PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL DAN PENERAPANNYA Skripsi

  

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

DAN PENERAPANNYA

Skripsi

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

  

Oleh:

Patrisia Esti Widyaningrum

NIM. 031414016

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

  HALAMAN PERSEMBAHAN “ Segala Perkara dapat kutanggung di dalam Dia yang memberi kekuatan kepadaku. “ (Filipi 4 : 13) ” Sukacita yang terbesar di dalam hidup ini bukan ketika kita dapat menyelesaikan masalah. Namun justru ketika kita menyadari bahwa di balik masalah ada maksud Tuhan yang indah. Tuhan tidak akan menguji kita melebihi kekuatan kita. ” (Anonim) Dengan penuh kasih aku persembahkan karyaku ini untuk : Tuhan Yesus dan Bunda Maria Orang tuaku tercinta A. Parwoto & A. Endah Martiniati yang selalu mengasihiku Adikku K. Bayu Prianggono & T. Tirto Tri W Keluarga, sahabat, dan rekan-rekanku yang selalu mendukungku Almamaterku,Universitas Sanata Dharma

• − =
• −
• ∞ =

  n n ^{n n}

  3. Menentukan relasi perulangan untuk r = -p dan menentukan fungsinya.

  Jika r = -p diperoleh

  ( ) p n n a a ⁿ _n

  2 ² −

  − =

  −

  , dengan n ≥ 2 dan n 2p, sehingga diperoleh untuk n adalah bilangan bulat ganjil dan

  ≠

  = _n

  a ( ) ( )

  ! !

  1 ₂

  − −

  ! 2 !

  2 ²

  p ⁿ

  − = a . Jika kedua akarnya bukan bilangan bulat positif maka penyelesaiannya menjadi ( ) x J _p

  −

  , yaitu ( )

  ( ) ( ) ∑

  ∞ = − −

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  −

  1 ⁿ

  p

  − ² ! 2 ! _n ^{p n p}

  1 yang sering disebut dengan fungsi Bessel jenis pertama dengan orde p.

  ∑ ²

  x n n J x = .

  2. Menentukan relasi perulangan untuk r = p dan menentukan fungsi Bessel jenis pertama dengan orde p.

  ABSTRAK

  Tujuan dari penulisan skripsi ini dengan judul Persamaan Diferensial Bessel dan Penerapannya adalah mengetahui penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa dan mengetahui terapan Persamaan Diferensial Bessel dalam bidang fisika.

  Metode yang dipakai dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka yaitu mempelajari buku teks yang berkaitan dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa.

  Persamaan Diferensial Bessel merupakan bentuk khusus dari persamaan diferensial linear homogen orde kedua dengan koefisien variabel, dimana bentuk umum Persamaan Diferensial Bessel adalah

  ( ) ^{2 '' 2 ' 2}

  = − + + y p x xy y x , dengan p adalah suatu konstanta sembarang, sehingga persamaan diferensial tersebut disebut dengan Persamaan Diferensial Bessel orde p. Langkah-langkah menyelesaikan Persamaan Diferensial Bessel :

  1. Menentukan akar persamaaan indicial Dengan metode Frobenius, jika adalah titik singular regular diperoleh penyelesaian deret kuasa berbentuk

  x ( ) ( )

  ∑ ∞ =

  − − = _n ⁿ _{o n} ^r _o

  x x a x x x y , dengan r

  adalah akar dari persamaan indicial dari titik singular regular tersebut dan diperoleh r = p dan r = -p.

  Jika r = p, diperoleh

  ⎜ ⎝ ⎛

  ( ) p n n a a ⁿ _n

  2 ²

  −

  , dengan n 2 sehingga diperoleh untuk n adalah bilangan bulat positif dan ≥

  = _n

  a ( ) ( ) ! !

