KAPSEL Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA
D
I
S
U
S
U
N
OLEH :

KELOMPOK 10
1. Mellya Andriani Silaban
2. Krisyanti Jawak
3. Pakmawati Renata Matondang

Dosen Pengampuh

:

12150056
12150094

121500

Sangkot Sitohang, M.Pd

FKIP UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN
PEMATANGSIANTAR
2014

Logika Matematika

A. Pengertian
1. Logika matematika adalah
logis/masuk akal
2. Logika matematika adalah

Ilmu yang mempelajari tentang cara berpikir yang
ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran

dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang
berlaku.

3. Logika Matematika atau Logika Simbol

ialah logika

yang menggunakan bahasa

Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.
B. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Dan Kalimat Terbuka.


PERNYATAAN
Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja
atau salah saja tetapi “tidak” sekaligus kedua-duanya. Suatu pernyataan biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r, s, dan sebagainya.
Contoh :
1) Hasil kali 3 dan 4 adalah 12 (merupakan pernyataan yang benar)
2) Jakarta ibukota Indonesia (merupakan pernyataan yang benar)
3) Semua unggas dapat terbang (merupakan pernyataan yang salah)



NILAI KEBENARAN
Nilai Kebenaran adalah

nilai benar atau nilai salah dari suatu pernyataan. Nilai

kebenaran dapat ditentukan dengan cara empiris dan non-empiris
-

Cara Empiris adalah menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan
fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh : - “Ibukota Jawa Timur adalah Surabaya” , merupakan pernyataan benar.
- “Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah.

-

Cara Non-Empiris adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan
berdasakan

bukti-bukti

atau

perhitungan-perhitungan

dalam

matematika

(kebenarannya bersifat mutlak)
Contoh : - “Akar persamaan 3 x−1=5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

- “Jika

x> 1,maka x> 2 ”, merupakan pernyataan salah.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan di notasikan dengan huruf Yunani, yaitu

τ

(dibaca tau) yang berasal dari kata asing truth berarti kebenaran.
Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) sedangkan suatu
pernyataan yang salah memiliki nilai kebenaran S (salah).
Contoh :
p : Hasil kali 3 dan 5 adalah 15
pernyataan p benar, sebab 3 x 5 = 15. Dengan demikian pernyataan p memiliki nilai
kebenaran B (benar), ditulis τ



(p) = B

KALIMAT TERBUKA
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel yang belum pasti benar atau
salah. Jika variabel tersebut diganti konstanta dengan semesta yang sesuai kalimat itu
akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja yang disebut Kalimat
tertutup. Sedangkan variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang
belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol yang menunjukkan
anggota tertentu dakan semesta pembicaraan.
Contoh :

- Kalimat terbuka : “Orang itu seorang petinju”
Kalimat tertutup :”Mike Tyson seorang petinju”
Yang bernilai benar.
Orang itu merupakan variabel, sedangkan Mike Tyson merupakan konstanta.
-

Kalimat terbuka : “4x + 10 = 25”
Kalimat tertutup : “4(5) + 10 = 25”
x merupakan variabel, sedangkan 5 merupakan konstanta.

C. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam kuantor, yaitu :
1. Kuantor Universal

Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Kuantor Universal dilambangkan dengan ∀ (dibaca untuk semua atau untuksetiap)
Contoh :
a) ∀ x ∈ R, x2 ¿ 0, dibaca untuk setiap x angggota bilangan real maka
berlaku x2 ¿ 0

b) Semua ikan bernapas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan

∃

(dibaca

ada, beberapa, sebagian, terdapat)
Contoh :
a) ∃ x ∈ R, x2 + x – 6 ¿ 0, (dibaca ada x anggota bilangan real dimana x 2 + x
–6 ¿ 0
b) Beberapa ikan bernapas dengan paru – paru
3. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran
dari dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh :
a) p : semua ikan bernapas dengan insang
p : ada ikan bernapas tidak dengan insang.

D. Operasi – Operasi pada Logika Matematika
1. Operasi Uner yaitu Operasi yang memerlukan paling sedikit pernyataan. Operasi ini
hanya terdiri atas satu operasi yaitu :


NEGASI (INGKARAN)
Negasi (Ingkaran) adalah dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh
dengan menambahkan kata ”tidak” atau kata ”bukan” pada pernyataan semula.
Negasi / Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan dengan
p.
Contoh
:
Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut :
p:2+5=7
p:2+ 57
Tidak benar bahwa 2 + 5 = 7
-

q : Malam ini bulan bersinar terang

 q : Malam ini bulan tidak bersinar terang
Tabel Kebenaran Negasi/Ingkaran :
p
B

p
S

S

B

2. Operasi Biner yaitu operasi yang memerlukan paling tidak dua pernyataan atau lebih.
Operasi ini terdiri atas empat operasi yaitu :
a. KONJUNGSI
Konjungsi yaitu dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan
komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah,
maka konjungsi itu salah. Operasi konjungsi menggunakan kata hubung “dan” dengan
symbol “∧”.

Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan “p ∧ q” (dibaca p dan q).
Dengan Tabel Kebenaran :
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p∧q
B
S
S
S

Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut :
1) 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur adalah Surabaya
4+2=6
B

dan

ibukota Jawa Timur adalah Surabaya
B

merupakan konjungsi yang benar.

