1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

  Solusi Pengayaan Matematika Edisi 2 Januari Pekan Ke-2, 2010

  Nomor Soal: 11-20

  1

  7 x 1 

  3 , berapakah nilai dari x ?  

11. Diberikan bahwa

  7 x x

  Solusi: x  1 

  3

  x

  2 1     x  

  9 x

   

  1

  2 x

  2

  9   

  2 x

  1

  2 x

  7  

  2 x _n

  1

  1

  1

  2 Diberikan a  x  , maka a  x   _n 3 , a  x   7 , dan _n

  

1

  2

  2 x x x

  1   _{n n n} 1 

  1

  1

   1 

  1

     x   x    x   x  _{n n n}

   1 

  1 x x x x

     

  3   a a a _{n n 1 n 1}

     3  a a a _{n  1 n n  1} Dengan demikian,

   

  3

  7

  3

  18

  a ₃ 3 a a     _{2 1} a  3 a  a

  3

  18

  7

  47 _{4 3 2}    

  a  ₅ 3 a  a  _{4 3} 3  47  18  123

   

  3 123 47 322

  a ₆ 3 a a     _{5 4}  3 

  3 322 123 843

  a a a     _{7 6 5}

  1

7 Jadi, nilai dari x  adalah 843.

  7 x ₂

  1

  1   6  25 .

     x     x 

12. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan

  x x    

  Solusi: ₂ 1  1      

  6  x  25  x  x x

     

   1  1 

  2

  6  x  2    25    x 

  2 x x

       1  1 

  2

  6  x    12  25    x 

  2 x x

      ₂

  1 

1 

6  24 

  25    x     x  x x

     

  1 

  Misalnya  , sehingga

  y    x  x

   

  2

  6 y

  24 25 y  

  2

  6

  25

  24

  y  y  

  2

  6 y  16 y  9 y  24 

  2 y ( 3 y  8 )  3 ( 3 y  8 )  ( 3 y  8 )( 2 y  3 ) 

  8

  3

  y  atau y 

  3

  2

  8

  3

  x 1  atau x 1 

    ₂

  x

  3 x

  2 ₂

  3 x  x 8  3  atau

2 x  x

3  2  3 x  x 1  3  atau 2 x  x 1  2 

       

  1

  1

  1

  x , x

  3 , x , atau x       

  3

  3

  3

  1 

   1

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  ,  , 2 , 3 .

   

  3

  2 _{4 3}   ₂

  x  14 x  50 x  14 x  1  .

13. Selesaikanlah persamaan

  Solusi: _{4 3 2} x  14 x  50 x  14 x 

1 

  14

  1

  2 x  14 x  50   

  2 x x

  1

  14

  2 x

  2 14 x

  48      

  2 x ₂ x

  1

  1   x  14 x 

48 

          x x

          1  1     x  

  6    x  

8 

    x x

         

  2

  2 x 

  6 x  1 x  8 x  1 

    

  2 ²

  atau

  x  x 6  1  x  x 8  1   4 

  15 x  3 

  2 2 atau x

  Jadi, x

  3

  2 2 ,

  4 15 .   

   

  14. Usia 4 orang anak naik dengan suatu bilangan yang sama. Jumlah usia mereka adalah 36 tahun dan hasil kali usianya adalah 5.760. Berapakah usia mereka masing-masing.

  Solusi:

  Misalnya usia mereka a 3 b , a b a b a 3 b , sehingga   ,  , dan 

  3

  3

  36

  a  b  a  b  a  b  a  b 

  4

  36

  a 

  9

  a 

  Sekarang usia mereka dapat ditulis sebagai 9  3 b , 9  b , 9  b , dan 9  3 b , sehingga

  9 

  3 9  9  9  3  5760  b  b  b  b 

  2

  2

  81 9 b 81 b 5760   

     _{2 2 4} 6561  ₄ 81 b  729 b  ₂ 9 b  5760 9 b  810 b  801  _{4 2}  b   b

  90

  89

  2

  2

  89

  1

  b  b      _{2 2}

   89 atau 

  1 b b

  

  89

  1 b (ditolak) atau b  (diterima). Jadi, usia mereka masing-masing adalah 6, 8, 10, dan 12 tahun.

  40

  2 x

  7 x 18 .    

15. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

  2 x 

  7 x 

  15 Solusi: ₂ Misalnya a  x  7 x ,maka diperoleh

  40

  a  

  18 

  15

  a  a ( a  ₂ 15 )  40  18 ( a  15 )  a  ₂ 15 a  40  18 a  270   a   a 33 230 (  10 )(  23 )  a a

  10

  23

  a   atau a  

  Sehingga: _{2 2}

  x  x ₂ 7   10 atau x  x ₂ 7  

  23  x   atau  x   x

  7 10 x

  7

  23

  ) 5 )( 2 (    x x

  2

  2

  1

  Solusi: y x x  

  x x  .

