Logika Matematika (1)Logika Matematika (1) Logika Matematika (1)

LOGIKA MATEMATIKA
RESUME MATEMATIKA DASAR

Oleh:
Dwi Rahmasari Kinasih Gusti

161810101042

Khurnia Palupi

161810101046

Wahyu Gumilang

161810101062

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
2016

LOGIKA MATEMATIKA
1. Pengertian Umum Logika
Definisi logika memiliki rumusan yang berbeda menurut para ahli
meskipun sebenarnya rumusan-rumusan tersebut intinya adalah hal yang sama.
Seperti “Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struktur proposisi dan
syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode
yang mengesampingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk
logisnya saja. (Soekadijo,1983)
Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan dapat
di uji kebenarannya secara matematika. (Irfan,2010)
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi
(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar pernyataan dan logika
penghubung atau predikat (predicate logic) yang menelaah manipulasi
hubungan relasioanal antara pernyataan pertama dengan pernyataan kedua. Oleh
karena itu logika matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar
pernyataan matematika (mathematical Statement). (Irfan,2010)
Notasi merupakan suatu alat bantu yang digunakan untuk menyatakan
sesuatu. Notasi digunakan untuk menyingkat kalimat verbal dengan suatu simbol
yang ringkas. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan
notasi, seperti:

1. Ada beberapa simbol yang telah secara tetap sudah digunakan untuk
menunjukkan hal-hal tertentu. Misalnya, notasi π digunakan untuk lambang
bilangan irasional 3,1415....
2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek, maka simbol
tersebut digunakan untuk objek tersebut. (Tirta,2002)
Namun sebelum melangkah lebih jauh, kita perlu memahami terlebih
dahulu pengertian pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan
definisi suatu pernyataan :
A. Pengertian
1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya.

Atau dengan kata lain kalimat yang masih bervariabel. Contoh :
a. 2x + 5 = 7
b. x2 + 1 = 10
c. Jarak kota A dan kota B 200 km
d. Usia A lebih muda dari B, dll.
2. Pernyataan
Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi pernyataan. Dan
pernyataan

tersebut dapat bernilai salah atau benar.
Contoh pernyataan
a. 2 x 5 = 10
b. 20 : 2 = 6
c. Toni lebih muda dari Susi
Pernyataan a bernilai benar
Pernyataan b bernilai salah
Pernyataan c bisa benar atau salah
Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang
mempunyai tepat satu nilai
kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus
keduanya.(Irfan,2010)

2.1 Pernyataan Tunggal dan Negasinya
Pernyataan disebut juga dengan kalimat deklaratif, stetemen, maupun
proposisi. Akan tetapi ada beberapa ahli yang membedakan istilah pernyataan dan
proposisi, namun ada pula yang menyamakannya. Pernyataan sendiri merupakan
suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya. Istilah
benar dan salah merupakan istilah bagi kita yang menganggap pernyataan tersebut
bernilai benar ataupun pernyataan tersebut bernilai salah karena sudah ada acuan

untuk hal tersebut. Contoh:
1.

Belalang adalah serangga

2.

Lumajang merupakan kota pisang di Jawa Timur

Operasi ini merupakan operasi monar yaitu suatu operasi yang dikenakan pada
satu pernyataan yang dilambangkan dengan “~“. Ingkaran dari pernyataan p
adalah ~ p yang dibaca “bukan p”. Jadi operasi ingkaran adalah operasi yang
mengingkari suatu pernyataan.
Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh
dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada
pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang
atau ~p. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah
begitupun sebaliknya. Berikut ini tabel kebenaran untuk negasi:
P
B

S

~p
S
B

Pernyataan tunggal yaitu pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan.
Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf-huruf kecil seperti p
dan q.
Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggal
p : 3 adalah bilangan ganjil
q : 7 adalah bilangan prima
r : 10 adalah bilangan berlebih/abundan
(i)

nilai kebenaran p adalah benar,τ(p) = B (benar)

(ii)

nilai kebenaran q adalah salah, τ(q) = B (benar)

(iii)

nilai kebenaran r adalah salah, τ(r) = S (salah)

Tabel Kebenaran Negasi Pernyataan Tunggal
P
B

¬p
S

S

B

Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan yang bernilai salah jika p benar
dan bernilai benar jika p salah.