2) -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

-4 adalah bilangan bulat

dan

4 adalah bilangan prima

B

S

merupakan konjungsi yang salah
b. DISJUNGSI
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua
pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka
konjungsi itu salah. Operasi disjungsi menggunakan kata hubung “atau” dengan symbol “∨”.
Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan “p ∨ q” (dibaca p atau q).
Dengan Tabel Kebenaran :

Contoh :
1) p : Dia lancer berbahasa inggris
q : Dia telah tinggal di Inggris
maka p ∨ q adalah pernyataan “Dia lancer berbahasa inggris atau dia telah tinggal
di Inggris”
2) p : Jumlah dari 3 dan 5 adalah 8

(pernyataan benar)

q : Semarang adalah ibukota Jawa Tengah (pernyataan benar)
p ∨ q : “Jumlah dari 3 dan 5 adalah 8 atau Semarang adalah ibukota Jawa
Tengah” (merupakan pernyataan benar)
c. IMPLIKASI
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibnetuk dari dua pernyataan tunggal dengan
menggunakan kata hubung “jika … maka …”.

Implikasi dari pernyataan p terhadap q dinotasikan oleh “p ⇒ q” (dibaca jika p maka q) .
Dengan Tabel Kebenaran :
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p⇒q
B
S
B
B

Contoh :
1) p : 2 + 4 = 7

(pernyataan salah)

q : Indonesia di benua Afrika (pernyataan salah)
p ⇒ q : Jika 2 + 4 = 7 maka Indonesia di benua Afrika (merupakan pernyataan benar)
2) Tentukan nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut :
a) Jika 3 faktor dari 6, maka 6 habis dibagi 2.
B ⇒B=B
b) Jika log 10 = 1, maka log 20 = 2.
B⇒S=S
d. BIIMPLIKASI
Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-kompenennya mempunyai nilai
kebenaran sama, dan jika komponen-kompenennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama
maka biimplikasi bernilai salah.
Operasi biimplikasi menggunakan kata perangkai” … jika dan hanya jika …” dengan symbol
“⇔”.
Biimplikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan “p ⇔ q” (dibaca p jika dan hanya
jika q)
Dengan Tabel Kebenaran :
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p⇔q
B
S
S
B

Contoh :
1) p : 3 + 10 = 14

(pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga

(pernyataan salah)

p ⇔ q :3 + 10 = 14 jika dan hanya jika jika persegi adalah segitiga (pernyataan benar)
2) Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi :
a) 23 = 8 ⇔

√3 8 = 2

Penyelesaian:
Misalnya p : 23 = 8 (benar)
q:

√3 8 = 2 (benar)

oleh karena τ

(p) = B dan τ

(q) = B, maka τ

(p ⇔ q) = B

b) x2 = 4 ⇔ x = 2
Himpunan penyeleaian x2 adalah {-2 , 2}
Himpunan penyeleaian x = 2 adalah {2}
Oleh karena himpunan penyelesaian tidak sama, maka biimplikasi x2 = 4 ⇔ x = 2
bernilai salah.
E. Bentuk-Bentuk Pernyataan
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam :
1. KONTRADIKSI adalah pernyataan mejemuk yang salah untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan kompenennya.
2. TAUTOLOGI adalah pernyataan majemuk yang benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen – kompnennya.
3. KONTIGENSI adalah sebuah pernyataan yang majemuk yang bukan suatu tautology
maupun kontradiksi.
F. Invers, Konvers, Dan Kontraposisi
Jika suatu implikasi dinyatakan dengan p ⇒ q, maka :


Invers dari implikasi tersebut :

p ⇒

diingkaran)


Konvers dari implikasi tersebut : q ⇒ p (posisi berubah)

q (posisi tetap,



Kontraposisi dari implikasi tersebut :

q ⇒

p (posisi

berubah diingkaran)
G. Penarikan Kesimpulan
Dalam penarikan suatu kesimpulan/konklusi diperlukan beberapa pernyataan (premis).
Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka kesimpulan konklusi yang diperoleh juga
bernilai benar. Atau dengan kata lain, proses penarikan kesimpulannya dikatakan sah.
1. Modus Ponens
p ⇒ q (B) … premis 1
p

q (B) … premis 2
∴ q

(B) … kesimpulan/konklusi

Modus Ponens merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan
[ (p ⇒ q)^p] ⇒ q merupakan tautologi.
2. Modus Tollens
p ⇒

q (B) … premis 1
q (B) … premis 2

∴

p

(B) … kesimpulan/konklusi

Modus Tollens merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan
[(p ⇒ q) ∧

q] ⇒

p merupakan tautologi

3. Silogisme
p ⇒
q

⇒

q (B) … premis 1
r

(B) … premis 2

∴ p ⇒ r (B) … kesimpulan/konklusi
Silogisme merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) merupakan tautologi.
Contoh :
1) Premis 1 : Jika ia seorang kaya maka ia berpenghasilan banyak
Premis 2 : Ia berpenghasilan sedikit

Kesimpulan yang diperoleh dari kedua premis itu adalah …
Penyelesaian :
Misalkan

p : ia seorang yang kaya
q : ia berpenghasilan banyak
q : ia berpenghasilan sedikit

Argumentasi :

p ⇒

q
q

∴

Modus Tollens
p

Jadi, kesimpulannya adalah ia seorang yang tidak kaya.
2) Diketahui premis-premis berikut ini.
1. Jika Budi lulus ujian, maka Budi kuliah di perguruan tinggi.
2. Jika Budi kuliah di perguruan tinggi, maka Budi menjadi sarjana.
3. Budi tidak menjadi sarjana
Kesimpulan yang sah dari tiga premis si atas adalah…
Penyelesaian :
Misalkan :

p : Budi lulus ujian
q : Budi kuliah di perguruan tinggi
r : Budi menjadi sarjana
r : Budi tidak menjadi sarjana

Argumentasi :

p ⇒ q
q ⇒ r

silogisme

∴ p ⇒ r
r
∴

modus Tollens
p

Jadi, kesimpulan yang sah dari ketiga premis itu adalah Budi tidak lulus ujian.

.