25 Macam Pembuktian Teorema Pythagoras
25 Macam Pembuktian Teorema
Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah
diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan
wawasan dan pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai
sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak
peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang
bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai
dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan
tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan
membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa
tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan
mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan
sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara
umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian
juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum
Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang
kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer.
Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama
dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa
Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi
bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di
bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat
segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh:
(a + b)
=
c2 + 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2
=
c2 + 2 ab
a2 + b2
=
c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad
X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah
segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas ABQ
=
luas ABCD
(b – a)2 + 4 x ½ . ab
=
c2
b2 – 2ab + a2 + 2ab
=
c2
a2 + b2
=
c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini
dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas trapesium
=
(alas + atas)/2. tinggi
Di lain pihak, luas trapesium
=
2. ½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b)
=
2. ½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2
=
2ab + c2
=
(a + b)/2. (a + b)
a2 + b2
=
c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara
yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 90 0 berlawanan arah dengan
putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan
segitiga ABC.
½ a2
½ b2
=
=
(1)
(2) + (3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2
=
(1) + (2) + (3)
=
[(1) + (2)] + (3)
=
½ cx + ½ cy
=
½ c (x + y)
=
½ c.c
=
½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua
segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada
segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping.
Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama
(menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
9. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 + 2. ½ . ab
Luas daerah gambar akhir = c2 + 2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama
luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun
segitiga siku-siku akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar di bawah ini.
DBQE
ADEP
c2
=
NLBD ..... kedua bangun konruen
=
MLBC...... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
=
SRBC ...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
=
a2
=
KNDA..... kedua bangun konruen
=
KMCA ..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD
=
UTCA ...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
=
b2
= BDQE + ADEP
=
a2
+ b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat
ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga:
Luas ADEFGC – 2. Luas ABC
=
luas ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF
=
luas ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC seperti pada gambar
sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR
=
luas KSQR + luas MNP
=
a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun
yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara
aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema
Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian
sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas
Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah
diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan
wawasan dan pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai
sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak
peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang
bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai
dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan
tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan
membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa
tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan
mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan
sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara
umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian
juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum
Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang
kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer.
Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama
dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa
Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi
bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di
bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat
segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh:
(a + b)
=
c2 + 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2
=
c2 + 2 ab
a2 + b2
=
c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad
X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah
segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas ABQ
=
luas ABCD
(b – a)2 + 4 x ½ . ab
=
c2
b2 – 2ab + a2 + 2ab
=
c2
a2 + b2
=
c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini
dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas trapesium
=
(alas + atas)/2. tinggi
Di lain pihak, luas trapesium
=
2. ½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b)
=
2. ½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2
=
2ab + c2
=
(a + b)/2. (a + b)
a2 + b2
=
c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara
yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 90 0 berlawanan arah dengan
putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan
segitiga ABC.
½ a2
½ b2
=
=
(1)
(2) + (3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2
=
(1) + (2) + (3)
=
[(1) + (2)] + (3)
=
½ cx + ½ cy
=
½ c (x + y)
=
½ c.c
=
½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua
segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada
segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping.
Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama
(menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
9. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 + 2. ½ . ab
Luas daerah gambar akhir = c2 + 2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama
luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun
segitiga siku-siku akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar di bawah ini.
DBQE
ADEP
c2
=
NLBD ..... kedua bangun konruen
=
MLBC...... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
=
SRBC ...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
=
a2
=
KNDA..... kedua bangun konruen
=
KMCA ..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD
=
UTCA ...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
=
b2
= BDQE + ADEP
=
a2
+ b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat
ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga:
Luas ADEFGC – 2. Luas ABC
=
luas ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF
=
luas ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC seperti pada gambar
sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR
=
luas KSQR + luas MNP
=
a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun
yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara
aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema
Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian
sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas