Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:
« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ¦ãà «
¢ àì{¬ àâ, 2001, ®¬ 3, ë¯ã᪠1
517.5
. . ã¡¥¦âë
¤ ç 宦¤¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® § ç¥¨ï ¨â¥£à « ¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®. ®áâà®¥ë ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à §ëå ª« áᮢ äãªæ¨©. «®£¨ç ï ⥮à¨ï ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ç « à §¢¨¢ âìáï § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥.
áâ®ï饩 § ¬¥âª¥ ¤ ¥âáï «¨§ ¨¬¥îé¨åáï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ®¢ë¥ ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë.
¤ ç 宦¤¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® § ç¥¨ï ¨â¥£à « ¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®.
®áâà®¥ë ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à §ëå
ª« áᮢ äãªæ¨© (á¬. [1]). «®£¨ç ï ⥮à¨ï ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
ç « à §¢¨¢ âìáï § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥ [2]. ᮢ६¥®¬ íâ ¯¥ ¡« £®¤ àï
à ¡®â ¬ ¨ä ®¢ . ., ¨ª¨¤§¥ . ., ¥èª® . . ¨ ¤à㣨å áãé¥áâ¢ãîâ
¤®áâ â®ç® à §¢¨âë¥ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë.
áâ®ï饩 § ¬¥âª¥ ¤ ¥âáï «¨§ ¨¬¥îé¨åáï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï
ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ®¢ë¥ ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë.
1. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ìîâ® | ®â¥á
áᬠâਢ ¥âáï ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï á«¥¤ãî饣® ¢¨¤
S (f ; x ) =
Zb
a
f (t)
dt; a < x < b;
t,x
(1)
f (t) | äãªæ¨ï ª« áá Hr ( ) (0 < 1). â® ®§ ç ¥â, çâ® f ¨¬¥¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®â१ª¥ [a; b], ¢¯«®âì ¤® ¯®à浪 r 1 ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï
f (r) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¥«ì¤¥à á ¯ à ¬¥â஬ . §¤¥«¨¬ ®â१®ª [a; b]
n à ¢ëå ç á⥩ â®çª ¬¨ xk (k = 0; 1; : : : ; n); £¤¥ xk = a + kh; h = (b , a)=n.
£¤¥
।¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï ॣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¯®áâ஥ë è¨-
ப® ¨§¢¥áâë¥ ¨ ç áâ® ¯à¨¬¥ï¥¬ë¥ ä®à¬ã«ë ìîâ® -®â¥á . ¨ ¨¬¥îâ
c 2000 ã¡¥¦âë . .
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
Zb
¢¨¤
,
f (x)dx
(b
a)
k=0
a
£¤¥
n
Bk
=
(
n
, n,k Z ,
,
1)
n k!(n
t(t
k)!
n
X
,
1) : : : (t
1{51
n
Bk f (xk );
k + 1)(t
(2)
, ,
k
1) : : : (t
,
n)dt:
0
ç áâ®áâ¨, ¯à¨ n = 1 ¨¬¥¥¬ ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©; ¯à¨ n = 2 | ä®à¬ã«ã
¨¬¯á® ; ¯à¨ n = 3 ä®à¬ã«ã 3/8 ¨ â. ¤.
«®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¬®¦® ¯®áâநâì ¤«ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à « (1)
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
®áâந¬ ¤«ï äãªæ¨¨ f (t) ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ £à ¦
Ln (f ; t)
£¤¥
w(t) =
n
X
j =0
n
X
k=0
(t
,
w(t)
0
xk )w (xk )
f (xk );
(3)
X
0
(t , xj ); w (xk ) =
(xk , xj ):
n
j =0
j 6=k
®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® f (t) ¥£® ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ¢ (1), ¯®«ã稬
Sn (f ; x)
Zb Pnk
t
a
=
n
X
k=0
=
w(t)
,xk )w (xk ) f (xk ) dt
=0 (t
n
X
k=0
1
0
w (xk )
Zb
a
,
0
x
(t
,
f (xk )
w(t)dt
xk )(t
0
(x , xk )w (xk )
0Zb
@
a
,
x)
f (xk )
w(t)
t
,
x
dt
,
(4)
Zb
w(t)
t
a
,
xk
1
A
dt
:
áᬮâਬ ®â¤¥«ì® ¯®«ãç¥ë¥ ¤¢ ¨â¥£à « . «ï ¯¥à¢®£® ¢ë¯®«¨¬
á«¥¤ãî饥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
Zb
a
w(t)
t
,
x
Zb
dt =
a
w(t)
t
,
,
w(x)
x
Zb
dt + w(x)
a
dt
t
,
x
:
1{52
. . ã¡¥¦âë
¤¥áì ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥
w(t),w(x)
t,x
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ç«¥
n
-
£® ¯®à浪 , ¯®íâ®¬ã ¨â¥£à « ¬®¦® â®ç® ¢ëç¨á«¨âì á ¯®¬®éìî ¢ëè¥ ãª § ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ìîâ® | ®â¥á (á¬. [1]). ®£¤
Zb
£¤¥
a
Ak
w t , w x dt
t,x
( )
= (
(
)
b , a Bkn
)
,w x
Ak w xxk ,
k x
k=0
n
X
=
(
)
(
n
X
)
=
k=0
Ak xw,xx Hn x ;
(
)
(
k
)
(5)
. ¡«¨æ íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¤ ¢ [1].
â®à®© ¨â¥£à « ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì «®£¨ç®, ®á®¢¥ á«¥¤ãî饣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï:
Zb
a
Zb
w t dt
t , xk
( )
=
a
w t , w xk dt
t , xk
( )
(
)
, w xk
Aj w xxj ,
xk
j
j =0
n
X
=
(
)
(
)
=
Ak w0 xk :
(
)
(6)
ç¨âë¢ ï (5) ¨ (6) ¨§ (4) ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬
Sn f x
(
;
n
X
) =
k=0
x , xk w0 xk Hn x
1
(
)
(
(
)
)+
wx
(
)ln
b , x , A w0 x f x :
k
x,a k k
(
)
(
)
(7)
¢¥á⢮ (7) ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥®© ä®à¬ã«®© ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
¢¨¤ (1).
x
x
; ;::: ;n ,
xk k
x ! xk
®¤áâ ¢«ïï ¢ (7) ¢¬¥áâ®
=
xk +xk+1
2
(
k
á।¨¥ § ç¥¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï 㧫 ¬¨, â. ¥.
= 0 1
1), ¯®«ã稬 ¢á¥ § ç¥¨ï ¨â¥£à « (1).
¢ëç¨á«¥¨ï § 票© ¢ â®çª å
áâ¢ãî騥 ¯à¥¤¥«ë ¯à¨
(
; ;::: ;n,
= 1 2
1) ¤® ¢§ïâì ¢ (7) ᮮ⢥â-
.
楨¬ ¯®£à¥è®áâì ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (7). ª ¨§¢¥áâ®
fx
(
) =
£¤¥
Rn f x
(
;
) =
Ln f x
(
)+
Rn f x ;
(
)
Zb
) =
j S f x , Sn f x j
;
)
)
( )
+ 1)!
®£¤
(
;
w x f (n+1) ; a < < b:
n
(
(
;
(
;
a
Rn f t dt :
t,x
(
; )
楨¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥:
Zb
a
Rn f t dt R f x b , x
n
t,x
x,a
(
; )
=
(
;
)ln
Zb
+
a
Rn f t , Rn f x dt:
t,x
(
«ï
; )
(
;
)
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
1{53
§ ®¡é¥© ⥮ਨ ®æ¥®ª ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¢ ª« áᥠäãªæ¨¨ Hr ( )
(á¬. [2, 4, 5, 6]), ¯®«ã稬
ln
n
b
,
x
j S (f ; x),Sn (f ; x) j xmax
j R (f ; x) j ln x , a + O nr+
2[a;b] n
1
b
,
x
= O nr+ ln x , a + O(ln n) (n > 1):
áᬮâਬ ¤¢ ç áâëç á«ãç ï n = 1 ¨ n = 2.
ãáâì n = 1. ®£¤ A0 = (b , a)=2; A1 = (b , a)=2 ¨
S1 (f ; x) = (x , a1)w0 (a) H1(x) + w(x)ln xb ,, xa , b ,2 a w0(a) f (a)
b
,
x
b
,
a
1
0
+ (x , b)w0 (b) H1(x) + w(x)ln x , a , 2 w (b) f (b);
£¤¥
(8)
w0 (a) = a , b; w0 (b) = b , a; w(x) = (x , a)(x , b);
(x) :
H1(x) = A0 xw,(xa) + A1 xw,
b
®à¬ã« (8) §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â ன ä®à¬ã«®© ⨯ âà ¯¥æ¨© ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ (1). «®¦ ï ä®à¬ã« âà ¯¥æ¨© ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
S n (f ; x) =
1
x1 , x
h w0 (a) f (a)
1
,
H
(
x
)
+
w
(
x
)ln
10
0
0
(x , a)w0(a)
x,a 2 0
+ (x , x 1)w0 (x ) H10(x) + w0 (x)ln xx1 ,,ax , h2 w00 (x1) f (x1)
1 0 1
x2 , x
h
1
0
+ (x , x )w0 (x ) H11(x) + w1 (x)ln x , x , 2 w1 (x1) f (x1)
1 1 1
1
x2 , x
1
h
0
+ (x , x )w0 (x ) H11(x) + w1 (x)ln x , x , 2 w1 (x2) f (x2)
2 1 2
1
+::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
1
n,1 )wn0 ,1 (xn,1 )
+ (x , x
(9)
b
,
x
h
0
H1;n,1(x) + wn,1 (x)ln x , x , 2 wn,1 (xn,1) f (xn,1 )
n, 1
1{54
. . ã¡¥¦âë
h
b
,
x
0
+
0 (b) H1;n,1 (x) + wn,1 x
(x , b)wn
x , xn,1 , 2 wn,1 (b) f (b);
,1
wk (x) = (x , xk ) (x , xk+1 ); wk0 (xk ) = xk , xk+1 ; wk0 (xk+1 ) = xk+1 , xk ;
H1k (x) = x ,A0x + x ,Ax1 ; k = 0; 1; : : : ; n , 1:
k
k+1
( )ln
1
®à¬ã«ã (9) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª
S n (f ; x) =
1
n
X
k=0
Ak (x)f (xk );
£¤¥
x
,
x
h
k
0
Ak (x) = (x , x )w0 (x ) H1;k,1(x) + wk,1 (x)ln j x , x j , 2 wk,1 (xk )
k k,1 k
k ,1
1
x
,
x
h
k
+1
0
+
H1;k (x) + wk (x)ln j x , x j , 2 wk (xk )
(x , xk )wk0 (xk )
k
(k = 1; : : : ; n , 1);
1
x
,
x
h
1
0
A0(x) = (x , a)w0 (a) H10(x) + w0 (x)ln j x , a j , 2 w0 (a) ;
0
b,x
h
1
0
An(x) = (x , b)w0 (b) H1;n,1 (x) + wn,1 (x)ln x , x , 2 wn,1 (b) :
n,1
n,1
1
«ï ¯®£à¥è®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
n +O
j R1 (f ; x) j= O n2+
ln
1
ln
n2+
祢¨¤®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï çâ®
b , x :
x , a
r 2.
