INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (1)
INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU
Integral Tak Tentu
Notasi/lambang untuk menyatakan integral adalah . Misalkan F(x)
menyatakan fungsi dalam x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta
berupa bilangan real sembarang, maka notasi integral tak tentu dari f(x) adalah
f ( x) dx
F ( x) c
Rumus dasar integral tak tentu
a. Integral Fungsi Aljabar
Cara menentukan integral fungsi aljabar. Misalkan y = x n+1 maka kita dapat
menentukan turunan pertamanya, yaitu y' = (n+1) x( n+1)-1= (n+1) xn. y' =
dy
dx
sehingga diperoleh
dy
dx
= (n+1) xn. Dari persamaan tersebut
diperoleh dy = (n + 1) xn dx. Apabila diintegralkan kedua ruas akan
diperoleh persamaan:
dy = (n + 1) xn dx
y + c = (n + 1) xn dx
Kemudian disubtitusikan dengan bentuk fungsi y = x(n + 1) diperoleh
(n + 1) xn dx = x(n + 1) + c, sehingga diperoleh xn dx =
1
x n 1 c , n –1
n 1
Pada materi diferensial, jika turunan F(x) adalah f(x) dan turunan G(x)
adalah g(x) maka turunan dari y= F(x) + G(x) adalah
dy
=f(x) + g(x),
dx
dengan demikian dapat dinyatakan bahwa
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
Sifat-sifat yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai
berikut.
1. dx = x + c
2. xn dx =
1
xn+1 + c; n –1
n 1
3. a n dx =
a
xn+1 + c; n –1
n 1
4. a dx = a + c
5. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
6. [f(x) – g(x)] dx = f(x) dx – g(x) dx
7. a f(x) dx =
a f(x) dx
1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = –sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x
4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –cosec2 x
5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x
6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = cosec x cot x
Contoh:
1. Selesaikan pengintegralan dari x4 x dx.
Penyelesaian:
1
x4 x dx =
x
=
x
=
1
4 1 1
x 2 c
4 1
=
2 112
x c
11
4
x x 2 dx
4 12
dx
1
2
b. Integral Fungsi Trigonometri
Karena integral adalah operasi kebalikan (invers) dari turunan
(diferensial), integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut:
sin x dx = –cos x + c
cos x dx = sin x + c
1
cos ax + c
a
sin ax dx = –
cos ax dx =
sin (ax + b) dx = –
cos (ax + b) dx =
1
sin ax + c
a
1
cos (ax +b ) + c
a
1
sin (ax +b ) + c
a
Integral Tentu
Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a,b] atau a x b. Jika F
suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F (x) = f(x) untuk semua x pada [a,b],
maka berlaku
b
f ( x)dx F ( x0
a
b
a
F (b) F ( a )
F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a x b. Hubungan di atas
dinamakan dengan teorema dasar kalkulus. Dengan teorema ini, nilai integral
tertentu lebih mudah diketahui. Bukti teorema di atas adalah sebagai berikut.
Bukti:
Misal g(x) =
x
f ( x)dx
a
tentu sehingga g(x) =
dengan x[a,b] maka g(x) merupakan integral tak
x
f ( x)dx = F(x) + c.
a
Sifat-sifat integral tertentu:
Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu maka:
a
a.
f ( x)dx = 0
b.
f ( x)dx
c.
f ( x)dx
d.
f ( x) g ( x) dx = f ( x)dx g ( x)dx
e.
f ( x)dx f ( x) dx = f ( x)dx ; dengan a < c < b.
a
b
a
b
a
a
f ( x )dx
=–
b
b
f ( x ) dx , dengan c konstanta
=c
a
b
b
a
b
a
c
b
a
a
a
b
a
Integral Tak Tentu
Notasi/lambang untuk menyatakan integral adalah . Misalkan F(x)
menyatakan fungsi dalam x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta
berupa bilangan real sembarang, maka notasi integral tak tentu dari f(x) adalah
f ( x) dx
F ( x) c
Rumus dasar integral tak tentu
a. Integral Fungsi Aljabar
Cara menentukan integral fungsi aljabar. Misalkan y = x n+1 maka kita dapat
menentukan turunan pertamanya, yaitu y' = (n+1) x( n+1)-1= (n+1) xn. y' =
dy
dx
sehingga diperoleh
dy
dx
= (n+1) xn. Dari persamaan tersebut
diperoleh dy = (n + 1) xn dx. Apabila diintegralkan kedua ruas akan
diperoleh persamaan:
dy = (n + 1) xn dx
y + c = (n + 1) xn dx
Kemudian disubtitusikan dengan bentuk fungsi y = x(n + 1) diperoleh
(n + 1) xn dx = x(n + 1) + c, sehingga diperoleh xn dx =
1
x n 1 c , n –1
n 1
Pada materi diferensial, jika turunan F(x) adalah f(x) dan turunan G(x)
adalah g(x) maka turunan dari y= F(x) + G(x) adalah
dy
=f(x) + g(x),
dx
dengan demikian dapat dinyatakan bahwa
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
Sifat-sifat yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai
berikut.
1. dx = x + c
2. xn dx =
1
xn+1 + c; n –1
n 1
3. a n dx =
a
xn+1 + c; n –1
n 1
4. a dx = a + c
5. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
6. [f(x) – g(x)] dx = f(x) dx – g(x) dx
7. a f(x) dx =
a f(x) dx
1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = –sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x
4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –cosec2 x
5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x
6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = cosec x cot x
Contoh:
1. Selesaikan pengintegralan dari x4 x dx.
Penyelesaian:
1
x4 x dx =
x
=
x
=
1
4 1 1
x 2 c
4 1
=
2 112
x c
11
4
x x 2 dx
4 12
dx
1
2
b. Integral Fungsi Trigonometri
Karena integral adalah operasi kebalikan (invers) dari turunan
(diferensial), integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut:
sin x dx = –cos x + c
cos x dx = sin x + c
1
cos ax + c
a
sin ax dx = –
cos ax dx =
sin (ax + b) dx = –
cos (ax + b) dx =
1
sin ax + c
a
1
cos (ax +b ) + c
a
1
sin (ax +b ) + c
a
Integral Tentu
Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a,b] atau a x b. Jika F
suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F (x) = f(x) untuk semua x pada [a,b],
maka berlaku
b
f ( x)dx F ( x0
a
b
a
F (b) F ( a )
F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a x b. Hubungan di atas
dinamakan dengan teorema dasar kalkulus. Dengan teorema ini, nilai integral
tertentu lebih mudah diketahui. Bukti teorema di atas adalah sebagai berikut.
Bukti:
Misal g(x) =
x
f ( x)dx
a
tentu sehingga g(x) =
dengan x[a,b] maka g(x) merupakan integral tak
x
f ( x)dx = F(x) + c.
a
Sifat-sifat integral tertentu:
Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu maka:
a
a.
f ( x)dx = 0
b.
f ( x)dx
c.
f ( x)dx
d.
f ( x) g ( x) dx = f ( x)dx g ( x)dx
e.
f ( x)dx f ( x) dx = f ( x)dx ; dengan a < c < b.
a
b
a
b
a
a
f ( x )dx
=–
b
b
f ( x ) dx , dengan c konstanta
=c
a
b
b
a
b
a
c
b
a
a
a
b
a