Tinjauan Teorema Bayes Dalam Pengambilan Keputusan Resiko

(1)

TINJAUAN TEOREMA BAYES DALAM PENGAMBILAN

KEPUTUSAN RESIKO

SKRIPSI

AMIR IRIANTO SINAGA

080823009

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(2)

TINJAUAN TEOREMA BAYES DALAM PENGAMBILAN

KEPUTUSAN RESIKO

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

AMIR IRIANTO SINAGA

080823009

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(3)

Judul : TINJAUAN TEOREMA BAYES DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN RESIKO

Kategori : SKRIPSI

Nama : AMIR IRIANTO SINAGA

Nomor Induk Mahasiswa : 080823009

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

( FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Juni 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Syahrial Lubis, S.Si, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng

NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

(4)

PERNYATAAN

TINJAUAN TEOREMA BAYES DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN RESIKO

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010

AMIR IRIANTO SINAGA 080823009

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang Pemurah dan Penyanyang, dengan limpah dan karunia-Nya skripsi ini berhasil dan tepat waktu.

Ucapan terimah kasih penulis sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Syahrial Lubis, S.Si, M.Si selaku pembimbing penulis pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan padat dan ringkas telah diberikan kepad penulis agar dapat menyelesaikan skripsi dengan baik dan sempurna. Ucapan terimah kasih juga disampaikan kepada Ketua dan Seketaris Departemen FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan dan semua Dosen serta pegawai di FMIPA USU dan juga kepada teman-teman kuliah di FMIPA USU. Akhirnya tidak terlupakan kepada Bapak dan Mama serta semua adek yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis. Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya semua kebaikan yang diberi kepada penulis.

(6)

ABSTRAK

Teorema Bayes adalah suatu rumusan matematika yang sederhana yang digunakan untuk peluang bersyarat. Sesuai dengan probabilitas subjektif, bila seseorang mengamati kejadian B dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka probabilitas B disebut probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap perkiraan semula mengenai kemungkinan B akan muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.

(7)

THEOREM BAYES IN DECISION MAKING OF RISK

ABSTRACT

Bayes’ Theorem is a simple mathematical formula used for calculating conditional probabilities. As according to subyectif probabilities, when somebody perceive the occurence B and have the confidence that there is probability B will emerge, hence B probabilities referred as prior probabilities. After there is supplementary information that for example occurrence A have emerged, possibly will be happened by the change to estimate from beginning hit the possibility B to emerge. Probabilities for the B of now is conditional probabilities of effect A and conceived by posterior probabilities. Bayes’ Theorem represent the mechanism to innovate the prior probabilities become the posterior probabilities.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan...ii

Pernyataan ...iii

... Penghargaan ...iv

Abstrak ...v

Abstract ...vi

Daftar Isi ...vii

Daftar Tabel ...ix

Daftar Gambar ...x

Bab 1 Pendahulun ...1

1.1Latar Belakang ...1

1.2Perumusan Masalah ...3

1.3Tinjauan Pustaka ...3

1.4Tujuan Penelitian ...5

1.5Kontribusi Penelitian ...5

1.6Metode Penelitian ...6

Bab 2 Landasan Teori ...7

2.1 Teori Peluang ...7

2.1.1 Aksioma dan Teorem ...7

2.1.2 Peluang Bersyarat ...14

2.1.3 Peluang Bersyarat untuk Kejadian Independn ...14

2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes ...15

2.2.1 Teori Partisi ...15

2.2.2 Teorema Bayes ...16

2.3 Teori Keputusan ...18

2.4 Teknik Pengambilan Keputusan ...19

2.4.1 Pilihan Langsung ...20

2.4.2 Nilai Ekspektasi ...22

2.5 Pengertian Utility ...23

2.5.1 Fungsi Utilitas ...24

2.5.2 Kurva Utilitas ...30

2.6 Sikap Menghadapi Resiko dan Bentuk Kurve Utilitas ...30

2.6.1 Sikap Penghindar Resiko ...30

2.6.2 Sikap Penggemar Resiko ...31

2.6.3 Sikap Netral ...32

2.7 Pohon Keputusan ...33

2.8 Nilai Kemungkinan Prior dan Posterior ...36

2.8.1 Perhitungan Nilai Kemungkinan Posterior ...37

2.9 Pengertian Resiko ...38

Bab 3 Pembahasan ...41

3.1 Pengenalan Pengambilan Keputusan ...41

3.2 Kelebihan dan Kekurangan Teorema Bayes dalam Sistem Pengambilan Keputusan ...42

(9)

3.3 Kriteria Pengambilan Keputusan Dalam Ketidakpastian ...43

3.3.1 Kriteria Maximax ...43

3.3.2 Kriteria Maximin ...43

3.3.3 Kriteria Dominan ...44

3.4 Kriteria Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Resiko ...44

3.4.1 Kriteria Nilai Harapan (Expected Value)...44

3.4.2 Nilai Ekivalen Tetap ...46

3.4.3 Nilai Kesempatan Yang Hilang (Opportunity Loss) ...46

3.4.4 Nilai Harapan Informasi Sempurna (NHIS) ...48

3.4.5 Teorema Bayes ...49

Bab 4 Kesimpulan dan Saran ...53

4.1 Kesimpulan ...53

4.2 Saran ...53 Daftar Pustaka

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1.1 Tabel keuntungan dan probabilitas ...22

Tabel 1.2 Harga produk yang dipasarkan ...28

Tabel 1.3 Peluang tingkat penjualan ...28

Tabel 1.4 Harga produksi yang dipasarkan ...34

Tabel 1.5 Penjualan tingkat penjualan produk ...35

Tabel 3.1 Tabel keuntungan dan probabilitas ...45

Tabel 3.2 Tabel keuntungan dan probabilitas ...47

Tabel 3.3 Keputusan untuk kesempatan yang hilang ...47

Tabel 3.4 Tabel keuntungan dan probabilitas ...50

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Partisi Bayes ...4

Gambar 2.1 Himpunan (A∪BAc) ...10

Gambar 2.2 Himpunan A∪B ...10

Gambar 2.3 Partisi Bayes ...15

Gambar 2.4 Diagram keputusan pilihan langsung ...21

Gambar 2.5 Ilustrasi fungsi utilitas ...24

Gambar 2.6 Pohon keputusan dengan menggunakan nilai utilitas ...26

Gambar 2.7 Pohon keputusan pemilihan produk ...29

Gambar 2.8 Bentuk kurva utility dalam menghadapi resiko ...30

Gambar 2.9 Kurva utility penghindar resiko ...31

Gambar 2.10 Kurva utility penggemar resiko ...32

Gambar 2.11 Kurva utility sikap netral ...33

Gambar 2.12 Contoh penggunaan simbol pada pohon keputusan ...33

Gambar 2.13 Pohon keputusan pemilihan produk ...35

Gambar 2.14 Diagram pohon keputusan investasi ...37

(12)

ABSTRAK

(13)

THEOREM BAYES IN DECISION MAKING OF RISK

ABSTRACT

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Mengambil keputusan secara aktif memberikan suatu tingkat pengendalian atas kehidupan sipengambil keputusan. Pilihan-pilihan yang diambil sebenarnya membantu dalam penentuan masa depan. Namun demikian, pengambilan keputusan secara keliru dapat saja lebih buruk dari pada tidak mengambil keputusan sama sekali. Untuk memainkan suatu peranan yang aktif dalam menentukan pilihan untuk masa depan, sipengambil keputusan hendaklah memilih pilihan yang tepat dari beberapa alternatif yang ada. Hampir setiap saat manusia membuat atau mengambil

keputusan dan melaksanakannya, yang tentu keputusan itu di landasi asumsi bahwa sega la tindakan merupakan pencerminan hasil proses pengambilan keputusan secara sadar atau tidak. Tidak jarang pula dalam mengambil keputusan sering digunakan konsep peluang untuk pengambilan keputusan dalam kehidupan sehari-hari.

Secara umum dapat dikatakan bahwa mengambil atau membuat keputusan berarti memilih satu diantara sekian banyak alternatif. Dalam menentukan alternatif tersebut harus diketahuinya informasi sebagai nilai tambah dalam pengambilan keputusan. Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu spesifikasi dari setiap alternatif, sehingga dengan mudah menentukan pilihan terhadap alternatif tersebut. Tetapi jika data atau informasi tidak ada, maka timbulnya ketidakpastian dalam pengambilan keputusan.

Faktor ketidakpastian tersebut akan menimbulkan resiko atau kerugian bagi sipengambil keputusan. Sehingga sipengambil keputusan tidak yakin terhadap alternatif yang tersedia dalam memilih alternatif tersebut. Sipengambil keputusan akan bingung atau bahkan tidak memilih atau memilih alternatif yang akan merugikan bagi sipembuat keputusan. Akibat faktor ketidakpastian ini yang sering muncul yang tidak dapat dipisahkan dalam pengambilan keputusan yang menimbulkan kesukaran dalam pengambilan keputusan.

(15)

Dalam pengambilan keputusan adalah penting untuk memilih atau mengambil suatu keputusan berdasarkan perhitungan atau kriteria tertentu. Dengan adanya perhitungan dalam menangani masalah ketidakpastian dalam pengambilan keputusan akan mempermudah dalam pemilihan alternatif. Sehingga dapat diketahui nilai peluang untuk mendapatkan beberapa alternatif yang ada, yang akan dipilih.

Perhitungan peluang dari beberapa alternatif, akan mengurangi tingkat resiko yang akan diambil oleh pembuat keputusan. Pembuat keputusan akan memilih alternatif yang tepat dalam pengembangan usahanya atau produksinya. Dan akan mengurangi resiko dan menambah nilai pendapatan yang akan diperoleh dengan pemilihan alternatif tersebut. Pengambilan keputusan diperlukan pada semua tahap kegiatan administrasi dan manajem en. Misalnya, dalam tahap perencanaan diperlukan banyak kegiatan pengambilan keputusan sepanjang proses perencanaan tersebut. Keputusan- keputusan yang diambil dalam proses perencanaan ditujukan kepada pemilihan alternatif program dan prioritasnya.

Dalam pengambilan keputusan mencakup kegiatan identifikasi masalah, perumusan dan pemilihan alternatif keputusan berdasarkan perhitungan konsekwensi dan berbagai dampak yang mungkin timbul. Begitu juga dalam tahap implementasi atau operasional suatu produksi, para pengambil keputusan harus membuat keputusan rutin dalam rangka me ngendalikan usaha sesuai dengan rencana dan kondisi yang ada.

Dalam tulisan ini akan disajikan implementasi konsep peluang (Teorema Bayes) dalam menentukan keputusan. Pengambilan keputusan berdasarkan Teorema Bayes adalah pengambilan keputusan dengan memilih dari beberapa alternatif yang mungkin dihadapi dengan mempertimbangkan keadaan dan prasarana serta informasi yang tersedia yang mana informasi mempunyai nilai tersendiri yang tentu akan sangat mempengaruhi analisa dalam pengambilan keputusan tersebut.

(16)

1.2Perumusan Masalah

Menentukan keputusan yang akan diambil dari pemilihan alternatif/tindakan dengan menentukan probabilitas setiap tindakan dengan menggunakan Teorema Bayes.

1.3Tinjauan Pustaka

Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas (Iqbal Hasan, 1999).

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (Johannes Supranto, 1991). Teori keputusan adalah teori yang mempelajari bagaimana sikap fikir yang rasional dalam situasi yang amat sederhana, tetapi yang mengandung ketidakpastian, seperti dalam permainan lotre. Karena itu peranannya dalam menghadapi situasi yang kompleks adalah sangat kecil (Kuntoro Mangkusuboto,1999).

Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada. Pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang diperlukan guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan yang terbaik.

Teorema Bayes yang digunakan pada proses pengambilan keputusan tidak terlepas dari konsep teori peluang sebagai konsep dasar. Teorema Bayes dikenal sebagai rumus dasar untuk peluang bersyarat yang tidak bebas.Oleh karena itu, pengambilan keputusan sering menyadari perlunya tambahan informasi guna membantu proses pengambilan keputusan. Teorema Bayes ditinjau dari buku {[1], [2], [4],[8]}.

Teorema Bayes dapat diperoleh dari konsep teori peluang bahwa rumus Teorema Bayes adalah sebagai berikut : Andaikan S menyatakan ruang sampel dari

(17)

beberapa percobaan dan k adalah kejadian A ,...,_i A_kdalam S sedemikian hingga k

i A

A ,..., saling asing dan



i S

= =

. Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian A ,...,i Akmembentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar dibawah ini.

Gambar 1.1 Partisi Bayes

dimana : ) / (A B

P _i = Peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu. )

(A_i

P = Peluang peristiwa A )

/ (B Ai

P = Peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu

) (B

P = Peluang peristiwa B

Bukti :

(

)

(

) ( )

(

) ( )

∑

₌

= n i

i i

i i i

A P A B P

A P A B P B A P

/ / /

S _A₁ _A₂ A k B

(18)

(

) (

_{( )}

)

(

)

₍

_{) (}

(

₎

)

₍

₎

( )

( ) (

)

(

) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

(

)

∑

= = ∩ = = ∩ = ∩ + + ∩ + ∩ ∩ = ∩ = n i i i i i i i i i i n i i i i i i B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B P ana B A P B A P B A P B A P B A P B P B A P B A P 1 1 2 1 / / / / dim ... / /

(

)

( ) (

)

( ) (

i i

)

n i i i i A B P A P A B P A P B A P didapat maka / / / ; 1

∑

₌ =

1.4Tujuan Penelitian

Menerangkan cara untuk pengambilan keputusan dari beberapa variable/tindakan dengan menggunakan Teorema Bayes.

1.5Kontribusi Penelitian

Dengan diketahuinya cara mendapatkan keputusan terhadap suatu objek yang akan dipilih dengan menggunakan Teorema Bayes, maka dapat diketahui sejauh mana Teorema Bayes berperan dalam pengambilan keputusan. Dengan berperannya Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan diharapkan sebagai dasar pengambilan keputusan dalam pemecahan masalah pembangunan atau pengembangan kelembagaan.

(19)

Dalam penelitian ini penulis melakukan studi literatur dengan mengumpulkan bahan yang membahas analisa keputusan pada umumnya.

Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah sebagai berikut :

Langkah I : Mengenalkan dan menjabarkan konsep dan teori peluang.

Langkah II : Menjelaskan teorema peluang yang merupakan konsep dasar dari Teorema Bayes.

Langkah III : Penjabaran dan penerapan Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan dalam kasus.

Langkah IV : Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik dengan menggunakan Teorema Bayes.

BAB II

LANDASAN TEORI

(20)

Misalkan sebuah peristiwa A dapat terjadi sebanyak x kali diantara n peristiwa yang saling bebas dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama. Maka peluang peristiwa A terjadi adalah

( )

n x A P =

Dimana : P (A) = Peluang terjadinya peristiwa A x = peristwa x

n = jumlah semua kemungkinan

2.1.1 Aksioma dan Teorema

Aksioma 1.

Untuk setiap kejadian A, P

( )

A ≥O . Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari setiap kejadian adalah nonnegatif.

Aksioma 2.

( )

S =1

P .

Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang dari kejadian tersebut adalah 1.

Aksioma 3.

Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas A₁,A₂,A₃,...

∑

( )

∞ = ∞

= =

  

1 i

i i

i P A

A P



Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing peluangnya.

(21)

( )

φ =0

Bukti : Andaikan kejadian A₁,A₂,...sedemikian hingga A_i =φ untuk i= 1,2,….

Dengan adanya φ∩φ =φ, maka kejadian A adalah kejadian saling asing, untuk i=1,2,… _i

Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :

( )

1 1 1 = = =     =

∑

∞ = ∞ = ∞ = i i i i i P A P A P P φ φ



Teorema 2.

Untuk kejadian yang saling asing A₁,A₂,A₃,...

∑

( )

∞ = ∞ = =    1 1 i i i

i P A

A P



Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas A₁,A₂,A₃,... dimana A₁,A₂,A₃,...A_ndimana n adalah kejadian yang diberikan dan A_i =φ untuk i>n. Maka untuk kejadian yang tak tebatas ini adalah saling asing dan



n i i i i A A 1 1 = ∞ = =

Melalui aksioma 3,dapat diperoleh :

( )

∑

= = ∞ + = = ∞ = ∞ = = = + = + = =     =     n i i n i i n i i n i i i i i i n i i A P A P A P A P A P A P A P 1 1 1 1 1 1 1 0



(22)

Teorema 3.

Untuk setiap kejadian A,P

( )

Ac =1−P

( )

Bukti : Andaikan kejadian A dan A saling asing dan c A∪Ac =S

( )

(

)

( )

A P

( )

A P A P

S P untuk A

P A P

A A P S P

c c c

− =

+ =

= +

∪ =

1 1

Teorema 4.

Untuk setiap kejadian A, 0≤P

( )

A ≤1

Bukt i : Dari aksioma 1 diperoleh P

( )

A ≥0 Jika P

( )

A ≥1, maka dari teorema 3 P

( )

Ac ≤0 dimanaP

( )

Ac ≤0 berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan peluang setiap kejadian harus nonnegatif, maka P

( )

A ≤1 sehingga0≤P

( )

A ≤1.

Teorema 5.

Jika A⊂B, maka P

( ) ( )

A ≤P B

Bukti :Perhatikan gambar dibawah ini :

Gambar 2.1 HimpunanB= A∪(BAc)

Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan BA , sehingga c

( ) ( )

( )

BA P A P B

P = +

Dari aksioma1, P

( )

BAc ≥0

S B B c

(23)

Maka :

( ) ( )

A P B P A P B P ≤ ≥ Teorema 6.

Untuk dua kejadian A dan B

(

A B

) ( ) ( ) ( )

P A P B P AB

P ∪ = + −

Bukti: Perhatikan gambar dibawah ini.

Gambar 2.2 Himpunan

(

A∪B

)

Dari gambar dapat dituliskan

( )

A B B

A∪ = c ∪ ∪ c

Dari teorema 2 di dapat

(

)

{

( )

}

(

A B

)

( )

AB P

( )

AB P

( )

A B P B A AB AB P B A P c c c c + + = ∪ ∪ ∪ = ∪

Dari gambar 2.2 juga diperoleh

( )

A P

( )

AB P

( )

P = c +

Maka

( )

( ) ( )

( )

A B P

( ) ( )

B P AB P AB P AB P B P AB P A P AB P c c c − = + = − = Sehingga

(

)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A P B P AB

P AB P B P AB P AB P A P B A P AB P AB P B A

P c c

− + = − + + − = + + = ∪ Teorema 7.

(24)

Diberikan ruang sampel S, jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian A dari S.

( ) ( )

N A N A P =

Bukti : Diberikan S =

{

s₁,s₂,...

}

dimana setiaps_i adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk titik sampel dari probabilitas

( )

N s

P _i = 1 untuk semua i, 1≤i≤ N_{. Sekarang diberikan}

{

, , ,...

}

3 2 1 i i

i s s

A= adalah mutually ekslusif, maka diperoleh :

( )

{

}

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

N_NA A P N N N A P s P s P s P A P s s s P A P i i i i i i = + + + = + + + = = ... 1 1 1 ... ,... , , 3 2 1 3 2 1 Teorema 8.

Jika B1,B2,B3,...dari partisi A dari ruang sampel, maka, untuk kejadian A⊆S

( )

_∑

(

)

= ∩ = n i i B A P A P 1

Bukti : Set A dapat dibuat

(

)

i A B

A=∪₌1 ∩

Dan

B_i ∩B_j =φ,i= j maka

(

A∩B_i

)

∩

(

A∩B_j

)

=φ

Teorema 9.

Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian e_i,i =1,2,...dimana e mempunyai _i

( )

P , maka, untuk kejadian A⊆S

( )

∑

( )

A e i i e P A P ε Bukti :

(25)

( )

_∑

(

)

_∑

( )

∈ ∈ ∩ = =    ∉ ∈ = ∩ A e i A e i i i i i i i e P e A P A P e jika A e jika e e A φ Teorema 10.

Jika A₁,A₂,...A_nadalah n sembarang dari set S, maka

(

)

( )

(

)

(

)

( ) (

)

n n i k j i j i i i n i A A A P A A A P A A P A P A P ∩ ∩ − ∩ ∩ + ∩ − = ∪ − = =

∑

,... 1

... 1 2

1 1 1 Bukti :

(

)

( ) ( ) (

)

( )

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

_∑

(

)

_∑

(

)

( ) (

)

∑

+ − + + = + = + = + − = + + + = + ∩ ∩ − + ∩ ∩ − ∩ =     _∩     _∩ =         ∩ ∩ ∩ − − ∩ ∩ + ∩ − =     = ∩ − + = ∪ = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 ... .... 1 ... k k k j i k i k i k i k i k i k i i k k k k j i j i i k i i k k k i k i A A A P A A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A P A P A P B P B A P A P B P A B P A P



Teorema 11.

Jika

{

B1,B2,...,B_n

}

adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan P

( )

Bi >0 Untuk

i=1,2,..., untuk kejadian A dari S, maka dapat di tulis:

( ) (

)( ) (

) ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

n i i n n B P B A P A P B P B A P B P B A P B B A P A P

∑

₌ = + + + = 1 2 2 1 1 / / ... / /

(26)

Bukti :

Kita mempunyai

{

B₁,B₂,...,B_n

}

adalah mutually exclusive (saling bebas), B_i ≠0, dimana

( )

AB_i₁ ≠0sehingga

diperoleh AB₁,AB₂,...,AB_n adalah set dari kejadian mutually exclusive. Sekarang diperoleh n

B B

S = ₁∪ ₂ ∪...∪ diberikan n

AB AB

AB AS

A= = ₁∪ ₂ ∪...∪ Untuk itu,

( ) ( ) ( )

A P AB P AB P

( )

ABn

P = ₁ + ₂ +...+

Tapi P

( ) (

ABi =P A/Bi

) ( )

P Bi , i =1,2,...,n

Maka,

( ) (

A P A B

)( ) (

B P A B

) ( )

P B P

(

A Bn

) ( )

P Bn

P = / ₁ ₁ + / ₂ ₂ +...+ /

2.1.2 Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah dua kejadian dimana peluang dari kejadian A disebut kejadian sebagai peluang bersyarat kejadian A jika kejadian B telah terjadi. Notasi untuk peluang bersyarat kejadian di atas dituliskan dalam bentuk P

(

A/B

)

dan dibaca peluang A bersyarat B.

Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga P

( )

B >0, maka :

(

) (

)

( )

B P

B A P B A

P / = ∩

Peluang bersyarat tidak berlaku jika P

( )

B =0 Jika P (B) = 0 maka P (A/B) tidak dapat terdefinisi.

(27)

Jika dua kejadian A dan B adalah independen, maka P

( ) ( ) ( )

AB = P A P B

Untuk P

( )

B >0, maka :

(

) ( )

_{( )}

( ) ( )

( )

A P

B P

B P A P

B P

AB P B A P

= = =

Dalam bentuk yang sama, jika A dan B adalah dua kejadian independen dan jika P

( )

A >0 ,maka dapat kita ditulis :P

(

B/A

) ( )

=P B

2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes

Antara Teorema Bayes dengan teori partisi terdapat hubungan yang sangat erat, hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari penggunaan teori partisi. Dengan kata lain, teori partisi adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes.

2.2.1 Teori Partisi

Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian k

i A

A ,..., dalam S sedemikian hingga A ,...,_i A_ksaling asing dan



i S

= =

. Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian A ,...,_i A_k

membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar dibawah ini.

(28)

Gambar 2.3 Partisi Bayes Dari gambar 2.3 dapat dituliskan,

( ) ( )

AB A B

( )

A B

B= ₁ ∪ ₂ ∪...∪ _n (2.1)

Karena k kejadian dalam persamaan (2.1) diatas adalah disjoint (saling asing) maka :

( ) ( ) ( )

( )

(2.2)

... 1 2 1

∑

₌ = ∪ ∪ ∪ = n i i n B A P B P B A B A B A B P

Jika P

( )

A >0maka peluang bersyarat untuk

(

) ( )

_{( )}

( ) ( ) (

BA P A P B A

)

i n P A P BA P A B P i i i i i i ,..., 2 , 1 / / = = =

Maka dapat ditulis kembali persamaan (2.2) sebagai berikut :

( )

( ) (

)

n i i n i i A B P A P B P B A P B P / 1 1

∑

= = = =

Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian A ,...,_i A_n yang membentuk partisi dari ruang sampel S dan P

( )

Ai >0, untuk i=1,2,...,n, maka untuk kejadian B dan ruang sampel

S, berlaku:

( )

( ) (

)

i P B A

A P B P / 1

∑

₌ =

Yang memiliki persamaan pada teorem 11 sebelumnya. 2.2.2 Teorema Bayes

Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Teorema Bayes. Teorema Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace.

(29)

Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat terjadinya peristiwa B telah terjadi dan probabailitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

Sesuai dengan probabilitas subjektif, bila seseorang mengamati kejadian B dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka probabilitas B disebut probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap perkiraan semula mengenai kemungkinan B untuk muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.

Teorema Bayes :

Misalkan kejadian A ,...,_i A_n membentuk sebuah partisi dari ruang sampel S sedemikian hingga P

( )

Ai >0 untuk i =1,2,...,n dan misalkan B adalah suatu kejadian sedemikian hingga

( )

B_i >0

i=1,2,..., maka berlaku rumus :

(

)

( ) (

)

( ) (

)

∑

₌ = n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P 1 / / / Bukti :

Dari definisi peluang bersyarat diperoleh,

(

) ( )

_{( )}

B P B A P B A

P i / = i

(

Ai B

) ( ) (

P Ai P B Ai

)

P / = /

(

) ( )

_{( )}

( ) ( ) (

BA P A P B A

)

i n P A P BA P A B P i i i i i i ,..., 2 , 1 / / = = =

(30)

( )

(

) ( )

(

) ( )

i n i i k i i i n i i n i i A P A B P BA P atau A P A B P BA P . / . / 1 1 1 1

∑

= = = = =     =



Menurut aksioma 3, kejadian BA1,BA2,BA3,...,BA_nadalah saling asing, sehingga dapat diperoleh

( ) ( )

( )

{

}

( )

i n i i i n i i B P BA P BA BA BA P BA P =     ∪ ∪ ∪ =     = =



1 2 1 1 ...

Sehingga dapat dibuat dari persamaan diatas menjadi

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

i n i i i n i i n i i A P A B P B P A P A B P BA P . / . / 1 1 1

∑

= = = = =

Maka dapat dibuktikan Teorema Bayes dari rumusan diatas, sebagai berikut :

(

) ( )

_{( )}

(

)

( ) (

)

(

) ( )

i n i i i i i i i A P A B P A B P A P B A P B P B A P B A P . / / / / 1

∑

₌ = =

2.3 Teori Keputusan

Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli yang tertarik dengan analisis keputusan yang akan memberikan informasi pada pengambilan keputusan. Teori keputusan dalam matematika dan statistika adalah berhubungan dengan mengidentifikasi ketidakpastian dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan dan menghasilkan keputusan yang tepat dan optimal.

Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang sebagian besar berasal dari Teorema Bayes. Teori keputusan dapat berupa normatif atau deskriptif. Teori keputusan normatif adalah teori yang mengarah pada bagaimana harus membuat keputusan jika kita

(31)

ingin memaksimalkan utility yang diharapkan. Sedangkan teori keputusan deskriptif adalah dicapai berdasarkan hasil pengamatan, percobaan, dan biasanya dikuatkan dengan statistik.

2.4 Teknik Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan adalah memilih satu atau lebih diantara sekian banyak alternatif keputusan yang mungkin. Suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk memecahkan permasalahan atau persoalan untuk mencapai tujuan yang akan dicapai. Keputusan bisa berulang kali dibuat secara rutin dan dalam bentuk persoalan yang sama sehingga mudah dilakukan.

Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak dalam perumusan berbagai alternatif tindakan sesuai dalam perhatian dan dalam pemilihan alternatif yang tepat setelah suatu evaluasi (penilaian) mengenai efektifitasnya dalam mencapai tujuan yang dikehendaki pengambil keputusan. Salah satu komponen terpenting dari proses pembuatan keputusan adalah kegiatan pengumpulan data dari mana suatu apresiasi mengenai situasi keputusan dapat dibuat.

Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu spesifikasi yang lengkap dari semua alternatif dan tingkat keefektifannya dalam situasi yang sedang dalam pembahasan.untuk dipilih sebagai pilihan yang tepat dalam penentuan alternatif. Proses pembuatan atau pengambilan keputusan sangatlah mudah, akan tetapi di dalam pengumpulan informasi yang mendukung dari alternatif tidak mudah karena mengingat terbatasnya waktu, dana, dan tenaga.

Pada dasarnya ada empat kategoti keputusan, yaitu : 1. Keputusan dalam keadaan ada kepastian ( certainty ).

Certainty jika semua informasi yang diperlukan untuk membuat keputusan diketahui

secara sempurna dan tidak berubah. 2. Keputusan dalam keadaan resiko ( risk ).

Dikatakan resiko jika informasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yang akan terjadi beserta probabilitasnya tersedia.

(32)

Pengambilan keputusan dalam keadaan ketidakpastian menunjukkan suasana keputusan dimana probabilitas hasil potensial tidak diketahui ( tidak diperkirakan ). Dalam suasana ketidakpastian pengambil keputusan sadar akan hasil alternatif dalam bermacam-macam peristiwa ( kejadian ), namun pengambil keputusan tidak dapat menetapkan probabilitas peristiwa.

4. Keputusan dalam keadaan ada konflik ( conflick ).

Suasana konflik muncul jika ada kepentingan dua atau lebih pengambilan keputusan berada dalam keadaan situasi yang saling bertentangan. Satu pihak pengambil keputusan tidak hanya memikirkan pada tindakannya sendiri, tetapi juga tertarik pada tindakan lawannya.

2.4.1 Pilihan langsung

Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pilihan diantara dua alternatif yang ada adalah dengan membandingkan keduanya secara langsung, kemudian menentukan pilihan berdasarkan intuisi. Sebagian besar keputusan yang dibuat dalam kehidupan adalah berdasarkan intuisi. Manusia mempertimbangkan pilihan yang dihadapinya berdasarkan informasi yang telah dimilikinya dan sesuai dengan preferensinya terhadap resiko, untuk kemudian dengan menggunakan proses intuitif, dapat menuju suatu tindakan yang menunjukkan keputusan terbaik yang dipilhnya.

Berkenaan dengan intuisi, tidak dapat dijelaskan lebih lanjut tentang bagaimana mekanisme kerjanya, meskipun dapat sering dilihat bagaimana orang bertindak berdasarkan intuisi. Didalam kehidupan manusia sering membuat keputusan berdasarkan intuisi, seperti : rute mana yang akan dipilih kekampus, jam berapa akan bangun pagi, dan sebagainya. Pada kenyataannya memang tidak perlu mencari prinsip lain untuk mengganti intuisi tersebut dalam keputusan sehari-hari. Tetapi untuk hal yang besar yang membutuhkan pertangungjawaban kepada orang lain, akan diperlukan cara lain lebih baik untuk membuat keputusan.

Ciri utama intuisi adalah kenyataan bahwa logika dari intuisi tidak dapat ditelusuri secara rasional. Bila seorang direktur perusahaan mengambil keputusan berdasarkan intuisi, mungkin direktur perusahaan tersebut akan memilih bergabung dengan perusahaan X jika perusahaanya ingin bekerja sama. Meskipun mungkin keputusan tersebut adalah hasil

(33)

pemikiran yang cemerlang, tetapi keputusan tersebut tidak dapat dievaluasi. Tidak ada jalan atau alat analisa untuk memeriksa langkah demi langkah untuk menentukan apakah keputusan tersebut adalah suatu konsekuensi logis dari pilihan dari informasi yang tersedia. Contoh 1.

Seorang produsen ingin menambah jenis produksinya. Untuk maksud tersebut ada dua pilihan : pertama produk A, ia yakin staf engeneringnya mampu mempersiapkannya peralatan untuk produk A dengan pertimbangan keberhasilan 0,5. Produk kedua, memproduksi B dengan kemungkinan gagal 0,2. Jika produk A berhasil perusahaan akan memperoleh laba Rp. 200 juta, dan jika gagal akan rugi Rp. 20 juta. Sedangkan produk B, jika berhasil akan memperoleh laba Rp. 20 juta dan jika gagal akan rugi Rp. 2 juta. Karena keterbatasan dana, maka satu diantaranya yang akan diproduksi. Tentukan produksi mana sebaiknya yang akan diproduksi oleh perusahaan agar memperoleh keuntungan yang optimal.

Model keputusan ini dapat digambarkan dalam diagram keputusan seperti dibawah ini : Berhasil + Rp. 200 juta

Produksi A 0,5

Gagal (0,5) - Rp. 20 juta Berhasil + Rp. 20 juta 0,8

Produk B

Gagal

- Rp. 2 juta 0,2

Gambar 2.4 Diagram keputusan pilihan langsung

Dari gambar 2.4 jelas sekali bahwa seandainya pemasaran produk A gagal, masih bisa memperoleh hasil penjualan sebesar Rp 20 juta, nilai ini sama dengan besarnya dengan berhasilnya pemasaran produk B. Ini berarti bahwa produk A mendominasi produk B, dengan demikian akan diputuskan untuk memilih produk A.

(34)

Pegambilan keputusan secara langsung dapat diterapkan untuk kejadian tak pasti yang sederhana. Tetapi bila kejadian tak pasti yang dilibatkan semakin rumit, sehingga penerapan pengambilan keputusan secara langsung tidak dapat atau sukar untuk dilakukan, maka cara yang sering digunakan adalah dengan menggunakan nilai ekspektasi sebagai dasar pemilihan.

Hasil yang dicerminkan dalam suatu distribusi kemungkinan dapat dinyatakan dalam harga rata-rata atau nilai ekpektasi, kemudian pembuat keputusan dapat memilih berdasarkan nilai ekpektasi yang tertinggi. Dengan kata lain, nilai ekpektasi adalah penjumlahan dari hasil kali probabilitas dengan kontribusinya ( dalam satuan mata uang ).

Contoh 2 :

Seseorang dihadapkan pada masalah penyimpanan uangnya, apakah dalam bentuk deposito atau pembelian saham. Keuntungan yang akan didapatnya bergantung pada laju pertumbuhan ekonomi. Laju pertumbuhan ekonomi meningkat dengan probabilitas 35% dan menurun 65%. Jika dipilih deposito, keuntungan adalah 250 juta rupiah pada saat pertumbuhan ekonomi meningkat dan 175 juta rupiah pada saat menurun. Jika dipilih membeli saham, keuntungan adalah 350 juta rupiah pada saat pertumbuhan ekonomi meningkat dan 125 juta rupiah pada saat menurun. Dengan menggunakan nilai harapan payoff terbesar, keputusan mana yang harus diambil?

Tabel 1.1 Tabel Keuntungan dan Probabilitas

Kejadian Probabilitas Laju Pertumbuhan Ekonomi

Tindakan Meningkat (0,35) Menurun (0,65)

Deposito 250 175

(35)

kejadian as

probabilit P

alternatif tindakan

as probabilit a

Value Expected EV

P a EV

i i

i i i

= = =

∑

Maka dapat dihitung nilai Expected Valuenya yaitu :

( )

75 , 203

65 , 0 125 35 , 0 350

25 , 201

65 , 0 175 35 , 0 250

+ =

BS D

EV EV

Oleh karena itu EV=203,75 terbesar, maka diputuskan untuk membeli saham. Didalam jangka panjang, secara rata-rata akan diperoleh keuntungan sebesar 203,745 juta rupiah.

2.5 Pengertian Utility

Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay off sebenarnya sesuai dengan

konsekuensi keputusan, atau dapat dikatakan sebagai tingkat keputusan atau daya guna pembuat keputusan dalam suatu masalah yang dihadapi. Utility dapat juga dikatakan preferensi pembuat keputusan terhadap suatu nilai dengan mempertimbangkan faktor resiko. Untuk suatu himpunan hasil ( set of outcomes ) yang sudah dibuat peringkatnya berdasarkan preferensi.

Kita dapat menentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, berarti makin kecil nilai utilitas yang tidak disukai. Pada umumnya setiap orang mempunyai preferensi tersendiri dalam menghadapi resiko. Preferensi ini dapat dituangkan terhadap sebuah kurva yang disebut kurva utilitas. Pembuat keputusan berdasarkan pada ekspektasi utility dari alternatif-alternatif yang ada dan memilih berdasarkan ekspektasi utility yang tertinggi.

(36)

Karena certainty equivalent dapat ditentukan untuk berbagai macam alternatif keputusan yang ada dalam sebuah masalah pengambilan keputusan, maka lebih baiklah bila alternatif-alternatif pilihan keputusan yang ada langsung diseleksi berdasarkan certainty equivalent yang terbaik. Utility function/fungsi utilitas adalah sebuah prosedur/metode yang mentranslasikan hasil akhir suatu keputusan menjadi angka-angka sehingga hasil estimasi dari angka utilitas yang dihasilkan tersebut dapat digunakan untuk mengkalkulasikan

certainty equivalent dari alternatif-alternatif keputusan yang ada dan tetap konsisten/sejalan

dengan sikap resiko sang pengambil keputusan.