«®£¨ç® ¬®¦® ¢ë¯¨á âì ¨ ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ⨯ ¨¬¯á®
¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢. í⮬ á«ãç ¥
¨¬¯á® ¨¬¥¥â ¢¨¤
=
1
(
x , a)(a , a+2 b )(a , b)
Zb
a
n = 2.
«¥¬¥â à ï ä®à¬ã«
f (t) dt S (f ; x)
2
t,x
b , a x , a + b (x , b) + 4(b , a) (x , a)(x , b)
6
2
6
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
, ( , ) , + + ( , ) , + ( ,
+
b
a
x
6
, ,6
b
b
,
a
+(x
,
x
6
,
a
f
a
,
+b
,
+b
+b
(x
,
,
(x
,
(x
4(b
,
6
b)
b)
f (a )
,
a)
b
b)ln
x
(x
b
b
x
a
,
a)(x
2
,
2
b)
a)
b
+
a
b
b
a
b
b
,
a
x
+b
a
(b
2
x
,
a)
x
a
a
+b
a
b
x
a
, )( a+2 b , )
, ( , ) ,
6
2
, ) 6
, ) + ,6 ( ,
(b
x
,
,
1
a+b )( a+b
,
(x
b
b)ln
x
2
a
, a+2 b
a
+
x
1
b
a
x
, , 4( ,
,
6
, )(
, ,6 ,
a)
(x
6
a
4(b
b)+
2
+
(a
+
x
2
,
2
b
2
+b
a
a
x
a
2
x
a
a
a)
a
1{55
x
a
,
a
a
,
a
,
a
x
+b
2
+b
(x
2
+b
,
,
b
b)
f (b):
«®¦ ï ä®à¬ã« ¨¬¯á® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
Zb
a
=
+
+
+
+
+
(x
(x
(x
(x
(x
(x
,
,
,
,
,
,
1
0 (a)
a )w
1
1 )w0 (x1 )
0
x
1
2 )w0 (x2 )
0
x
1
2 )w2 (x2 )
0
x
1
3 )w2 (x3 )
0
x
1
4 )w2 (x4 )
x
0
+:::
H
0
20
:::
S
n
2 (f ; x)
2 , x , 2h w (a)
0
x,a
6
x
(x) + w (x)ln
0
22
x
(x) + w (x)ln
22
x
(x) + w (x)ln
22
x
(x) + w (x)ln
H
dt
20
H
x
x
(x) + w (x)ln
H
,
20
H
t
x
(x) + w (x)ln
H
f (t)
0
2 , x , 8h w
, 6
2 , , 2
, 6
4 , , 2
, 2 6
4 , , 8
, 2 6
4 , , 2
, 2 6
a
x
x
2
x
2
x
2
x
:::
0
x
0
:::
h
a
x
h
x
x
h
x
x
h
x
:::
:::
f (a )
0 (x1 )
0
1)
f (x
w
0 (x2 )
w
2 (x2 )
w
2 (x3 )
w
2 (x4 )
0
2)
f (x
0
2)
f (x
0
3)
f (x
0
:::
4)
f (x
a
+b
2
2
a)
b
1{56
. . ã¡¥¦âë
1
+
(
x , xn,2 )wn0 ,2 (xn,2)
H2;n,2 (x) + wn,2 (x)ln x ,b ,x x
h
0
, 6 wn,2 (xn,2) f (xn,2 )
n, 2
2
x , xn,1 )wn0 ,2 (x1)
8h 0
b
,
x
H2;n,2 (x) + wn,2 (x)ln j x , x j , 6 wn,2 (xn,1) f (xn,1 )
1
+
(
n, 2
+
(
( )ln
x , b)wn0 ,2 (b) H2;n,2 (x) + wn,2 x
1
b , x , 2h w0 (b) f (b);
x , xn,2 6 n,2
£¤¥
w0 (x) = (x , a)(x , x1)(x , x2 ); w2 (x) = (x , x2)(x , x3)(x , x4 ); : : : ;
wn,2 (x) = (x , xn,2 )(x , xn,1 )(x , b);
H2k = A0 xw,k (xx) + A1 x w,kx(x) + A2 x w,kx(x) ; (k = 0; 2; 4; : : : ; n , 2);
k
k+1
k+2
A = 2h ; A = 8h ; A = 2h ; n , ç¥â®¥:
0
᫨
6
1
6
2
6
r 4, â® ¤«ï ¯®£à¥è®á⨠¢¥à® ¥à ¢¥á⢮
ln n
b
,
x
1
j R2n(f ; x) j O n4+ ln x , a + O n4+ :
2. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ãáá
¥ àãè ï ®¡é®á⨠¬®¦® à áᬠâਢ âì á«¥¤ãî騥 ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ë
1
S (f; x) = p(t) tf,(t)x dt; ,1 < x < 1;
Z
,1
£¤¥
p(t) 0 ¢¥á®¢ ï äãªæ¨ï, f (t) 2 Hr ( ) (0 < 1).
ª®£¤
p(t) = (1 , t) (1 + t) ( ; > ,1):
â¥à¥á¥ á«ãç ©,
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
1{57
X
fx
¯®¬®éìî «®£¨çëå à áá㦤¥¨© ¯®«ãç ¥âáï ä®à¬ã«
Sn (
f (xk )
0
(Hn (x) + w (x)
(x) , Ak w (xk )) ;
(x , xk )w 0 (xk )
k=1
n
; )
xk (k = 1; 2; : : : ; n) | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ w(x), ®à⮣® «ì®£® ¯® ¢¥áã p(x)
¬®£®ç«¥ ¬ ¬¥ì襩 á⥯¥¨ ®â१ª¥ [-1,1], Ak | ª®íää¨æ¨¥âë ¨â¥à-
£¤¥
¯®«ï樮ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«
Z p x w x dx ;
1
Ak = w0 (x
1
k)
Hn (x) =
( )
,1
XA
k=1
Ak
p(x) ¨¬¥¥âáï ¢ [7].
x , xk
w(x) ;
(x) =
k
x , xk
n
¡«¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢
äãªæ¨¨
w(x) =
( )
¨ 㧫®¢
Z
X x,x
n
(
1
,1
k)
k=1
;
(t) dt:
t,x
xk (k = 1; 2; : : : ; n) ¤«ï à §ëå ¢¥á®¢ëå
⬥⨬, çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª ï â®ç®áâì â ª¨å ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« à ¢
n , 1.
®ç®áâì ¡ã¤¥â ¨¢ëá襩 (2
n , 1),
Z t w t dt
á«¥¤ãî饣® ãà ¢¥¨ï
1
( )
,1
( )
t,x
¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥
x ¢®§ì¬¥¬ 㫨
:
=0
(10)
í⮬ á«ãç ¥ â ª¨¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ ®ç¥ì ¯à®áâãî ä®à¬ã ¤«ï à §ëå ¢¥á®¢ëå
(t). ®â ¨å ¢¨¤
äãªæ¨¨
Z t f t dt X
1
( )
,1
£¤¥
X
f (xk ) (,A w0 (x )) = n A f (xk ) ;
k
k
k
(x , xk )w 0 (xk )
xk , x
k=1
k=1
n
( )
t,x
(11)
x ª®à¥ì ãà ¢¥¨ï (10).
®à¬ã« (11) ¯® ä®à¬¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© ⨯ ãáá
¤«ï äãªæ¨¨
f (t)=(t,x). ¨¬¥¥â ¯à®á⮩ ¢¨¤ ¨ ¨¢ëáèãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî
n , 1.
á⥯¥ì â®ç®á⨠2
â¥å¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå ®á®¡®¥ § 票¥ ¨¬¥îâ ç áâë¥ á«ãç ¨, 1
¯à¨¬¥à,
¨
¯à¨¨¬ îâ § ç¥¨ï ¨§ ¬®¦¥á⢠0
2 . áᬮâਬ íâ¨
á«ãç ¨:
f ; g
1.
;
= 0
= 0.
í⮬ á«ãç ¥
¬®£®ç«¥ ¥¦ ¤à (á¬. [7]).
(t)
= 1.
஫¨
xk
¢®§ì¬¥¬ ª®à¨
1{58
. . ã¡¥¦âë
, 12 ; = , 21 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = p11,t2 . ®£¤ Ak = n ,
xk = cos 2k2,n 1 | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 I-£®
p த .
1
1
3. = 2 ; = 2 . í⮬ á«ãç ¥ (t) =
,
1 , t2 . ®£¤ xk = cos nk
+1
2 k
Ak = n+1 sin n+1 (k = 1; 2; : : : ; n), xk | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 II-£®
2.
=
q
த .
sin 2 k ,
= 12 ; = , 21 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = 11+,tt . ®£¤ Ak = 2n4+1
2n+1
2k
xk = cos 2n+1 (k = 1; 2; : : : ; n).
q
5.
= , 12 ; = 12 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = 11+,tt . ®£¤ Ak =
4
2k ,1
2k ,1
cos 2 2(2n+1) , xk = cos 2n+1 .
2n+1
4.
¬¥â¨¬ ¢ § ª«î票¥, ç⮠㪠§ ë¥ ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâáï ã ¥ª®-
â®àëå ¢â®à®¢ (á¬., ¯à¨¬¥à, [2, 3, 5]), ® â ¬ ®¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ ç áâëå
á«ãç ïå.
¨â¥à âãà
1.
àë«®¢ . .
ਡ«¨¦¥®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢.|.: 㪠, 1967.|
410 á.
2.
¨ä ®¢ . .
¥â®¤ë ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ç¨á«¥-
ë© íªá¯¥à¨¬¥â.|.: ýãáþ, 1995.|520 á.
3.
¨ª¨¤§¥ . .
¯®à浪¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¥ª®â®àëå ᨣã«ïàëå ®¯¥à -
â®à®¢ ª¢ ¤à âãà묨 á㬬 ¬¨ // §¢¥áâ¨ï à¬ï᪮© .|1970.|
. 5, ü 4.|C. 371{384.
4.
¥«®æ¥àª®¢áª¨© . . ¨ä ®¢ . .
¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ᨣã«ïàëå
¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå.|.: 㪠, 1985.|252 á.
5.
®à¥©ç㪠. .
¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢.
// ¢ ª.: ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¨â¥£à «ìëå
ãà ¢¥¨© ¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«.|.: 㪠, 1964.|C. 64{74.
6.
¥èª® . .
á室¨¬®á⨠ª¢ ¤à âãàëå ¯à®æ¥áᮢ ¤«ï ᨣã«ïண®
¨â¥£à « // §¢. ¢ã§®¢, ⥬ ⨪ .|1976, ü 12,|C. 108{118.
7.
àë«®¢ . . ã«ì£¨ . .
¯à ¢®ç ï ª¨£ ¯® ç¨á«¥®¬ã ¨â¥£à¨-
஢ ¨î.|.: 㪠, 1966.|370 á.
£. « ¤¨ª ¢ª §
â âìï ¯®áâ㯨« 23 ä¥¢à «ï 2001 £.
¢ àì{¬ àâ, 2001, ®¬ 3, ë¯ã᪠1
517.5
. . ã¡¥¦âë
¤ ç 宦¤¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® § ç¥¨ï ¨â¥£à « ¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®. ®áâà®¥ë ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à §ëå ª« áᮢ äãªæ¨©. «®£¨ç ï ⥮à¨ï ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ç « à §¢¨¢ âìáï § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥.
áâ®ï饩 § ¬¥âª¥ ¤ ¥âáï «¨§ ¨¬¥îé¨åáï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ®¢ë¥ ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë.
¤ ç 宦¤¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® § ç¥¨ï ¨â¥£à « ¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®.
®áâà®¥ë ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à §ëå
ª« áᮢ äãªæ¨© (á¬. [1]). «®£¨ç ï ⥮à¨ï ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
ç « à §¢¨¢ âìáï § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥ [2]. ᮢ६¥®¬ íâ ¯¥ ¡« £®¤ àï
à ¡®â ¬ ¨ä ®¢ . ., ¨ª¨¤§¥ . ., ¥èª® . . ¨ ¤à㣨å áãé¥áâ¢ãîâ
¤®áâ â®ç® à §¢¨âë¥ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë.
áâ®ï饩 § ¬¥âª¥ ¤ ¥âáï «¨§ ¨¬¥îé¨åáï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï
ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ®¢ë¥ ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë.
1. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ìîâ® | ®â¥á
áᬠâਢ ¥âáï ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï á«¥¤ãî饣® ¢¨¤
S (f ; x ) =
Zb
a
f (t)
dt; a < x < b;
t,x
(1)
f (t) | äãªæ¨ï ª« áá Hr ( ) (0 < 1). â® ®§ ç ¥â, çâ® f ¨¬¥¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®â१ª¥ [a; b], ¢¯«®âì ¤® ¯®à浪 r 1 ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï
f (r) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¥«ì¤¥à á ¯ à ¬¥â஬ . §¤¥«¨¬ ®â१®ª [a; b]
n à ¢ëå ç á⥩ â®çª ¬¨ xk (k = 0; 1; : : : ; n); £¤¥ xk = a + kh; h = (b , a)=n.
£¤¥
।¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï ॣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¯®áâ஥ë è¨-
ப® ¨§¢¥áâë¥ ¨ ç áâ® ¯à¨¬¥ï¥¬ë¥ ä®à¬ã«ë ìîâ® -®â¥á . ¨ ¨¬¥îâ
c 2000 ã¡¥¦âë . .
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
Zb
¢¨¤
,
f (x)dx
(b
a)
k=0
a
£¤¥
n
Bk
=
(
n
, n,k Z ,
,
1)
n k!(n
t(t
k)!
n
X
,
1) : : : (t
1{51
n
Bk f (xk );
k + 1)(t
(2)
, ,
k
1) : : : (t
,
n)dt:
0
ç áâ®áâ¨, ¯à¨ n = 1 ¨¬¥¥¬ ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©; ¯à¨ n = 2 | ä®à¬ã«ã
¨¬¯á® ; ¯à¨ n = 3 ä®à¬ã«ã 3/8 ¨ â. ¤.
«®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¬®¦® ¯®áâநâì ¤«ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à « (1)
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
®áâந¬ ¤«ï äãªæ¨¨ f (t) ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ £à ¦
Ln (f ; t)
£¤¥
w(t) =
n
X
j =0
n
X
k=0
(t
,
w(t)
0
xk )w (xk )
f (xk );
(3)
X
0
(t , xj ); w (xk ) =
(xk , xj ):
n
j =0
j 6=k
®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® f (t) ¥£® ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ¢ (1), ¯®«ã稬
Sn (f ; x)
Zb Pnk
t
a
=
n
X
k=0
=
w(t)
,xk )w (xk ) f (xk ) dt
=0 (t
n
X
k=0
1
0
w (xk )
Zb
a
,
0
x
(t
,
f (xk )
w(t)dt
xk )(t
0
(x , xk )w (xk )
0Zb
@
a
,
x)
f (xk )
w(t)
t
,
x
dt
,
(4)
Zb
w(t)
t
a
,
xk
1
A
dt
:
áᬮâਬ ®â¤¥«ì® ¯®«ãç¥ë¥ ¤¢ ¨â¥£à « . «ï ¯¥à¢®£® ¢ë¯®«¨¬
á«¥¤ãî饥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
Zb
a
w(t)
t
,
x
Zb
dt =
a
w(t)
t
,
,
w(x)
x
Zb
dt + w(x)
a
dt
t
,
x
:
1{52
. . ã¡¥¦âë
¤¥áì ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥
w(t),w(x)
t,x
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ç«¥
n
-
£® ¯®à浪 , ¯®íâ®¬ã ¨â¥£à « ¬®¦® â®ç® ¢ëç¨á«¨âì á ¯®¬®éìî ¢ëè¥ ãª § ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ìîâ® | ®â¥á (á¬. [1]). ®£¤
Zb
£¤¥
a
Ak
w t , w x dt
t,x
( )
= (
(
)
b , a Bkn
)
,w x
Ak w xxk ,
k x
k=0
n
X
=
(
)
(
n
X
)
=
k=0
Ak xw,xx Hn x ;
(
)
(
k
)
(5)
. ¡«¨æ íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¤ ¢ [1].
