TUGAS MATEMATIKA Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)
1. Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan %, maka %
tersebut dinamakan suku bunga. Suku Bunga = ����� �������� ���� − ���� � 100
Bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka
waktu yang telah disepakati bersama. DEFINISI
2. 3. Bunga = suku bunga tiap periode x banyaknya periode x modal Bunga tunggal
adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak
mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu
dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap, yaitu :
3. 4. Jika suatu modal M dibungakan dengan suku bunga tunggal (suku bunga) i % tiap
tahun, maka berlaku : Modal akhir = Modal awal + bunga Setelah t tahun besarnya
bunga :B = Setelah t bulan besarnya bunga :B = Setelah t hari besarnya bunga :B =
untuk 1 tahun = 360 hari Setelah t hari besarnya bunga :B = untuk 1 tahun = 365 hari
Setelah t hari besarnya bunga :B = untuk 1 tahun = 366 hari 100 .. tiM 1200 .. tiM
36000 .. tiM 36500 .. tiM 36600 .. tiM Ma = M + B
4. 5. Untuk menentukan : . Tabungan awal . Lamanya menabung . Besar angsuran yang
harus dibayar maka berlaku : . Bunga = n . i . M
5. 6. penyelesaian diket : M = Rp. 1.600.000 I = 7,5 % t = 2 thn 6 bln = 2,5 thn ditanya :
bunga tunggal? Hitunglah bunga tunggal pada modal awal Rp. 1.600.000 , dengan
suku bunga sebesar 7,5% pertahun untuk 2 tahun 4 bulan .
6. 7. jawab BT : M.I.T / 100 : 1.600.000 . 7,5 . 2,5/100 : 30.000.000 / 100 : 300.000₩ Jadi
bunga tunggalnya adalah Rp 300.000
7. 8. Jika suatu modal M dibungakan dengan bunga majemuk i% periode selama n periode
maka modal akhir : Mn = M ( 1 + i ) n Apabila bunga yang dibebankan untuk setiap
periode(satu tahun,misalnya) didasarkan pada sisa pinjaman pokok ditambah setiap
beban bunga yang terakumulasi sampai dengan awal periode,maka bunga itu disebut
bunga majemuk atau bungaberbunga(compound interest)
8. 9. Ali menabung di bank sebesar Rp4.000.000,00 dengan bunga majemuk 10 %
pertahun. Berapa uang Ali selama 5 tahun dan berapa bunga yang diperoleh?
pembahasan: modal :RP 4000.000,00 i :10% : 0,1 n : 5 tahun Mn :M(1+i)n :
4000.000(1+0,1)5 :4000.000 . 1,61051 :Rp6.442.040,00 bungah : Rp6.442.040,00
Rp4.000.000,00
9. 10. Mn = M (1 + i) n Bila keadaan awal dinyatakan dengan M , laju pertumbuhan
dinyatakan dengan i dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setelah n
periode adalah Pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami
penambahan atau kenaikan secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam
pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di bank.
10. 11. Contoh : 1. Adit menabung uang di bank sebesar Rp 500.000 dengan bunga
majemuk 5% setahun. Berapa uang Adit setelah 3 tahun? Penyelesaian : Modal awal : M
= 500.000 Suku bunga : i = 5% = 0,05 Periode : n = 3 tahun Mn = M (1 + i) n M 3 =
500.000 ( 1 + 0,05 ) 3 = 500.000 (1.05) 3 = 500.000 (1,157625) = 578.812,50 Jadi, uang
Adit setelah 3 tahun sebesar Rp 578.812,50
11. 12. 2. Suatu modal sebesar Rp 1.000.000 dibungakan dengan bunga majemuk dengan
suku bunga 4% tiap empat bulan. Tentukan besarnya modal itu setelah dibungakan
selama 3 tahun? Penyelesaian : M = 1.000.000 i = 4% tiap bulan = 0.04, maka tiap 1
tahun ada 3 periode, 3 tahun ada 9 periode, maka n = 9 Mn = M (1 + i) n M 9 =
1.000.000 ( 1 + 0,04 ) 9 = 1.000.000 (1.04) 3 = 1.000.000 (1,42) = 1.420.000 Jadi,
besarnya modal setelah 3 tahun adalah Rp 1.420.000
12. 13. 3. Banyak penduduk kota Cerme mulamula 600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu
setelah n tahun adalah Pn = P(1,2)(0,1)n. Tentukan banyak penduduk kota itu selama 10
tahun. Penyelesaian = P = 600.000 n = 10 Pn = P (1,2)(0,1)n P 10 = 600.000 (1,2)
(0,1)10 = 600.000 (1,2) 1 = 600.000 (1,2) = 720.000 Jadi, setelah 10 tahun penduduk
kota Cerme sebanyak 720.000 jiwa.
