SPL dengan Aturan Cramer and Eliminasi G

SPL dengan Aturan
Cramer & Eliminasi
Gauss
Elkin Rilvani
Pertemuan 5

elkinrilvani@gmail.com
Aljabar Linear

Aturan Cramer
• adalah rumus yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan SPL.
• Metode ini menggunakan Determinan suatu atriks dan
matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu
kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah
kanan persamaannya.
• Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel
Cramer(1704–1752)

Aturan Cramer
(5.1)

xn = Nilai variabel yang akan dicari
|An| = Determinan matriks A, dengan terlebih dahulu
mengganti kolom ke n dengan elemen-elemen
pada matriks b
|A| = Determinan matriks A

Dari persamaan (5.1) secara tersirat diketahui bahwa
aturan Cramer hanya dapat digunakan jika |A|  0
Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier
harus sama dengan jumlah variabel.
Contoh 5.1
Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan
aturan Cramer!

Penyelesaian

Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk
mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga

menjadi matriks yang lebih sederhana lagi.
• Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks
tersebut menjadi matriks yang baris.
• Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode
penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
matriks.
• Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel
tersebut.

Penyelesaian SPL
• Untuk menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss maka
terlebih dahulu susun beberapa persamaan menjadi
matriks
• Lalu mengeliminasi nilai-nilai dalam matriks sehingga
menghasilkan matriks segitiga atas Matrik UpperTringular

ELIMINASI MAJU
1. Eliminasi x1 dalam (2) dan (3)

a11 a12 a13 a14
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34


1 a12


a13


a14

a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34

a. Baris pertama dibagi
dengan a11

akj 

a kj
a kk

k  1, j  k,...,4


1 a12


a13


a14

a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
b. Baris pertama dikalikan
dengan a21 dan dikurangkan
ke baris kedua.


1 a12


0 a 22

a 31

a 32

 a14

a13
 a 24

a 23
a 33

a 34

a ij  a ij - mxa kj

m  a 21 , i  2, j  k,...,4


1 a12


0 a 22

 a14

a13
 a 24

a 23

a 31

a 33

a 32

a 34
c. Baris pertama dikalikan
dengan a31 dan dikurangkan
ke baris ketiga.


1 a12

 a14

a13
 a 24

a 23



0 a 22
 a 33
 a 34

0 a 32

a ij  a ij - mxa kj

m  a 31 , i  3, j  k,...,4


1 a12

 a14

a13
 a 24

a 23

2. Eliminasi x2 dalam (3)


0 a 22
 a 33
 a 34

0 a 32

 a13
 a14

1 a12
 a 24

0 1 a 23

0 a 32



a 33


a 34

a. Baris kedua dibagi
dengan a/22

akj
akj 
akk

k  2, j  k,...,4

 a13
 a14

1 a12
 a 24


0 1 a 23

0 a 32


a 33


a 34

 a13
 a14

1 a12
 a 24

0 1 a 23
 a 34

0 0 a 33

b. Baris kedua dikalikan dgn.
a/32 dan dikurangkan
ke baris ketiga.

aij  aij  mxakj
m  a 32 ,

i  3, j  k,...,4

 a13
 a14

1 a12
 a 24

0 1 a 23
 a 34

0 0 a 33

 a13
 a14

1 a12
 a 24

0 1 a 23
0

0

1


a 34

a. Baris ketiga dibagi
dengan a//33

akj
akj 

akk

k  3, j  k,...,4

SUBSTITUSI BALIK


1 a12
0 1

0 0


a13
a 23
1


x3  a 34

  a 23 x3
x2  a 24

 
a14

a 24

 
a 34

  a12
 x2  a13
 x3 
x1  a14

Contoh
• Tahap yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan metode Gauss antara lain:
1. Menyusun matriks dari sistem persamaan linear yang
diketahui Matriks untuk sistem persamaan linear
• -a + 2b – 3c + 4d = 20
• 4a – 3b + 2c – d = 0
• 2a – 2b – 2c + 2d = 0
• 5a + 4b – c – d = 12 -1 2 -3

2. Mengubah matriks menjadi Eselon-baris
Apa itu Eselon-baris ?
Eselon baris merupakan matriks dengan
ketentuan:
a. Angka pertama pada baris pertama adalah 1
b. Angka pertama pada baris setelah baris
pertama adalah nol
c. Angka 1 pada baris setelah baris pertama
berada lebih kanan daripada angka 1 pada
baris sebelumnya