â®à®© ¨â¥£à « ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì «®£¨ç®, ®á®¢¥ á«¥¤ãî饣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï:
Zb
a
Zb
w t dt
t , xk
( )
=
a
w t , w xk dt
t , xk
( )
(
)
, w xk
Aj w xxj ,
xk
j
j =0
n
X
=
(
)
(
)
=
Ak w0 xk :
(
)
(6)
ç¨âë¢ ï (5) ¨ (6) ¨§ (4) ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬
Sn f x
(
;
n
X
) =
k=0
x , xk w0 xk Hn x
1
(
)
(
(
)
)+
wx
(
)ln
b , x , A w0 x f x :
k
x,a k k
(
)
(
)
(7)
¢¥á⢮ (7) ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥®© ä®à¬ã«®© ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
¢¨¤ (1).
x
x
; ;::: ;n ,
xk k
x ! xk
®¤áâ ¢«ïï ¢ (7) ¢¬¥áâ®
=
xk +xk+1
2
(
k
á।¨¥ § ç¥¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï 㧫 ¬¨, â. ¥.
= 0 1
1), ¯®«ã稬 ¢á¥ § ç¥¨ï ¨â¥£à « (1).
¢ëç¨á«¥¨ï § 票© ¢ â®çª å
áâ¢ãî騥 ¯à¥¤¥«ë ¯à¨
(
; ;::: ;n,
= 1 2
1) ¤® ¢§ïâì ¢ (7) ᮮ⢥â-
.
楨¬ ¯®£à¥è®áâì ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (7). ª ¨§¢¥áâ®
fx
(
) =
£¤¥
Rn f x
(
;
) =
Ln f x
(
)+
Rn f x ;
(
)
Zb
) =
j S f x , Sn f x j
;
)
)
( )
+ 1)!
®£¤
(
;
w x f (n+1) ; a < < b:
n
(
(
;
(
;
a
Rn f t dt :
t,x
(
; )
楨¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥:
Zb
a
Rn f t dt R f x b , x
n
t,x
x,a
(
; )
=
(
;
)ln
Zb
+
a
Rn f t , Rn f x dt:
t,x
(
«ï
; )
(
;
)
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
1{53
§ ®¡é¥© ⥮ਨ ®æ¥®ª ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¢ ª« áᥠäãªæ¨¨ Hr ( )
(á¬. [2, 4, 5, 6]), ¯®«ã稬
ln
n
b
,
x
j S (f ; x),Sn (f ; x) j xmax
j R (f ; x) j ln x , a + O nr+
2[a;b] n
1
b
,
x
= O nr+ ln x , a + O(ln n) (n > 1):
áᬮâਬ ¤¢ ç áâëç á«ãç ï n = 1 ¨ n = 2.
ãáâì n = 1. ®£¤ A0 = (b , a)=2; A1 = (b , a)=2 ¨
S1 (f ; x) = (x , a1)w0 (a) H1(x) + w(x)ln xb ,, xa , b ,2 a w0(a) f (a)
b
,
x
b
,
a
1
0
+ (x , b)w0 (b) H1(x) + w(x)ln x , a , 2 w (b) f (b);
£¤¥
(8)
w0 (a) = a , b; w0 (b) = b , a; w(x) = (x , a)(x , b);
(x) :
H1(x) = A0 xw,(xa) + A1 xw,
b
®à¬ã« (8) §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â ன ä®à¬ã«®© ⨯ âà ¯¥æ¨© ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ (1). «®¦ ï ä®à¬ã« âà ¯¥æ¨© ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
S n (f ; x) =
1
x1 , x
h w0 (a) f (a)
1
,
H
(
x
)
+
w
(
x
)ln
10
0
0
(x , a)w0(a)
x,a 2 0
+ (x , x 1)w0 (x ) H10(x) + w0 (x)ln xx1 ,,ax , h2 w00 (x1) f (x1)
1 0 1
x2 , x
h
1
0
+ (x , x )w0 (x ) H11(x) + w1 (x)ln x , x , 2 w1 (x1) f (x1)
1 1 1
1
x2 , x
1
h
0
+ (x , x )w0 (x ) H11(x) + w1 (x)ln x , x , 2 w1 (x2) f (x2)
2 1 2
1
+::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::
1
n,1 )wn0 ,1 (xn,1 )
+ (x , x
(9)
b
,
x
h
0
H1;n,1(x) + wn,1 (x)ln x , x , 2 wn,1 (xn,1) f (xn,1 )
n, 1
1{54
. . ã¡¥¦âë
h
b
,
x
0
+
0 (b) H1;n,1 (x) + wn,1 x
(x , b)wn
x , xn,1 , 2 wn,1 (b) f (b);
,1
wk (x) = (x , xk ) (x , xk+1 ); wk0 (xk ) = xk , xk+1 ; wk0 (xk+1 ) = xk+1 , xk ;
H1k (x) = x ,A0x + x ,Ax1 ; k = 0; 1; : : : ; n , 1:
k
k+1
( )ln
1
®à¬ã«ã (9) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª
S n (f ; x) =
1
n
X
k=0
Ak (x)f (xk );
£¤¥
x
,
x
h
k
0
Ak (x) = (x , x )w0 (x ) H1;k,1(x) + wk,1 (x)ln j x , x j , 2 wk,1 (xk )
k k,1 k
k ,1
1
x
,
x
h
k
+1
0
+
H1;k (x) + wk (x)ln j x , x j , 2 wk (xk )
(x , xk )wk0 (xk )
k
(k = 1; : : : ; n , 1);
1
x
,
x
h
1
0
A0(x) = (x , a)w0 (a) H10(x) + w0 (x)ln j x , a j , 2 w0 (a) ;
0
b,x
h
1
0
An(x) = (x , b)w0 (b) H1;n,1 (x) + wn,1 (x)ln x , x , 2 wn,1 (b) :
n,1
n,1
1
«ï ¯®£à¥è®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
n +O
j R1 (f ; x) j= O n2+
ln
1
ln
n2+
祢¨¤®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï çâ®
b , x :
x , a
r 2.
«®£¨ç® ¬®¦® ¢ë¯¨á âì ¨ ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ⨯ ¨¬¯á®
¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢. í⮬ á«ãç ¥
¨¬¯á® ¨¬¥¥â ¢¨¤
=
1
(
x , a)(a , a+2 b )(a , b)
Zb
a
n = 2.
«¥¬¥â à ï ä®à¬ã«
f (t) dt S (f ; x)
2
t,x
b , a x , a + b (x , b) + 4(b , a) (x , a)(x , b)
6
2
6
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
, ( , ) , + + ( , ) , + ( ,
+
b
a
x
6
, ,6
b
b
,
a
+(x
,
x
6
,
a
f
a
,
+b
,
+b
+b
(x
,
,
(x
,
(x
4(b
,
6
b)
b)
f (a )
,
a)
b
b)ln
x
(x
b
b
x
a
,
a)(x
2
,
2
b)
a)
b
+
a
b
b
a
b
b
,
a
x
+b
a
(b
2
x
,
a)
x
a
a
+b
a
b
x
a
, )( a+2 b , )
, ( , ) ,
6
2
, ) 6
, ) + ,6 ( ,
(b
x
,
,
1
a+b )( a+b
,
(x
b
b)ln
x
2
a
, a+2 b
a
+
x
1
b
a
x
, , 4( ,
,
6
, )(
, ,6 ,
a)
(x
6
a
4(b
b)+
2
+
(a
+
x
2
,
2
b
2
+b
a
a
x
a
2
x
a
a
a)
a
1{55
x
a
,
a
a
,
a
,
a
x
+b
2
+b
(x
2
+b
,
,
b
b)
f (b):
«®¦ ï ä®à¬ã« ¨¬¯á® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
Zb
a
=
+
+
+
+
+
(x
(x
(x
(x
(x
(x
,
,
,
,
,
,
1
0 (a)
a )w
1
1 )w0 (x1 )
0
x
1
2 )w0 (x2 )
0
x
1
2 )w2 (x2 )
0
x
1
3 )w2 (x3 )
0
x
1
4 )w2 (x4 )
x
0
+:::
H
0
20
:::
S
n
2 (f ; x)
2 , x , 2h w (a)
0
x,a
6
x
(x) + w (x)ln
0
22
x
(x) + w (x)ln
22
x
(x) + w (x)ln
22
x
(x) + w (x)ln
H
dt
20
H
x
x
(x) + w (x)ln
H
,
20
H
t
x
(x) + w (x)ln
H
f (t)
0
2 , x , 8h w
, 6
2 , , 2
, 6
4 , , 2
, 2 6
4 , , 8
, 2 6
4 , , 2
, 2 6
a
x
x
2
x
2
x
2
x
:::
0
x
0
:::
h
a
x
h
x
x
h
x
x
h
x
:::
:::
f (a )
0 (x1 )
0
1)
f (x
w
0 (x2 )
w
2 (x2 )
w
2 (x3 )
w
2 (x4 )
0
2)
f (x
0
2)
f (x
0
3)
f (x
0
:::
4)
f (x
a
+b
2
2
a)
b
1{56
. . ã¡¥¦âë
1
+
(
x , xn,2 )wn0 ,2 (xn,2)
H2;n,2 (x) + wn,2 (x)ln x ,b ,x x
h
0
, 6 wn,2 (xn,2) f (xn,2 )
n, 2
2
x , xn,1 )wn0 ,2 (x1)
8h 0
b
,
x
H2;n,2 (x) + wn,2 (x)ln j x , x j , 6 wn,2 (xn,1) f (xn,1 )
1
+
(
n, 2
+
(
( )ln
x , b)wn0 ,2 (b) H2;n,2 (x) + wn,2 x
1
b , x , 2h w0 (b) f (b);
x , xn,2 6 n,2
£¤¥
w0 (x) = (x , a)(x , x1)(x , x2 ); w2 (x) = (x , x2)(x , x3)(x , x4 ); : : : ;
wn,2 (x) = (x , xn,2 )(x , xn,1 )(x , b);
H2k = A0 xw,k (xx) + A1 x w,kx(x) + A2 x w,kx(x) ; (k = 0; 2; 4; : : : ; n , 2);
k
k+1
k+2
A = 2h ; A = 8h ; A = 2h ; n , ç¥â®¥:
0
᫨
6
1
6
2
6
r 4, â® ¤«ï ¯®£à¥è®á⨠¢¥à® ¥à ¢¥á⢮
ln n
b
,
x
1
j R2n(f ; x) j O n4+ ln x , a + O n4+ :
2. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ãáá
¥ àãè ï ®¡é®á⨠¬®¦® à áᬠâਢ âì á«¥¤ãî騥 ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ë
1
S (f; x) = p(t) tf,(t)x dt; ,1 < x < 1;
Z
,1
£¤¥
p(t) 0 ¢¥á®¢ ï äãªæ¨ï, f (t) 2 Hr ( ) (0 < 1).
ª®£¤
p(t) = (1 , t) (1 + t) ( ; > ,1):
â¥à¥á¥ á«ãç ©,
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
1{57
X
fx
¯®¬®éìî «®£¨çëå à áá㦤¥¨© ¯®«ãç ¥âáï ä®à¬ã«
Sn (
f (xk )
0
(Hn (x) + w (x)
(x) , Ak w (xk )) ;
(x , xk )w 0 (xk )
k=1
n
; )
xk (k = 1; 2; : : : ; n) | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ w(x), ®à⮣® «ì®£® ¯® ¢¥áã p(x)
¬®£®ç«¥ ¬ ¬¥ì襩 á⥯¥¨ ®â१ª¥ [-1,1], Ak | ª®íää¨æ¨¥âë ¨â¥à-
£¤¥
¯®«ï樮ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«
Z p x w x dx ;
1
Ak = w0 (x
1
k)
Hn (x) =
( )
,1
XA
k=1
Ak
p(x) ¨¬¥¥âáï ¢ [7].
x , xk
w(x) ;
(x) =
k
x , xk
n
¡«¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢
äãªæ¨¨
w(x) =
( )
¨ 㧫®¢
Z
X x,x
n
(
1
,1
k)
k=1
;
(t) dt:
t,x
xk (k = 1; 2; : : : ; n) ¤«ï à §ëå ¢¥á®¢ëå
⬥⨬, çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª ï â®ç®áâì â ª¨å ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« à ¢
n , 1.
®ç®áâì ¡ã¤¥â ¨¢ëá襩 (2
n , 1),
Z t w t dt
á«¥¤ãî饣® ãà ¢¥¨ï
1
( )
,1
( )
t,x
¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥
x ¢®§ì¬¥¬ 㫨
:
=0
(10)
í⮬ á«ãç ¥ â ª¨¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ ®ç¥ì ¯à®áâãî ä®à¬ã ¤«ï à §ëå ¢¥á®¢ëå
(t). ®â ¨å ¢¨¤
äãªæ¨¨
Z t f t dt X
1
( )
,1
£¤¥
X
f (xk ) (,A w0 (x )) = n A f (xk ) ;
k
k
k
(x , xk )w 0 (xk )
xk , x
k=1
k=1
n
( )
t,x
(11)
x ª®à¥ì ãà ¢¥¨ï (10).
®à¬ã« (11) ¯® ä®à¬¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© ⨯ ãáá
¤«ï äãªæ¨¨
f (t)=(t,x). ¨¬¥¥â ¯à®á⮩ ¢¨¤ ¨ ¨¢ëáèãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî
n , 1.
á⥯¥ì â®ç®á⨠2
â¥å¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå ®á®¡®¥ § 票¥ ¨¬¥îâ ç áâë¥ á«ãç ¨, 1
¯à¨¬¥à,
¨
¯à¨¨¬ îâ § ç¥¨ï ¨§ ¬®¦¥á⢠0
2 . áᬮâਬ íâ¨
á«ãç ¨:
f ; g
1.
;
= 0
= 0.
í⮬ á«ãç ¥
¬®£®ç«¥ ¥¦ ¤à (á¬. [7]).
(t)
= 1.
஫¨
xk
¢®§ì¬¥¬ ª®à¨
1{58
. . ã¡¥¦âë
, 12 ; = , 21 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = p11,t2 . ®£¤ Ak = n ,
xk = cos 2k2,n 1 | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 I-£®
p த .
1
1
3. = 2 ; = 2 . í⮬ á«ãç ¥ (t) =
,
1 , t2 . ®£¤ xk = cos nk
+1
2 k
Ak = n+1 sin n+1 (k = 1; 2; : : : ; n), xk | ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 II-£®
2.
=
q
த .
sin 2 k ,
= 12 ; = , 21 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = 11+,tt . ®£¤ Ak = 2n4+1
2n+1
2k
xk = cos 2n+1 (k = 1; 2; : : : ; n).
q
5.
= , 12 ; = 12 . í⮬ á«ãç ¥ (t) = 11+,tt . ®£¤ Ak =
4
2k ,1
2k ,1
cos 2 2(2n+1) , xk = cos 2n+1 .
2n+1
4.
¬¥â¨¬ ¢ § ª«î票¥, ç⮠㪠§ ë¥ ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâáï ã ¥ª®-
â®àëå ¢â®à®¢ (á¬., ¯à¨¬¥à, [2, 3, 5]), ® â ¬ ®¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ ç áâëå
á«ãç ïå.
¨â¥à âãà
1.
àë«®¢ . .
ਡ«¨¦¥®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢.|.: 㪠, 1967.|
410 á.
2.
¨ä ®¢ . .
¥â®¤ë ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ç¨á«¥-
ë© íªá¯¥à¨¬¥â.|.: ýãáþ, 1995.|520 á.
3.
¨ª¨¤§¥ . .
¯®à浪¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¥ª®â®àëå ᨣã«ïàëå ®¯¥à -
â®à®¢ ª¢ ¤à âãà묨 á㬬 ¬¨ // §¢¥áâ¨ï à¬ï᪮© .|1970.|
. 5, ü 4.|C. 371{384.
4.
¥«®æ¥àª®¢áª¨© . . ¨ä ®¢ . .
¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ᨣã«ïàëå
¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå.|.: 㪠, 1985.|252 á.
5.
®à¥©ç㪠. .
¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢.
// ¢ ª.: ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¨â¥£à «ìëå
ãà ¢¥¨© ¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«.|.: 㪠, 1964.|C. 64{74.
6.
¥èª® . .
á室¨¬®á⨠ª¢ ¤à âãàëå ¯à®æ¥áᮢ ¤«ï ᨣã«ïண®
¨â¥£à « // §¢. ¢ã§®¢, ⥬ ⨪ .|1976, ü 12,|C. 108{118.
7.
àë«®¢ . . ã«ì£¨ . .
¯à ¢®ç ï ª¨£ ¯® ç¨á«¥®¬ã ¨â¥£à¨-
஢ ¨î.|.: 㪠, 1966.|370 á.
£. « ¤¨ª ¢ª §
â âìï ¯®áâ㯨« 23 ä¥¢à «ï 2001 £.