PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN DALAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN DALAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh : Yustina Astri Wijayanti NIM : 103114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PONTRYAGIN’S MAXIMUM PRINCIPLE

IN THE MODEL OF THE SPREAD OF DISEASE A THESIS

Presented As Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree of

Mathematics Study Program

Written by: Yustina Astri Wijayanti Student ID: 103114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2014 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI SKRIPSI PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN DALAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT

Disusun oleh: Yustina Astri Wijayanti

NIM : 103114015 Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing Skripsi, (Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D) Tanggal: 3 November 2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SKRIPSI

PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN DALAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT

Dipersiapkan dan ditulis oleh: Yustina Astri Wijayanti

103114015 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 14 November 2014 dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap

Tanda Tangan Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

……………. Sekretaris Dr. rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan, M.Si ……………. Anggota Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D …………….

Yogyakarta, 18 November 2014 Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Dekan,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini sebagai bukti kasih setia Tuhan Yesus dalam hidupku.

“Oleh Dia kita juga beroleh jalan masuk oleh iman kepada kasih karunia ini. Di dalam kasih karunia ini kita berdiri dan kita bermegah dalam pengharapan menerima kemuliaan Allah”.

( Roma 5:2 ) “Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan ucapan syukur”.

(Filipi 4:6)

Karya ini aku persembahkan untuk : Orang-orang terkasih: bapak, ibu, dan kakakku

Sahabat

– sahabat kesayanganku matematika 2010

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 3 November 2014 Penulis

Yustina Astri Wijayanti PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRAK Yustina Astri Wijayanti. 2014. Prinsip Maksimum Pontryagin dalam Model Penyebaran Penyakit. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi model SEIR dalam penyebaran penyakit, terutama penyakit menular. Penyakit menular merupakan suatu penyakit yang penyebarannya mempunyai dampak buruk bagi kehidupan individu dalam populasi. Tulisan ini akan membahas mengenai bagaimana mengurangi penyebaran penyakit dengan meminimalkan banyaknya individu yang terinfeksi. Untuk itu diperlukan suatu kontrol yaitu pemberian vaksin. Dalam hal ini, teori matematika yang digunakan adalah kontrol optimal dan model penyebaran penyakitnya adalah model SEIR. Model SEIR merupakan model penyebaran penyakit yang memperhatikan empat komponen, yaitu banyaknya individu yang rentan penyakit, banyaknya individu yang masuk dalam masa inkubasi, banyaknya individu yang terinfeksi penyakit, dan banyaknya individu yang sembuh dari penyakit. Keempat komponen tersebut diilustrasikan ke dalam model matematika berupa sistem persamaan diferensial dengan enam variabel dan lima persamaan.

Model SEIR akan diselesaikan menggunakan metode - metode kontrol

– optimal, yaitu prinsip maksimum Pontryagin dan metode sweep maju mundur. Sedangkan system persamaan diferensial yang ada akan diselesaikan menggunakan metode Runga-Kutta orde-4. Selain itu, akan digunakan pula suatu teori matematika untuk linearisasi sistem persamaan diferensial untuk menyelesaikan model yang tidak memperhatikan kontrol.

Model SEIR yang disusun berdasarkan teori

– teori matematika di atas dapat membantu mengambil keputusan untuk menurunkan penyebaran penyakit melalui pengendali anti virus, sehingga banyaknya individu yang terinfeksi pun juga akan mengalami penurunan. Kata Kunci: penyebaran penyakit, sistem persamaan diferensial, prinsip maksimum Pontryagin, metode sweep maju
– mundur, metode Runge-Kutta, linearisasi sistem.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ABSTRACT Yustina Astri Wijayanti. 2014. Pontryagin Maximum Principle In Models Of Disease Spread. A Thesis. Mathematics Study Program, Departement of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

The topic of this thesis is the application of SEIR model in diseases spread, especially for infectious diseases. Infectious diseases is a disease whose spreading has negative consequences for the individuals living in the population. This paper will discuss how to reduce the spread of disease by minimizing the number of infected individuals. So we need a control so called vaccine. In this case, the mathematical theory used is the optimal control and model of the spread of the disease is SEIR model. SEIR Model is a model of the spread of the disease which consider four components, namely the number of individuals who are susceptible, in the incubation period, infected, and recovering from disease. These four components are illustrated in the form of a mathematical model of the system of differential equations with six variables and five equations.

