Kemiringan Mesin Mitsubhisi 4Dr5 Dan Per
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar
kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang
dalam menyelesaikan masalah yang kaitannya dengan data tunggal maupun
kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan.
Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari
suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok.
Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal
untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.
B. Rumusan Masalah
1.
2.
3.
C. Tujuan
Statistik Pendidikan | 1
BAB II
PEMBAHASAN
Misalkan
digambarkan
kita
mempunyai
sekumpulan
data
populasi.
Apabila
grafiknya maka akan diperoleh beberapa macam model
distribusinya. Dari beberap model distribusi tersebut ada enam model yang
dikaitkan dengan ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan. Oleh karena itu
berikut ini akan dibahas kedua macam ukuran tersebut.
A. UKURAN KEMIRINGAN
Kemiringan (skewness) dari suatu distribusi adalah derajat kesetangkupan
(derajat simetris) dari distribusi tersebut (Sartono, 1997). Adapun ukuran
kemiringan adalah ukuran yang menyatakan derajat ketidaksimetrisan
suatu
lengkungan halus (kurva) dari suatu distribusi frekuensi. Dapat pula dikatakan
bahwa ukuran kemiringan adalah harga yang menunjukkan seberapa jauh
distribusi itu menyimpang dari simetris. Jika kita tinjau berdasarkan kemiringan,
suatu kurva distribusi dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu sebagai
berikut:
Distribusi Positif
Distribusi Simetrik
Distribusi Negatif
Menurut Pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas ada tiga kriteria untuk
mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data tidak berkelompok
maupun data berkelompok), yaitu:
Statistik Pendidikan | 2
1. Jika koefisien kemiringannya lebih kecil dari nol ( 0), model
distribusinya positif.
Ada beberapa rumus untuk menghitung koefisien kemiringan, yaitu:
a. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan :
= rata-rata
Mo
= modus
S
= simpangan baku
b. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan :
= rata-rata
Me
= median
S
= simpangan baku
c. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
dengan
= kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
d. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Statistik Pendidikan | 3
Koefisien kemiringan =
dengan
= Persentil ke 90
= Persentil ke 50
= Persentil ke 10
Contoh :
Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam kg) yang baru lahir selama seminggu
tertentu di rumah sakit bersalin “Sehat” dapat dilihat dalam tabel berikut.
Berat Badan bayi yang Baru Lahir
Selama Seminggu tertentu di Rumah Sakit Bersalin
Berat Badan (Kg)
Banyak Bayi
2,5 – 2,6
2
2,7 – 2,8
3
2,9 – 3,0
5
3,1 – 3,2
7
3,3 – 3,4
6
3,5 -3,6
5
Jumlah
28
Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil.
Penyelesaian :
1. Menggunakan rumus kemiringan pertama dari pearson
Untuk memudahkan mencari koefisien kemiringan, maka kita gunakan
tabel dibawah ini
Berat
Banyak
Nilai
Badan
Bayi
Tengah
Fi .xi
Fk
µ
d
F. d
F.d²
Statistik Pendidikan | 4
(Kg)
(Fi)
(xi)
2,5 – 2,6
2
2,55
5,1
2
- 0,6
-3
-6
36
2,7 – 2,8
3
2,75
8,25
5
-0,4
-2
-6
36
2,9 – 3,0
5
2,95
14,75
10
-0,2
-1
-5
25
3,1 – 3,2
7
3,15
22.05
17
0
0
0
0
3,3 – 3,4
6
3,35
20,1
23
0,2
1
6
36
3,5 -3,6
5
3,55
17,75
28
0,4
2
10
100
Jumlah
28
19
233
88
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 3,14
Modus = Tb Mo + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus
p
= panjang kelas
d1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas keempat. Jadi tbm = 3,1 –
0,05 = 3,05, p =0,2, d1= 7-5 = 2, d2 = 7-6 = 1.
Modus
= tbm + p (
= 3,05+ 0,2 (
= 3,05+ 0,13
= 3,18
Statistik Pendidikan | 5
S =P
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2 . 1,47
= 0,294
Koefisien kemiringan pertama dari pearson
=
=
=
= -0,13
Karena koefisien kemiringannya -0,13 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
2. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson
Statistik Pendidikan | 6
Koefisien kemiringan
Sebelumnya kiita sudah ketahui :
= 3,14 , s = 0,294
Median = =
=
, terletak dikelas interval ke-4.
Jadi tbm = 3,1 – 0,05 = 3,05, p = 3,1 – 2,9 = 0,2, F =
Me
= Tb Me + p (
= 3,05+ 0,2 (
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Koefisien kemiringan
=
=
=
= - 0,204
Karena koefisien kemiringannya -0,204 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
Statistik Pendidikan | 7
3. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Rumus yang digunakan adalah:
Koefisien kemiringan =
dengan
= kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
Sebelumnya kita harus mencari terlebih dahulu nilai-nilai
(kuartil kedua,
Untuk
(kuartil pertama),
(kuartil ketiga)
(kuartil pertama)
Kelas kuartil pertama adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dati frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
n,
yaitu x 28 orang = 7 orang.
Ternyata kelas kuartil pertama terletak pada kelas interval ketiga, karena jumlah
frekuensinya (2 + 3 + 5) orang = 10 orang. Sehingga kita bisa menghitung
besaran-besaran yang diperlukan dalam rumus kuartil pertama, yaitu
= 2,9 – 0,05 = 2, 85
p
= 0,2
Statistik Pendidikan | 8
F
=2+3=5
=5
=
+p(
= 2,85 + 0,2 (
)
)
= 2,85 + 0,08
= 2,93
Untuk
(kuartil kedua)
Letak
ada pada data ke-
=
x 28 orang = 14 orang, yaitu pada kelas ke-4,
interval 3,1 – 3,2 sehingga:
= 3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2; F = 10; dan
=
+p(
= 7.
)
= 3,05 + 0,2 (
)
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Untuk
(kuartil ketiga)
Letak
ada pada data ke-
n =
x 28 orang = 21, yaitu pada kelas ke-5,
interval 3,3 – 3,4 sehingga:
= 3,3 – 0,05 = 3,25; p = 0,2; F = 17; dan
= 6.
Statistik Pendidikan | 9
=
+p(
= 3,25 + 0,2 (
)
)
= 3,25 + 0,2 ( )
= 3,25 + 0,13
= 3,38
Diperoleh koefisien kemiringan
=
=
=
= -0,022
Karena koefisien kemiringannya -0,022 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
4. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Koefisien kemiringan =
Untuk persentil ke 90,
Kelas persentil ke 90 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu
n.
x 28 orang = 25,2 orang.
Statistik Pendidikan | 10
Ternyata kelas persentil ke 90 terletak pada interval keenam, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2 + 3 + 5 + 7 + 6 + 5) orang = 28 orang sehingga kita
bisa menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 90,
yaitu b = 3,5 – 0,05 = 3,45; p = 0,2; F= 2 + 3 + 5 + 7 + 6 = 23; dan
Jadi:
= Tb
=5
+p
= 3,45 + 0,2
= 3,45 + 0,2 ( )
= 3,45 + 0,088
= 3.538
Untuk persentil ke 50,
Kelas persentil ke 50 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu =
n,
x 28 orang = 14 orang.
Ternyata kelas persentil ke 50 terletak pada kelas interval keempat, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2+3+5+7) orang = 17 orang. Sehingga kita bisa
menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 50, yaitu b =
3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2, F = 10 ;
Jadi :
= Tb
=7
+p
Statistik Pendidikan | 11
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,2 (
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Untuk persentil ke 10,
Kelas persentil ke 10 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu =
n,
x 28 orang = 2,8 orang.
Ternyata kelas persentil ke 10 terletak pada kelas interval kedua, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2 + 3) orang = 5 orang. Sehingga kita bisa menghitung
besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 10, yaitu b = 2,7 – 0,05 =
2,65; p = 2,9 – 2,7 = 0,2; F = 2;
Jadi :
= Tb
=3
+p
= 2,65 + 0,2
= 2,65 + 0,2
= 2,65 + 0,053
= 2,703
Statistik Pendidikan | 12
Koefisien kemiringan =
=
=
=
= - 0,094
Karena koefisien kemiringannya -0,094 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
B. UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis)
Selain kemiringan, kita perlu juga mengetahui keruncingan/kelancipan (kurtosis)
suatu distribusi. Kurtosis (peadkedness) dari suatu distribusi adalah derajat
kelancipan dari distribusi tersebut dibandingkan terhadap distribusi normal
(kurva normal). Ditinjau dari segi kelancipannya, suatu distribusi dapat
dibedakan menjadi tiga :
Leptokurtik
Platikurtik
Mesokurtik
1. Jika suatu distribusi (kurva) lebih landai atau lebih tumpul dibandingkan
terhadap kurva normal, distribusinya disebut platikurtis
Statistik Pendidikan | 13
2. Jika suatu distribusi (kurva) normal, distribusinya disebut mesokurtis
3. Jika suatu distribusi (kurva) lebih lancip ataulebih ramping dibandingkan
terhadap kurva normal, distribusinya disebut leptokurtis.
Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik,
platikurtik atau mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien
kurtosisnya. Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus koefisien
kurtosis, yaitu :
K=
dengan :
= Kuartil kesatu
= Kuartil ketiga
= Persentil ke 10
= Persentil ke 90
Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model
distribusi dari sekumpulan data, yaitu :
1. jika koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka distribusinya
adalah platikurtis
2. jika koefisien kurtosisnya sama dengan 0,263 (=0,263), maka distribusinya
adalah mesokurtis
3. jika koefisien kurtosisnya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya
adalah leptokurtis
Contoh:
Lihat data dalam daftar (1), yaitu mengenai berat badan bayi yang baru lahir
selama seminggu tertentu dari rumah sakit bersalin “Sehat”. Hitung koefisien
kurtosisnya.
Statistik Pendidikan | 14
Penyelesaian:
Rumus yang digunakannya adalah :
Q=
Kita sudah menghitung :
Berarti:
= 2,93,
= 3,38,
= 2,703 dan
= 3,538
K =
=
=
= 0,269
Karena koefisien keruncingannya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya
adalah leptokurtis.
Statistik Pendidikan | 15
Soal – soal latihan :
1. Tentukan koefisien kemiringan data berat badan 100 orang dibawah ini
menggunakan rumus pertama dari pearson
dan tentukan jenis
distribusinya !
Berat Badan (kg)
Banyaknya (orang)
25-29
8
30-34
12
35-39
26
40-44
16
45-49
15
50-54
9
55-59
14
Jumlah
100
2. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan rumus kedua dari pearson dan tentukan jenis distribusinya !
3. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan nilai kuartilnya dan tentukan jenis distribusinya !
4. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan nilai persentilnya dan tentukan jenis distribusinya !
5. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien keruncingannya dan
termasuk jenis distribusi apakah nilai koefisien keruncingan tersebut ?
Statistik Pendidikan | 16
Kunci jawaban :
Penyelesaian :
Berat
F
xi
Fi .xi
Fk
µ
d
F. d
F.d²
25-29
8
27
216
8
-10
-2
-16
32
30-34
12
32
384
20
-5
-1
-12
12
35-39
26
37
962
46
0
0
0
0
40-44
16
42
672
62
5
1
16
16
45-49
15
47
705
77
10
2
30
60
50-54
9
52
468
86
15
3
27
81
55-59
14
57
798
100
20
4
56
224
Jumlah
100
101
425
Badan
(Kg)
4205
1. Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 42,05
Modus = tbm + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus
p
= panjang kelas
d1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas ketiga. Jadi tbm = 35 –
0,5 = 34,5, p = 5, d1= 26-12 = 14, d2 = 26-16 = 10.
Statistik Pendidikan | 17
Modus
= tbm + p (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 2,916
= 37,416
S =P
=5
=5
=5
=5
=5
= 5 . 1,79
= 8,95
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 0,517
Statistik Pendidikan | 18
Karena koefisien kemiringannya 0,517 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
2. Diketahui :Kita sudah mendapatkan hasil
42,05, s = 8,95
Ditanya : Berapa nilai koefisien kemiringan kedua dari Pearson ?
Penyelesaian : Koefisien kemiringan
Median = =
=
, terletak dikelas interval ke-4.
Jadi, tbMe = 40 – 0,5 = 39,5, p = 5, F = 8+12+26 = 46, F
16
Me = Tb Me + p (
= 39,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25
= 40,75
Koefisien kemiringan kedua dari pearson
=
=
=
= 0,435
Karena koefisien kemiringannya 0,435 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
Statistik Pendidikan | 19
3. Diketahui :
Ditanya :Berapa nilai koefisien kemiringannya menggunakan nilai kuartil?
Penyelesaian : Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
Letak
=
n
=
100
= 25 terletak dikelas interval ke 3.
