STUDI TENTANG ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN PENDEKATAN DIFFERENSIAL KALKULUS PADA PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN METODE MODI.
STUDI TENTANG ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PENDEKATAN DIFFERENSIAL KALKULUS PADA
PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN
METODE MODI
Oleh :
Februadin Damanik
NIM 062244510010
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
berkat dan kasih karunia-Nya yang senantiasa memberikan kekuatan, kesabaran,
ketekunan dan hikmat bagi penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan
dengan baik sesuai dengan waktu yang direncanakan. Adapun judul skripsi ini adalah:
Studi Tentang Analisis Sensitivitas Menggunakan Pendekatan Differensial
Kalkulus Pada Persoalan Transportasi Dengan Metode MODI untuk memenuhi
syarat memperoleh gelar sarjana sain di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur penulis mengucapkan
terimakasih yang sedalam-dalamnya kepada berbagai pihak yang telah membantu
menyelesaikan skripsi ini, antara lain Bapak Abil Mansyur S.Si, M.Si, selaku Dosen
Pembimbing Skripsi yang selalu dengan sabar dan ikhlas menuntun langkah penulis
dalam merampungkan skripsi ini, kepada Ibu Nerli Khairani, M.Si, Bapak Drs.Yasifati
Hia, M.Si, dan Bapak Drs.J.Ambarita, M.Pd selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dan masukan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Teristimewa penulis ucapkan terimakasih yang sebanyak-banyaknya kepada
Ayahanda (Alm)J. Damanik, dan Ibunda R. Silalahi, Abang (Janser Damanik/A.Sitopu
dan Reduan Damanik/D.Sinurat) dan Kakak saya (Sarlyde Damanik/M.Sidabutar dan
H.Nora Pida Damanik/E.Panggabean) serta seluruh keluarga atas segala dukungan,
doa dan kasih sayangnya dan juga yang memberi saran dan semangat dalam perjalanan
kuliah hingga selesai.
Dan tak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih untuk semua rekan
seperjuangan yaitu teman-teman seangkatan Matematika Non’dik 06 unimed
khususnya (Timotius Rea Zebua,Daeng Gamael Kaban, Laetta Sihombing, Rikardo
Purba, Domensus, David, Horasdin) yang telah banyak membantu dalam proses
v
penyelesaian skripsi ini, serta teman-teman sepelayanan di IKBKM UNIMED untuk
setiap doa dan dedikasi yang tinggi.
Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan baik dari segi tata bahasa
maupun isi, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi
kesempurnaan skripsi ini. Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi pengembangan
ilmu pengetahuan dan teknologi menuju keberhasilan. Dan ilmu yang didapat penulis
dapat diamalkan untuk kepentingan mulia dan berguna bagi orang lain. Akhirnya atas
semua bantuan, bimbingan dan doa dari semua pihak, penulis mengucapkan terima
kasih.
Medan, Agustus 2013
Penulis,
Februadin Damanik
NIM.062244510010
iii
STUDI TENTANG ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PENDEKATAN DIFFERENSIAL KALKULUS PADA
PERSOALAN TRANSPORTASI
DENGAN METODE MODI
FEBRUADIN DAMANIK (062244510010)
ABSTRAK
Metode MODI merupakan suatu penyelesain yang cukup efektif untuk
menentukan solusi optimal persoalan transportasi. Untuk melakukan analisis sensitivitas
pada solusi optimal persoalan transportasi di gunakan differensial parsial z terhadap x
z
yang didefinisikan sebagai dz dx , dimana dx adalah perubahan parameter. Analisis
x
sensitivitas dilakukan setelah solusi optimal diuji menggunakan algoritma ArshamKhan, karena algoritma ini menghasilkan matriks basis invers. Dari contoh kasus
persoalan transportasi diperoleh kesimpulan bahwa dengan melakukan analisis
sensitivitas, perubahan distribusi dan permintaan yang terjadi pada masalah transportasi
awal yang mengakibatkan perubahan pada nilai solusi optimal tidak memerlukan
perhitungan kembali. Solusi optimal masalah transportasi baru yang dihitung dengan
analisis sensitivitas memiliki hasil yang sama jika dihitung kembali menggunakan
metode MODI. Hasil analisis sensitivitas akan tetap layak dan optimal dengan syarat
memenuhi batasan perubahan untuk masing-masing sumber.
Kata Kunci: Metode MODI, Algoritma Arsham-Khan, Persoalan Transportasi, Analisis
Sensitivitas
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan ............................................................................................
i
Riwayat Hidup .................................................................................................... ii
Abstrak................................................................................................................ iii
Kata Pengantar .................................................................................................... iv
Daftar Isi ............................................................................................................. vi
Daftar Tabel ........................................................................................................viii
Daftar Gambar .................................................................................................... x
BAB I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah ............................................................................ 1
1.2
Batasan Masalah ........................................................................................ 3
1.3
Rumusan Masalah...................................................................................... 3
1.4
Tujuan Penelitian ....................................................................................... 4
1.5
Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4
BAB II. LANDASAN TEORI
2.1
Permasalahan Transportasi ........................................................................ 5
2.2
Persoalan Transportasi ............................................................................... 5
2.2.1 Model Persoalan Transportasi.......................................................... 7
2.2.2 Model Matematika ........................................................................... 9
2.2.3 Metode Pemecahan .......................................................................... 12
2.2.4 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi.............................. 16
2.3
Algoritma Arsham-Khan ........................................................................... 17
2.4
Matriks ....................................................................................................... 21
2.4.1 Eliminasi Gauss-Jourdan .................................................................. 22
vii
2.4.2 Penghitungan Matriks Invers Basis B -1 ............................................. 22
2.5
Analisis sensitivitas.................................................................................... 23
2.5.1 Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Transportasi............................ 25
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ................................................................... 30
3.2
Jenis Penelitian .......................................................................................... 30
3.3
Prosedur Penelitian .................................................................................... 30
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1
Rumusan umum persoalan transportasi ..................................................... 31
4.2
Menentukan jawab layak ........................................................................... 33
4.3
Perhitungan solusi optimal......................................................................... 37
4.3.1 Metode MODI.................................................................................. 37
4.3.2 Algoritma Arsham-Khan ................................................................. 44
4.4
Analisis sensitivitas.................................................................................... 52
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan ............................................................................................... 56
5.2
Saran ......................................................................................................... 56
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Persoalan Transportasi ......................................................................11
Tabel 4.1 Tabel untuk persoalan angkutan .......................................................34
Tabel 4.2 Tabel data distribusi ..........................................................................36
Tabel 4.3 Tabel daftar Biaya Pengangkutan Dari asal ke tujuan ......................36
Tabel 4.4 Persoalan Transportasi ......................................................................37
Tabel 4.5 Metode Sudut Barat Laut ..................................................................37
Tabel 4.6 MODI I..............................................................................................38
Tabel 4.7 Indeks Iij MODI I .............................................................................38
Tabel 4.8 MODI II ............................................................................................39
Tabel 4.9 Indeks Iij MODI II.............................................................................39
Tabel 4.10 MODI III ...........................................................................................40
Tabel 4.11 Indeks Iij MODI III ...........................................................................40
Tabel 4.12 MODI IV...........................................................................................41
Tabel 4.13 Indeks Iij MODI IV ...........................................................................41
Tabel 4.14 MODI V ............................................................................................42
Tabel 4.15 Indeks Iij MODI V.............................................................................42
Tabel 4.16 MODI VI...........................................................................................43
Tabel 4.17 Indeks Iij MODI VI ...........................................................................43
Tabel 4.18 Matriks Tereduksi Baris....................................................................44
ix
Tabel 4.19 Matriks Tereduksi Baris....................................................................45
Tabel 4.20 Tabel Awal Sementara ......................................................................45
Tabel 4.21 Menentukan HVB .............................................................................46
Tabel 4.22 Penambahan HVB .............................................................................47
Tabel 4.23 Uji terminasi iterasi HVB .................................................................48
Tabel 4.24 Uji terminasi iterasi FE .....................................................................48
Tabel 4.25 Transformasi FE................................................................................49
Tabel 4.26 Transformasi FE................................................................................49
Tabel 4.27 Uji terminasi iterasi FE .....................................................................50
Tabel 4.28 Solusi Optimal...................................................................................51
Tabel 4.29 Solusi Umum Arsham-Khan.............................................................53
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Diagram Model Transportasi ......................................................... 9
Gambar 2.2 Representasi Jaringan Model Transportasi ..................................... 10
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan pada persoalan transportasi, maka
dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Solusi Optimal pada permasalahan transportasi dengan menggunakan metode
MODI dapat menghemat biaya transportasi sama seperti penyelesaian dengan
algoritma Arsham-Khan..
2. Analisis sensitivitas persoalan transportasi dilakukan karna adanya perubahan
parameter yaitu perubahan jumlah produksi di setiap asal dan perubahan
permintaan disetiap tujuan. Analisis sensitivitas ini dapat dilakukan setelah
matrik basis invers dan solusi optimum diperoleh dengan menggunakan
algoritma Arsham-Khan dimana solusi optimum yang diperoleh sama dengan
solusi optimum menggunakan metode MODI.
3. Hasil analisis sensitivitas akan tetap layak dan optimal jika perubahan
parameternya memenuhi batasan perubahan-perubahan maksimum untuk setiap
parameter yang diperoleh.
5.2 Saran
Karena analisis sensitivitas pada skripsi ini hanya dilakukan pada
perubahan nilai parameter sebelah kanan kendala, maka ada baiknya untuk
penelitian berikutnya lebih dikembangkan lagi misalnya untuk perubahan biaya
transportasi
DAFTAR PUSTAKA
Aminudin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Jakarta: Erlangga.
http://sierra1010.wordpress.com/2010/07/10/penyelesaian-masalah-assignmentpenugasan-dengan-menggunakan-metode-hungarian/
Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Jakarta: Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas
Indonesia.
Munir, Rinaldi. 2008.Penerapan Hungarian Method untuk Menyelesaikan Personnel
Assignment Problem.ITB.Bandung.
Siangian, P. 2006. Penelitian Operasional. Penerbit Universitas Indonesia. Jakarta.
Siswanto. 2007. Operations Research. Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Supranto, Johannes. 2005. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta:
Universitas Indonesia.
Subagyo. P, Asri. M dan Handoko. H.T. 2000. Dasar-dasar Operations Research.
BPFE-Yogyakarta. Yogyakarta.
Taha, A. Hamdy. 1996. Riset Operasi. Jakarta: Binapura Aksara
Yusup.
D,
(2008).
Analisis
Sensitivitas.
Bandung
:
hhtp//www.word
press.com/dyusp/files2008.pdf.
Wolfe, Carve S. 1985. Linear Programming With Basic and Fortran. Virginia:
Reston Publishing Company.
PENDEKATAN DIFFERENSIAL KALKULUS PADA
PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN
METODE MODI
Oleh :
Februadin Damanik
NIM 062244510010
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
berkat dan kasih karunia-Nya yang senantiasa memberikan kekuatan, kesabaran,
ketekunan dan hikmat bagi penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan
dengan baik sesuai dengan waktu yang direncanakan. Adapun judul skripsi ini adalah:
Studi Tentang Analisis Sensitivitas Menggunakan Pendekatan Differensial
Kalkulus Pada Persoalan Transportasi Dengan Metode MODI untuk memenuhi
syarat memperoleh gelar sarjana sain di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur penulis mengucapkan
terimakasih yang sedalam-dalamnya kepada berbagai pihak yang telah membantu
menyelesaikan skripsi ini, antara lain Bapak Abil Mansyur S.Si, M.Si, selaku Dosen
Pembimbing Skripsi yang selalu dengan sabar dan ikhlas menuntun langkah penulis
dalam merampungkan skripsi ini, kepada Ibu Nerli Khairani, M.Si, Bapak Drs.Yasifati
Hia, M.Si, dan Bapak Drs.J.Ambarita, M.Pd selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dan masukan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Teristimewa penulis ucapkan terimakasih yang sebanyak-banyaknya kepada
Ayahanda (Alm)J. Damanik, dan Ibunda R. Silalahi, Abang (Janser Damanik/A.Sitopu
dan Reduan Damanik/D.Sinurat) dan Kakak saya (Sarlyde Damanik/M.Sidabutar dan
H.Nora Pida Damanik/E.Panggabean) serta seluruh keluarga atas segala dukungan,
doa dan kasih sayangnya dan juga yang memberi saran dan semangat dalam perjalanan
kuliah hingga selesai.
Dan tak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih untuk semua rekan
seperjuangan yaitu teman-teman seangkatan Matematika Non’dik 06 unimed
khususnya (Timotius Rea Zebua,Daeng Gamael Kaban, Laetta Sihombing, Rikardo
Purba, Domensus, David, Horasdin) yang telah banyak membantu dalam proses
v
penyelesaian skripsi ini, serta teman-teman sepelayanan di IKBKM UNIMED untuk
setiap doa dan dedikasi yang tinggi.
Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan baik dari segi tata bahasa
maupun isi, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi
kesempurnaan skripsi ini. Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi pengembangan
ilmu pengetahuan dan teknologi menuju keberhasilan. Dan ilmu yang didapat penulis
dapat diamalkan untuk kepentingan mulia dan berguna bagi orang lain. Akhirnya atas
semua bantuan, bimbingan dan doa dari semua pihak, penulis mengucapkan terima
kasih.
Medan, Agustus 2013
Penulis,
Februadin Damanik
NIM.062244510010
iii
STUDI TENTANG ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PENDEKATAN DIFFERENSIAL KALKULUS PADA
PERSOALAN TRANSPORTASI
DENGAN METODE MODI
FEBRUADIN DAMANIK (062244510010)
ABSTRAK
Metode MODI merupakan suatu penyelesain yang cukup efektif untuk
menentukan solusi optimal persoalan transportasi. Untuk melakukan analisis sensitivitas
pada solusi optimal persoalan transportasi di gunakan differensial parsial z terhadap x
z
yang didefinisikan sebagai dz dx , dimana dx adalah perubahan parameter. Analisis
x
sensitivitas dilakukan setelah solusi optimal diuji menggunakan algoritma ArshamKhan, karena algoritma ini menghasilkan matriks basis invers. Dari contoh kasus
persoalan transportasi diperoleh kesimpulan bahwa dengan melakukan analisis
sensitivitas, perubahan distribusi dan permintaan yang terjadi pada masalah transportasi
awal yang mengakibatkan perubahan pada nilai solusi optimal tidak memerlukan
perhitungan kembali. Solusi optimal masalah transportasi baru yang dihitung dengan
analisis sensitivitas memiliki hasil yang sama jika dihitung kembali menggunakan
metode MODI. Hasil analisis sensitivitas akan tetap layak dan optimal dengan syarat
memenuhi batasan perubahan untuk masing-masing sumber.
Kata Kunci: Metode MODI, Algoritma Arsham-Khan, Persoalan Transportasi, Analisis
Sensitivitas
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan ............................................................................................
i
Riwayat Hidup .................................................................................................... ii
Abstrak................................................................................................................ iii
Kata Pengantar .................................................................................................... iv
Daftar Isi ............................................................................................................. vi
Daftar Tabel ........................................................................................................viii
Daftar Gambar .................................................................................................... x
BAB I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah ............................................................................ 1
1.2
Batasan Masalah ........................................................................................ 3
1.3
Rumusan Masalah...................................................................................... 3
1.4
Tujuan Penelitian ....................................................................................... 4
1.5
Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4
BAB II. LANDASAN TEORI
2.1
Permasalahan Transportasi ........................................................................ 5
2.2
Persoalan Transportasi ............................................................................... 5
2.2.1 Model Persoalan Transportasi.......................................................... 7
2.2.2 Model Matematika ........................................................................... 9
2.2.3 Metode Pemecahan .......................................................................... 12
2.2.4 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi.............................. 16
2.3
Algoritma Arsham-Khan ........................................................................... 17
2.4
Matriks ....................................................................................................... 21
2.4.1 Eliminasi Gauss-Jourdan .................................................................. 22
vii
2.4.2 Penghitungan Matriks Invers Basis B -1 ............................................. 22
2.5
Analisis sensitivitas.................................................................................... 23
2.5.1 Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Transportasi............................ 25
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ................................................................... 30
3.2
Jenis Penelitian .......................................................................................... 30
3.3
Prosedur Penelitian .................................................................................... 30
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1
Rumusan umum persoalan transportasi ..................................................... 31
4.2
Menentukan jawab layak ........................................................................... 33
4.3
Perhitungan solusi optimal......................................................................... 37
4.3.1 Metode MODI.................................................................................. 37
4.3.2 Algoritma Arsham-Khan ................................................................. 44
4.4
Analisis sensitivitas.................................................................................... 52
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan ............................................................................................... 56
5.2
Saran ......................................................................................................... 56
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Persoalan Transportasi ......................................................................11
Tabel 4.1 Tabel untuk persoalan angkutan .......................................................34
Tabel 4.2 Tabel data distribusi ..........................................................................36
Tabel 4.3 Tabel daftar Biaya Pengangkutan Dari asal ke tujuan ......................36
Tabel 4.4 Persoalan Transportasi ......................................................................37
Tabel 4.5 Metode Sudut Barat Laut ..................................................................37
Tabel 4.6 MODI I..............................................................................................38
Tabel 4.7 Indeks Iij MODI I .............................................................................38
Tabel 4.8 MODI II ............................................................................................39
Tabel 4.9 Indeks Iij MODI II.............................................................................39
Tabel 4.10 MODI III ...........................................................................................40
Tabel 4.11 Indeks Iij MODI III ...........................................................................40
Tabel 4.12 MODI IV...........................................................................................41
Tabel 4.13 Indeks Iij MODI IV ...........................................................................41
Tabel 4.14 MODI V ............................................................................................42
Tabel 4.15 Indeks Iij MODI V.............................................................................42
Tabel 4.16 MODI VI...........................................................................................43
Tabel 4.17 Indeks Iij MODI VI ...........................................................................43
Tabel 4.18 Matriks Tereduksi Baris....................................................................44
ix
Tabel 4.19 Matriks Tereduksi Baris....................................................................45
Tabel 4.20 Tabel Awal Sementara ......................................................................45
Tabel 4.21 Menentukan HVB .............................................................................46
Tabel 4.22 Penambahan HVB .............................................................................47
Tabel 4.23 Uji terminasi iterasi HVB .................................................................48
Tabel 4.24 Uji terminasi iterasi FE .....................................................................48
Tabel 4.25 Transformasi FE................................................................................49
Tabel 4.26 Transformasi FE................................................................................49
Tabel 4.27 Uji terminasi iterasi FE .....................................................................50
Tabel 4.28 Solusi Optimal...................................................................................51
Tabel 4.29 Solusi Umum Arsham-Khan.............................................................53
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Diagram Model Transportasi ......................................................... 9
Gambar 2.2 Representasi Jaringan Model Transportasi ..................................... 10
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan pada persoalan transportasi, maka
dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Solusi Optimal pada permasalahan transportasi dengan menggunakan metode
MODI dapat menghemat biaya transportasi sama seperti penyelesaian dengan
algoritma Arsham-Khan..
2. Analisis sensitivitas persoalan transportasi dilakukan karna adanya perubahan
parameter yaitu perubahan jumlah produksi di setiap asal dan perubahan
permintaan disetiap tujuan. Analisis sensitivitas ini dapat dilakukan setelah
matrik basis invers dan solusi optimum diperoleh dengan menggunakan
algoritma Arsham-Khan dimana solusi optimum yang diperoleh sama dengan
solusi optimum menggunakan metode MODI.
3. Hasil analisis sensitivitas akan tetap layak dan optimal jika perubahan
parameternya memenuhi batasan perubahan-perubahan maksimum untuk setiap
parameter yang diperoleh.
5.2 Saran
Karena analisis sensitivitas pada skripsi ini hanya dilakukan pada
perubahan nilai parameter sebelah kanan kendala, maka ada baiknya untuk
penelitian berikutnya lebih dikembangkan lagi misalnya untuk perubahan biaya
transportasi
DAFTAR PUSTAKA
Aminudin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Jakarta: Erlangga.
http://sierra1010.wordpress.com/2010/07/10/penyelesaian-masalah-assignmentpenugasan-dengan-menggunakan-metode-hungarian/
Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Jakarta: Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas
Indonesia.
Munir, Rinaldi. 2008.Penerapan Hungarian Method untuk Menyelesaikan Personnel
Assignment Problem.ITB.Bandung.
Siangian, P. 2006. Penelitian Operasional. Penerbit Universitas Indonesia. Jakarta.
Siswanto. 2007. Operations Research. Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Supranto, Johannes. 2005. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta:
Universitas Indonesia.
Subagyo. P, Asri. M dan Handoko. H.T. 2000. Dasar-dasar Operations Research.
BPFE-Yogyakarta. Yogyakarta.
Taha, A. Hamdy. 1996. Riset Operasi. Jakarta: Binapura Aksara
Yusup.
D,
(2008).
Analisis
Sensitivitas.
Bandung
:
hhtp//www.word
press.com/dyusp/files2008.pdf.
Wolfe, Carve S. 1985. Linear Programming With Basic and Fortran. Virginia:
Reston Publishing Company.