The SEIR model will be solved using optimal control method, namely the Pontryagin maximum principle and the forward - backward sweep method. The existing system of differential equations will be solved using Runga-Kutta method of order-4. Moreover, a mathematical theory for linearized system of differential equations will also be used to solve the model which does not consider control.

Model Seir based on the mathematical theory above can help take the decision to reduce the spread of disease through anti-virus control, so that the number of infected individuals will also decrease. Key words: The spread of disease, the system of differential equations,

Pontryagin maximum principle, the forward - backward sweep method, Runge-Kutta method, linearization system. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1.

Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran.

3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik.

4. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis.

5. Kedua orang tua, Bapak D. Suratija dan Ibu Suwarti, yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.

6. Teman – temanku; Arga, Ratri, Ayu, Tika, Pandu, Sari, Dini, Celly, Leni, Agnes, Yohan, Roy, Marsel, dan Yosi, terima kasih untuk canda tawa, kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7.

Teman – teman adik tingkat 2012: Happy, Noni, Giri, terima kasih untuk doa, semangat, dan keceriaan yang selalu diberikan kepada penulis.

8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, 3 November 2014 Penulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Yustina Astri Wijayanti NIM : 103114015

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma, Karya Ilmiah saya yang berjudul :

Prinsip Maksimum Pontryagin dalam Model Penyebaran Penyakit

beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma dan hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberi royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 4 November 2014 Yang menyatakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR ISI Halaman

HALAMAN JUDUL .................................................................................. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ iii HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................ v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... vi ABSTRAK ................................................................................................. vii ABSTRACT ............................................................................................... viii KATA PENGANTAR ............................................................................... ix PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ....... xi DAFTAR ISI .............................................................................................. xii DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xv DAFTAR TABEL ...................................................................................... xvii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................. xviii

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................... 1 B. Rumusan Masalah .......................................................................... 7 C. Batasan Masalah ............................................................................. 7 D. Tujuan Penulisan ............................................................................ 8

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Metode Penulisan ........................................................................... 8 G.

Sistematika Penulisan ..................................................................... 9

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................... 11 A. Kontinu Sepotong - Sepotong ........................................................ 11 B. Deret Taylor ................................................................................... 16 B.1. Definisi ............................................................................................ 16 B.2. Tingkat Keakuratan Hampiran ........................................................ 17 C. Metode Euler .................................................................................. 19 D. Metode Runga - Kutta .................................................................... 20 E. Kestabilan Persamaan Diferensial .................................................. 21 1. Pendahuluan.............................................................................. 21 2. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial ............................ 22 3. Titik Kesetimbangan................................................................. 23 4. Kestabilan ................................................................................. 28 BAB III PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN .................................... 30 A. Kontrol Optimal ............................................................................. 30 B. Contoh – Contoh Kontrol Optimal ................................................. 31 Syarat Perlu Optimalitas .......................................................................... 35 C. D. Langkah – Langkah Penyelesaian ............................................................ 48 BAB IV KONTROL YANG TERBATAS ................................................ 61 A. Pendahuluan ................................................................................... 61 B. Contoh – Contoh Soal .................................................................... 65

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI B.

Metode Sweep Maju - Mundur ....................................................... 73

Contoh Masalah ....................................................................................... 76 C.

BAB VI APLIKASI MODEL SEIR .......................................................... 91 A. Pendahuluan ................................................................................... 91 B. Model SEIR Tanpa Kontrol dalam Penyebaran Penyakit .............. 92 B.1. Pendahuluan ........................................................................... 92 B.2. Penurunan Rumus .................................................................. 95 B.3. Pelinearan Sistem Secara Umum ........................................... 96 B.4. Ilustrasi Linearisasi Sistem .................................................... 101 B.5. Analisa Data .......................................................................... 120 C. Model SEIR Dengan Kontrol dalam Penyebaran Penyakit ............ 123 C.1. Pendahuluan ........................................................................... 123 C.2. Penurunan Rumus .................................................................. 124 C.3. Analisa Data .......................................................................... 127 BAB VII PENUTUP .................................................................................. 130 A. Kesimpulan ..................................................................................... 130 B. Saran ............................................................................................... 131 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 132 LAMPIRAN ............................................................................................... 133

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Diagram alur penyebaran penyakit ............................................ 2Gambar 2.1 Fungsi sepotong - sepotong ......................................................... 12Gambar 2.2 Fungsi cekung ............................................................................. 14Gambar 2.3 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik sadle............... 25Gambar 2.4 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik nodal sink ...... 25Gambar 2.5 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik nodal source .. 26Gambar 2.6 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik spiral sink ...... 26Gambar 2.7 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik spiral source .. 27Gambar 2.8 Penyelesaian persamaan diferensial dengan titik center ............. 27Gambar 3.1 Peluncuran roket .......................................................................... 33Gambar 3.2 Grafik kontrol optimal ................................................................. 36Gambar 3.3 Grafik tiga kondisi , x . u contoh 3.1 ............................................ 51

Gambar 3.4 Grafik tiga kondisi , x . u contoh 3.2 ............................................ 56

1 ₃

8 Gambar 3.5 Grafik ( t )   t  ............................................................. 59 λ

1 ₃

17 Gambar 3.6 Grafik x ( t ) t ln( t ) ............................................. 59   

3 ₃

 

1 8 t

Gambar 3.7 Grafik u ( t )   ........................................................... 60

 

2 t

 

Gambar 4.1 Grafik kondisi optimal contoh 4.1...................................... 70

( t )

Gambar 4.2 Grafik kondisi optimal contoh 4.1 .......................................... 71

u ( t )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Gambar 5.1 Grafik tiga kondisi optimal , x . u contoh 5.2 ............................. 86

Gambar 5.2 Grafik tiga kondisi optimal , x . u contoh 5.3 ............................. 89

Gambar 6.1 Diagram alur model SEIR tanpa kontrol .......................................... 93Gambar 6.2 Grafik kasus 1 pada titik kesetimbangan yang pertama ..............121Gambar 6.3 Grafik kasus 1 pada titik kesetimbangan yang kedua .................122Gambar 6.4 Diagram alur model SEIR dengan kontrol ..................................123

Gambar 6.5: Kondisi optimal dalam masalah penyebaran penyakit ...............128

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Sifat Kestabilan ...................................................................................... 29

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Program Metode Sweep Maju - Mundur ............................ 133 Lampiran 2 Program Masukkan Nilai

– Nilai Parameter ...................... 138

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Setiap individu mempunyai tingkat kekebalan tubuh yang berbeda – beda. Ada individu yang tingkat kekebalan tubuhnya lemah dan ada pula yang tingkat

kekebalan tubuhnya kuat. Lemahnya kekebalan tubuh akan menimbulkan suatu dampak yang cukup besar dalam kehidupan individu itu sendiri. Salah satu di antaranya adalah individu itu akan mudah terserang penyakit, terutama untuk penyakit menular. Dalam suatu populasi tertentu yang ditinggali oleh sebagian besar individu dengan kekebalan tubuh yang lemah dan satu di antaranya sudah terserang penyakit menular, maka akan dengan mudah penyakit tersebut menyerang ke individu lainnya. Penyakit menular tersebut ada kemungkinan akan menyerang banyak individu dan bisa saja melebihi batas normal atau melebihi keadaan wajarnya. Penyebaran penyakit yang tidak wajar tersebut biasa disebut dengan wabah.

t ,

Pada suatu saat model penyebaran penyakit biasanya mempertimbangkan empat komponen, di antaranya banyaknya individu yang rentan penyakit, banyaknya individu yang masih dalam masa inkubasi, banyaknya individu yang terinfeksi penyakit, dan banyaknya individu yang sudah pulih / sembuh dari penyakit. Keempat individu tersebut berturut - turut dinotasikan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

keseluruhan dalam suatu populasi tertentu dinotasikan dengan N ( t ). Secara umum, banyaknya individu keseluruhan pada saat t adalah

N ( t ) S ( t ) E ( t ) I ( t ) R ( t ) (Lenhart & Workman, 2007). Oleh karena itu,     model penyebaran penyakit tersebut dapat dirumuskan dengan model SEIR.

Model SEIR itu sendiri dapat digambarkan diagram alurnya sebagai berikut: uS bN gI cIS eE

S E

I R

dS dE dI aI dR

Gambar 1.1: Diagram alur penyebaran penyakit Sumber: Optimal Control Applied to Biological Models oleh Suzanne Lenhart

dengan, bN = banyaknya kelahiran yang bersifat eksponensial dalam suatu populasi dengan laju . dS = banyaknya kematian alami yang bersifat eksponensial dengan keadaan individu yang rentan penyakit dengan laju cIS = banyaknya kejadian penyakit yang timbul dengan laju uS = banyaknya pemberian vaksin sebagai kontrol atas individu yang rentan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

eE = banyaknya individu dalam masa peralihan, dari individu yang masih tidak terlindungi menjadi individu yang terinfeksi dengan laju dE = banyaknya kematian alami yang bersifat eksponensial dengan keadaan individu yang tidak terlindungi dengan laju gI = banyaknya individu terinfeksi penyakit yang sembuh dengan laju dI = banyaknya kematian alami yang bersifat eksponensial dengan keadaan individu yang masih terinfeksi penyakit dengan laju aI = banyaknya kematian yang disebabkan oleh individu yeng terinfeksi penyakit dengan laju dR = banyaknya kematian alami yang bersifat eksponensial dengan keadaan individu yang sudah sembuh dengan laju Dari diagram alur di atas, dapat dijelaskan bahwa banyaknya individu yang terlahir dalam suatu populasi tertentu pada awalnya individu tersebut masih rentan terhadap penyakit. Kemudian, dari individu yang rentan tersebut apabila diberikan vaksin maka individu itu dapat dikelompokkan ke dalam individu yang sembuh. Selain itu, ada juga kemungkinan mulai muncul penyakit yang kemudian individu tersebut masuk ke dalam masa inkubasi, yaitu masa di mana individu ada kemungkinan muncul gejala-gejala terserang penyakit. Namun, dapat juga individu rentan tersebut meninggal secara alami yang bersifat eksponensial

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

terinfeksi penyakit, namun dapat juga individunya meninggal secara alami secara eksponensial. Individu yang sudah terinfeksi mempunyai kemungkinan langsung sembuh, namun dapat juga menyebabkan banyaknya individu yang meninggal semakin besar. Kemudian, individu yang sudah sembuh dari penyakit akibat infeksi dan awalnya dari individu yang rentan penyakit, dapat meninggal secara alami secara eksponensial.

Dengan melihat uraian di atas yang diperoleh dari diagram sebelumnya, secara matematis dapat dituangkan ke dalam suatu sistem persamaan diferensial sebagai berikut: _'

S ( t )  bN ( t )  dS ( t )  cS ( t ) _' I ( t )  u ( t ), S ( )  S  , E ( t )  cS ( t ) _' I ( t )  ( e  d ) E ( t ), E ( )  E  , I ( t ) eE ( t ) ( g a d ) I ( t ), I ( ) I , _'       R ( t )  gI ( t )  dR ( i )  u ( t ) S ( t ), R ( )  R  , _' N ( t )  ( b  d ) N ( t )  aI ( t ), N ( )  N ,

Dalam kenyataannya, memang terdapat penyakit menular yang merambah di daerah tertentu, seperti penyakit campak. Adanya penyakit tersebut dapat membawa dampak negatif yang besar bagi kehidupan individu, maka seharusnya diadakan pemberian vaksin. Vaksinasi tersebut diberikan untuk memberikan kekebalan pada tubuh individu untuk mencegah terserangnya penyakit. Dengan adanya pemberian vaksin tersebut diharapkan dapat meminimalkan banyaknya individu yang terinfeksi. Pemberian vaksin ini berperan sebagai kontrol untuk membantu mengurangi banyaknya individu yang terinfeksi.

Dengan adanya kontrol dalam permasalahan tersebut, maka permasalahan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Secara umum, kontrol optimal sendiri adalah suatu teori yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi dengan variabel kontrol. Dalam optimisasi sendiri terdapat dua istilah, yaitu permasalahan maksimalisasi dan permasalahan minimalisasi. Terdapat dua cara penyelesaian untuk masalah kontrol optimal ini, yaitu secara analitik dan numerik. Secara analitik, kontrol optimal dapat diselesaikan dengan beberapa metode, di antaranya adalah Prinsip Maksimum Pontryagin, Regulator Linear Kuadratik, dan sebagainya. Sedangkan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan secara numerik adalah

Sweep Maju-Mundur. Prinsip Maksimum Pontryagin adalah metode yang

ditemukan oleh seseorang yang berasal dari Uni Soviet yaitu Pontryagin. Prinsip ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kontrol optimal dengan variabel kontrol yang bersifat deterministik dan kontinu terhadap fungsi . Sedangkan Regulator Linear Kuadratik adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kontrol optimal dengan variabel kontrol dan variabel keadaan awal yang linear dan fungsi obyektifnya kuadrat. Permasalahan yang diselesaikan menggunakan kontrol optimal dirumuskan dalam suatu fungsi obyektif. Fungsi obyektif tersebut sebagai berikut:

t _f

max f ( t , x ( t ), u ( t )) dt

u  t

atau

t _f

min f ( t , x ( t ), u ( t )) dt

u 

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

di mana x(t) = variabel keadaan; t = batas awal u(t) = variabel kontrol; t f = batas akhir dengan kendala:

x ' ( t )  g ( t , x ( t ), u ( t )) dt

x ( t )  x  keadaan awal u  u ( t )  u min maks

Dengan mempertimbangkan variabel kontrol dalam permasalahan penyebaran penyakit pada bagian terakhir dari dua paragraf sebelumnya, maka permasalahan penyebaran penyakit dapat diselesaikan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Dalam hal ini, variabel kontrolnya kontinu terhadap waktu ( t ) .

Secara analitik, cukup menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin sudah mendapatkan solusinya. Namun, dalam menyelesaikan masalah secara numerik tidak cukup hanya menggunakan metode Prinsip Maksimum Pontryagin melainkan harus menggunakan metode Sweep Maju-Mundur. Permasalahan yang diselesaikan secara analitik akan menghasilkan penyelesaian yang sebenarnya (sejati). Sedangkan masalah yang diselesaikan secara numerik akan menghasilkan penyelesaian yang mendekati penyelesaian sejati, biasa disebut dengan penyelesaian hampiran. Penyelesaian secara numerik digunakan ketika masalah tidak dapat diselesaikan lagi secara analitik.

Tugas akhir ini akan membahas metode Prinsip Maksimum Pontryagin

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Secara numerik akan digunakan metode Runga-Kutta 4 untuk menyelesaikan persamaan diferensialnya. Dalam hal ini, digunakan metode Runga-Kutta orde 4 karena tingkat keakuratan (galat) yang dihasilkan kecil. Penyelesaian dikatakan baik ketika galat yang dihasilkan adalah kecil.

Dengan demikian, Prinsip Maksimum Pontryagin dan metode Sweep Maju-Mundur mempunyai peran yang penting untuk meminimalkan / mengurangi banyaknya individu yang terinfeksi penyakit, sehingga diperoleh penyelesaian yang optimal. Dalam tulisan ini, pembahasan permasalahannya hanya dibatasi pada variabel kontrol yang bersifat deterministik dan kontinu. Untuk memahaminya, maka diperlukan beberapa materi diantaranya fungsi kontinu, turunan, persamaan diferensial, dll.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1.

Apa yang dimaksud dengan Prinsip Maksimum Pontryagin? 2. Apa yang dimaksud dengan metode Sweep maju - mundur? 3. Bagaimana meminimalkan banyaknya individu yang terserang penyakit menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dalam kontrol optimal?

C. BATASAN MASALAH Pembahasan Prinsip Maksimum Pontryagin dalam tulisan ini hanya dibatasi pada:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2.

Tidak ada interaksi antar populasi, yaitu model dikembangkan hanya untuk satu populasi tertentu.

3. Individu rentan terhadap penyakit.

4. Materi prasyarat hanya dibahas terbatas pada hal – hal pokok.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami Prinsip Maksimum Pontryagin dan bagaimana cara menyelesaikan permasalahan kesehatan dalam meminimalkan banyaknya individu yang terinfeksi penyakit.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang didapat dari tulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang Prinsip Maksimum Pontryagin dalam kontrol optimal untuk menyelesaikan permasalahan kesehatan, yaitu dalam meminimalkan banyaknya individu yang terinfeksi penyakit dengan variabel kontrol yang kontinu.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan kontrol optimal, khususnya Prinsip Maksimum Pontryagin, metode Sweep Maju-Mundur, dan metode Runga-Kutta. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Kontinu Sepotong - Sepotong B. Deret Taylor C. Metode Euler D. Metode Runga - Kutta E. Kestabilan Persamaan Diferensial BAB III PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN A. Kontrol Optimal B. Contoh-Contoh Kontrol Optimal C. Dasar dan Syarat Perlu D. Langkah-langkah Penyelesaian

BAB IV KONTROL YANG TERBATAS A. Pendahuluan B. Contoh-Contoh Soal BAB V METODE SWEEP MAJU-MUNDUR A. Pendahuluan B. Metode Sweep Maju-Mundur C. Contoh Masalah BAB VII APLIKASI MODEL SEIR A. Pendahuluan B. Model SEIR tanpa Kontrol dalam Penyebaran Penyakit C. Model SEIR dengan Kontrol dalam Penyebaran Penyakit BAB VII PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai dasar

– dasar matematika yang menjadi dasar dalam pembahasan bab selanjutnya A.

KONTINU SEPOTONG - SEPOTONG Definisi 2.1 u :

I R

Misalkan

I  R

 dikatakan kontinu adalah suatu selang/interval.

t  , dengan

sepotong-sepotong jika fungsi tersebut kontinu di setiap pengecualian pada sejumlah berhingga titik t , dan jika u mempunyai nilai

t  .

yang sama dengan salah satu nilai limit kiri atau limit kanan di setiap

Contoh:

Sketsakan grafik fungsi berikut dan tentukan apakah kontinu, kontinu

f f

sepotong-sepotong, atau tidak keduanya pada interval

1  t  2 !   t 1 , t

1     f ( t ) 6 t 2 , 1 t

2 6 t , t 

2 Penyelesaian:

  

Fungsi f ( t ) t

1 kontinu di ( , 1 ).

Nilai limit kanan saat t  untuk fungsi

1 f ( t )  6 t  2 sama dengan nilai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

lim _{t } ₁ _ 6 t  2  4  f ( 1 )  6 ( 1 )  2 .

Kemudian nilai limit kiri saat t  untuk fungsi

2 f ( t )  6 t  2 sama dengan

nilai fungsi f ( t ) 

6 t  2 saat t  Hal itu dapat ditunjukkan sebagai

2 .

berikut:

lim _ 6 t  2  10  f ( 2 )  6 ( 2 )  2 . _t  ₂ Sehingga, fungsi   juga dikatakan kontinu di 1  t  2 . Begitu f ( t ) 6 t

juga untuk fungsi  kontinu di  Dengan demikian,

f ( t ) 6 t ( 2 , ).

berdasarkan definisi 1.1 dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut kontinu sepotong

– sepotong. Untuk lebih jelasnya, fungsi tersebut dapat dituangkan dalam grafik berikut:

Gambar 2.1: Fungsi sepotong - sepotong

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Definisi 2.2

I R

I Misalkan x :

dan mempunyai turunan di setiap  adalah kontinu di I . titik t  dengan pengecualian pada sejumlah berhingga titik dari

I ,

Andaikan bahwa '

x kontinu di mana-mana. Maka, dapat dikatakan bahwa x mempunyai turunan sepotong-sepotong.

Definisi 2.3

Misalkan k :

I R

 . k dikatakan mempunyai turunan yang kontinu jika 'k

I ada dan kontinu di .

Definisi 2.4 a , b

Suatu fungsi k ( t ) dikatakan cekung di   jika

k ( t )  ( 1  ) k ( t )  k ( t  (

1  ) t )

α α α α ₁ ₂ ₁ ₂

 

1 a t , t b .

untuk semua α dan untuk setiap   ₁ ₂ Definisi tersebut juga berlaku untuk kondisi sebaliknya, yaitu k ( t ) dikatakan cembung di   a , b jika

α k ( t )  ( ₁ 1  α ) k ( t )  k ( α t  ( ₂ ₁

1  α ) t ).

₂ Definisi tersebut dapat diilustrasikan untuk fungsi yang cekung sebagai

berikut: Misalkan diambil beberapa k ( t )  (

1  ) k ( t ) : α untuk α ^{1 α} ² Untuk , α  maka k ( t )  ( 1  ) k ( t )  . k ( t )  ( 1  ) k ( t )  k ( t ) α ^{1 α} ² ¹ ² ²

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Untuk

1 , α  maka k ( t )  ( 1  ) k ( t )  1 k ( t )  ( 1  1 ) k ( t )  k ( t ) α α ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ Sedangkan, untuk   1 maka akan diperoleh suatu garis yang α

menghubungkan k ( t ) dengan k ( t ). ₁ ₂ Selanjutnya, diambil beberapa k ( t  (

1  ) t ) : α untuk α α ₁ ₂ Untuk , α  maka k ( t  ( 1  ) t )  k ( t.  ( 1  ) t ) α ^{1 α} ² ¹

 k ( t ) ₂ Untuk

1 , α  maka k ( t ( 1 ) t ) k 1 t. (

1 1 ) t α   α      ₁ ₂ ₁

₂

 k   t ₁ Sedangkan, untuk  

1 maka akan diperoleh suatu kurva yang α

menghubungkan k ( t ) dengan k ( t ). ₁ ₂ Sehingga, dapat digambarkan dalam grafik berikut:

k(t) k(t )

2 ) + (1- )

k(t ^{1 )k(t} ² k( + (1 - )

t ^{1 )t} ² k(t )

1 k(t) t ² t ₁ t

a b

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

    

      

( k ) y , x ( k ) α ) 1 ( y , x ( k α ₂ ₁ ₂ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

, x ) α

1 ( x

) y ) α 1 ( y α

yang mana fungsi tersebut cekung apabila

) y , x ( k

Secara analog, definisi dan teorema tersebut juga berlaku untuk suatu fungsi dengan dua variabel

         



, b t t a semua untuk ) t t )( t ( k ) t ( k ) t ( k

₂ ₁ ₁ ₂ ₂ _' ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ^' ₂ ₁

         

         

    

Teorema 2.1

Jika ) t ( k cekung dan mempunyai turunan, maka ) t ( k mempunyai sifat garis singgung yaitu bahwa ) t ( ' k ) t t ( ) t ( k ) t ( k ₂ ₁ ₂ ₁ ₂    untuk semua

( k ) t ( k ) α ) 1 ( t ( k α

) t ) α 1 ( t α

( k ) t ( k ) α ) 1 ( t ( k α

( k ) t ( k )) t ( k ) t ( k ( α

) t

α t t α

( k )) t ( k ) t ( k ( α ) t ) t t ( α

( k ) t ( k ) t ( k ) t ( k ) t ) t t ( α

) lim t ( k ) t ( k α ) t ( k ) t ) t t ( α

α ) t ( k ) t ) t t ( α ( k

  , α  1 , maka diperoleh

Diketahui ) t ( k cekung dan mempunyai turunan di   . b , a . Menggunakan definisi 2.4, untuk setiap   b , a t , t ₂ ₁  dan

Bukti:

 

. b t , t a ₂ ₁

2 ² ² ¹ α ² ¹

² ² ¹ ² ¹ ² ² ² ¹ ² ¹ ² ² ¹ ² ² ¹

² ¹ ² ¹ ² ¹ ² ¹

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

untuk semua   1 dan semua ( x , y ), ( x , y ) dalam domain k .

α ₁ ₁ ₂ ₂ Kemudian apabila k adalah suatu fungsi yang cekung dan mempunyai turunan

di mana-mana, maka k mempunyai sifat garis singgung seperti berikut

k ( x , y )  k ( x , y )  ( x  x ) k ( x , y )  ( x  x ) k ( x , y ) ₂ ₂ ₁ ₁ ₂ _{1 x}

₂

₂ ₂ _{1 y} ₂ ₂ untuk semua titik-titik ( x , y ), ( x , y ) dalam domain . ₁ ₁ ₂ ₂ k B.

DERET TAYLOR B.1. Definisi

Andaikan fungsi x dan semua turunannya x ' , x " , x " ' ,... kontinu pada interval a , b . Misalkan t  a , b , maka untuk nilai-nilai t di sekitar t dan

    t  a , b , x ( t ) dalam deret Taylor

  _{2 m}

( t  t ) ( t  t ) ( t  t )

_{( m )}

x ( t )  x ( t )  x ' ( t )  x " ( t )  ...  x ( t )  ...

1 ! 2 ! m !

Sebelum membahas tentang metode Deret Taylor orde- n lebih lanjut, terlebih dahulu dijelaskan mengenai deret Taylor dengan orde-2 yang dapat dituliskan sebagai berikut:

₂

x ( t  h )  x ( t )  hx ' ( t )  h x " ( t )  R ( t ) ₂ ₃

2 dengan R ( t )  O ( h ) merupakan suku sisa yang sangat kecil nilainya. ₂ Dengan mensubstitusikan t  dan t t  t  h . Bentuk umum deret Taylor _{n n } _{1 n} orde-2 dapat dinyatakan sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1 ² x ( t  h )  x  hx '  h x " (1.1) _{n n n}

dengan x , x ' , dan x " merupakan pendekatan terhadap x ( t ), x ' ( t ), dan _{n n n n n} x " ( t ) . x " ( t ) merupakan turunan kedua dari x ( t ). _{n n n} Dari uraian singkat tersebut, dapat dituliskan bentuk umum metode deret Taylor dengan orde- n pada x ( t  h ) sebagai berikut: _{2 n}

h h _n x ( t  h )  x ( t )  hx ' ( t )  x " ( t )  ...  x ( t )  R ( t ) ( _n 1 . 2 ) _n ₁ 2 ! n !  h _{n } ₁

PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN DALAM MODEL PENYEBARAN PENYAKIT SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI