BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Chaos - Analisis dan Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier Menggunakan Mathematica 9
5
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Chaos
Jacques Hadamard pada tahun 1898 menerbitkan suatu tulisan tentang gerakan
yang tidak stabil atau acak dari suatu “arah peluru”. Ia menunjukkan bahwa semua
arah peluru yang ditembakkan dari senapan memiliki arah yang berbeda dan
menyimpang dari senapan memiliki arah yang berbeda dan menyimpang satu
sama lainnya. sementara itu istilah “chaos” dirumuskan pertama kali oleh Henri
Poincare (1854-1912), seorang ahli matematika perancis. Ia menemukan bukti
bahwa sistem tata surya tidak bekerja secara teratur dan dapat diprediksi dengan
pasti. Ia mengungkapkan bahwa “dapat terjadi perbedaan kecil pada kondisi awal
menghasilkan peristiwa yang berdampak sangat besar. Sebuah kesalahan kecil
pada permulaannya akan menghasilkan peristiwa yang berdampak sangat besar.
Sebuah kesalahan kecil pada permulaannya akan menghasilkan penyimpangan
yang lebih besar. Semula gagasan Henri Poincare tidak terlalu dihargai oleh para
ilmuan pada saat itu, sampai penemuan computer yang memungkinkan pada ahli
membuat model dan menggambarkan sistem chaostik.
Gambar 2.1 Model Cuaca Edward Loretz (Sahid, 2003)
Teori chaos pertama kali dicetuskan oleh seorang seorang metrologies
bernama Edward Lorenz pada tahun 1961. Teori chaos berusaha mencari bentuk
Universitas Sumatera Utara
6
keseragaman dari data yang kelihatannya acak. Teori ini ditemukan secara tidak
sengaja, Lorenz pada saat itu sedang mencari penyebab mengapa cuaca tidak bisa
diramalkan. Penemuan ini memunculkan model yang lebih sederhana yang
disebut efek kupu-kupu (butterfly effect). Suatu perbedaan kecil akan mengubah
pola secara keseluruhan.(Kusmarni, 2005).
Teori chaos merupakan suatu teori yang menjelaskan perubahan yang
bersifat kompleks dan tak dapat diprediksi atau sistem-sistem dinamik yang peka
terhadap kondisi awal. Sistem chaos secara matematis bersifat deterministic
(sebagai lawan sifat probabilistic), yakni mengikuti hukum-hukum yang persis,
tetapi perilaku ketakberanturannya dapat tampak seperti bersifat acak bagi
pengamat awam. Perilaku chaos dapat terjadi berbagai sistem berbagai sistem
seperti rangkaian listrik, penyebaran penyakit campak, laser, roda bergigi (gir)
yang meleset, irama denyut jantung, aktivitas elektris otak, irama sirkulasi darah
daam tubuh, populasi binatang, dan reaksi kimia. Lebih daripada itu, bahkan
diyakini bahwa sistem ekonomi, seperti stock exchange, dapat bersifat chaos.
Studi mengenai masalah chaos secara cepat berkembang dari kajian teoritis
matematis ke ilmu-ilmu terapan.(Sahid, 2003)
Pendekatan
yang
memadukan
eksperimen
numerik
dan
analisis
matematika telah melahirkan bidang antar disiplin baru yang disebut dinamika tak
linier (nonlinier dynamics). Bidang ini mencakup pelbagai problema tak linier
seperti reaksi kimia, control umpan balik (feedback) untai listrik, interaksi
populasi biologis, respon sel jantung terhadap impuls listrik, naik turunya harga,
dan pembangunan mesin perang dua Negara yang bermusuhan.
Para ahli dinamika tak linier menggunakan istilah “chaos” untuk tingkah
laku tak teratur dan tak terprakirakan dalam sistem tak linier deterministik.
Bahkan diketahui pula sistem-sistem sederhana dengan hanya satu atau dua
derajat kebebasan saja dapat bersifat chaos. (Setiawan, 1991)
Gerakan chaos dalam dinamika sistem sederhana bisa diterangkan dalam
hal beberapa variabel. Gerakan tersebut adalah:
1. Tidak teratur dalam waktu (bahkan tidak termasuk superposisi gerakan
periodik)
Universitas Sumatera Utara
7
2. Tidak dapat diprediksi dalam jangka panjang dan sensitif terhadap kondisi
awal
3. Kompleks, tetapi nampaknya seperti beraturan dalam ruang fasa
Batas antara perilaku yang teratur dan kacau sering ditandai dengan
penggandaan periode, keadaan inilah yang mengantarkan pada perilaku chaos.
(Tamas, 2006)
2.1.1 Studi Chaos Secara Numerik
Studi keberatan yang muncul ketika gejala chaos dipelajari secara numerik
dengan menggunakan computer digital yaitu mengenai penggunaan sekumpulan
bilangan rasional berhingga dengan panjang kata berhingga (finite) dan waktu
perhitungan yang juga berhingga. Hal ini menyebabkan orbit periodik yang
panjang dengan orbit quasiperiodik atau orbit chaos sulit untuk dibedakan. Orbit
yang teramati secara numerik
hanya menampilkan orbit fiktif, karena setiap
langkah dimulai dengan bilangan yang dibulatkan berbeda dengan orbit yang
sebenarnya, meskipun perbedaan itu kecil.
Namun, bilangan irasional dapat didekati dengan bilangan rasional, atau
sama dengan kata lain daerah chaos dikelilingi oleh daerah-daerah periodik.
Strategi yang benar dalam studi computer adalah dengan mengidentifikasikan
orbit periodik dengan tepat dan mencirikan gerak tak periodik. Selain itu,
sistematika orbit periodik banyak sekali memberitahukan sifat gerak tak periodik
yang berdekatan (dalam ruang parameter). Dan telah dibuktikan bahwa setiap
periode orbit chaos fiktif dibayangi dengan orbit chaos yang sebenarnya.
(Setiawan, 1991)
Studi chaos dapat juga dilakukan menggunakan kalkulator saku dengan
menggunakan menggunakan hubungan matematis yang sederhana. Digunakan
persamaan logistic yang diberikan pada persamaan 2.1.
𝑥 ′ = 𝑤𝑥(1 − 𝑥)
(2.1)
dimana 0 ≤ x ≤ 1 dan w adalah parameter yang dapat diatur, sedangkan x
merupakan parameter simpangan. Untuk w = 2,9 dan x = 0,4, maka x’ = 0,696.
Berikutnya x’ menjadi nilai awal sehingga diperoleh (x’)’ = 0,614, dan hal ini
dilakukan selanjutnya sehingga diperoleh nilai-nilai x’ yang tetap pada nilai yang
Universitas Sumatera Utara
8
mendekati 0,665. Hal ini dilakukan seterusnya untuk beberapa iterasi dan
dikatakan sebagai keadaan periodik.
Selanjutnya jika nilai w dinaikkan menjadi 3,3, maka nilai x akan bergantiberganti antara nilai tinggi 0,824 dan nilai rendah 0,480, dan hal inilah yang
dikatakan sebagai penggandaan periode, dan dengan melanjutkan prosedur ini,
maka akan diperoleh penggandaan periode lagi, begitu seterusnya sehingga
diperoleh kondisi chaos (Walker, 1991).
2.1.1.1 Ruang Fasa
Ruang fasa (phase space) merupakan sarana yang bermanfaat untuk
mengambarkan tingkah laku sistem-sistem yang bersifat chaos dalam bentuk
geometri. Adapun yang dimaksud dengan ruang fasa dari suatu sistem adalah
ruang yang secara matematika memiliki koordinat tegak lurus, dimana masingmasing koordinat mewakili variable-variabel yang diperlukan untuk menentukan
keadaan sistem pada ssat tersebut. Sebagai contoh saat sebuah partikel bergerak
dalam ruang tiga dimensi (x, y, z) dan memiliki momentum pada ketiga arah
tersebut (Px, Py, Pz), keadaan partikel tersebut setiap saat secara lengkap
dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu (x, y, z, px , py, pz). Ruang di mana
partikel dispesifikasikan dengan enam koordinat tersebut disebut sebagai ruang
enam dimensi atau ruang Γ (Baker et al, 1996).
Gambar 2.2 Bawah, skala dari energi potensial V(θ) untuk sistem terkendali
pada pendulum, atas, menunjukkan lintasan ruang fasa pada tiga tingkatan
energi
(Robert Deserio,2002)
Universitas Sumatera Utara
9
Sebagai contoh pada gambar diatas tepatnya pada bagian bawah tampak
energi potensial V(θ) untuk d = 0. Pada bagian atas gambar menampilkan grafik
dari ω –vs– θ dan menunjukkan lintasan dari ruang fasa untuk gerak yang tidak
terkendali, vibrasi teredam pada tiga nilai dari E. Pembentukan titik vibrasi dapat
diilustrasikan sedikit oleh garis vertikal dan energi mekanik oleh garis titik
horizontal. Arah gerak disepanjang lintasan diindikasikan oleh arah panah.
2.1.1.2 Penggandaan Perioda
Perubahan kestabilan atau perubahan yang dramatis dalam suatu sistem akibat
perubahan nilai parameter dinamakan bifurkasi. Dimana bifurkasi ini tidak selalu
berhubungan dengan kompleksitas, tetapi terdapat beberapa jenis bifurkasi yang
senantiasa berhubungan dengan bertambahkan kerumitan suatu sistem yang pada
akhirnya mengakibatkan kondisi chaos.
Beberapa ahli dinamika nonlinier mengemukakan bahwa salah satu jenis
bifurkasi yang terkenal adalah penggandaan periode (period doubling), yakni
suatu gerakan periodik yang mengalami bifurkasi dan ‘melontarkan’ gerakan
periodik yang periodenya dua kali lebih besar dari periode semula. Kemudian
masing-masing gerakan periodik itu mengalami bifurkasi lagi yang sama dan
begitu proses seterusnya. Masing-masing gerakan periodik yang terlontar biasanya
tidak stabil, akibatnya pada suatu nilai parameter tertentu akan sangat banyak
gerakan periodik yang tidak stabil dalam suatu sistem. Ketika hal itu terjadi
dinamika sistem sudah sangat kompleks dan kondisi chaos terjadi lagi.
Dengan menggunakan kalkulator tangan, dengan mudah dapat diperoleh
jendela periodik pertama untuk pemetaan logistik:
p=1
0 < μ < μ1 = 0,75
p=2
μ1 < μ < μ2 = 1,25
p = 4 = 22
μ2 < μ < μ3 = 1,3680989
p = 8 = 23
μ3 < μ < μ4 = 1,3940461
Dari sudut pandang chaos¸ kejadian yang lebih besar dari μ∞ merupakan
hal yang lebih menarik. Dalam rentang parameter (μ∞, 2) terdapat jendela periodik
dalam jumlah tak hingga (infinite) dengan latar belakang daerah yang tak
periodik. Jika distribusi titik-titik dalam daerah yang tak periodik disimak lebih
Universitas Sumatera Utara
10
teliti, akan terlihat iterasi yang melompat antara 2n subinterval dari interval I
dengan n yang berkurang dari ∞ menjadi 0 bila μ bergerak dari μ∞ menuju 2. Ini
disebut sebagai deret percabangan ganda setengah periode atau deret percabangan
ganda terbalikkan dari pita chaos (Setiawan, 1991).
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains
Penemuan terhadap chaos ini mernghasilkan paradigma baru dalam pemodelan
sains. Di satu sisi, hal ini mengimplikasikan batas fundamental baru dalam
melakukan
prakiraan.
Di
sisi
yang
lain,
determinisme
dalam
chaos
mengimplikasikan bahwa banyak gejala acak yang lebih dapat diprakirakan
daripada yang diduga sebelumnya. Chaos memungkinkan ditemukannya
keteraturan dalam sistem-sistem yang tampaknya kacau-balau, dan hal ini
memiliki dampak besar yang mengimbas banyak cabang ilmu pengetahuan.
Berikut beberapa contoh gejala chaos dalam beberapa bidang sains:
1.