  1

  5

  5

    , tentukan

  y x x

  1

  17. Jika

  33 5  

  25 5    x

  1

  8

  2

  D )

  (tidak mempunyai akar real, karena 

  5 ²    x x

  12

  atau

  5 ²    x x

  2

  5 ²    x x

  12

  5 ²   x x atau

  2

  y x x

  12  2   y y 2  y atau  12  y

  x x

      y y

    

     

      

  2

  2

  2

  1

  1

  2

   

  Selanjutnya,

     y

     

  2

  2

  2

  1

  2

  y x x   

  2

  1

  2

  2

  2

     

  2

  y   

  atau

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

      

  16. Tentukanlah penyelesaian persamaan

  . Tetapi jika dalam soal dinyatakan R x  , maka himpunan penyelesaiannya adalah {2, 5}.

  2 i i

  7 , 5 ,

  43

  2

  7 ,

  43

  2

  









 

    

   

  4

  x

  43 7 i

  2

  x atau

  5 

  x ,

  2 

          x

  1 4 ) ) 7 ( 7 ( ²



  23

  2

  

1

  48

  3

     y

  2

  2

  10

  24

     y y

  2

  10

  24

  48

  6  4   y y

  48

    

  , sehingga

    5

  2  1     x x x x .

       x x x x Misalnya y x x

  2

  2

  5

  4

  5

  6

  48

  2  1     x x x x   

  3

  4

  48

  Solusi:     

  x x x x

  y y x x x x

  3

        

  5

  3

  3

  5

  5

  3

  1

  1

  4

  2

  y y y x x x x

       

  5

  3

    y y y x y y x

      y y y

  4

  4

  4

       

     

    

  x x x x y y y x x x x

  5

  2

  4

  1

  1

  3

  5

      

  2

  1

  5

  Misalnya modal itu adalah $100m dan suku bunganya p %, sehingga …. (1)

  Solusi:

  18. Sebuah modal menghasilkan bunga dalam setahun $210. Modal yang lain $800 lebih besar dari modal pertama. Jika modal yang kedua dibungakan dengan 0,5% kurang dari yang pertama, maka bunganya berlebih $15. Temukan besarnya modal dan suku bunganya yang pertama.

     

  5

  5

  5

  3

  1

  5

  5

  y y y x x

       

  5

  5

  4

  5

  1

  3

  3

  5

  5

  3

       

  3

  y y y y y x x

  3

  2

  4

  1

  3

  2

  1

  2

  2

  1

  2

     Selanjutnya,

  3

  3

  3

  1

  3

  y y x x

     

  3

  3

  3

  1

  y y x y x

  2

  y y x x x x

  1

  1

  3

  3

  3

      

  2

      

  1

  1

  3

  3

  3

       

  2

  2

  4

  1

  4

  4

       y y

  x x

  2

  4

  2

  2

  4

  4

  4

      y y

  x x  

  2

  4

  2

     y

  2

  x x  

  2

  2

  2

  2

  2

  1  

  1

    

    

  

  y x x

  4

  4

   100 210 %  p m 210  mp

  …. (2) Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

  210

  8

     p p

  2

  8

  19

     p p 105

  2

  16

  38

  38 16 (   p p

  8 4 ) ) 19 ( 19 (

  210 )

  38  16  p m

  p

  8   m

  1

  2

  19

      p m

  1 210

  2

  2 ) 15 (

  2        

  4

  p

  42 38 )  16   5 (

  38  16  p m

  p 5  p

   

  19  

  61

  16

  2

  625 ,

   

   p

  19 

  61

  16

  5

  

  19 

  61

  16

  16 3721 19  

  16 3360 361 19  



  8

  225

  (diterima) atau (ditolak)  Jadi, modal yang pertama adalah $4200 dan suku bunganya 5%.

  p m mp

  1    

  2

  8

  4

  225

   8 (   p m

  )% 15 210 )( 5 , 800 100 (     p m )( 5 , 225 )

  x

  mewakili bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan

19. Diberikan  

  90 n n n

  90 x x x x

     

           

  1 x x x x

  90

     

      

  90

  

90

x x x x

  Solusi:    

     .

  90

x x

x x

  

90

  x. Carilah solusi dari persamaan    

  , akibatnya  10  n ;

   1 d ;  9 x .

  90

             

  2 ( 1)

  Jika d n x   dengan

  Jika  n , maka

  2  90 ( 1) n n n   adalah tidak mungkin.

  , maka

  n

  Jika 

   d 1  , maka ( )  90 n n d  .

   90 x x

        

   x x atau  

     

    

  90

   

  atau

      x x

  1 x x

  x

  berarti bilangan bulat terbesar atau sama dengan x. Carilah solusi tidak rasional dari persamaan

20. Diberikan  

  

2

    

  8  10 x  .

  Untuk

   

  8 x 

  dan 10, maka

     8 x

  2

  , akibatnya

  18  80 x x   ₂    18 8 80 x  ₂  64 x

  64  8 x   

  10  x 

   

  2

  18  80 x x   ₂   18 10 80 x   ₂  100 x

  100  10 x 

   

     

  18

  , akibatnya 

  80 x x

     .

  Solusi:

  Catatan bahwa

   

  2

  18  80 x x  

  x .

  80 x x x

  Dengan 

  x

  ,

   

  2

  2

   

  18