=0
¶
µ
n
X n
[1 − (−1)k ω 2n ](ix)k
=
k
k=0

ˇ
´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA

9

Suma korijena ovog polinoma jednaka −hxn−1 ip(x)/hxn ip(x), tj.
¡ n ¢ n−1
n
X
i
[1 − (−1)n−1 ω 2n ]
− n−1
−nin−1 (1 − ω 2n )
¡n¢
=
(n
neparan)
=
ak =
n
n 2n
in (1 + ω 2n )
n i [1 − (−1) ω ]
k=1

Produkt je jednak −hx0 ip(x)/hxn ip(x):
¡ ¢
n
Y
− n0 [1 − (−1)n ω 2n ]
−(1 − ω 2n )
=
(n
neparan)
=
ak = ¡n¢ n
n 2n
in (1 + ω 2n )
n i [1 − (−1) ω ]
k=1
Stoga je

n−1
a1 + a2 + · · · + ak
−nin−1 (1 − ω 2n )
=
= nin−1 = (n neparan, in−1 ∈ {−1, 1}) = n(−1) 2
a1 a2 . . . ak
−(1 − ω 2n )

a to je uvijek cijeli broj jer je prema pretpostavci n cijeli broj.
4. zadatak
Zadatak 4. Dokaˇzite da krivulja x3 + 3xy + y 3 = 1 sadrˇzi samo jedan skup od tri
razliˇcite toˇcke A, B i C koje su vrhovi jednakostraniˇcnog trokuta i nadite njegovu
povrˇsinu.
Rjesenje 4. Najprije sredujemo zadani izraz naredbom:
Reduce[x^3 +
x == (1 - y)
x == (-1 + y
x == (-1 + y

3x*y + y^3 == 1]
||
- Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2 ||
+ Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2

Krivulja se sastoji dakle od pravca x = 1 − y i ostatka koji dalje reduciramo.
Dodajemo joˇs i uvjet na nenegativnost izraza pod korijenom.
Reduce[x == (-1 + y - Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2 &&
-1 - 2*y - y^2 >= 0]
y == -1 && x == -1
Reduce[x == (-1 + y + Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2 &&
-1 - 2*y - y^2 >=0]
y == -1 && x == -1
U oba sluˇcaja dobili smo toˇcku A := (−1, −1) kao rjeˇsenje. Dakle jedan vrh trokuta
je sigurno toˇcka A. Preostale dvije se nalaze na pravcu p : y = 1 − x. Jer se radi o
jednakostraniˇcnom trokutu slijedi da te toˇcke jedinstveno odredene.
tA = {-1, -1};
p = {1, 1, -1};
Da bi pronaˇsli povrˇsinu trokuta, potrebno je prona´ci duljinu jedne njegove stranice
a i pripadne visine na tu stranicu ha , iz nasuprotnog vrha, tj. za povrˇsinu trokuta
vrijedi dobro poznata formula: P = a · ha /2. Ovdje je zadan jednakostraniˇcan
trokut pa sve visine moˇzemo oznaˇciti s h.
Visinu h ´cemo odrediti ortogonalnom projekcijom toˇcke A na pravac p. A zatim,
prona´ci stranicu a koriste´ci Pitagorin pouˇcak.

10

KONRAD BURNIK

U Mathematici definiramo slijede´ce pomo´cne funkcije:
(* Vraca projekciju to\v{c}ke (p,q) na pravac s koeficijentima (a,b,c) *)
projekcija[{p_, q_}, {a_, b_, c_}] :=
FS[{(p*b^2 - a*c - a*b*q) / (b^2 + a^2),
(q*a^2 - b*c - a*b*p) / (b^2 + a^2)}]
(* Vraca Euklidsku udaljenost tocaka (a,u) i (b,v) *)
udaljenost2t[{a_,u_},{b_,v_}]:=
Sqrt[FS[(b-a)^2+(v-u)^2]];
I zadajemo redom naredbe:
tB = projekcija[tA, p] (* projekcija A na pravac p daje noziste visine *)
{1/2, 1/2}
h = udaljenost2t[tA, tB]; (* visina trokuta *)
3 / Sqrt[2]
Solve[(a/2)^2 + x^2 == a^2, x] (* opci izraz za visinu *)
{{x -> -(Sqrt[3]*a)/2}, {x -> (Sqrt[3]*a)/2}}
Solve[h == (Sqrt[3]*a)/2, a] (* za zadanu visinu racunaj stranicu *)
{{a -> Sqrt[6]}}
P = Sqrt[6]*h/2 (* povrsina *)
(3*Sqrt[3])/2
Dakle, traˇzena povrˇsina jednaka je:

√
3 3
2 .

5. zadatak
P2n
Zadatak 5.
(1) Ako je tk = 1 + 2 + · · · + k, koliko je k=1 (−1)k tk ? Pronadite
joˇs neke formule i zakonitosti za brojeve tk .
P∞ hk+1
(2) Ako je hk = 1 + 21 + 13 + · · · + k1 , koliko je k=1 k(k+1)
? Pronadite joˇs neke
formule i zakonitosti za brojeve hk .
Rjesenje 5. Brojevi tk su trokutasti brojevi koje definiramo u Mathematici s
t[k_]:= k*(k+1)/2
Prvih nekoliko ˇclanova niza tk :
Table[t[k], {k, 1, 10}]
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}
Suma

P2n

k=1 (−1)

k

tk = n(n + 1) se lako moˇze provjeriti u Mathematici sa:

Sum[((-1)^k) * t[k], {k, 1, 2*n}] == n*(n+1)
True

ˇ
´ 2006./2007.
MATEMATIKA RACUNALOM
2. ZADACA

ˇ je jednako 2tn . Ako izraˇcunamo omjer tk+1 /tk dobijemo k/(k+2). Pn
Sto
k=1
n + 2hn

11
k
k+2

=

Sum[ t[k+1] / t[k], {k, 1, n}] == n + 2*HarmonicNumber[n]
True
Brojevi hk su harmonijski brojevi i za njih postoji gotova funkcija u Mathematici
HarmonicNumber[n] koja vra´ca n-ti harmonijski broj. Prvih nekoliko ˇclanova niza
hk :
Table[HarmonicNumber[k], {k, 1, 10}]
{1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20,
363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520}
P∞ hk+1
U Mathematici dokazujemo da je k=1 k(k+1)
= 2.

Limit[Sum[HarmonicNumber[k+1]/(k*(k+1)), {k, 1, n}], n->Infinity] == 2
True

Suma potencija trokutastih brojeva moze se prikazati kao zbroj harmonijskih brojeva reda −p i −2p.
S[n_, p_]:=(HarmonicNumber[n,-2 p]+HarmonicNumber[n,-p]) / (2^p)
S[n, t[k]]
(HarmonicNumber[n, -(k*(1 + k))] +
HarmonicNumber[n, -(k*(1 + k))/2])/2^((k*(1 + k))/2)