Dalam bidang komunikasi, chaos tampak pada situasi yang dibangun dari
masyarakat “Mellee” atau masyarakat tanpa sistem. Apa yang dipermukaan
tampak tertib, teratur, jelas dan sebenarnya penuh dengan ketidakpastian. Hal
ini dikarenakan hubungan dalam masyarakat bertumpu pada hubungan antar
kekuatan (power relations) yang tidak selalu tercermin dalam hubungan
formal masyarakat. Sehingga terjadi kesenjangan antar hubungan formal dan
hubungan nyata yang didasarkan pada kekuatan.
2.
Dalam bidang fisika zat padat, model osilator gandeng dalam suatu rentang
parameter tertentu yang sering digunakan dalam pemodelan fisika zat padat
ternyata menunjukkan gejala chaos. Selain itu, frekuensi radio dalam
sambungan Josephson yang dipakai dalam penguat parametrik noise,
bertambah secara luar biasa seiring dengan naiknya level gain, karena level
noise yang tinggi semacam ini tak dapat dijelaskan oleh suatu sumber noise
dan penguatannnya dikenal, Huberman dan sejawatnya menyatakan hal ini
sebagai dinamika instrinsik sambungan tertentu.
3.
Dalam bidang kedokteran, dinamika jantung yang dimodelkan dengan
osilator periodik terkendala, serta ritmik jantung dan berbagai praktek klinik
ternyata mengalami gejala chaos. Selain itu, gejala chaos dalam jaringan saraf
Universitas Sumatera Utara
11
dan EEG (Electroencephalographic) dan dalam aktivitas otak telah mendapat
banyak perhatian beberapa tahun belakangan ini.
4.
Dalam bidang geofisika, seperti persoalan perkiraan cuaca, dinamika
atmosfer dan lautan. Fenomena El Nino, gerak gelombang Pasifik juga bagian
dari dinamika chaos. Model dynamo geomagnetic juga melibatkan persamaan
differensial biasa juga menampakkan tingkah laku gejala chaos.
5.
Dalam
kemajuan
bidang
sosial,
Chapra
mengemukakan
bahwa
ketidakseimbangan antara kemajuan pengetahuan yang rasional, kekuatan
intelektual dan keterampilan teknologi di satu sisi derngan perkembangan
kebijaksanaan, spiritualitass dan etika di sisi yang lain telah menimbulkan
ketidakpastian, ketidakaturan dan chaos.
6.
Dalam bidang mekanika, Lorenz dan Duffig berhasil memodelkan sistem
mekanis sederhana. Vibrasi yang bersifat chaos pada tiang penyangga tempat
pengeboran minyak lepas pantai juga merupakan persoalan teknik yang
penting yang giat ditangani saat ini (Setiawan,1991).
7.
Dalam bidang hukum, keadaan hukum di Indonesia terpuruk sejak jatuhnya
orde baru sampai saat ini belum menunjukkan tanda-tanda pulih. Keadaan ini
diperparah dengan berbagai perilaku pejabat negara dan warga masyarakat
yang kurang terpuji menyebabkan atau menimbulkan keadaan chaos di
negara Indonesia. Pendekatan legal-positivism yang linier-mekanistik dan
deterministik tak mampu menjelaskan fenomena tak mampu menjelaskan
fenomena ini, sehingga penjelasan dapat diberikan gambalng bila
menggunakan teori chaos. (Raharjo, 2007)
8.
Dalam
bidang
ekologi
dan
ekonomi,
dinamika
chaos
juga
terus
dikembangkan untuk dapat diterapkan dalam bidang ilmu tersebut. Salah satu
fenomena chaos yang telah diteliti dalam bidang ini yaitu fenomena beruntun.
Beberapa ahli fisika ekonomi telah melaporkan bahwa penyebab krisis
Negara-negara asia termasuk Indonesia di tahun 1997 merupakan efek
beruntun dari kegagalan sistem ekonomi dibeberapa titik. Dengan teori chaos
ini dapat membantu melihat skenario-skenario mana yang berpeluang lebih
besar menimbulkan krisis dan mana yang tidak (Situngkir et al, 2010)
Universitas Sumatera Utara
12
2.2
Dinamika Sistem Triple Pendulum
Dinamika sistem triple pendulum merupakan sistem mekanika sederhana yang
mempunyai tiga buah pendulum sederhana yang terikat pada ujungnya yang
menunjukkan perilaku chaos. Gerakan pendulum ini merupakan contoh dari gerak
osilasi dimana pendulumnya dapat berayun bebas dalam bidang vertikal pada
sumbu atas yang diarsir sebagai respon terhadap gravitasi, g. Sistem ini
merupakan sistem tiga derajat kebebasan yakni sistem yang memiliki dua buah
koordinat bebas dari pergerakan massanya. Berarti sistem membutuhkan tiga buah
koordinat bersama-sama untuk menentukan kedudukan massanya.
O
y
Gambar 2.3 Sistem triple pendulum dengan θ1 sebagai posisi pendulum 1, θ2
sebagai posisi pendulum 2 dan
x θ3 sebagai posisi pendulum 3 (Andrianne
Stroup, 2004)
Sistem ini juga mengikuti konsep gerakan bersamaan dimana getaran salah
satu bagian sistem menyebabkan bagian lain dalam sistem yang mana bergetar
akibat gaya yang ditransmisikan melalui tali pendulum pertama. Dengan kata lain,
perpindahan salah satu massa lain dalam sistem yang sama karena kedudukannya
saling dihubungkan. Pendulum banyak digunakan untuk berbagai aplikasi seperti:
perusahaan konstruksi yang menggunakan bola perusak besar dalam gerakan
seperti pendulum ketika menghancurkan bangunan dan beberapa penghipnotis
menggunakan sebuah jam saku gantung yang juga bergerak mengikuti gerakan
pendulum untuk menghipnotis subjek. (McCrummen, 2015)
Universitas Sumatera Utara
13
Untuk sistem triple pendulum seperti terlihat pada gambar 2.3 jelas bahwa
menentukan posisi massa m1, m2 dan m3 pada berbagai waktu dibutuhkan tiga
buah koordinat dan sistem adalah tiga derajat kebebasan. Dan x1, x2, dan x3 atau
y1, y2, dan y3 atau θ1, θ2, dan θ3, mungkin merupakan kelompok koordinat sistem
ini.
x1 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1
(2.2)
y1 = l1 sin θ1
(2.3)
x2 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2
(2.4)
y2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
(2.5)
x3 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2 + l3 cos θ3
(2.6)
y3 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3cos θ3
(2.7)
dimana posisi koordinat x ditinjau dari panjang keseluruhan pendulum ke tiap –
tiap pendulum pada sumbu x dan posisi koordinat y ditinjau dari jarak pendulum
ke titik O pada sumbu y.
2.3 Fungsi Lagrangian
Untuk mencari persamaan gerak triple pendulum, koordinat-koordinat posisi
masing-masing pendulum akan dimasukkan ke Fungsi Lagrangian. Fungsi
Lagrangian atau yang biasa disebut Lagrangian disimbolkan dengan L merupakan
gabungan dari persamaan energi kinetik (T) dan energi potensial (V) yang
diberikan:
1
T = ∑3𝑛=1 𝑚𝑛 (ẋ n2 + ẏ n2 )
2
(2.8)
V = ∑3𝑛=1 𝑔𝑚𝑛 𝑥𝑛
(2.9)
dengan mn merupakan massa setiap pendulum, ẋ n2 + ẏ n2 adalah kecepatan masing
– masing pendulum dan xn adalah jarak titik dari panjang keseluruhan pendulum
ke setiap pendulum. Dari energi kinetik dan energi potensial dapat digunakan
untuk menghitung Lagrangian,
L=T–V
(2.10)
Untuk kasus gerak sistem triple pendulum dengan subsitusi persamaan
2.2, 2.4, dan 2.6, ke persamaan 2.9, diperoleh energi potensialnya
V = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3
Universitas Sumatera Utara
14
= m1g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1) + m2g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2cos θ2) + m3g (l1 +
l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3cos θ3)
(2.11)
dan untuk energi kinetiknya diperoleh persamaan:
1
1
1
T = 𝑚1 (ẋ 12 + ẏ 12 ) + 𝑚2 (ẋ 22 + ẏ 22 ) + 𝑚3 (ẋ 32 + ẏ 32 )
2
2
Dari persamaan:
𝑥̇𝑛 =
𝑑𝑥𝑛
𝑦̇𝑛 =
sehingga diperoleh
(2.12)
2
(2.13)
𝑑𝑡
𝑑𝑦𝑛
(2.14)
𝑑𝑡
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑥̇𝑛 2 + 𝑦̇𝑛 2 = ( 𝑑𝑡𝑛 ) + ( 𝑑𝑡𝑛)
(2.15)
dengan menggunakan persamaan 2.15 kedalam persamaan 2.12 diperoleh
T=
1
2
1
2
𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +
1
2
𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +
𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 −
𝜃3 ) + 2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )]
(2.16)
Dengan menggabungkan persamaan 2.11 dan 2.16 ke dalam persamaan 2.10
diperoleh
L=T–V
=
1
2
𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +
1
2
𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +
1
2
𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 +
𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 − 𝜃3 ) +
2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )] − 𝑚1 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 ) − 𝑚2 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2 ) −
𝑚3 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2 + 𝑙3 cos 𝜃3 )
(2.17)
Persamaan 2.17 merupakan Lagrangian gerak triple pendulum, dimana persamaan
tersebut akan diselesaikan dengan persamaan Lagrange agar diperoleh posisi
masing-masing pendulum.
2.4 Persamaan Lagrange
Jika sistem adalah konservatif, persamaan Lagrange dirumuskan sebagai berikut
𝑑
𝜕𝐿
( )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇𝛼
−
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝛼
= 0, 𝛼 ∈ {1,2,3}
(2.18)
Universitas Sumatera Utara
15
Karena kasus yang dibahas merupakan sistem triple pendulum yang memiliki tiga
pendulum maka ditinjau masing-masing posisi (Spiegel,1967). Persaman gerak
untuk θ1 adalah
(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 −
𝜃3 )𝜃̈3 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 ) + (𝑚1 + 𝑚2 +
𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃1 = 0
(2.19)
Sedangkan untuk 𝜃2 :
(𝑚2 + 𝑚3 ) 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )𝜃̈3 −
(𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃2 =
0
(2.20)
Lalu yang terakhir untuk 𝜃3 :
𝑚3 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝜃̈3 − 𝑚3 𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 −
𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃3 = 0
(2.21)
Persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 merupakan persamaan gerak sistem triple
pendulum nonlinier. Dimana m1, m2, dan m3 merupakan massa masing-masing
pendulum1, pendulum2 dan pendulum3, dan l1,l2 dan l3 merupakan panjang tali
dari masing-masing pendulum, dan 𝜃1 , 𝜃2 , dan 𝜃3 adalah sudut yang dibentuk
pendulum dengan garis vertikal serta g merupakan konstanta gravitasi bumi.
Sistem seperti ini banyak digunakan untuk mengetahui kejadian akan datang,
misalnya perkiraan cuaca, perkiraan gempa dan lain sebagainya.
2.5 Pemrograman dengan Mathematica 9
Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan
oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri perusahaan tersebut adalah Stephen
Wolfram, Ph.D. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan
berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika,
ilmu pengetahuan, biologi, teknologi, bisnis, dan aplikasinya.
Pada penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan
perintah-perintah berikut ini
1.
Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data
yang diberikan.
Universitas Sumatera Utara
16
Sintaks umumnya: Graphics[primitives, options]
2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi
program, grafik dan objek lainnya.
sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].
3. Module: perintah untuk membuat variabel local dengan nama tertentu yang
dapat dipanggil.
Sintaks umumnya: Module[{x,y,….}, expr]
4. NDSolve: perintah untuk menyelesaikan persamaan differensial karena tidak
semua penyelesaian persamaan differensial bisa diselesaikan secara analitik
seperti dinamika triple pendulum.
Sintaks umumnya: NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]
5. Parametric Plot: perintah untuk menampilkan x dan y koordinat fx dan fy
yang fungsinya adalah parameter waktu (t).
Sintaks umumnya: ParameterPlot[{fx, fy}, {t, tmin¸ tmax}]
Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya
di situs resmi Wolfram (www.wolfram.com)
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Chaos
Jacques Hadamard pada tahun 1898 menerbitkan suatu tulisan tentang gerakan
yang tidak stabil atau acak dari suatu “arah peluru”. Ia menunjukkan bahwa semua
arah peluru yang ditembakkan dari senapan memiliki arah yang berbeda dan
menyimpang dari senapan memiliki arah yang berbeda dan menyimpang satu
sama lainnya. sementara itu istilah “chaos” dirumuskan pertama kali oleh Henri
Poincare (1854-1912), seorang ahli matematika perancis. Ia menemukan bukti
bahwa sistem tata surya tidak bekerja secara teratur dan dapat diprediksi dengan
pasti. Ia mengungkapkan bahwa “dapat terjadi perbedaan kecil pada kondisi awal
menghasilkan peristiwa yang berdampak sangat besar. Sebuah kesalahan kecil
pada permulaannya akan menghasilkan peristiwa yang berdampak sangat besar.
Sebuah kesalahan kecil pada permulaannya akan menghasilkan penyimpangan
yang lebih besar. Semula gagasan Henri Poincare tidak terlalu dihargai oleh para
ilmuan pada saat itu, sampai penemuan computer yang memungkinkan pada ahli
membuat model dan menggambarkan sistem chaostik.
Gambar 2.1 Model Cuaca Edward Loretz (Sahid, 2003)
Teori chaos pertama kali dicetuskan oleh seorang seorang metrologies
bernama Edward Lorenz pada tahun 1961. Teori chaos berusaha mencari bentuk
Universitas Sumatera Utara
6
keseragaman dari data yang kelihatannya acak. Teori ini ditemukan secara tidak
sengaja, Lorenz pada saat itu sedang mencari penyebab mengapa cuaca tidak bisa
diramalkan. Penemuan ini memunculkan model yang lebih sederhana yang
disebut efek kupu-kupu (butterfly effect). Suatu perbedaan kecil akan mengubah
pola secara keseluruhan.(Kusmarni, 2005).
Teori chaos merupakan suatu teori yang menjelaskan perubahan yang
bersifat kompleks dan tak dapat diprediksi atau sistem-sistem dinamik yang peka
terhadap kondisi awal. Sistem chaos secara matematis bersifat deterministic
(sebagai lawan sifat probabilistic), yakni mengikuti hukum-hukum yang persis,
tetapi perilaku ketakberanturannya dapat tampak seperti bersifat acak bagi
pengamat awam. Perilaku chaos dapat terjadi berbagai sistem berbagai sistem
seperti rangkaian listrik, penyebaran penyakit campak, laser, roda bergigi (gir)
yang meleset, irama denyut jantung, aktivitas elektris otak, irama sirkulasi darah
daam tubuh, populasi binatang, dan reaksi kimia. Lebih daripada itu, bahkan
diyakini bahwa sistem ekonomi, seperti stock exchange, dapat bersifat chaos.
Studi mengenai masalah chaos secara cepat berkembang dari kajian teoritis
matematis ke ilmu-ilmu terapan.(Sahid, 2003)
Pendekatan
yang
memadukan
eksperimen
numerik
dan
analisis
matematika telah melahirkan bidang antar disiplin baru yang disebut dinamika tak
linier (nonlinier dynamics). Bidang ini mencakup pelbagai problema tak linier
seperti reaksi kimia, control umpan balik (feedback) untai listrik, interaksi
populasi biologis, respon sel jantung terhadap impuls listrik, naik turunya harga,
dan pembangunan mesin perang dua Negara yang bermusuhan.
Para ahli dinamika tak linier menggunakan istilah “chaos” untuk tingkah
laku tak teratur dan tak terprakirakan dalam sistem tak linier deterministik.
Bahkan diketahui pula sistem-sistem sederhana dengan hanya satu atau dua
derajat kebebasan saja dapat bersifat chaos. (Setiawan, 1991)
Gerakan chaos dalam dinamika sistem sederhana bisa diterangkan dalam
hal beberapa variabel. Gerakan tersebut adalah:
1. Tidak teratur dalam waktu (bahkan tidak termasuk superposisi gerakan
periodik)
Universitas Sumatera Utara
7
2. Tidak dapat diprediksi dalam jangka panjang dan sensitif terhadap kondisi
awal
3. Kompleks, tetapi nampaknya seperti beraturan dalam ruang fasa
Batas antara perilaku yang teratur dan kacau sering ditandai dengan
penggandaan periode, keadaan inilah yang mengantarkan pada perilaku chaos.
(Tamas, 2006)
2.1.1 Studi Chaos Secara Numerik
Studi keberatan yang muncul ketika gejala chaos dipelajari secara numerik
dengan menggunakan computer digital yaitu mengenai penggunaan sekumpulan
bilangan rasional berhingga dengan panjang kata berhingga (finite) dan waktu
perhitungan yang juga berhingga. Hal ini menyebabkan orbit periodik yang
panjang dengan orbit quasiperiodik atau orbit chaos sulit untuk dibedakan. Orbit
yang teramati secara numerik
hanya menampilkan orbit fiktif, karena setiap
langkah dimulai dengan bilangan yang dibulatkan berbeda dengan orbit yang
sebenarnya, meskipun perbedaan itu kecil.
Namun, bilangan irasional dapat didekati dengan bilangan rasional, atau
sama dengan kata lain daerah chaos dikelilingi oleh daerah-daerah periodik.
Strategi yang benar dalam studi computer adalah dengan mengidentifikasikan
orbit periodik dengan tepat dan mencirikan gerak tak periodik. Selain itu,
sistematika orbit periodik banyak sekali memberitahukan sifat gerak tak periodik
yang berdekatan (dalam ruang parameter). Dan telah dibuktikan bahwa setiap
periode orbit chaos fiktif dibayangi dengan orbit chaos yang sebenarnya.
(Setiawan, 1991)
Studi chaos dapat juga dilakukan menggunakan kalkulator saku dengan
menggunakan menggunakan hubungan matematis yang sederhana. Digunakan
persamaan logistic yang diberikan pada persamaan 2.1.
𝑥 ′ = 𝑤𝑥(1 − 𝑥)
(2.1)
dimana 0 ≤ x ≤ 1 dan w adalah parameter yang dapat diatur, sedangkan x
merupakan parameter simpangan. Untuk w = 2,9 dan x = 0,4, maka x’ = 0,696.
Berikutnya x’ menjadi nilai awal sehingga diperoleh (x’)’ = 0,614, dan hal ini
dilakukan selanjutnya sehingga diperoleh nilai-nilai x’ yang tetap pada nilai yang
Universitas Sumatera Utara
8
mendekati 0,665. Hal ini dilakukan seterusnya untuk beberapa iterasi dan
dikatakan sebagai keadaan periodik.
Selanjutnya jika nilai w dinaikkan menjadi 3,3, maka nilai x akan bergantiberganti antara nilai tinggi 0,824 dan nilai rendah 0,480, dan hal inilah yang
dikatakan sebagai penggandaan periode, dan dengan melanjutkan prosedur ini,
maka akan diperoleh penggandaan periode lagi, begitu seterusnya sehingga
diperoleh kondisi chaos (Walker, 1991).
2.1.1.1 Ruang Fasa
Ruang fasa (phase space) merupakan sarana yang bermanfaat untuk
mengambarkan tingkah laku sistem-sistem yang bersifat chaos dalam bentuk
geometri. Adapun yang dimaksud dengan ruang fasa dari suatu sistem adalah
ruang yang secara matematika memiliki koordinat tegak lurus, dimana masingmasing koordinat mewakili variable-variabel yang diperlukan untuk menentukan
keadaan sistem pada ssat tersebut. Sebagai contoh saat sebuah partikel bergerak
dalam ruang tiga dimensi (x, y, z) dan memiliki momentum pada ketiga arah
tersebut (Px, Py, Pz), keadaan partikel tersebut setiap saat secara lengkap
dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu (x, y, z, px , py, pz). Ruang di mana
partikel dispesifikasikan dengan enam koordinat tersebut disebut sebagai ruang
enam dimensi atau ruang Γ (Baker et al, 1996).
Gambar 2.2 Bawah, skala dari energi potensial V(θ) untuk sistem terkendali
pada pendulum, atas, menunjukkan lintasan ruang fasa pada tiga tingkatan
energi
(Robert Deserio,2002)
Universitas Sumatera Utara
9
Sebagai contoh pada gambar diatas tepatnya pada bagian bawah tampak
energi potensial V(θ) untuk d = 0. Pada bagian atas gambar menampilkan grafik
dari ω –vs– θ dan menunjukkan lintasan dari ruang fasa untuk gerak yang tidak
terkendali, vibrasi teredam pada tiga nilai dari E. Pembentukan titik vibrasi dapat
diilustrasikan sedikit oleh garis vertikal dan energi mekanik oleh garis titik
horizontal. Arah gerak disepanjang lintasan diindikasikan oleh arah panah.
2.1.1.2 Penggandaan Perioda
Perubahan kestabilan atau perubahan yang dramatis dalam suatu sistem akibat
perubahan nilai parameter dinamakan bifurkasi. Dimana bifurkasi ini tidak selalu
berhubungan dengan kompleksitas, tetapi terdapat beberapa jenis bifurkasi yang
senantiasa berhubungan dengan bertambahkan kerumitan suatu sistem yang pada
akhirnya mengakibatkan kondisi chaos.
Beberapa ahli dinamika nonlinier mengemukakan bahwa salah satu jenis
bifurkasi yang terkenal adalah penggandaan periode (period doubling), yakni
suatu gerakan periodik yang mengalami bifurkasi dan ‘melontarkan’ gerakan
periodik yang periodenya dua kali lebih besar dari periode semula. Kemudian
masing-masing gerakan periodik itu mengalami bifurkasi lagi yang sama dan
begitu proses seterusnya. Masing-masing gerakan periodik yang terlontar biasanya
tidak stabil, akibatnya pada suatu nilai parameter tertentu akan sangat banyak
gerakan periodik yang tidak stabil dalam suatu sistem. Ketika hal itu terjadi
dinamika sistem sudah sangat kompleks dan kondisi chaos terjadi lagi.
Dengan menggunakan kalkulator tangan, dengan mudah dapat diperoleh
jendela periodik pertama untuk pemetaan logistik:
p=1
0 < μ < μ1 = 0,75
p=2
μ1 < μ < μ2 = 1,25
p = 4 = 22
μ2 < μ < μ3 = 1,3680989
p = 8 = 23
μ3 < μ < μ4 = 1,3940461
Dari sudut pandang chaos¸ kejadian yang lebih besar dari μ∞ merupakan
hal yang lebih menarik. Dalam rentang parameter (μ∞, 2) terdapat jendela periodik
dalam jumlah tak hingga (infinite) dengan latar belakang daerah yang tak
periodik. Jika distribusi titik-titik dalam daerah yang tak periodik disimak lebih
Universitas Sumatera Utara
10
teliti, akan terlihat iterasi yang melompat antara 2n subinterval dari interval I
dengan n yang berkurang dari ∞ menjadi 0 bila μ bergerak dari μ∞ menuju 2. Ini
disebut sebagai deret percabangan ganda setengah periode atau deret percabangan
ganda terbalikkan dari pita chaos (Setiawan, 1991).
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains
Penemuan terhadap chaos ini mernghasilkan paradigma baru dalam pemodelan
sains. Di satu sisi, hal ini mengimplikasikan batas fundamental baru dalam
melakukan
prakiraan.
Di
sisi
yang
lain,
determinisme
dalam
chaos
mengimplikasikan bahwa banyak gejala acak yang lebih dapat diprakirakan
daripada yang diduga sebelumnya. Chaos memungkinkan ditemukannya
keteraturan dalam sistem-sistem yang tampaknya kacau-balau, dan hal ini
memiliki dampak besar yang mengimbas banyak cabang ilmu pengetahuan.
Berikut beberapa contoh gejala chaos dalam beberapa bidang sains:
1.
Dalam bidang komunikasi, chaos tampak pada situasi yang dibangun dari
masyarakat “Mellee” atau masyarakat tanpa sistem. Apa yang dipermukaan
tampak tertib, teratur, jelas dan sebenarnya penuh dengan ketidakpastian. Hal
ini dikarenakan hubungan dalam masyarakat bertumpu pada hubungan antar
kekuatan (power relations) yang tidak selalu tercermin dalam hubungan
formal masyarakat. Sehingga terjadi kesenjangan antar hubungan formal dan
hubungan nyata yang didasarkan pada kekuatan.
2.
Dalam bidang fisika zat padat, model osilator gandeng dalam suatu rentang
parameter tertentu yang sering digunakan dalam pemodelan fisika zat padat
ternyata menunjukkan gejala chaos. Selain itu, frekuensi radio dalam
sambungan Josephson yang dipakai dalam penguat parametrik noise,
bertambah secara luar biasa seiring dengan naiknya level gain, karena level
noise yang tinggi semacam ini tak dapat dijelaskan oleh suatu sumber noise
dan penguatannnya dikenal, Huberman dan sejawatnya menyatakan hal ini
sebagai dinamika instrinsik sambungan tertentu.
3.
Dalam bidang kedokteran, dinamika jantung yang dimodelkan dengan
osilator periodik terkendala, serta ritmik jantung dan berbagai praktek klinik
ternyata mengalami gejala chaos. Selain itu, gejala chaos dalam jaringan saraf
Universitas Sumatera Utara
11
dan EEG (Electroencephalographic) dan dalam aktivitas otak telah mendapat
banyak perhatian beberapa tahun belakangan ini.
4.
Dalam bidang geofisika, seperti persoalan perkiraan cuaca, dinamika
atmosfer dan lautan. Fenomena El Nino, gerak gelombang Pasifik juga bagian
dari dinamika chaos. Model dynamo geomagnetic juga melibatkan persamaan
differensial biasa juga menampakkan tingkah laku gejala chaos.
5.
Dalam
kemajuan
bidang
sosial,
Chapra
mengemukakan
bahwa
ketidakseimbangan antara kemajuan pengetahuan yang rasional, kekuatan
intelektual dan keterampilan teknologi di satu sisi derngan perkembangan
kebijaksanaan, spiritualitass dan etika di sisi yang lain telah menimbulkan
ketidakpastian, ketidakaturan dan chaos.
6.
Dalam bidang mekanika, Lorenz dan Duffig berhasil memodelkan sistem
mekanis sederhana. Vibrasi yang bersifat chaos pada tiang penyangga tempat
pengeboran minyak lepas pantai juga merupakan persoalan teknik yang
penting yang giat ditangani saat ini (Setiawan,1991).
7.
Dalam bidang hukum, keadaan hukum di Indonesia terpuruk sejak jatuhnya
orde baru sampai saat ini belum menunjukkan tanda-tanda pulih. Keadaan ini
diperparah dengan berbagai perilaku pejabat negara dan warga masyarakat
yang kurang terpuji menyebabkan atau menimbulkan keadaan chaos di
negara Indonesia. Pendekatan legal-positivism yang linier-mekanistik dan
deterministik tak mampu menjelaskan fenomena tak mampu menjelaskan
fenomena ini, sehingga penjelasan dapat diberikan gambalng bila
menggunakan teori chaos. (Raharjo, 2007)
8.
Dalam
bidang
ekologi
dan
ekonomi,
dinamika
chaos
juga
terus
dikembangkan untuk dapat diterapkan dalam bidang ilmu tersebut. Salah satu
fenomena chaos yang telah diteliti dalam bidang ini yaitu fenomena beruntun.
Beberapa ahli fisika ekonomi telah melaporkan bahwa penyebab krisis
Negara-negara asia termasuk Indonesia di tahun 1997 merupakan efek
beruntun dari kegagalan sistem ekonomi dibeberapa titik. Dengan teori chaos
ini dapat membantu melihat skenario-skenario mana yang berpeluang lebih
besar menimbulkan krisis dan mana yang tidak (Situngkir et al, 2010)
Universitas Sumatera Utara
12
2.2
Dinamika Sistem Triple Pendulum
Dinamika sistem triple pendulum merupakan sistem mekanika sederhana yang
mempunyai tiga buah pendulum sederhana yang terikat pada ujungnya yang
menunjukkan perilaku chaos. Gerakan pendulum ini merupakan contoh dari gerak
osilasi dimana pendulumnya dapat berayun bebas dalam bidang vertikal pada
sumbu atas yang diarsir sebagai respon terhadap gravitasi, g. Sistem ini
merupakan sistem tiga derajat kebebasan yakni sistem yang memiliki dua buah
koordinat bebas dari pergerakan massanya. Berarti sistem membutuhkan tiga buah
koordinat bersama-sama untuk menentukan kedudukan massanya.
O
y
Gambar 2.3 Sistem triple pendulum dengan θ1 sebagai posisi pendulum 1, θ2
sebagai posisi pendulum 2 dan
x θ3 sebagai posisi pendulum 3 (Andrianne
Stroup, 2004)
Sistem ini juga mengikuti konsep gerakan bersamaan dimana getaran salah
satu bagian sistem menyebabkan bagian lain dalam sistem yang mana bergetar
akibat gaya yang ditransmisikan melalui tali pendulum pertama. Dengan kata lain,
perpindahan salah satu massa lain dalam sistem yang sama karena kedudukannya
saling dihubungkan. Pendulum banyak digunakan untuk berbagai aplikasi seperti:
perusahaan konstruksi yang menggunakan bola perusak besar dalam gerakan
seperti pendulum ketika menghancurkan bangunan dan beberapa penghipnotis
menggunakan sebuah jam saku gantung yang juga bergerak mengikuti gerakan
pendulum untuk menghipnotis subjek. (McCrummen, 2015)
Universitas Sumatera Utara
13
Untuk sistem triple pendulum seperti terlihat pada gambar 2.3 jelas bahwa
menentukan posisi massa m1, m2 dan m3 pada berbagai waktu dibutuhkan tiga
buah koordinat dan sistem adalah tiga derajat kebebasan. Dan x1, x2, dan x3 atau
y1, y2, dan y3 atau θ1, θ2, dan θ3, mungkin merupakan kelompok koordinat sistem
ini.
x1 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1
(2.2)
y1 = l1 sin θ1
(2.3)
x2 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2
(2.4)
y2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
(2.5)
x3 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2 + l3 cos θ3
(2.6)
y3 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3cos θ3
(2.7)
dimana posisi koordinat x ditinjau dari panjang keseluruhan pendulum ke tiap –
tiap pendulum pada sumbu x dan posisi koordinat y ditinjau dari jarak pendulum
ke titik O pada sumbu y.
2.3 Fungsi Lagrangian
Untuk mencari persamaan gerak triple pendulum, koordinat-koordinat posisi
masing-masing pendulum akan dimasukkan ke Fungsi Lagrangian. Fungsi
Lagrangian atau yang biasa disebut Lagrangian disimbolkan dengan L merupakan
gabungan dari persamaan energi kinetik (T) dan energi potensial (V) yang
diberikan:
1
T = ∑3𝑛=1 𝑚𝑛 (ẋ n2 + ẏ n2 )
2
(2.8)
V = ∑3𝑛=1 𝑔𝑚𝑛 𝑥𝑛
(2.9)
dengan mn merupakan massa setiap pendulum, ẋ n2 + ẏ n2 adalah kecepatan masing
– masing pendulum dan xn adalah jarak titik dari panjang keseluruhan pendulum
ke setiap pendulum. Dari energi kinetik dan energi potensial dapat digunakan
untuk menghitung Lagrangian,
L=T–V
(2.10)
Untuk kasus gerak sistem triple pendulum dengan subsitusi persamaan
2.2, 2.4, dan 2.6, ke persamaan 2.9, diperoleh energi potensialnya
V = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3
Universitas Sumatera Utara
14
= m1g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1) + m2g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2cos θ2) + m3g (l1 +
l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3cos θ3)
(2.11)
dan untuk energi kinetiknya diperoleh persamaan:
1
1
1
T = 𝑚1 (ẋ 12 + ẏ 12 ) + 𝑚2 (ẋ 22 + ẏ 22 ) + 𝑚3 (ẋ 32 + ẏ 32 )
2
2
Dari persamaan:
𝑥̇𝑛 =
𝑑𝑥𝑛
𝑦̇𝑛 =
sehingga diperoleh
(2.12)
2
(2.13)
𝑑𝑡
𝑑𝑦𝑛
(2.14)
𝑑𝑡
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑥̇𝑛 2 + 𝑦̇𝑛 2 = ( 𝑑𝑡𝑛 ) + ( 𝑑𝑡𝑛)
(2.15)
dengan menggunakan persamaan 2.15 kedalam persamaan 2.12 diperoleh
T=
1
2
1
2
𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +
1
2
𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +
𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 −
𝜃3 ) + 2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )]
(2.16)
Dengan menggabungkan persamaan 2.11 dan 2.16 ke dalam persamaan 2.10
diperoleh
L=T–V
=
1
2
𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +
1
2
𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +
1
2
𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 +
𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 − 𝜃3 ) +
2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )] − 𝑚1 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 ) − 𝑚2 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2 ) −
𝑚3 𝑔 (𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2 + 𝑙3 cos 𝜃3 )
(2.17)
Persamaan 2.17 merupakan Lagrangian gerak triple pendulum, dimana persamaan
tersebut akan diselesaikan dengan persamaan Lagrange agar diperoleh posisi
masing-masing pendulum.
2.4 Persamaan Lagrange
Jika sistem adalah konservatif, persamaan Lagrange dirumuskan sebagai berikut
𝑑
𝜕𝐿
( )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇𝛼
−
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝛼
= 0, 𝛼 ∈ {1,2,3}
(2.18)
Universitas Sumatera Utara
15
Karena kasus yang dibahas merupakan sistem triple pendulum yang memiliki tiga
pendulum maka ditinjau masing-masing posisi (Spiegel,1967). Persaman gerak
untuk θ1 adalah
(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 −
𝜃3 )𝜃̈3 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 ) + (𝑚1 + 𝑚2 +
𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃1 = 0
(2.19)
Sedangkan untuk 𝜃2 :
(𝑚2 + 𝑚3 ) 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )𝜃̈3 −
(𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃2 =
0
(2.20)
Lalu yang terakhir untuk 𝜃3 :
𝑚3 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝜃̈3 − 𝑚3 𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 −
𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃3 = 0
(2.21)
Persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 merupakan persamaan gerak sistem triple
pendulum nonlinier. Dimana m1, m2, dan m3 merupakan massa masing-masing
pendulum1, pendulum2 dan pendulum3, dan l1,l2 dan l3 merupakan panjang tali
dari masing-masing pendulum, dan 𝜃1 , 𝜃2 , dan 𝜃3 adalah sudut yang dibentuk
pendulum dengan garis vertikal serta g merupakan konstanta gravitasi bumi.
Sistem seperti ini banyak digunakan untuk mengetahui kejadian akan datang,
misalnya perkiraan cuaca, perkiraan gempa dan lain sebagainya.
2.5 Pemrograman dengan Mathematica 9
Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan
oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri perusahaan tersebut adalah Stephen
Wolfram, Ph.D. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan
berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika,
ilmu pengetahuan, biologi, teknologi, bisnis, dan aplikasinya.
Pada penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan
perintah-perintah berikut ini
1.
Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data
yang diberikan.
Universitas Sumatera Utara
16
Sintaks umumnya: Graphics[primitives, options]
2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi
program, grafik dan objek lainnya.
sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].
3. Module: perintah untuk membuat variabel local dengan nama tertentu yang
dapat dipanggil.
Sintaks umumnya: Module[{x,y,….}, expr]
4. NDSolve: perintah untuk menyelesaikan persamaan differensial karena tidak
semua penyelesaian persamaan differensial bisa diselesaikan secara analitik
seperti dinamika triple pendulum.
Sintaks umumnya: NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]
5. Parametric Plot: perintah untuk menampilkan x dan y koordinat fx dan fy
yang fungsinya adalah parameter waktu (t).
Sintaks umumnya: ParameterPlot[{fx, fy}, {t, tmin¸ tmax}]
Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya
di situs resmi Wolfram (www.wolfram.com)
Universitas Sumatera Utara