  2

  1 _{2 2}

  p n n a _n ⁿ _n

  − = . Karena p adalah bilangan bulat positif, maka diperoleh fungsi

  ( ) ( ) ( ) ^{p n n n p}

  J x = x p n n

  ⎟ ⎠ ⎞

• −

  4. Menentukan penyelesaian kedua dari Persamaan Diferensial Bessel dengan kombinasi linear antara J dan y . _{p p} Karena akar-akar persamaan indicialnya berbeda, maka penyelesaian kedua Persamaan Diferensial dapat dinyatakan menjadi

  ∞

  y ( ) x = a x cJ ( ) x ln x , dengan c adalah kostanta dan c ≠ _{p n p} ^{n p} 0.

• −

  ∑ _n =

  Penyelesaian kedua Persamaan Diferensial Bessel orde p merupakan kombinasi linear dari J dan y , maka kombinasi linear Persamaan _{p p} Diferensial Bessel orde p dilambangkan dengan Y ( ) x dan dinyatakan _p menjadi ^{2 n p} +

  x ⎛ ⎞

  ∞ − ^{n ⎜ ⎟ n p p} _n ^{1 2 − n p}

• 2 x

  2 ⎛

  γ

  1 1 ⎞ x p − n − ( 1 ! ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

  π +

  ⎜ ⎟ ) } ∑ ⎜⎜ ∑ ∑ ⎟⎟ ∑

  Y ( ) x = { ( ) + J x ln − 1 − + + _{p n}

  2 ( ) ( ) n ! p n ! k k _{n = k = 1 k = 1 n = ⎝ ⎠} 2 n ! ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

  dengan n = p dan γ adalah kostanta Euler dan penyelesaian ini disebut Fungsi Bessel jenis kedua orde p.

  5. Menentukan penyelesaian umum dari Persamaan Diferensial Bessel.

  Penyelesaian umum Persamaan Diferensial Bessel orde p adalah _{1 p} + y = c J ( ) x c J ( ) x , dimana c dan c adalah konstanta sebarang. _{2 − p 1 2} Penerapan dari Persamaan Diferensial Bessel dapat ditemukan pada getaran yaitu pada getaran rantai yang digantung dan getaran membran lingkaran.

• − =

• − = a . Because p is a positive integer obtain function ( )
• ⎟ ⎠ ⎞
• !
• − =
• !
• − =
² 2 ! 1 ^{p n n} _p x p n J x .

  1 ⁿ

  p

  − = ² 2 ! _n ^{p n p}

  x n n J x is called Bessel Function of the first kind of order p.

  3. Determine recurrence relation to p r − = and function it.

  If , we obtain p r − =

  ( ) p n n a a ⁿ _n

  2 ²

  

−

  , with and and we obtain

  2 ≥ n p n

  2 ≠

  a where n is an odd integer and ( ) ( ) ! p ⁿ

  = _n

  1 ₂

  n n ⁿ

  −

  2 ²ⁿ − =

  a . If the roots

  is unequal an odd integer, has a solution

  ( ) ( ) ( )

  ∑ ∞ =0

  ! n n − −

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛

  4. Determine the second solution of Bessel’s Differential Equation with linear combination of _p . _p

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∞ =

  ( ) ( ) ∑

  − = ⁿ _n

  

Abstract

  The purpose of this graduating paper with title Bessel’s Differential Equation and Application is to show how the power series method can be modified to obtain solution of Bessel’s Differential Equation and to acknowledge the application in physics.

  The method applied in this graduating paper is the library research which is focused on studying and researching text books relevant to the subject matter solution of Bessel’s Differential Equation with power series method.

  Bessel’s Differential Equation is a special form of second order linear homogen differential equation with variable coefficient, where the general form Bessel’s Differential Equation is

  ( ) ^{2 '' 2 ' 2}

  = − + +

  y p x xy y x , with p is arbitrary constant and is called Bessel’s Differential Equation order – p.

