Theori laplace dalam penerapan pada perc

Projektausarbeitung
zur Präsentation
der
Laplace in Bezug
auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
im
Semester 3

Name

Matrikelnummer

1.Fadhlan Nazhif Iskandar

5042791

2.Rakyan Bayundriyo

5046399

3.Sandi Fejzic

5071908

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

2

Inhaltsverzeichnis

Vorwort............................................................................................................................... 3
Die Laplace-Biographie..................................................................................................5
1. Einführung in Die Wahrscheinlichkeitstheorie.................................................................7
I. Datenerhebung............................................................................................................ 7
II. Häufigkeitsverteilungen..............................................................................................9
III. Wahrscheinlichkeitstheorie......................................................................................10
3. Wahrscheinlichkeiten............................................................................................13
2. Laplace-Experiment mit Würfel.....................................................................................17
2.1. Die Würfelversuchsergebnisse.............................................................................19
3. Laplace-Experiment mit Münzen..................................................................................23

3.1 Die Münzenwurfsergebnisse..................................................................................28
Quellenverzeichnis...........................................................................................................31

Mathematik 3 –
Statistik

3

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

Vorwort
In diese Ausarbeitung, welche von Studenten verfasst wurde, beschäftigen wir uns mit der
Wahrscheinlichkeitstheorie von Laplace, welche von Simon (Marquis de) Laplace verfasst
und in seinem um 1812 veröffentlichten Werk "Théorie Analytique des Probabilités"
verallgemeinert

wurde.

Unser

Ziel

dieser

Ausarbeitung

ist

es

die

Wahrscheinlichkeitstheorie von Laplace zu definieren und in sogenannten Laplace
Experimenten zu überprüfen.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, die sich im Gegensatz
zu den anderen Teilgebieten der Mathematik sehr langsam entwickelt hat. Der Grund
dafür ist die Entstehung des Christentums, da die Kirche alle Gedanken über den Zufall
und die Wahrscheinlichkeit als gotteslästerlich unterband. Sie gehört dem Teilgebiet der
Stochastik an und entstand durch Formalisierungen der Modellierungen und der

Untersuchungen von Zufallsgeschechen.
Ihre Entstehung kann bis zu 3000 vor Christus datiert werden. Händler im alten Babylon
und China ließen ihre Handelsschiffe gegen Schiffsbruch und Piraterie versichern1. Die
Vergabe von Krediten und die dabei notwendige Abschätzung sinnvoller Zinssätze ist
ebenfalls ein Grundproblem mit dem sich Kaufleute und Kreditgeber seit Beginn der
Handelszeiten auseinandersetzen mussten, und das bestimmten Wahrscheinlichkeitsund Sicherheit Überlegungen bedurfte. Auch im antiken Rom wurde dieses Prinzip der
Leibrente implementiert. Ein anderer Entstehungsgrund der Wahrscheinlichkeitsrechnung
kann auch die Erfindung von Glücksspielen sein.
In den kommenden Zeilen werden wir ein sogenanntes Laplace Experiment, welches wir
mit einem Würfel und einer Münze gemacht haben, beschreiben. Ein Laplace-Experiment
ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle
gleich wahrscheinlich sind2, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

1

http://www.flowetzel.de/uni/mathe/Stochastik/Ausarbeitung_Geschichte_der_Stochastik.pdf
Stand : 01/12/2016
2
http://de.serlo.org/mathe/stochastik/relative-haeufigkeit-wahrscheinlichkeit/laplace-experiment
Stand : 01/12/2016

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

4

Das Würfeln war eines der ersten Glücksspiele und wurde um ungefähr 3000 vor Christus
in Mesopotamien gespielt.

Würfelspiel 3

Ein mehr als 4800 Jahre alter Würfel, der bei Ausgrabungen in Mesopotamien gefunden wurde.

.

3

Bild-quelle : http://max-attachments.prod.hlpstr.de/attachments/articles/icons/000/192/340/
featured/200270960-001.jpg
Stand : 07/12/2016

Mathematik 3 –
Statistik

5

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

Die Laplace-Biographie
Pierre Simon (Marquis de) Laplace wurde In Beaumont-en-Auge in der Normandie am
28.März 1749 geboren und kurz bevor seinem 78.Geburtstag am 5.März 1827 in Paris
gestorben.4 Laplace’ Vater arbeitete als Weinhändler und seine Mutter kam aus einer
Bauernfamilie her. Er ist einer der bedeutender Wissenschaftler, der in vielen Bereichen
unter anderem Mathematik,Physik,und Astronomie beschäftigte. Seine berühmte Arbeit ist
die Untersuchung von Solarsystem,indem ein sehr grosser Meilenstein für Astronomie.
In seiner Kindheit ging er vom Alter 7 bis 16 in die Benedikterschule in Beaumont-enAuge,und danach wurde er zur Universität von Caen aufgenommen, wo er damals in den