Jadi tb
= 35 – 0,5 = 34,5, p= 5, F = 8+12 = 20, F
= tb
26
+p(
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 0,961
= 35,461
= 40,75
Letak
Jadi tb
=
=
= 75 terletak dikelas interval ke 5.
= 45 –0,5= 44,5, p = 5, F =8+12+26+16 = 62, F
15
Statistik Pendidikan | 20
= tb
+p(
= 44,5 + 5 (
= 44,5 + 4,3
= 48,5
Koefisien kemiringan
=
=
=
=
= 0,188
Karena koefisien kemiringannya 0,188 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif
4. Penyelesaian : Nilai koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Koefisien kemiringan =
Letak
Jadi tb
= tb
=
=
= 90 terletak dikelas interval ke 7.
= 55 –0,5= 54,5, p = 5, F =8+12+26+16+15+9 = 86, F
14
+p(
Statistik Pendidikan | 21
= 54,5 + 5 (
= 54,5 + 1,42
= 55,92
Letak
=
Jadi tb
=
= 50 terletak dikelas ke 4.
= 40 –0,5= 39,5, p = 5, F =8+12+26 = 46, F
= tb
16
+p(
= 54,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25
= 40,75
Letak
=
Jadi tb
=
= 10 terletak dikelas ke 2.
= 30 –0,5= 29,5, p = 5, F =8, F
= tb
12
+p(
= 29,5 + 5 (
= 29,5 + 0,83
= 30,33
Koefisien kemiringan =
=
Statistik Pendidikan | 22
=
=
= 0,185
Karena koefisien kemiringannya 0,185 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
5. Diketahui :
= 35,461,
= 48,5 ,
= 55,214 ,
= 30,33
Ditanya : Berapa nilai koefisien keruncingannya dan termasuk jenis
distribusi apa ?
Penyelesaian :
K=
=
=
=
= 0,254
Karena nilai koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka
distribusinya adalah platikurtil.
Statistik Pendidikan | 23
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
Statistik Pendidikan | 24
DAFTAR PUSTAKA
Statistik Pendidikan | 25
Herrhyanto, Nar, Hamid, H.M. Akib. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas
Terbuka.
Statistik Pendidikan | 26
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar
kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang
dalam menyelesaikan masalah yang kaitannya dengan data tunggal maupun
kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan.
Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari
suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok.
Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal
untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.
B. Rumusan Masalah
1.
2.
3.
C. Tujuan
Statistik Pendidikan | 1
BAB II
PEMBAHASAN
Misalkan
digambarkan
kita
mempunyai
sekumpulan
data
populasi.
Apabila
grafiknya maka akan diperoleh beberapa macam model
distribusinya. Dari beberap model distribusi tersebut ada enam model yang
dikaitkan dengan ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan. Oleh karena itu
berikut ini akan dibahas kedua macam ukuran tersebut.
A. UKURAN KEMIRINGAN
Kemiringan (skewness) dari suatu distribusi adalah derajat kesetangkupan
(derajat simetris) dari distribusi tersebut (Sartono, 1997). Adapun ukuran
kemiringan adalah ukuran yang menyatakan derajat ketidaksimetrisan
suatu
lengkungan halus (kurva) dari suatu distribusi frekuensi. Dapat pula dikatakan
bahwa ukuran kemiringan adalah harga yang menunjukkan seberapa jauh
distribusi itu menyimpang dari simetris. Jika kita tinjau berdasarkan kemiringan,
suatu kurva distribusi dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu sebagai
berikut:
Distribusi Positif
Distribusi Simetrik
Distribusi Negatif
Menurut Pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas ada tiga kriteria untuk
mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data tidak berkelompok
maupun data berkelompok), yaitu:
Statistik Pendidikan | 2
1. Jika koefisien kemiringannya lebih kecil dari nol ( 0), model
distribusinya positif.
Ada beberapa rumus untuk menghitung koefisien kemiringan, yaitu:
a. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan :
= rata-rata
Mo
= modus
S
= simpangan baku
b. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan :
= rata-rata
Me
= median
S
= simpangan baku
c. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
dengan
= kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
d. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Statistik Pendidikan | 3
Koefisien kemiringan =
dengan
= Persentil ke 90
= Persentil ke 50
= Persentil ke 10
Contoh :
Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam kg) yang baru lahir selama seminggu
tertentu di rumah sakit bersalin “Sehat” dapat dilihat dalam tabel berikut.