  The steps of the problem solving of Bessel’s Differential Equation:

  1. Determine the roots of the indicial equation By using Frobenius method, we observe that = x is a regular singular point, obtain solution of power series is ( )

  ( ) ∑

  ∞ =

  − x x a x y _n ^r x x , with r is the roots of the indicial equation and has p r = and p r − = .

  p n ^{n n}

  2. Determine recurrence relation to p r = and Bessel function of the first kind of order p.

  If , we obtain p r =

  ( ) p n n a a ⁿ _n

  2 ²

  −

  , with and the known value with n is positive integer, thus

  2 ≥ n

  = _n

  a ( ) ( ) ! !

  2 ²

  n ⁿ

  −1 ₂

  J y dan

• = _{p p}
• ∞ =
^{1 1 2} _{1 1} 2<
• = =

  1 ! !

  ⎤ ⎢⎣ ⎡

  ∑ ∑ ∑ ∑ − =

  −

  1

  2

  1

  

2

  ⎝ ⎛ − + ⎥⎦

  1

• =

  2 ln

  2 ^p _n ^{n p n} _k ⁿ _k ^{p n n} _{n n p} n n p x k k p n n

x

x J x x Y

  γ π where n = p and γ is a number called Euler’s constant and the solution is called Bessel Function of the second kind of order p.

• ⎟

  ⎠

  ⎞

  ⎜

  5. Determine the general solution of Bessel’s Differential Equation The general solution of of Bessel’s Differential Equation of order p is given by , where and is arbitrary constants. ( ) ( ) x J c x J c y _{− p p}

  c ₂ c

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛ −

  − − ⎟ ⎠ ⎞

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  and is assumed

  J ( ) x Y _p

  

y dan

≠ c

  −

  ∑ ∞ =

  ln

  ( ) ( ) J x x c x a x y _{p n} ^{p n} _{n p}

  Because the roots of indicial equation unequal the second solution of Bessel’s Differential Equation has form , where c is constant and . The second solution of Bessel’s Differential Equation order p is linear combination of , we obtain

• =
_{2 1 1}

  Application of Bessel’s Differential Equation arises in the oscilation of a hanging chain and the circular membrane.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur ke hadirat Allah Bapa di Surga karena penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Persamaan Diferensial Bessel dan Penerapannya”. Skripsi ini penulis susun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Selama penyusunan skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis alami. Namun dengan bantuan berbagai pihak semua kesulitan dan hambatan tersebut dapat teratasi. Untuk itu, dalam kesempatan ini penulis dengan tulus hati ingin mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada :

  1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu menjaga, melindungi, dan menuntun langkahku. Puji syukur atas segala berkat dan anugerah yang telah kuterima.

  2. Bapak Drs. A. Tutoyo, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah membimbing, mengarahkan dengan sabar, menyediakan waktu, dan memberikan masukan serta kritikan yang berharga kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini.

  3. Bapak Dr. St. Suwarsono selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Bapak Drs. Al. Haryono selaku dosen pembimbing akademik 2003 dan Drs. A. Mardjono dan Dr. Susento M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan bantuan selama penulis menempuh kuliah serta atas masukan dan kritikan yang bermanfaat untuk penyempurnaan skripsi ini.

  4. Segenap dosen dan karyawan JPMIPA yang telah membantu penulis selama kuliah hingga penyelesaian skripsi ini.

  5. Kedua orang tuaku dan kedua adikku atas doa yang tak pernah kunjung henti, cinta, kasih sayang, perhatian, kesempatan, nasehat, dan dorongan yang diberikan baik secara materiil maupun spiritual.

  6. Sahabat-sahabatku yang telah membantuku mengetik. Terima kasih untuk semuanya dan kebersamaannya.

  7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah rela membantu penulis hingga selesainya proses penyusunan skripsi ini.