Studiengang Theologie auf seinem Vaterswunsch eingeschieben war. Jedoch im Laufe
der Zeit fand er dass er seine Begabung an Mathematik lag. Aus diesem Grund zog er
nach Paris um und wechselte er mit einem Empfehlungsschreiben von Professor in
Caen.5 In Paris bewarb er einen Mathematik Studiengang.
Seine Kollegen erkannten seinen hohen Fähigkeiten an Mathematik und in Paris damit
einen Mathematiker d”Alembert seine Aufmerksamkeit nahm. Doch während des
Studiums zeigte er seine Begabung nicht nur in Mathematik sondern auch in
Naturwissenschaft und mit d’Alembert Unterstützung eine Professur für Mathematik
besorgte auch von finanzieller Seite sicherte . In der französischen Revolution stand er
auf der Seite der Mächtigen,und baute er eine enge Beziehung mit Napoléon. Daher
stellte Napoléon ihn kurzzeitig als Innenminister. In Politik kann alles plötzlich
umändern,das passierte bei Napoléon,als sein Vertrauen für Politik sank,wechselte
Laplace also zu der Seite der Restauration. Wobei er den Titel des Markgrafen ( fr :
Marquis ) von dem König der Frankreich bekam. 6

Dagegen war er also ein

einflussreiches Person in Politik,obwohl er in der Tat viel mit Naturwissenschaft
beschäftigte.
Laplace beschäftigte nicht nur Mathematik als er Professeur war,sondern auch

Astronomie und Physik bis er mit Mathematik für alle Gebiete der Naturwissenschaft
4

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Laplace/RouseBall/RB_Laplace.html
Stand : 10/12/2016
5
https://www.f07.th-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/laplace.pdf
Stand : 12/12/2016
6
http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/laplace-pierre-simon.html
Stand : 01/12/2016

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

6

anwenden konnte. Laplace war auch ein ganz besonderer Mathematiker,wenn er
innerhalb 3 Jahren hervorragende Artikel veröffentlicht hatte.7

Pierre-Simon Laplace 8

Was wir wissen, ist nicht viel. Was wir nicht wissen, ist immense - Laplace

7

https://www.f07.th-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/laplace.pdf
Bild-quelle : http://www.defense.gouv.fr/var/dicod/storage/images/base-de-medias/images/
marine/portraits/le-marquis-de-laplace/184882-1-fre-FR/le-marquis-de-laplace1.jpg
Stand : 07/12/2016
8

Mathematik 3 –
Statistik

7

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

1. Einführung in Die Wahrscheinlichkeitstheorie

I. Datenerhebung
1. Grundbegriffe der Datenerhebung
 Grundgesamtheit der Erhebung ist die Sammlung aller statistischen
Massen oder Einheiten
 Merkmalsträger ist die statistische Einheit
 Merkmal

ist

eine

Eigenschaft

oder

ein

Charakteristikum

vom

Merkmalsträger
 Merkmalsausprägung ist die verschiedene Ergebnisse eines Merkmals bei
der Erhebung
Bsp. : Grundgesamtheit

Bei

:

Studieren an der THM

Merkmalsträger

:

Studenten

Merkmal

:

Studiengang

Merkmalsausprägung

:

Maschinenbau

Grundgesamtheit

einer

Datenerhebung

gibt

es

Vollerhebung

oder

Teilerhebung. Zum Beispiel bei Vollerhebung (Totalerhebung) werden alle
Studenten an der THM befragt, bei Teilerhebung (Stichprobenerhebung) werden
nicht alle Studenten befragt.

2. a.) Merkmale können unterschieden werden:
 Nach der Art des Merkamls:
-

Quantitative Merkmale
Merkmale, die bestimmte Einheiten haben, oder zahlenmäßig.
Bsp. : Geld (€), Gewicht (kg), Anzahl (Stk.), Note (Punkte)

-

Qualitative Merkmale
Merkmale, die nicht durch Zahlen charakterisiert werden können (nicht
zahlenmäßig)
Bsp. : Geschlecht, Farbe, Marke
Mathematik 3 –
Statistik

8

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

 Nach der Anzahl der Merkmalsausprägungen:
-

Diskrete Merkmale
Merkmale,

die

nur

endliche

oder

abzählbar

unendliche

viele

Ausprägungen annehmen können.
Bsp. : Männlich/Weiblich, Eurobeträge
-

Stetige Merkmale
Merkmale, die beliebige reelle Zahlen als Ausprägung, die fließend
ineinander übergehen.
Bsp. : Länge, Zeit, Gewicht, Volumen.

b.) Merkmalsausprägungen werden durch einer Skala zugewiesen.
Es gibt drei verschiedene Art der Skala:
-

Nominalskala
Die Verschiedenheit der Ausprägungen nur zum Ausdruck gebracht
wird. Die Ausprägungen haben keine Rangfolge und Wertung.
Bsp. : Farbe, Geschlecht, Nationalität

-

Ordinalskala (Rangskala)
Die Verschiedenheit der Ausprägungen kann in Rangordnung gebracht
werden. Die Abstände dazwischen sind aber nicht interpretierbar.
Bsp. : Tabellenplatz einer Fußballiga, IQ, Kleidergrôße

-

Metrische Skala (Kardinalskala)
Die Verschiedenheit der Ausprägungen kann in Rangordnung gebracht
werden, und die Abstände zwischen den Ausprägungen können auch
miteinander verglichen werden.
Bsp. : Erträge, Länge, Gewicht, Temperatur.

3. Typen von statistischen Erhebungen
 Nach der Ermittlung der Daten
-

Befragung

-

Beobachtung

-

Experiment
Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

9

 Nach Methode der Datengewinnung
-

Primärerhebung (Datensammlung am Ort)

-

Sekundärerhebung (Datensammlung auf existierendes Material)

II. Häufigkeitsverteilungen
Häufigkeitsverteilung beschreibt die Chance einer bestimmten Ausprägung, die
in einer Stichprobe aufgetreten werden kann. Die Ausprägung wird mit X i (für i=
1,2,...,n) bezeichnet. Die n-Werte bilden die Stichprobe zusammen.
 Absolute Häufigkeit (hj)
Wie oft die Ausprägungen des Merkmals (aj) im Versuchsergebnis vorkommen.
Die Anzahl kann nur natürliche Zahl und kann nicht negativ sein.
hj = hn (aj) ; 0  hj  n

mit hn : Anzahl der beobachten Werte

Bsp. : Bei einer Beobachtung in einem Parkplatz werden 50 Autos nach ihrer
Marke gekennzeichnet. 20 davon sind BMW, 15 sind Volkswagen, 10 sind Opel,
und

5 sind der Rest als ,,Sonstiges" geschrieben.
Absolute Häufigkeit hj für BMW beträgt 20, für Volkswagen beträgt 15, für
Opel beträgt 10, und für Sonstiges 5.
Die Summe aller absoluten Häufigkeiten (n) beträgt 50.
Maximale absolute Häufigkeit einer bestimmten Merkmalsausprägung kann
auch gleich mit dem Gesamtumfang (n) werden.
Bsp. : Alle 50 beobachtete Autos im Parkplatz sind Volkswagen. Dann ist
die

absolute Häufigkeit gleich mit dem Gesamtumfang (n) , also hj = n

 Relative Häufigkeit (rj)
Entspricht den Anteil der bestimmten Merkmalsausprägung, deren
absolute Häufigkeit wird in Verbindung mit dem Gesamtumfang (n) gesetzt.

h
r j=r n ( a j ) = nj

Mathematik 3 –
Statistik

10

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

Bsp. : Bei einer Beobachtung in einem Parkplatz werden 50 Autos nach ihrer
Marke gekennzeichnet. 20 davon sind BMW, 15 sind Volkswagen, 10 sind Opel,
und

5 sind der Rest als ,,Sonstiges" geschrieben.
Relative Häufigkeit (rj) für BMW = Absolute Häufigkeit (hj) / Gesamtumfang
(n) = 20/50 = 0,4 (in % = 40%)
Relative Häufigkeit für Volkswagen = 15/50 = 0,3
Relative Häufigkeit für Opel = 10/50 = 0,2
Relative Häufigkeit für Sonstiges = 5/50 = 0,1
Die relative Häufigkeit (rj) liegt immer zwischen 0 und 1; -> 0  rj  1
Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.

III. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Zufallsexperiment
Ein Experiment oder Versuch, den wir wiederholen kann, aber dessen Ergebnis ist
nicht vorhersagbar. Das Ergebnis eines Zufallsexperiments heißt Ereignis. Das
Ergebnis,

das

nicht

Elementarereignis.

in

weitere

andere

Ereignis

aufteilbar

ist,

heißt

Die Sammlung aller Ereignisse heißt Ereignisraum  oder S.

Bsp. : Zufallsexperiment

= Werfen eines Würfels

Ereignisse

= {Gerade Zahl}, {Augenzahl kleiner als 4},...

Ereignisraum 

= {1,2,3,4,5,6}

2. Wahrscheinlichkeitsberechnung
Mathematik 3 –
Statistik

11

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

Begriff
Ein Zufallsexperiment ist ein

Beispiel

Mengenausdruck

Würfeln

Versuch, den wiederholt
werden kann, dessen
Ergebnis nicht vorhersagbar
ist.
Ein Elementarereignis ist ein

Bestimmte Augenzahl

{1},{2},{3},{4},{5},{6}

Ereignis
Ein Ereignisraum ist die

Alle möglichen Augenzahlen

S = {1,2,3,4,5,6}

Sammlung aller Ereignisse
Ein Ereignis ist die

Ungerade Augenzahl

E = {1,3,5}

Teilmenge vom Ereignisraum
Ein einfaches Ereignis ist ein

Einmal 3 würfeln

E = {3}

Ergebnis einer Betätigung
Ein mehrfaches Ereignis ist

Zweier-Pasch

E = {(2,2)}

Ein Wurf

E = S = {1,2,3,4,5,6}

Kein Wurf

E =  = {}

nicht weitere aufteilbares

ein Ergebnis mehrerer
Betätigung
Ein sicheres Ereignis hat
immer einen
Mengenausdruck
Ein unmögliches Ereignis hat
keinen Mengenausdruck

Mengenoperationen
Bsp. : Werfen eines Würfels als Zufallsexperiment
Ereignisraum S = {1,2,3,4,5,6}
Ereignis A = Ungerade Augenzahlen = {1,3,5}
Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

12

Ereignis B = Alle Augenzahlen kleiner als 5 = {1,2,3,4}

 Vereinigung ( A  B )
Die Vereinigung von Ereignisse A und B umfasst alle Elemente, die in
Ereignisse A oder B enthalten.
D.h. : Die Vereinigung von A und B sind alle Augenzahlen, die ungerade
oder kleiner als 5 sind.
A  B = {1,2,3,4,5}
 Schnittmenge ( A  B )
Die Schnittmenge von Ereignisse A und B umfasst alle Elemente, die in
Ereignisse A und gleichzeitig in B enthalten.
D.h. : Die Schnittmenge von A und B sind alle Augenzahlen, die ungerade
und kleiner als 5 sind.
A  B = {1,3}
 Komplement ( A' )
Das Komplement von Ereignisse A besitzt aus Elemente, die nicht in
Ereignisse A enthalten.
D.h. : Das Komplement von A sind alle Augenzahlen, die nicht von A
enthalten, also sind die alle gerade Augenzahlen.
A' = {2,4,6}

3. Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E können wir berechnen mit dem
Verhaltnis :

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

13

Anzahl günstiger Ereignisse
An zahl aller möglichen Ereignisse
Bsp. : Bei 50 mal Würfeln ist 10 mal die Augenzahl ,,4" gefallen.
Relative Häufigkeit :

10 g ü nstige Würfe
=0,2
50 mögliche Würfe

Wenn die Anzahl der Würfe gegen Unendlich erhöht, dann gilt:

1 g ü nstiger Wert
=0,167
6 möglicher Wert

 Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses:
a) Regel 1 : Zahlenbereich der Wahrscheinlichkeit
-

Die Warscheinlichkeit eines Ereignisses E liegt immer zwischen
Null und Eins.
0  W(E)  1

-

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses E
beträgt immer 0.
W() = 0

-

Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses E beträgt
immer 1.
W(S) = 1

b) Regel 2 : Definition der Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses W(E) ist die Anzahl der
Elementarereignisse des Ereignisses E durch die Anzahl der
Elementarereignisse des Ereignisraums S.
Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

14

und so lautet die Formel

P( E)=

Ander gewünschten Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse

c) Regel 3 ; Addiotionssatz
Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse ist gleich der
Summe der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
W(AB) = W(A) + W(B)

; falls AB=

Bsp. : Werfen eines Würfels. S = {1,2,3,4,5,6}
Ereignis A : Augenzahl kleiner als 3
A = {1,2} ; W(A) = 2/6 = 0,33
Ereignis B : Augenzahl größer als 3
B = {4,5,6} ; W(B) = 3/6 = 0,5
Ereignis C : Augenzahl kleiner oder größer als 3
C = AB = {1,2,4,5,6} ; AB=

W(C) = W(AB) = W(A) + W(B) = 2/6 + 3/6 = 5/6 = 0,83
Falls es eine Schnittmenge von A und B gibt, wird die
Wahrscheinlichket der Vereinigung der Ereignisse ist gleich der
Summe der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse minus die
Schnittmenge der Ereignisse.

Bsp. : Werfen eines Würfels. S = {1,2,3,4,5,6}
Ereignis A : Gerade Augenzahl
A = {2,4,6} ; W(A) = 3/6 = 0,5

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

15

Ereignis B : Augenzahl kleiner als 4
B = {1,2,3} ; W(B) = 3/6 = 0,5
W(AB) = W(A) + W(B) - W(AB) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6 = 0,83
d) Regel 4 : Multiplikationssatz
Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge der Ereignisse ist gleich
der

Mutliplikation der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse.

W(AB) = W(A) x W(B)

; falls A und B unabhängig

Bsp. : Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit
dass beide Würfeln die Augenzahl kleiner als 3 gezeigt wird
ohne Berücksichtigung des Ereignisses A :
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6
Ereignis B : B = {1,2} = W(B) = 2/6
W(AB) = W(A) x W(B) = 2/6 x 2/6 = 4/36 = 0,11
Die Wahrscheinlichkeit mit Berücksichtigung des Ereignisses A
(Ereignisse A und B abhängig)
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6
Nach Ereignis A fehlt für Ereignis B ein Elementarereignis
aus dem Ereignisraum
Ereignis B : B = {1} = W(B) = 1/5
W(AB) = W(A) x W(B) = 2/6 x 1/5 = 2/30 = 0,067

e) Regel 5 : Komplementärsätze
Die Wahrscheinlichkeit eines Komplements eines Ereignisses E ist
gleich Eins minus die Wahrscheinlichkeit des Komplements des
Ereignisses B.
W(E') = 1 - W(E)
Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

16

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse A und B ist
gleich Eins minus die Wahrscheinlichkeit des Komplements des
Ereignisses A mal die Wahrscheinlichkeit des Komplements des
Ereignisses B.
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') ; falls A und B unabhängig
Bsp. : Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit
dass mindestens ein Würfel von beiden Würfeln die Augenzahl
kleiner als 3 gezeigt wird ohne Berücksichtigung des
Ereignisses A :
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6 => W(A') = 4/6
Ereignis B : B = {1,2} = W(B) = 2/6 => W(B') = 4/6
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') = 1 - 4/6 x 4/6 = 0,56

Die Wahrscheinlichkeit mit Berücksichtigung des Ereignisses A
(Ereignisse A und B abhängig)
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6 => W(A') = 4/6
Nach Ereignis A fehlt für Ereignis B ein Elementarereignis aus
dem Ereignisraum
Ereignis B : B = {1} = W(B) = 1/5 => W(B') = 4/5
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') = 1 - 4/6 x 4/5 = 0,467

2. Laplace-Experiment mit Würfel

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

17

In diesem Versuch wird eine Wahrscheinlichkeitsberechnung-experiment mit Wüfel
durchgeführt. Daher berechnen wir mit Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace. Dieser
Vesuch ist eigentlich bei uns als Zufallsversuch bekannt. Das Prinzip dieser Theorie
ist,dass die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Bei einem Würfel
hat 6 Seiten und besteht die Zahl 1 bis 6 ,die auf jeder Seite vom Würfel eingezeichnet
sind. Die Wahrscheinlichkeit jeder Seite hat den gleichen Wert.
Wie kann man den Versuch nachvollziehen,ob es sich um Laplace-experiment handelt
oder nicht ?. Diese Frage kommt sehr oft und man beanwortet die Frage gelegentlich
immer noch falsch. Diese Frage braucht manchmal schon viele Vorkenntnisse in
Stochastik, um den richtigen Fall zu entscheiden. Ein Tipp kann der Frage helfen. Beim
normalen Würfel hat Sechs verschiedene Seiten solange der Würfel nicht verändert wird.
Die Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 ist gleich groß wie die Zahl 6 zu Wüfeln,und so erkennt
man sich um Laplace-experiment 9

Darstellung alle möglichen Ergebnisse eines Wüfels10

Nun berechnen wir die Warscheinlichkeiten jeder Zahl beim Würfel

1
P ( E ) = =16,7 %
6

9

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/laplace-experiment-versuch.html
Stand : 12/12/2016
10
Bildquelle : https://www.studienkreis.de/mathematik/laplace-experiment-beispiele/
Stand : 12/12/2016

Mathematik 3 –
Statistik

18

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
P(E) : Die Wahrscheinlichkeits eines Ergebnisses
1 : Die Anzahl der gewünschten Ergebnisse
6 : Die Anzahl der möglichen Ergebnisse

Hier haben wir die Zahl 1 als die Anzahl der gewünschten Ergebnisse,weil wir erst jede
einzelne Seite die Wahrscheinlichkeit aussuchen.

Unter dem Bruch steht 6 als die

Summe aller Seite,die die möglichen Ergebnisse entspricht. Daraus können wir also die
Berechnungen

variieren,um

mehrere

Wahrscheinlichkeiten

in

vielen

Fällen

auszusuchen.Wie z.B folgende Fragen :
1.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für gerade Zahl ?
2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade Zahl ?
Die Frage können in unseren Versuch anwenden und vergleichen ob es die
Wahrscheinlichkeit unterschiedlich kommen kann. In diesem Fall führen wir die Probe
zufällig mit insgesamt 60 Würfeln durch.

2.1. Die Würfelversuchsergebnisse

N = 60

Mathematik 3 –
Statistik

19

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
5 5 5

1 3 5

1 5 5

4 1 3

4 4 6

1 3 1

4 5 4

6 3 3

1 6 2

5 2 4

3 5 5

2 4 4

2 1 1

2 6 3

6 5 1

5 4 4

5 4 4

4 6 2

3 4 4

3 3 1

2.2 Versuchsberechnungen und Analyse
Aus den Versuchergebnissen haben wir folgende Zahlerrscheinungen :
Die Zahl 1 hat 10 Erscheinung
Die Zahl 2 hat 6 Erscheinung
Die Zahl 3 hat 10 Erscheinung
Die Zahl 4 hat 15 Erscheinung
Die Zahl 5 hat 13 Erscheinung
Die Zahl 6 hat 6 Erscheinung

Daraus berechnen wir erst jede einzelne Zahl auf der nächsten Seite

Die Zahl 1 mit 10 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 16,7% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

10 1
= =16,7 %
60 6

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
Die Zahl 2 mit 6 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 10% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

6
1
= =10 %
60 10

Die Zahl 3 mit 10 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 16,7% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

10 1
= =16,7 %
60 6

Die Zahl 4 mit 15 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 25% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

15 1
= =25 %
60 4

Die Zahl 5 mit 13 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 21,7% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

13
=21,7 %
60

Die Zahl 6 mit 6 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 10% Wahrscheinlichkeit

P ( E )=

6
1
= =10 %
60 10

Nun beantworten wir die Variationsfrage auf der nächsten Seite
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für gerade Zahl ?
Bei einem normalen Würfeln ( 1-mal ) gilt folgendes :
Gerade Zahl in einem Würfel sind 2;4;6 und daraus haben wir die Summe = 3
P((2;4;6)) = P(gerade Zahl)

Mathematik 3 –
Statistik

20

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

21

3 1
P ( gerade Zahl ) = = =50 %
6 2

Die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl liegt bei 50%
Jetzt vergleichen wir die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl mit unserem Versuch
P((2;4;6)) = P(gerade Zahl) mit 60-mal Würfeln
Die Zahl 2 hat 6 Erscheinungen
Die Zahl 4 hat 15 Erscheinungen
Die Zahl 6 hat 6 Erscheinungen
Die Summe aller geraden Zahl ist 27

P ( gerade Zahl ) =

27 9
= =45 %
60 20

Die Wahrscheilichkeit einer geraden Zahl mit 60-mal Würfeln ist 45 %

Daraus können wir zusammenfassen,dass bei mehrerem Würfeln die Wahrscheinlichkeit
einer geraden Zahl geringer ist. Dies ist aufgrund der Summe der geraden Zahl. Die
Anzahl der einzelnen Zahl in mehrerem Würfeln kann unterschiedlich sein,deshalb ist die
Summe der geraden Zahl weniger im Vergleich mit einmaligem Würfeln

2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade Zahl ?

Für ungerade Zahl mit normalem Würfeln ( 1-mal ) gilt ebenso das Gleiche :
Die Summer der ungeraden Zahl = 3 von P((1;3;5))

Mathematik 3 –
Statistik

22

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

3 1
P ( ungerade Zahl ) = = =50 %
6 2

Die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Zahl ist 50%
Nun vergleichen wir wieder die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl mit unserem
Versuch
P((1;3;5)) = P(ungerade Zahl) mit 60-mal Würfeln
Die Zahl 1 hat 10 Erscheinungen
Die Zahl 3 hat 10 Erscheinungen
Die Zahl 5 hat 13 Erscheinungen
Die Summe aller geraden Zahl ist 33

P ( ungerade Zahl ) =

33 11
= =55 %
60 20

Die Wahrscheilichkeit einer ungeraden Zahl mit 60-mal Würfeln ist 55 %

Dieses Mal haben wir die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Zahl mit 60-mal Würfeln
großer als die normale Wahrscheinlichkeit mit einmaligem Würfeln. Dies ist ebenso
aufgrund der Summe der ungeraden Zahl. Auch beim Auftretten einer ungeraden Zahl in
mehreren Würfeln kann demzufolge die Augensumme der ungeraden Zahl bewirken. Im
Vergleich mit der geraden Zahl liegt die Wahrscheinlichkeit immer noch nahe bei 50 %. Im
Schluss

fassen

wir

zusammen,dass

bei

mehr

60-maligem

Würfeln

die

Wahrscheinlichkeiten der geraden und ungeraden Zahl nahe bei 50% mit der Abweichung
von 5% sind.

3. Laplace-Experiment mit Münzen

Bei diesem Versuch handelt es sich um einen Laplace-experiment mit Münzen,indem wir
die Laplace-Wahrscheinlichkeitstheorie wieder anwenden. Wie es schon erklärt, dass
diese Wahrscheinlichkeitstheorie tatsächlich in der Schule als Zufallsversuch bekannt ist.
Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

23

Wie wir am Anfang schon erklärt haben,dass diese Wahrscheinlichkeitstheorie die
gleichen Wertergebnisse für alle möglichen Ergebnisse ermöglicht.

Bei einer Münze gibt es 2 Seite ,nämlich Zahl und Kopf11

Das Münzenwürfeln

ist ein Beispiel ,das sehr oft in vielen Bücher behandelt wurde.

Dieses Beispiel handelt es sich um ein zufalliges Ereignis. Das Münzenwürfeln verwendet
ein Schiedsrichter normalerweise bei Seitenauswahl im Fußballspiel oder einfach als ein
Glückspiel. Theoretisch bekommen wir beim Würfeln einer Münzen die Wahrscheinlichkeit
genau 50%. Dies kann man einfach beweisen, Aufgrund eine Münze nur 2 Seiten hat.
Nun bringen wir einen Schritt voran,und daher berechen wir die Wahrscheinlichkeit einer
Zahl mit Laplace-wahrscheinlichkeitstheorie um rechnerisch zu bestätigen ob die
Wahrscheinlichkeit übereinstimmt.
Als Ereignismenge oder besser erkennt man als die Anzahl der gewünschte Ergebnisse
haben wir die Zahl einer Münze. Als Ergebnismenge oder in Zufallsversuch erkennt man
als die Anzahl der mögliche Ergebnise haben wir die beiden Seiten einer Münze nämlich
sind die Zahl und Kopf. Jetzt wird es in mathematische Betrachtung übersetzt
- Anzahl der gewünschten Ergebnissmenge / Ereignismenge = ( Zahl ) = 1
- Anzahl der möglichen Ergebnise / Ergebnismenge = ( Zahl;Kopf ) = 2
11

Bildquelle: https://www.studienkreis.de/mathematik/einfache-zufallsexperimente/
Stand 14/12/2016

Mathematik 3 –
Statistik

24

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
Laut der Formel setzen wir die Zahl ein :

1
P ( Zahl der Münze ) = =50 %
2
Nachdem

wir

rechnerisch

mit

Laplace-wahrscheinlichkeitstheorie

untersucht

haben,bekommen wir das Ergebnis 50% und dies bestätigt schon, dass die
Wahrscheinlichkeit von einer Münzenwurf theoretisch und rechnerisch übereinstimmt. Wir
wollen

aber

noch

unseren

Versuch

wieder

untersuchen,mit

dem

wir

die

Wahrscheinlichkeiten versuchen zu erweitern. Hierbei wird ein Zufallsexperiment,welches
aus mehreren Einzelexperimenten (beispielsweise 3-mal Würfeln) gemacht, und dessen
die Ergebnisse mit Baumdiagramm dargestellt werden können.
Um die Anzahl der möglichen Ergebnisse verwenden wir hierbei die Variation mit
Wiederholung
( Anzahl der möglichen Ergebnisse ) =n

k

n = ist die Anzahl der verschiedenen Elemente
k = ist die Anzahl der ausgewählten Elemente
In

unserem

Fall

ist

n

=

die

Elemente

von

Münze

(

Kopf

und

Zahl

)

und k = die Würfelelemente,die wir auswählen,um das Zufallsexperimenten zu
variieren,und somit haben wir daraus bekommen
( Anzahl der möglichen Ergebnisse ) =2

3

=8

Aus 8 verschiedenen Variationen haben wir folgende Reihen für Münzen,die mehr fach
gewürfelt werden,wobei K für Kopf und Z für Zahl steht.
KKK

KKZ

KZK

KKZ

ZZK

ZKZ

ZKK

ZZZ

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

25

Nehmen wir z.B ein Ergebnis aus Oben ( K K K ),bedeutet also, dass das erste K im
ersten Wurf Kopf erscheint, im zweiten Wurf auch Kopf und im dritten Wurf wieder Kopf
erscheint. Nehmen wir also ein anderes Beispiel ( K K Z ),bedeutet dass K für den ersten
Wurf Kopf ergibt, und K im zweiten Wurf auch wieder Kopf erscheint, ist aber im dritten
Wurf Z für Zahl erscheint. Wir haben schon unsere Ergebnisse definiert und nun stellen
wir ein Baumdiagramm dar

Mathematik 3 –
Statistik

26

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
Darstellung eines Baumdiagramms12

Aus dem Baumdiagramm liest man den ersten Eintrag eines Kreises dem ersten
Wurfergebnis,der zweite Kreis dem zweiten Wurfergebnis und der dritte Kreis dem dritten
Wurfergebnis. Dieses leere Baumdiagram können wir noch mit jeden einzelnen
Wahrscheinlichkeiten an jeder Experimentsstufe ins Diagramm die passende Stelle
eintragen,dann wird jedoch das neue Baumdiagramm so ausgesehen

Das

neue
Diagramm mit
eingetragene

Wahrscheinlichkeiten

Jetzt sind alle Wahrscheinlichkeiten in der passenden Stelle eingetragen,und dennoch
haben wir nicht die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses,von daher multiplizieren wir die
Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Pfadlinie,dessen bekommen wir die richtige
Ereignisergebnisse.
12

Bildquelle
http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/wtheorie/zufallsexperimente.html

Mathematik 3 –
Statistik

:

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

27

Das fertige Baumdiagramm mit den Ereignisergebnisse

Neben dem Baumdiagram-verfahren können wir allerdings direkt die
Einzelereignisergebnis durch normale Wahrscheinlichkeitsrechnung bei 3-maligem Wurf
berechnen

1
P ( Zahl ) = =12,5 %
8

1
P ( Kopf ) = =12,5 %
8

Mathematik 3 –
Statistik

28

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
Am Ende bekommen trotz die gleiche Wahrscheinlichkeit aber mit verschiedenen
Verfahren.

3.1 Die Münzenwurfsergebnisse
Hier wird ein 50-Cent Münzen 150 mal geworfen, mit jeden 3 Würfen als einen Versuch
geführt. (K = Kopf ; Z = Zahl)
1

KZK

26

ZZZ

2

ZKK

27

ZKZ

3

ZKZ

28

ZKK

4

ZZZ

29

ZZZ

5

ZKZ

30

KZZ

6

KZZ

31

KKK

7

ZZZ

32

ZZK

8

KKK

33

KKK

9

KZK

34

ZZK

10

KZZ

35

KKZ

11

ZKZ

36

ZZZ

12

ZZK

37

KZK

13

KKZ

38

KKZ

14

ZKK

39

ZKZ

15

KKZ

40

ZZK

16

KKK

41

ZZK

17

KKZ

42

KZZ

18

KKK

43

ZZK

19

KKZ

44

ZZK

20

KZK

45

ZKK

21

ZKZ

46

KZZ

22

KKZ

47

KKK

23

KKZ

48

ZZK

24

ZZZ

49

KZK

Mathematik 3 –
Statistik

29

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung
25

KZK

50

ZKZ

3.2 Versuchsberechnungen und Analyse

1) Absolute Häufigkeit ( hj ) und Wahrscheinlichkeit ( P ) jeder Würfe
S = {K,Z} ; n = 150
 Absolute Häufigkeit für Kopf : K = 74
Absolute Häufigkeit für Zahl : Z = 76
 Wahrscheinlichkeit für Kopf : K

P ( K )=

74
=0,493 ≈ 0,5=50 %
150
Wahrscheinlichkeit für Zahl : Z

P ( Z )=

76
=0,507 ≈ 0,5=50 %
150

2) Absolute Häufigkeit ( hj ) und Wahrscheinlichkeit ( P ) jedes Versuchs
S = {KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ}

; n = 50

Ereignis

Absolute Häufigkeit

Wahrscheinlichkeit

in %

KKK

6

6/50 = 0,12

12%

KKZ

8

8/50 = 0,16

16%

KZK

6

6/50 = 0,12

12%

KZZ

5

5/50 = 0,1

10%

ZKK

4

4/50 = 0,08

8%

ZKZ

7

7/50 = 0,14

14%

ZZK

8

8/50 = 0,16

16%

ZZZ

6

6/50 = 0,12

12%

Summe

50

50/50 = 1

100%

Mathematik 3 –
Statistik

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

30

Schlußendlich fassen wir daraus zusammen,dass die Wahrscheinlichkeit von Kopf des
Münzenwurfexperiments mit 3-mal Würfe als einen Versuch etwa 50% liegt. Das hat
ebenso die Wahrscheinlichkeit von Zahl etwa 50%. Zuruück zu dem normalen Wurf mit
einmaligem Wurf,haben wir die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Kopf auch 50%, d.h die
Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Laplace für mehrere Experimente erzeugt immer
wieder die gleiche

Ergebnisse für die mögliche Ereignisergebnisse. Wenn wir die 1-

maligen Wurf und 50-mal Wurf die Ergebnisse vergleichen,haben wir noch eine kleine
Abweichung,die unter 0,1 ist,dessen liegt die Wahrscheinlichkeit immer nahe bei 50%.
Aus 2 Versuchsuntersuchungen stellen wir fest,dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung
nach Laplace in vielen Versuchen unter verschiedenen Experimenten immer wieder
gleiche Ergebnisse mit sehr kleiner Abweichung erzeugt.

Mathematik 3 –
Statistik

31

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

Quellenverzeichnis

- Mathematik 3 Vorlesungsskript ; Kästner, Stefan-Manfred
- Mathematik 3 Vorlesungsskript ; Werner, Laura
- http://www.flowetzel.de/uni/mathe/Stochastik/Ausarbeitung_Geschichte_der_Stochastik.pdf
Stand : 01/12/2016 (S.2)
- http://de.serlo.org/mathe/stochastik/relative-haeufigkeit-wahrscheinlichkeit/laplace-experiment
Stand : 01/12/2016 (S.2)

- Bildquelle : http://max-attachments.prod.hlpstr.de/attachments/articles/icons/000/192/340/
featured/200270960-001.jpg
Stand : 07/12/2016 (S.3)

- http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Laplace/RouseBall/RB_Laplace.html
Stand : 10/12/2016 (S.4)
- https://www.f07.th-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/laplace.pdf
Stand : 12/12/2016 (S.4;5)

- http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/laplace-pierre-simon.html
Stand : 01/12/2016 (S.4)

- Bild-quelle : http://www.defense.gouv.fr/var/dicod/storage/images/base-de-medias/images/
marine/portraits/le-marquis-de-laplace/184882-1-fre-FR/le-marquis-de-laplace1.jpg
Stand : 07/12/2016 (S.5)

- http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/laplace-experiment-versuch.html
Stand : 12/12/2016 (S.16)
- Bildquelle : https://www.studienkreis.de/mathematik/laplace-experiment-beispiele/
Stand : 12/12/2016 (S.16)

- Bildquelle: https://www.studienkreis.de/mathematik/einfache-zufallsexperimente/
Stand 14/12/2016 (S.22)

-Bildquelle:
http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/wtheorie/zufallsexperimente.html (S.24)

- Statistik für Nichtstatistiker,
6.Auflage,Oldenbourg Verlag

Zufall

und

Mathematik 3 –
Statistik

Wahrscheinlichkeit,

Karl

Bosch,

Laplace in Bezug auf die
Wahrscheinlichkeitsrechung

32

Eidesstattliche Erklärung

Hiermit erklären wir, diese Arbeit ohne Hilfe oder Mitarbeit von anderen angefertigt zu
haben. Alle Textstücke die nicht gekennzeichnet sind, wurden mit meinen eigenen Worten
geschrieben.
Alle Zitate (Direkte sowie Indirekte) wurden ordnungsgemäß gekennzeichnet. Alle Quellen
wurden ordnungsgemäß im Quellenverzeichnis angegeben. Bei Internetquellen wurde
das Datum der Internetseite zu Zeitpunkt der Verwendung hinterlegt.
Wir versichern keine Plagiate verwendet zu haben

Friedberg,den 16. Dezember 2016, Fadhlan Nazhif Iskandar

Friedberg,den

16. Dezember 2016, Rakyan Bayundriyo

Friedberg,den

16. Dezember 2016, Sandi Fejzic

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Wahrscheinlichkeitsrechung

Mathematik 3 –
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