13. 14. Peluruhan (penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan yang mengalami
pengurangan (penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam
peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan
harga barang. Bila keadaan awal dinyatakan dengan M, laju peluruhan (penyusutan)
dengan i dan lamanya peluruhan (penyusutan) dengan n, maka keadaan setelah n
periode dinyatakan dengan Mn= M (1 i) n
14. 15. Contoh : 1. Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000 tiaptiap tahun ditaksir
harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?
Pengertian Anuitas
Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang
dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian
angsuran.
Rumus Anuitas :
Anuitas = Angsuran + Bunga
AN = An + Bn
Rumus Angsuran :
An = A1 (1+i)n-1
keterangan :
An = Angsuran ke-n
A1 = Angsuran ke -1
i = Suku Bunga
Contoh :
Suatu Pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya anuitas
Rp.400.000,00. Maka tentukanlah bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah
Rp.315.000,00!!!!
Jawab :
AN= 400.000
B5= 315.000
AN= An+Bn
400.000 = An + 315.000
An= 400.000 - 315.000
= 85.000
Nilai Anuitas
Untuk mencari nilai anuitas kita dapat menggunakan rumus berikut :
AN = M.i/1-(1+i)-n
Ket :
M = Modal
i = Suku bunga
Dapat
juga
menggunakan
daftar
AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%
tabel
anuitas
Ada pula rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama :
AN = A1 x (1+i)n
Keterangan :
AN = Anuitas
A1 = Angsuran Pertama
i = Suku Bunga
n = Jangka waktu
Contoh :
Nasa bersama suaminya berencana mengambil rimah di VILLA INDAH dengan
harga Rp.250.000.000,00. Nasa hanya memiliki uang muka Rp.100.000.000,00.
Sisanya akan di cicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku
bunga 18%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya !
Jawab :
M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000
n = 10 Tahun
i = 18%/tahun = 0,18 / tahun
AN = M.i/ 1-(1+i)-n
AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)-10
AN = 27.000.000 / 1 - 1,18 -10
AN = 27.000.000/0,808935533
AN = 33.377.196,20
Sisa Pinjaman Anuitas
Ada 4 cara untuk menentukan sisa pinjaman anuitas :
Cara 1 :
Sm = B ke (m+1)/i
Keterangan :
Sm= Sisa bunga ke m
i = Suku Bunga
Cara 2 :
Sm = M - ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))
Keterangan :
Sm =Sisa bunga ke m
M = Modal
A1 = Angusuran pertama
Cara 3 :
Sm = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) - daftar nilai akhir
renre kolom i% baris (m-1)]
Keterangan :
Sm = Sisa bunga ke m
A1 = Pertama
Cara 4 :
Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]
Keterangan :
Sm = Sisa bunga ke
AN = Anuitas
kita ambil contoh dari salah satu cara saja. Yaitu cara pertama :
Pinjaman sebesar Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi
dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun.
Tentukan Besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan !!