  Semoga segala bantuan, perhatian, serta dukungan yang telah diberikan akan mendapat imbalan dari Tuhan Yang Maha Esa. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kesalahan dalam skripsi ini. Karena itu penulis sangat mengharapkan masukan dan saran dari pembaca demi perbaikan skripsi ini.

  Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi yang tidak sempurna ini bermanfaat bagi setiap pembaca.

  Yogyakarta, 26 Mei 2008 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL……………………………………………………………... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………. ii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………... iii HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………….iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………………….v ABSTRAK…………………………………………………………….…………vi

  

ABSTRACT …………………………………………………………….………..viii

  KATA PENGANTAR…………………………………………………………....x DAFTAR ISI………………………………………………………………….....xii

  

BAB 1. PENDAHULUAN …………………………………………………..…..1

  1.1. Latar Belakang ………………………………………………………….…....1

  1.2. Rumusan Masalah …………………………………………………………...4

  1.3. Tujuan Penulisan ………………………………………………………….....4

  1.4. Metode Penulisan …………………………………………………………....4

  1.5. Sistematika Penulisan ……………………………………………………….5

  

BAB 2. LANDASAN TEORI…………………………………...………………6

  2.1. Deret Tak Hingga…………… ……………………………………………....6

  2.2. Deret Kuasa………………… ……………………..…………………..…..11

  2.3. Persamaan Diferensial Linear Homogen orde dua dengan koefisien berubah…………………………………………………………………........22

  2.3.1. Titik biasa dan titik singular……..…………………………………….22

  2.3.2. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik biasa ……………….25

  2.3.3. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik singular……..……...29

  

BAB 3. PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL..…………………………..54

  3.1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde nol………..…..…55

  3.2. Penyelesaian deret Persamaan Diferensial Bessel dengan orde p.…......….63

  3.3. Penerapan Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel…...………………..77

  3.3.1 Getaran rantai yang digantung…..…..………………………………..77

  3.3.2 Getaran membran lingkaran……….…………………………………81

  

BAB 4. .PENUTUP……………………………………………………………..89

DAFTAR PUSTAKA …………………………………...……………………...93

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. LATAR BELAKANG MASALAH

  Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan atau derivatif dan diferensial dari satu fungsi atau lebih yang tidak diketahui.

  Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada lebih dari satu variabel bebas maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial.

  Contoh : x dx 2y dy = (1) + _{2 3} ⎛ ⎞

  d y dy ₂

  4 + + 6 y = (2)

  ⎜⎜ ⎟⎟

  dx dx

  ⎝ ⎠ ∂ u ∂ u

  = + (3)

  x y

  ∂ ∂ _{2 2} ∂ u ∂ u ₂ + = + ₂ 1 x

  (4) ∂ y ∂ x

  Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa (1) dan (2) merupakan contoh persamaan diferensial biasa, dimana y menyatakan fungsi yang belum diketahui ( atau variabel tak bebas ) dan x menyatakan variabel bebas. Sedangkan (3) dan (4) merupakan contoh persamaan diferensial parsial, karena memiliki lebih dari satu variabel bebas yaitu x dan y. Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah _{' '' ( n )}

  f x , y , y , y ,..., y = ( )

  dengan x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat, sedangkan bentuk umum dari persamaan diferensial parsial adalah _{2 2 2 n}

  ⎛ z z z z z z ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f x , y , z , , , , , ,..., = 0 _{2 2 n}

  ⎜⎜ ⎟⎟ x y x y

  ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ ∂ y ∂ y ⎝ ⎠

  Persamaan diferensial diklasifikasikan menurut tingkat atau orde dan derajat. Tingkat atau orde persamaan diferensial adalah tingkat turunan atau derivative tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut. Derajat persamaan diferensial adalah pangkat dari turunaan atau derivatif tingkat tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut.

  Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa contoh (1) merupakan tingkat 1 dan derajat 1, contoh (2) mempunyai tingkat 2 dan derajat 3, contoh (3) merupakan persamaan diferensial parsial dengan tingkat 1 dan derajat 1, sedangkan contoh (4) dengan tingkat 2 dan derajat 1.

  Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai persamaan diferensial linear. Persamaan diferensial linear tingkat-n disebut linear dalam y jika mempunyai bentuk umum

  ( ) ( ) ^{n n 1 '} − a x y a x y a x y a x y = f x (5) _{n n}

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ₁ + + ₁ −

  dimana a ( ) x ≠ dan a , a , a ,..., a dan f(x) adalah fungsi – fungsi kontinu _{n 1 2 n} dalam suatu interval. Fungsi a x dengan i = 0, 1, 2,…, n disebut fungsi

  ( ) koefisien, sedangkan f(x) disebut fungsi masukan (input) atau penggerak (driving).

  Jika f(x) = 0, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika f(x) ≠ 0 untuk semua x dalam [a, b], persamaan disebut persamaan diferensial linear tak homogen.

  Bila semua koefisien a ( ) ( ) ( ) x , a x , a x ,..., a ( ) x adalah konstanta real, maka _{1 2 n} persamaan diferensial linear itu disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan, sedangkan apabila koefisien – koefisiennya berubah, maka disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien peubah ( variabel).

  Dalam penulisan ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien variabel. Persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien variabel mempunyai bentuk umum :

  a ( ) + ₂ x y a ( ) x y a ( ) x y = a ( ) x ≠ ^'' ₁ ¹ ₂ Persamaan diferensial linear homogen orde dua mempunyai beberapa terapan,

• , dimana

  antara lain dalam getaran (vibrasi). Dari beberapa persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien variabel yang dikenal adalah persamaan diferensial yang disebut Persamaan Diferensial Bessel. Untuk memperluas pengetahuan mengenai persamaan diferensial biasa yang telah dipelajari maka dipelajari Persamaan Diferensial Bessel yang memiliki bentuk umum : _{2 '' ' 2 2}

  x y xy x − p y =

  ( )

  dimana p adalah suatu konstanta sembarang, sehingga Persamaan Diferensial tersebut disebut dengan Persamaan Diferensial Bessel orde - p

  Metode penyelesaian persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien variabel yang digunakan adalah metode deret kuasa.

  Mengingat pentingnya persamaan diferensial linear homogen orde dua dalam terapan, maka penulis ingin membahas tentang Persamaan Diferensial Bessel yang penerapannya terdapat dalam bidang fisika yaitu dalam getaran rantai yang digantung dan getaran membran lingkaran.

  1.2. RUMUSAN MASALAH

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Bagaimana cara menyelesaikan Persamaan Diferensial Bessel?

  2. Apa saja terapan dari Persamaan Diferensial Bessel?

  1.3. TUJUAN PENULISAN

  1. Mengetahui penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa.

  2. Mengetahui terapan Persamaan Diferensial Bessel dalam bidang fisika

  1.4. METODE PENULISAN

  Metode yang akan digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu mempelajari buku – buku teks yang berkaitan dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa.

1.5. SISTEMATIKA PENULISAN

  1. Pendahuluan

  1.1. Latar Belakang Masalah

  1.2. Rumusan Masalah

  1.3. Tujuan Penulisan

  1.4. Metode Penulisan

  1.5. Sistematika Penulisan

  2. Landasan Teori

  2.1. Deret Tak Hingga

  2.2. Deret Pangkat

  2.3. Persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien berubah

  2.3.1. Titik biasa dan titik singular

  2.3.2. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik biasa

  2.3.3. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik singular yang regular

  3. Persamaan Diferensial Bessel

  3.1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde nol

  3.2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde p

  3.3. Penerapan dari Persamaan Diferensial Bessel

  3.3.1. Getaran rantai yang digantung

  3.3.2. Getaran membran lingkaran

  4. Penutup

  { } _n s konvergen bila

  { } _n s ⁿ a _n a a s

  ∑ ∞ =1 ^{n n} s

  konvergen. Menurut definisi barisan

  { }

  adalah barisan jumlah parsial deret. Deret disebut konvergen bila barisan jumlah parsial

  { } _n s _n a

  ∑ ∞ = ^{k n n} a a a a a

  Andaikan adalah suatu deret tak hingga dan andaikan .... ... _{3 2 1 1} + + + + + =

  Definisi 2.1.1

  dapat dipandang sebagai barisan jumlah parsial dimana _n

  disebut suku – suku deret tak hingga dan .... ... + + + + + a a a

  BAB 2 LANDASAN TEORI

  a a a _{3 2 1}

  ,.... , , _{3 2 1}

  ∑ ∞ =0 n ⁿ a

  dilambangkan dengan notasi sigma (2)

  = a a a a a Deret tak hingga adalah bentuk dari .... ... _{3 2 1} + + + + + _n a a a a yang

  ,.... ,..., , , _{3 2 1 n n}

  { }

  Suatu barisan tak hingga didefinisikan dan ditulis (1)

  2.1 Deret Tak Hingga

• a a + + + =
_{2 1} ... ₃ .

  ∞ Lim S = S ada. Jika Lim S = S maka deret a = S . Jika _{n n n n n} ∑

  → +∞ → +∞ _n =1 ∞ Lim S tidak ada, maka a divergen. _{n n n → +∞} ∑ _n

=1

  Contoh 2.1.1

  Tentukan apakah deret 1-1+1-1+1-1+…. konvergen atau divergen dan jika konvergen, tentukan jumlahnya! Penyelesaian:

  Bentuk barisan jumlah parsial { } s _n

  s

  1 ₁ =

  s = ₂ 1 − 1 = ₃ 1 −

  1 _n 1 −

  1 + s = 1 =

  1 + s = 1 − 1 = dan seterusnya.

  s = 1, 0, 1, 0,....

  { } _n

  1, bila n ganjil

  1 S = dan Lim S = , maka limitnya tidak _{n n n}

  

→ +∞

  0, bila n genap ada. Karena limitnya tidak ada, maka deretnya divergen dan deret tidak mempunyai jumlah.

• ∞ =
• ∑
^{n n} _n ^{n n} a a a a a
• − + + + − + − = −

  b. Deret .... disebut konvergen bersyarat jika

  2. =

  a , untuk semua n a

  a 1. ₁

  1 _{n n} ⁿ

  ∞ =

  ( ) ∑

  Deret selang – seling konvergen bila memenuhi 2 syarat, yaitu

  Teorema 2.1.1

  ∑ ∞ =1 ^{n n} a divergen.

  =1 ^{n n} a

  ∑ ∞ = ^{n n n} a a a a a

  konvergen, tetapi ... _{3 2 1 1} + + + + + =

  ∑ ∞

  ∑ ∞ =1 ^{n n} a konvergen

  =1 ^{n n} a

  disebut konvergen mutlak jika

  ∑ ∞

  a. Deret

  Definisi 2.1.2

  ∑ ∞ = ^{n n n n n} a a a a a a dengan &gt;0 untuk semua n. _n a

  1 _{4 3 2 1 1}

  atau ( ) ( ) .... 1 ..

  a

  (3) dengan &gt;0 untuk semua n _n

  1 ¹ _{4 3 2 1 1} ¹ + − + + − + − = −

  Deret selang – seling adalah deret yang berbentuk ( ) ( ) .... 1 ...

• −
₁ 1<
• &gt; _{n n}

  Lim a

• ∞ → ^{n n}

  Bukti Pandang barisan jumlah parsial { } s , untuk suku – suku genap _{2 n}

  s = a − a &gt; _{2 1 2 4 2} + s = s a − a &gt; s _{3 4 2 6 4} + s = s a − a &gt; s _{5 6 4} M s &gt; s _{2 n 2 n 2}

  − Jadi, s &lt; s &lt; s &lt; ... &lt; s &lt; s . &lt; ... _{2 4 6 2 n 2 2 n} −

  Barisan { } s naik atau tidak turun, maka barisan { } s konvergen ke limit S, _{2 n n} yaitu _n Lim s = S _{2 n}

  → +∞

  Pandang barisan jumlah parsial { } s , untuk suku – suku ganjil, _n yaitu s , s , s ,..., s ,.... _{1 3 5 2 n − 1 2 n 1 2 3 4} + + + s = a − a a − a ... a − a _{2 n 1 2 n}

  − _{2 n 1 1 2 3 4} + + + s = a − a a − a ... a _ _{2 n 1} − − s s a _{2 n} − = − _{2 n 1 2 n}

  −

  Karena suku ke-2n dalam deret selang – seling adalah − a maka berlaku _{2 n}

  s − s = a dapat ditulis _{2 n n n 1 2 2 1}

_{2 n 1} = + s s a _{2 n 2 n} 1<
• Lim s Lim s a _{2 n}
_{1 2 n 2 n 1} = ( ) _{n n} + +

  → +∞ → +∞

• = Lim s Lim a _{n → +∞ n → +∞} ^{2 n 2 n}
1<

  S =

  S =

• n ⁿ
• n a _n
• =

  1

  untuk semua n ( syarat 1 dipenuhi) _{1 +}

  &gt; _{n n}

  a a

  dan 1 =

  n Lim _n Jadi, deret ( ) ....

  5

  1

  

4

  1

  3

  1

  2

  1

  1

  1

  1 ¹ − + − + − = − ∑

  tetapi ( ) ....

  5

  1

  4

  1

  3

  1

  2

  1

  1

  1

  1 ¹ + + + + + = − =

  n n

  1

  ∑ ∑

  4

  Barisan konvergen ke S, maka deret konvergen. ,.... ,..., , , _{3 2 1 n}

  s s s s Contoh 2.1.2 Selidiki apakah deret ....

  5

  1

  4

  1

  3

  1

  2

  1 1 − + − + − konvergen mutlak

  atau konvergen bersyarat? Penyelesaian ( ) ....

  5

  1

  1

  1

  3

  1

  2

  1

  1

  1

  1 ¹ − + − + − = − ∑

  Menurut Teorema 2.1.2 diperoleh

  n a _n

  1 = dan

  1

  1 ₁

  n &lt; n+1 untuk semua n

• &lt;
• ∞ →
• n ⁿ konvergen.
• n a ⁿ _n

  deret nilai mutlaknya divergen. Maka deret

  1

  1

  1

  1 1 − − − .... konvergen bersyarat. + +

  2

  3

  4

  5

2.2 Deret Kuasa

  Suatu deret dengan bentuk :

  ∞ _{n 2 k} a x = a a x a x K a x K (4) _n + + + + + _{1 2 k}

  ∑ _n =

  disebut deret kuasa atau deret pangkat dalam x, dimana x adalah variabel dan a adalah konstanta sebarang. _n atau

  ∞ _{n 2 k}

  K K

  a ( x − x ) = a a ( x − x ) a ( x − x ) a ( x − x ) (5) _{n 1 2 k} + + + + + ∑ _{n =}

  disebut deret kuasa dalam (

  x − ). x

a , a , K , a , K adalah koefisien – koefisien konstan dari deret kuasa itu, x

_{1 n}

  adalah variabel dari deret kuasa, dan x pada (5) adalah titik tertentu yang disebut pusat dari deret kuasa itu.

