TUGAS MATEMATIKA DISKRIT docx 1
1. Buktikan proporsi berikut dengan menambahkan (n+1)² di kedua ruas
P(n)=1²+2²+...........n²=n(n+1)(2n+1)/6
Penyelesaian :
1²+2²+....n² =n(n+1)(2n+1)+(n+1) ²/6
= n(n+1)(2n+1)+6(n+1) ²/6
=(n²+n)(2n-1)+6(n²+2n+1)/6
=(n²+n)(2n-1)+(6n²+12n+6)/6
=2nᶟ+9n²+13n+6/6
=(n+1)(n+2)+(2n+3)/6
2. Buktikan proporsi berikut dengan menambahkan (3n-1) di kedua ruas
P(n)=1+4+7+........+(3n-2)=n(3n-1)/2
Penyelesaian :
Misal n=3
1+4+7 =
12 =
3 (3.3−1)
2
24
2
= 12
3. Tentukan banyaknya kata yang terdiri dari 3 hurufb yang dapat di benruk dari hurufhuruf dalam kata “CINTA” apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari
satu kali
Penyelesaian :
P(5,3) =
₅ P ₃=
5!
5.4 .3.2 !
=
=60 kata
2!
( 5−3 ) !
4. Ana, Atun, Anton dan Andra membentuk sebuah grub band dengan kata musik, jika
setiap bisa memainkan semua alat,berapa banyak susunan yang dibentuk?
Penyelesaian :
₄P₄=4!
=4.3.2.1
= 24 cara
5. Ada berapa penyusunan kata yang diambil dari kata “KAKAKKU”.
Penyelesaian :
¿
P(7(4,2,1))=
7!
4 ! 2 ! 1!
= 105
6. Ada berapa banyak susunan yang dapat dibentuk bila 5 pohon berbeda ditanam
membentuk lingkaran?
Penyelesaian :
(5-1)! = 4! =24
7. Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa banyak
susunan yang dapat dipilih.
Penyelesaian :
10!
5 ! ( 10−5 ) !
C(10,5) =
¿
10!
5!5 !
= 252
8. Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan. A={a,b,c,d}
Penyelesaian :
C(4,3) =
4!
3 !1!
= 4 cara
9. Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan
pagi.
Penyelesaian :
C(7,3) =
7!
3! 4!
= 35 cara
10. 12 karton akan diwarnai sehingga 3 diantaranya berwarna hijau, 2 berwarna merah, 2
berwarna kuning dan sisanya berwarna biru. Berapa cara pengecatannya?
Penyelesaian :
n1=3
n3=2
n2=2
n4=5
n1+n2+n3+n4=3+2+2+5=12
P(12;3,2,2,5)
¿
12!
3 ! 2 ! 2! 5 !
= 166.320 cara
11. Berapa banyak cara membagi 8 buah buku berbeda kepada 3 orang mahasiswa,bila
Budi mendapat 4 buah buku, dan Andi serta Toni mendapat masing-masing 2 buku?
Penyelesaian :
n=8 n2=2
n1=4 n3=2
n1+n2+n3 = 4+2+2=8
¿
P(8;4,2,2)
8!
4 ! 2 ! 2!
= 420 cara
12. Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telpon yang identik di 12 kamar?
Penyelesaian :
r=10
n=12
C(12,10) = n![r!(n-r)!]
=
10 !(12−10) !
¿
12!
¿
=
12.11 .10 !
10 !(2 !)
=
12.11
2!
= 6.11
= 66 cara
13. Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telpon(4 berwarna merah, 3 putih, 3 hijau)
di 12 kamar?
Penyelesaian :
n=12
r=10(4,3,3)
C(12;4,3,3) =
12!
10 ! (4 ! 3 ! 3 !)
= 11 cara
14. 4 bola putih, 5 bola kuning, dan 2 bola hitam disusun dalam satu baris. Jika semua
bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain. Berapa carakah penyusunan
yang mungkin?
Penyelesaian :
n=11
r2=5
r1=4
r3=2
n!
r 1. r 2.r 3
=
11 !
4 ! 5 !2 !
=
39.916 .800
5.760
= 6.930 cara
15. Dari 5 pemain bulu tangkis,yaitu A,B,C,D,dan E hendak dipilih dua orang untuk
pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin di bentuk?
Penyelesaian :
n=5
r=2
nCr =
n!
r ! ( n−r ) !
=
5!
2 ! ( 5−2 ) !
=
5!
2 !( 3!)
=
₅ P ₃=
5.4 .3!
2.1(3 !)
= 10
P(n)=1²+2²+...........n²=n(n+1)(2n+1)/6
Penyelesaian :
1²+2²+....n² =n(n+1)(2n+1)+(n+1) ²/6
= n(n+1)(2n+1)+6(n+1) ²/6
=(n²+n)(2n-1)+6(n²+2n+1)/6
=(n²+n)(2n-1)+(6n²+12n+6)/6
=2nᶟ+9n²+13n+6/6
=(n+1)(n+2)+(2n+3)/6
2. Buktikan proporsi berikut dengan menambahkan (3n-1) di kedua ruas
P(n)=1+4+7+........+(3n-2)=n(3n-1)/2
Penyelesaian :
Misal n=3
1+4+7 =
12 =
3 (3.3−1)
2
24
2
= 12
3. Tentukan banyaknya kata yang terdiri dari 3 hurufb yang dapat di benruk dari hurufhuruf dalam kata “CINTA” apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari
satu kali
Penyelesaian :
P(5,3) =
₅ P ₃=
5!
5.4 .3.2 !
=
=60 kata
2!
( 5−3 ) !
4. Ana, Atun, Anton dan Andra membentuk sebuah grub band dengan kata musik, jika
setiap bisa memainkan semua alat,berapa banyak susunan yang dibentuk?
Penyelesaian :
₄P₄=4!
=4.3.2.1
= 24 cara
5. Ada berapa penyusunan kata yang diambil dari kata “KAKAKKU”.
Penyelesaian :
¿
P(7(4,2,1))=
7!
4 ! 2 ! 1!
= 105
6. Ada berapa banyak susunan yang dapat dibentuk bila 5 pohon berbeda ditanam
membentuk lingkaran?
Penyelesaian :
(5-1)! = 4! =24
7. Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa banyak
susunan yang dapat dipilih.
Penyelesaian :
10!
5 ! ( 10−5 ) !
C(10,5) =
¿
10!
5!5 !
= 252
8. Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan. A={a,b,c,d}
Penyelesaian :
C(4,3) =
4!
3 !1!
= 4 cara
9. Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan
pagi.
Penyelesaian :
C(7,3) =
7!
3! 4!
= 35 cara
10. 12 karton akan diwarnai sehingga 3 diantaranya berwarna hijau, 2 berwarna merah, 2
berwarna kuning dan sisanya berwarna biru. Berapa cara pengecatannya?
Penyelesaian :
n1=3
n3=2
n2=2
n4=5
n1+n2+n3+n4=3+2+2+5=12
P(12;3,2,2,5)
¿
12!
3 ! 2 ! 2! 5 !
= 166.320 cara
11. Berapa banyak cara membagi 8 buah buku berbeda kepada 3 orang mahasiswa,bila
Budi mendapat 4 buah buku, dan Andi serta Toni mendapat masing-masing 2 buku?
Penyelesaian :
n=8 n2=2
n1=4 n3=2
n1+n2+n3 = 4+2+2=8
¿
P(8;4,2,2)
8!
4 ! 2 ! 2!
= 420 cara
12. Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telpon yang identik di 12 kamar?
Penyelesaian :
r=10
n=12
C(12,10) = n![r!(n-r)!]
=
10 !(12−10) !
¿
12!
¿
=
12.11 .10 !
10 !(2 !)
=
12.11
2!
= 6.11
= 66 cara
13. Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telpon(4 berwarna merah, 3 putih, 3 hijau)
di 12 kamar?
Penyelesaian :
n=12
r=10(4,3,3)
C(12;4,3,3) =
12!
10 ! (4 ! 3 ! 3 !)
= 11 cara
14. 4 bola putih, 5 bola kuning, dan 2 bola hitam disusun dalam satu baris. Jika semua
bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain. Berapa carakah penyusunan
yang mungkin?
Penyelesaian :
n=11
r2=5
r1=4
r3=2
n!
r 1. r 2.r 3
=
11 !
4 ! 5 !2 !
=
39.916 .800
5.760
= 6.930 cara
15. Dari 5 pemain bulu tangkis,yaitu A,B,C,D,dan E hendak dipilih dua orang untuk
pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin di bentuk?
Penyelesaian :
n=5
r=2
nCr =
n!
r ! ( n−r ) !
=
5!
2 ! ( 5−2 ) !
=
5!
2 !( 3!)
=
₅ P ₃=
5.4 .3!
2.1(3 !)
= 10