Jawab :
B1 = M x i
= 10.000.000 x 0,03
= 300.000
A1 = AN-B1
= 510.192,59 - 300.000
= 210.192,59
A11 = A1 ( 1+i)11-1
= 210.192,59 ( 1+0,03)10
= 210.192,59 x 1,343916379
= 282.481,26
B11 = AN - A11
= 510.192,59 - 282.481,26
= 227.711,33
S10 = B11/i
= 227.711,33/0,03
= 7.590.377,67
tersebut dinamakan suku bunga. Suku Bunga = ����� �������� ���� − ���� � 100
Bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka
waktu yang telah disepakati bersama. DEFINISI
2. 3. Bunga = suku bunga tiap periode x banyaknya periode x modal Bunga tunggal
adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak
mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu
dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap, yaitu :
3. 4. Jika suatu modal M dibungakan dengan suku bunga tunggal (suku bunga) i % tiap
tahun, maka berlaku : Modal akhir = Modal awal + bunga Setelah t tahun besarnya
bunga :B = Setelah t bulan besarnya bunga :B = Setelah t hari besarnya bunga :B =
untuk 1 tahun = 360 hari Setelah t hari besarnya bunga :B = untuk 1 tahun = 365 hari
Setelah t hari besarnya bunga :B = untuk 1 tahun = 366 hari 100 .. tiM 1200 .. tiM
36000 .. tiM 36500 .. tiM 36600 .. tiM Ma = M + B
4. 5. Untuk menentukan : . Tabungan awal . Lamanya menabung . Besar angsuran yang
harus dibayar maka berlaku : . Bunga = n . i . M
5. 6. penyelesaian diket : M = Rp. 1.600.000 I = 7,5 % t = 2 thn 6 bln = 2,5 thn ditanya :
bunga tunggal? Hitunglah bunga tunggal pada modal awal Rp. 1.600.000 , dengan
suku bunga sebesar 7,5% pertahun untuk 2 tahun 4 bulan .
6. 7. jawab BT : M.I.T / 100 : 1.600.000 . 7,5 . 2,5/100 : 30.000.000 / 100 : 300.000₩ Jadi
bunga tunggalnya adalah Rp 300.000
7. 8. Jika suatu modal M dibungakan dengan bunga majemuk i% periode selama n periode
maka modal akhir : Mn = M ( 1 + i ) n Apabila bunga yang dibebankan untuk setiap
periode(satu tahun,misalnya) didasarkan pada sisa pinjaman pokok ditambah setiap
beban bunga yang terakumulasi sampai dengan awal periode,maka bunga itu disebut
bunga majemuk atau bungaberbunga(compound interest)
8. 9. Ali menabung di bank sebesar Rp4.000.000,00 dengan bunga majemuk 10 %
pertahun. Berapa uang Ali selama 5 tahun dan berapa bunga yang diperoleh?
pembahasan: modal :RP 4000.000,00 i :10% : 0,1 n : 5 tahun Mn :M(1+i)n :
4000.000(1+0,1)5 :4000.000 . 1,61051 :Rp6.442.040,00 bungah : Rp6.442.040,00
Rp4.000.000,00
9. 10. Mn = M (1 + i) n Bila keadaan awal dinyatakan dengan M , laju pertumbuhan
dinyatakan dengan i dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setelah n
periode adalah Pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami
penambahan atau kenaikan secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam
pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di bank.
10. 11. Contoh : 1. Adit menabung uang di bank sebesar Rp 500.000 dengan bunga
majemuk 5% setahun. Berapa uang Adit setelah 3 tahun? Penyelesaian : Modal awal : M
= 500.000 Suku bunga : i = 5% = 0,05 Periode : n = 3 tahun Mn = M (1 + i) n M 3 =
500.000 ( 1 + 0,05 ) 3 = 500.000 (1.05) 3 = 500.000 (1,157625) = 578.812,50 Jadi, uang
Adit setelah 3 tahun sebesar Rp 578.812,50
11. 12. 2. Suatu modal sebesar Rp 1.000.000 dibungakan dengan bunga majemuk dengan
suku bunga 4% tiap empat bulan. Tentukan besarnya modal itu setelah dibungakan
selama 3 tahun? Penyelesaian : M = 1.000.000 i = 4% tiap bulan = 0.04, maka tiap 1
tahun ada 3 periode, 3 tahun ada 9 periode, maka n = 9 Mn = M (1 + i) n M 9 =
1.000.000 ( 1 + 0,04 ) 9 = 1.000.000 (1.04) 3 = 1.000.000 (1,42) = 1.420.000 Jadi,
besarnya modal setelah 3 tahun adalah Rp 1.420.000
12. 13. 3. Banyak penduduk kota Cerme mulamula 600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu
setelah n tahun adalah Pn = P(1,2)(0,1)n. Tentukan banyak penduduk kota itu selama 10
tahun. Penyelesaian = P = 600.000 n = 10 Pn = P (1,2)(0,1)n P 10 = 600.000 (1,2)
(0,1)10 = 600.000 (1,2) 1 = 600.000 (1,2) = 720.000 Jadi, setelah 10 tahun penduduk
kota Cerme sebanyak 720.000 jiwa.
