INTEGRAL TENTU DAN TAK TENTU
INTEGRAL TENTU DAN
TAK TENTU
Oleh Kelompok 9 :
1. Ni Putu Novi Yuliawati (17101468)
2. Kadek Agus Adi Santana (17101410)
3. I Wayan Adi Purnawan (17101412)
4. Nyoman Yuni Antari (17101299)
STIKI INDONESIA
TAHUN AJARAN 2017/2018
1
KATA PENGANTAR
Pertama sekali penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang
telah memberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk
menyelesaikan makalah bidang studi Matematika dengan judul “Integral”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihakpihak yang turut membantu menyelesaikan laporan ini, khususnya kepada
guru bidang studi Matematika yang telah memberikan teori-teori dan
pengalaman dalam bidang studi matematika, sehingga banyaknya masukanmasukan yang penulis terima.
Walaupun penulis sudah berusaha sesuai dengan pengetahuan,
pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulis masih merasakan
adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukanmasukan sangat penulis harapkan. Mudah-mudahan laporan ini bermanfaat
bagi pembaca terutama penulis.
Denpasar, 10 Desember 2017
Penulis
2
DAFTAR ISI
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk
menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,
integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,
sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.
Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi,
dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat
dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan
kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.
Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika
lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang
secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya
ingin membahas tentang kalkulus integralnya.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah integral?
2. Apa pengertian integral?
3. Macam-macam integral?
4. Bagaimana kaidah-kaidah dalam operasi integral?
4
1.3 Tujuan
1. Mengetahui sejarah penemuan integral
2. Mengetahui makna dari integral serta cara penyelesaian soal-soal integral
3. Mengetahui macam-macam integral beserta pengertiannya dan cara
penyelesaian soalnya.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sejarah Integral
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman,
yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman
kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak
dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume
piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan
menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan
konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian
mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal
turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan
bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn
al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus
perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum
dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus
integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan
turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.
Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari
5
mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret
Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17
di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa
matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan
dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema
dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja
Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai
kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai
sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu
kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama
kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas
untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil
kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya.
Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak
dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari
Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja
secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.
Sekarang,
baik
Newton
dan
Leibniz
diberikan
penghargaan
dalam
mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan
nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions".
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di
Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus
6
modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried
Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka
kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan
percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus
integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan
tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci
mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan
dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan
dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno
memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus
memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang
kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan
dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :
1. Archimedes (287-212 SM)
Archimedes seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse,
Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide
penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari
benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola,
volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide
penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M)
Isaac Newton seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris.
Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir
bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan
antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas
daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu
7
diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam
sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat
antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan
Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)
Gottfried wilhelm Leibniz seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman.
Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama,
filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar
Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan
pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫
bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam
Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)
George Friedrich Bernhard Riemann
seorang matematikawan dari
Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh
Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu.
Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral
Riemann.
2.2 Materi Integral
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu
integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang
berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau
derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu
konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasbatas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
1. Integral Tak Tentu
a. Pengertian
8
Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama
Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang
merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang
menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti
(berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi
tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari
integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) = F(x) +k
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam
rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial
dari F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial,
F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x)
+ k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut
juga integrasi.
b. Rumus Umum Integral
Rumus – rumus dasar integral tak tentu :
a
x n+1 + C ; n ≠-1
n+1
1.
∫ ax
2.
∫
3.
∫ sinx dx=−cosx +C
4.
∫ cosx dx=sinx+C
5.
∫e
6.
∫ tanx dx=ln|sec x| +C
1
x
n
dx =
dx = ln |x| + C
x
dx = ex + C
9
Contoh : ∫ (2x3+5 cos x)dx =
1 4
x + 5 sin x + c
4
c. Kaidah-Kaidah Integrasi Taktentu
1. Kaidah Formula Berpangkat
2. Kaidah Formula Logaritmis
3. Kaidah Perkalian
10
4. Kaidah Penjumlahan
2. Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu
yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai
rumus umum:
Keterangan:konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
3. Integral Trigonometri
11
12
4. Sifat-sifat Trigonometri
BAB 3
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus
mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus
integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu
integral tertentu dan integral tak tentu.
.
3.2
Saran
13
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami
materi integral ini terutama Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah
ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.
DAFTAR PUSTAKA
Iis Jamilah. (2010). Latar Belakang Sejarah Integral, [Online]. Tersedia :
https://tugaspti140110100033.wordpress.com/2010/12/08/latar-belakangsejarah-integral/ [18 November 2015]
Martha Ayu. (2015). Sejarah Penemuan Integral, [Online]. Tersedia :
http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-penemuanintegral.html [18 November 2015]
Riris
Rohmah.
(2014).
Integral,
[Online].
Tersedia
http://ceritabaru2012.blogspot.co.id/2014/06/makalah-integral.html[18
November 2015]
14
:
Yufiati
Sari.
(2013).
Integral,
[Online].
