CONTOH MODEL TRANSPORTASI DAN PENYELESAIAN DENGAN NORTH WEST CORNER DAN MODI.
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut
PENYELESAIAN DENGAN NORTH W EST CORNER
feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1
DAN M ODI
dimana m=jumlah baris, dan n=jumlah kolom.
Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu
Sebuah perusahaan saat ini beroperasi dengan 3 buah
ditambahkan
pabrik serta jumlah permintaan dari 3 Kota dengan
sebanyak 0 pada sel kosong yang memiliki ongkos
kapasitas masing-masing sebagai berikut :
terkecil.
Pabrik
Produksi
Kota
A
B
C
Total
90 ton
60 ton
50 ton
200 ton
Solo
Kudus
Tegal
Total
Permintaan
50 ton
110 t on
40 ton
200 ton
A
Pabr ik
Dari pabrik C ke kota Kudus = 10
90
15
20
10
60
60
50
10
19
10
40
110
40
50
20 0
Cek kelayakan
o
o
o
o
Dari pabrik B ke kota Kudus = 20
To tal
8
40
B
To tal
1.
Tegal
5
25
Dari pabrik A ke kota Kudus = 5
Dari pabrik A ke kota Tegal = 8
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
Dari pabrik B ke kota Tegal = 10
2.
Dari pabrik C ke kota Tegal = 19
Total cost (Tabel 1)
o
Total Cost = (50x20) + (40x5) + (60x20) +
(10x10) + (40x19) = 3260
Pertanyaan:
dari pabrik ke Kota tujuan?
50
C
Dari pabrik C ke kota Solo = 25
Berapa total biaya optimal untuk distribusi barang
Kudus
20
Dari pabrik A ke kota Solo = 20
2.
alokasi
Tujuan
Solo
Dari pabrik B ke kota Solo= 15
Bagaimana distribusi barang yang paling optimal
guna memenuhi kebutuhan ketiga Kota tersebut?
dengan
TABEL 1
setiap pabrik ke masing-masing Kota adalah:
1.
dummy
Solusi aw al dengan NWC untuk masalah di atas:
Perkiraan biaya transportasi (dalam ribuan/ ton) dari
sel
B. M enentukan Solusi Optimal dengan M odi
Optimalisasi dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
1.
Hitung nilai indeks baris dan kolom untuk semua sel
terisi; Buat variabel indeks untuk setiap baris dan
kolom, lalu susun persamaan:
Solusi
ui + vj = cij
A. M enentukan Solusi Awal dengan NW C
untuk setiap sel terisi, dimana cij = ongkos per unit
Prosedur:
pada baris ke I kolom ke j. Substitusikan u1 = 0 untuk
1.
memperoleh semua nilai ui dan vj dari sel terisi.
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel
kiri atas. Jika masih ada sisa kapasitas,
alokasikan pada sel di baw ahnya atau di
2.
Hitung nilai indeks perubahan ongkos ĉij (opportunity
cost) dari semua sel kosong dengan rumus:
kanannya sedemikian sehingga kapasitas
ĉij = cij –ui - vj
baris atau kolom terpenuhi.
2.
Ulangi langkah 1 hingga seluruh kapasitas
pada baris atau kolom terpenuhi.
3.
Evaluasi nilai ĉij
o
Jika semua nilai ĉij non-negatif maka tabel
transportasi sudah optimal.
o
Jika masih terdapat ĉij yang bertanda negatif,
Tabel 1 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
maka tabel transportasi belum optimal dan
bernilai negatif. Sel kosong B1 terpilih sebagai
dilakukan perubahan/ perputaran sel isi, dengan
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
prosedur sebagai berikut:
B1-A1-A2-B2
Pilih sel kosong dengan ĉij negatif terbesar
sebesar
minimum(50,60)
yaitu
sebesar 50.
sebagai entering variable (sel kosong yang
Tujuan
akan dilakukan pengisian).
To tal
Solo
Buat loop dengan titik aw al di sel kosong
20
A
tersebut yang menghubungkan sel-sel terisi
sebagai titik sudut loop. Tandai + dan –
To tal
10
60
- 60
10
C
Pilih nilai sel terisi terkecil dari yang bertanda
90
20
+
25
tersebut.
8
+ 40
15
B
Tegal
5
50 -
secara bergantian mulai dari sel kosong
Kudus
50
19
10
40
110
40
50
20 0
negatif (-) untuk dialokasikan ke sel kosong
terpilih. Sesuaikan kapasitas baris dan kolom
Hasilnya adalah Tabel 2 berikut:
akibat perputaran sel isi tersebut.
4.
Ulangi langkah 1 s.d. 3 hingga tabel optimal.
TABEL 2
Tujuan
---------------------------------------------------------------------------
To tal
Solo
Tabel 1 dilakukan optimalisasi dengan metode M ODI.
20
v2
v3
Kudus
Tegal
20
u1
A
u2
B
u3
v1
50
5
15
C
To tal
50
To tal
90
20
10
10
19
10
40
110
40
1.
60
20
20 0
10
60
10
50
19
10
40
110
40
50
20 0
Cek kelayakan
o
o
o
o
50
90
10
C
8
60
25
15
50
25
40
8
90
B
To tal
Tegal
5
A
Hitung indeks baris dan kolom dari sel terisi
Solo
Kudus
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
Sel Terisi
A1
A2
B2
C2
C3
Indeks
u1+v1=20
u1+v2=5
u2+v2=20
u3+v2=10
u3+v3=19
2.
u1=0
v1=20
v2=5
u2=15
u3=5
v3=14
o
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ21=c21-u2-v1
ĉ23=c23-u2-v3
ĉ31=c31-u3-v1
Total Cost = (90x5) + (50x15) + (10x20) +
(10x10) + (40x19) = 2260
3.
Cek optimalisasi Tabel 2
o
Hitung indeks perubahan ongkos dari sel kosong
Sel
Kosong
A3
B1
B3
C1
Total cost (Tabel 2)
ĉij
8-0-14=-6
15-15-20=-20
10-15-14=-19
25-5-20=0
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
B1
B2
C2
C3
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v2=20
u3+v2=10
u3+v3=19
u1=0
v2=5
v1=0
u2=15
u3=5
v3=14
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
o
Sel
Kosong
A1
A3
B3
C1
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ23=c23-u2-v3
ĉ31=c31-u3-v1
3.
Cek optimalisasi Tabel 3
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
o
ĉij
Sel Terisi
A2
B1
B3
C2
C3
20-0-0=+20
8-0-14=-6
10-15-14=-19
25-5-0=+20
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u3+v3=19
u1=0
v2=5
v1=19
u2=-4
u3=5
v3=14
Tabel 2 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong B3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
B3-B2-C2-C3
sebesar
minimum(10,40)
yaitu
sebesar 10.
Tujuan
Solo
Kudus
20
A
To tal
Tegal
5
8
90
90
15
B
50
20
C
To tal
50
Sel
Kosong
A1
A3
B2
C1
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉij
20-0-19=+1
8-0-14=-6
20-(-4)-19=+5
25-5-19=+1
10
10 25
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
o
60
+
10
19
10 +
- 40
110
40
50
Tabel 3 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong A3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
20 0
A3-A2-C2-C3
sebesar
minimum(90,30)
yaitu
sebesar 30.
Hasilnya adalah Tabel 3 berikut:
Tujuan
TABEL 3
Solo
20
Tujuan
Solo
Kudus
20
A
5
15
To tal
50
A
90
B
60
C
10
30
110
40
To tal
20 0
50
10
60
10
19
20+
- 30
110
40
50
20 0
Hasilnya adalah Tabel 4 berikut:
TABEL 4
Tujuan
To tal
Solo
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Kudus
20
A
5
15
B
8
20
10
10
19
50
50
50
60
10
25
Total Cost = (90x5) + (50x15) + (10x10) +
90
30
50
C
To tal
Tegal
60
Tabel 3 feasible (layak) karena jumlah sel
(20x10) + (30x19) = 2070
20
10
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Total cost (Tabel 3)
o
90
50
terisi = m+n-1
2.