Berat Badan bayi yang Baru Lahir
Selama Seminggu tertentu di Rumah Sakit Bersalin
Berat Badan (Kg)
Banyak Bayi
2,5 – 2,6
2
2,7 – 2,8
3
2,9 – 3,0
5
3,1 – 3,2
7
3,3 – 3,4
6
3,5 -3,6
5
Jumlah
28
Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil.
Penyelesaian :
1. Menggunakan rumus kemiringan pertama dari pearson
Untuk memudahkan mencari koefisien kemiringan, maka kita gunakan
tabel dibawah ini
Berat
Banyak
Nilai
Badan
Bayi
Tengah
Fi .xi
Fk
µ
d
F. d
F.d²
Statistik Pendidikan | 4
(Kg)
(Fi)
(xi)
2,5 – 2,6
2
2,55
5,1
2
- 0,6
-3
-6
36
2,7 – 2,8
3
2,75
8,25
5
-0,4
-2
-6
36
2,9 – 3,0
5
2,95
14,75
10
-0,2
-1
-5
25
3,1 – 3,2
7
3,15
22.05
17
0
0
0
0
3,3 – 3,4
6
3,35
20,1
23
0,2
1
6
36
3,5 -3,6
5
3,55
17,75
28
0,4
2
10
100
Jumlah
28
19
233
88
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 3,14
Modus = Tb Mo + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus
p
= panjang kelas
d1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas keempat. Jadi tbm = 3,1 –
0,05 = 3,05, p =0,2, d1= 7-5 = 2, d2 = 7-6 = 1.
Modus
= tbm + p (
= 3,05+ 0,2 (
= 3,05+ 0,13
= 3,18
Statistik Pendidikan | 5
S =P
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2 . 1,47
= 0,294
Koefisien kemiringan pertama dari pearson
=
=
=
= -0,13
Karena koefisien kemiringannya -0,13 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
2. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson
Statistik Pendidikan | 6
Koefisien kemiringan
Sebelumnya kiita sudah ketahui :
= 3,14 , s = 0,294
Median = =
=
, terletak dikelas interval ke-4.
Jadi tbm = 3,1 – 0,05 = 3,05, p = 3,1 – 2,9 = 0,2, F =
Me
= Tb Me + p (
= 3,05+ 0,2 (
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Koefisien kemiringan
=
=
=
= - 0,204
Karena koefisien kemiringannya -0,204 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
Statistik Pendidikan | 7
3. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Rumus yang digunakan adalah:
Koefisien kemiringan =
dengan
= kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
Sebelumnya kita harus mencari terlebih dahulu nilai-nilai
(kuartil kedua,
Untuk
(kuartil pertama),
(kuartil ketiga)
(kuartil pertama)
Kelas kuartil pertama adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dati frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
n,
yaitu x 28 orang = 7 orang.
Ternyata kelas kuartil pertama terletak pada kelas interval ketiga, karena jumlah
frekuensinya (2 + 3 + 5) orang = 10 orang. Sehingga kita bisa menghitung
besaran-besaran yang diperlukan dalam rumus kuartil pertama, yaitu
= 2,9 – 0,05 = 2, 85
p
= 0,2
Statistik Pendidikan | 8
F
=2+3=5
=5
=
+p(
= 2,85 + 0,2 (
)
)
= 2,85 + 0,08
= 2,93
Untuk
(kuartil kedua)
Letak
ada pada data ke-
=
x 28 orang = 14 orang, yaitu pada kelas ke-4,
interval 3,1 – 3,2 sehingga:
= 3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2; F = 10; dan
=
+p(
= 7.
)
= 3,05 + 0,2 (
)
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Untuk
(kuartil ketiga)
Letak
ada pada data ke-
n =
x 28 orang = 21, yaitu pada kelas ke-5,
interval 3,3 – 3,4 sehingga:
= 3,3 – 0,05 = 3,25; p = 0,2; F = 17; dan
= 6.
Statistik Pendidikan | 9
=
+p(
= 3,25 + 0,2 (
)
)
= 3,25 + 0,2 ( )
= 3,25 + 0,13
= 3,38
Diperoleh koefisien kemiringan
=
=
=
= -0,022
Karena koefisien kemiringannya -0,022 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
4. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Koefisien kemiringan =
Untuk persentil ke 90,
Kelas persentil ke 90 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu
n.
x 28 orang = 25,2 orang.