Tersedia
pmt2011.blogspot.co.id/2013/06/makalah-integral.html
2015]
15
:
http://kel5-
[18
November
TAK TENTU
Oleh Kelompok 9 :
1. Ni Putu Novi Yuliawati (17101468)
2. Kadek Agus Adi Santana (17101410)
3. I Wayan Adi Purnawan (17101412)
4. Nyoman Yuni Antari (17101299)
STIKI INDONESIA
TAHUN AJARAN 2017/2018
1
KATA PENGANTAR
Pertama sekali penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang
telah memberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk
menyelesaikan makalah bidang studi Matematika dengan judul “Integral”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihakpihak yang turut membantu menyelesaikan laporan ini, khususnya kepada
guru bidang studi Matematika yang telah memberikan teori-teori dan
pengalaman dalam bidang studi matematika, sehingga banyaknya masukanmasukan yang penulis terima.
Walaupun penulis sudah berusaha sesuai dengan pengetahuan,
pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulis masih merasakan
adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukanmasukan sangat penulis harapkan. Mudah-mudahan laporan ini bermanfaat
bagi pembaca terutama penulis.
Denpasar, 10 Desember 2017
Penulis
2
DAFTAR ISI
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk
menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,
integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,
sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.
Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi,
dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat
dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan
kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.
Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika
lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang
secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya
ingin membahas tentang kalkulus integralnya.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah integral?
2. Apa pengertian integral?
3. Macam-macam integral?
4. Bagaimana kaidah-kaidah dalam operasi integral?
4
1.3 Tujuan
1. Mengetahui sejarah penemuan integral
2. Mengetahui makna dari integral serta cara penyelesaian soal-soal integral
3. Mengetahui macam-macam integral beserta pengertiannya dan cara
penyelesaian soalnya.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sejarah Integral
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman,
yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman
kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak
dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada
Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume
piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan
menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan
konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian
mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal
turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan
bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn
al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus
perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum
dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus
integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan
turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.
Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari
5
mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret
Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17
di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa
matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan
dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema
dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja
Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai
kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai
sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu
kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama
kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas
untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil
kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya.
Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak
dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari
Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja
secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.
Sekarang,
baik
Newton
dan
Leibniz
diberikan
penghargaan
dalam
mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan
nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions".
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di
Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus
6
modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried
Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka
kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan
percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus
integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan
tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci
mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan
dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan
dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno
memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus
memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang
kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan
dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :
1. Archimedes (287-212 SM)
Archimedes seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse,
Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide
penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari
benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola,
volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide
penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M)
Isaac Newton seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris.
Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir
bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan
antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas
daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu
7
diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam
sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat
antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan
Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)
Gottfried wilhelm Leibniz seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman.
Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama,
filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar
Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan
pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫
bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam
Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)
George Friedrich Bernhard Riemann
seorang matematikawan dari
Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh
Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu.
Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral
Riemann.
2.2 Materi Integral
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu
integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang
berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau
derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu
konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasbatas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
1. Integral Tak Tentu
a. Pengertian
8
Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama
Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang
merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang
menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti
(berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi
tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari
integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) = F(x) +k
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam
rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial
dari F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial,
F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x)
+ k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut
juga integrasi.
b. Rumus Umum Integral
Rumus – rumus dasar integral tak tentu :
a
x n+1 + C ; n ≠-1
n+1
1.
∫ ax
2.
∫
3.
∫ sinx dx=−cosx +C
4.
∫ cosx dx=sinx+C
5.
∫e
6.
∫ tanx dx=ln|sec x| +C
1
x
n
dx =
dx = ln |x| + C
x
dx = ex + C
9
Contoh : ∫ (2x3+5 cos x)dx =
1 4
x + 5 sin x + c
4
c. Kaidah-Kaidah Integrasi Taktentu
1. Kaidah Formula Berpangkat
2. Kaidah Formula Logaritmis
3. Kaidah Perkalian
10
4. Kaidah Penjumlahan
2. Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu
yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai
rumus umum:
Keterangan:konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
3. Integral Trigonometri
11
12
4. Sifat-sifat Trigonometri
BAB 3
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus
mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus
integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu
integral tertentu dan integral tak tentu.
.
3.2
Saran
13
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami
materi integral ini terutama Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah
ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.
DAFTAR PUSTAKA
Iis Jamilah. (2010). Latar Belakang Sejarah Integral, [Online]. Tersedia :
https://tugaspti140110100033.wordpress.com/2010/12/08/latar-belakangsejarah-integral/ [18 November 2015]
Martha Ayu. (2015). Sejarah Penemuan Integral, [Online]. Tersedia :
http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-penemuanintegral.html [18 November 2015]
Riris
Rohmah.
(2014).
Integral,
[Online].
Tersedia
http://ceritabaru2012.blogspot.co.id/2014/06/makalah-integral.html[18
November 2015]
14
:
Yufiati
Sari.
(2013).
Integral,
[Online].
Tersedia
pmt2011.blogspot.co.id/2013/06/makalah-integral.html
2015]
15
:
http://kel5-
[18
November