  Jika x dalam (4) diganti dengan bilangan, maka diperoleh deret dengan suku

• – suku konstan yang dapat konvergen atau divergen. Hal ini menunjuk pada masalah dasar yaitu mencari nilai x agar deret kuasa (4) konvergen. Teorema berikut adalah hasil dasar pada konvergensi deret kuasa
ada

  Lim x _n ⁿ _n = &lt;

  ∑ ∞ =0 ^{n n n} x a n ^{n n n n n n} _n ^{n n n n n n} a a

  a a Lim x R a a

  1 ¹ &lt;

  ρ &lt;1

  ρ Deret kuasa konvergen mutlak jika

  = = = =

  Lim u u Lim ^{1 1 1 1 1}

  Lim x x a a Lim x a x a

  deret nilai mutlak dikerjakan dengan menggunakan uji rasio. Deret kuasa akan konvergen mutlak apabila dipenuhi syarat:

  Teorema 2.2.1

  ∑ ∞ =0 ⁿ

ⁿ

ⁿ x a . Untuk memeriksa kekonvergenan

  Bukti: Bentuk deret nilai mutlak

  c. Deret konvergen mutlak untuk semua x dalam suatu interval terbuka tertentu ( -R , R ) dan divergen bila x &lt; - R atau x &gt; R. Pada titik x = R dan x = -R deret konvergen mutlak , konvergen bersyarat, atau divergen, bergantung pada deret khusus

  b. Deret konvergen mutlak untuk semua x

  a. Deret konvergen hanya untuk x = 0

  ∑ ∞ =0 ^{n n n} x a

  Untuk setiap deret kuasa tepat satu yang berikut benar

• ∞ →
• ∞ →
• ∞ →
• ∞ →
• ∞ → _n ^{n n}
• ∞ →
₁ dan deret kuasa akan divergen apabila x &gt; R . Apabila

  

x = R , untuk dapat mengetahui apakah deret konvergen atau divergen dapat

  dilakukan dengan cara mensubstitusikan setiap x = R atau x = -R ke dalam deret yang diketahui.

  a _n

  a. Jika Lim = R = , maka didapat x =0, sehingga deret kuasa akan _{n → +∞}

  a ⁿ + ¹

  konvergen mutlak hanya bila x = 0 dan divergen bila x ≠ , jika

  a _{n n} Lim = R ≠ . Jadi (a) terpenuhi.

  → +∞ a ^{n 1}

• a _n

  b. Jika Lim R , maka didapat x , sehingga setiap nilai x _n = = ∞ &lt; ∞

  → +∞ a ^{n 1}

• pada deret kuasa konvergen mutlak. Jadi (b) terpenuhi.

  a _n

  c. Jika Lim = R , maka didapat x &lt; R atau − R &lt; x &lt; R sehingga _n

  → +∞ a

• n
¹

  untuk semua nilai x yang terdapat dalam interval − R &lt; x &lt; R deret konvergen mutlak. Jadi (c) terpenuhi.

  Himpunan semua nilai x yang menyebabkan suatu deret kuasa konvergen disebut interval konvergensi deret. Bilangan R dari syarat (c) dalam teorema 2.2.1 di atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a) berlaku, maka R = 0 dan jika syarat (b) berlaku maka R = ∞ .

  Contoh 2.2.1

  Tentukan interval konvergensi dan jari – jari konvergensi dari deret

  ∞ _n x

  ∑ _n =0

  Penyelesaian

  ∞ _{n 2 n} x = 1 + x x K x K

  ∑ _n =0

  ∞ _n

• n n
¹ U = x dan U n+1 = x atau bentuk deret nilai mutlak x _n ∑ _n

  =0 ^{n 1}

• U x ⁿ
1<
• _{n → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ n}

  ρ = Lim = Lim = Lim x = x Lim

  1 = x U _n x

  ∞ _n

  Deret kuasa x konvergen mutlak,

  ∑ _{n =0}

  bila ρ &lt;

  1 &lt; 1 -1 &lt; x &lt; 1

  x ⇔

  dan divergen bila ρ &gt;

  1

  x &gt; 1 ⇔ x &gt; 1 atau x &lt; -1 dengan R = 1.