Statistik Pendidikan | 10
Ternyata kelas persentil ke 90 terletak pada interval keenam, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2 + 3 + 5 + 7 + 6 + 5) orang = 28 orang sehingga kita
bisa menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 90,
yaitu b = 3,5 – 0,05 = 3,45; p = 0,2; F= 2 + 3 + 5 + 7 + 6 = 23; dan
Jadi:
= Tb
=5
+p
= 3,45 + 0,2
= 3,45 + 0,2 ( )
= 3,45 + 0,088
= 3.538
Untuk persentil ke 50,
Kelas persentil ke 50 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu =
n,
x 28 orang = 14 orang.
Ternyata kelas persentil ke 50 terletak pada kelas interval keempat, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2+3+5+7) orang = 17 orang. Sehingga kita bisa
menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 50, yaitu b =
3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2, F = 10 ;
Jadi :
= Tb
=7
+p
Statistik Pendidikan | 11
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,2 (
= 3,05 + 0,11
= 3,16
Untuk persentil ke 10,
Kelas persentil ke 10 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit
yaitu =
n,
x 28 orang = 2,8 orang.
Ternyata kelas persentil ke 10 terletak pada kelas interval kedua, karena jumlah
frekuensinya mencapai (2 + 3) orang = 5 orang. Sehingga kita bisa menghitung
besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 10, yaitu b = 2,7 – 0,05 =
2,65; p = 2,9 – 2,7 = 0,2; F = 2;
Jadi :
= Tb
=3
+p
= 2,65 + 0,2
= 2,65 + 0,2
= 2,65 + 0,053
= 2,703
Statistik Pendidikan | 12
Koefisien kemiringan =
=
=
=
= - 0,094
Karena koefisien kemiringannya -0,094 yaitu kurang dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi negatif.
B. UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis)
Selain kemiringan, kita perlu juga mengetahui keruncingan/kelancipan (kurtosis)
suatu distribusi. Kurtosis (peadkedness) dari suatu distribusi adalah derajat
kelancipan dari distribusi tersebut dibandingkan terhadap distribusi normal
(kurva normal). Ditinjau dari segi kelancipannya, suatu distribusi dapat
dibedakan menjadi tiga :
Leptokurtik
Platikurtik
Mesokurtik
1. Jika suatu distribusi (kurva) lebih landai atau lebih tumpul dibandingkan
terhadap kurva normal, distribusinya disebut platikurtis
Statistik Pendidikan | 13
2. Jika suatu distribusi (kurva) normal, distribusinya disebut mesokurtis
3. Jika suatu distribusi (kurva) lebih lancip ataulebih ramping dibandingkan
terhadap kurva normal, distribusinya disebut leptokurtis.
Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik,
platikurtik atau mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien
kurtosisnya. Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus koefisien
kurtosis, yaitu :
K=
dengan :
= Kuartil kesatu
= Kuartil ketiga
= Persentil ke 10
= Persentil ke 90
Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model
distribusi dari sekumpulan data, yaitu :
1. jika koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka distribusinya
adalah platikurtis
2. jika koefisien kurtosisnya sama dengan 0,263 (=0,263), maka distribusinya
adalah mesokurtis
3. jika koefisien kurtosisnya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya
adalah leptokurtis
Contoh:
Lihat data dalam daftar (1), yaitu mengenai berat badan bayi yang baru lahir
selama seminggu tertentu dari rumah sakit bersalin “Sehat”. Hitung koefisien
kurtosisnya.
Statistik Pendidikan | 14
Penyelesaian:
Rumus yang digunakannya adalah :
Q=
Kita sudah menghitung :
Berarti:
= 2,93,
= 3,38,
= 2,703 dan
= 3,538
K =
=
=
= 0,269
Karena koefisien keruncingannya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya
adalah leptokurtis.
Statistik Pendidikan | 15
Soal – soal latihan :
1. Tentukan koefisien kemiringan data berat badan 100 orang dibawah ini
menggunakan rumus pertama dari pearson
dan tentukan jenis
distribusinya !
Berat Badan (kg)
Banyaknya (orang)
25-29
8
30-34
12
35-39
26
40-44
16
45-49
15
50-54
9
55-59
14
Jumlah
100
2. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan rumus kedua dari pearson dan tentukan jenis distribusinya !
3. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan nilai kuartilnya dan tentukan jenis distribusinya !
4. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan nilai persentilnya dan tentukan jenis distribusinya !
5. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien keruncingannya dan
termasuk jenis distribusi apakah nilai koefisien keruncingan tersebut ?
Statistik Pendidikan | 16
Kunci jawaban :
Penyelesaian :
Berat
F
xi
Fi .xi
Fk
µ
d
F. d
F.d²
25-29
8
27
216
8
-10
-2
-16
32
30-34
12
32
384
20
-5
-1
-12
12
35-39
26
37
962
46
0
0
0
0
40-44
16
42
672
62
5
1
16
16
45-49
15
47
705
77
10
2
30
60
50-54
9
52
468
86
15
3
27
81
55-59
14
57
798
100
20
4
56
224
Jumlah
100
101
425
Badan
(Kg)
4205
1. Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 42,05
Modus = tbm + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus
p
= panjang kelas
d1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas ketiga. Jadi tbm = 35 –
0,5 = 34,5, p = 5, d1= 26-12 = 14, d2 = 26-16 = 10.
Statistik Pendidikan | 17
Modus
= tbm + p (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 2,916
= 37,416
S =P
=5
=5
=5
=5
=5
= 5 . 1,79
= 8,95
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= 0,517
Statistik Pendidikan | 18
Karena koefisien kemiringannya 0,517 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
2. Diketahui :Kita sudah mendapatkan hasil
42,05, s = 8,95
Ditanya : Berapa nilai koefisien kemiringan kedua dari Pearson ?
Penyelesaian : Koefisien kemiringan
Median = =
=
, terletak dikelas interval ke-4.
Jadi, tbMe = 40 – 0,5 = 39,5, p = 5, F = 8+12+26 = 46, F
16
Me = Tb Me + p (
= 39,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25
= 40,75
Koefisien kemiringan kedua dari pearson
=
=
=
= 0,435
Karena koefisien kemiringannya 0,435 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
Statistik Pendidikan | 19
3. Diketahui :
Ditanya :Berapa nilai koefisien kemiringannya menggunakan nilai kuartil?
Penyelesaian : Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
Letak
=
n
=
100
= 25 terletak dikelas interval ke 3.
Jadi tb
= 35 – 0,5 = 34,5, p= 5, F = 8+12 = 20, F
= tb
26
+p(
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 0,961
= 35,461
= 40,75
Letak
Jadi tb
=
=
= 75 terletak dikelas interval ke 5.
= 45 –0,5= 44,5, p = 5, F =8+12+26+16 = 62, F
15
Statistik Pendidikan | 20
= tb
+p(
= 44,5 + 5 (
= 44,5 + 4,3
= 48,5
Koefisien kemiringan
=
=
=
=
= 0,188
Karena koefisien kemiringannya 0,188 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif
4. Penyelesaian : Nilai koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Koefisien kemiringan =
Letak
Jadi tb
= tb
=
=
= 90 terletak dikelas interval ke 7.
= 55 –0,5= 54,5, p = 5, F =8+12+26+16+15+9 = 86, F
14
+p(
Statistik Pendidikan | 21
= 54,5 + 5 (
= 54,5 + 1,42
= 55,92
Letak
=
Jadi tb
=
= 50 terletak dikelas ke 4.
= 40 –0,5= 39,5, p = 5, F =8+12+26 = 46, F
= tb
16
+p(
= 54,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25
= 40,75
Letak
=
Jadi tb
=
= 10 terletak dikelas ke 2.
= 30 –0,5= 29,5, p = 5, F =8, F
= tb
12
+p(
= 29,5 + 5 (
= 29,5 + 0,83
= 30,33
Koefisien kemiringan =
=
Statistik Pendidikan | 22
=
=
= 0,185
Karena koefisien kemiringannya 0,185 yaitu lebih dari 0, maka model
distribusinya adalah distribusi positif.
5. Diketahui :
= 35,461,
= 48,5 ,
= 55,214 ,
= 30,33
Ditanya : Berapa nilai koefisien keruncingannya dan termasuk jenis
distribusi apa ?
Penyelesaian :
K=
=
=
=
= 0,254
Karena nilai koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka
distribusinya adalah platikurtil.
Statistik Pendidikan | 23
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
Statistik Pendidikan | 24
DAFTAR PUSTAKA
Statistik Pendidikan | 25
Herrhyanto, Nar, Hamid, H.M. Akib. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas
Terbuka.
Statistik Pendidikan | 26