(37)

35 Di dalam ilustrasi fungsi utilitas pada gambar 2.5, sumbu horizontal merepresentasikan tingkatan skala ukuran evaluasi, dan sumbu vertikal merepresentasikan utilitas dari setiap tingatan skala ukuran evaluasi. Angka-angka utilitas yang terletak pada sumbu vertikal menunjukkan tingkatan level evaluasi yang paling disarankan, semakin besar angkanya, semakin baik pula level evaluasi itu. Secara intuitif, dapat dilihat pada gambar 2.5, hasil fungsi utilitas turun secara drastis ketika level perhitungan evaluasi menjadi lebih negatif/memburuk, dan penurunan nilai tersebut menjadi tidak begitu drastis sejalan dengan level perhitungan evaluasi yang menjadi lebih positif/membaik. Hal ini menunjukkan bahwa nilai yang hilang dari setiap penurunan perhitungan evaluasi menjadi lebih besar sejalan dengan level perhitungan evaluasi menjadi lebih negatif. Sehingga, jika kita mengambil hasil estimasi utilitas dari perhitungan evaluasi tersebut,alternatif-alternatif yang punya kemungkinan probabilitas cukup besar untuk menghasilkan hal-hal yang tidak menguntungkan akan dipenalti lebih besar dalam perhitungan kalkulasi dibandingkan dengan bila menggunakan hasil estimasi biasa untuk melakukan perhitungan evaluasi. Sehingga, sebuah alternatif dengan probabilitas yang cukup tinggi untuk menghasilkan hasil yang tidak menguntungkan akan diturunkan nilainya dengan menggunakan fungsi utilitas dari apa yang akan menjadi benar jika hasil estimasi biasa digunakan untuk melakukan perhitungan alternatif-alternatif keputusan yang ada. Ide utama pendekatan dengan mengkalkulasikan certainty equivalent adalah untuk pertama-pertama mengkonversi kemungkinan-kemungkinan hasil yang ada dalam sebuah masalah pengambilan keputusan yang ada ke dalam nilai utilitas dengan menggunakan fungsi utilitas, lalu mengkalkulasi hasil estimasi dari nilai-nilai utilitas yang ada dari setiap alternatif menggunakan prosedur yang sama yang dipakai untuk menghitung nilai estimasi. Setelah hasil estimasi utilitas dihitung untuk setiap kemungkinan pilihan keputusan yang ada, maka setelah itu harus ditentukan certainty equivalent dari setiap kemungkinan pilihan itu. Bentuk fungsi utilitas yang dipakai adalah sebuah fungsi

utilitas eksponensial. Untuk masalah pengambilan keputusan yang menitik beratkan pada

keuntungan/makin sedikit resiko semakin baik, dengan menggunakan banyak perhitungan evaluasi, maka fungsi eksponensialnya adalah :

( )

x 1 e , r0

U = − −xr

Dengan u(x) merepresentasikan fungsi utilitas, x adalah level perhitungan utilitas, r adalah sebuah konstanta yang disebut toleransi resiko, dan e merepresentasikan fungsi eksponensial.

(38)

36 Dalam sebuah situasi pengambilan keputusan dimana perhitungan evaluasi yang lebih sedikit lebih diinginkan, maka fungsi utilitas eksponensial akan mempunyai bentuk :

( )

x 1 e , r0

U = − xr

Dan dalam fungsi ini nilai yang lebih besar dari x mempunyai nilai utilitas yang lebih rendah. r dalam fungsi ini juga menentukan tingkat toleransi resiko si pengambil keputusan. Nilai toleransi resiko / r dapat dihitung dengan cara berikut. Pertama-tama tentukan sebuah alternative fiktif yang punya peluang yang sama untuk menghasilkan hasil positif r atau hasil negatif r/2. Lalu tentukan nilai r sehingga kita tidak akan bermasalah bila kita mengambil alternatif tersebut maupun tidak mengambil alternatif tersebut atau tentukan nilai r sehingga nilai

certainty equivalent pada alternatif keputusan fiktif ini bernilai 0. Setelah nilai r dapat

ditentukan, maka itulah nilai r yang kita pakai

Gambar 2.6. Pohon keputusan dengan menggunakan nilai utilitas.

Di dalam pohon keputusan dalam gambar 2.6, dimisalkan kita mengambil r dengan 2 sehingga fungsi utilitasnya menjadi.

( )

_x ₁ _e x2

(39)

37 Kemudian dapat dihitung nilai utilitas dari setiap nilai akhir yang ada dengan menggunakan fungsi utilitas eksponensial dengan mengambil r=2. Sebagai contoh, nilai fungsi utilitas dari nilai akhir yang terletak paling atas dapat dihitung dengan fungsi

( )

1 2 0,777

= −

= e−

x U

Nilai estimati utilitas juga dapat dihitung sama dengan hasil estimasi. Sebagai contoh hasil estimasi dari simpul probabilitas yang paling atas dapat dihitung dengan fungsi :

Fungsi Utilitas yang lain yang dapat digunakan dalam pngambilan keputusan

( )

₍(0 1)₎

0 1 1 x x k x x k e e x U ₋ − −− = Dimana :

( )

ta kons bilangan k utilitas fungsi nilai atas batas x utilitas fungsi nilai bawah batas x tertentu x nilai untuk utilitas fungsi nilai x U tan 1 0 = = = =

Untuk persamaan sebelumnya menggambarkan fungsi utilitas bagi sifat penghindar resiko dan sifat pencari resiko yang masing-masing tergantung pada nilai k yang menunjukkan tingkatan untuk menghindari atau mencari resiko.

Bagi yang bersikap netral, nilai utilitasnya dinyatakan dengan suatu garis lurus yang ditunjukkan pada kurva utilitas, dapat dibuat dalam persamaan :

( )

0 1 0 x x x x x U − − =

Nilai ekspektasi utility dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

∑

₌ = n i x NU EU 1 Pr Dimana :

EU = Ekspektasi Utility NU = Nilai Utility Pr = Probabilitas

(40)

38 Contoh 3:

Sebuah perusahaan akan memilih satu diantara tiga produk baru untuk dipasarkan. Produksi perdana untuk ketiga produk tersebut telah selesai dilakukan, demikian studi mengenai harganya. Dari hasil penelitian pasar, deketahui distribusi kemungkinan tingkat penjualan yang mungkin dicapai ketiga produk tersebut. Datanya sebagai berikut :

Tabel 1.2 Harga Produk Yang Dipasarkan Produk Harga/ Unit (Rp)

Ongkos/Unit (Rp)

Penerimaan/Unit(Rp)

A 3.500 2.000 1.500

B 5.000 3.000 2.000

C 7.000 4.500 2.500

Distribusi peluang tingkat penjualan dari produk tersebut diperlihatkan dalam tabel sebagai berikut :

Tabel 1.3 Peluang Tingkat Penjualan Produk Tingkat penjualan

(Unit)

Probabilitas

A B C

0 0 0,1 0,1

100 0 0,2 0,3

200 0,1 0,2 0,3

300 0,1 0,4 0,2

400 0,2 0,1 0,1

500 0,6 0 0

Jika perusahaan menghendaki hanya satu jenis produk yang akan dipasarkan berdasarkan nilai ekspektasinya, produk mana yang dipilih ?

(41)

39 Penjualan Prob Hasil (Rp ribu) Utility 200 0,1 300 0,45 Produk A 300 0,1 450 0,64 400 0,2 600 0,78 500 0,6 760 0,87 100 0,2 200 0,45 Produk B 200 0,2 400 0,78 300 0,4 600 0,94 400 0,1 800 1 500 0 1.000 0 Produk C 100 0,3 250 0,31 200 0,3 500 0,64 300 0,2 750 0,83 400 0,1 1.000 0,94 500 0 1.250 0 Gambar 2.7 Pohon keputusan pemilihan produk

Maka dapat dihitung Ekspektasi Utility (EU) dari masing-masing alternatif : Alternatif A :

79 , 0 ) 87 , 0 )( 6 , 0 ( ) 78 , 0 )( 2 , 0 ( ) 64 , 0 )( 1 , 0 ( ) 45 , 0 )( 1 , 0 ( = + + + = A EU

Alternatif B :

72 , 0 ) 1 )( 1 , 0 ( ) 94 , 0 )( 4 , 0 ( ) 78 , 0 )( 2 , 0 ( ) 45 , 0 )( 2 , 0 ( = + + + = B EU

Alternatif C :

54 , 0 ) 94 , 0 )( 1 , 0 ( ) 83 , 0 )( 2 , 0 ( ) 64 , 0 )( 3 , 0 ( ) 31 , 0 )( 3 , 0 ( = + + + = C EU

Berdasarkan Ekspektasi Utility ini, dapat diambil keputusan bahwa alternatif yang terbaik adalah alternatif A, karena memberi utility yang paling tinggi diantara ketiga alternatif yang ada.

(42)

40 2.5.2 Kurva Utilitas

Kurva utilitas diperoleh berdasarkan penjajagan preferensi pengambil keputusan, menggambarkan bagaimana utilitas suatu nilai atau keadaan tertentu bagi pengambil keputusan. Pada umumnya skala utilitas dinyatakan antara 0 dan 1; dimana skala utilitas 1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan keadaan atau nilai yang tidak disukai. 1

Gambar 2.8 Bentuk kurva utility dalam menghadapi resiko 2.6 Sikap Menghadapi Resiko dan Bentuk Kurve Utilitasnya

Sikap seseorang dalam menghadapi suatu persoalan yang mengandung risiko pada dasarnya dapat dibedakan menjadi 3 yaitu : sikap penghindar risiko, sikap penggemar risiko dan netral. 2.6.1 Sikap Penghindar Risiko

Apabila seseorang menetapkan nilai ekivalen tetap (NET) dari suatu kejadian tak pasti lebih rendah dari nilai harapan kejadian tersebut maka ia disebut penghindar resiko.

0,5 Rp. 1.000.000

0,5 0

Pengghindar Resiko Netral Penggemar Resiko

(43)

Misalnya lotere di atas menghasilkan nilai harapan Rp.500.000, akan tetapi orang yang penghindar resiko akan bersedia menjualnya pada harga yang lebih rendah dari Rp 500 ribu, misalkan 300 ribu. Penghindar resiko lebih senang memilih hal yang pasti, dia menyadari lebih baik menerima Rp 300 ribu dari pada bermain lotere, meskipun nilai ekspektasi lotere tersebut lebih tinggi. Pada contoh sebelumnya, premi resikonya adalah Rp 200 ribu, premi resiko dapat diartikan sejumlah uang atau besaran lainnya yang rela dilepaskan seorang pengambil keputusan agar dapat menghindarkan resiko yang nampak pada kejadian yang tak pasti. Apabila seseorang bersifat penghindar resiko, premi resikonya akan selalu positif. Semakin besar nilai premi resiko, sifat penghindar resiko akan semakin besar. Kurva utilitinya

0 ET= Rp300 Rp500

Gambar 2.9 Kurva utility penghindar risiko

2.6.2 Sikap Penggemar Risiko

Seseorang yang memiliki sifat penggemar resiko mempunyai sifat yang berlawanan dengan penghindar resiko, NET suatu kejadian tak pasti akan lebih besar dari pada nilai harapan dari kejadian tersebut.

0,5 Rp. 1.000.000

0,5 0

Misalnya lotere diatas mengahasilkan nilai harapan Rp 500 ribu, akan tetapi orang penggemar resiko akan menjual pada harga yang lebih tinggi dari nilai harapan yang diperoleh, misalkan

(44)

42 Rp 700 ribu. Maka besarnya premi resiko yaitu – Rp 200 ribu. Bagi penggemar resiko, konsekuensi kehilangan Rp 1 juta tidak akan berbeda dengan kehilangan Rp 500 ribu. Orang yang bersifat pencari resiko memperoleh motivasi oleh kemungkinan untuk memperoleh hadiah besar dalam suatu lotere. Pencari resiko sering disebut “Self-Insured” yaitu mengasuransikan dirinya sendiri, percaya bahwa resiko lebih superior dibandingkan dengan sejumlah uang yang hilang untuk membeli lotere.

Premi resiko

Rp 500 NET Rp 700

Gambar 2.10 Kurva utility penggemar risiko

2.6.3 Sikap netral

Di lain pihak bila seseorang menyatakan bahwa ekuivalen tetap sebuah lotre sama dengan nilai

ekspektasinya. Maka dia mempunyai sikap yang netral dalam menghadapi resiko, dalam hal ini

premi risikonya adalah 0, dan kurva utilitinya digambarkan sebagai garis lurus. Bagaimana sikap seseorang mnghadapi resiko adalah tergantung pada beberapa hal. Antara lain, sifat dasar orang tersebut, persoalan yang dihadapi, situasi saat ini dan sebagainya. Jadi dalam menghadapi persoalan yang berbeda, orang sama mungkin mempunyai sikap yang berbeda pula, atau persoalan sama tetapi dalam periode waktu yang berbeda akan mungkin memunculkan sikap yang berbeda. Untuk kejadian tak pasti relatif kecil dan berulang, seseorang cenderung untuk bersikap netral. Sebagai contoh, dalam suatu perusahaan kebijakan pengendalian kualitas pada umumnya ditetapkan dengan menggunakan kriteria nilai ekspektasi moneter. Ini menunjukkan adanya sikap netral, dimana ekuivalen tetap akan selalu sama dengan nilai ekspektasi.

(45)

43 1

Gambar 2.11 Kurva utility sikap netral

2.7 Pohon Keputusan

Pohon keputusan adalah diagram pilihan keputusan dan peluang kejadian yang menyertai keputusan, serta hasil dari hubungan antara pilihan dengan kejadian. Tujuan penggunaan pohon keputusan adalah untuk memudahkan penggambaran situasi keputusan secara sistematik. Pengambilan keputusan adalah saat dimana sepenuhnya dapat dikendalikan dalam mengambil tindakan, sedangkan saat kejadian tidak pasti adalah saat dimana sesuatu diluar kontrol tentang apa yang akan terjadi atau diluar kendali.

Pohon keputusan biasanya digunakan notasi/simbol, seperti sebagai berikut : : simbol keputusan

: simbol kejadian tidak pasti

Pilihan Kejadian Hasil

Gambar 2.12 Contoh penggunaan simbol pada pohon keputusan

(46)

Didalam pembuatan diagram pohon keputusan seyoginya diperhatikan hal-hal berikut. (supranto, 1941).

1. Tentukan alternatif keputusan (tindakan awal). 2. Tentukan tanggal evaluasi

3. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif awal 4. Tentukan keputusan atau tindakan lanjutan

5. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif lanjutan

6. Kumpulkan alternatif tindakan dan kejadian pada setiap simpul harus saling meniadakan 7. Gambarkan kejadian-kejadian dan keputusan secara kronologis

8. Dua atau lebih simpul kejadian yang tidak dipisahkan oleh simpul keputusan dapat ditukar urutannya.

Contoh 4 :

Tabel 1.4 Harga produk yang dipasarkan Produk Harga/ Unit (Rp)

Ongkos/Unit (Rp)

Penerimaan/Unit(Rp)

A 3.500 2.000 1.500

B 5.000 3.000 2.000

C 7.000 4.500 2.500

Distribusi peluang tingkat penjualan dari produk tersebut diperlihatkan dalam tabel sebagai berikut :

(47)

45 Tabel 1.5 Peluang tingkat penjualan produk

Tingkat penjualan (Unit)

Probabilitas

A B C

0 0 0,1 0,1

100 0 0,2 0,3

200 0,1 0,2 0,3

300 0,1 0,4 0,2

400 0,2 0,1 0,1

500 0,6 0 0

Jika perusahaan menghendaki hanya satu jenis produk yang akan dipasarkan berdasarkan nilai ekspektasinya, produk mana yang dipilih ?

Penjualan Prob Hasil (Rp ribu)

200 0,1 300

Produk A 300 0,1 450

400 0,2 600

500 0,6 760

100 0,2 200

Produk B 200 0,2 400

300 0,4 600

400 0,1 800

500 0 1.000 Produk C 100 0,3 250 200 0,3 500 300 0,2 750 400 0,1 1.000 500 0 1.250 Gambar 2.13 Pohon keputusan pemilihan produk

(48)

46 Perhitungan Nilai Ekspektasi (NE) tiap produk yaitu :

000 . 475 ) 000 . 250 . 1 * 0 ( ) 000 . 000 . 1 * 1 . 0 ( ) 000 . 750 * 2 . 0 ( ) 000 . 500 * 3 . 0 ( ) 000 . 250 * 3 . 0 ( 000 . 440 ) 000 . 000 . 1 * 0 ( ) 000 . 800 * 1 . 0 ( ) 000 . 600 * 4 . 0 ( ) 000 . 400 * 2 . 0 ( ) 000 . 200 * 2 . 0 ( 000 . 645 ) 000 . 750 * 6 . 0 ( ) 000 . 600 * 2 , 0 ( ) 000 . 450 * 1 , 0 ( ) 000 . 300 * 1 , 0 ( Rp NE Rp NE Rp NE C B A = + + + + = = + + + + = = + + + =

Dari hasil perhitungan nilai ekspektasi produk A, B, C maka produk yang dipilih adalah produk A karena memiliki nilai ekspektasi yang tertinggi sebesar Rp 645 ribu.

2.8 Nilai Kemungkinan Prior dan Posterior

Pada contoh kasus pada sebelumnya pada contoh 2, dimana pengambil keputusan mempunyai sebelum informasi awal bahwa kemungkinan deposito pada laju pertumbuhan ekonomi meningkat adalah 250. Informasi awal tentang nilai kemungkinan ini disebut nilai kemungkinan

prior.

Persoalan yang timbul adalah bagaimana pengambil keputusan dapat memperbaiki nilai kemungkinan priornya, setelah dia mendapatkan informasi baru, sehingga pengambil keputusan pada akhirnya bisa mendapatkan nilai kemungkinan yang telah diperbaiki. Nilai kemungkinan akhir ini yang disebut nilai kemungkinan posterior.

Dalam hal ini dapat diambil defenisi bahwa :

- Nilai kemungkinan prior adalah nilai kemungkinan sebelum ada tambahan informasi atau dinyatakan sebagai P(D = deposito).

- Nilai kemungkinan posterior adalah nilai kemungkinan bahwa investasi deposito pada saat laju pertumbuhan ekonomi meningkat atau nilai kemungkinan pada saat ada tambahan informasi dinyatakan sebagai P(D/M).

(49)

47 2.8.1 Perhitungan Nilai Kemungkinan Posterior

Untuk dapat menghitung nilai kemungkinan posteriornya, terlebih dahulu diagram kemungkinan untuk situasi akan digambarkan.

P(M=meningkat) Deposito P(D/M)=0,44

P(T=turun) P(D/T)=0,56 P(M=meningkat) Saham P(S/M)=0,61 P(T=turun) P(S/T)=0,39)

Gambar 2.14 Diagram pohon keputusan investasi

Nilai kemungkinan prior adalah P(D) = 250; P(S) = 350. Kemudian diketahui bahwa investasi deposito pada saat pertumbuhan ekonomi meningkat adalah 0,44 sebagai nilai posterior. Nilai dari posteriornya adalah P(D/M) dapat diperoleh dengan menggunakan Teorema Bayes.

(

)

₍

_{) ( ) (}

(

) ( )

_{) ( )}

( )( )

( )( ) ( )( )

44 , 0

65 , 0 175 35

, 0 250

35 , 0 250

/ /

= +

+ =

T P D T P M P D M P

M P D M P M

D P

Dapat dilihat bahwa dengan mengetahui nilai informasi awal maka nilai kemungkinan dari 0,35 menjadi 0,44 sebagai nilai kemungkinan posterior.

(50)

48 2.9 Pengertian Risiko

Risiko adalah ketidakpastian tentang kejadian di masa depan. Beberapa definisi tentang risiko, sebagai berikut :

1. Risk is the change of loss, risiko diartikan sebagai kemungkinan akan terjadinya kerugian, 2. Risk is the possibility of loss, risiko adalah kemungkinan kerugian,

3. Risk is Uncertainty, risiko adalah ketidakpastian,

4. Risk is the dispersion of actual from expected result, risiko merupakan penyebaran hasil actual dari hasil yang diharapkan,

5. Risk is the probability of any outcome different from the one expected, risiko adalah probabilitas atas sesuatu outcome berbeda dengan outcome yang diharapkan.

Dari beberapa definisi diatas, maka risiko dihubungkan dengan kemungkinan terjadinya akibat buruk (kerugian) yang tak diinginkan atau tidak terduga. Dengan kata lain kemungkinan itu sudah menunjukkan adanya ketidakpastian. Ketidakpastian itu merupakan kondisi yang menyebabkan tumbuhnya risiko. Dan jika dikaji lebih lanjut kondisi yang tidak pasti itu timbul karena berbagai sebab, antara lain; jarak waktu dimulai perencanaan, keterbatasan informasi yang diperlukan, keterbatasan pengetahuan pengambil keputusan dan sebagainya. Konsep lain yang berkaitan dengan risiko adalah Peril, yaitu suatu peristiwa yang dapat menimbulkan terjadinya suatu kerugian, dan Hazard, yaitu keadaandan kondisi yang dapat memperbesar kemungkinan terjadinya suatu kerugian.

Menurut (Darmawi,1992) Hazard terdiri dari beberapa tipe, yaitu :

1. Physical Hazard, suatu kondisi yang bersumber pada karakteristik secara fisik dari obyek yang dapat memperbesar terjadinya kerugian.

2. Moral Hazard, suatu kondisi yang bersumber dari orang yang berkaitan dengan sikap mental, pandangan hidup dan kebiasaan yang dapat memperbesar kemungkinan terjadinya peril.

3. Morale Hazard, suatu kondisi dari orang yang merasa sudah memperoleh jaminan dan menimbulkan kecerobohan sehingga memungkinkan timbulnya peril.

4. Legal Hazard, suatu kondisi pengabaian atas peraturan atau perundangundangan yang bertujuan melindungi masyarakat sehinga memperbesar terjadinya peril.

(51)

49 Kejadian sesungguhnya terkadang menyimpang dari perkiraan. Artinya ada kemungkinan penyimpangan yang menguntungkan maupun merugikan. Jika kedua kemungkinan itu ada, maka dikatakan risiko itu bersifat spekulatif. Sebaliknya, lawan dari risiko spekulatif adalah risiko murni, yaitu hanya ada kemungkinan kerugian dan tidak mempunyai kemungkinan keuntungan. Manajer risiko utamanya menangani risiko murni dan tidak menangani risiko spekulatif kecuali jika adanya risiko spekulatif memaksanya untuk menghadapi risiko murni tersebut.Menentukan sumber risiko adalah penting karena mempengaruhi cara penanganannya. Sumber risiko dapat diklasifikasikan sebagai risiko sosial, risiko fisik,dan risiko ekonomi.

Menurut (Darmawi,1992) biaya-biaya yang ditimbulkan karena menanggung risiko atau ketidak-pastian dapat dibagi sebagai berikut:

1. Biaya-biaya dari kerugian yang tidak diharapkan. 2. Biaya-biaya dari ketidakpastian itu sendiri.

Pengidentifikasian risiko merupakan proses analisa untuk menemukan secara sistematis dan berkesinambungan atas risiko (kerugian yang potensial) yang dihadapi perusahaan. Karenanya diperlukan checklist untuk pendekatan yang sistematik dalam menentukan kerugian potensial. Salah satu alternatif system pengklasifikasian kerugian dalam suatu checklist adalah; kerugian hak milik (propertylosses), kewajiban mengganti kerugian orang lain (liability losses) dan kerugian personalia (personnel losses). Checklist yang dibangun sebelumnya untuk menemukan risiko dan menjelaskan jenis-jenis kerugian yang dihadapi oleh sesuatu perusahaan. Perusahaan yang sifat operasinya kompleks, berdiversifikasi dan dinamis, maka diperlukan metode yang lebih sistematis untuk mengeksplorasi semua segi.

Metode yang dianjurkan adalah;

1. Questioner analisis risiko (risk analysis questionnaire). 2. Metode laporan Keuangan (financial statement method). 3. Metode peta-aliran (flow-chart).

4. Inspeksi langsung pada objek.

5. Interaksi yang terencana dengan bagian-bagian perusahaan. 6. Catatan statistik dari kerugian masa lalu.

(52)

50 Dengan mengamati langsung jalannya operasi, bekerjanya mesin, peralatan,lingkungan kerja, kebiasaan pegawai dan seterusnya, manajer risiko dapat mempelajari kemungkinan tentang

hazard. Untuk itu keberhasilannya dalam mengidentifikasi risiko tergantung pada kerjasama

yang erat dengan bagian-bagian lain yang terkait dalam perusahaan. Manajer risiko dapat menggunakan tenaga pihak luar untuk proses mengidentifikasikan risiko, yaitu agen asuransi, broker, atau konsultan manajemen risiko. Hal ini tentunya punya kelemahan, dimana mereka membatasi proses hanya pada risiko yang diasuransikan saja. Dalam hal ini diperlukan strategi manajemen untuk menentukan metode atau kombinasi metode yang cocok dengan situasi yang dihadapi.

(53)

BABA III

PEMBAHASAN

3.1 Pengenalan Pengambilan Keputusan

Kebanyakan keputusan manajerial yang rumit dibuat dalam kondisi ketidakpastian. Manajer harus mengesahkan investasi modal dalam jumlah besar meskipun dengan pengetahuan yang kurang lengkap tentang permintaan produk di pasar. Sementara orang percaya bahwa pengambil keputusan yang baik (a good decision maker) lahir dengan kemampuan khusus. Sebenarnya pengambilan keputusan manajerial tidak begitu berbeda dengan keputusan individual, akan tetapi ruang lingkup dan permasalahan bagi pengambilan keputusan manajer sangat luas dan berat, khususnya konsekuensi berupa resiko yang harus di tanggung sangat berat. Pengetahuan khusus yang dibutuhkan oleh manajer sebelum peralatan kuantitatif dapat digunakan secara efektif meliputi : spesifikasi pengorganisasian, pengetahuan tentang kemungkinan tindakan, pengetahuan tentang kecenderungan, pengetahuan tentang hasil yang diharapkan , dan spesifikasi kriteria yang melandasi pengambilan pilihan terhadap beberapa alternatif..

Langkah-langkah dalam pengambilan keputusan :

1. Mendaftarkan semua alternatif yang tersedia yang harus dipertimbangkan dalam keputusan. Contohnya dalam perusahaan kaset rekaman, dalam hal ini perusahaan kaset rekaman hanya mengahadapi tiga pilihan yaitu :

a. memperluas pabrik yang ada, b. membangun pabrik baru,

c. mensubkontrakkan produksi tambahan ke perusahaan kaset rekaman lainnya. 2. Pengambil keputusan mendaftarkan peristiwa mendatang yang mungkin terjadi.

Umumnya, pengambilan keputusan mengidentifikasikan sebagian besar peristiwa mendatang yang dapat terjadi; ia tidak bisa mengidentifikasi peristiwa tertentu apa yang

(54)

52 pasti terjadi. Peristiwa masa mendatang ini (diluar kontrol pengambil keputusan) disebut “unsur mutlak”(state of nature) dalam teori keputusan.

Peristiwa-peristiwa tersebut didaftar sebagai :

a. permintaan tinggi (dampak dari permintaan tinggi)

b. permintaan sedang (dampak dari penerimaan produk cukup tinggi tetapi mendapat saingan berat)

c. permintaan rendah (akibat penerimaan produk yang rendah) d. gagal (tidak ada penerimaan produk oleh konsumen)

3. Pengambilan keputusan membuat tabel hasil (payofftable) yang menunjukkan suatu hasil dari tiap kemungkinan/ alternatif keputusan dan unsur mutlak.

3.2 Kelebihan dan Kekurangan Teorema Bayes dalam Sistem Pengambilan Keputusan

Probabilitas Bayes adalah suatu interpretasi dari kalkulus yang memuat konsep probabilitas sebagai derajat dimana suatu pernyataan dipercaya benar. Teorema Bayes juga dapat digunakan sebagai alat pengambilan keputusan untuk memperbaharui tingkat kepercayaan dari suatu informasi.

Teori probabilitas Bayes (Teorema Bayes) merupakan satu dari cabang teori statistik matematik yang memungkinkan kita untuk membuat satu model ketidakpastian dari suatu kejadian yang terjadi dengan menggabungkan pengetahuan umum dengan fakta dari hasil pengamatan. Teorema Bayes menurut Grainner (1998), mempunyai beberapa kelebihan, yaitu:

1. Mudah untuk dipahami.

2. Hanya memerlukan pengkodean yang sederhana. 3. Lebih cepat dalam penghitungan.

Kekurangan dari Teori probabilitas Bayes yang banyak dikritisi oleh para ilmuwan adalah karena pada teori ini, satu probabilitas saja tidak bisa mengukur seberapa dalam tingkat keakuratannya. Dengan kata lain, kurang bukti untuk membuktikan kebenaran jawaban yang dihasilkan dari teori ini.

(55)

53 Aplikasi Teorema Bayes adalah dalam pembangunan kecerdasan artifisial dan sistem untuk membantu pengambilan keputusan. Sejak tahun 1950, Teorema Bayes telah diaplikasikan luas dalam Teorema Cox, Prinsip Jaynes dalam Entropi Maksimum, dan Dutch Book Argument. Metode Bayes dianggap lebih bersifat general dan memberikan hasil yang lebih baik ketimbang Probabilitas Frequency. Faktor Bayes juga digunakan pada Occam’s Razor. Namun, menurut saya, dalam pengambilan keputusan yang kompleks, teori ini tidak cukup. Sebab, teori Bayes lebih cocok digunakan dalam pengambilan keputusan yang sederhana. Maka, dalam pengambilan keputusan yang kompleks, sebaiknya menggunakan metode AHP (Analytic

Hierarchy Prosess).

3.3 Kriteria Pengambilan Keputusan Dalam Ketidakpastian

Dalam membuat keputusan dalam kondisi ketidakpastian, sipengambil keputusan mengetahui unsur mutlak mana yang dapat terjadi, tetapi ia tidak mempunyai informasi yang memastikan peluang keadaan ini akan terjadi. Dalam situasi ini, ada empat kriteria yang dapat digunakan pengambil keputusan sebagai berikut :

3.3.1 Kriteria Maximax

Kriteria maximax dalam pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian memberi kriteria optimistis. Bila menggunakan kriteria ini sehingga memilih alternatif dalam pengambilan keputusan yang akan memaksimalkan hasil. Pengambil keputusan memilih kemungkinan hasil yang maksimum untuk setiap alternatif keputusan dan kemudian memilih alternatif yang memberi hasil maksimum yang tinggi dari beberapa alternatif.

3.3.2 Kriteria Maximin

Kriteria maximin dalam pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian memberikan

kriteria pesimistik. Menggunakan metode ini, pengambil keputusan mencoba memaksimumkan

(1)

3.4.5 Teorema Bayes

Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes kemudian disempurnakan oleh Laplace. Teorema Bayes ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya A dengan syarat peristiwa B terjadi. Teorema Bayes didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi memperbaiki hasil dari probabilitas.

Teorema Bayes dapat dituliskan sebagai berikut :

(

)

( ) (

)

( )

(

)

∑

₌ = n

i i

A B P A P

A B P A P B

A P

/ / /

Dimana :

) / (A B

P _i = Peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu. )

(A_i

P = Peluang peristiwa A )

/ (B Ai

P = Peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu )

P = Peluang peristiwa B

Kasus :

Seseorang dihadapkan dalam masalah pemilihan investasi yang akan dipilih. Setelah melakukan berbagai analisis, dia memilih tiga investasi yang akan dia tentukan, yaitu

a. Deposito b. Reksadana c. Emas

Dari ketiga investasi tersebut, dia tidak mau melakukan ketiga-tiganya sekaligus, tetapi harus memilih salah satu jenis investasi saja. Karena situasi di Indonesia masih dalam krisis ekonomi,

(2)

tersebut juga sangat tergantung pada situasi ekonomi pada saat berlangsungnya investasi tersebut. Kondisi ekonomi pada saat pelaksanaan investasi bisa dikategorikan dalam tiga kelompok, yaitu :

a. Membaik saat ini/tinggi (R ) ₁ b. Sama dengan saat ini/normal (R ) ₂ c. Menjadi lebih buruk/krisis (R ) ₃

Dengan informasi tambahan, bahwa kondisi ekonomi indonesia masing-masing memiliki probabilitas 0,55; 0,30; 0,15. Sementara, tabel keuntungan diperkirakan sebagai berikut :

Tabel 3.4 Tabel keuntungan dan probabilitas (juta $)

Prospek Pasar Tinggi

(0,55)

Normal (0,30)

Krisis (0,15) Altenatif Investasi

DEPOSITO 25 30 70

REKSADANA 55 40 38

EMAS 15 20 35

Alternatif manakah yang harus dipilih yang akan memberikan keuntungan?

Tabel 3.5 Tabel peluang investasi Prospek Pasar

R (0,55)

R (0,30)

R (0,15) Altenatif Investasi

A 0,08 0,09 0,21

B 0,17 0,12 0,12

(3)

a. P (A) yaitu probabilitas investasi deposito b. P(B) yaitu probabilitas investasi reksadana c. P(C) yaitu probabilitas investasi emas

d. P(A/ R₁) yaitu probabilitas investasi deposito pada saat ekonomi tinggi e. P(A/ R₂) yaitu probabilitas investasi deposito pada saat ekonomi normal f. P(A/ R₃) yaitu probabilitas investasi deposito pada saat ekonomi krisis Maka dapat dihitung :

( )

( ) (

) ( ) (

)

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) (

) ( ) (

)

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) (

) ( ) (

)

( )( ) ( )( ) ( )( )

06 , 0 11 , 0 15 , 0 06 . 0 30 . 0 05 , 0 55 , 0 / / / 15 , 0 12 , 0 15 , 0 12 . 0 30 . 0 17 , 0 55 , 0 / / / 10 , 0 21 , 0 15 , 0 09 . 0 30 . 0 08 , 0 55 , 0 / / / 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 = + + = + + = = + + = + + = = + + = + + = R C P R P R C P R P R C P R P C P R B P R P R B P R P R B P R P B P R A P R P R A P R P R A P R P A P

(

)

( ) (

_{( )}

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

32 , 0 10 , 0 21 , 0 15 , 0 / 27 , 0 10 , 0 09 , 0 30 , 0 / 44 , 0 10 , 0 08 , 0 55 , 0 / / 3 2 1 1 1 = = = = = = = R A P R A P A P R A P R P R A P

(4)

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

28 , 0

06 , 0

11 , 0 15 , 0 /

30 , 0

06 , 0

06 , 0 30 , 0 /

46 , 0

06 , 0

05 , 0 55 , 0 /

12 , 0

15 , 0

12 , 0 15 , 0 /

24 , 0

15 , 0

12 , 0 30 , 0 /

62 , 0

15 , 0

17 , 0 55 , 0 /

3 2 1 3 2 1

= = = = = = = = = = = =

R C P

R B P

Dengan demikian, maka alternatif yang dipilih P

(

B/ R₁

)

yaitu investasi reksadana pada saat ekonomi tinggi dengan nilai peluang 0,62 dengan harapan akan memperoleh keuntungan sebesar 34,1 juta $.

(5)

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Langka yang diambil untuk perencanaan pemilihan investasi yaitu dengan menggunakan Teorema Bayes. Teorema Bayes digunakan dalam keputusan kapasitas dimana informasi survey tentang keadaan mendatang sangat dibutuhkan. Dari hasil pengamatan bahwa P

(

B/ R₁

)

lebih mendominasi dari alternatif lainP

(

A/R_i

) (

,PC/R_i

)

Dengan adanya informasi tambahan akan memberikan nilai probabilitas yang baik terhadap setiap alternatif. Teorema Bayes memberikan alternatif dari nilai probabilitas yang tertinggi sebgai alternatif pilihan dalam pengambilan keputusan

4.2Saran

Bagi para pembaca yang ingin menentukan suatu pilihan dari berbagai alternatif dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Bayes atau untuk lebih spesifik/detail dapat dilakukan dengan menggunakan Analitic Hirearchy Process (AHP) sebagai pengembangan dalam pengambilan keputusan.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Basyid, Fahmi. 2006. Teori Pengambilan Keputusan. Jakarta : Gramedia Widiasarana Indonesia.

DeGroot.H. 1975. Probability and Statistic. Canada : Addison Wesley Publishing Company,Inc.,

Kashir, Azhar. 1994. Teori Pengambilan Keputusan. Jakarta : Fakultas Ekonomi Univers tas Indonesia.

M, Iqbal Hasan. 2002. Pokok-Pokok Pengambilan Keputusan. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Parson, Robert. 1978. Statistical Analysis : A Decision Making Approach. Second Edition. United States of America : Harper & Row, Publisher.

Richard, I, Levin. 1993. Pengambilan Keputusan secara Kuantitatif. Jakarta : Raja Grafindo Parsada.

Rosenkrantz. 1997. Introduction to Probability and Statistics for Scientist and Engineers.

Supranto, Johannes. 1991. Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta : Rineka Cipta.

http://www.google.com/html. Pengambilan Keputusan dengan Bayes. Diakses tanggal 7 Mei, 2010.