13. 14. Peluruhan (penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan yang mengalami
pengurangan (penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam
peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan
harga barang. Bila keadaan awal dinyatakan dengan M, laju peluruhan (penyusutan)
dengan i dan lamanya peluruhan (penyusutan) dengan n, maka keadaan setelah n
periode dinyatakan dengan Mn= M (1 i) n
14. 15. Contoh : 1. Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000 tiaptiap tahun ditaksir
harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?
Pengertian Anuitas
Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang
dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian
angsuran.
Rumus Anuitas :
Anuitas = Angsuran + Bunga
AN = An + Bn
Rumus Angsuran :
An = A1 (1+i)n-1
keterangan :
An = Angsuran ke-n
A1 = Angsuran ke -1
i = Suku Bunga
Contoh :
Suatu Pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya anuitas
Rp.400.000,00. Maka tentukanlah bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah
Rp.315.000,00!!!!
Jawab :
AN= 400.000
B5= 315.000
AN= An+Bn
400.000 = An + 315.000
An= 400.000 - 315.000
= 85.000
Nilai Anuitas
Untuk mencari nilai anuitas kita dapat menggunakan rumus berikut :
AN = M.i/1-(1+i)-n
Ket :
M = Modal
i = Suku bunga
Dapat
juga
menggunakan
daftar
AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%
tabel
anuitas
Ada pula rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama :
AN = A1 x (1+i)n
Keterangan :
AN = Anuitas
A1 = Angsuran Pertama
i = Suku Bunga
n = Jangka waktu
Contoh :
Nasa bersama suaminya berencana mengambil rimah di VILLA INDAH dengan
harga Rp.250.000.000,00. Nasa hanya memiliki uang muka Rp.100.000.000,00.
Sisanya akan di cicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku
bunga 18%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya !
Jawab :
M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000
n = 10 Tahun
i = 18%/tahun = 0,18 / tahun
AN = M.i/ 1-(1+i)-n
AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)-10
AN = 27.000.000 / 1 - 1,18 -10
AN = 27.000.000/0,808935533
AN = 33.377.196,20
Sisa Pinjaman Anuitas
Ada 4 cara untuk menentukan sisa pinjaman anuitas :
Cara 1 :
Sm = B ke (m+1)/i
Keterangan :
Sm= Sisa bunga ke m
i = Suku Bunga
Cara 2 :
Sm = M - ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))
Keterangan :
Sm =Sisa bunga ke m
M = Modal
A1 = Angusuran pertama
Cara 3 :
Sm = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) - daftar nilai akhir
renre kolom i% baris (m-1)]
Keterangan :
Sm = Sisa bunga ke m
A1 = Pertama
Cara 4 :
Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]
Keterangan :
Sm = Sisa bunga ke
AN = Anuitas
kita ambil contoh dari salah satu cara saja. Yaitu cara pertama :
Pinjaman sebesar Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi
dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun.
Tentukan Besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan !!
Jawab :
B1 = M x i
= 10.000.000 x 0,03
= 300.000
A1 = AN-B1
= 510.192,59 - 300.000
= 210.192,59
A11 = A1 ( 1+i)11-1
= 210.192,59 ( 1+0,03)10
= 210.192,59 x 1,343916379
= 282.481,26
B11 = AN - A11
= 510.192,59 - 282.481,26
= 227.711,33
S10 = B11/i
= 227.711,33/0,03
= 7.590.377,67