8
+
50
Cek kelayakan Tabel 3
5
25
19
20
To tal
Tegal
9015
10
10
25
To tal
8
20
50
C
1.
Tegal
90
B
Kudus
110
40
20 0
1.
Cek kelayakan Tabel 4
lebih dari 1 sel dengan ongkos terkecil, pilih
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
salah satu.
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
2.
m+n-1 = 3+3-1=5;
Ulangi langkah 1 hingga seluruh kapasitas
pada baris atau kolom terpenuhi.
Tabel 4 feasible (layak) karena jumlah sel
terisi = m+n-1
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut
feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1
2.
Total cost (Tabel 4)
dimana m=jumlah baris, dan n=jumlah kolom.
Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu
3.
Total cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) +
(10x10) + (50x10) = 1890
Cek optimalisasi Tabel 4
o
o
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
A3
B1
B3
C2
Indeks
u1+v2=5
u1+v3=8
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u1=0
v2=5
v3=8
v1=13
u2=2
u3=3
ditambahkan
sel
dengan
dummy
alokasi
sebanyak 0 pada sel yang kosong.
Solusi aw al dengan metode inspeksi untuk
masalah di atas:
1.
Ongkos terkecil terdapat pada sel B2,
isikan dengan kapasitas penuh sebesar
90. Akibatnya, kapasitas baris A sudah
terpenuhi.
2.
Ongkos terkecil berikutnya yanag layak
terdapat pada sel B3, isikan dengan
kapasitas penuh sebesar 40. Akibatnya
o
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
kapasitas kolom Tegal sudah terpenuhi.
3.
ĉij
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel C2, isikan dengan
kapasitas penuh sebesar 20 (karena
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
hanya
tersisa
20
untuk
kolom
Akibatnya kapasitas kolom
C.
C sudah
terpenuhi.
4.
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel B1, isikan dengan
Tabel 4 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang
kapasitas penuh sebesar 20 (karena
bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
hanya
tersisa
Akibatnya
20
untuk
kapasitas
baris
baris
B
B).
sudah
terpenuhi.
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN
5.
PENYELESAIAN DENGAN INSPEKSI (ONGKOS
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel C1, isikan sisa kapasitas
TERKECIL/ LEAST COST) DAN M ODI
yang masih mungkin (sebesar 30).
Contoh:
6.
Hasil alokasi dinyatakan pada Tabel 1:
TABEL 1
Lihat kembali persoalan di atas. Jika matriks solusi aw al
menggunakan metode inspeksi (ongkos terkecil) dan
Tujuan
Solo
penyelesaian optimalnya menggunakan stepping stone,
20
dapat dilakukan sebagai berikut:
Prosedur:
1.
A
Pabr ik
A. M enentukan Solusi Awal dengan Inspeksi
To tal
90
20
20
10
60
40
10
30
20
50
110
To tal
8
90
25
C
Tegal
5
15
B
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel
yang memiliki ongkos terkecil. Jika terdapat
Kudus
19
50
40
20 0
1.
Cek kelayakan (Tabel 1)
o
o
o
o
Tujuan
To tal
Solo
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
20
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
A
m+n-1 = 3+3-1=5;
To tal
90
20
10
60
-40
25
Total Cost = (90x5) + (20x15) + (40x10) +
8
+
20+
C
Total cost (Tabel 1)
o
5
15
B
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
Tegal
90-
jumlah sel terisi = m+n-1
2.
Kudus
10
30-
20+
50
110
19
50
40
20 0
Hasilnya adalah Tabel 2 berikut:
(30x25) + (20x10) = 2100
TABEL 2
B. M enentukan Solusi Optimal dengan M oDi
Tujuan
To tal
Lihat prosedur menggunakan metode M oDi pada cont oh
Solo
20
sebelumnya.
A
Hitung indeks baris dan kolom dari sel terisi
v1
v2
v3
Solo
Kudus
Tegal
20
u1
A
5
B
u3
C
20
20
20
110
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v1=25
u3+v2=10
1.
60
60
10
19
50
50
110
40
20 0
Cek kelayakan (Tabel 2)
o
o
19
50
40
20 0
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ33=c33-u3-v3
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
2.
Total cost (Tabel 2)
Total Cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) +
(10x10) + (50x10) = 1890
u1=0
v2=5
u2=-5
v3=15
v1=20
u3=5
3.
Cek optimalisasi Tabel 2
o
Hitung indeks perubahan ongkos dari sel kosong
Sel
Kosong
A1
A3
B2
C3
10
50
To tal
o
Sel Terisi
A2
B1
B3
C1
C2
20
25
10
10
50
90
10
C
40
30
15
8
30
50
To tal
90
25
To tal
5
60
B
8
Tegal
90
15
u2
Kudus
ĉij
20-0-20=0
8-0-15=-7
20-(-5)-5=+20
19-5-15=-1
Tabel 1 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong A3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop A3-
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
Indeks
u1=0
A2
u1+v2=5
v2=5
A3
u1+v3=8
v3=8
B1
u2+v1=15
v1=13
B3
u2+v3=10
u2=2
C2
u3+v2=10
u3=3
o Hitung indeks perubahan ongkos sel
kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
ĉij
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
B3-B1-C1-C2-A2 sebesar minimum(40,30,90) yaitu
sebesar 90, sebagai berikut:
Tabel 2 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang
bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN PENYELESAIAN DENGAN VAM (VOGEL APPROXIM ATION
M ETHOD) DAN M ODI
Contoh:
Lihat kembali persoalan di atas. Jika matriks solusi aw al menggunakan metode VAM dan penyelesaian optimalnya
menggunakan stepping stone, dapat dilakukan sebagai berikut:
A. M enentukan Solusi Awal dengan VAM
Prosedur:
1.
Hitung nilai pinalti (selisih 2 ongkos terkecil) pada semua baris dann kolom .
2.
Pilih nilai pinalti kolom/ baris terbesar.
3.
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel dengan ongkos terkecil dari kolom/ baris pinalti
terbesar/ terpilih.
4.
Ulangi langkah 1 s.d. 3 hingga semua kapasitas baris/ kolom terpenuhi.
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1 dimana m=jumlah
baris, dan n=jumlah kolom. Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu ditambahkan sel dummy dengan
alokasi sebanyak 0 pada sel yang kosong.
Solusi aw al dengan metode VAM untuk masalah di atas:
TABEL 1
A
Tujuan
Kudus
5
60
20
Solo
20
B
15
50
C
25
Kap 50
Pinalti
1
2
3
4
5
1.
5
5
5
15
-
5
15
-
Pinalti
3
4
Kap
1
2
5
90
3
3
12
-
-
60
5
5
5
5
10
50
9
-
-
-
-
40
2
2
2
10
10
Cek kelayakan (Tabel 1)
o
o
2.
10
50
110
Tegal
8
30
10
10
19
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena jumlah sel terisi = m+n-1
Total cost (Tabel 2)
o
Total Cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) + (10x10) + (50x10) = 1890
3.
Cek optimalisasi Tabel 1
o
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
A3
B1
B3
C2
o
Indeks
u1+v2=5
u1+v3=8
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u1=0
v2=5
v3=8
v1=13
u2=2
u3=3
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
ĉij
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
Tabel 1 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
Catatan:
Dari cont oh tersebut di atas, tampak bahw a penggunaan metode VAM merupakan pendekatan terbaik dalam
menentukan solusi aw al permasalahan transportasi karena lebih cepat dalam mencapai solusi optimal.
24/ 11/ 2014 by Aris M arjuni
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut
PENYELESAIAN DENGAN NORTH W EST CORNER
feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1
DAN M ODI
dimana m=jumlah baris, dan n=jumlah kolom.
Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu
Sebuah perusahaan saat ini beroperasi dengan 3 buah
ditambahkan
pabrik serta jumlah permintaan dari 3 Kota dengan
sebanyak 0 pada sel kosong yang memiliki ongkos
kapasitas masing-masing sebagai berikut :
terkecil.
Pabrik
Produksi
Kota
A
B
C
Total
90 ton
60 ton
50 ton
200 ton
Solo
Kudus
Tegal
Total
Permintaan
50 ton
110 t on
40 ton
200 ton
A
Pabr ik
Dari pabrik C ke kota Kudus = 10
90
15
20
10
60
60
50
10
19
10
40
110
40
50
20 0
Cek kelayakan
o
o
o
o
Dari pabrik B ke kota Kudus = 20
To tal
8
40
B
To tal
1.
Tegal
5
25
Dari pabrik A ke kota Kudus = 5
Dari pabrik A ke kota Tegal = 8
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
Dari pabrik B ke kota Tegal = 10
2.
Dari pabrik C ke kota Tegal = 19
Total cost (Tabel 1)
o
Total Cost = (50x20) + (40x5) + (60x20) +
(10x10) + (40x19) = 3260
Pertanyaan:
dari pabrik ke Kota tujuan?
50
C
Dari pabrik C ke kota Solo = 25
Berapa total biaya optimal untuk distribusi barang
Kudus
20
Dari pabrik A ke kota Solo = 20
2.
alokasi
Tujuan
Solo
Dari pabrik B ke kota Solo= 15
Bagaimana distribusi barang yang paling optimal
guna memenuhi kebutuhan ketiga Kota tersebut?
dengan
TABEL 1
setiap pabrik ke masing-masing Kota adalah:
1.
dummy
Solusi aw al dengan NWC untuk masalah di atas:
Perkiraan biaya transportasi (dalam ribuan/ ton) dari
sel
B. M enentukan Solusi Optimal dengan M odi
Optimalisasi dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
1.
Hitung nilai indeks baris dan kolom untuk semua sel
terisi; Buat variabel indeks untuk setiap baris dan
kolom, lalu susun persamaan:
Solusi
ui + vj = cij
A. M enentukan Solusi Awal dengan NW C
untuk setiap sel terisi, dimana cij = ongkos per unit
Prosedur:
pada baris ke I kolom ke j. Substitusikan u1 = 0 untuk
1.
memperoleh semua nilai ui dan vj dari sel terisi.
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel
kiri atas. Jika masih ada sisa kapasitas,
alokasikan pada sel di baw ahnya atau di
2.
Hitung nilai indeks perubahan ongkos ĉij (opportunity
cost) dari semua sel kosong dengan rumus:
kanannya sedemikian sehingga kapasitas
ĉij = cij –ui - vj
baris atau kolom terpenuhi.
2.
Ulangi langkah 1 hingga seluruh kapasitas
pada baris atau kolom terpenuhi.
3.
Evaluasi nilai ĉij
o
Jika semua nilai ĉij non-negatif maka tabel
transportasi sudah optimal.
o
Jika masih terdapat ĉij yang bertanda negatif,
Tabel 1 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
maka tabel transportasi belum optimal dan
bernilai negatif. Sel kosong B1 terpilih sebagai
dilakukan perubahan/ perputaran sel isi, dengan
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
prosedur sebagai berikut:
B1-A1-A2-B2
Pilih sel kosong dengan ĉij negatif terbesar
sebesar
minimum(50,60)
yaitu
sebesar 50.
sebagai entering variable (sel kosong yang
Tujuan
akan dilakukan pengisian).
To tal
Solo
Buat loop dengan titik aw al di sel kosong
20
A
tersebut yang menghubungkan sel-sel terisi
sebagai titik sudut loop. Tandai + dan –
To tal
10
60
- 60
10
C
Pilih nilai sel terisi terkecil dari yang bertanda
90
20
+
25
tersebut.
8
+ 40
15
B
Tegal
5
50 -
secara bergantian mulai dari sel kosong
Kudus
50
19
10
40
110
40
50
20 0
negatif (-) untuk dialokasikan ke sel kosong
terpilih. Sesuaikan kapasitas baris dan kolom
Hasilnya adalah Tabel 2 berikut:
akibat perputaran sel isi tersebut.
4.
Ulangi langkah 1 s.d. 3 hingga tabel optimal.
TABEL 2
Tujuan
---------------------------------------------------------------------------
To tal
Solo
Tabel 1 dilakukan optimalisasi dengan metode M ODI.
20
v2
v3
Kudus
Tegal
20
u1
A
u2
B
u3
v1
50
5
15
C
To tal
50
To tal
90
20
10
10
19
10
40
110
40
1.
60
20
20 0
10
60
10
50
19
10
40
110
40
50
20 0
Cek kelayakan
o
o
o
o
50
90
10
C
8
60
25
15
50
25
40
8
90
B
To tal
Tegal
5
A
Hitung indeks baris dan kolom dari sel terisi
Solo
Kudus
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
Sel Terisi
A1
A2
B2
C2
C3
Indeks
u1+v1=20
u1+v2=5
u2+v2=20
u3+v2=10
u3+v3=19
2.
u1=0
v1=20
v2=5
u2=15
u3=5
v3=14
o
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ21=c21-u2-v1
ĉ23=c23-u2-v3
ĉ31=c31-u3-v1
Total Cost = (90x5) + (50x15) + (10x20) +
(10x10) + (40x19) = 2260
3.
Cek optimalisasi Tabel 2
o
Hitung indeks perubahan ongkos dari sel kosong
Sel
Kosong
A3
B1
B3
C1
Total cost (Tabel 2)
ĉij
8-0-14=-6
15-15-20=-20
10-15-14=-19
25-5-20=0
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
B1
B2
C2
C3
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v2=20
u3+v2=10
u3+v3=19
u1=0
v2=5
v1=0
u2=15
u3=5
v3=14
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
o
Sel
Kosong
A1
A3
B3
C1
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ23=c23-u2-v3
ĉ31=c31-u3-v1
3.
Cek optimalisasi Tabel 3
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
o
ĉij
Sel Terisi
A2
B1
B3
C2
C3
20-0-0=+20
8-0-14=-6
10-15-14=-19
25-5-0=+20
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u3+v3=19
u1=0
v2=5
v1=19
u2=-4
u3=5
v3=14
Tabel 2 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong B3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
B3-B2-C2-C3
sebesar
minimum(10,40)
yaitu
sebesar 10.
Tujuan
Solo
Kudus
20
A
To tal
Tegal
5
8
90
90
15
B
50
20
C
To tal
50
Sel
Kosong
A1
A3
B2
C1
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉij
20-0-19=+1
8-0-14=-6
20-(-4)-19=+5
25-5-19=+1
10
10 25
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
o
60
+
10
19
10 +
- 40
110
40
50
Tabel 3 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong A3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop
20 0
A3-A2-C2-C3
sebesar
minimum(90,30)
yaitu
sebesar 30.
Hasilnya adalah Tabel 3 berikut:
Tujuan
TABEL 3
Solo
20
Tujuan
Solo
Kudus
20
A
5
15
To tal
50
A
90
B
60
C
10
30
110
40
To tal
20 0
50
10
60
10
19
20+
- 30
110
40
50
20 0
Hasilnya adalah Tabel 4 berikut:
TABEL 4
Tujuan
To tal
Solo
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
m+n-1 = 3+3-1=5;
Kudus
20
A
5
15
B
8
20
10
10
19
50
50
50
60
10
25
Total Cost = (90x5) + (50x15) + (10x10) +
90
30
50
C
To tal
Tegal
60
Tabel 3 feasible (layak) karena jumlah sel
(20x10) + (30x19) = 2070
20
10
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Total cost (Tabel 3)
o
90
50
terisi = m+n-1
2.
8
+
50
Cek kelayakan Tabel 3
5
25
19
20
To tal
Tegal
9015
10
10
25
To tal
8
20
50
C
1.
Tegal
90
B
Kudus
110
40
20 0
1.
Cek kelayakan Tabel 4
lebih dari 1 sel dengan ongkos terkecil, pilih
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
salah satu.
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
2.
m+n-1 = 3+3-1=5;
Ulangi langkah 1 hingga seluruh kapasitas
pada baris atau kolom terpenuhi.
Tabel 4 feasible (layak) karena jumlah sel
terisi = m+n-1
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut
feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1
2.
Total cost (Tabel 4)
dimana m=jumlah baris, dan n=jumlah kolom.
Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu
3.
Total cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) +
(10x10) + (50x10) = 1890
Cek optimalisasi Tabel 4
o
o
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
A3
B1
B3
C2
Indeks
u1+v2=5
u1+v3=8
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u1=0
v2=5
v3=8
v1=13
u2=2
u3=3
ditambahkan
sel
dengan
dummy
alokasi
sebanyak 0 pada sel yang kosong.
Solusi aw al dengan metode inspeksi untuk
masalah di atas:
1.
Ongkos terkecil terdapat pada sel B2,
isikan dengan kapasitas penuh sebesar
90. Akibatnya, kapasitas baris A sudah
terpenuhi.
2.
Ongkos terkecil berikutnya yanag layak
terdapat pada sel B3, isikan dengan
kapasitas penuh sebesar 40. Akibatnya
o
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
kapasitas kolom Tegal sudah terpenuhi.
3.
ĉij
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel C2, isikan dengan
kapasitas penuh sebesar 20 (karena
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
hanya
tersisa
20
untuk
kolom
Akibatnya kapasitas kolom
C.
C sudah
terpenuhi.
4.
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel B1, isikan dengan
Tabel 4 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang
kapasitas penuh sebesar 20 (karena
bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
hanya
tersisa
Akibatnya
20
untuk
kapasitas
baris
baris
B
B).
sudah
terpenuhi.
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN
5.
PENYELESAIAN DENGAN INSPEKSI (ONGKOS
Ongkos terkecil berikutnya yang layak
terdapat pada sel C1, isikan sisa kapasitas
TERKECIL/ LEAST COST) DAN M ODI
yang masih mungkin (sebesar 30).
Contoh:
6.
Hasil alokasi dinyatakan pada Tabel 1:
TABEL 1
Lihat kembali persoalan di atas. Jika matriks solusi aw al
menggunakan metode inspeksi (ongkos terkecil) dan
Tujuan
Solo
penyelesaian optimalnya menggunakan stepping stone,
20
dapat dilakukan sebagai berikut:
Prosedur:
1.
A
Pabr ik
A. M enentukan Solusi Awal dengan Inspeksi
To tal
90
20
20
10
60
40
10
30
20
50
110
To tal
8
90
25
C
Tegal
5
15
B
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel
yang memiliki ongkos terkecil. Jika terdapat
Kudus
19
50
40
20 0
1.
Cek kelayakan (Tabel 1)
o
o
o
o
Tujuan
To tal
Solo
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
20
Jumlah Baris m=3; Jumlah Kolom n=3;
A
m+n-1 = 3+3-1=5;
To tal
90
20
10
60
-40
25
Total Cost = (90x5) + (20x15) + (40x10) +
8
+
20+
C
Total cost (Tabel 1)
o
5
15
B
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
Tegal
90-
jumlah sel terisi = m+n-1
2.
Kudus
10
30-
20+
50
110
19
50
40
20 0
Hasilnya adalah Tabel 2 berikut:
(30x25) + (20x10) = 2100
TABEL 2
B. M enentukan Solusi Optimal dengan M oDi
Tujuan
To tal
Lihat prosedur menggunakan metode M oDi pada cont oh
Solo
20
sebelumnya.
A
Hitung indeks baris dan kolom dari sel terisi
v1
v2
v3
Solo
Kudus
Tegal
20
u1
A
5
B
u3
C
20
20
20
110
Indeks
u1+v2=5
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v1=25
u3+v2=10
1.
60
60
10
19
50
50
110
40
20 0
Cek kelayakan (Tabel 2)
o
o
19
50
40
20 0
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ13=c13-u1-v3
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ33=c33-u3-v3
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena
jumlah sel terisi = m+n-1
2.
Total cost (Tabel 2)
Total Cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) +
(10x10) + (50x10) = 1890
u1=0
v2=5
u2=-5
v3=15
v1=20
u3=5
3.
Cek optimalisasi Tabel 2
o
Hitung indeks perubahan ongkos dari sel kosong
Sel
Kosong
A1
A3
B2
C3
10
50
To tal
o
Sel Terisi
A2
B1
B3
C1
C2
20
25
10
10
50
90
10
C
40
30
15
8
30
50
To tal
90
25
To tal
5
60
B
8
Tegal
90
15
u2
Kudus
ĉij
20-0-20=0
8-0-15=-7
20-(-5)-5=+20
19-5-15=-1
Tabel 1 belum optimal, karena masih ada ĉij yang
bernilai negatif. Sel kosong A3 terpilih sebagai
entering variable dan akan diisi berdasarkan loop A3-
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
Indeks
u1=0
A2
u1+v2=5
v2=5
A3
u1+v3=8
v3=8
B1
u2+v1=15
v1=13
B3
u2+v3=10
u2=2
C2
u3+v2=10
u3=3
o Hitung indeks perubahan ongkos sel
kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
ĉij
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
B3-B1-C1-C2-A2 sebesar minimum(40,30,90) yaitu
sebesar 90, sebagai berikut:
Tabel 2 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang
bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
CONTOH M ODEL TRANSPORTASI DAN PENYELESAIAN DENGAN VAM (VOGEL APPROXIM ATION
M ETHOD) DAN M ODI
Contoh:
Lihat kembali persoalan di atas. Jika matriks solusi aw al menggunakan metode VAM dan penyelesaian optimalnya
menggunakan stepping stone, dapat dilakukan sebagai berikut:
A. M enentukan Solusi Awal dengan VAM
Prosedur:
1.
Hitung nilai pinalti (selisih 2 ongkos terkecil) pada semua baris dann kolom .
2.
Pilih nilai pinalti kolom/ baris terbesar.
3.
Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel dengan ongkos terkecil dari kolom/ baris pinalti
terbesar/ terpilih.
4.
Ulangi langkah 1 s.d. 3 hingga semua kapasitas baris/ kolom terpenuhi.
Catatan: Solusi aw al matriks transportasi disebut feasible jika jumlah sel terisi adalah m+n-1 dimana m=jumlah
baris, dan n=jumlah kolom. Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu ditambahkan sel dummy dengan
alokasi sebanyak 0 pada sel yang kosong.
Solusi aw al dengan metode VAM untuk masalah di atas:
TABEL 1
A
Tujuan
Kudus
5
60
20
Solo
20
B
15
50
C
25
Kap 50
Pinalti
1
2
3
4
5
1.
5
5
5
15
-
5
15
-
Pinalti
3
4
Kap
1
2
5
90
3
3
12
-
-
60
5
5
5
5
10
50
9
-
-
-
-
40
2
2
2
10
10
Cek kelayakan (Tabel 1)
o
o
2.
10
50
110
Tegal
8
30
10
10
19
Jumlah sel terisi = 5 (sel basis)
Solusi aw al tersebut feasible (layak) karena jumlah sel terisi = m+n-1
Total cost (Tabel 2)
o
Total Cost = (60x5) + (30x8) + (50x15) + (10x10) + (50x10) = 1890
3.
Cek optimalisasi Tabel 1
o
Hitung indeks baris dan kolom sel terisi
Sel Terisi
A2
A3
B1
B3
C2
o
Indeks
u1+v2=5
u1+v3=8
u2+v1=15
u2+v3=10
u3+v2=10
u1=0
v2=5
v3=8
v1=13
u2=2
u3=3
Hitung indeks perubahan ongkos sel kosong
Sel
Kosong
A1
B2
C1
C3
Indeks Prbhn.
Ongkos
ĉ11=c11-u1-v1
ĉ22=c22-u2-v2
ĉ31=c31-u3-v1
ĉ33=c33-u3-v3
ĉij
20-0-13=+7
20-2-5=+13
25-3-13=+9
19-3-8=+8
Tabel 1 sudah optimal, karena ridak ada ĉij yang bernilai negatif dengan total cost sebesar 1890.
Catatan:
Dari cont oh tersebut di atas, tampak bahw a penggunaan metode VAM merupakan pendekatan terbaik dalam
menentukan solusi aw al permasalahan transportasi karena lebih cepat dalam mencapai solusi optimal.
24/ 11/ 2014 by Aris M arjuni