fuatu transformasi pada bidang V merupakan fungsibijektif dari V ke V.

Naufal Ishartono, M.Pd.
ni160@ums.ac.id

Pengertian Transformasi
Definisi:
Suatu transformasi pada bidang V merupakan fungsi
bijektif dari V ke V.
Dengan kata lain T: V → V merupakan suatu
transformasi jika T merupakan fungsi bijektif, dengan
V = {(x,y) | x,y ϵ R}.
Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif dan fungsi
surjektif.

Fungsi

Fungsi Injektif

Fungsi Surjektif

Suatu fungsi f dari
himpunan A kedalam

(into) himpunan B, adalah
suatu pengawanan yang
memasangkan setiap
anggota A dengan tepat
satu anggota B. Dengan
notasi matematika dapat
dituliskan f : A ⟶ B
merupakan fungsi jika a,
b di A, a = b maka f(a) =
f(b).

Fungsi f : A ⟶ B disebut
fungsi injektif (satu-satu),
jika untuk sebarang a, b di
A dengan f(a) = f(b) maka
a = b.

Fungsi f: A ⟶ B disebut
fungsi surjektif
(pada/onto), jika untuk

setiap b di B terdapat a di
A sedemikian sehingga
f(a) = b.

Fungsi Bijektif
Fungsi f: A ⟶ B disebut fungsi bijektif jika
f merupakan fungsi injektif dan surjektif.
Seringkali f: A ⟶ B fungsi bijektif maka
dikatakan terdapat korespondensi satu-satu
antara A dengan B.

Ilustrasi Fungsi
Surjektif, Injektif, Bijektif

CONTOH
1. I: V ⟶ V yang didefinisikan sebagai I(x,y) = (x,y) untuk setiap (x,y) di V
merupakan transformasi, karena I merupakan fungsi bijektif. Selanjutnya I

disebut transformasi identitas.
2. Bijektif apabila dia harus surjektif dan injektif.

𝑥+2
𝑥′
=
→ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ = (𝑥 + 2, 2𝑦)
Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 2, 2𝑦) atau
2𝑦
𝑦′

sehingga diperoleh 𝑥 ′ = 𝑥 + 2 dan 𝑦 ′ = 2𝑦. Misalkan pada titik 𝐴(2,3) →

𝐴′(4,6).

CONTOH
Perkawanan T: V → V dengan 𝑇 𝑥, 𝑦 = (2𝑥, 𝑥 + 𝑦) untuk setiap (x,y) di V
merupakan transformasi, karena:
 Perkawanan tersebut merupakan fungsi T: V → V.
 Merupakan fungsi Bijektif (Injektif dan Surjektif).
Bukti:
 Akan dibuktikan bahwa T merupakan fungsi dari V ke V.

Jawab:
∃𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉 ∋ 𝐴 = 𝐵, akan dibuktikan T(A) = T(B).

Misal 𝐴 = {𝑥, 𝑦} dan 𝐵 = {𝑢, 𝑣} dengan 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.

Karena 𝐴 = 𝐵 maka x = u dan y = v s.d.h. 2𝑥 = 2𝑢 dan 𝑥 + 𝑦 = 𝑢 + 𝑣.

Berakibat 𝑇 𝐴 = 2𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2𝑢, 𝑢 + 𝑣 = 𝑇(𝐵).
Maka tebukti bahwa T(A) = T(B).

CONTOH
 Akan dibuktikan bahwa T fungsi satu-satu (Fs. Injektif).
Bukti:
∃𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉 dengan T(A) = T(B), akan dibuktikan bahwa A = B.
Misal A = {x,y} dan B = {u,v}.
Maka 𝑇 𝐴 = 2𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2𝑢, 𝑢 + 𝑣 = 𝑇(𝐵).
Sehingga 2x = 2u dan x + y = u + v.
Akibatnya x = u dan y = v.
Jadi A = B.
 Akan dibuktikan bahwa T fungsi pada (Fs. Surjektif).

Bukti:
∃𝐵 ∈ 𝑉, akan dibuktikan bahwa ∃𝐴 ∈ 𝑉 ∋ T(A) = B.
𝑥
𝑥
Misal B = {x, y}, dan pilih 𝐴 = , 𝑦 − .
Sehingga diperoleh 𝑇 𝐴 = 𝑇 2
Jadi terdapat 𝐴 =

𝑥
,𝑦
2

−

𝑥
2

2

𝑥

2

2

, 𝑦

𝑥
−
2

𝑥
+
2

= (𝑥, 𝑦) = 𝐵.

sedemikian hingga T(A) = B.

LATIHAN
Diketahui 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2,2𝑦 . Tentukanlah:

a. Apakah f merupakan transformasi?

b. Gunakan rumus f (x,y) pada titik P (-3,2).
c. Gunakan rumus f (x,y) pada garis 2x – y – 2 = 0.
d. Gambarkan ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ jika A (3,1), B (0,-2), C (-2,1) dan 𝑇∆𝐴𝐵𝐶 = ∆𝐴′ 𝐵′ 𝐶′.

ISTILAH DALAM TRANSFORMASI
1.
2.
3.
4.
5.

Unsur Tetap
Kolineasi
Identitas
Isometri
Involusi

1. UNSUR TETAP
Definisi:
Suatu titik A di V disebut titik tetap dari
transformasi T jika T(A)=A. Kemudian suatu garis
g disebut garis tetap dari transformasi T jika T(g) =
g.
Contoh:
Apakah T(x,y) = (x + 4, y – 3) memiliki titik tetap?
Jawab:
Misalkan P (x,y) adalah titik tetap.
Maka T(P) = (x + 4, y – 3) = P = (x,y)
x+4=x→4=0
y – 3 = y → -3 = 0
Jadi T tidak punya titik tetap.

Soal Latihan:
Apakah T(x,y) = (2x + y, x – y)
memiliki titik tetap?

2. Kolineasi

 Suatu transformasi T disebut punya sifat kolineasi jika t memetakan garis menjadi garis
lagi.
 Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu
kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi.
 Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan
berupa garis lagi.
 Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T(g) berupa garis, yaitu himpunan
titik P’ = T(P) dengan P terletak pada g.

2. Kolineasi (cont’d)

T : (x,0) →(x,x + 1)

𝑥
𝑥′
. Apakah 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑥 + 2𝑦)
Rumus transformasinya adalah
=
𝑥
+

1
𝑦′
merupakan kolineasi?

3. Identitas
Definisi:
Suatu transformasi T disebut transformasi identitas jika
T(A)=A untuk setiap A di V. Selanjutnya transformasi
identitas dinotasikan sebagai I.

4. Isometri
Definisi:
Transformasi T disebut Isometri, jika untuk setiap A,B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)| (jika
T(A)=A’ dan T(B)=B’). Dalam istilah lain, seringkali suatu transformasi disebut isometri
jika mempertahankan jarak.
Def: T Isometri jika |AB|=|T(A)T(B)| = |A’B’|
Contoh:
Diketahui T(x,y) = (y,4x). Apakah T Isometri?
Bukti:
Bukan Isometri, karena missal ambil sebarang A(𝑥1 , 𝑦1 ) dan B(𝑥2 , 𝑦2 ) maka terdapat A’

dan B’ dimana 𝐴′ = 𝑇(𝐴) dan 𝐵′ = 𝑇(𝐵).
𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑇 𝑥,𝑦 =(𝑦,4𝑥) 𝐴′(𝑦1, 4𝑥1 )
Maka
, sehingga didapatkan:
𝐵(𝑥2 , 𝑦2 )
𝐵′(𝑦2 , 4𝑥2 )
𝐴𝐵 = 𝐴′ 𝐵′
(𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2 = (𝑦1 − 𝑦2 )2 +16(𝑥2 − 𝑥1 )2
𝐴𝐵 ≠ 𝐴′ 𝐵′
Jadi T bukanlah isometri.

4. Isometri (cont’d)
Soal:
1. Diketahui T(x,y) = (2x,2y). Apakah T sebuah isometri?
2. Diketahui F(x,y) = (3y, x). Apaah F merupakah isometri?

5. Involusi
Definisi:
Suatu transformasi V merupakan involusi, jika V tidak sama dengan I dan berlaku V2=I. Ini
berarti V=V-1.
Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi.
Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi.
Contoh:
Diketahui T(x,y) = (-x, kx+y). Tunjukkan T involusi?
Bukti:
Dengan cara komposisi
T(x,y) = (-x, kx+y)
Maka T(T(x,y)) = (-(-x), k(-x)+kx+y) = (x,y)
Jadi T Involusi

Teorema 1:
Misal T suatu transformasi. Jika T isometri maka T kolineasi.
Bukti:
∃𝑔 ∈ 𝑉, ambil dua titik A dan B di 𝑔 dimana 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉.
Misal 𝐴′ = 𝑇 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑇 𝐵 . Lalu l merupakan garis yang melalui A’ dan B’. Selanjutnya akan dibuktikan
bahwa T(g) = l atau g = l (pembuktian dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa T(g) ⊆ l dan l ⊆ T(g) ).
1. Akan dibuktikan bahwa l ⊆ T(g).
Bukti:
∃ 𝐷 pada 𝑔 ∋ 𝐴 − 𝐷 − 𝐵, dan misalkan 𝐷 ′ = 𝑇 𝐷 .
Andaikan D’ diluar l, maka A’B’D’ akan membentuk segitiga, atau ∆𝐴′ 𝐵′ 𝐷′.
Maka dipenuhi A’D’ + D’B’ > A’B’.
Tetapi karena T isometri, pastilah A’D’ + D’B’ = AD + DB.
Timbul kontradiksi, maka pengandaian bahwa D’ diluar salah. Berarti D’ pada l dan A’ – D’ – B’. Terbukti
T(g) ⊆ l.
2. Akan dibuktikan bahwa T(g) ⊆ l.
Bukti:
Misal ∃ 𝑄′ pada l.
Karena T bijektif maka terdapat Q dengan T(Q) = Q’.
Misalkan Q diluar g, dengan ketidaksamaan segitiga dibuktikan bahwa Q harus pada g, sehingga Q’ = T(Q)
harus pada l = T(g).
Sehingga T(g) ⊆ l. Maka terbukti bahwa Isometri adalah Kolineasi.

Teorema 2:
Isometri mempertahankan besar sudut.

Bukti:
Ambil sebarang sudut < ABC di V dengan m(