p : Lima (5) adalah bilangan prima;

q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan.
Jawab :
Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan tersebut
pertama kita buat pernyataan berikut :
¬p : tidak benar 5 adalah bilangan prima;
: lima (5) adalah bukan bilangan prima;
¬q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/(Tirta,2002)
2.2 Pernyataan majemuk dan negasinya
1. Konjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi biner yaitu suatu operasi yang
dikenakan pada dua pernyataan yang dilambangkan dengan tanda “˄”. Dua
pernyataan pada operasi ini ditulis dengan kata “dan”.
Jika p dan q dua pernyataan , maka p ˄q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya p˄q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
salah atau keduanya salah. Berikut ini tabel nilai kebenaran untuk operasi
konjungsi:
P

Q

p∧q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

(Apriyanti, Shariyah, 2013)
Contoh :
r : Rina suka membaca buku
s : Rina suka menonton tv
r ∧ s : Rina suka membaca buku dan menonton tv
Negasi Konjungsi
P
B
B
S

q
B
S

B

p∧q
B
S
S

¬(p ∧ q)
S
B
B

S

S

S

B

Contoh :
Pernyataan : p

Pernyataan : q
Sragen termasuk ke
SMK 1 Sragen berada di
dalam wilayah Jawa
Kabupaten Sragen (B)
Tengah (B)
Jumlah sudut dalam suatu Besar sudut segitiga sama
segitiga selalu 180° (B)
sisi adalah 90° (S)
Dua adalah bilangan
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
prima (B)
2 + 6 = 7 (S)
6 = 7 – 2 (S)

p^q
B
S
S
S

Konjungsi
Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
p^q
adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai
benar,dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah(Ary,2008)

2. Disjungsi
Operasi disjungsi juga merupakan operasi biner yang dilambangkan dengan tanda
”v”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan
“atau”. (Apriyanti, Shariyah, 2013)

P

Q

p∨q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Contoh:
p : Kiki meminjam flashdisk
q : Kiki sedang sarapan
pvq : Kiki meminjam flashdisk atau sedang sarapan
Contoh:

Pernyataan : p
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)

Pernyataan : q
Sragen termasuk ke
dalam
wilayah Jawa Tengah (B)
Jumlah sudut dalam suatu Besar sudut segitiga sama
segi
sisi
tiga selalu 180o (B)
adalah 90o (S)
Dua adalah bilangan
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
prima (B)
2 + 6 = 7 (S)
6 = 7 – 2 (S)

p Vq
B
B
B
S

Negasi Disjungsi
P
B
B
S
S

Q
B
S
B
S

p∨q
B
B
B
S

¬( p ∨ q)
S
S
S
B

Disjungsi Inklusif yaitu apabila dalam suatu pernyataan terdapat salah satu atau
kedua komponennya bernilai benar.
P

Q

p∨q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Disjungsi Eksklusif yaitu apabila dalam suatu pernyataan terdapat salah satu
diantaranya bernilai benar saja.
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p∨ q
S
B
B
S

Disjungsi :
Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
”pVq”
adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau
keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah(Ary,2008)

3. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar tanpa
memandang nilai kebenaran komponennya. Tautologi dilambangkan dengan hiruf
T.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai
salah tanpa memandang nilai kebenaran dari komponennya. Kontradiksi
dilambangkan dengan huruf F.
Contoh:
(i) p ∨ (¬p) adalah suatu tautologi.
(ii) p ∧ (¬p) adalah suatu kontradiksi.
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi tersebut dapat dilihat:
P

¬p

p ∨ (¬p)

p∧q

B

S

B

S

S

B

B

S

Contoh
Tunjukkan bahwa p∨~p adalah tautology dan p∧~p adalah kontradiksi
Jawab
p

~p

p∨~p

B
S

S
B

B
B

p∧~
p
S
S

Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa p∨~p adalah Tautologi dan p∧~p
adalah Kontradiksi.
Contoh

Tunjukkan bahwa pernyataan (p→q) → ~q adalah tautology
Jawab :
p

q

p→q

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
B
B

(p→q
)
S
B
S
S

~q

(p→q) → ~q

S
B
B
B

B
B
B
B

Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (p→q) → ~q adalah tautology

DEFINISI
Tautologi:
Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut
bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Kontradiksi:
Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut
bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
(Ary,2008)

Tambahan
Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil operasi
dari beberapa pernyataan dengan perakit-perakit pernyataan sebagai operasi
hitung. Sedangkan sebagai pengganti kesamaan dalam logika kita mengenal
ekuivalensi, (≡).
Operasi beserta pernyataannya ini dikenal dengan istilah aljabar
pernyataan atau kalkulus pernyataan. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika
pernyataan-pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk
setiap keadaan komponennya .
Jika τ P (pl, p2, ..., pn) = τ Q(ql, q2, ..., qn) maka P (pl, p2, ..., pn) ≡ Q(ql,
q2, ..., qn).

Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat
rangkap atau dual dari suatu pernyataan majemuk.
Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P(p1, p2, · · · , pn) adalah bentuk
yang diperoleh dengan menggantikan tanda ∨ dengan ∧ dan sebaliknya, demikian
juga F dengan T dan sebaliknya secara serempak.
Contoh :
(i) bentuk rangkap dari p ∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r);
(ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬p) ≡ T adalah p ∧ (¬p) ≡ F
(Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan (teorema) sudah terbukti
kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga valid.
(i)

Bentuk p∨ (¬p) ≡ T adalah valid (merupakan tautologi), maka bentuk
p ∧ (¬p) ≡ F juga valid (merupakan kontradiksi);
Bentuk p ∧ p ≡ p adalah valid, maka bentuk p ∨ p ≡ p juga valid.

(ii)

Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang dapat
dibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang
bersangkutan.


(Negasi ganda)




p ∧ (q ∧ r) ≡

(p ∧ q) ∧ r

¬(¬p)) ≡ p

(Hukum Komutatif/

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q)

pertukaran).

∨r

(p ∧ q) ≡ (q ∧ p)








(p ∨ q) ≡ (q ∨

(Hukum Identitas).


p ∧ F ≡ F dan

p)

p∧T≡p

(Hukum Assosiatif/

p ∨ T ≡ T dan p ∨ F ≡

pengelompokan).

p


(Hukum Komplemen/invers).



p ∧ (¬p) ≡ F



p ∨ (¬p) ≡ T dan (¬T)

p∨p≡p


(Hukum De Morgan).




(Hukum Idempoten).

dan (¬F) ≡ T
≡F




p∧p≡p

(Hukum Absorpsi
/Penyerapan).

¬(p ∧ q) ≡



p ∧ (p ∨ q) ≡

¬(p) ∨ (¬q)

p dan p ∨ (p ∧ (¬q))

¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧

≡p

(¬q)

p ∨ (p ∧ q) ≡ p dan p

(Hukum Distributif).


p ∧ (q ∨ r) ≡

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q)
∧ (p ∨ r)

∧ (p ∨ (¬q) ≡ p


(Komplementasi Gabungan).


p ∧ ((¬p) ∨ q)

≡p∧q


p ∨ ((¬p) ∧ q)

≡p∨q

 Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel
kebenarannya. Selanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan untuk
membuktikan ekuivalensi yang lain. Jika diminta, maka pembuktian harus
diturunkan dari kesepuluh hukum diatas (bukan dengan tabel kebenaran).
Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita pelajari pada bab berikutnya
asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai sebagai dasar lebih terbatas lagi
dan yang lainnya harus kita turunkan dengan menggunakan aksiomaaksioma atau definisi yang diketahui. Sebenarnya hukum absorpsi dapat
dibuktikan secara deduktif (bukan menggunakan tabel kebenaran) dengan
menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Dalam logika sangat penting sekali
menunjukkan alasan yang dipergunakan pada setiap langkah. Bukti hukum
absorpsi/ penyerapan adalah sebagai berikut ini.
 (lihat Sulistyaningsih (1984)
p ∧ (p ∨ q)



≡ (p ∨ F) ∧ (p ∨ q) identittas
≡ p ∨ (F ∧ q)



distributif

≡p∨F


identitas

Tambahan
(Operator Dagger).
p ↓ q = ¬p ∧ ¬q




(bersama-sama)

Dari Definisi 1.12 dan Definisi 1.13, kita dapat turunkan sifat atau
aksioma berikut:



Teorema 1.13.



p/q = ¬(p ∧ q)


p ↓ q = ¬(p ∨ q)



Tabel 1.1: Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Dagger












P

Q

¬

¬

p

p













1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


1


1


0


1


1


0


1


1


0

0

1

1

1

0




Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang terlalu banyak,
maka diadakan kesepakatan bahwa dalam aljabar pernyataan,
urutan/hirarki operasi ¬, ∧, ∨ adalah yang pertama ¬, lalu diikuti ∧ dan ∨.
Contoh



¬p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡ (¬p) ∧ (¬q) ∨ (p ∧ q)


4. Negasi




Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari
suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar” di awal kalimat,
atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau ” bukan” pada pernyataan
tersebut.
Misalkan p adalah adalah pernyataan.

Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ~
dan dibaca
“ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan

bernilai benar (B ) jika p salah (S) (Ary,2008)

Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi




P

~







B

S


Contoh :





S
B
 Pernyataan
:p
 Sembilan adalah bilangan prima
(S)
 Semua tumbuhan adalah





Negasi (ingkaran) : ~p
Sembilan bukan bilangan prima
(B)
Tidak semua tumbuhan adalah

makhluk hidup (B)

makhluk hidup (S)


5. Implikasi


Implikasi yaitu pernyataan yang bernilai salah ketika hipotesisnya

bernilai benar sedangkan konklusinya bernilai salah. Selain itu, maka implikasi
bernilai benar. Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q”
dinotasikan dengan “p → q” disebut implikasi. Selanjutya “p → q” dapat dibaca
“jika p maka q”, “p hanya jika q”, “p syarat cukup untuk q” atau “q syarat perlu
untuk p”. notasi p disebut dengan anteseden/ hipotesis, sedangkan notasi q disebut
dengan konsekuen/ konklusi/ kesimpulan.


Tabel kebenaran implikasi






p→

P


q




q
B

B


B




S

B


S




B

S


B




B

S

S


 Dari suatu pernyataan bersyarat “ p ⇒ q ” yang diketahui dapat dibuat
pernyataan lain sebagai berikut :


1) q ⇒ p disebut pernyataan Konvers dari p ⇒ q



2) ~p ⇒ ~q disebut pernyataan Invers dari p ⇒ q



3) ~q ⇒ ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p ⇒ q
 Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-

pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.


Implikasi : p → q



Inversnya : ~p ⇒ ~q



Konversnya : q → p

Kontraposisinya : ~q ⇒ ~p



Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif



¬p



→

q



¬q
B





¬p
B

B




B

B




S

B


S




S

B




B

B


S


B




B

S




B

B

B

B











p

q

¬

¬

p











B


B


S


S


B


S


S


S


B


S

S





¬q
→

B


Dari tabel tersebut dapat kita simpulkan:



1. p → q ≡ ¬q → ¬p dan
2. ¬p → ¬q ≡ q → p.




Implikasi
:
Pernyataan
majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah

pernyataan majemuk yang dilambangkan :

”p→q”
bernilai
salah
hanya
jika
hipotesa
p
bernilai
benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk

kasus lainnya bernilai benar. (Ary,2008)



p→q 

Hubungan antara implikasi, invers,~p→~q 
konvers dan kontra positifnya
invers

ditunjukkan dengan gambar berikut:


 konvers

q→p 

kontra

positif

invers

konvers

~q→~p 










Contoh :
 Pernyataan : p
 SMK 1 Sragen
berada di
Kabupaten Sragen
(B)
 Jumlah sudut
dalam suatu segi
tiga selalu 180°
(B)
 Dua adalah
bilangan ganjil
(S)
 2 + 6 = 7 (S)














Pernyataan : q
Sragen termasuk
ke dalam
wilayah Jawa
Tengah (B)
Besar sudut
segitiga sama sisi
adalah 90° (S)



p→q
B



S



B



B



Dua adalah
bilangan prima
(B)
6 = 7 – 2 (S)

Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
Komponen


p


q


~p


~q



p
→
q

K
o
n
v
er
s
 q
→
p


B

B



B

S



S

S



S

B




B



B



~
p
→
~
q
B



S



B





B



S







Im
pli
kas
i





I
n
v
er
s



Kontr
aposis
i





~q→~
p



B

B



S

S



B

S

S

B

S

B

B

S

B

B





B



B



B



Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan bahwa:
- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
- Konvers ekuivalen dengan Invers
6. Biimplikasi
Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan



“jika dan hanya jika“ sehingga menjadi “p jika dan hanya jika q ” atau
dilambangkan dengan : “ p ⇔ q ” suatu pernyataan majemuk disebut
dengan biimplikasi. Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu
gabungan dari: p ⇔q dan q⇔p
Tabel kebenaran biimplikasi





p





p

Q







q
B

B


B




S

B


S




S

S


B




B

S

S

↔


Contoh 2.5.


(i)

1 + 3 = 4 ↔ 2 × 7 = 14 (B)

(ii)

5 adalah bilangan ganjil ↔ 4 adalah bilangan genap (S)




Contoh :


p⇔q



Nilai






ABCD adalah persegi⇔ABCD segi empat yang sisinya
sama
n adalah bilangan prima⇔n habis dibagi 7 S
SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah ⇔Sragen adalah
Kota yang ada di Yogyakarta S
Grafik f(x) bukan garis lurus ⇔ f(x) adalah fungsi yang
tidak linier B

kebe
nara
n
 B



S
S



B



Biimplikasi:

Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah
 pernyataan majemuk yang dilambangkan :
sebuah
”p⇔q”

bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.(Ary,2008)




Tambahan



Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis


Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi

bergantung pada nilai kebenaran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk khusus
dari suatu implikasi yang nilainya selalu benar tanpa bergantung pada nilai
kebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi semacam ini disebut
implikasi logis.



Definisi Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikan
dengan p ⇒ q), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa memandang
nilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain P (pl, p2, ...)
⇒ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...) → Q(ql, q2, ...) ≡ TSeperti halnya nilai
kebenaran implikasi, nilai kebenaran biimplikasi juga ditentukan oleh nilai
kebenaran masing-masing komponennya. Jika suatu biimplikasi selalu
bernilai benar maka dia disebut ekuivalensi logis, yang dinotasikan dengan
⇔. Definisi 2.5. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika

biimplikasinya merupakan tautologi, yaitu : P (pl, p2, ...) ⇔ Q(ql, q2, ...)
jika P (pl, p2, ...) ↔ Q(ql, q2, ...) ≡ T.



(Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)).




(Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi).




p → q ≡ ¬p ∨ q

p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah dengan
membuktikan bahwa implikasinya adalah suatu tautologi.



p → (p ∨ q)



≡ ¬p ∨ (p ∨ q)
≡ (¬p ∨ p) ∨ q hukum asosiatif

≡ T ∨ q hukum komplemen
≡ T hukum identitas


Maka p ⇒ (p ∨ q).



(p ∧ q) → q




≡ ¬(p ∧ q) ∨ q
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q

hukum De Morgan

≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q)

hukum Asosiatif

≡ ¬p ∨ T

hukum komplemen

≡T

hukum identitas.

Negasi Pernyataan Bersyarat


Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya

yang terdiri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama baik dengan
invers maupun konvers.



(Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q. (2.7)
Bukti:
¬(p → q)


≡ ¬(¬p ∨ q)
≡ ¬(¬p)) ∧ ¬q

≡p∧¬


q

De Morgan
negasi ganda

Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka udara hangat.”
adalah “Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.”

Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti dinyatakan dalam
teorema berikut.



(Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah



¬(p ↔ q)



≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

≡ ¬p ↔ q
≡ p ↔ ¬q


Bukti:
¬(p ↔ q)



≡ ¬(p → q) ∧ (q → p)
≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q)

De Morgan

≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

Teorema 2.7

≡ (p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∧ (p ∧ ¬q) ∨ q

distributif

≡ T ∧ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q) ∧ T

distributif

≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q)

identitas

≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q)

identitas

≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (¬¬p ∨ q)

negasi dobel

≡ ¬p ↔ q

atau,

≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬¬q)

negasi dobel

≡ p ↔ ¬q.


Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika

cuaca cerah” mempunyai negasi : “Saya datang jika dan hanya jika cuaca tidak
cerah” atau “Saya tidak datang jika dan hanya jika cuaca cerah”. Untuk
meyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi biimplikasi, kita dapat
membuat tabel kebenarannya.
 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
 Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat
ataupun pernyataan-pernyataan yang memuat simbol-simbol matematika.
Kalimat-kalimat
tersebut ada yang berbentuk pernyataan ada yang tidak.
Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbolsimbol matematika

seperti peubah, tetapan dan operator lainnya.
Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matematika yang belum bisa
dinilai benar atau salah.
Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataan matematis) adalah
kalimat matematika yang sudah bisa dinilai benar atau salah.
 Contoh : Kalimat p(x) : x + 2 ≥ 7, adalah suatu kalimat matematika
terbuka, karena belum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta
pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan real. Berarti x adalah anggota
dari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan x dengan sembarang bilangan real
x ≥ 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai benar. Sebaliknya jika kita
gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 , maka terbentuk pernyataan yang
bernilai salah.


Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U, setiap kali kita

mengambil elemen u dari U, maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah satu benar atau
salah. Semua elemen x ∈ U yang menyebabkan p(x) bernilai benar disebut
himpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran (truth set/ solution set) dari p dan
dinotasika dengan Tp.



Untuk p, kalimat terbuka pada U, maka untuk setiap u ∈ U atau

τ(p(u)) = 1, atau τ(p(u)) = 0.
Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesaian adalah himpunan semua
unsur dari semesta pembicaraan yang menyebabkan terjadinya kalimat/
pernyataan yang bernilai benar. Tp = {u ∈ U, τp(u) = 1}


Contoh:
(i)

Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 ≥ 10, x bilangan asli, maka Tp

={x ≥ 8, x bilagan asli }.
(ii)

Misalkan p(x); x2 < 0 ; x bilangan real, maka Tp = ∅

(iii)

Misalkan p(y); y2 ≥ 0; y bilangan real, maka Tp = U = 8 adalah kalimat terbuka, misalnya pada semesta
N (himpunan semua bilangan asli), maka
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah.
(b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
(ii) q(x) : x2 − 2x + 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada